FUNKCIJE - 1. deo Logika iteorija skupovanasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2105/LS-P11-F-1.pdf ·...
Transcript of FUNKCIJE - 1. deo Logika iteorija skupovanasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2105/LS-P11-F-1.pdf ·...
FUNKCIJE - 1. deo
Logika i teorija skupova
1 Logika FUNKCIJE - 1. deo
KorespondencijeKorespondencijeKorespondencije
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi.
Korespondencija iz skupa A u skup B definise se kao proizvoljan pod-
skup f Dekartovog proizvoda A × B.
Pojmovi
prva projekcija od f : pr1f
druga projekcija od f : pr2f
definisu se na sledeci nacin:
A
BA × B
pr1f
pr2ff
x
y (x, y)
pr1fdef= {x ∈ A | (x, y) ∈ f za neki y ∈ B}
pr2fdef= {y ∈ B | (x, y) ∈ f za neki x ∈ A}
DDDiiissskkkrrreeetttnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee– 2 – Funkcije - I deo– 2 – Funkcije - I deo– 2 – Funkcije - I deo
Korespondencije i relacijeKorespondencije i relacijeKorespondencije i relacije
Primetimo da je korespondencija nije nista drugo do relacija izmedu
elemenata iz razlicitih skupova.
Relacija na skupu A se moze tretirati kao
korespondencija iz skupa A u sebe samog.
Obratno, i korespondencija se moze tre-
tirati kao relacija na skupu (A ∪ B), pa
se mnogi pojmovi koje smo definisali za
relacije mogu preneti i na koresponden-
cije.A B
A
B
A × A B × A
A × B B × B
(A ∪ B)2
f
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruukkktttuuurrreee– 3 – Funkcije - I deo– 3 – Funkcije - I deo– 3 – Funkcije - I deo
Grafi cko predstavljanje korespondencijaGrafi cko predstavljanje korespondencijaGrafi cko predstavljanje korespondencija
Korespondencija je zapravo ono sto se u terminima teorije grafova
naziva bipartitan digraf.
Radi se o takvom grafu kod koga je skup cvorova podeljen u dve klase
A i B, pri cemu svaka grana pocinje u klasi A a zavrsava se u klasi B.
To je graficki prikazano na sledecoj slici:
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 4 – Funkcije - I deo– 4 – Funkcije - I deo– 4 – Funkcije - I deo
Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencije
Primer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = {−1, 0, 1}.
Korespondencija iz A u B je, na primer,
f = {(a, −1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}.
Ona je graficki prikazana na sledecoj slici:
a
b
c
d
−1
0
1
A B
Ovde je
pr1f = {a, c, d}
pr2f = {−1, 0, 1}.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 5 – Funkcije - I deo– 5 – Funkcije - I deo– 5 – Funkcije - I deo
Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencije
b) Neka je g ⊆ A × P(A), gde je A = {a, b, c, d} i
g = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}.
Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridruzuje neki
podskup koji ga sadrzi.
Lako je odrediti projekcije.
c) Svaka relacija ρ ⊆ A2 je korespondencija iz A u A.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 6 – Funkcije - I deo– 6 – Funkcije - I deo– 6 – Funkcije - I deo
Kompozicija korespondencijaKompozicija korespondencijaKompozicija korespondencija
Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije
f ⊆ A × B i g ⊆ B × C.
Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencija
f ◦ g ⊆ A × C definisana sa
f ◦ g = {(x, z) ∈ A × C | (∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g)}.
f g
f ◦ g
x
y
z
A
B
C
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 7 – Funkcije - I deo– 7 – Funkcije - I deo– 7 – Funkcije - I deo
Primer kompozicijePrimer kompozicijePrimer kompozicije
Primer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w},
i neka su korespondencije f ⊆ A × B i g ⊆ B × C date sa
f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}.
Tada je f ◦ g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}.
a
b
c
d
1
2
3
u
v
w
A
B
C
f g
313
3
3
a
b
c
d
u
v
w
AC
f ◦ g
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 8 – Funkcije - I deo– 8 – Funkcije - I deo– 8 – Funkcije - I deo
Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)
Neka su A i B neprazni skupovi.
Za korespondenciju f ⊆ A × B kazemo da je preslikavanje ili funkcija
iz A u B ako uspunjava sledece uslove:
(i) pr1f = A;
(ii) ako je (x, y1) ∈ f i (x, y2) ∈ f , onda mora biti y1 = y2.
Uslov (i) cesto formulisemo i sa: f je definisana na celom skupu A,
ili oblast definisanosti za f je celi skup A.
Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznacnosti.
Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeci nacin:
(⋆) za svaki x ∈ A postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 9 – Funkcije - I deo– 9 – Funkcije - I deo– 9 – Funkcije - I deo
Jednozna cnostJednozna cnostJednozna cnost
Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na
sledecoj slici:
xy1
y2
AB
Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke
skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 10 – Funkcije - I deo– 10 – Funkcije - I deo– 10 – Funkcije - I deo
Jednozna cnostJednozna cnostJednozna cnost
Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na
sledecoj slici:
xy1
y2
AB
Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke
skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 10 – Funkcije - I deo– 10 – Funkcije - I deo– 10 – Funkcije - I deo
Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcije
Korespondencija prikazana na sledecoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne
zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija.
a
b
c
d
−1
0
1
AB
Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznacnosti jer
je element a u korespondenciji sa dva razlicita elementa.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 11 – Funkcije - I deo– 11 – Funkcije - I deo– 11 – Funkcije - I deo
Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcije
Korespondencija prikazana na sledecoj slici nije definisana na celom
skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznacnosti:
a
b
c
d
−1
0
1
AB
Prema tome, f nije funkcija iz A u B.
Medutim, kako zadovoljava uslov jednoznacnosti, f je funkcija iz skupa
{a, c, d} u skup B.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 12 – Funkcije - I deo– 12 – Funkcije - I deo– 12 – Funkcije - I deo
Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)
Korespondenciju f ⊆ A × B koja zadovoljava uslov jednoznacnosti
nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B.
Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija
iz skupa pr1f u skup B.
Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer
parcijalne funkcije:
a
b
c
d
−1
0
1
AB
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 13 – Funkcije - I deo– 13 – Funkcije - I deo– 13 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)
Korespondencija prikazana na sledecoj slici zadovoljava oba uslova (i)
i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B.
a
b
c
d
−1
0
1
AB
Prema uslovu (⋆) , da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x ∈ A
mora da postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .
Medutim, to ne znaci da za svaki y ∈ B mora da postoji tacno jedan
x ∈ A takav da je (x, y) ∈ f .
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 14 – Funkcije - I deo– 14 – Funkcije - I deo– 14 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)
Na primer, za element −1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim
svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svoj-
stvom (a moguce je da ih bude i vise).
a
b
c
d
−1
0
1
AB
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 15 – Funkcije - I deo– 15 – Funkcije - I deo– 15 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)
Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od
sledecih korespondencija u A × B je funkcija?
(a) f1 = {(p, r), (r, p), (s, t)}
(b) f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)}
(c) f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}
(d) f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}
Resenje: (a) Kod f1 se element t ne javlja kao prva koordinata u
paru, tj. pr1f1 = {p, r, s} 6= A, pa f1 nije funkcija.
Moze se uociti da je f1 jednoznacna korespondencija, pa je parcijalna
funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 16 – Funkcije - I deo– 16 – Funkcije - I deo– 16 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)
(b) Kod f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A
pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr1f2 = A.
Medutim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f2 nije jedno-
znacna korespondencija. Prema tome, ni f2 nije funkcija.
(c) Kod f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojav-
ljuje tacno jednom kao prva koordinata, sto znaci da je pr1f3 = A i
da je f3 jednoznacna korespondencija. Dakle, f3 je funkcija.
(d) Kod f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne po-
javljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljuje
dvaput.
To znaci da f4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije.
Dakle, ni f4 nije funkcija.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 17 – Funkcije - I deo– 17 – Funkcije - I deo– 17 – Funkcije - I deo
Funkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanje
Neka je f funkcija iz skupa A u skup B.
Ako je (x, y) ∈ f , onda se to belezi sa f(x) = y.
Kazemo da se x slika u y, i x se
naziva original, a y njegova slika.
Skup A se zove domen ili oblast defi-
nisanosti funkcije f , dok se B naziva
kodomen.
AB
f(A)
Skup
f(A)def= {y ∈ B | y = f(x), za neki x ∈ A}
je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 18 – Funkcije - I deo– 18 – Funkcije - I deo– 18 – Funkcije - I deo
Funkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanjeFunkcije – ozna cavanje
U primeru na slici je
f(A) = {1, 0}.
a
b
c
d
−1
0
1
AB
Ako je f funkcija iz A u B, to belezimo sa f : A → B, a koristi se i
oznaka f : x 7→ f(x) (za elemente).
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 19 – Funkcije - I deo– 19 – Funkcije - I deo– 19 – Funkcije - I deo
Zadavanje funkcijaZadavanje funkcijaZadavanje funkcija
Neka su A i B konacni skupovi, pri cemu je A = {a1, a2, . . . , an}, i
neka je f funkcija iz A u B.
Tada se funkcija f moze predstaviti na sledeci nacin:
f =
(
a1 a2 . . . an
f(a1) f(a2) . . . f(an)
)
Najcesce uzimamo da je A = {1, 2, . . . , n}, i u tom slucaju umesto
f =
(
1 2 . . . n
f(1) f(2) . . . f(n)
)
ponekad pisemo samo
f =(
f(1) f(2) . . . f(n))
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 20 – Funkcije - I deo– 20 – Funkcije - I deo– 20 – Funkcije - I deo
Jednakost funkcijaJednakost funkcijaJednakost funkcija
Funkciju odreduju domen, kodomen i skup uredenih parova, pa se ona
moze smatrati uredenom trojkom (A, B, f) gde je f korespondencija
iz A u B za koju vaze uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije.
To znaci da su dve funkcije jednake ako imaju
(1) iste domene,
(2) iste kodomene, i
(3) iste parove koji su u korespondenciji.
Drugim recima, funkcije f ⊆ A × B i g ⊆ C × D su jednake ako je
A = C, B = D i f = g.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 21 – Funkcije - I deo– 21 – Funkcije - I deo– 21 – Funkcije - I deo
Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcija
Primer 1.4. a) Uredeni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obra-
zuju preslikavanje f : R → R+∪{0} iz skupa svih realnih brojeva u skup
svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x2
ili f : x 7→ x2.
Tako je
f(−√
2) = 2,
f(0) = 0,
f(−2) = 4,
f(2) = 4, itd.x−2 −
√2
0 2
y
0
2
4
f
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 22 – Funkcije - I deo– 22 – Funkcije - I deo– 22 – Funkcije - I deo
Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcija
b) Neka je A = {−1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruzi
1, a iracionalnom −1, onda se dobija funkcija iz R u A.
c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H ⊆ A, onda se
karakteristicna funkcija podskupa H, u oznaci χH
, koja slika A u
B definise sa:
χH
(x)def=
{
1 ako x ∈ H
0 ako x 6∈ H.
Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristicna funk-
cija i obratno.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 23 – Funkcije - I deo– 23 – Funkcije - I deo– 23 – Funkcije - I deo
Restrikcija funkcijeRestrikcija funkcijeRestrikcija funkcije
Ako je f : A → B i X je neprazan podskup skupa A, onda definisemo
novo preslikavanje f |X : X → B na sledeci nacin: za svaki x ∈ X je
f |X(x)def= f(x).
Preslikavanje f |Xnazivamo restrikcija
preslikavanja f na X.
AB
f
f(A)
X f|X
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 24 – Funkcije - I deo– 24 – Funkcije - I deo– 24 – Funkcije - I deo
Proširenje funkcijeProširenje funkcijeProširenje funkcije
Obratno, neka je f : A → B i neka je A ⊆ X.
Za preslikavanje F : X → B kazemo da je prosirenje ili ekstenzija
preslikavanja f na skup X ako za svaki x ∈ A vazi F (x) = f(x).
Drugim recima, F je prosirenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja
F i f poklapaju na A.
Takode, F je prosirenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija od
F na A.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 25 – Funkcije - I deo– 25 – Funkcije - I deo– 25 – Funkcije - I deo
Kompozicija funkcijaKompozicija funkcijaKompozicija funkcija
Neka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A → B i g : B → C.
Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen presli-
kavanja f , to se preslikavanje g moze nadovezati na preslikavanje f .
Drugim recima, moze se definisa-
ti kompozicija ili proizvod presli-
kavanja f i g, u oznaci f ◦ g, kao
preslikavanje iz A u C, definisano
sa
f ◦ g(x)def= g(f(x)).
f g
f ◦ g
x
f(x)
g(f(x))
A
B
C
Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slucaj kompozicije
korespondencija, a time i kompozicije relacija.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 26 – Funkcije - I deo– 26 – Funkcije - I deo– 26 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Primer 1.5. Neka je f : Z → N funkcija definisana sa f(x) = x2, a
g : N → Q je funkcija definisana sa g(x) = x
2.
Tada je f ◦ g : Z → Q funkcija zadata sa
(f ◦ g)(x) =x2
2.
Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je
(f ◦ g)(x) = g(f(x)) = g(x2) =x2
2.
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 27 – Funkcije - I deo– 27 – Funkcije - I deo– 27 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Primer 1.6. Neka su date funkcije
f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.
Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).
(a) 9x3 + 4x2
(b) 27x2 + 72x + 48
(c) 9x2 + 4
(d) 3x2 + 3x + 4
(e) nijednim od njih
Resenje:
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 28 – Funkcije - I deo– 28 – Funkcije - I deo– 28 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Primer 1.6. Neka su date funkcije
f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.
Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).
(a) 9x3 + 4x2
(b) 27x2 + 72x + 48
(c) 9x2 + 4
(d) 3x2 + 3x + 4
(e) nijednim od njih
Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 28 – Funkcije - I deo– 28 – Funkcije - I deo– 28 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je
(f ◦ g)(x) = g(f(x))
= g(3x + 4)
= 3 · (3x + 4)2
= 3 · (9x2 + 24x + 16)
= 27x2 + 72x + 48
Dakle, (f ◦ g)(x) = 27x2 + 72x + 48, tj. tacno je (b).
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 29 – Funkcije - I deo– 29 – Funkcije - I deo– 29 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 30 – Funkcije - I deo– 30 – Funkcije - I deo– 30 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
Biramo argument 1 u tabeli funkcije f ◦ g
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije f
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
Nalazimo vrednost f(1) medu argumentima
u tabeli funkcije g
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije g
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3
Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovarajuce mesto
u tabeli funkcije f ◦ g
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3
Ponavljamo isti postupak za argument 2
u tabeli funkcije f ◦ g . . .
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2 4
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f =
1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦ g =
1 2 3 4
3 1 2 4
– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo
Komutativni dijagramKomutativni dijagramKomutativni dijagram
Ako je
f : A → B, g : B → C i h : A → C,
onda se to predstavlja dijagramom kao na slici.
A B
C
f
h g
Ako je pri tome h = f ◦ g, kaze se da dijagram komutira.
– 32 – Funkcije - I deo– 32 – Funkcije - I deo– 32 – Funkcije - I deo
Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcija
Kompozicija funkcija moze se tretirati kao poseban slucaj kompozicije
korespondencija, a ova se dalje moze posmatrati kao poseban slucaj
kompozicije relacija.
Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zakljucujemo da
su takve i kompozicije korespondencija i funkcija.
Medutim, dacemo i direktan dokaz za to.
– 33 – Funkcije - I deo– 33 – Funkcije - I deo– 33 – Funkcije - I deo
Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcija
Tvrdenje 1:
Neka je f : A → B, g : B → C i h : C → D. Tada je
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
Dokaz: Domen obe funkcije, f ◦ (g ◦ h) i (f ◦ g) ◦ h, je skup A, a
kodomen je D.
Dalje, za proizvoljan x ∈ A je
f ◦ (g ◦ h)(x) = g ◦ h(f(x)) = h(g(f(x))),
(f ◦ g) ◦ h(x) = h(f ◦ g(x)) = h(g(f(x))),
pa je jednakost dokazana.
– 34 – Funkcije - I deo– 34 – Funkcije - I deo– 34 – Funkcije - I deo
Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija moze se objasniti i sledecim dija-
gramom:
A B
CD
f
g
h
g◦ h
f ◦g
(f ◦ g) ◦ h=
f ◦ (g ◦ h)
– 35 – Funkcije - I deo– 35 – Funkcije - I deo– 35 – Funkcije - I deo
Identi cka funkcijaIdenti cka funkcijaIdenti cka funkcija
Identicko preslikavanje ili identicka funkciju na skupu A je preslikavanje
IA : A → A definisano sa:
IA(x)def= x, za svaki x ∈ A.
Tvrdenje 2: Neka je f : A → B. Tada je
IA ◦ f = f ◦ IB = f.
Dokaz: Domen funkcije IA ◦ f je ocito A, a kodomen B.
Dalje je IA ◦ f(x) = f(IA(x)) = f(x), tj. IA ◦ f = f .
Dokaz druge jednakosti je slican.
– 36 – Funkcije - I deo– 36 – Funkcije - I deo– 36 – Funkcije - I deo
Levo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanje
Funkcije se u praksi oznacavanju na dva nacina: postoji levo oznacavanje
i desno oznacavanje.
Kod levog oznacavanja, znak funkcije se pise levo od argumenta, na
primer f(x), kako smo to i do sada cinili.
Ukoliko funkcije oznacimo grckim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na
koje one deluju latinicnim slovima x, y, z, . . . , a, b, c, . . . , tada ne
moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) mozemo pisati samo ϕx.
Kod desnog oznacavanja, znak preslikavanja se pise desno od argu-
menta, na primer xϕ.
Takvo oznacavanje se ponegde zove jos i Poljska notacija, jer ju je uveo
Poljski matematicar - logicar Lukasijevic.
– 37 – Funkcije - I deo– 37 – Funkcije - I deo– 37 – Funkcije - I deo
Levo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanjeLevo i desno ozna cavanje
U slucaju levog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja
ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa
(ϕ ◦ ψ)xdef= ψ(ϕx).
U slucaju desnog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja
ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa
x(ϕ ◦ ψ)def= (xϕ)ψ.
Dakle, ovde nema ”izvrtanja” simbola ϕ i ψ.
Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matema-
tickoj analizi.
Prednost je, inace, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na
primer, koristi vise nego leva notacija.
– 38 – Funkcije - I deo– 38 – Funkcije - I deo– 38 – Funkcije - I deo
Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo
”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi
x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),
sto je ekvivalentno sa
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:
fx1
x2
y
A B
– 39 – Funkcije - I deo– 39 – Funkcije - I deo– 39 – Funkcije - I deo
Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo
”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi
x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),
sto je ekvivalentno sa
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:
fx1
x2
y
A B
– 39 – Funkcije - I deo– 39 – Funkcije - I deo– 39 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
za svaki y ∈ B
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
y za svaki y ∈ B
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
tako da je f(x) = y
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. da
slika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,
tj. ako je f(A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
fx y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
tako da je f(x) = y
– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo– 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacija
prikazana na sledecoj slici:
A B
f(A)
f
– 41 – Funkcije - I deo– 41 – Funkcije - I deo– 41 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacija
prikazana na sledecoj slici:
A B
f(A)
f
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 41 – Funkcije - I deo– 41 – Funkcije - I deo– 41 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
ABf
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
ABf
Primer ”na” funkcije
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
ABf
Primer ”na” funkcije
A Bf
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
ABf
Primer ”na” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”na”
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
ABf
Primer ”na” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”na”
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo– 42 – Funkcije - I deo
Bijektivne funkcijeBijektivne funkcijeBijektivne funkcije
Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kazemo da
je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B.
Identicka funkcija IA na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A.
Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija
iz A u A.
Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa.
A Bf
Primer permutacije
DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 43 – Funkcije - I deo– 43 – Funkcije - I deo– 43 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primer 4:
a) Funkcija f : R → R, definisana sa f(x) = 2x, je injektivna, jer iz
x1 6= x2 sledi 2x1 6= 2x2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi,
kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom.
Ako se kodomen R zameni sa R+, onda je ova funkcija takode i
sirjektivna, tj. bijekcija je.
b) Funkcija f : R → R+∪{0}, definisana sa f(x) = x2, je sirjektivna,
jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja√
a.
Buduci da se u a preslikava i −√a, ova funkcija nije injektivna.
– 44 – Funkcije - I deo– 44 – Funkcije - I deo– 44 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od
sledecih korespondencija u A × B je funkcija koja nije ni injektivna ni
sirjektivna?
(a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}
(b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}
(c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}
(d) nijedna od njih
Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).
– 45 – Funkcije - I deo– 45 – Funkcije - I deo– 45 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
(a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslova
iz definicije funkcije:
– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,
– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.
Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q.
Medutim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan element
ne javlja dvaput.
Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava trazene uslove.
– 46 – Funkcije - I deo– 46 – Funkcije - I deo– 46 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
(b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslova
iz definicije funkcije:
– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,
– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.
Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata.
Takode, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljaju
elementi q i r.
Dakle, ova funkcija ima trazena svojstva.
(c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer
– kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A,
– element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznacna.
– 47 – Funkcije - I deo– 47 – Funkcije - I deo– 47 – Funkcije - I deo
PermutacijePermutacijePermutacije
Neka je funkcija f : A → B, gde je A = {1, 2, . . . , n}, zadata sa
f =
(
1 2 . . . n
f(1) f(2) . . . f(n)
)
Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan nacin moze uociti da li
je f injektivna ili sirjektivna funkcija.
Naime:
❏ f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj
vrsti ove matrice medusobno razlicite.
❏ f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje
matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B.
– 48 – Funkcije - I deo– 48 – Funkcije - I deo– 48 – Funkcije - I deo
PermutacijePermutacijePermutacije
Zadatak 1.1. Neka je A konacan skup i f : A → A. Dokazati da su
sledeci uslovi ekvivalentni:
(i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija.
Resenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii).
Neka je A = {1, 2, . . . , n}. Posmatrajmo niz vrednosti
f(1), f(2), . . . , f(n)
Ako je f injekcija, tada su svi clanovi ovog niza medusobno razliciti,
pa kako niz ima n clanova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A,
sto znaci da je f sirjekcija.
Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi
elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko clanova koliko i skup A, to
znaci da su svi njegovi clanovi razliciti, odakle sledi da je f injekcija.
– 49 – Funkcije - I deo– 49 – Funkcije - I deo– 49 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija
Tvrdenje 3: Neka je f : A → B i g : B → C.
(a) Ako su f i g injekcije, onda je i f ◦ g injekcija.
(b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f ◦ g sirjekcija.
Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x1, x2 ∈ A. Tada
f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2) ⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) (definicija kompozicije)
⇒ f(x1) = f(x2) (injektivnost za g)
⇒ x1 = x2 (injektivnost za f),
sto znaci da je i f ◦ g injekcija.
– 50 – Funkcije - I deo– 50 – Funkcije - I deo– 50 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija
(b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z ∈ C.
Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y ∈ B tako da je z = g(y), a
zbog sirjektivnosti za f , postoji x ∈ A tako da je y = f(x).
Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f ◦ g(x), pa je i f ◦ g
sirjekcija.
Posledica: Kompozicija bijekcija je takode bijekcija.
– 51 – Funkcije - I deo– 51 – Funkcije - I deo– 51 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija
Tvrdenje 4: Neka je f : A → B i g : B → C.
(a) Ako je f ◦ g injekcija, onda je i f injekcija.
(b) Ako je f ◦ g sirjekcija, onda je i g sirjekcija.
Dokaz: (a) Neka je f ◦ g injekcija neka su x1, x2 ∈ A elementi takvi
da je f(x1) = f(x2).
Tada je g(f(x1)) = g(f(x2)), zbog jednoznacnosti za g, tj.
f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2),
odakle je x1 = x2, zbog injektivnosti za f ◦ g.
Ovim smo dokazali injektivnost za f .
– 52 – Funkcije - I deo– 52 – Funkcije - I deo– 52 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija
(b) Neka je f ◦ g sirjekcija i z ∈ C.
Tada postoji x ∈ A, tako da je f ◦ g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z.
S obzirom da je f(x) = y ∈ B, to sledi da za z ∈ C postoji y ∈ B,
tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija.
– 53 – Funkcije - I deo– 53 – Funkcije - I deo– 53 – Funkcije - I deo