;funzione costo di produzione: ((( ))) - MATHMIX · Prof. I. Savoia PROBLEMI DI SCELTA IN UNA...

Prof. I. Savoia PROBLEMI DI SCELTA IN UNA VARIABILE

Bologna, aprile 2012P.P.P.P. 1111

1111 OTTIMIZZAZIONEOTTIMIZZAZIONEOTTIMIZZAZIONEOTTIMIZZAZIONE DELDELDELDEL PROFITTOPROFITTOPROFITTOPROFITTO

1111]]]] Il costo fisso di un processo produttivo ammonta a 2500 €, mentre il ricavo e

il costo per unità prodotta sono rispettivamente 2 € e 1 €. Sapendo che lacapacità produttiva massima è di 5500 unità, determinare:A) il Brak-even point; B) il guadagno per 2.500 unità ; C) il massimo guadagno.

A) Break-even point. xxxx variabile produzione con vincolo tecnico 5500550055005500≤≤≤≤xxxx

Funzione ricavo: (((( )))) xxxxxxxxRRRR ⋅⋅⋅⋅====2222 ; funzione costo di produzione: (((( )))) xxxxxxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++==== 11112500250025002500 .

Break-even point (pareggio) (((( )))) (((( )))) 2500250025002500 25002500250025002222 ====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒==== xxxxxxxxxxxxxxxxCCCCxxxxRRRR unità.

Diagramma di redditività

1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000 6000600060006000-1000-1000-1000-1000

100010001000100020002000200020003000300030003000400040004000400050005000500050006000600060006000700070007000700080008000800080009000900090009000

100001000010000100001100011000110001100012000120001200012000

QuantitàQuantitàQuantitàQuantità

EuroEuroEuroEuro

C(x)C(x)C(x)C(x)

Break-even pointBreak-even pointBreak-even pointBreak-even pointxxxx0000=2500=2500=2500=2500

UtiliUtiliUtiliUtiliPerditePerditePerditePerdite

XXXXM A XM A XM A XM A X=5500=5500=5500=5500

R(x)R(x)R(x)R(x)

B) Funzione guadagno: (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 250025002500250025002500250025002222 −−−−====−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−==== xxxxxxxxxxxxxxxxGGGGxxxxCCCCxxxxRRRRxxxxGGGG ;

(((( )))) 0000250025002500250025002500250025002500250025002500 ====−−−−====GGGG €€€€ .... C)C)C)C) (((( )))) 300030003000300025002500250025005500550055005500 ====−−−−======== maxmaxmaxmaxMAXMAXMAXMAX xxxxGGGGGGGG €€€€ ....

Diagramma del guadagno

1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000 6000600060006000

-3000-3000-3000-3000

-2000-2000-2000-2000

-1000-1000-1000-1000

1000100010001000

2000200020002000

3000300030003000


EuroEuroEuroEuro

PPPP

U tiliU tiliU tiliU tiliP erditeP erditeP erditeP erdite

XXXXM A XM A XM A XM A X=5500=5500=5500=5500

GGGGMAXMAXMAXMAX=3000 =3000 =3000 =3000 €


G(x)G(x)G(x)G(x)



2222]]]] Una impresa produce lubrificanti per ingranaggi supportando un costo

variabile unitario di 0,14 € /litro e costi fissi complessivi di 1.050 €. Sapendo chela capacità produttiva massima è pari a 42.800 litri e che il ricavo unitario è di0,20 €, determinare la quantità da produrre e vendere per non andare in perditaed il massimo guadagno.

Variabile [[[[ ]]]]litrilitrilitrilitrixxxx quantità di produzione. Vincolo tecnico 42800428004280042800≤≤≤≤xxxx litri.litri.litri.litri.

Funzione ricavo (((( )))) xxxx....xxxxRRRR ⋅⋅⋅⋅==== 202020200000 €€€€ . Funzione costo (((( )))) xxxx....xxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++==== 1414141400001050105010501050 .

(((( )))) (((( )))) 8560856085608560428004280042800428002222000042800428004280042800 , , , ,00000000 ====××××======== ....RRRRRRRR €€€€ ;;;;

(((( )))) 10501050105010500000 ====CCCC €€€€ ;;;; (((( )))) 704270427042704242800428004280042800141414140000105010501050105042800428004280042800 ====××××++++==== ....CCCC €€€€ ....

Funzione guadagno (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxCCCCxxxxRRRRxxxxGGGG −−−−==== ----

(((( )))) 10501050105010500606060600001050105010501050141414140000202020200000 −−−−====−−−−−−−−==== xxxx....xxxx....xxxx....xxxxGGGG ;;;;

(((( )))) (((( )))) 15181518151815181050105010501050428004280042800428000606060600004280042800428004280010501050105010500000 ====−−−−××××====−−−−==== ....GGGGGGGG ; €€€€


10000100001000010000 20000200002000020000 30000300003000030000 40000400004000040000-1000-1000-1000-1000

1000100010001000

20002000200020003000300030003000

4000400040004000

50005000500050006000600060006000

7000700070007000

80008000800080009000900090009000

LitriLitriLitriLitri

EuroEuroEuroEuro

xxxxmmmmaaaaxxxx====44442222888800000000


PerditePerditePerditePerdite UtiliUtiliUtiliUtili

R (x)R (x)R (x)R (x)

C(x)C(x)C(x)C(x)


10000100001000010000 20000200002000020000 30000300003000030000 40000400004000040000

-1000-1000-1000-1000

-500-500-500-500

500500500500

1000100010001000

1500150015001500

LitriLitriLitriLitri

EuroEuroEuroEuro

xxxxmmmmaaaaxxxx====44442222888800000000

GGGGm axm axm axm ax=1518 =1518 =1518 =1518 €

Area diArea diArea diArea di perdita perdita perdita perdita

Area diArea diArea diArea diguadagnoguadagnoguadagnoguadagno


G( x)G( x)G( x)G( x)



3333]]]] Una impresa produce un bene sostenendo dei costi annui di produzione

espressi dalla funzione (((( )))) xxxxxxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++==== 303030305000500050005000 , con xxxx quantità prodotta.

Il prezzo di vendita dipende dalla legge di mercato (((( )))) xxxx....xxxxpppp ⋅⋅⋅⋅−−−−==== 1111000080808080 .

Determinare:a) la produzione che assicura il massimo guadagno;b) il punto di pareggio , gli intervalli di perdita e di guadagno .

Funzione ricavo:

(((( ))))8008008008001111000080808080

0000000011110000808080801111000080808080

2222

11112222========

====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====

....xxxxxxxx

xxxx....xxxxRRRRxxxxxxxx....RRRRxxxxppppRRRR

Produzione di massimo ricavo: 40040040040022228008008008000000

====++++

====MMMMxxxx ;

Massimo ricavo: (((( )))) 16000160001600016000400400400400404040404004004004004004004004001111000080808080 ====××××====××××××××−−−−==== ....RRRRMAXMAXMAXMAX €

Funzione costo:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 29000290002900029000800800800800303030305000500050005000800800800800CCCC 50005000500050000000303030305000500050005000 ====××××++++========⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅++++==== ,,,,CCCCxxxxxxxxCCCC €

Funzione guadagno:

500050005000500050505050111100003030303050005000500050001111000080808080 22222222 −−−−++++−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−==== xxxxxxxx....GGGGxxxxxxxx....xxxxGGGGCCCCRRRRGGGG

Punti di pareggio:

(((( ))))(((( ))))(((( )))) 80808080361361361361

20202020138138138138111100002222

5000500050005000111100004444505050505050505000005000500050005000505050501111000000002222

11112222

2222

,,,,xxxx....xxxx

........xxxxxxxxxxxx....GGGG

========

====−−−−

−−−−−−−−−−−−±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒====

il punto di pareggio (minima produzione) si ha in 20202020138138138138....xxxx ==== .

Produzione di massimo guadagno: 2502502502502222

8080808036136136136120202020138138138138====

++++====

........xxxxGMAXGMAXGMAXGMAX ;

Massimo guadagno: 125012501250125050005000500050002502502502505050505025025025025011110000 2222 ====−−−−××××++++××××−−−−==== ....GGGGMAXMAXMAXMAX € .



________________________ ______________________________ __________________________

RichiamiRichiamiRichiamiRichiami sullasullasullasulla parabola:parabola:parabola:parabola: ricordiamo che la parabola è una curva nel piano

cartesiano espressa dalla funzione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 . Essa presenta la

concavità verso l'alto se 0000>>>>aaaa oppure verso il basso se 0000<<<<aaaa . I punti daprendere in considerazione per il suo disegno sono, in genere, le eventualiintersezioni con l'asse X ottenuti risolvendo l'equazione di secondo grado

0000 , , , ,4444 , , , ,xxxxxxxx

2222 0000 2222

2222

11114444bbbb

22222222

≥≥≥≥∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆====⋅⋅⋅⋅

∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆

ccccaaaabbbbaaaa

bbbbxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaaccccaaaa

.

Il punto di vertice VVVV (un minimo per 0000>>>>aaaa o un massimo per 0000<<<<aaaa ) ha

coordinate ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆

−−−−−−−−aaaa

;;;;aaaa

bbbbVVVV44442222

e, nel caso 0000>>>>∆∆∆∆ , esso si trova nel mezzo delle due

intersezioni con l'asse X:2222

22221111 xxxxxxxxxxxxVVVV++++

==== .

Infine l 'intersezione con l'asse Y , che si ottiene ponendo 0000====xxxx , è in (((( ))))cccc 0000;;;;CCCC .

________________________ ______________________________ __________________________


100100100100 200200200200 300300300300 400400400400 500500500500 600600600600 700700700700 800800800800 900900900900

5000500050005000

10000100001000010000

15000150001500015000

20000200002000020000

25000250002500025000


EuroEuroEuroEuro

U tiliU tiliU tiliU tili

R ( x)R ( x)R ( x)R ( x)

C( x)C( x)C( x)C( x)


100100100100 200200200200 300300300300 400400400400 500500500500 600600600600 700700700700 800800800800 900900900900

-4000-4000-4000-4000

-3000-3000-3000-3000

-2000-2000-2000-2000

-1000-1000-1000-1000

1000100010001000

2000200020002000

3000300030003000

4000400040004000


EuroEuroEuroEuro

U tiliU tiliU tiliU tili

R ( x)R ( x)R ( x)R ( x)

C( x)C( x)C( x)C( x)

V ( 250; 1250)V ( 250; 1250)V ( 250; 1250)V ( 250; 1250)



4444]]]] La produzione mensile di una industria si caratterizza con i seguenti dati:

- Funzione costo di produzione (((( )))) 2222010101010000252525252000200020002000 xxxx....xxxxxxxxCCCC ++++++++==== ; xxxx var. quantità .

(((( )))) 20002000200020000000 ====CCCC (costo fisso) ;

(((( )))) 00000000000037373737100010001000100001010101000010001000100010002525252520002000200020001000100010001000 2222 ........CCCC ====××××++++××××++++==== € .

- Prezzo unitario di vendita (((( )))) 45454545====xxxxpppp € .

Si determini: a) massimo profitto mensile ; b) minima quantità per non perdere.

Funzione ricavo: (((( )))) xxxxxxxxRRRR ⋅⋅⋅⋅==== 45454545 ;

Funzione profitto:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 20002000200020002020202001010101000001010101000025252525200020002000200045454545 22222222 −−−−++++−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−==== xxxxxxxx....xxxxGGGGxxxx....xxxxxxxxxxxxCCCCxxxxRRRRxxxxGGGG

Massimo profitto:

(((( )))) 10001000100010000101010100002222

20202020====

−−−−−−−−====

....xxxxMMMM ; 800080008000800020002000200020001000100010001000202020201000100010001000010101010000 2222 ====−−−−××××++++××××−−−−==== ....GGGGMAXMAXMAXMAX €

Intervallo di produzione degli utili:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 434343431894189418941894

575757571051051051050101010100002222

200020002000200001010101000044442020202020202020000020002000200020002020202001010101000000002222

11112222

2222

,,,,xxxx,,,,xxxx

........xxxxxxxxxxxx....xxxxGGGG

========

====−−−−××××

−−−−××××−−−−××××−−−−±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒====

Minima quantità da produrre: 57575757105105105105,,,,xxxx ==== ; utili per 43434343189418941894189457575757105105105105 ,,,,xxxx,,,, <<<<<<<< .Notiamo come il punto di guadagno massimo si possa anche ottenere come

media dei due estremi dell'intervallo degli utili: 10001000100010002222

43434343189418941894189457575757105105105105====

++++====

,,,,,,,,xxxxMMMM

I punti 575757571051051051051111 ,,,,xxxx ==== e 4343434318941894189418942222 ,,,,xxxx ==== sono di pareggio: (((( )))) (((( ))))2222111122221111 ,,,,,,,, xxxxCCCCxxxxRRRR ==== ;

I rivavi nei due punti di pareggio, uguali ai costi di produzione sostenuti, sono:

(((( )))) 35353535474447444744474457575757105105105105454545451111 ,,,,,,,,xxxxRRRR ====××××==== € e (((( )))) 3535353585249852498524985249434343431894189418941894454545452222 ,,,,,,,,xxxxRRRR ====××××==== € .


500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000

10000100001000010000

20000200002000020000

30000300003000030000

40000400004000040000

50000500005000050000

60000600006000060000

70000700007000070000

80000800008000080000

90000900009000090000


EuroEuroEuroEuro

R(x)R(x)R(x)R(x)

C(x)C(x)C(x)C(x)

intervallo degli utiliintervallo degli utiliintervallo degli utiliintervallo degli utili

Diagramma del profitto

-2000-2000-2000-2000-1000-1000-1000-1000

100010001000100020002000200020003000300030003000400040004000400050005000500050006000600060006000700070007000700080008000800080009000900090009000

1000010000100001000011000110001100011000


EuroEuroEuroEuro

xxxx1111 xxxx2222

GGGGMAXMAXMAXMAX

intervallo degli utiliintervallo degli utiliintervallo degli utiliintervallo degli utili



2222 OTTIMIZZAZIONEOTTIMIZZAZIONEOTTIMIZZAZIONEOTTIMIZZAZIONE NELNELNELNEL CASOCASOCASOCASO DISCRETODISCRETODISCRETODISCRETO

Quando la variabile non riguarda una grandezza continua ma, invece, si tratta diuna discreta (cioè assume solo un numero finito di valori), il grafico della

funzione (((( ))))xxxxFFFF da ottimizzare (che esiste quando si può desumere dai dati, ad

esempio un guadagno) è costituito, in realtà, non da una linea continua ma da uninsieme di punti, tanti quanti sono i dati.SeSeSeSe iiii datidatidatidati sonosonosonosono pocopocopocopoco numerosinumerosinumerosinumerosi sisisisi pupupupuòòòò usareusareusareusare l'analisianalisianalisianalisi marginalemarginalemarginalemarginale che consiste nelrealizzare una tabella di valori per esaminare le variazioni dei valori dellafunzione: per esempio, se si cerca un punto di massimo, occorre considerare le

variazioni dei valori della funzione, (((( )))) (((( )))) (((( ))))nnnnFFFFnnnnFFFFnnnnFFFF −−−−++++====∆∆∆∆ 1111 , quando la

variabile indipendente (con xxxx si denota in genere una grandezza continua e connnnn una grandezza discreta) si incrementa tra un punto ( nnnn) ed il successivo( 1111++++nnnn ) di una serie di dati.Quando queste variazioni cambiano di segno, passando da positive a negative, sidetermina il punto di massimo e, viceversa, quando passano da negative apositive si stabilisce il minimo della funzione.

QuandoQuandoQuandoQuando iiii datidatidatidati sonosonosonosono numerosinumerosinumerosinumerosi èèèè pipipipiùùùù opportunoopportunoopportunoopportuno ricorrerericorrerericorrerericorrere all'artificioall'artificioall'artificioall'artificio didididiconsiderareconsiderareconsiderareconsiderare lalalala variabilevariabilevariabilevariabile comecomecomecome grandezzagrandezzagrandezzagrandezza continuacontinuacontinuacontinua e determinare il punto diottimo con le tecniche ordinarie (ad esempio considerando il vertice dellaparabola se si tratta di un funzione quadratica) e, ottenendo in genere un valoredecimale per la xxxx , si tratta di approssimare quel valore all'intero più vicino per

eccesso o per difetto a seconda dei valori corrispondenti assunti dalla (((( ))))xxxxFFFF .

5555]]]] Per il lancio di un nuovo prodotto in un centro commerciale una impresa

utilizza una promozione che dura una settimana e che prevede i seguenti costi:Spese fisse 5000 € ; spese variabili di due valori: 125 € per ogni giorno se i giornisono al massimo 3 e 100 € se il loro numero supera 3 . Le stime dei ricavidurante le giornate di promozione sono illustrate dalla seguente tabella di valori:

Giorni 1 2 3 4 5 6 7Ricavi € 6.000 9.000 11.000 12.000 12.500 12.500 12.500

Determinare il numero di giorni che garantisce il massimo profitto e tale somma.

In questo tipo di problema, dai dati in possesso (non molto numerosi) non siricava una espressione matematica di funzione ma si è in grado ugualmente distabilire il punto di ottimo per mezzo del completamento della tabella inizialecon l'aggiunta delle due ulteriori righe, rispettivamnte dei costi e dei guadagni.



La funzione dei costi, segundo il testo del problema, è in relazione con la variabile

discreta del numero di giorni nnnn: (((( ))))⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

≤≤≤≤<<<<⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅++++

====77774444100100100100000000000000555533331251251251250000000000005555

nnnnnnnn....nnnnnnnn....

nnnnCCCC ,

,.

Calcoliamo i costi nella seconda riga della tabella e aggiungiamo la quarta rigarelativa ai profitti ottenuti come differenze fra i ricavi ed i costi:

Giorni (n)n)n)n) 1 2 3 4 5555 6 7Ricavi R(n)R(n)R(n)R(n) €€€€ 6.000 9.000 11.000 12.000 12.5012.5012.5012.50

000012.500 12.500

Costi C(n)C(n)C(n)C(n) €€€€ 5.125 5.250 5.375 5.400 5.5005.5005.5005.500 5.600 5.700Profitti G(n)G(n)G(n)G(n) €€€€ 875 3.750 5.625 6.500 7.0007.0007.0007.000 6.900 6.800

Come si vede i profitti salgono fino alla 5 giornata e poi ridiscendono per cui il

punto di ottimo è per 5555====nnnn giorni con un guadagno pari a (((( )))) 00000000000077775555 ....GGGG ==== €€€€ ....

6666]]]] Una azienda produce e vende dei prodotti in lotti di 5.000 pezzi ciascuno,

sostenendo le seguenti spese giornaliere:- costi fissi :120 € ; - costi variabili: 0.001 € per pezzo.I limiti di produzione sono 20.000 (MIN) e 50.000 (MAX).Il prezzo di vendita dei singoli pezzi dipende dal numero di lotti venduti:

nnnn 4 5 6 7 8 9 10pppp [[[[€€€€]]]] 0,007 0,006 0,0055 0,005 0,004 0,0035 0,003

Determinare il numero di più conveniente di lotti da produrre ed il relativovalore del guadagno.

Essendo i prezzi riferiti ai singoli pezzi e, tenuto conto che ogni lotto contiene

5.000 pezzi, la funzione ricavo è data dall'espressione (((( )))) (((( )))) nnnnppppnnnnPPPPnnnnRRRR ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== 5000500050005000

La funzione costo giornaliero di produzione dipende dalla variabile numero deilotti in questo modo:

(((( )))) nnnnnnnn....nnnnCCCC ⋅⋅⋅⋅++++====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==== 555512012012012050005000500050000010010010010000120120120120 con il vincolo tecnico dei limiti di

produzione 101010104444 ≤≤≤≤≤≤≤≤ nnnn .

Aggiungiamo tre ulteriori righe alla tabella del testo: i ricavi, i costi e i guadagniche sono ottenuti per differenza fra ricavi e costi al variare di nnnn .



nnnn 4 5 6 7 8 9 10pppp [[[[€€€€]]]] 0,007 0,006 0,0055 0,005 0,004 0,0035 0,003R(n)R(n)R(n)R(n) 140 150 165 175 160 157,50 150CCCC(n)(n)(n)(n) 140 145 150 155 160 165 170G(n)G(n)G(n)G(n) 0 +5 +15 +20 0 -2,50 -20

Dall'ultima riga si determina il massimo profitto di 20202020 €€€€ per 7777====nnnn lotti prodotti.

Se i prezzi di vendita hanno un andamento diverso, come quelli che seguono,con lo stesso metodo otteniamo soluzioni diverse:

nnnn 4 5 6 7 8 9 10pppp [[[[€€€€]]]] 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002

Costruiamo una nuova tabella di valori con valori ricalcolati in base ai nuovi dati:

nnnn 4 5 6 7 8 9 10pppp [[[[€€€€]]]] 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002R(n)R(n)R(n)R(n) 160 175 180 175 160 135 100CCCC(n)(n)(n)(n) 140 145 150 155 160 165 170G(n)G(n)G(n)G(n) +20 +30 +30 +20 0 -10 -70

Osservando l'ultima riga notiamo che, in questo caso, conviene produrre 5555====nnnnoppure 6666====nnnn lotti per avere lo stesso guadagno massimo giornaliero di 30303030 €€€€ .

7777]]]] Una fabbrica che produce e vende contenitori speciali a 115 € al pezzo

sostiene costi fissi mensili di 3.000 € e costi variabili ripartiti in:Costi di vendita del 2% del quadrato del numero di elementi vendutiCosti di produzione: 60€ per ogni pezzo prodotto.Determinare:A) il grafico e la minima produzione che evita di andare in perdita;B) la produzione che permette il massimo guadagno ed il relativo valore.

In questo problema possiamo assimilare la quantità prodotta come unagrandezza continua da cui dipendono le funzioni economiche.

Funzione ricavo: (((( )))) xxxxxxxxRRRR ⋅⋅⋅⋅====115115115115 [€] .

Funzione costo: (((( )))) 2222020202020000606060600000000000003333 xxxx....xxxx....xxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++==== [€]



Funzione guadagno. (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxCCCCxxxxRRRRxxxxGGGG −−−−==== . (((( )))) 300030003000300055555555020202020000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....xxxxGGGG €

PuntiPuntiPuntiPunti didididi pareggiopareggiopareggiopareggio: (((( )))) (((( )))) (((( )))) 00000000000000003333555555550202020200000000 2222 ====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====⇔⇔⇔⇔==== ....xxxxxxxx....xxxxGGGGxxxxCCCCxxxxRRRR

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 26942694269426943253253253252694269426942694

565656566767676755555555040404040000278527852785278555555555

0202020200002222300030003000300002020202000044445555555555555555

2222

11112222

⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈

====±±±±

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−±±±±−−−−====

....xxxx....xxxx

............xxxx

Notiamo qui come i due valori vengano arrotondati agli interi più vicini.I ricavi nei punti di pareggio, uguali ai costi sostenuti, valgono:

6440644064406440565656561151151151151111 ====××××====RRRR €€€€ e 81081081081030930930930926942694269426941151151151152222 ....RRRR ====××××==== €€€€....

La produzioneproduzioneproduzioneproduzione deldeldeldel massimomassimomassimomassimo utileutileutileutile si può ottenere in due modi, considerandoche la funzione guadagno è di tipo quadratico:

- come media aritmetica dei punti di pareggio 13751375137513752222269426942694269456565656

222222221111

0000 ====++++

====++++

====xxxxxxxxxxxx ;

-come ascissa del vertice della parabola (((( )))) 13751375137513750202020200002222

5555555522220000 ====

−−−−−−−−====−−−−====

....aaaabbbbxxxx .

Il massimomassimomassimomassimo utileutileutileutile vale 505050508128128128123434343430003000300030001375137513751375555555551375137513751375020202020000 2222 ,,,,........GGGGMAXMAXMAXMAX ====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== €

500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500 3000300030003000

50000500005000050000

100000100000100000100000

150000150000150000150000

200000200000200000200000

250000250000250000250000

300000300000300000300000

ProduzioneProduzioneProduzioneProduzione

EuroEuroEuroEuro

xxxx1111 xxxx2222

R(R(R(R(xxxx))))

C(C(C(C(xxxx))))

Diagramma costi-ricaviDiagramma costi-ricaviDiagramma costi-ricaviDiagramma costi-ricavi

Intervallo degli utiliIntervallo degli utiliIntervallo degli utiliIntervallo degli utili

500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500 3000300030003000

5000500050005000

10000100001000010000

15000150001500015000

20000200002000020000

25000250002500025000

30000300003000030000

35000350003500035000

40000400004000040000

ProduzioneProduzioneProduzioneProduzione

EuroEuroEuroEuro

xxxx1111 xxxx2222

Diagramma costi-ricaviDiagramma costi-ricaviDiagramma costi-ricaviDiagramma costi-ricavi

GGGGMAXMAXMAXMAX=34812,50 =34812,50 =34812,50 =34812,50 €


Diagramma del guadagnoDiagramma del guadagnoDiagramma del guadagnoDiagramma del guadagno

8888]]]] Una industria, che produce calzature fino ad un massimo di 1500 paia almese, sostiene costi unitari (costo per unità ) che dipendono dalla quantità

prodotta xxxx nel seguente modo: (((( )))) 303030300030030030030000 ++++==== xxxx,,,,xxxxCCCCuuuu . Il ricavo unitario

(prezzo) è pure funzione della quantità: (((( )))) xxxx,,,,xxxxRRRRuuuu 005005005005000071717171−−−−==== . Determinare:

A) la quantità da produrre per realizzare il massimo guadagno;B) il punto di pareggio e l'intervallo di produttività degli utili.



In questo problema, è opportuno assimilare la variabile discreta delllaproduzione a grandezza continua in modo da ricavare i valori richiesti dallefunzioni economiche costi, ricavi e guadagno.

VincoloVincoloVincoloVincolo tecnicotecnicotecnicotecnico della produzione 1500150015001500≤≤≤≤xxxx

FunzioneFunzioneFunzioneFunzione costocostocostocosto: (((( )))) (((( )))) xxxxxxxx....xxxxxxxxCCCCxxxxCCCC uuuu ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== 303030300030030030030000 2222 €.

MassimoMassimoMassimoMassimo costocostocostocosto di produzione (((( )))) 75075075075051515151150015001500150030303030150015001500150000300300300300001500150015001500 2222 ........CCCC ====××××++++××××==== €

FunzioneFunzioneFunzioneFunzione ricavoricavoricavoricavo: (((( )))) (((( )))) (((( )))) 2222005005005005000071717171005005005005000071717171 xxxx....xxxxxxxxxxxx,,,,xxxxxxxxRRRRxxxxRRRR uuuu ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅==== €

Prod.MaxProd.MaxProd.MaxProd.Max ricavoricavoricavoricavo: (((( )))) 710071007100710000500500500500002222

717171712222

====−−−−

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxRMAXRMAXRMAXRMAX (viola il vincolo 1500150015001500≤≤≤≤xxxx !)

FunzioneFunzioneFunzioneFunzione guadagnoguadagnoguadagnoguadagno: (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxCCCCxxxxRRRRxxxxGGGG −−−−==== .

(((( )))) (((( )))) xxxxxxxx....xxxxxxxx....xxxxxxxx....xxxx....xxxxxxxxGGGG ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== 008008008008000041414141414141410080080080080000303030300030030030030000005005005005000071717171 222222222222

PuntiPuntiPuntiPunti didididi pareggiopareggiopareggiopareggio:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⇔⇔⇔⇔==== 0000xxxxGGGGxxxxCCCCxxxxRRRR (((( )))) vincolo senza

produzione minima ⇒⇒⇒⇒========

⇒⇒⇒⇒========⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

51255125512551250080080080080000414141410000

00000080080080080000414141412222

1111

....xxxxxxxx

xxxxxxxx....

(((( )))) (((( )))) 8888888854654654654623223223223251255125512551250050050050050000717171715125512551255125 ............RRRR ====××××−−−−====

Il limite teorico di produzione di 51255125512551252222 ====xxxx unità di merce supera il valore

fissato dal vincolo tecnico 1500150015001500≤≤≤≤xxxx per cui, l'intervallo effettivo di produttivitàdegli utili di profitto è 15001500150015000000 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx .Gli altri ricavi necessari per tracciare il grafico in modo opportuno sono:

(((( )))) 05005005005025225225225271007100710071007100710071007100005005005005000071717171 ........RRRRMAXMAXMAXMAX ====××××××××−−−−==== €€€€ (senza vincolo)

(((( )))) 0000000000000080080080080000717171711111 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−==== ....RRRR €€€€ , punto di pareggio.

(((( )))) 250250250250959595951500150015001500555563636363150015001500150015001500150015000050050050050000717171712222 ............RRRR ====××××====××××××××−−−−==== € , (vincolo tecnico).

MassimoMassimoMassimoMassimo guadagnoguadagnoguadagnoguadagno: la quota di produzione che garantisce il massimo utile siricava calcolando l'ascissa del massimo della funzione guadagno (relativa alvertice della parabola associata) e si ottiene un valore superiore al limite

massimo consentito di 1500: 256325632563256355552562256225622562222251255125512551250000

222222221111 ≈≈≈≈====

++++====

++++==== ....xxxxxxxxxxxxGMAXGMAXGMAXGMAX .

In questo caso, tenendo conto del vincolo 15001500150015000000 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx , consideriamo il valore1500150015001500====xxxx proprio quello che garantisce il massimo profitto all'industria:

(((( )))) (((( )))) 43500435004350043500150015001500150029292929150015001500150015001500150015000080080080080000414141411500150015001500 ====××××====××××××××−−−−==== ....GGGG €



In linea teorica, in assenza del vincolo tecnico 1500150015001500≤≤≤≤xxxx , per valutare il profittomassimo per una produzione di 2563256325632563====xxxx unità calcoliamo il valore:

(((( )))) (((( )))) 2525252552231522315223152231256325632563256325632563256325630080080080080000414141412563256325632563 ,,,,....GGGG ====××××××××−−−−==== €

Diagramma costi-ricavi

1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000 6000600060006000 7000700070007000

50000500005000050000

100000100000100000100000

150000150000150000150000

200000200000200000200000

250000250000250000250000

xxxx

€€€€

xxxx1111 xxxx2222

R(x)R(x)R(x)R(x)

C(x)C(x)C(x)C(x)


1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000

10000100001000010000

20000200002000020000

30000300003000030000

40000400004000040000

50000500005000050000

xxxx

€€€€

xxxx1111 xxxx2222

GGGG2222=52.231,25 =52.231,25 =52.231,25 =52.231,25 €

GGGG1111=42.500 =42.500 =42.500 =42.500 €

9999]]]] Mantenendo gli stessi dati del ricavo del problema precedente ma escludendo

la presenza del vincolo (non vi sono limiti alla quantità prodotta) svolgiamo il

calcolo del punto di massimo profitto se la funzione costo è (((( )))) xxxxxxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++==== 252525255000500050005000 .

Funzione guadagno: (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxCCCCxxxxRRRRxxxxGGGG −−−−==== ;

(((( )))) 5000500050005000464646460050050050050000252525255000500050005000005005005005000071717171 22222222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....xxxxxxxx....xxxxxxxxGGGG

PuntiPuntiPuntiPunti didididi pareggiopareggiopareggiopareggio eeee produzioneproduzioneproduzioneproduzione didididi massimomassimomassimomassimo guadagnoguadagnoguadagnoguadagno:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⇔⇔⇔⇔==== 0000xxxxGGGGxxxxCCCCxxxxRRRR

460546054605460522229100910091009100110110110110

9100910091009100110110110110

01010101000099994444444446464646

005005005005000022225000500050005000005005005005000044444646464646464646

2222

11112222

====++++

====⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈≈≈≈≈

====±±±±

====××××

××××××××−−−−±±±±==== MAXMAXMAXMAXxxxx

xxxxxxxx

........

........xxxx

(((( )))) (((( )))) 7507507507507777110110110110252525255000500050005000110110110110110110110110 ....CCCCRRRR ====××××++++======== € punto di minima produzione;

(((( )))) (((( )))) 500500500500232232232232910091009100910025252525500050005000500091009100910091009100910091009100 ....CCCCRRRR ====××××++++======== secondo punto di pareggio.

Guadagno massimo: 800800800800100100100100500050005000500046054605460546054646464646054605460546050050050050050000 2222 ........GGGGMAXMAXMAXMAX ≈≈≈≈−−−−××××++++××××−−−−==== €

Diagramma costi-ricavi

1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000 6000600060006000 7000700070007000 8000800080008000 9000900090009000

50000500005000050000

100000100000100000100000

150000150000150000150000

200000200000200000200000

250000250000250000250000

xxxx

€€€€

xxxx1111 xxxx2222

R(x)R(x)R(x)R(x)

C(x)C(x)C(x)C(x)



1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000 6000600060006000 7000700070007000 8000800080008000 9000900090009000

10000100001000010000

2000020000200002000030000300003000030000

40000400004000040000

5000050000500005000060000600006000060000

7000070000700007000080000800008000080000

90000900009000090000100000100000100000100000

xxxx

€€€€ GGGGMAXMAXMAXMAX=100.800=100.800=100.800=100.800€




3333 FUNZIONEFUNZIONEFUNZIONEFUNZIONE COSTOCOSTOCOSTOCOSTO UNITARIOUNITARIOUNITARIOUNITARIO

Molti problemi di scelta riguardano il costocostocostocosto unitariounitariounitariounitario didididi produzioneproduzioneproduzioneproduzione da rendereminimo: il costo unitario è il costo che l'impresa sostiene per produrre unasingola unità di bene e, in termini matematici, esso si esprime con il rapporto

(((( )))) (((( ))))xxxxxxxxCCCCxxxxyyyy ==== dove xxxx rappresenta la variabile quantità di produzione e (((( ))))xxxxCCCC la

funzione del costo. Se la funzione del costo di produzione (((( ))))xxxxCCCC (somma dei

costi fissi e di quelli variabili) è data da una legge quadratica del tipo

(((( )))) ccccxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxCCCC ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , la funzione costo unitario corrisponde alle seguenti due

espressioni equivalenti fra loro:xxxxccccbbbbxxxxaaaayyyy

xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++++++⋅⋅⋅⋅====⇔⇔⇔⇔

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

2222

Supponendo che i tre coefficienti siano tutti positivi, 0000>>>>aaaa , 0000>>>>bbbb e 0000>>>>cccc , ilgrafico della funzione costo unitario si presenta come mostrano le figure:

FIG. 1 Funzione costo unitario

f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=x+1f(x)=1.5/xf(x)=1.5/xf(x)=1.5/xf(x)=1.5/x

xxxx

yyyy

bbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅====

xxxxccccyyyy ====

xxxxccccbbbbxxxxaaaayyyy ++++++++⋅⋅⋅⋅====

FIG.2 Funzione costo unitario

f(x)=3.4f(x)=3.4f(x)=3.4f(x)=3.4

xxxx

yyyyxxxxccccbbbbxxxxaaaayyyy ++++++++⋅⋅⋅⋅====

0000yyyy

0000xxxxxxxx ====

kkkkyyyy ====

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ ++++bbbbacacacac;;;;aaaacccc 2222HHHH

Il grafico di sopra mostra le proprietà del costo:- la funzione si compone di un termine lineare bbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅ (retta nel grafico di

sinsitra) e di un terminexxxxcccc rappresentato dal ramo di iperbole destro nel primo

quadrante (trattandosi di problemi in contesto economico le due variabili sono

soggette ai vincoli di segno 00000000 >>>>>>>> yyyy,,,,xxxx ).

- la funzione assume valori molto alti in prossimità dell'asse verticale checostituisce un asintoto poichè, dove i valori della xxxx sono prossimi al valore

zero, prevale il termine inverso ( ∞∞∞∞====⇒⇒⇒⇒ xxxx

ccccLimLimLimLimxxxx 0000

) -

- per valori abbastanza lontani dall'origine, dove tende a zero il termine inverso

( 0000====∞∞∞∞⇒⇒⇒⇒ xxxx

ccccLimLimLimLimxxxx

) la funzione si accosta all'asintoto obliquo di equazione bbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== .



- nella zona intermedia del grafico si trova il punto di minimo (((( ))))00000000 yyyy,,,,xxxxHHHH della

funzione che si calcola, oltre che annnullandone la derivata, anche determinando

il punto di tangenza fra la retta di equazione kkkkyyyy ==== e la funzione stessa per

mezzo dei passaggi che seguono:

(((( )))) 0000222222222222

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxkkkkbbbbxxxxaaaaxxxxkkkkccccxxxxbbbbxxxxaaaakkkk

xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaa

Il punto di tangenza (figura seguente) fra la retta orizzontale ed il grafico dellafunzione costo si ottiene imponendo che la soluzione dell'equazione di secondogrado ottenuta ammetta una unica soluzione, ovvero imponendo che il suo

discriminante si annulli: (((( )))) 000044442222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ ccccaaaakkkkbbbb ; questa equazione, risolta

rispetto a kkkk (si scartano le soluzioni con segno negativo) , fornisce il valore

bbbbacacacackkkk ++++====2222 ; l'ascissa del minimo è pertantoaaaakkkkbbbbxxxx

⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====22220000 ovvero

aaaaccccxxxx ====0000 .

In definitiva il minimo costo unitario è posto in ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛++++ bbbbacacacac;;;;

aaaaccccHHHH 2222 . Ovviamente,

nel caso 0000====bbbb , il minimo è ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛acacacac;;;;

aaaaccccHHHH 2222

ESEMPIO: se la funzione costo è data dalla funzione (((( )))) 11112222252525250000 2222 ++++++++==== xxxxxxxx....xxxxCCCC la

funzione del costo per unità prodotta èxxxx

xxxx....xxxx

xxxxxxxx....yyyy 1111222225252525000011112222252525250000 2222

++++++++====++++++++

==== ;

senza applicare le formule che forniscono direttamente il punto di minimopossiamo determinare tale punto determinando il punto di tangenza di una retta

orizzontale di equazione kkkkyyyy ==== con il grafico della funzione costo:

(((( )))) 0000111122222525252500001111222225252525000011112222252525250000 222222222222

====++++−−−−++++⇒⇒⇒⇒====++++++++⇒⇒⇒⇒====++++++++

==== xxxxkkkkxxxx....kxkxkxkxxxxxxxxx....kkkkxxxx

xxxxxxxx....yyyy .

La condizione di tangenza consiste nell'annullamento (1 sola soluzione) del

discriminante (((( )))) (((( )))) 111122220000111125252525000044442222 22222222 ====−−−−⇒⇒⇒⇒====∗∗∗∗××××−−−−−−−−====∆∆∆∆ kkkk....kkkk da cui otteniamo le

due soluzioni , rispettivamente la prima con segno positivo davanti alla radice,di valore 1111====kkkk (scartata perchè corrisponde a valori di 0000<<<<xxxx in quanto

2222252525250000222211112222

22220000 −−−−====××××−−−−

−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====....aaaa

kkkkbbbbxxxx ) e l'altra 3333====kkkk che corrisponde all'ascissa positiva:



2222252525250000222233332222

22220000 ====××××−−−−

−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====....aaaa

kkkkbbbbxxxx . Si noti come le due coordinate del punto di minimo

(((( ))))33332222;;;;HHHH , detto anche "puntopuntopuntopunto didididi fugafugafugafuga" possano ottenersi direttamente con le

formule sopra scritte:

(((( ))))33332222HHHH3333222211112525252500002222222222222525252500001111

00000000 ;;;;....bbbbccccaaaayyyy....aaaa

ccccxxxx , ⇒⇒⇒⇒====++++××××====++++⋅⋅⋅⋅================ ,

xxxx

yyyy

xxxxxxxx....yyyy 11112222252525250000 ++++++++====

Funzione de l cos to un itario

k1=3 H

k2=1

0M

Si noti. Dal grafico della figura, come l'asintoto obliquo di equazione 11112222 ++++==== xxxxyyyy

si avvicini sempre di più alla funzione costo quanto più ci si allontana dall'originee anche nel ramo di sinistra ( 0000<<<<xxxx ) che non viene considerato nei problemi incampo economico (variabili quantità e danaro sono ovviamente positive!). Danotare anche le due rette tangenti nei punti estremi della funzione,

rispettivamente con 33331111 ====kkkk che è tangente al punto di minimo H(2;3)H(2;3)H(2;3)H(2;3) e 11112222 ====kkkk

che viene scartata perchè è tangente al punto di massimo M(-2;1)M(-2;1)M(-2;1)M(-2;1) da parteopposta rispetto all'origine degli assi.NotaNotaNotaNota benebenebenebene: I punti di minimo e massimo della funzione costo unitario possonoanche ottenersi annullandoannullandoannullandoannullando lalalala derivataderivataderivataderivata prima:

(((( ))))3333222222222222

444400001111252525250000111125252525000011112222252525250000 00002222

22222222 ;;;;HHHH xxxxxxxx

xxxx....

xxxx....

xxxxxxxx....yyyy

''''

xxxx

''''xxxx ⇒⇒⇒⇒++++

−−−−====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====⎟⎟⎟⎟

⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ++++++++====

accettato scartato



4444 FUNZIONEFUNZIONEFUNZIONEFUNZIONE COSTOCOSTOCOSTOCOSTO MARGINALEMARGINALEMARGINALEMARGINALE

Se il costo totale per produrre una data quantità xxxx è espresso da una generica

funzione (((( ))))xxxxCCCC , incrementando la produzione di un valore xxxx∆∆∆∆ , il maggiore costo

sostenuto è dato da (((( ))))xxxxxxxxCCCC ∆∆∆∆++++ .

Si definisce costocostocostocosto marginalemarginalemarginalemarginale (((( ))))xxxxCCCCmamamama ilililil rapportorapportorapportorapporto frafrafrafra l'incrementol'incrementol'incrementol'incremento deideideidei costicosticosticosti didididi

produzioneproduzioneproduzioneproduzione eeee l'incrementol'incrementol'incrementol'incremento delladelladelladella quantitquantitquantitquantitàààà didididi produzione:produzione:produzione:produzione:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxx

xxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxCCCC mamamama ∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆++++

====

Se la quantità si riferisce ad una grandezza discreta il minimo incremento diproduzione è una unità e si parla di costocostocostocosto marginalemarginalemarginalemarginale unitariounitariounitariounitario:

(((( )))) (((( ))))xxxxCCCCxxxxCCCCCCCCmamamama −−−−++++==== 1111

Se la quantità si riferisce ad una grandezza continua (cioè può assumere tutti ivalori in ogni intervallo) e l' incremento della produzione è sufficientementepiccolo (al limite possiamo considerare 0000⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆xxxx ) la funzione costo marginalecoincide con la derivata della funzione costo totale:

(((( )))) (((( ))))xxxx

xxxxCCCCxxxxxxxxCCCCLimLimLimLimCCCCxxxx

xxxx''''

∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆++++

====⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆ 0000

Ad esempioesempioesempioesempio, se la funzione di costo totale è (((( )))) 444455552222 ++++++++==== xxxxxxxxxxxxCCCC il costo

marginale è espresso dalla funzione seguente:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))====

∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++∆∆∆∆++++⋅⋅⋅⋅++++∆∆∆∆++++

====xxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCCCCmamamama4444555544445555 22222222

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∆∆∆∆++++++++====

∆∆∆∆∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆

====∆∆∆∆

−−−−−−−−−−−−++++∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++==== 5555222255552222444455554444555555552222 2222222222222222

Pertanto, se consideriamo un incremento di produzione 0000⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆xxxx , il termine xxxx∆∆∆∆scompare ed il costo marginale coincide appunto con la derivata della

funzione del costo totale : (((( )))) 55552222 ++++======== xxxxCCCCxxxxCCCC xxxx''''

mamamama

Si dimostra facilmente che il costo marginale di una funzione quadratica

ccccxxxxbbbbxxxxaaaaCCCC ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 vale bbbbxxxxaaaaCCCCmamamama ++++⋅⋅⋅⋅====2222

ProprietProprietProprietProprietàààà deldeldeldel costocostocostocosto marginalemarginalemarginalemarginale: nelnelnelnel puntopuntopuntopunto didididi minimominimominimominimo costocostocostocosto unitario,unitario,unitario,unitario, ilililil costocostocostocostomarginalemarginalemarginalemarginale èèèè ugualeugualeugualeuguale alalalal costocostocostocosto unitario.unitario.unitario.unitario.

(((( )))) (((( ))))00000000 xxxxCCCCxxxxCCCC mamamamauuuu ====



Consideriamo, infatti, che nel punto di minimo o di massimo di una funzionecontinua qualsiasi la derivata (che rappresenta il coefficiente angolare della rettatangente) si annulla; pertanto, calcolando la derivata del costo unitario e poiannullandola, si ottiene la dimostrazione della proprietà sopra scritta.

Infatti, tenuto conto della relazione fra i costi (((( )))) (((( ))))xxxxCCCCxxxxCCCCxxxxxxxxCCCC mamamama ++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆++++ ,

calcoliamo la derivata della funzione di costo unitario e successivamenteimponiamo la condizione di annullamento nel punto di minimo, come segue:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))22220000

0000

00000000

xxxxxxxxCCCCCCCCxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxLimLimLimLim

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxCCCCxxxxLimLimLimLim

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCCCCxxxxxxxxxxxxxxxxCCCCxxxxLimLimLimLim

xxxxxxxxxxxxCCCC

xxxxxxxxxxxxxxxxCCCC

LimLimLimLimCCCC

mamamamamamamamaxxxx

mamamamaxxxx

xxxxxxxx

''''uuuu

−−−−⋅⋅⋅⋅====

∆∆∆∆++++⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====

====∆∆∆∆++++⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

====∆∆∆∆++++⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆++++−−−−∆∆∆∆++++⋅⋅⋅⋅====

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++

====

⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆

⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆

⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆

(((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxxxxxCCCCCCCCxxxxCCCCCCCCxxxx

xxxxxxxxCCCCCCCCxxxxCCCC mamamamamamamama

mamamama''''uuuu ====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====

−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== 00000000 2222

Se consideriamo, come caso particolare, la funzione costo unitario espressa da

xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaaCCCCuuuu

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

2222

, nel punto di minimo costo unitario dove 0000xxxxxxxx ==== si deve

verificare l'uguaglianza fra costo marginale e costo unitario (((( ))))0000xxxxCCCCCCCC mamamamauuuu ==== :

ccccxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxbbbbxxxxaaaaxxxx

ccccxxxxbbbbxxxxaaaabbbbxxxxaaaa ====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

====++++⋅⋅⋅⋅ 222200000000

222200000000

22220000

0000

00002222

00000000 22222222

Infine, dopo avere diviso per aaaa ed estratto la radice positiva, si ha: aaaaccccxxxx ====0000

Mentre il valore del minimo costo unitario, pari al costo marginale, è dato da:

(((( )))) (((( )))) bbbbccccaaaabbbbaaaaccccaaaaxxxxCCCCxxxxCCCC mamamamauMINuMINuMINuMIN ++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅======== 2222222200000000

Quindi il punto di minimo è (((( ))))bbbbccccaaaa;;;;aaaaccccHHHH ++++⋅⋅⋅⋅2222 e ricordiamo come questo

risultato sia anche ottenibile, per altra via, imponendo la condizione di

tangenza di una retta orizzontale di equazione kkkkyyyy ==== nel punto di minimo della

funzione costo unitario come già mostrato nel precedente paragrafo.

Il costo marginale, riferito alla funzione quadratica del costo ccccxxxxbbbbxxxxaaaaCCCC ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ,



espresso con bbbbxxxxaaaaCCCCmamamama ++++⋅⋅⋅⋅====2222 e rappresentato da una retta di pendenza aaaa2222 , ha

una intersezione con la curva del costo unitario proprio nel suo punto di minimo.

Se assumiamo i dati dell'esempio del paragrafo precedente, dove il costo totale è

espresso dalla funzione 11112222252525250000 2222 ++++++++==== xxxxxxxx....CCCC , il costo marginale è dato dalla retta

di equazione 222255550000 ++++⋅⋅⋅⋅==== xxxx....CCCCmamamama e il suo grafico interseca la curva del costo

unitario esattamente nel suo punto di minimo (già calcolato) (((( ))))33332222 ;;;;HHHH come si

vede sotto nella figura di sinistra; nella figura di destra è tracciato invece il costototale:

xxxx

yyyy

Costo unitario: C = 0.25 x 0.25 x 0.25 x 0.25 x2222 + 2 x +1/x + 2 x +1/x + 2 x +1/x + 2 x +1/x

H

0

M

Costo marginale:y = 0.5 x + 1

xxxx

yyyy

Costo unitario: C = 0.25 x 0.25 x 0.25 x 0.25 x2222 + 2 x +1/x + 2 x +1/x + 2 x +1/x + 2 x +1/x

H

0

M

Costo totale:y = 0.25 x2 + 2 x + 1

Come si vede nel grafico a destra, il vertice della parabola del costo totale si trova a sinistra dell'origine e non

assume significato poichè è negativo mentre gli unici valori numerici che interessano li troviamo nel primo

quadrante dove le grandezze economiche sono tutte positive.

GraficoGraficoGraficoGrafico delledelledelledelle funzionefunzionefunzionefunzione costocostocostocosto unitariounitariounitariounitario neineineinei problemiproblemiproblemiproblemi didididi scelta.scelta.scelta.scelta.Il grafico deve essere tracciato (anche in modo approssimativo) tenendo contodelle sue caratteristichecaratteristichecaratteristichecaratteristiche:- decrescente partendo vicino all'asse Y che è l'asintoto verticale della funzione,- passante per il punto di minimo calcolato;

- crescente e accostato all'asintoto obliquo di equazione bbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== .

In presenzapresenzapresenzapresenza didididi vincolovincolovincolovincolo didididi produzioneproduzioneproduzioneproduzione massima MAXMAXMAXMAXxxxxxxxx ≤≤≤≤ dobbiamo

confrontare il valore della quantità massima con il valore del minimo aaaaccccxxxx ====0000

senza vincolo e distinguiamo due diverse possibilità:

Se MAXMAXMAXMAXxxxxxxxx ≤≤≤≤0000 la quantità che determina il minimo costo si ha proprio per 0000xxxxxxxx ==== ;

Se MAXMAXMAXMAXxxxxxxxx ≥≥≥≥0000 la quantità del minimo costo sia invece per MAXMAXMAXMAXxxxxxxxx ==== .

La retta del costo marginale, di equazione bbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅====2222 , interseca il grafico del

costo unitario nel suo punto di minimo dove valori delle due sono uguali.



5555 PROBLEMIPROBLEMIPROBLEMIPROBLEMI DIDIDIDI MINIMOMINIMOMINIMOMINIMO COSTOCOSTOCOSTOCOSTO UNITARIOUNITARIOUNITARIOUNITARIO

1111]]]] Una industria del caffè produce un dato prodotto con costi fissi mensili pari

a 20.00020.00020.00020.000 €€€€ e costi variabili, per ogni Kg di prodotto, pari a xxxx....ccccvvvv ⋅⋅⋅⋅++++==== 001500150015001500002222

dove xxxx è la quantità prodotta. Determinare:

- la quantità 0000xxxx da produrre per avere il minimo costo unitario (((( ))))0000xxxxCCCCuuuu nelle

due ipotesi: a) senza vincoli; b) vincolo di produzione 2500250025002500====MAXMAXMAXMAXxxxx Kg.

- la verifica della relazione tra i costi marginale ed unitario uuuumamamama CCCCCCCC ==== nel minimo.

- il grafico della funzione costo unitario (((( ))))xxxxCCCCuuuu ;

* * *

Funzione costo: (((( )))) (((( )))) 2000020000200002000022220015001500150015000000150015001500150000222200000000000020202020 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++==== xxxxxxxx....xxxxxxxx........xxxxCCCC €

Costo unitario: (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxx

xxxx....xxxxCCCCxxxxxxxxCCCCxxxxCCCC uuuuuuuu

20000200002000020000222200150015001500150000 ++++++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒==== €/Kg

Punto di minimo: a) 5555365136513651365100150015001500150000

200002000020000200000000 ....

....aaaaccccxxxx ≈≈≈≈======== KgKgKgKg ;;;; b) 25002500250025000000 ====xxxx kg

Minimo costo unitario:a. 95959595121212122222200002000020000200000015001500150015000022222222 ,,,,....bbbbccccaaaaMINMINMINMINCCCCuuuu ≈≈≈≈++++××××====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== €/Kg

b. Con vincolo 2500250025002500≤≤≤≤xxxx Kg: (((( )))) 757575751313131325002500250025002000020000200002000022222500250025002500001500150015001500002500250025002500 ,,,,....CCCCuMINuMINuMINuMIN ====++++++++××××==== €/Kg

Verifica costi: 22220030030030030000 ++++⋅⋅⋅⋅======== xxxx....CCCCCCCC ''''xxxxmamamama ; (((( )))) 9595959512121212222255553651365136513651003003003003000055553651365136513651 ,,,,............CCCCmamamama ≈≈≈≈++++××××==== €/Kg

Diagramma del costo unitario di produzione

1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000 6000600060006000 7000700070007000

5555

10101010

15151515

20202020

x [kg]x [kg]x [kg]x [kg]

Euro/KgEuro/KgEuro/KgEuro/Kg

xMAX=2500

13,75

x0=3651.5

12, 95

0

Asintotoy=0.0015x+2

Costo marginaleCma=0.003x+2



2222]]]] Le spese che una impresa sostiene per la produzione giornaliera di un dato

articolo sono dei costi fissi di 4.000 € e dei costi variabili pari al 0.3% delquadrato della produzione del bene. Determinare:-la quantità che minimizza il costo medio di produzione ed il relativo valore;

-calcolare il costo marginale e verificare la relazione uuuumamamama CCCCCCCC ==== nel minimo;

-diagramma delle funzioni di costo.- il punto di minimo costo medio con i vincoli di produzione: a) 625 , b)2500

* * *

Funzione costo totale (((( )))) 222200300300300300004000400040004000 xxxx....xxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++==== .

Costo medio: (((( ))))xxxx

xxxx....xxxx

xxxx....CCCCxxxxxxxxCCCCCCCC uuuuuuuu

4000400040004000003003003003000040004000400040000030030030030000 2222

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅

====⇒⇒⇒⇒====

Produzione di minimo costo in assenza di limiti produttivi:

115511551155115577771154115411541154003003003003000040004000400040000000 ≈≈≈≈≅≅≅≅======== ........aaaaccccxxxx articoli prodotti.

costo minimo 9393939366664000400040004000003003003003000022222222 ........bbbbccccaaaaCCCCuMINuMINuMINuMIN ====××××====++++⋅⋅⋅⋅==== € ; Il valore si può

anche ottenere senza formula: 9393939366661155115511551155400040004000400011551155115511550030030030030000 ........CCCCuMINuMINuMINuMIN ====++++××××==== € / art.

(((( )))) (((( )))) 93939393666611551155115511550060060060060000115511551155115500600600600600002222 ........CCCC;;;;xxxx....bbbbxxxxaaaaCCCC mamamamamamamama ====××××============++++⋅⋅⋅⋅==== 0b € /articolo

Costi medi nei vincoli di produzione:

(((( )))) 30303030888862562562562540004000400040006256256256250030030030030000625625625625 ........CCCCuuuu ≅≅≅≅++++××××==== , minimo costo medio per x=625x=625x=625x=625 .

(((( )))) 1010101099996256256256254000400040004000250025002500250000300300300300002500250025002500 ........CCCCuuuu ====++++××××==== €\art., minimo costo per x=1155x=1155x=1155x=1155.

Diagramma del costo medio di produzione

500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500


EuroEuroEuroEuro

6,93

625 1155 1500

8,309,10

Costo marginale: y=0.006x

Asi. obl. y=0.003x

O



3333]]]] Le spese settimanali che una impresa sostiene per produrre mangimi sono:

costi fissi 3000€; materie prime ed energia 6€/kg; spesa di manutenzione dellemacchine 30% del quadrato della quantità prodotta. Determinare:-il punto di minimo costo medio in assenza di vincoli con la tecnica della rettaorizzontale tangente.- il punto di minimo costo medio con i vincoli di produzione: a) 60 kg , b)120kg

* * *

Funzione costo totale 3000300030003000666633330000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....CCCC €.

Costo medioxxxx

xxxx....xxxx

xxxxxxxx....CCCCxxxxCCCCCCCC uuuuuuuu

30003000300030006666333300003000300030003000666633330000 2222

++++++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

====⇒⇒⇒⇒==== €/kg

Metodo della retta tangente per determinare il punto di minimo: imponiamo la

condizione di tangenza (((( ))))0000====∆∆∆∆ nel punto che cerchiamo risolvendo l'equazione:

1) ⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ xxxxkkkkxxxxxxxx....kkkk

xxxxxxxxxxxx.... 30003000300030006666333300003000300030003000666633330000 2222

2222

(((( )))) (((( )))) 00003600360036003600666622223636363600003000300030003000333300004444666600003000300030003000666633330000 222222222222 ====−−−−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅ kkkkkkkk....kkkkxxxxkkkkxxxx....

00003564356435643564121212122222 ====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒ kkkkkkkk da cui, applicando la formula risolutiva e scartando la

soluzione negativa che non interessa, si ottiene:

(((( )))) (((( ))))soluzione scartato

6666666654545454

222212012012012012121212

22221440014400144001440012121212

222235643564356435643333000044441212121212121212 2222

++++====−−−−====

====±±±±

====±±±±

====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−±±±±

====kkkkkkkk....kkkk

Pertanto il minimo costo unitario vale 66666666====uMINuMINuMINuMINCCCC €/kg e, per calcolare la

quantità da produrre in assenza di vincoli risolviamo l'equazione 1) con k=66k=66k=66k=66 :

(((( )))) 0000300030003000300033330000444460606060000030003000300030006060606033330000666666663000300030003000666633330000 222222222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ....xxxxxxxx....xxxxxxxxxxxx....

Abbiamo calcolato il discriminante 0000====∆∆∆∆ per verificare che il valore ottenutocorrisponde proprio al punto di minimo poichè la retta deve essere tangente.

Infine si ha la quantità di minimo costo medio 100100100100333300002222

6060606022220000 ====

⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxx kg .

In base alle due ipotesi sulla massima quantità che l'impresa può produrre:a) per 60606060≤≤≤≤xxxx kg il minimo costo medio si ottiene scegliendo di produrre proprio

60606060====xxxx da cui un costo medio pari a (((( )))) 747474746060606030003000300030006666606060603333000060606060 ====++++++++××××==== ....CCCCuuuu €/kg

b) per 120120120120≤≤≤≤xxxx kg il minimo costo medio si ottiene con 1001001001000000 ====xxxx che

garantisce 66 €/kg contro il valore (((( )))) 676767671201201201203000300030003000666612012012012033330000120120120120 ====++++++++××××==== ....CCCCuuuu €/kg.



Costo medio


EuroEuroEuroEuro

k=66k=74

x0=100x=60 x=120

Alternativa al metodo della retta tangente è quello basato sul calcolo delladerivata della funzione costo medio ed il suo successivo annullamento, che diseguito mostriamo con riferimento ai dati del problema.

Ricordiamo, preliminarmente, alcune necessarie regole di calcolo di derivate:

Derivata di costante=0 ⇰ (((( )))) 0000====''''xxxxkkkk . Derivata di potenza (((( )))) 1111−−−−⋅⋅⋅⋅==== αααααααα αααα xxxxxxxx

''''xxxx .

Prodotto costante per funzione: (((( )))) ''''xxxx

''''xxxx ffffkkkkffffkkkk ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

Derivata di una somma di funzioni (((( )))) ''''xxxx

''''xxxx

''''xxxx ggggffffggggffff ++++====++++

Derivata di un prodotto di funzioni (((( )))) ''''xxxx

''''xxxx

''''xxxx ggggffffggggffffggggffff ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

Derivata di un rapporto fra funzioni 2222ggggggggffffggggffff

ggggffff ''''

xxxx''''xxxx

''''

xxxx

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ e, nel caso che il

numeratore valga 1, si ha 222211111111xxxxgggg

''''

xxxx−−−−====⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ .

Applichiamo ora le regole di calcolo delle derivate ai dati del problema:

Derivata del costo medio: 22223000300030003000333300003000300030003000666633330000

xxxx....

xxxxxxxx....CCCC

''''

xxxx

''''xxxx,,,,uuuu −−−−====⎟⎟⎟⎟

⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ++++++++⋅⋅⋅⋅====

Annullamento: 100100100100100001000010000100003000300030003000333300000000300030003000300033330000 000022222222

2222 ====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====−−−− xxxxxxxxxxxx....xxxx

.... kg.



4444]]]] Una ditta di autonoleggi sostiene delle spese medie per ogni veicolo:

Costi complessivi- 3.600 € assicurazione e bollo;- 0.01% del totale kilometri percorsi per spese di manutenzione del mezzo.Costi di esercizio: 0.4 € per ogni kilometro percorso;Determinare la percorrenza annua ottimale per minimizzare il costo kilometrico:a) senza vincoli di percorrenza , b) con vincolo di percorrenza di 12.000 km.Metodo da usare per calcolare il punto di minimo: retta tangente.

* * *Indichiamo con xxxx [km] la percorrenza media annua.Costo medio per kilometro :

xxxx....xxxx........

xxxxxxxx....CCCCuuuu

3600360036003600444400000001000100010001000044440000360036003600360000010001000100010000 2222++++++++⋅⋅⋅⋅====++++

++++⋅⋅⋅⋅==== €/km.

Punto di minimo si ha imponendo una sola soluzione dell'equazione kkkkCCCCuuuu ==== :

xxxxkkkkxxxx....xxxx....kkkkxxxx....xxxx.... ⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====++++++++⋅⋅⋅⋅ 3600360036003600444400000001000100010001000036003600360036004444000000010001000100010000 2222 , da cui:

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))soluzione scartato

0000666611112222111100008888000022221111

4444000044444444111144440000000044444444111144440000

00003600360036003600000100010001000100004444444400000000000036003600360036004444000000010001000100010000

22222222

22222222

>>>>++++====⇒⇒⇒⇒−−−−<<<<−−−−====⇒⇒⇒⇒++++

====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−

⇒⇒⇒⇒====××××××××−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅

....kkkk....

....kkkk....kkkk........kkkk........kkkk....

....kkkk....xxxxkkkk....xxxx....

Il minimo costo medio è dato dal valore 606060601111....CCCCuMINuMINuMINuMIN ==== €/km corrispondente al

kilometraggio che si ottiene risolvendo l'equazione di secondo grado, con 0000====∆∆∆∆ :

(((( )))) (((( )))) ⇒⇒⇒⇒====××××××××−−−−−−−−====∆∆∆∆⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →→→→⎯⎯⎯⎯====++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅ ==== 0000360036003600360000010001000100010000444444440000000036003600360036004444000000010001000100010000 2222666611112222 ....kkkk....xxxxkkkk....xxxx.... ....kkkk

(((( ))))soluzione scartato

uMINuMINuMINuMINCCCC........

kkkk....kkkk........kkkk....====++++

−−−−====⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−

606060601111808080800000

222211114444000044444444111144440000 2222 .

Calcoliamo ora la percorrenza corrispondente al minimo costo medio trovato:

-con l'equazione 1 : (((( )))) (((( )))) 6000600060006000000100010001000100002222222211110000 ====××××−−−−−−−−==== ........xxxx km;

In alternativa possiamo utilizzare:

- la formula aaaaccccxxxx ====0000 : 60006000600060000001000100010001000036003600360036000000 ======== ....xxxx km;

- la derivata della funzione del costo medio e suo annullamento:

(((( )))) 6000600060006000000100010001000100003600360036003600000036003600360036000001000100010001000036003600360036004444000000010001000100010000 00002222 ========⇒⇒⇒⇒====−−−−====++++++++⋅⋅⋅⋅ ....xxxxxxxx....xxxx....xxxx.... ''''

xxxx km

Nell'ipotesi di massima percorrenza annua pari a 12.000 km il punto di minimorimane ovviamente il valore di 6000 km. Calcoliamo, per confronto, il costomedio per tale percorrenza:

(((( )))) 9999111112000120001200012000360036003600360044440000120001200012000120000001000100010001000000000000000013131313 ................CCCCuuuu ====++++++++××××==== €/km.



Costo medio kilometrico

5000500050005000 10000100001000010000 15000150001500015000

0.50.50.50.5

1111

1.51.51.51.5

2222

2.52.52.52.5

3333

Km annuiKm annuiKm annuiKm annui

€ / km

1,6 €/ km

1,9 €/ km

x0=6.000

6666 SCELTASCELTASCELTASCELTA FRAFRAFRAFRA ALTERNATIVEALTERNATIVEALTERNATIVEALTERNATIVE

I problemi di scelta fra alternative riguardano spesso funzioni economiche comeguadagni e costi, espresse da modelli di rappresentazioni grafiche possonoessere rette, parabole ed iperboli come nel caso della funzioni costo medio. Ognialternativa, valida in un proprio intervallo di valori della variabile, ha in genereuna data espressione o formula che permette di essere rappresentata in unostesso grafico, dove esistono dei particolari punti, detti punti di indifferenza, chesono l'intersezione fra due o più alternative. Si tratta di determinare, in baseall'esame dei modelli grafici e al variare dei valori assunti dalla variabileindipendente xxxx , quale sia la scelta di alternativa più conveniente ad esempioquella che consente il minimo costo oppure il massimo guadagno.La presenza di vincoli tecnici, che possono essere delle limitazioni assunte dallavariabile indipendente, influenza in genere la soluzione a cui si perviene.



1111]]]] Scelta della tariffa telefonica fra tre piani.

Ci troviamo a scegliere quale, fra tre diverse tariffe, dobbiamo assegnare ad unascheda telefonica per rendere minimo il costo delle telefonate.Ipotizziamo che le tariffe siano tre e valgano sempre verso qualunque gestore:AAAA Senza scatto alla risposta e costo di 20 cent./minuto proporzionale ai secondi.BBBB Scatto di 16 cent. Alla risposta e costo di 12 cent./min. proporzionale ai sec.i.CCCC 1 cent. Anticipati con scatti ogni 5 minuti di conversazione.Valutare la tariffa più conveniente nell' ipotesi che il tempo medio diconversazione sia al massimo 15 minuti (900 secondi).

**** **** ****Tracciamo in un unico grafico, in scala opportuna (ad esempio scegliendo l'asse Ycon unità in centesimi di euro), le tre tariffe espresse dalle seguenti funzioni dovela xxxx [sec] è la variabile indipendente tempo di conversazione:

A :333360606060

20202020 xxxxxxxxyyyy ====⋅⋅⋅⋅==== ; B: 161616165555

1616161660606060

12121212 ++++====++++⋅⋅⋅⋅====xxxxxxxxyyyy ;

C: (((( ))))minuti 20-0 secondi ,minuti) 10-(0 secondi ,

12001200120012006006006006002002002002006006006006000000100100100100

≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤

====xxxx

xxxxyyyy .

Per quanto riguarda la funzione CCCC la rappresentiamo come una funzione costantea tratti, ovvero con tratti di retta orizzontale che corrsipondono agli scatti di 1euro ogni 10 minuti.Le rette vengono tracciate con una coppia di punti qualsiasi per ognuna.

Tariffe telefoniche alternative

300300300300 600600600600 900900900900

20202020404040406060606080808080

100100100100120120120120140140140140160160160160180180180180200200200200220220220220240240240240

tttt

Cent.Cent.Cent.Cent.

A

B

C

A

2m 7m 10m 15m

Punti di indifferenza : AB (120 sec.; 40cent.), AC(360 sec.; 100 cent.)Scelta: la tariffa B per tempi fino a 120 sec. (2 min.), la tariffa A per tempi da 120a 420 sec. (da 2 a 7 min.), la tariffa C per tempi da 360 a 600 sec. (da 6 a 10 min.)e, infine, di nuovo la tariffa A per tempi da 600 a 900 (da 10 a 15 minuti).



2222]]]] La produzione di una bevanda si avvale di tre diversi impianti che

comportano, per ciascuno di loro, differenti costi per litro di prodotto:

A. 300300300300999900001111 ++++==== xxxx....CCCC ; B. 6006006006007575757500002222 ++++==== xxxx....CCCC ; C. 1200120012001200666600003333 ++++==== xxxx....CCCC

Determinare la scelta più conveniente in funzione dei litri prodotti.

Costi alternativi

1000100010001000 2000200020002000 3000300030003000 4000400040004000 5000500050005000

1000100010001000

2000200020002000

3000300030003000

LtLtLtLt

CostiCostiCostiCosti

A B C

1200

600300

La scelta di quale sia la migliore alternativa, in base all'esame del grafico, deveconsiderare necessariamente i punti di indifferenza che non sempre riescono adessere letti in modo preciso; perciò è opportuno calcolarli per via algebricamettendo a sistema ciascuna coppia di rette e ottendo le soluzioni come segue:

Punto (A, B): (2000 l; 2100 €)

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

========⇒⇒⇒⇒====

====++++××××====++++====⇒⇒⇒⇒

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====++++++++====

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====++++====

2000200020002000151515150000

300300300300300300300300151515150000

2100210021002100300300300300200020002000200099990000300300300300909090900000

600600600600757575750000300300300300909090900000300300300300909090900000

600600600600757575750000300300300300909090900000

....xxxxxxxx....

....xxxx....yyyy

xxxx....xxxx....xxxx....yyyy

xxxx....yyyyxxxx....yyyy

Punto (A, C): (3000 l; 3000 €)

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

========⇒⇒⇒⇒====

====++++××××====++++====⇒⇒⇒⇒

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====++++++++====

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====++++====

3000300030003000303030300000

900900900900600600600600303030300000

30003000300030003003003003003000300030003000909090900000300300300300909090900000

1200120012001200606060600000300300300300909090900000300300300300909090900000

1200120012001200606060600000300300300300909090900000

....xxxxxxxx....

....xxxx....yyyy



Punto (B, C): (3000 l; 3600 €)

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

========⇒⇒⇒⇒====

====++++××××====++++====⇒⇒⇒⇒

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====++++++++====

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====++++====

4000400040004000151515150000

600600600600600600600600151515150000

36003600360036006006006006004000400040004000757575750000600600600600757575750000

1200120012001200606060600000600600600600757575750000600600600600757575750000

1200120012001200606060600000600600600600757575750000

....xxxxxxxx....

....xxxx....yyyy



Soluzione: AAAAxxxx ⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤≤≤≤≤ 2002002002000000 ; BBBBxxxx ⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤≤≤≤≤ 40004000400040002000200020002000 ; CCCCxxxx ⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥ 4000400040004000 .



3333]]]] Le offerte commerciali di un autonoleggio sono le seguenti:

A)A)A)A) 65 €/giorno per i primi 300 km più eventuali 0.40 €/km per i kilometri chesuperano la quota 300.

B)B)B)B) 95 €/giorno per i primi 500 kilometri più eventuali 0.20 €/km per i kilometrieccedenti la quota 500.

Determinare l'offerta più conveniente in base ai kilometri (x) da percorrere.* * *

Costo giornaliero offerta A: (((( )))) se ,

se ,30030030030055555555444400003003003003004444000065656565

300300300300000065656565≥≥≥≥−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅++++

≤≤≤≤≤≤≤≤====

xxxxxxxx....xxxx....xxxx

yyyy ;

punti del grafico offerta A: (0; 65), (300; 65), (500; 145) , (600; 185)

Costo giornaliero offerta B: (((( )))) se ,

se ,5005005005005555222200005005005005002222000095959595

500500500500000095959595≥≥≥≥−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅++++

≤≤≤≤≤≤≤≤====

xxxxxxxx....xxxx....xxxx

yyyy .

Punti del grafico offerta B: (0; 95), (500; 95) ; (600; 115) .

100100100100 200200200200 300300300300 400400400400 500500500500 600600600600

50505050

100100100100

150150150150

kmkmkmkm

CostiCostiCostiCosti

A

B

375

65

95

Punto di indifferenza (A; B): (375 km; 95 €)

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====

========⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

========−−−−⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====−−−−⋅⋅⋅⋅====

95959595

37537537537544440000

1501501501501501501501504444000095959595

95959595555555554444000095959595

555522220000

yyyy....

xxxxxxxx....yyyy

xxxx....yyyy

xxxx....yyyy

Soluzione: AAAAxxxx ⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤≤≤≤≤ 3753753753750000 ,,,, BBBBxxxx ⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥375375375375 .



4444]]]] Una industria elettronica per produrre di lettori CD sostiene le seguenti spese:

costi unitari 10 € per pezzo; costo fisso annuo 2000 €.Per la vendita del prodotto vi sono due alternative:A- vendere ai discount al prezzo di 26 € al pezzo;B- vendere ai negozi al prezzo di 50 €/pezzo ma con aggiunta una spesacomplessiva per i trasporti pari al 2% del quadrato dei pezzi prodotti.

La produzione massima prevista per questo articolo è pari a 1500 unità.

Determinare la scelta più conveniente per l'industria.* * *

Costo di produzione (((( )))) xxxxxxxxCCCC ⋅⋅⋅⋅++++==== 101010102000200020002000 .

Ricavo alternativa A (((( )))) xxxxxxxxRRRR ⋅⋅⋅⋅====262626261111 ;

Profitto alternativa A 200020002000200016161616101010102000200020002000262626261111111111111111 −−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒−−−−==== xxxxxxxxxxxxyyyyCCCCRRRRyyyy ;

Punti grafico A.

IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni AsseAsseAsseAsse XXXX deldeldeldel graficograficograficografico AAAA

125125125125161616162000200020002000000020002000200020001616161600001111 ========⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== xxxxxxxxyyyy ⇰ A1(125;A1(125;A1(125;A1(125; 0)0)0)0) ....

MassimoMassimoMassimoMassimo profittoprofittoprofittoprofitto AAAA: (((( )))) 22000220002200022000200020002000200015001500150015001616161615001500150015001111 ====−−−−⋅⋅⋅⋅====yyyy ⇰ A2(1500;A2(1500;A2(1500;A2(1500; 22.000).22.000).22.000).22.000).

Ricavo alternativa B (((( )))) 22222222 02020202000050505050 xxxx....xxxxxxxxRRRR ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== ;

Profitto alternativa B xxxxxxxx....xxxxyyyyCCCCRRRRyyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒−−−−==== 10101010200020002000200002020202000050505050 22222222222222222222

200020002000200040404040020202020000 22222222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy

Punti grafico B.

IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse XXXX deldeldeldel graficograficograficografico B:B:B:B:

(((( )))) (((( )))) 3838383895959595373737371440144014401440200020002000200002020202000044444040404000002000200020002000404040400202020200000000 222222222222 ≈≈≈≈≅≅≅≅====−−−−××××−−−−××××−−−−====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒==== ........xxxxxxxx....yyyy

(((( ))))(((( ))))(((( ))))000019501950195019501950195019501950

0000505050505050505002020202000022223838383840404040

22222222

11111111

;;;;BBBBxxxx;;;;BBBBxxxx

....xxxx

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====

====−−−−⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−

==== ;

MassimoMassimoMassimoMassimo profittoprofittoprofittoprofitto BBBB:

(((( )))) ........

xxxxVVVV 10001000100010000202020200002222

40404040====

××××−−−−==== ; (In alternativa: 1000100010001000

2222195019501950195050505050

222222221111 ====

++++====

++++====

xxxxxxxxxxxxVVVV ).

(((( )))) 00000000000018181818200020002000200010001000100010004040404010001000100010000202020200001000100010001000 22222222 ........yyyy ====−−−−××××++++××××−−−−==== € . ⇰ V(1000;V(1000;V(1000;V(1000; 18000)18000)18000)18000)



PuntiPuntiPuntiPunti didididi indifferenzaindifferenzaindifferenzaindifferenza (intersezioni fra i grafici A e B).

(((( )))) (((( )))) 000024242424020202020000200020002000200040404040020202020000200020002000200016161616 2222222222221111 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== xxxxxxxx....xxxxxxxx....xxxxxxxxyyyyxxxxyyyy

198419841984198420002000200020000000161616160000 0101010101010101 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒==== yyyyxxxx ; C1(0;-1984)

172001720017200172002000200020002000120012001200120016161616120012001200120002020202000024242424 0202020202020202 ====−−−−××××====⇒⇒⇒⇒======== yyyy....xxxx . C2(1200; 17200).

Grafico dei guadagni

500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000

5000500050005000

10000100001000010000

15000150001500015000

20000200002000020000

XXXX

EuroEuroEuroEuro

V

A1

A2

C1

C2

B1 B2

Alternativa B

Alternativa A

Scelta dell'alternativa più conveniente:

Osservando il grafico, ed in base ai valori delle produzioni calcolati checorrispondono ai punti posti in evidenza, si deduce che:

l'alternativa B conviene se la produzione è compresa in 120012001200120050505050 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx

l'alternativa A conviene se la produzione è compresa in 15001500150015001200120012001200 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx .

Inoltre, si deve notare come il massimo guadagno dedotto dal confronto fra leposizioni dei punti, rispettivamente VVVV (vertice della parabola a quota 18000180001800018000 €€€€) e

2222AAAA (relativo al profitto massimo di 22000220002200022000 €€€€), si ha quando la produzione è

di 1500150015001500 pezzi che sappiamo essere la massima capacità produttiva.



5555]]]] Una azienda deve decidere circa la produzione di un articolo:

A. Produrre in proprio il prodotto al costo settimanale fisso 1000 € più 10 €per ogni pezzo.B. Acquistarlo ad una industria a cui affidarne la produzione: costo fisso di 300€,spesa di 12 € al pezzo per i primi 500 pezzi e di 9 € al pezzo oltre la soglia 500.Determinare, in base alla produzione, la scelta migliore.

* * *

Costo A: 1000100010001000101010101111 ++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxyyyy ; Punto del grafico A(0;A(0;A(0;A(0; 1000)1000)1000)1000) ....

Costo B: (((( )))) 500500500500180018001800180099996300630063006300500500500500999963006300630063003003003003005005005005001212121250050050050030030030030012121212

2222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++××××====⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤++++⋅⋅⋅⋅

====xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxyyyy

, massima Spesa ,

Punto del grafico B(500;B(500;B(500;B(500; 6300)6300)6300)6300) ....

Punti di indifferenza fra le alternative:

(((( ))))4500450045004500350350350350450045004500450030030030030035035035035012121212

350350350350700700700700222230030030030012121212

1000100010001000101010103003003003001212121230030030030012121212100010001000100010101010

;;;;PPPPyyyy

xxxxxxxxxxxxyyyy

xxxxxxxxxxxxyyyyxxxxyyyy

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====++++⋅⋅⋅⋅========⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅====

(((( ))))9000900090009000800800800800900090009000900018001800180018008008008008009999

80080080080018001800180018009999

1800180018001800999910001000100010001010101018001800180018009999

100010001000100010101010 ;;;;QQQQ

yyyyxxxx

xxxxyyyyxxxxxxxx

xxxxyyyyxxxxyyyy

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====++++⋅⋅⋅⋅========

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅====

Costi di produzione

-100-100-100-100 100100100100 200200200200 300300300300 400400400400 500500500500 600600600600 700700700700 800800800800 900900900900 1000100010001000

5000500050005000

10000100001000010000

xxxx

EuroEuroEuroEuro

HK

Q

C

P

Alt. B Alt. A Alt. B

4500

6300

9000

Sulla base del grafico e dei punti calcolati, possiamo dedurre che:Per produzioni fino a 350 oppure oltre 800 pezzi conviene l'alternativa B;Per produzioni comprese fra 350 e 800 pezzi conviene l'alternativa A.



6666]]]] Una società deve vendere un prodotto con due diverse modalità che, in base

ai rispettivi costi e ricavi, comportano le funzioni di guadagno:

A 500500500500121212120020020020020000 22221111 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy . B. 200020002000200010101010 −−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxyyyy

In base alla quantità (((( ))))xxxx che si deve vendere, stabilire l'alternativa conveniente.

* * *Punti alternativa A:

Intersezioni asse X : (((( )))) ⇒⇒⇒⇒====00001111 xxxxyyyy (cambiamo segno all'equazione) ⇒⇒⇒⇒

59585958595859584444

0040040040040000140140140140121212120000500500500500121212120020020020020000

2222

11112222≈≈≈≈≈≈≈≈

====±±±±

====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅xxxxxxxx

....xxxxxxxxxxxx....

2 (((( )))) (((( ))))00005958595859585958000042424242 22221111 ; ; ; ; AAAA;;;;AAAA , ⇒⇒⇒⇒ .

Vertice della parabola:

(((( ))))50050050050011113000300030003000175001750017500175005005005005003000300030003000121212123000300030003000002002002002000030003000300030002222595859585958595842424242 2222 7 ;;;;VVVV....yyyyxxxx VVVVVVVV ⇒⇒⇒⇒====−−−−××××++++××××−−−−====⇒⇒⇒⇒====

++++====

Punti di indifferenza: (((( )))) (((( )))) 500500500500121212120020020020020000200020002000200010101010 222211112222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== xxxxxxxx....xxxxxxxxyyyyxxxxyyyy

(((( )))) (((( ))))1500150015001500

5005005005000040040040040000

444422221616161615001500150015000020020020020000444422220000150015001500150022220020020020020000 22222222 0<<<<−−−−====

±±±±====⇒⇒⇒⇒====−−−−××××−−−−××××−−−−====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

....xxxx....xxxxxxxx....

(((( ))))130001300013000130001500150015001500130001300013000130005005005005001500150015001500121212121500150015001500002002002002000050050050050000400400400400002222 2222 ;;;;PPPP....yyyy

....xxxx PPPPPPPP ⇒⇒⇒⇒====−−−−××××++++××××−−−−====⇒⇒⇒⇒========⇒⇒⇒⇒

Punti alternativa B. Int. asse X: (((( )))) (((( ))))0000100100100100100100100100000010001000100010001010101000002222 ;;;;KKKKxxxxxxxxxxxxyyyy ⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====

Secondo punto: (((( )))) (((( ))))28000280002800028000300030003000300028000280002800028000200020002000200030003000300030001010101030003000300030002222 ;;;;QQQQyyyy ⇒⇒⇒⇒====−−−−××××==== .

Guadagni alternativi

500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500 3000300030003000 3500350035003500 4000400040004000

5000500050005000

10000100001000010000

15000150001500015000

20000200002000020000

25000250002500025000

30000300003000030000

xxxx

EuroEuroEuroEuro

P

V

Alt. A Alt. B

17500

13000

28000Q

Osserviamo che: la minima produzione per non andare in perdita è x=42 pezzi.Per 150015001500150042424242 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx conviene la scelta A per un guadagno massimo di 13000anche se il massimo, che si ha nel vertice V, vale 17500 (contro 28000 di B).Per 1500150015001500≥≥≥≥xxxx conviene la scelta B

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