Funkce více proměnných.

Základní pojmy.

Rn = Rn = R x R x … x R = {[x1, x2, …, xn], xi R, i = 1, …, n }.Pro u, v Rn, u = [u1, …, un], v = [v1, …, vn] definujeme: u v = [u1 v1, …, un vn] u 0 = [u1, …, un] pro c R je cu = [cu1, …, cun ] 1.u = [u1, …, un ] - u = [- u1, …, - un ]. u.v = u1v1 + u2v2 . …. +Unvn

u = v ui = vi, i = 1, …, n

Rn lze chápat jako lineární vektorový prostor nad tělesem R.

V Rn lze definovat vzdálenost mnoha způsoby. Například pro u, v Rn

eukleidovská vzdálenost

kosočtvercová vzdálenost

čtvercová vzdálenost

Pokud v = 0, píšeme a mluvíme o normě u. V tomto smyslu je vzdálenost u - v od 0, nebolinorma u - v. Rn je tedy možno chápat jako normovaný lineární prostor.

2211 )(...)( nn vuvuvu

nn vuvuvu ...11

},...,max{ 11 nn vuvuvu

u vu

Nechť a Rn. PakU(a, ) = {x Rn takových, že } se nazývá -okolí bodu a.

P(a, ) = {x Rn takových, že 0 < } se nazývá prstencové -okolí bodu a.

ax ax

Nechť M Rn.x M je vnitřním bodem množiny M existuje > 0 tak, že U(x, ) M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M.x M je hraničním bodem množiny M pro každé > 0 je U(x, ) M . Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M.x M je hromadným bodem množiny M pro každé > 0 je P(x, ) M .x M je izolovaným bodem množiny M existuje > 0 tak, že P(x, ) M = .

* x

* y

* z

A

M = A {x}.

x je izolovaný bod množiny M y je hraniční bod množiny Mz je vnitřní bod množiny M

Přiřazení f, které každému bodu x Rn přiřadí nejvýše jedno y Rk nazveme funkce z Rn do Rk. Definiční obor funkce f je D(f) = {x Rn takových, že existuje y Rk tak, že f ( x ) = y}.Obor hodnot funkce f je H(f) = {y Rk takových, že existuje x Rn tak, že f ( x ) = y}.Grafem funkce f je G ( f ) = {[x,y] Rn x Rk takových, že f ( x ) = y}.

Příklad.

Určete definiční obor funkce .

224

)1ln(),(

yx

xyxf

x > -1 a současně x2 + y2 < 4.

Příklad.

Určete definiční obor funkce . )sin(),( xyyxf

( y 0 a současně sin (x) 0 ) nebo ( y 0 a současně sin (x) 0)

( y 0 a současně x <0,> +2k ) nebo ( y 0 a současně x <0, > +2k ).

Graf funkcí více proměnných.

Speciálně se bude jednat o grafy funkcí R2 R.

Příklad.

Určete definiční obor a nakreslete graf funkce . 2216),( yxyxf

Definiční obor: , neboli vnitřek a hranice kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem 4. 422 yx

Graf je definován jako {[x, y, z] R3, }, neboli jako podmnožina R3: 2216 yxz

-4

-3.4

-2.8

-2.2

-1.6 -1

-0.4

0.2

0.8

1.4 2

2.6

3.2

3.8

-4-2.8

-1.6-0.4

0.82

3.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Častěji se však používají pro představu grafu řezy.Řezy je nutno použít, jestliže definiční obor je podmnožinou Rn, kde n > 2.

1. x je konstantní , , 4k 2216 ykz 0z

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

k roste k roste

2. Analogický graf dostaneme pro y konstatntní.3. z konstatní, z = k: grafem jsou kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem 4. Odtud 0 k 4.

Zákonitosti z vrstevnicových grafů dávají dohromady 3-rozměrný graf. V případě, že nezávislých proměnných je více než 2, máme k dispozici pouze jednotlivé řezy jako podmnožiny R2.

Příklad.

Určete definiční obor a graf funkce . xyz

Definičním oborem je R2.

Jestliže x = k je konstanta, grafy jsou přímky procházející počátkem. Podobná situace nastane pro y = k.Jestliže z = k, pak y = k/x, pro x 0. x = 0 má smysl pouze pro k = 0, pak y je libovolné. Pro k = 0 jsou x a y libovolné.

-4

-3.4

-2.8

-2.2

-1.6 -1

-0.4

0.2

0.8

1.4 2

2.6

3.2

3.8

-4

-2.2

-0.4

1.4

3.2

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Limita a spojitost.

Nechť f : R R. Jestliže existují , a obě se rovnají A, pak existuje a . )(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

Axfax

)(lim

V tomto případě máme pouze 2 možnosti: x a+, nebo x a -.Jestliže ale f : Rn Rk, pak x se blíží nejen po ose x, ale v jakémkoliv směru výpočet limit je obtížný.

Příklad.

Vypočítejte .

22]1,1[],[

2lim

yx

xyyx

Bod [1, 1] lze do výrazu dosadit, aniž bychom dostali jako výsledek neurčitý výraz.

1

2lim

22]1,1[],[

yx

xyyx

Příklad.

Vypočítejte .

22]0,0[],[

2lim

yx

xyyx

Do výrazu nelze bod [0, 0] dosadit, výsledkem by byl neurčitý výraz „0/0“.

Dosaďme speciální dvojice [x, y] = [x, kx], tj k bodu [0, 0] se blížíme po přímkách, které se liší směrnicí k.Tím převedeme problém do jedné dimenze:

2222

2

0 1

22lim

k

k

xkx

kxx

Pro různá k bude tedy limita různá. Protože pokud limita existuje, je určena jednoznačně,

neexistuje.

22]0,0[],[

2lim

yx

xyyx

Definice.

Nechť f : M Rn Rk, nechť a je hromadný množiny M. Řekneme, že , jestliže pro každé > 0 existuje > 0 tak, že platí:

x P (a, f (x) U (A, ).

Jestliže navíc A = f ( a ), řekneme, že f je spojitá v a.

Axfax

)(lim

Zápis limity a spojitosti je stejný jako pro n = k = 1, avšak, jak vyplývá z předchozího příkladu,interpretace je jiná.

Definice.

Nechť speciálně f : M R2 R, nechť a = [a1, a2] je hromadný množiny M.

, nebo nazýváme dvojnásobné limity. ),(limlim

21

yxfayax

),(limlim12

yxfayax

Tvrzení.

Nechť f : M R2 R, nechť a = [a1, a2] je hromadný množiny M.

1. Nechť existuje a = = A. Pak = A.

2. Nechť = A. Pak = = A.

),(limlim21

yxfayax

),(limlim12

yxfayax

),(lim],[],[ 21

yxfaayx

),(lim],[],[ 21

yxfaayx

),(lim],[],[ 21

yxfaayx

),(limlim21

yxfayax

),(limlim12

yxfayax

Poznámka.

Jestliže existují obě dvojnásobné limity a rovnají se, neplyne z toho existence limity.

0

2limlim

2limlim

22002200

yx

xy

yx

xyxyyx

. Přesto jsme v předchozím ukázali, že neexistuje.

22]0,0[],[

2lim

yx

xyyx

Proto ukázat existenci limity v Rn je obtížné, někdy se podaří prokázat její neexistenci.

Příklad.

Vypočítejte .

17

4lim

44

22

]2,1[],[

yx

yxyx

2

1

4lim)

17

4lim(lim

2144

22

21

xyx

yxxyx

8

1

4

1lim)

17

4lim(lim

2244

22

12

yyx

yxyxy

Dvojnásobné limity se nerovnají neexistuje.

17

4lim

44

22

]2,1[],[

yx

yxyx

Příklad.

Vypočítejte .

yx

yxyx 32

)1(lim

]0,0[],[

0)

32

)1(lim(lim

00

yx

yxxy

2

1)

32

)1(lim(lim

00

yx

yxyx

Dvojnásobné limity se nerovnají limita neexistuje.

Příklad.

Vypočítejte .

)1(

1lim

3

]4,1[],[

xy

xyx

4

31lim

)1(

1lim

2

]4,1[],[

3

]4,1[],[

y

xx

xy

xyxyx

Příklad.

Vypočítejte .

4

1lim

2

]4,1[],[

y

xyx

Položíme y – 4 = k (x – 1), tedy . Pro různá k je limita různá neexistuje.

kk

xx

21lim

1

4

1lim

2

]4,1[],[

y

xyx

Derivace.

Derivace ve směru.

V dalším budeme předpokládat, že funkce jsou definovány v prostoru Rn. Obor hodnot je v R.

Nechť funkce f: Rn R je definována v otevřené množině G Rn, a G. Derivace funkce f ve směruh Rn se definuje jako

t

afthafaf

th

)()(lim)(

0

Definice.

Poznámka.

0)(0 af

V praxi hrají roli zejména derivace ve směru standardní báze prostoru Rn, e = (e1, …, en), kdeei = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0) (1 na i-tém místě). Těmto derivacím se říká parciální derivace (podle i-té proměnné)

Vektor se nazývá gradient funkce f v bodě a.

t

afteafa

x

f i

ti

)()(lim)(

0

))(),...,(()())((

1

ax

fa

x

fafafgrad

n

Algebraické operace s parciálními derivacemi.

Nechť f a g jsou funkce Rn R, průnik definičních oborů je neprázdný. Nechť existují parciální derivaceobou funkcí v bodě a patřícímu tomuto průniku. Pak pro všechna i = 1, 2, …, n je

)(

)()()()()/(

)()()()()().(

)()()()(

2 ag

afax

gaga

x

f

x

gf

afax

gaga

x

fa

x

gf

ax

ga

x

fa

x

gf

ii

i

iii

iii

Je možno parciální derivace znovu derivovat, dostaneme parciální derivace 2. řádu .

Při tom (a).

Pro i j se nazývají smíšené a platí .

))(()(

2

ax

f

xa

xx

f

jiji

iii xx

fa

x

f

2

2

2

)(

)(

2

axx

f

ji

)()(

22

axx

fa

xx

f

ijji

Definice.

n

iiitA

1

Je–li funkce f v bodě a diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá.

Jsou-li pro všechna i =1, … ,n spojité, je funkce f diferencovatelná, a tedy spojitá,

)(ax

f

i

i

n

i ii

n

ii dxa

x

fa

x

ftadf )()()(

11

Nadrovina se nazývá tečná nadrovina ke grafu funkce f: Rn R v bodě a, jestliže platí

Jsou-li všechny parciální derivace spojité, pak , i = 1, …, n.

. Chyba této aproximace je úměrná .

CtA

n

iii

1

0

...),...,(lim 1111

]0,...,0[],...,[ 1

t

CtAtAtataf nnnn

tt n

)(a

x

fA

ii

))((),...,(),...,( 11 axa

x

faafxxf

inn

ax

Poslední výraz lze přepsat do tvaru obecné rovnice nadroviny .

))(,(),...,()(0 11

afaAxxfxax

fni

n

i i

Směr kolmý k rovině vyjadřuje normálový vektor n = grad f ( a )

Normálová přímka v bodě [a, f(a)] má v Rn parametrický tvar:

tafZ

nitax

faX

iii

)(

,...,1,)(

Nechť funkce f : Rn R je (m + 1)-krát spojitě diferencovatelná v bodě a a na nějakém jeho okolí.Pak pro x z tohoto okolí platí

. Tento výraz se nazývá Taylorův rozvoj funkce f na okolí bodu a.

se nazývá Taylorův polynom m-tého řádu funkce f v bodě a a Rm se nazývá

Lagrangeův zbytek. Rm je úměrný d (m+1) f (a).

m

m

i

i

Ri

afdafxf

1 !

)()()(

m

i

i

m i

afdafaT

1 !

)()()(

Příklad.

Je dána funkce . 22 32),( yxyxyxf

yx

x

f22

yxy

f62

2

2

2

x

f 6

2

2

y

f 2

22

xy

f

yx

f

Tečná nadrovina k funkci f v bodě [-1,1] :

)1)(1,1()1)(1,1(0

yy

fx

x

fz

yxyxz 44)1(4)1(4

Příklad.

Vypočítejte přibližně hodnotu funkce v bodě [1.11, 0.58] pomocí hodnot v bodě [1, 0.5]. 33 4)( yxxf

f (1, 0.5) = 1.5, x - x0 = 1.11 – 1 = 0.11, y – y0 = 0.58 – 0.5 = 0.08.

23xx

f

212y

y

f

3)5.0,1(

x

f 35.0.12 2

y

f

07.208.0.311.0.35.1)58.0,11.1( f

Při tom f (1.11,0.58) = 2.148079. Rozdíl je dán pohybem po lineární tečné nadrovině při aproximaci.

Lokální extrémy funkcí.

Jedná se o funkce Rn R .Nechť funkce f: Rn R má definiční obor D(f). Jestliže existuje okolí bodu a D(f) takové, že pro každé xz tohoto okolí je •f(x) ≥ f(a), pak a je lokální minimum funkce f.•f(x) > f(a), pak a je ostré lokální minimum funkce f.•f(x) ≤ f(a), pak a je lokální maximum funkce f.•f(x) < f(a), pak a je ostré lokální maximum funkce f.

Nechť funkce f: Rn R má definiční obor D(f). Nechť existují všechny parciální derivace funkce f v bodě a.Nechť a je lokální extrém funkce f. Pak a je stacionární bod funkce f.

Příklad.

Obecně.

Nechť f : Rn R , a D (f) je stacionární bod funkce f. Nechť na okolí bodu a existují všechny 2. parciálníderivace a jsou spojité.Pak jestliže• pro každé sudé i je Di > 0 a zároveň pro každé liché i je Di < 0, f má v bodě a lokální maximum.• pro každé sudé i je Di > 0 a zároveň pro každé liché i je Di > 0, f má v bodě a lokální minimum.• v ostatních případech f může a nemusí mít v bodě a lokální extrém.

Příklad.

D (f) = R2