FUNKCIE A ICH ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI

Stredná priemyselná škola stavebná,

Hviezdoslavova 5, Rožňava

Moderne vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ.

Projekt: Tvorivá škola – úspešný štart do života Kód ITMS 26110130175

Obor hodnôt funkcie H(f)

• Je daná funkcia f: Množina všetkých y R, ku ktorým existuje aspoň 1 x R tak, že , sa nazýva obor hodnôt funkcie.

X 1 2 3 D(f)={1,2,3}

Y 2 5 8 H(f)={2,5,8}

fyx ,

Určovanie D(f) a H(f) z grafu funkcie y

y y

2 2

1 x 1 x x

D(f)=R nie je funkcia D(f)=R

H(f)=

VLASTNOSTI FUNKCIÍ

• Párne a nepárne funkcie (parita)

• Monotónnosť funkcií

• Ohraničené funkcie

• Extrémy funkcií

• Periodické funkcie

• Inverzná funkcia

Párne funkcie

Párna funkcia – graf je súmerný podľa osi y alebo

podľa priamky s ňou rovnobežnej

(osová súmernosť)

Definícia: Funkcia f je párna, ak platí:

)()( fDxfDx f(x)x)f(:xD(f)

Nepárne funkcie

Nepárna funkcia – graf je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy

(stredová súmernosť)

Definícia: Funkcia f je nepárna, ak platí:

)()( fDxfDx )()(:)( xfxffDx

Určte párnosť, nepárnosť fukcií

y

x

Párna funkcia nepárna funkcia nemá paritu

Určte párnosť, nepárnosť fukcií

nepárna nepárna

párna nie je funkcia

Monotónnosť funkcií (rastúca a klesajúca funkcia)

rastúca funkcia:

-ak rastú ,rastú aj

klesajúca funkcia:

-s rastúcimi hodnoty y

klesajú

)( fDx )( fDy

)( fDx

neklesajúca funkcia: -skladá sa z rastúcich a konštantných

častí

-ak hodnoty rastú, hodnoty y buď rastú, alebo sú konštantné

nerastúca funkcia: - s rastúcimi , hodnoty y klesajú

alebo sú konštantné

)( fDx

)( fDx

Monotónnosť funkcií • Ak je funkcia -rastúca

-klesajúca

-nerastúca

-neklesajúca

Definícia:

Funkcia f je na D(f):

a, rastúca

b, klesajúca

c, nerastúca

d, neklesajúca

)()(:)(, 212121 xfxfxxfDxx

)()(:)(, 212121 xfxfxxfDxx

)()(:)(, 212121 xfxfxxfDxx

)()(:)(, 212121 xfxfxxfDxx

Ohraničené funkcie

-funkcia je zhora ohraničená h

-funkcia je zdola ohraničená aj zhora

d

Ohraničené funkcie

• Definícia:

Funkcia je zhora ohraničená na D(f)

Funkcia je zdola ohraničená na D(f)

Funkcia je ohraničená na D(f) ak je ohraničená zhora aj zdola.

hxffDxRh )(:)(:

dxffDxRd )(:)(:

Extrémy funkcií (maximum, minimum)

x - v bode x je maximálna hodnota

- v bode y je minimálna hodnota

y

Extrémy funkcií

• Definícia:

• Funkcia f má v bode maximum

• Funkcia f má v bode minimum

)()(: afxfMx

)()(: bfxfMx

Periodické funkcie • Definícia:

Funkcia f je periodická na D(f) s najmenšou periódou ak platí

)()( fDkpxfDx ).()()( kpxfxffDx

Inverzná funkcia

• k funkcii f –

• Grafy funkcie a inverznej funkcie sú súmerné podľa osi I. a III. Kvadrantu.

f D(f)=H( )

H(f)=D( )

1´f

1f1f

1f