FUNGSI PEMBANGKIT
description
Transcript of FUNGSI PEMBANGKIT
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Fungsi pembangkit merupakan alat untuk menangani masalah-masalah
pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan. Fungsi seperti ini diperlukan
untuk menyelesaikan masalah yang tidak memperhatikan urutan. Metode fungsi
pembangkit berakar dari karya De Mevre tahun 1720, dikembangkan oleh Euler
dalam tahun 1748, kemudian pada akhir dan awal abad 19 secara intensif dipakai
oleh Laplace sehubungan dengan teori probabilitas.
Sebelum membahas metode fungsi pembangkit, terlebih dahulu diperkenalkan
deret kuasa.
a. Deret Kuasa
Deret kuasa didefinisikan sebagai deret tak terhingga yang berbentuk
∑
Bila ada bilangan positif R sedemikian sehingga deret tak terhingga ini selalu
konvergen untuk untuk suatu bilangan positif R. R dalam hal ini disebut
radius konvergensi dari deret kuasa di atas. Ada kalanya suatu deret kuasa tidak
konvergen untuk semua nilai x (x ; dan dikatakan deret tersebut divergen.
Perlu dicatat, dalam banyak hal kelak kita tidak tertarik dengan kekonvergenan
deret kuasa tersebut, tapi kita tertarik dengan koefisien-koefisien dari ; dengan
kata lain kita pandang sebagai sebuah ekspresi formal saja. Deret kuasa demikian
kita sebut deret kuasa formal.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Definisi fungsi pembangkit biasa
1.2.2 Menghitung koefisien pada fungsi pembangkit
1.3 Tujuan Makalah
1.3.1 Mengetahui definisi dari fungsi pembangkit biasa
1.3.2 Mengetahui cara mencari fungsi pembangkit biasa
2
1.3.3 Agar bisa menghitung koefisien pada fungsi pembangkit
1.4 Manfaat Makalah
Dapat memberikan informasi kepada pembaca tentang fungsi pembangkit
biasa, cara mencari fungsi pembangkit biasa dari suatu masalah, dan mengetahui
cara menghitung koefisen pada fungsi pembangkit.
3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi Fungsi Pembangkit
Misalkan ( adalah sebuah barisan bilangan.
Fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) dari barisan
{ }
adalah deret kuasa.
Contoh :
1. Bentuk fungsi pembangkit untuk ak = 1 untuk k = 0, 1, 2, …,
Penyelesaian :
3
3
2
210
0
)( xaxaxaaxaxf k
k
k
Substitusikan ak = 1 untuk k = 0, 1, 2, …,ke dalam rumus fungsi pembangkit
2
210
1)(
111)(
xxxf
xxxxf
2. Bentuk fungsi pembangkit untuk ak = C(n,k) untuk k = 0, 1, 2, …, n.
Penyelesaian :
kkn
k
k xk
nx
k
nx
k
n
k
nxaxf
2
0
)(
Substitusikan ak = C(n,k) untuk k = 0, 1, 2, …,n ke dalam rumus fungsi
pembangkit
4
n
nkn
k
k
nkn
k
k
xxf
xn
nx
nx
nxaxf
xn
nx
nx
nnxaxf
)1()(
211)(
210)(
2
0
2
0
2.2 Menghitung Koefisien pada Fungsi Pembangkit
Kita akan mengembangkan teknik-teknik aljabar untuk menghitung
koefisien dungsi pembangkit. Teknik-teknik tersebut adalah dengan mereuksi
fungsi pembangkit yang diberikan menjadi fungsi pembangkit dengan tipe
binomial atau hasil kali dari fungsi pembangkit dengan tipe binomial. Berikut ini
adalah semua identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan.
1. nn
xxxx
x
21
11
1
Bukti :
)1()1()1)(1( 222 nnn xxxxxxxxxxx
1
1322
1
)()1(
n
nn
x
xxxxxxx
Sehingga diperoleh nn
xxxx
x
21
11
1
2.
211
1xx
x
Bukti :
)1()1()1)(1( 222 xxxxxxxx
1
)()1( 322
xxxxx
Sehingga diperoleh
211
1xx
x
5
3. nnx
n
nx
nx
nx
2
2111
Bukti :
)1()1)(1()1( xxxx n
Koefisien dari rx dengan nr 0 , merupakan banyaknya seluruh cara berbeda
memilih x sebanyak r kali dan 1 sebanyak rn dari n faktor yang tersedia.
Banyaknya seluruh cara memilih x sebanyak r kali sebanyak rn dari n faktor
yang tersedia adalah
r
n.
Jadi rn
r
rrnn
r
n xr
nx
r
nx
00
1)1(
4. nmnrmrmmnm xn
nx
r
nx
nx
nx
11
2111 2
Bukti :
Kita tahu bahwa (Teorema Binomial)
nnx
n
nx
nx
nx
2
2111
Untuk x = -xm, diperoleh
nmmmnm xn
nx
nx
nnx )()(
2)(
10)1( 21
mnnmmnm xn
nx
nx
nnx )1()1(
2)1(
10)1( 221
mnnmmnm xn
nx
nx
nnx )1(
210)1( 2
n faktor
6
5.
i
n
i
nx
i
inx
x
00
1
1
1
Bukti :
Dari nomor 2, jika x kita ganti dengan ax, maka diperoleh
i
i
i xaax
01
1 (5)
Substitusikan a = -1 pada persamaan (5) akan memberikan
i
i
i xx
0
)1(1
1 (6)
Jika pada persamaan (6) kita substitusikan ax pada x, akan diperoleh
i
i
i xaax
0
)1(1
1 (7)
Sekarang kita pangkatkan ruas kiri persamaan 2. Kita peroleh
i
n
i
nx
i
inx
x
00
1
)1(
1 (8)
6. Jika )()()( xgxfxh , dimana
...)( 210 xbxbbxg
Maka ...)()()( 2
201102100100 xbababaxbababaxh
...)...2( 021101
r
rr xbabarbaba
7. Koefisien rx pada nxx ...)1( 2 adalah
r
nrrnrC
1),1(
7
Contoh :
1. Misalkan kita akan mencari koefisien 16x pada 5432 ...)( xxx .
Langkah pertama bentuk tersebut dirubah sebagai berikut :
5432 ...)( xxx = 522 ...1 xxx
= 5210 ...)1( xxx
= 5
10510
)1(
1.)
1
1(
xx
xx
Karena 61016 .xxx berarti mencari koefisien
16x pada 5432 ...)( xxx sama
dengan mencari koefisien 6x pada
5)1(
1
x yaitu 210
6
10
6
165
Jadi, koefisien 16x pada 5432 ...)( xxx adalah 210
2. Banyaknya cara untuk memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana tiap
tipe antara 2 dan 6 sama dengan mencari koefisien x25
dari fungsi pembangkit :
765432 )( xxxxx
Fungsi pembangkit tersebut diubah sebagai berikut
74322765432 )1()( xxxxxxxxxx
743214 )1( xxxxx
Cari koefisien 11x pada 7432 )1( xxxx . Dengan menggunakan identitas (1)
diperoleh 757
75
7432 )1()1(1
1)1( xx
x
xxxxx
Misalkan 7)1()( xxf dan 75 )1()( xxG . Dengan menggunakan ekspansi
(5) dan (4), diperoleh
8
rx
r
rxxxxf
17
3
173
2
172
1
1711)1()( 27
.7
77)1(
2
7
1
71)1()( 35510575 xx
rxxxxg rr
Untuk mencari koefisien x11
pada h(x) = f(x)g(x) kita hanya membutuhkan bentuk
a11-i bi dalam ekspansi (6), yaitu
a11b0 + a6b5 + alb10 =
2
7
1
171
1
7
6
176
11
1711
Jadi, koefisien dari 11x adalah 11875
11875
14764812376
2
7
1
7
1
7
6
121
11
17
9
BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
1. Fungsi pembangkit merupakan alat untuk menangani masalah-masalah
pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan
2. Fungsi pembangkit biasa
3. Identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan untuk
menghitung koefisien pada fungsi pembangkit
10
3.2 Saran
Lebih banyak membaca buku dan latihan soal maupun yang lainnya untuk
memahami tentang Fungsi Pembangkit Biasa (Ordinary Generating Function).
Jika , dimana
Maka
Koefisien pada adalah
11
DAFTAR PUSTAKA
Sutarno, M.T. , Drs. Heri dkk. Matematika Diskrit. Jakarta : Universitas
Pendidikan Indonesia
Suweken, Gede. 2011. Matematika Diskrit. Singaraja : Terbitan sendiri
12