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Niels Lategahn
SeminarFunktionale Datenanalyse
(WS 2014/15 )
10.11.2014
Funktionen mit NebenbedingungenFunktionen mit Nebenbedingungen
Niels Lategahn TU Dortmund
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1. Fallstudie und Motivation
2. Nebenbedingungen
- positive Funktionen
- monotone Funktionen
- Wahrscheinlichkeitsfunktionen
- Dichtefunktionen
3. Aufgaben
4. Literatur
InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis
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Daten der Wachstumsstudie:
- Länge des Schienbeins eines Babys
- 40 Tage, tägliche Messung
- Problem: kleine Fehler in der Messung
führen zu nicht monotoner Funktion
Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation
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Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation
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Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation
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Welche Nebenbedingungen kann man an eine Funktion stellen?
Wie können diese bei der Anpassung berücksichtigt werden?
NebenbedingungenNebenbedingungen
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Mögliche Nebenbedingungen:
- Positive Funktion
- Monotone Funktion (Fallbeispiel)
- Wahrscheinlichkeitsfunktionen
- Dichtefunktionen
NebenbedingungenNebenbedingungen
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Positive Funktionen:
Nebenbedingung: x(t) ≥ 0
Beispiel: Wetterdaten
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Transformation:
x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.
W(t) wird durch Linearkombination der
Basisfunktionen angepasst,
um den Term
zu optimieren (minimieren).
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Transformation:
x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.
W(t) wird durch Linearkombination der
Basisfunktionen angepasst,
um den Term mit Korrelationsstruktur K
zu optimieren (minimieren).
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Positive FunktionPositive Funktion
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Positive FunktionPositive Funktion
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Positive FunktionenPositive Funktionen
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Exkurs: Was sind Differentialgleichung?
1. Ordnung:
wird gelöst durch
4. Ordnung:
wird gelöst durch
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Positive FunktionenPositive Funktionen
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Herangehensweise durch Differentialgleichung:
Erfüllt durch:
Definiere W(t) so, dass
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Monotone Funktionen:
Nebenbedingung: Dx(t) ≥ 0
Beispiel: Wachstumsdaten
Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Transformation der Differentialgleichung:
Dx(t) ist positiv und dadurch x(t) monoton steigend
W(u) wird durch Linearkombination der
Basisfunktionen angepasst.
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Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Differentialgleichung 2. Ordnung:
und
so ergibt sich folgendes W(u)
Ist w(t) = 0:
w(t) ≠ 0, const w:
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Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Quelle: Ramsey, J.O., Silverman, B.W.(2005)
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Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
Nebenbedingung: p(t) > 0 und p(t) < 1
Beispiel: Wahrscheinlichkeit des Lösens einer
Aufgabe (z.B. Raschmodell)
WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen
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WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen
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Nun:
mit
wird gelöst durch:
Definiere W(t) als
und erhalte:
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WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen
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Dichtefunktionen:
Nebenbedingung: p(t) > 0 und ∫p(t)dt = 1
Beispiel: Dichteschätzung
DichtefunktionenDichtefunktionen
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DichtefunktionenDichtefunktionen
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Transformation:
mit
sodass
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DichtefunktionenDichtefunktionen
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Maximieren der Log-Likelihood-Funktion
mit Strafterm
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DichtefunktionenDichtefunktionen
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DichtefunktionenDichtefunktionen
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AufgabenAufgaben
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Aufgabe:
1. Simuliere 50 Daten der mon. steigenden Funktion
y(t) = t + sin(t) + e mit e ~ N(0,4) auf
dem Intervall [0,10] mit homogenem Abstand.
Plotte die Werte und passe eine Funktion
mit und ohne Nebenbedingung (Monotonie) an.
Benutze dazu die R-Funktion smooth.monotone
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AufgabenAufgaben
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Aufgabe:
2. Ziehe zufällig 60 Werte aus einer
- N(0,1) – Verteilung
- Exp(2) – Verteilung
Passe eine Dichtefunktion zu den Werten an
und variere den Parameter λ des
Starfterms (3. Ordn.). R-Funktion: density.fd
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LiteraturLiteratur
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Ramsey, J. O., Silverman, B. W. (2005),
Functional Data Analysis, 2. Auflage,Springer, New York.
Ramsay, J.O., Silverman, B. W. (1997),
Funktional Data Analysis, Springer, New York.
Ramsay, J., Hooker, G., Graves, S. (2009)
Functional Data Analysis with R and Matlab, Springer.