fylladio 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

www.georgefrang-math-trip.blogspot.com

2

Εισαγωγή

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

1. τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού

Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α είναι η απόσταση του ρητού

αριθμού α από το μηδέν και συμβολίζεται με a.

2. Πότε δύο αριθμοί θα λέγονται ομόσημοι.

Δύο αριθμοί θα λέγονται ομόσημοι όταν έχουν το ίδιο πρόσημο. Πχ.+3

+8 -6 –2 9 +5

3. πότε δύο αριθμοί θα λέγονται ετερόσημοι.

Δύο αριθμοί θα λέγονται ετερόσημοι όταν έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Πχ. +6 –9 9 -2

4. Πότε δύο αριθμοί θα λέγονται αντίθετοι.

Δυο αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή και διαφέρουν στο

πρόσημο λέγονται αντίθετοι αριθμοί.

5. Δυο αριθμοί βρίσκονται πάνω σε ένα άξονα ποιος από τους δύο

είναι μεγαλύτερος

Από δυο αριθμούς μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα

πάνω στον άξονα.

6. Πως προσθέτω ομόσημους αριθμούς.

για να προσθέσω ομόσημους αριθμούς βάζω το κοινό πρόσημο και

προσθέτω τις απόλυτες τιμές των αριθμών.

7. Πως προσθέτω ετερόσημους αριθμούς.

Για να προσθέσω ετερόσημους αριθμούς βάζω πρόσημο το πρόσημο του

απολύτως μεγαλύτερου και αφαιρώ τις απόλυτες τιμές των αριθμών.


3

ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

8. Αναφέρατε τις ιδιότητες της πρόσθεσης.

1. β=β+a a (αντιμεταθετική)

2. β γ= + β+γa a (προσεταιριστική)

9. Πώς υπολογίζουμε τη διαφορά δύο αριθμών

Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά δυο ρητών αριθμών

προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου δηλ.:

α-β=α+(-β)

ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ

10. Να διατυπώσετε τον τρόπο με τον οποίο βγάζουμε (απαλείφουμε)

μια παρένθεση οταν αυτή έχει μπροστά + ή -

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσημο),

μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το + (αν έχει) και να γράψουμε

τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το - , μπορούμε να την

απαλείψουμε μαζί με το - και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με

αλλαγμένα πρόσημα.

Π.χ. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης αφού πρώτα απαλείψετε τις

παρενθέσεις.

A

A

13 8 21 5 9 7 2

13 8 21 5 9 7 2 43

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

11. πως πολλαπλασιάζουμε δύο ομόσημους ακέραιους.

Για να πολλαπλασιάσουμε δυο ομόσημους ακέραιους πολλαπλασιάζουμε


4

τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο αυτό βάζουμε το πρόσημο (+).

Π.χ. 3 7 21 3 7 21

12. πως πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους ακέραιους.

Για να πολλαπλασιάσουμε δυο ετερόσημους ακέραιους

πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο αυτό

βάζουμε το πρόσημο ( - ).

Π.χ. 3 7 21

13. να αναφέρεται τον κανόνα των προσήμων στον πολλαπλασιασμό.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ

14. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

Στον πολλαπλασιασμό των ρητών αριθμών α,β,γ ισχύουν οι ιδιότητες:

aa ββ (αντιμεταθετική)

γβ=γβ aa (προσεταιριστική)

0α=0

1α=α

15. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι (εξαιρέσεις).

Αντίστροφοι λέγονται δυο αριθμοί όταν το γινόμενό τους ισούται με 1

(Π.χ. ο αντίστροφος του 3 είναι ο 1

31 και 3

1

3 ).

Κάθε αριθμός διάφορος από το μηδέν έχει ένα μόνο αντίστροφο ο

οποίος είναι ομόσημος με αυτόν.


5

16. Αναφέρατε την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως

προς την πρόσθεση και την αφαίρεση.

γ-βα=γα-βα η γ-βγ-β

γ+βα=γα+βα η γ+βγ+β

΄

΄

aaa

aaa επιμεριστική

ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΛΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

17. πως υπολογίζουμε το γινόμενο περισσότερων από δύο

παραγοντες

Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων διαφόρων του

μηδενός πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των παραγόντων και στο

γινόμενο αυτό βάζουμε το πρόσημο + αν το πλήθος των αρνητικών

παραγόντων είναι άρτιο, και το - αν το πλήθος των αρνητικών

παραγόντων είναι περιττό.

Αν έστω και ένας παράγοντας είναι μηδέν τότε και το γινόμενο είναι ίσο

με μηδέν.

Π.χ. 3 5 4 354 60

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

18. πως διαιρούμε δύο ακέραιους αριθμούς.

Για να διαιρέσουμε δυο ακέραιους αριθμούς διαιρούμε τις απόλυτες

τιμές τους και στο πηλίκο αυτό βάζουμε το πρόσημο (+) αν οι αριθμοί

είναι ομόσημοι και το πρόσημο ( - ) αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι.

πρακτικός κανόνας προσήμων

: :

: :


6

19. Τι ονομάζουμε λόγο του α προς το β.

Λόγο του αριθμού α προς τον αριθμό β ονομάζουμε το πηλίκο της

διαίρεσηςτου α δια του β. (συμβ.

a)

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ

20. Ποιες οι ιδιότητες της διαίρεσης.

1

2

3

. : :

. : :

. :

a a

a a

a a a

+β+γ δ= δ β:δ γ:δ

β γ γ β:γ

β γ= :γ β= β:γ

Παρατηρήσεις:

1)Η διαίρεση με διαιρέτη το μηδέν δεν ορίζεται.

2)Ο αντίστροφος του αριθμού α είναι το πηλίκο 1

a γιατί a

a 1

1

3)Για να διαιρέσουμε δυο ρητούς αριθμούς αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το

διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη,

δηλ. a

aβ β

1

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ

21. Τι ονομάζουμε δύναμη με βάση α (ρητό) και εκθέτη ν (φυσικό).

Η δύναμη αν με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό ν>1 είναι το

γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με α.

βαση

εκθετης

παραγοντες

a

vv a a a ....

Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.

Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός

αριθμός.


7

Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός

αριθμός.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

22. Να αναφέρετε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

1

2

3

4

5

)

)

)

)

)

a a a

a

aa v

a a

a a

a a

v v

v

v

v v v

v v

v

v

μ μ+

μ

μ-

μ μ ν

με μ>

β β

β β

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΑΚΕΡΑΙΟ

23. Πως ορίζεται η δύναμη ενός ρητού με εκθέτη αρνητικό

Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη αρνητικό

είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη

δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο εκθέτη.

Δηλ. aa

a

av

v

v v

1 και

β

β

24. Πως ορίζεται η δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη 0

Η δύναμη κάθε αριθμού διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν είναι

ίση με τη μονάδα.

Δηλ. α0=1

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΑΚΕΡΑΙΟ

25. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο

Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό ισχύουν και για τις


8

δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο.

1

2

3

4

5

)

)

)

)

)

a a a

a

aa

a a

a a

a a

v v

v

v

v v v

v v

v

v v

μ μ

μ

μ

μ μ

β β

β β

ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ - ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ

26. Τι ονομάζουμε τυποποιημένη η εκθετική μορφή ενός αριθμού;

τυποποιημένη ή εκθετική μορφή ενός αριθμού είναι η γραφή του αριθμού σε

γινόμενο ενός αριθμού α (φυσικού ή δεκαδικού) επί μια δύναμη του 10 δηλ.

a v10 όπου 101 a και ν φυσικός .

Από θετικούς αριθμούς με τυποποιημένη μορφή μεγαλύτερος είναι αυτός

που έχει το μεγαλύτερο εκθέτη στο 10.


9

Ασκήσεις

1.Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

Πρόσημο Πράξη που κάνω Αποτέλεσμα

(-10)+(-5)= - Πρόσθεση -15

(-5)+(-3)=

(-9)+(-10)=

(-30)+(-40)=

(-50)+(-60)=

(-9)+(+7)=

(-31)+(+17)=

(-52)+(+19)=

(-27)+(+20)=

(-30)+(+50)=

(-20)+(+70)=

(-9)+(+20)=

(+18)+(+25)=

(+42)+(+17)=

(+28)+(+19)=

( +4)+( +5)=

(+19)+(+70)=

(+100)+(+200)=

(+50)+(+500)=

(+10)+(-8)=

(+30)+(-50)=

(+28)+(-2)=

(+30)+(-5)=


10

2.Να υπολογισθούν τα κάτωθι αθροίσματα:

(+13)+(+28)= (-45)+(-63)=

(+32)+(+64)= (-9)+(-99)=

(+12)+(+35)= 0+(-32)=

(+11)+(+11)= (-67)+(-151)=

(+13)+0= (-4)+(0)=

(+0)+(-0)= (-15)+(-1)=

(+1)+(+52)= (-18)+(-19)=

(+18)+(-32)= (-19)+(+13)=

(+14)+(-64)= (-52)+(+10)=

(+55)+(-55)= (-15)+(+1)=

0+(-71)= (-25)+0=

(+14)+(-10)= (-4)+(+13)=

(+651)+(-15)= (-327)+(+352)=

i. (+32)+(-17)= (-378)+(+859)=

(+45)+(-50)= (-199)+(+451)=

3.Να υπολογισθούν τα αθροίσματα:

(+4)+(-5)+(+8)+(-7)+(-8)+(-9)=

(+8)+(-12)+(+25)+(-70)+(+60)+(-10)=

(-15)+(-20)+(-30)+(+40)+(+65)+(-12)=

5

3

3

2

1

65

1

4

7

8

3

5

3

4

7

10

1

2


11

4. Nα γίνουν οι πράξεις:

3

4

5

6

6

3

2

3

1

4

2

35

6

8

3

2

4

5

2

6

5

3

1

24

1

32

2

5

5

3

6

48 : :

5.Να γίνουν οι πράξεις

(-2)-(-5)= (-2)-(+3)=

(-6)-(-10)= (-20)-(+100)=

(-7)-(-8)= (-7)-(+50)=

(-9)-(-20)= (-5)-(+10)=

(+7)-(+8)= (+15)-(-5)=

(+10)-(+30)= (+17)-(-8)=

(+7)-(+50)= (+30)-(-50)=

(20)-(70)= (+28)-(-19)=

6. Να γίνουν οι πράξεις

a) +3+5= -6-5=

+7-8= -15+13=

+8+10= 10-3=

+7-7= -27+5=

b) +20+30= -20-5=

+15-23= -28+32=

+7+15= -5-9=

+32-59= -45+18=


12

c) +31+26= -3-25=

+28-71= -27+32=

7.Να γίνουν οι πράξεις

-3-5-6-7= +8+13-6+7=

-8-9-10-11= -6+5+8-13=

30+40+50+60= -19+5-20+31=

+18+50+60+3= -40+50-7+18=

-7-8+9+10= -28+13-9+20=

-3-6+9+11= 17+23-8-50=

8.Να γίνουν οι πράξεις αφού βγάλετε τις παρενθέσεις

-(3+5-8)-(-2+3-7)=

-(α+β-2)-(5-α-β)=

-(-3-10-5,3)+(-6,6+7,4+11,2)=

5

3

12

4

6

2

3

2

4

3

12

5

9.Να γίνουν οι πράξεις αφού βγάλετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες.

Α= -(-10+5-3) - [7-(4-3+2)]=

Β= -[+3-(7-8-16) + (-3+7-15)]=

10.Να γίνουν οι πράξεις με δύο τρόπους (παρενθέσεις – επιμεριστική)

α. 3(5+6)-7(6-8)-3(-4-5-1)=


13

β. -2(-5-6)+4(-3+7)-8(-6+4-2)=

5

83:

4

56

6

8

7

3

5

4 στ.

8

3

2

7

4

3:6

5

35:

4

7 ε.

5693

7

5

65

2

1

4

3

3

2 δ.

28764

158

3

14 γ.

11. Να γίνουν οι διαιρέσεις:

(+30):(+5)= (-20):(-4)= (+45):(-9)=

(-75):(+6)= (+4,5):(-0,9)= (-0,875):(+0,25)=

(-32):(+8)=

12.Να γίνουν οι διαιρέσεις

2

1:

6

4

4

3:

8

7

6

5:

3

2

3

1:

2

1

3

2:

5

1

6

5:

4

3


14

13.Να γίνουν οι πράξεις των κλασμάτων

4

6

4

2

4

8

4

3

4

2

4

1

3

2

8

1

2

1

3

2

4

6

3

137

6

6

5

3

3

6

9

7

2

1

3

18

4

6

5

4

4

1

4

2

8

1

3

2

3

1

14.Ομοίως

6

2

4

6

5

4 δ) 3

4

26 γ)

43

2

8

2 β)

3

1

2

3

3

4 α)

5

3:

8

6 στ)

5

4:

2

3 ε)

5

13

2

6:

4

5 ι)

2

1:

3

2

8

4 θ)

2

1:

3

2:

5

6 η)

3

2:

10

6 ζ)


15

15.Ομοίως να γίνουν οι πράξεις

4

7104

4

3

2

52

3

4 δ)

6

2

5

1

4

1

3

1

8

1 γ)

2

1

5

3

6

4

6

5

4

2

3

8 β)

4

7

5

6

4

1

8

2

4

3

2

1 α)

16.Να βρεθούν οι απόλυτες τιμές

|-5|= |-10|= |-3+5-8|=

|-(-(-9))|= |-32+65-(-3)4|=

17.Δίνεται η παράσταση:

α)Να εξαλείψετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες

β)Αν α=-7, β=-11 να υπολογίσετε την παράσταση Α.

18.Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων αφού πρώτα απαλείψετε τις

παρενθέσεις:

3,974,8912A

15

8

5

1

3

42

15

72

5

3B

19.Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

x3ωyxω-y12A

20.Αν 2

5yx να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

y685x818A


16

21.Να βρεθούν τα γινόμενα:

4615

1

6

55 β)

872 a)

22.Να γίνουν οι πράξεις:

3

22:

3

2

6

5

4

3:

4

3-2 a)

23.Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

2,5)(0,8)(0,5)(0,4:6)5)((4)7(B

616)(:243)(65A

24.Να βρείτε τους αντίστροφους και τους αντίθετους των αριθμών:

0,31 ,10 8, 7, 4, ,3

1 15,

2

25.Να υπολογιστεί η τιμή των παρακάτω παραστάσεων.

23

34

32

532

3)(3)(

22)(

2)(2)(2

1)(1)(1)(

42

23

13

1

4

1

2

1

:3

5

3

21

4

1)2

1(

26.Nα βρεθεί η τιμή της παράστασης:

4124:2253A9653

27.Να γραφούν οι παραστάσεις με μορφή μιας δύναμης:

a) :

:

β) -2

3 3 3 3

2 2 2

15 6 18

17 8 5


17

28.Να βρεθούν τα πηλίκα: 3

3

5

5

6

18β)

5

10α)

29.Να βρεθούν με τον συντομότερο τρόπο τα εξαγόμενα:

1468

615

857

91

91

857

91

857β)

58

4,2

58

4,2

58

4,2α)

30.Αν η μεταβλητή x παίρνει τις τιμές 5866410 ,810 ,10 ,10

να βρεθούν

οι τιμές 1

x.

31.Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

1x2x3x4x4444A

όταν χ=2 και

3x21xx7x6216B

όταν χ=-3.

32.Να γραφούν με δεκαδική μορφή οι ρητοί αριθμοί:

7

4γ)

80

93β)

16

25α)

33.Να υπολογιστούν τα αναπτύγματα:

,(-5)- ,(-3)- ,(-3)- ,(-10)- ,(-10)

,10 ,10- ,4 ,(-12) ,4 ,1)(

,(-10)- ,(-10) ,10 ,10- ,3

,(-10) ,2 ,(-1) ,(-10)- ,10)(

,10- ,10 ,2- ,(-8) ,1 ,1)(

,(-10)- ,10 ,10- ,(-2) ,1 1

24368

734138

57623

63646

515475

384453

.[-(+6)]- ,[-(+6)]- ,6)]([

,[-(-6)]- ,[-(-4)]- ,[-(-4)]- ,5)(

,(+3)- ,(+3)- ,[-(+4)]- ,4)]([

323

2232

4323


18

34.Να υπολογιστούν τα αναπτύγματα:

=3

4-

=3

4- =

2

3 =

3

4-- =

2

1- =

8

3

=7

3 =

4

3- =

3

2 =

8

2 =

2

1

=8

5

4

3

8

1

3

1

2

1

2

54324

35322

32222

10-

7-:(+9)

4

3:

7-

6-

10

3:

3

4-

5+

4-:(-8)

3

2:

4+

1-

8

3:

5

2 2)

7

6

8

7-

7

3

4

1

12+

7-(-4) 7)(

4+

1-

5

4

6

5

6

5

3

2

10

9

7

6

8

3

5-

4+ 1)

35.Να συγκρίνετε τους αριθμούς:

8-7-

6-5

35

109 και 10 γ)

101,83 και 103,21 β)

108 και 103 a)


19

36. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

α) 32-4(-2)2(-1)=

β) 2(-3)2(-1)4+3(-5)2

23-(-1)2(-7)2=

γ) 3(-4)2 + (-5)(-1)4-6(-2)4=

δ) α3α2=

ε) αα5=

στ) α2α6α8=

ζ) y4y2y-3:y=

η) x4 x3x=

37.Να γράψεις με μορφή δύναμης τους αριθμούς:

α) 10, -10, 0.1, -0.1, -8,

β) 100, -100, 0.01, -0.01

38.Να γραφούν με κλασματική μορφή οι αριθμοί:

5817,3y και 794,x


20

Κεφάλαιο 1ο

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1) Τι ονομάζουμε εξίσωση με ένα άγνωστο;

Εξίσωση με ένα άγνωστο ονομάζουμε μια ισότητα η οποία περιέχει ένα

άγνωστο αριθμό (χ, y) τον οποίο αναζητούμε.

Παραδείγματα

Εξισώσεις είναι οι:

χ+3=8

χ-21=4

3χ+1,8=26.

2) Τι ονομάζουμε πρώτο, δεύτερο μέλος μιάς εξίσωσης ποιοι είναι οι

γνωστοί και ποιοι οι αγνωστοι όροι;

Σε μια εξίσωση π.χ. την:

4χ-3=χ+9 το 4χ-3 λέγεται πρώτο μέλος της

εξίσωσης ενώ το χ+9 λέγεται

δεύτερο μέλος της εξίσωσης.

Οι 4χ και χ λέγονται άγνωστοι

όροι ενώ οι -3 και 9 γνωστοί όροι.


21

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

3) Τι ονομάζουμε επίλυση μιας εξίσωσης

τη διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τη λύση μιας εξίσωσης την ονομάζουμε

επίλυση της εξίσωσης.

4) Τι ονομάζουμε λύση ή ριζα της εξισωσης

Η τιμή του αγνώστου για την οποία επαληθεύεται η εξίσωση ονομάζεται λύση

ή ρίζα της εξίσωσης.

5) Ποια η διαδικασία λύσης μιάς εξίσωσης.

για να λύσουμε μία εξίσωση ακολουθούμε γενικά την παρακάτω διαδικασία

αν υπάρχουν παρονομαστές κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων.

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.

6) Τι ονομάζουμε επαλήθευση μιάς εξίσωσης;

Επαλήθευση είναι η διαδικασία με την οποία εξετάζουμε αν τα μέλη της

εξίσωσης έχουν την ίδια τιμή αν όπου χ θέσουμε τη λύση της εξίσωσης.

7) Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη;

Μία εξίσωση λέγεται αδύνατη όταν δεν έχει λύση. Πρακτικά

καταλαβαίνουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη όταν καταλήξει στην μορφή

0Χ=5 ή 0χ=-10 …

8) Πότε μια εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα;

Μία εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα όταν αληθεύει για κάθε τιμή του

άγνωστου χ. Πρακτικά καταλαβαίνουμε ότι μία εξίσωση είναι αόριστη όταν

καταλήξει στην μορφή 0χ=0.


22

ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ

9) Με ποιο τρόπο επιλύουμε ένα τύπο ως προς μία μεταβλητή του

Για να λύσουμε τύπους ως προς μία μεταβλητή του θεωρούμε τη

συγκεκριμένη μεταβλητή του τύπου «άγνωστη» και τις άλλες μεταβλητές

γνωστές και λύνουμε τον τύπο όπως και τις εξισώσεις.

Π.χ. Να λυθεί ο τύπος UR

T

2π της ταχύτητας στην κυκλική κίνηση ως προς

R.

UR

TT U R

R Τ UR

T U

22

2

2 2

ππ

π

2π π π

ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Για να λύσουμε προβλήματα με τη βοήθεια εξισώσεων ακολουθούμε την

παρακάτω πορεία.

1. Διαβάζουμε το πρόβλημα με προσοχή.

2. Συμβολίζουμε με ένα γράμμα έστω με χ το ζητούμενο του προβλήματος.

3. Γράφουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος.

4. Σύμφωνα με τις επιταγές του προβλήματος, σχηματίζουμε την εξίσωση

του προβλήματος.

5. Λύνουμε την εξίσωση.

6. Ελέγχουμε αν η λύση ανταποκρίνεται στο πρόβλημα.


23

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

3χ > 7 χ+4 9 5χ+3 14

Ανισότητες όπως οι παραπάνω, που περιέχουν μεταβλητές λέγονται ανισώσεις.

Οι τιμές για τις οποίες αληθεύει μια ανίσωση ονομάζονται λύσεις της ανίσωσης.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

1. Αν και στα δυο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο

αριθμό, βρίσκουμε ανισότητα με την ίδια φορά.

Π.χ. η ανίσωση χ+3>9 είναι ισοδύναμη με την

χ+3+5>9+5 οπότε

χ+8>14

ομοίως η ανίσωση χ+3>9 είναι ισοδύναμη με την

χ+3-2>9-2 ή

χ+1>7

2. Αν και τα δυο μέλη μιας ανισότητας τα πολλαπλασιάσουμε ή τα διαιρέσουμε

με τον ίδιο θετικό αριθμό βρίσκουμε ανισότητα με την ίδια φορά.

Π.χ. η 5χ>20 είναι ισοδύναμη με την

25χ>220 ή

10χ>40

Ομοίως η 5χ>20 είναι ισοδύναμη με την

5

5

20

5

x ή

χ>4


24

3. Αν και τα δυο μέλη μιας ανισότητας τα πολλαπλασιάσουμε ή τα διαιρέσουμε

με τον ίδιο αρνητικό αριθμό βρίσκουμε ανισότητα με αντίστροφη φορά.

Π.χ. η 5χ>20 είναι ισοδύναμη με την

2 5 2 20x ή

-10χ<-40

ομοίως η 5χ>20 είναι ισοδύναμη με την

5

5

20

5

x

ή

-χ<-4


25

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να εκφράσετε συμβολικά την πρόταση:

«Ο Κώστας έχει 7 στρατιωτάκια περισσότερα από το 1

4 αυτών που έχει

ο Γιώργος».

ΛΥΣΗ:

Αν ο Γιώργος έχει χ στρατιωτάκια ο Κώστας έχει 1

47x στρατιωτάκια.

2. Να εκφράσετε συμβολικά την περίμετρο ενός ορθογωνίου αν το μήκος

του είναι x m και το πλάτος είναι 3m μικρότερο από το μήκος.

ΛΥΣΗ:

Αν το μήκος του είναι x m το πλάτος του είναι (χ-3) m και η περίμετρός του

είναι Π=2χ+2(χ-3)

3. Να βρεθούν ο άγνωστος, οι άγνωστοι όροι, και οι γνωστοί όροι της

εξίσωσης: 7χ+4=9χ

ΛΥΣΗ:

Αγνωστος Άγνωστοι όροι Γνωστοί όροι

χ 7χ, 9χ 4

4. Να λυθεί η εξίσωση: x x x 3 1 9 2 3

ΛΥΣΗ:

x x x 3 1 9 2 3 ή


26

x x x 3 3 9 2 6 ή

x x x 3 3 9 2 6 ή

x x x 3 2 9 6 3 ή

6χ=18 ή

6

6

18

6

x ή

χ=3.

5. Να λυθεί η εξίσωση: x x

2

5

3

3

1

15

ΛΥΣΗ:

x x

2

5

3

3

1

15 ή

15

2

515

3

315

1

15

x x

ή

3 2 5 3 1x x ή

3 6 5 15 1x x ή

3 5 1 15 6x x ή

2 8x ή

2

2

8

2

x ή

χ=4.

6. Να λυθεί ο τύπος

EB

β

U2

ως προς U και να βρεθεί το U αν

Ε=88 cm2 B=12 cm και β=10 cm.

ΛΥΣΗ:


27

EB

β

2U ή 2Ε=(Β+β)U ή

2E

B

B

BU

β

β

β ή

U

E

B

2

β για Ε=88

cm2 β=10 cm και Β=12 cm έχω:

U

288

12 10

176

228 Άρα: U=8 cm.

7.Ένας πτηνοτρόφος πούλησε το 1

3 των αυγών που είχε και δυο ακόμη,

μετά πούλησε τα 4

5 των υπόλοιπων και δυο ακόμη και του έμειναν 28

αυγά.

Να βρεθεί πόσα αυγά είχε.

ΛΥΣΗ:

Έστω ότι είχε χ αυγά.

Την πρώτη πούλησε 1

32x ή

x

32

και του έμειναν : xx

xx x

32

32

2 6

3 αυγά

τη δεύτερη φορά πούλησε 4

5

2 6

32

4 2 6

152

x x

αυγά

Άρα ισχύει x x

x3

24 2 6

152 28

ή x x

x3

4 2 6

1532

ή

153

154 2 6

151532 15

x xx

ή 5 4 2 6 1532 15x x x

ή 5 8 24 480 15x x x

ή 5 8 15 480 24x x x

ή 2 456x ή 2 456x


28

ή 2

2

456

2

x

ή χ=228 αυγά.

8) Ο Πέτρος ξεκινάει από το σπίτι του με το ποδήλατό του στις 9 π.μ.

με μέση ταχύτητα 12 km/h. Να βρεθεί ποια ώρα πρέπει να ξεκινήσει ο

αδελφός του από το σπίτι τους με το ποδήλατό του με μέση ταχύτητα 16

km/h για να φτάσει τον Πέτρο σε 3 h.

ΛΥΣΗ:

Έστω ότι ο αδελφός του Πέτρου πρέπει να ξεκινήσει μετά από χ ώρες.

Επειδή αυτός θα κινηθεί επί 3 ώρες θα διανύσει στο χρόνο αυτό 316=48

km. Ο Πέτρος θα κινηθεί συνολικά χ+3 ώρες και θα διανύσει στο χρόνο

αυτό 12 3 12 3km

hx h x km

Επειδή θα συναντηθούν ισχύει 12(χ+3) km=48 km ή 12χ+36=48 ή 12χ=12 ή

χ=1

Άρα ο αδελφός του Πέτρου πρέπει να ξεκινήσει στις 9+1=10 π.μ.

9) Να λυθεί η ανίσωση: 3 1

3

3 1

2

2

3

x x

ΛΥΣΗ:

3 1

3

3 1

2

2

3

x x

ή 6

3 1

36

3 1

26

2

3

x x

ή 2 3 1 3 3 1 2 2x x ( ) ή

6 2 9 3 4x x ή 6 9 4 2 3x x ή 3 9x ή

3

3

9

3

x ή χ<3


29

10)Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

3 4 2 2 3 1 5 1x x x x x x και (3 ) ( ) ( )

ΛΥΣΗ:

3 4 2x x (3 )

ή 3 4 6 2x x

ή 3 2 6 4x x

ή 5 10x ή χ < 2

2 3 1 5 1x x x x ( )

ή 2 3 3 5 5x x x x

ή 2 3 5 5 3x x x x ή

3 2x

ή x 2

3

Οι κοινές λύσεις είναι οι αριθμοί χ όπου 2

32x


30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να λυθούν οι εξισώσεις:

3χ+5χ-10=8 10χ+3χ+20=40-2χ

8χ-2χ=35-2

4χ+7χ-5=50-2χ

18χ-6χ-25=40 11χ+7χ+10=30-4χ


3x+15-7x=32-8x+14

42x+18-4x=19-5x+20

40x+15-3x=18x-32+14x

20x+10x-3x=18+42-4

4x+5x-10=6-3x+18


9(8-x)-10(9-x)-4(x-1)=1-8x

5(x-3)+10(2-5x)+10x= -(15+10x)

32[5(2x-4)-10]-25-40=x


2

53xx

5

47x

+

03

8

4

35x

3

52x

-

15

13x2

5

4x

3

4x

+


31

714

2)7(3x

12

10)5(5x

5

53x2

)-(

2x6

1)5(x

5

x)3(2

4

3x7

)-(

5) Να λυθεί η εξίσωση x x x x x

8

2 3

72

1

3

3 1

6

15 7

24

6) Δίνονται οι παραστάσεις: Ax x

47 3

8

2 1

6 και B

x x

5

12

5 41

8

Να λυθεί η εξίσωση Α=Β


5

5

4

4

3

3

xxx

(x-5)=2(x+7)-14

8) Να λυθεί η εξίσωση 7 16

20

2 4

5

3

4

x x x

9) Να λυθούν οι εξισώσεις

7Χ-15 = 3Χ+9

4

23

5

32

=1

9

91

3

1

2

7

xx

6

15

2

13

3

52

xxx

10) Να λύσετε τον τύπο

2

F Ι) ως προς υ, ΙΙ) ως προς Β.


32

11) Να βρεθεί το λάθος στη λύση της παρακάτω εξίσωσης

2043352

5444

34

2

354

54

3

2

35

-ψ=ψ-)-ψ(

-ψψ-ψ

-ψψ-ψ

11

14

1411

2064310

2043610

-=ψ

- =ψ

-=ψ+ψ-ψ

-ψ=ψ--ψ

12) Να λυθούν οι ανισώσεις:

)-( 32x64)6(x3)2(x

13

x4

4

13x

)-( > )-(+)-( 4x32x51x2

10

15x

6

x)2(5

5

4x3 - <

)-(

13) Να λυθούν οι ανισώσεις

-2Χ+3<-4Χ-5 4

5

5

32

2

2

xxx

2

3

3

1 xax

2

3

2

57

5

34

xxx

14) Να λυθούν τα συστήματα των ανισώσεων

α) 2Χ-1>Χ+2 132

β) 4

1

3

2

2

1

4

13

3

12

15) Να λυθεί ο τύπος rR

π μ

1800 του μήκους του κύκλου α) ως προς R β)ως

προς μ.


33

16) Ο πατέρας του Νίκου είναι κατά 26 χρόνια μεγαλύτερος απ’ αυτόν. Αν

πριν 5 χρόνια οι ηλικίες τους είχαν άθροισμα 40 να βρεθεί η ηλικία του

Νίκου και του πατέρα του.

17) Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το μισό του

μικρότερου και το 1

3 του μεγαλύτερου να είναι ίσο με τον μεσαίο

ελαττωμένο κατά 3.

18) Ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι τετραπλάσιος από τον αριθμητή

του. Αν προσθέσουμε και στους δυο όρους του κλάσματος το 1 το κλάσμα

ισούται με το 2

5. Να βρεθεί το αρχικό κλάσμα.

19) Δυο μηχανήματα στοιχίζουν μαζί 240.000 €. Αν το 1

3 και το

1

4 της αξίας

του πρώτου έχουν άθροισμα ίσον με τα 7

10 της αξίας του δεύτερου να

βρεθεί η αξία του κάθε μηχανήματος.

20) Να λυθεί η ανίσωση x x x

x

1

2

1

20

15

5

1

21 καθώς και η

ανίσωση 3 1

3

3 1

2

2

3

x x

.

21) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

i x x

x x x

)7 9 3 7

2

2

3

3

7 3

6

και

iix x x

xx x

)

1

2

2

2 6

1

2

2

3 και

22) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

3Χ+6>0 5Χ-4Χ<11

23) Να βρείτε τις ακέραιες κοινές λύσεις των ανισώσεων:

5>1-2Χ 3Χ>2Χ+1


34

24) Ένας πατέρας έχει τετραπλάσια ηλικία από την κόρη του. Μετά

από 20 χρόνια θα έχει διπλάσια. Ποια είναι η σημερινή του ηλικία;

25) Ποιου αριθμού το μισό ισούται με το διπλάσιό του;

26) Πόσα κουνέλια και πόσα περιστέρια έχει ο Δημήτρης αν όλα αυτά

τα ζώα έχουν 19 κεφάλια και 52 πόδια;

27) Μια συσκευή πουλήθηκε με έκπτωση 13% για 46,5€. Ποια ήταν η

τιμή της χωρίς την έκπτωση;

28) Η διαφορά των διαστάσεων ενός ορθογωνίου είναι 30cm και η

περίμετρος του 4cm. Να βρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου.

29) Σε μια εκδρομή πήγαν συνολικά 54 γονείς και παιδιά. Τα παιδιά

ήταν τριπλάσια από τους γονείς. Να βρεθεί πόσα ήταν τα παιδιά και

πόσοι οι γονείς.


35

Δεύτερο Μέρος Ασκήσεων

1. Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι λύση της εξίσωσης:

i. 3x 2 7 x 3 ii. 2x 3 6 x 1,5

iii. 2x 3 5x 6 x 1

2. Να εκφράσετε με εξίσωση την πρόταση: «Η αρχική τιμή ενός προϊόντος

αυξήθηκε κατά 20% και τώρα πουλιέται 45 €.

3. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

i. 6x 6 2x 18 ii. 9x 12 36 iii. 7x 0 iv. 48 x 3x 4 v. 3x 15 4x 3 vi. 7x 2 3x 2 vii. 2φ 4 3φ 4

viii. 4ω 3 3 ω ix. 1,5y 2,3 1,7 3,5y

x. x 2 2x 0,5

xi. 0,2x 2,5 1,5x 10,5

xii. 4,6 x 5,6 3x

xiii. 7x 15 3x 19 xiv. 3x 4 5x 2


i. 5 x 3 10 2 5x 10x 15 10x

ii. 9 8 x 10 9 x 4 x 1 1 8x

iii. 3 x 2 2 1 x 3 2x 1

iv. 3 x 4 15

v. 5 2x 1 45

vi. 2 3x 2 4 x


36

vii. 5 6 x 3 4 x 1 7

viii. 10x 4 3x 1 1 2x 4x 1

ix. x 3 3 x 2 9 2x

x. 16 x 1 2 3 x 3 x 6

xi. 2 3z 4 5 3z 5 3 z 7 8

xii. 15 24 x 2 2 5x 9 x

xiii. 2x 3 3x x 7

xiv. 4x 1 2 2x 4 3

xv. 2 3x 1 6 x 3 12

xvi. 3 x 1 5 3x 2

xvii. 2 2x 1 5 11 4 x 1


i. 7x 4 3x 5

x5 2

ii. 2x 5 5x 3 8

03 4 3

iii. 5x 3 3y

y 52 4

iv. 5x 7 2x 7

3x 142 3

v. x 4 x 4 3x 1

23 5 15

vi. x 1 23 x 4 x

77 5 4

vii. 1 2 1 x8 x x 1 x 6

6 3 2 3

viii. 1 1

2x 19 2x 2x 112 2

ix. 5x x

10 17 14

x. 6 9 8x

27 24x2

xi. 3x 2 4x 3 x 2

45 7 35

xii. x x 5x

5 23 2 6

xiii. 2x 1 5x 2 x 3

13 12 4

xiv. 2 x 23x 16 7x

4 20 5


37

xv. x 7 3x

2x 52 2

xvi. 3x x 10

5 x 2x2 2

xvii. 2 x 17 5 x 10x 6

2x 62 3 6

xviii. x 1 2x 1 3x 1 27x 19

4 5 2 20


i.

1x

x 1 2 x2 06 3 3 5 3

ii.

5 x 32x 3 1x x 2x

x 19 3 68 2 4 3

iii.

2 x 6 3x 6x x

x 33 5x 108 5 3

iv.

x5 xx 1

x 1 5x 823 32 4 6 3 12

v.

5 x 23x 51 34 2x 7 132 3

4 9 3 24

7. Να βρείτε για ποια τιμή του χ ισχύει η ισότητα Α=Β όταν:

i. A 2 7x 4 0,3 5,4x , B 5 2,5 x 2

ii. A 0,3 x 6 0,9 x 2 , B 6,6 2 x 3,3


i. 3 2 x 5 1 x 2 x 6 20x

ii. 2 x 3 x 1 2 6 x 1

iii. 1 5 3 5 7 x 9 7 26


i. 3x 8 2x 12 0

ii. x 1 4 x 0


i. x 3 x 7


38

ii. 4 x 2 4 2 x

iii. 8 x 4 9 x 9 6

iv. x 2 5

v. x 5 2


i. x2 64 ii. x3 27

iii. x

1 1

2 8

iv. x

1 1

3 81

v. x

14

2

12. Για ποια τιμή του χ είναι Α=Β;

i. Αν A 3x 2 B 9 4x

ii. Αν 2

A 3 1 x3

x

B 232

13. Δίνεται η εξίσωση: κ 3 χ 1 3κ 1 χ 5

i. Αν κ 1 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση x 3 .

ii. Αν η εξίσωση έχει λύση x 0 , να αποδείξετε ότι κ 2 .

14. Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο.

i. Να βρείτε την τιμή του χ, ώστε να είναι

ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποιο είναι σ’

αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε

πλευράς;

ii. Να βρείτε την τιμή του χ, ώστε να είναι

ισοσκελές με βάση την ΑΓ. Ποιο είναι σ’

αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε

πλευράς;

iii. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του

χ, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ.

15. Δίνεται το ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς

x, y και ω (το ω παριστάνει μοίρες).

3x+1

9-x

x+3

Α

Β Γ


39

16. Να βρείτε το χ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ρόμβος.

Ποιο είναι το μήκος κάθε πλευράς του ρόμβου;

17. Να βρεθούν οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, αν η μια είναι

τριπλάσια της άλλης.

18. Να βρεθεί ένας αριθμός που το εξαπλάσιο του αυξημένο κατά 1, είναι ίσο

με το αριθμό αυξημένο κατά 9.

19. Τρεις διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν άθροισμα 33. Να βρεθούν οι

αριθμοί.

20. Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο η καθεμιά από τις ίσες γωνίες του είναι 150

μικρότερη από την τρίτη γωνία. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.

21. Ο πατέρας του Κωνσταντίνου έχει την τριπλάσια ηλικία από τον γιο του. Ο

Κωνσταντίνος υπολογίζει ότι μετά από 15 χρόνια ο πατέρας του θα έχει

διπλάσια χρόνια από αυτόν. Πόσο χρονών είναι σήμερα ο Κωνσταντίνος

και πόσο ο πατέρας του.

22. Η γιαγιά μου στο χωριό έχει κότες και κουνέλια. Αν τα ζώα έχουν όλα

μαζί 50 κεφάλια και 160 πόδια, να βρεθούν πόσες είναι οι κότες και πόσα

τα κουνέλια.

23. Η Ιλάρια ψάχνοντας σ’ ένα παλιό κασόνι του παππού της, βρήκε παλιά

βιβλία. Τα μισά από αυτά και 3 είναι αστυνομικά. Τα μισά από τα υπόλοιπα

3y+14

83x-1

4-2y

3ω-30

χ+5

4χ-13χ+1

2χ+3

Α

Δ

Β

Γ


40

και 2 είναι αισθηματικά και τα υπόλοιπα 2 είναι επιστημονικής φαντασίας.

Πόσα βιβλία βρήκε η Ιλάρια;

24. Η Βερόνικα λέει ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός του οποίου το

επταπλάσιο μειωμένο κατά 2 είναι ίσο με το τριπλάσιο του μειωμένο κατά

6. Να εξεταστεί αν έχει δίκαιο η Βερόνικα.

25. Δυο αριθμοί διαφέρουν κατά 7 και ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου. Ποιοι

είναι αυτοί οι αριθμοί;

26. Ο Απόστολος εντυπωσιάζει τον φίλο του Παναγιώτη με το παρακάτω

μαθηματικό παιχνίδι.

Λέει στον Παναγιώτη

Σκέψου έναν αριθμό

Πρόσθεσε τον αριθμό 8

Τριπλασίασε τον

Βγάλε 6

Διαίρεσε με το 3

Αφαίρεσε τον αριθμό που σκέφτηκες.

Βρήκες 6!

Μπορείς να εξηγήσεις πως ο Απόστολος ξέρει το αποτέλεσμα;

27. Μια παρέα έχει παραγγείλει σουβλάκια, αν όλοι έτρωγαν από 4 σουβλάκια

θα περίσσευαν 2, αλλά επειδή ένας από την παρέα νήστευε, μοιράστηκαν οι

υπόλοιποι από 6 και δεν περίσσεψε κανένα. Να βρεις πόσα άτομα είναι η παρέα

και πόσα σουβλάκια παράγγειλαν.

28. Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία τις λύσεις τους.

ι)7x 3 15 4x

ιι)x 5 3

ιιι) 2 x 3x 2

ιν) 7 x 4x 1


ι) 4 ω 2 ω 2

ιι) 3x 3 x 1 5 x

ιιι) 4y 2 y 3 3 y 3 2

ιν) 5 2 t t 2


41


ι)2x 3 3 x

24 5

ιι) 2 x

3 1 x x 23 2

ιιι)x 3 x 2

x 5 03 2

ιν)1 x 1 x 2 x 1

33 2 3 6

ν)3 ω ω 1 ω 2

ω3 2 4

νι)t 1 2t 1 11t

t3 4 12

31.Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

ι)x 3 2 και 4 x 3

ιι) 3 x 1 x 7 x και 6x 7 2 x 2 9

ιιι) 4x 1 3 1 x 10 και 2 1 x 8

ιν) 3

2y 8 y 14

και 3 1y y 2

2 12

ν)4x 3 5 και 2 x 3 4 και 2x 3 x 1

νι)2x 3 3x 1

2 3

και 3 2x 1 x 3 x 4 1 και 4 x 3 x 1

32.Να λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις των

ανισώσεων:

ι) 8 3x 1 22

ιι) 2 3 2x 4

ιιι)4 6x 2 16

33.Για ποιες τιμές του θετικού ακεραίου αριθμού μ, έχουμε ότι

A 2 2 3 είναι θετικός;

34.Για ποιες τιμές του αριθμού α, η ανίσωση 3x 2 1 x 1 έχει λύση

τον αριθμό x 1.


42

Κεφάλαιο Κεφάλαιο 2ο

2ο

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α.

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ονομάζουμε έναν άλλο

μη αρνητικό αριθμό χ τον οποίο αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο μας

δίνει τον αριθμό α.

2)Ποιές είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας;

2

a = a με a 0

a,aν a 02a = | a |=-a,aν a<0

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες

2. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω τετραγωνικές ρίζες


43

3. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις

4.Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες

9

0, 09

1, 44

0, 0144

0, 0009

90.000

2

2

4

2

4

3

5

2

4

25

3

36 25

7 4

25 81

5 10 2 9

70 31 25

21 13 9

5. Να γίνουν οι πράξεις

24

22

2 2 2

121 5 13

2 3 5 3 3 5

2 3 5 2 3 5

3 16 16 16

25 25 25

6. Να συμπληρώσετε τα κενά , ώστε να ισχύουν οι ισότητες

2

4 ... 3

202

...3 ... 12

... 121 1

...3

53 ... 4

144 ... 5

...0, 4

100


44

7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων :

α) ....08.002,0 β) ...20032003 γ) ....5

a

aδ) .....200

2

16

8. α) Να αναλύσετε τους αριθμούς 8, 12, 18, 20, 27 σε γινόμενο πρώτων

παραγόντων.

β) Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της α΄ στήλης του

σε ένα μόνο στοιχείο της β΄ στήλης του συμπληρώνοντας τον επόμενο πίνακα.

Αριθμός Τετραγωνική ρίζα

αριθμού

8 33

12 22

18 23

20 32

27 52

Αριθμός

Τετραγωνική

ρίζα του

αριθμού

9. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Α = 5)555( Β = 18232482

Γ = 32250

Δ = 700

6328 Ε = 2012575

10. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

Α= 181001531431

Β= 5,19123

4


45


ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Η διαδικασία με την οποία για κάθε τιμή μιας μεταβλητής χ ορίζεται μια

μόνο αντίστοιχη τιμή για μια μεταβλητή ψ ονομάζεται συνάρτηση. Λέμε

ότι η μεταβλητή ψ εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής χ.

2. Τι είναι ο πίνακας τιμών μιας συνάρτησης;

Ο πίνακας τιμών μιας συνάρτησης είναι ένας πίνακας με τον οποίο

παρουσιάζουμε με καλύτερο τρόπο την αντιστοιχία μεταξύ τιμών των

μεταβλητών χ και ψ σε μια συνάρτηση και έχει τη μορφή του σχ1

χ -1 0 1 2

ψ -2 0 2 4

Σχ1

3. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης;

Τα ζεύγη των αριθμών ως γνωστό μπορούμε να τα παραστήσουμε με

σημεία του επιπέδου με τη βοήθεια ενός συστήματος αξόνων. Αν όλα τα

ζεύγη των αντίστοιχων τιμών μιας συνάρτησης παρασταθούν στο

επίπεδο τότε το σύνολο των σημείων που βρίσκουμε λέγεται γραφική

παράσταση της συνάρτησης αυτής.

4. Πότε δύο ποσά λέμε ότι είναι ανάλογα;.

Δύο ποσά λέμε ότι είναι ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του

ενός ποσού επί έναν αριθμό πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές

του άλλου με τον ίδιο αριθμό.


46

5. Τι γνωρίζετε για τις αντιστοιχες τιμές των αναλόγων ποσών.

Αν χ και ψ οι αντίστοιχες τιμές δυο ανάλογων ποσών τότε ο λόγος

είναι σταθερός.

6. Στα ανάλογα ποσά πως εκφράζεται το ένα συναρτήσει του άλλου

Αν δυο ποσά είναι ανάλογα τότε οι τιμές ψ του ενός εκφράζονται ως

συνάρτηση των τιμών χ του άλλου με την ισότητα ψ =αχ.

7. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= αχ

Η συνάρτηση ψ=αχ με χ πραγματικό αριθμό έχει γραφική παράσταση μια

ευθεία που διέρχεται από την αρχή των

αξόνων (σχ. 2)

8. Τι ονομάζουμε κλίμακα σχεδίου ή χάρτη;

Κλίμακα ενός χάρτη ή σχεδίου λέμε το σταθερό λόγο της απόστασης δυο

σημείων του χάρτη ή του σχεδίου προς την πραγματική απόσταση των

σημείων αυτών, όταν οι αποστάσεις αυτές μετρηθούν με την ίδια μονάδα

.

Όταν δηλ. λέμε κλίμακα 1:α εννοούμε ότι ισχύει ή πραγματικαπόσταση

σχεδίου απόσταση=

1

9. Πότε λέμε ότι έχουμε μεγέθυνση και πότε σμίκρυνση;

Αν η κλίμακα είναι μικρότερη του 1 λέμε ότι έχουμε σμίκρυνση ενώ αν

είναι μεγαλύτερη του 1 λέμε ότι έχουμε μεγέθυνση.

O

Ψ

ψαχ

=


47

10. Πότε δυο ποσά θα λέγονται αντιστρόφως ανάλογα

Δύο ποσά θα λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας

τις τιμές του ενός ποσού με ένα αριθμό διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές

του άλλου με τον ίδιο αριθμό.

11. Τι γνωρίζετε για τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

Αν χ και ψ είναι οι αντίστοιχες τιμές δυο αντίστροφων ανάλογων ποσών

τότε το γινόμενο ψ. χ είναι σταθερό.

12. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά πως εκφράζεται το ένα συναρτήσει

του άλλου.

Αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα τότε οι τιμές ψ του ενός

εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών χ του άλλου με την ισότητα

ψ =

13. Τι γνωρίζεται για την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =

a με χ πραγματικό αριθμό

διαφορετικό από το μηδέν λέγεται υπερβολή και αποτελείται από δυο

καμπύλες που ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής. (σχ.1, 2)

Σχ.1Σχ.2

XX

Ψ Ψ

00

Α>0 Α<0


48

14. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

y=αχ +β

H γραφική παράσταση της ευθείας y=ax+β με β 0,είναι μία ευθεία που

διέρχεται από το σημείο (0,β) του ‘αξονα yy’ και είναι παράλληλη προς

την ευθεία που παριστάνει τη συνάρτηση y=ax.

(a>0) (a<0) ( a=0)

Αν α=0 έχουμε την f(x)=β έχουμε την σταθερή συνάρτηση που η γραφική της

παράσταση είναι παράλληλη στον χ’χ ‘αξονα.

Η ευθεία y=0 παριστάνει τον χ’χ άξονα.

15. Πως βρίσκουμε τα συμμετρικά σημεία ενός σημείου Μ(α,β);

Εστω Μ(α,β) ένα σημείο του επιπέδου,τότε:

το Μ’(-α,β)είναι το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y’y.

το Μ’’(α,-β) είναι το συμμετρικό του ως προς τον χ’χ.

το Μ’’’(-α,-β) είναι το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων

Ο(0,0).

το Μ’’’’(β,α) είναι το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο της πρώτης

και τρίτης γωνίας των αξόνων y=x.

16. Πως βρίσκουμε την απόσταση ενός σημείου Μ(α,β) από τους άξονες;

Η απόσταση ενός σημείου Μ από τον χχ’ άξονα είναι |β|

Η απόσταση ενός σημείου Μ από τον χχ’ άξονα είναι |α|.

Προσοχή Η απόσταση του σημείου από τους άξονες δεν μπορεί να είναι

αρνητικός αριθμός γι΄αυτό το λόγο βάζουμε και το απόλυτο.


49

17. Πως βρίσκουμε την απόσταση δύο σημείων Α(χ1,y1) και Β(x2,y2);

‘Εστω Α(χ1,y1) και Β(χ2,y2) δύο σημεία του επιπέδου,τότε η απόστασή

τους(δηλαδη το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν) είναι:

ΑΒ= 2 2(x -x ) +(y -y )2 1 2 1

18. Πως βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας y=ax+β με τους άξονες;

Για να βρούμε σημεία τομής μίας ευθείας:

με τον άξονα χ’χ:

Θέτουμε στην εξίσωση y=ax+β όπου y=0 δηλαδή λύνουμε την εξίσωση

αχ+β=0 και η λύση της (αν υπάρχει) είναι οι τετμημένη του σημείου

τομής.

με τον άξονα y’y:

Θέτουμε στην εξίσωση y=αχ+β όπου χ=0.Ο αριθμός y=β είναι η

τεταγμένη του σημείου τομής.


50

ασκησεις

1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης y=3X-1

Χ -2 0 1 3

Ψ

2. Ομοίως για την συνάρτηση y=2x

Χ -2 -1 0 1 2

Ψ

3. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x2 όταν

33

4. Εξετάστε αν η παρακάτω

καμπύλη είναι γραφική

παράσταση συνάρτησης και γιατί.

5. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης 2

y -5

όπου Χ

πραγματικός.

6. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Σημείο Α Συμμετρικό Α

ως προς χχ’

Συμμετρικό Α

ως προς yy’

Συμμετρικό Α

ως προς O

(5,1)

(-3,2)

(2,0)

(0,-4)


51

7. Δίνονται τα σημεία Α(0,2) και Β(4,5).Να βρείτε την απόσταση ΑΒ.

8. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(-6,8) από τον άξονα:

ι)χχ’

ιι)yy’

9. Δίνεται η συνάρτηση y=ax .Να βρείτε το α, αν η γραφική της

παράσταση διέρχεται από το σημείο (-1,6).Στη συνέχεια να

σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση.

10. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο

Α(2,5).

11. α)Να βρείτε ποιά συνάρτηση έχει αυτήν την ευθξεία για γραφική

παράσταση

12. β)Να σχεδιάσετε την ευθεία.

13. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης y=2x+4 με τους άξονες χχ’ και yy’

14. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας,η οποία έχει κλίση 7 και διέρχεται

από το σημείο Α(7,10).

15. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία

Α(0,1) και Β(1,0).

16. Να σχεδιάσετε τις υπερβολές:

α) 2

yx

β) 3

y = -x

γ) y = -x

1 αν χ>0

17. Δίνεται ησυνάρτηση a - 1

y =x

.

α)Να βρείτε το α,αν η γραφική τηε παράσταση διέρχεται από το

σημείο (3,1).

β)Να κάνετε την γραφική της παράσταση.


52

Μέρος β’’

Γεωμετρία Τριγωνομετρια


53


ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ : Ε=α2

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ : Ε=αβ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ : Ε=β υ

ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : Ε=

βυ

α

βα

υ

β

υ

β


54

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ : Ε=

ΑΒ ΑΓ

ΤΡΑΠΕΖΙΟ : Ε= Β+β

υ2

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1) Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο

θεώρημα. το

τετράγωνο της υποτείνουσας ενός

ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το

αθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων

καθέτων πλευρών. δηλ

α2=β2+γ2

Παρατήρηση

Από την ισότητα α2=β2+γ2 προκύπτουν οι ισότητες β2=α2-γ2 και

γ2=α2-β2 δηλ αν γνωρίζουμε δύο πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου

μπορούμε να υπολογίσουμε την τρίτη.

Α Β

Γ

υ

β

Β

Α Β

Γ

α

γ

β


55

2) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.

Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με

το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων καθέτων πλευρών τότε το

τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά


56

12cm

χ

15cm

Α Β

Γ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ — ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1) Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει κάθετες πλευρές ΑΒ=6 cm ΑΓ=8 cm

και υποτείνουσα ΒΓ=10 cm. Να επαληθεύσετε το Πυθαγόρειο

θεώρημα.

Λύση

Έχουμε ΑΒ2+ΑΓ2=62+82=36+64=100

και ΒΓ2=102=100

Επομένως είναι ΑΒ2+ΑΓ2= ΒΓ2

2) Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει κάθετες πλευρές ΑΒ=χ, ΑΓ=12 cm

και υποτείνουσα ΒΓ=15 cm. Να

βρεθεί το εμβαδό του τετραγώνου

που έχει πλευρά την ΑΒ.

Λύση

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

έχουμε

AΒ2=ΒΓ2-AΓ2 ή χ2= 225-144 ή χ2=81

Επομένως το ζητούμενο εμβαδό του τετραγώνου είναι χ2=81cm2.

3) Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ΑΒ=15 cm και ΑΓ=8 cm

και υποτείνουσα ΒΓ=ψ. Να βρεθεί το εμβαδό του

τετραγώνου που έχει πλευρά την υποτείνουσα

ΒΓ.

Λύση

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

έχουμε

ΓΒ2=ΒΑ2+AΓ2 ή ψ2= 225+64 ή ψ2=289

Επομένως το ζητούμενο εμβαδό του τετραγώνου είναι ψ2=289cm2.

6cm

8cm

10cm

Α Γ

Β

8cm

15cm

ψcm

Α Β

Γ


57

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ‘Ενα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 24cm2 και το ύψος του ΑΔ είναι 3cm .Να

υπολογιστεί η πλερά ΒΓ.

2. ‘Ενα τρίγωνο ορθογώνιο ΑΒΓ(Α=90ο ),έχει πλευρές ΑΒ=χ ,ΒΓ=10 και

ΑΓ=χ+2.Αν γνωρίζουμε ότι έχει περίμετρο 24cm ,να υπολογίσετε το εμβαδόν

του.

3. ‘Ενα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 22cm και εμβαδόν 12cm2.Αν

η μία του πλευρά είναι 8cm,να υπολογιστούν τα ύψη του.

4. Να υπολογιστεί το εμβαδόν τραπεζίου ,του οποίου η μεγάλη βάση είναι

8,4cm ,η μικρή είναι 5,6cm και το ύψος του είναι 6,5cm.

5. ‘Eνα τραπέζιο έχει μικρή βάση 4 cm,μεγάλη βάση 6cm και το ίδιο εμβαδόν

με ένα τετράγωνο πλευράς 5cm.Να υπολογιστεί το ύψος του τραπεζίου.

6. ‘Ενα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει κάθετες πλευρές ΑΒ=9cm και ΑΓ=12cm

.

α)Να υπολογίσετε το εμβαδόν του

β)Αν η υποτείνουσα του τριγώνου είναι ΒΓ=15cm ,να υπολογίσετε το ύψος

ΑΔ.

7. Να βρείτε την πλευρά ενός τετραγώνου του οποίου η διαγώνιος είναι 8cm.


58

8. Να βρείτε το ύψος του τραπεζίου ΑΒΓΔ του οποίου οι γωνίες ̂ και ̂

είναι ορθές.

9. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου έχουν μήκη 12cm και 9cm αντίστοιχα. Να βρεθεί

το μήκος της πλευράς του.

10. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 25cm και μια κάθετη

πλευρά του είναι 24cm. Να βρείτε το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

11. Ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ) με βάση ΒΓ=16cm έχει εμβαδόν

Ε=48cm2, να υπολογίσετε το μήκος των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ.

12. Ορθογωνίου τριγώνου η μια κάθετος πλευρά είναι 3m. ενώ η άλλη τα

3

4 της. Πόσο είναι η υποτείνουσα;

13. α,β,γ, πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

i) α=10, β=6 να βρεθεί η πλευρά γ.

ii) β=8, γ=6, να βρεθεί η πλευρά α.

14. Σ’ ένα σύστημα αξόνων δίνονται τα σημεία Α(1,1) και Β (5,4). Να

βρεθεί η απόσταση ΑΒ.

15. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=20cm και ΒΓ= 21cm . Αν ΑΔ το ύψος του

τριγώνου και ΒΔ=5cm , να υπολογίσετε το ύψος ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ.

16. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90º) με ΑΒ=8cm και ΑΓ=6cm .

Να υπολογίσετε : α. το εμβαδόν του τριγώνου

β . την υποτείνουσα ΒΓ

γ . το ύψος προς την ΒΓ

Α Β

Γ

5 cm

Δ

10 cm

13 cm


59

17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 48cm . Αν ΑΒ=3χ-3 ΑΓ=3χ+1

ΒΓ=4χ α. Να βρεθεί το χ

β. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο;

18. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90º ) η μία κάθετη πλευρά είναι

τριπλάσια της άλλης , αν η υποτείνουσα ΒΓ=20 να βρεθούν

α. Οι κάθετες πλευρές του τριγώνου

β . Το ύψος προς την υποτείνουσα

19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 64cm . Αν

ΑΒ=2χ+2ΑΓ=40-3χ ΒΓ=5χ+2

α. Να βρεθεί το χ

β. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

20.Να υπολογίσετε τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου , όταν

γνωρίζετε ότι η υποτείνουσα είναι διπλάσια μιας κάθετης πλευράς

και ότι η άλλη κάθετη πλευρά είναι 6cm

21. Αν η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι 12cm , να υπολογίσετε το

μήκος της πλευράς του τετραγώνου

22. To μήκος της πλευράς ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι 8cm. Να

υπολογίσετε το ύψος του και το εμβαδόν του.

23. Το ύψος ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι 3 3 cm .

Nα βρεθεί η πλευρά του και το εμβαδόν του

24.Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει πλευρές ΑΒ= 8 cm ,

ΑΓ= 6 cm και ΒΓ= 14 cm είναι ορθογώνιο;

25.Ισοσκελες τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 22cm , αν η βάση του

είναι 6cm να βρεθεί το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση του

τριγώνου

26. Το ύψος ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι 7cm .

Nα βρεθεί η πλευρά του και το εμβαδόν του


60

27. Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=4cm .

Να υπολογίσετε τη ΒΓ, το ύψος ΑΔ και το εμβαδόν του

28. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90º) είναι α=20cm και β= 43

γ .

Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές του και το εμβαδόν του.

29. Να βρεθεί το εμβαδόν ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου με

υποτείνουσα α=10cm

30. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 12cm , Ε μέσο του ΑΒ και

σημείο Ζ στη ΒΓ ώστε ΒΖ= 3cm. Να υπολογίσετε την περίμετρο

και το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ

31. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ˆ ˆ 90 º, ΑΒ=12cm , ΑΓ=9cm.

Να υπολογίσετε τη ΒΓ και το εμβαδόν του

32. Δείξτε ότι το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι

3

2 .

33. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90º) η ΒΓ είναι μεγαλύτερη κατά

3cm από την ΑΒ και η ΑΓ =9cm. Να βρεθούν οι πλευρές ου

και το εμβαδόν του

34. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΑΔ=12cm και ΓΔ=16cm και ΒΔ =9cm

Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο


61

Κεφαλαιο 2Ο

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤHΣΕΙΣ

1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο πως ορίζεται η εφαπτομένη μιας οξείας

γωνίας του;

σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζουμε σαν εφαπτομένη μιας οξείας

γωνίας του ω το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την

προσκείμενη κάθετη πλευρά δηλ. εφω = πλευρά κάθετηηπροσκείμεν

πλευράάθετηαπέναντι κ

2. Τι ονομάζουμε κλίση δρόμου;

κλίση δρόμου είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει ο δρόμος

με τον ορίζοντα.

3. Ποια είναι η σχέση της κλίσης της ευθείας με την

εφαπτομένη;

Η κλίση α της ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας

ω, που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ΄χ΄.

Απ

ένα

ντι

κά

θετ

η π

λευ

ρά

Προσκείμενη

καθετη πλευρά

ω

Α Β

Γ

Απέναντι κάθετη πλευρά Π

ρο

σκ

είμ

ενη

κ

αθετ

η

πλευ

ρά

ω

Α Β

Γ


62

4. Πως μεταβάλλεται η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε σχέση με

το μέγεθός της;

Όταν αυξάνεται μία οξεία γωνία αυξάνεται και η εφαπτομένη της.

5. Τι ονομάζουμε ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζουμε σαν ημω το λόγο της απέναντι

κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα δηλ.

αυποτείνουσ

πλευραάθετηαπεναντι κημω .

6. Τι ονομάζουμε συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζουμε συνω το λόγο της προσκείμενης

κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα δηλ.

αυποτείνουσ

πλευρά κάθετηηπροσκείμενσυνω

7. Πώς μεταβάλλεται το ημίτονο μιας οξείας γωνίας σε σχέση με το

μέγεθός της;

όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία αυξάνεται και το ημίτονό της

8. Πώς μεταβάλλεται το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας σε σχέση με

το μέγεθός της;

ενώ όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία ελαττώνεται το συνημίτονό της.

9. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα τότε είναι ίσες Σ Λ.

10. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα τότε είναι ίσες Σ Λ.

11. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα εφαπτομένες τότε είναι ίσες Σ Λ.

12. ποιοι περιορισμοί ισχύουν για το ημίτονο και το συνημίτονο μιας

οξείας γωνίας

Επειδή η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου

τριγώνου για το ημίτονο και το συνημίτονο ισχύει 0<ημω<1 0<συνω<1.


63

13. Τι ονομάζουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας;

Το ημίτονο το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας

ονομάζονται τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας.

14. Να αναφέρεται τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 30ο,

45ο και 60ο.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 300, 450 και 600 είναι :

30ο 45ο 60ο

ημίτονο 2

1

2

2

2

3

συνημίτονο 2

3

2

2

2

1

εφαπτομένη 3

3 1 3


64

ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε το ημω, συνω και εφω στα παρακάτω σχήματα

2. υπολογίστε την πλευρά ΑΒ στα παρακάτω σχήματα

3. Να υπολογίσετε την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου

4. Να υπολογίσετε τις άγνωστες πλευρές των παρακάτω ορθογωνίων

τριγώνων.

3cm

4cm

5cm

ω

Α Β

Γ

Α Β

Γ

6cm

8cm

10cm ω

3cm

χ

30

Α Β

Γ

χ

10cm

30

Α Β

Γ

Α Β

Γ

χ

12cm 60

10cm

χ

30

Α Β

Γ

χ

8cm

45

Α Β

Γ

y χ

8cm

45

Α Β

Γ

χ

ψ

10cm

30

Α Β

Γ


65

5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90ο είναι ΑΒ=5cm και εφΒ=2.Να

βρείτε την πλευρά ΑΓ.

6. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ=3ΒΓ.Να βρείτε

τις εφαπτομένες των γωνιών τις οποίες σχηματίζει η διαγώνιος ΑΓ με

τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ.

7. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ύψος ΔΕ=10cm και εφΑ=2.Αν η

μεγάλη βάση ΑΒ είναι διπλάσια από τη μικρή βάση ΔΓ να υπολογίσετε

το εμβαδόν.

8. ‘Ενα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει πλευρές ΑΒ=12cm και ΒΓ=16cm.Να βρείτε

όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούςτων γωνιών τις οποίες

σχηματίζει μία διαγώνιος με όλες τις πλευρές του.

9. ’Εστω ω μία οξεία γωνία.Να αποδείξετε τις ανισότητες:

α) -6+6ημω<0 β)3+7ημω<10 γ)1-4συνω>-3 δ)5+10συνω>5


66

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 1. Πότε μια γωνία λέγετε επίκεντρη;

Μια γωνία λέγεται επίκεντρη οταν έχει την κορυφή της στο κέντρο του

κύκλου (Ο, ρ)

πχ. Η γωνία χοψ

O

Ρ

Ψ

X

2. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη;

Μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη όταν έχει την κορυφή της στον κύκλο

και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο αυτό.

πχ. Η γωνία

λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο,ρ).

Α

B

ΓΨ

X

3. Ποια είναι η σχέση της εγγεγραμμένης και της επίκεντρης που

βαίνουν στο ίδιο τόξο;


67

Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που

έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο φ =2

O

Ω

Φ

4. Ποια είναι η σχέση της εγγεγραμμένης και του τόξου στο οποίο

βαίνει;

Η εγγεγραμμένη γωνία σε μοίρες είναι ίση με το μισό του αντίστοιχου

τόξου της.

5. Τι γνωρίζετε για την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο;

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

6. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό;

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες

και όλες τις γωνίες του ίσες.

7. Τι ονομάζεται κεντρική γωνία του κανονικού πολυγώνου και με τι

είναι ίση;

κεντρική γωνία ενός πολυγώνου ονομάζουμε την επικεντρη γωνία του

κύκλου και πλευρές τις ακτίνες που καταλήγουν σε δύο διαδοχικές

κορυφές του πολυγώνου. Είναι ίση με

=

0360.

Α

Β

Γ

Δ

Ε

Ζ

ωΡ

O


68

8. Ποιος τύπος μας δίνει το μήκος και ποιος το εμβαδόν του κύκλου;

Αν ρ είναι η ακτίνα ενός κύκλου Γ το μήκος του και Ε το εμβαδόν του

τότε Γ = 2πρ Ε = πρ2 όπου π είναι ένας άρρητος αριθμός π3,14

9. Ποιος τύπος μας δίνει το μήκος ενός τόξου μ- μοιρών;

Το μήκος S τόξου μο κύκλου ακτίνας ρ είναι : S = 180

10. Τι είναι το ακτίνιο;

Αν σε κύκλο (Ο, ρ) χρησιμοποιήσουμε ως μονάδα μέτρησης τόξων

εκείνο το τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ, τότε η μονάδα αυτή

λέγεται ακτίνιο ή rad.

11. Ποια η σχέση μοιρών και ακτινίων;

Αν έχουμε ένα τόξο που είναι μο και συγχρόνως α rad τότε θα είναι:

180

=

12. Ποιο το εμβαδόν κυκλικού τομέα μ- μοιρών;

Το εμβαδόν Ε κυκλικού τομέα γωνίας μο κύκλου ακτίνας ρ είναι

Ε= 360

2.


69

ασκησεις

1. Σε κύκλο O,ρ έχουμε τα τόξα oAB 80 και

οΑΓ 120 όπως στο σχήμα. Να βρεθούν οι

γωνίες του τριγώνου.

2. Θεωρούμε τον κύκλο O,ρ και την διάμετρο ΒΓ

αυτού. Το σημείο Α είναι στον κύκλο. Αν το

τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισόπλευρο, να βρεθούν οι

γωνίες φ, θ, ω και κ.

3. Στον κύκλο O,ρ έχουμε τις κάθετες χορδές

ΑΒ και ΓΔ, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ε. Αν

η εγγεγραμμένη γωνία ΓΑΒ είναι o30 να

βρεθούν οι γωνίες ω, φ που είναι σημειωμένες

στο σχήμα.


70

4. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχει τις

κορυφές του στον κύκλο O,ρ . Το

σημείο Ε είναι το μέσον του τόξου ΒΓ. Να

βρεθεί το μέτρο της εγγεγραμμένης

γωνίας ΒΕΓ.

5. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει τις κορυφές

του στον κύκλο O,ρ . Αν είναι δεδομένα

ότι: οΑΔ 60 , oAB 80 και οΑΔΓ 110 .

Να υπολογιστούν τα μέτρα των γωνιών ω, φ

που είναι σημειωμένες στο σχήμα.

6. Στον κύκλο O,ρ θεωρούμε τις χορδές

ΑΒ και ΓΔ, οι οποίες τέμνονται στο Ε. Αν

είναι γνωστό ότι: οΑΓ 40 και οΒΔ 80

να υπολογιστούν οι γωνίες ω, φ που

είναι σημειωμένες στο σχήμα.

7. Στο ημικύκλιο του σχήματος που έχει

διάμετρο ΑΒ και κέντρο Ο, ισχύουν: AB 10

και ΑΟΓ 2ΓΟΒ . Να βρεθούν οι πλευρές και

οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

9.Στον κύκλο του σχήματος

ι) Να υπολογίσετε τα τόξα

,

και


71

ιι) Να εξηγήσετε γιατί

=

7x + 150

4x + 3006x

600

ΑΒ

ΓΔ

10. Σε ένα κύκλο (Ο, ρ) να πάρετε τα διαδοχικά τόξα ΑΒ = 350, ΒΓ = 1200

και ΓΔ = 1150. Να εξηγήσετε γιατί οι ακτίνες ΟΑ και ΟΔ είναι

κάθετες.

11. Ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΑΟΒ να το χωρίσετε σε τέσσερα τόξα,

,

,

και

ώστε να είναι

=

και

=

. Να υπολογίσετε

την γωνία

.

12. Στο διπλανό σχήμα, αν είναι

= 1360, να βρείτε τις γωνίες

και

.

Α

Β

Γ

Δ

Κ

13. Στο διπλανό σχήμα, αν είναι

= 460 και

= 280, να βρεθεί η γωνία

φ.

Α

Β

Γ

Δ

ΚΟ

φ


72

14. Σε κύκλο (Ο, ρ) να πάρετε μια διάμετρο ΑΓ και μια χορδή ΒΔ. Αν είναι

= 250 να υπολογίσετε την γωνία

.

15. Στο διπλανό σχήμα, ΑΒ είναι διάμετρος, ΑΔ εφαπτομένη του κύκλου

στο σημείο Α και

= 800. Να υπολογίσετε τη γωνία

.

A Β

ΓΔ

16. Να υπολογίσετε κάθε μία από τις γωνίες ενός κανονικού πενταγώνου.

17. Ένα κανονικό πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ). Αν η

πλευρά του είναι 6cm να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του

περιγεγραμμένου του κύκλου.

18. Ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 10cm

και έχει απόστημα 5 3 cm. Να βρείτε την πλευρά και την περίμετρο

του πολυγώνου.

19. Να γράψετε ένα κανονικό πεντάγωνο και δικαιολογήστε ότι κάθε

διαγώνιός του είναι παράλληλη σε μια πλευρά του.

20. Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έκαναν 5.000 στροφές. Αν έχουν διάμετρο

60 cm να βρείτε πόσο διάστημα κάλυψαν.

21. Σε έναν κύκλο που έχει μήκος 188,4 cm να υπολογίσετε το μήκος

τόξου 300.

22. Σε κύκλο (Ο, ρ) το μήκος ενός τόξου 600 είναι 12,56 cm. Να

υπολογίσετε την περίμετρο του κύκλου.

23. Να υπολογίσετε την περίμετρο των παρακάτω γραμμοσκιασμένων

επιφανειών. Οι αριθμοί εκφράζουν τα μήκη των αντίστοιχων τμημάτων


73

σε cm.

2 24

4

24. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 314 cm2. Να βρείτε το μήκος του.

25. Ένας κύκλος (Ο, ρ) έχει διάμετρο 10cm. Να βρείτε την ακτίνα του

κύκλου που έχει τετραπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο (Ο, ρ).

26. Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα 450 είναι 78,5 cm2. Να βρείτε τη

διάμετρο του κύκλου στον οποίο ανήκει ο κυκλικός τομέας.

27. Ένας κυκλικός τομέας έχει εμβαδόν 25,34 cm2. Αν η ακτίνα του

κύκλου είναι 10cm να βρείτε πόσες μοίρες είναι ο κυκλικός τομέας.

28. Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας του

παρακάτω σχήματος. Είναι ΑΒ = 30 cm.

Α

Β Γ

Δ


74

fylladio 1

Documents

Transcript of fylladio 1