Fungsi Limit

53

Click here to load reader

description

ligog;oito;ti9tirirfifuiflttiivuvuitiutiutiutviutuututititik

Transcript of Fungsi Limit

Page 1: Fungsi Limit

1

FUNGSI & LIMIT

Page 2: Fungsi Limit

2

FUNGSI

Jika besaran y bergantung pada besaran x sedemikian hingga

setiap nilai x menentukan tepat satu nilai y, maka dikatakan

bahwa y adalah fungsi dari x.

Contoh: y = 4x + 1 f(x) = 4x + 1 y = f(x)

Contoh 1: f(x) = 2x2 – 1

f(0) =

f(4) =

f(k) =

f(k + 1) =

f(k) + 1 =

Nilai dari fungsi

2(0)2 – 1 = – 1

2(4)2 – 1 = 31

2(k)2 – 1 = 2k2 – 1

2(k + 1)2 – 1

= 2k2 + 4k + 1

= 2(k2 + 2k + 1) – 1

= 2k2 + 4k + 2 – 1

(2k2 – 1) + 1 = 2k2

Page 3: Fungsi Limit

3

FUNGSI

Contoh 2: F(x) = x2 – x + 1

F(0) =

F(3) =

F(k) =

F(2k) =

F(k + 1) =

= (k2 + 2k + 1) – (k+1) + 1

= k2 + 2k + 1 – k – 1 + 1

= k2 + k + 1

02 – 0 + 1 = 1

32 – 3 + 1 =9 – 3 + 1 = 7

k2 – k + 1

(2k)2 – 2k + 1 =4k2 – 2k + 1

(k+1)2 – (k+1) + 1

Page 4: Fungsi Limit

4

Fungsi yang didefinisikan sepotong-sepotong

Contoh :

f(1) =

f(2) =

f(0,5) =

f(3) =

f(t+1) =

3 , 0 < t + 1 ≤ 1

, -1 < t ≤ 03

3 + 2 (( t + 1) – 1) , t + 1 > 1

3 + 2(t) , t > 0

f(t+1) =

3 3

3 + 2(2 – 1) = 5 3 + 2(3 – 1) = 7

f(t) =3 , 0 < t ≤ 1

3 + 2(t – 1) , t > 1

f(x) =3 , 0 < x ≤ 1

3 + 2(x – 1) , x > 1

f(t+1) = …….?

, -1 < t ≤ 03

3 + 2(t) , t > 0

Page 5: Fungsi Limit

5

Contoh 2:

Tulis fungsi f(x) = |x| dalam bentuk fungsi sepotong-sepotong!

0x,x

0x,x|x|

Contoh 3:

2x – 4 , 2x – 4 ≥ 0

2x – 4 , 2x ≥ 4

, x ≥ 22x – 4

- (2x – 4) , 2x – 4 < 0

- 2x + 4 , 2x < 4

- 2x + 4 , x < 2

2x,4x2

2x,4x2)x(F

Jadi

Sesuai definisi:

Jadi fungsi f(x) = |x| dapat ditulis menjadi

0x,x

0x,x)x(f

Tulis fungsi f(x) = | 2x – 4 | dalam bentuk fungsi sepotong-sepotong!

Sesuai definisi:| 2x – 4 |

Page 6: Fungsi Limit

6

DOMAIN/ DAERAH ASALJika f(x) adalah suatu fungsi, maka domain f adalah

himpunan nilai-nilai yang diperkenankan untuk peubah

bebas x.

Contoh 1: f(x) = 2x2 + 1

Domain dari f(x) diatas adalah semua bilangan real,

jadi D = { x : x bilangan real}

Contoh 2: g(x) = 100 – 4x2 , 0 ≤ x ≤ 5

Domain dari g(x) diatas adalah D = { x : 0 ≤ x ≤ 5}

Page 7: Fungsi Limit

7

DOMAIN/ DAERAH ASAL

Contoh 3:)3x)(1x(

1)x(h

Jika nilai x = 1 atau x = 3 maka nilai h(x) menjadi tidak terdefinisi.

Jadi 1 dan 3 tidak termasuk dalam domain.

D = { x : x ≠ 1, x ≠ 3, x bilangan real}

Contoh 4: 4x)x(f

x – 4 ≥ 0

x ≥ 4

syarat:

jadi domain D = { x : x ≥ 4 }

Page 8: Fungsi Limit

8

LATIHAN

1. Diketahui f(x) = 3x2 + 2, tentukan:

a. f(-2) b. f(4) c. f(a+1) d. f(3t)

2. Diketahui , tentukan: 1x

1x)x(g

a. g(-2) c. g(a-1) b. g(1/4) d. g(2t+1)

3. Diketahui , tentukan:

1x,3

1x,1x)x(g

a. g(-2) b. g(3) c. g(t2 - 1)

4. Dapatkan domain dari fungsi-fungsi berikut

1x

1x)x(f

2

a. 2x3x)x(f b. 2x

1x)x(f

c.

d. x

xx)x(f

e.

3x2x

2x2)x(f

2

2

Page 9: Fungsi Limit

9

5. Nyatakan fungsi berikut dalam bentuk sepotong-sepotong

a. g(x) = 3 |x – 2| b. g(x) = 3 + |x + 2|

LATIHAN

c. f(x) = |x| + |3x + 1| d. f(x) = 3 |x – 2| - |x + 1|

6. Dapatkan semua nilai x yang memenuhi f(x) = a

2x3)x(f a. ; a = 6

b. f(x) = x2 + 5 ; a = 7

c. 3x

1)x(f

; a = 5

d. 3x

x)x(f

2

4

1a ;

Page 10: Fungsi Limit

10

OPERASI PADA FUNGSI

DEFINISI: Diberikan fungsi f dan g, maka

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

(f / g)(x) = f(x) / g(x)

Domain fungsi f + g, f – g dan f . g adalah irisan dari domain f

dan g.

Domain fungsi f / g adalah irisan dari domain f dan g kecuali

titik-titik

yang menyebabkan g(x) = 0.

Page 11: Fungsi Limit

11

Contoh:

2x1)x(f Dimisalkan dan g(x) = x – 1

Maka

(f + g)(x) = f(x) + (g)(x) = 2x1 + x – 1 = 2xx

(f - g)(x) = f(x) - (g)(x) = 2x1 - (x – 1)

1x2x1

2xx2

Domain f :

Domain g :

{ x: x ≥ 2}

{ x: x bil real}

Domain f + g:{ x: x ≥ 2}

Domain f - g: { x: x ≥ 2}

Page 12: Fungsi Limit

12

Contoh:

2x1)x(f dan g(x) = x – 1

(f . g)(x) = f(x) . (g)(x) = )1x)(2x1(

(f / g)(x) = )x(g

)x(f

1x

2x1

Domain f . g: { x: x ≥ 2}

Domain f / g: { x: x ≥ 2} Dan x – 1 ≠ 0

x ≠ 1

Karena 1 berada di luar { x: x ≥ 2} maka dapat ditulis

Domain f / g: { x: x ≥ 2}

Page 13: Fungsi Limit

13

KOMPOSISI FUNGSI

DEFINISI: Diketahui fungsi f dan g, maka komposisi f

dengan g, ditulis dengan f o g adalah fungsi yang

didefinisikan dengan:

(f o g)(x) = f ( g(x) )Contoh 1:

Diberikan f(x) = x2 dan g(x) = x + 1

maka

f(g(x)) =

g(f(x)) =

f(f(x)) =

(f o g) (x) =

(g o f) (x) =

(f o f) (x) =

f(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

g(x2) = x2 + 1

f(x2) = x4

g(g(x)) =(g o g) (x) = g(x + 1) =(x + 1) + 1 =x + 2

Page 14: Fungsi Limit

14

Diberikan f(x) = x2 + 3 dan x)x(g

maka

f(g(x)) = )x(f 3)x( 2 x + 3

g(f(x)) = g(x2 + 3) = 3x2

f(f(x)) =

(f o g) (x) =

(g o f) (x) =

(f o f) (x) = f(x2 + 3) = (x2 + 3)2 + 3

= x4 + 6x2 + 9 + 3

= x4 + 6x2 + 12

Contoh 2:

Page 15: Fungsi Limit

15

LATIHAN

1. Misalkan f(x) = x2 + 1, dapatkan

a. f(3x) b. f(x + 2) c. f(x + h)

2. Diberikan f(-1) = 4, f(2) = 5, g(-1) = 3 dan g(2) = -1, dapatkan

a. (f – g)(-1) b. (f . g)(-1) c. (f/g)(2) d. (f o g)(2)

Untuk no 3 – 7 dapatkan (f o g)(x) dan (g o f)(x)

3. f(x) = 2x, g(x) = x2 + 1

4. 1x)x(f , g(x) = x – 2

5. f(x) = x3 ,3 x

1)x(g

6. 10x2)x(f , g(x) = 8x2 + 5

7. 2x1

x)x(f

x

1)x(g

Page 16: Fungsi Limit

16

LATIHAN

8. Diketahui h(x) = 2x – 5, dapatkan

a. (h o h)(x) b. h2 (x)

9. Diketahui , dapatkan x

3)x(f

a.)x(f

1)

x

1(f b. f(x2) – f2 (x)

10. Diketahui f(x) = 2x + 1, dapatkanh

)x(f)hx(f

11. Diketahui f(x) = x2 + 1, dapatkanh

)x(f)hx(f

12. Diketahui g(x) = x3 , dan

8x,x

8x0,x

0x,x5

)x(f

Dapatkan (f o g)(x)

Page 17: Fungsi Limit

17

GRAFIK FUNGSI

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

(0, 2)

(-2, 0)

Contoh 1: Sketsa grafik f(x) = x + 2

f(x) = x + 2 y = x + 2

Contoh 2: Sketsa grafik f(x) = |x|

f(x) = |x|

0xjika,x

0jika,xy

x

y = |x|

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

x

y

(0, 2)

(-2, 0)0 -2

2 0

Page 18: Fungsi Limit

18

GRAFIK FUNGSI

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

Contoh 3: Sketsa grafik

1xjika,1

1jika,2x)x(f

x

Contoh 4: Sketsa grafik2x

4x)x(f

2

2x

4x)x(f

2

=(x + 2)(x – 2)

(x – 2)

= x + 2

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

Tetapi (x – 2) ≠ 0

Jadi untuk x = 2, f(x) tidak terdefinisi

x ≠ 2

Page 19: Fungsi Limit

19

GRAFIK FUNGSI

Contoh 5: Sketsa grafik

2x jika,1x

2 xjika,1)x(f

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

(0, 1)

x

y

0

1

f(x) = 1 y = 1

1

1

2

1

(1, 1) (2, 1) (2, 3)

x

y

2

3

f(x) = x + 1 y = x + 1

3

4

4

5

(3, 4) (4, 5)

Page 20: Fungsi Limit

20

LATIHAN

Buatlah sketsa grafik fungsi berikut:

7. g(x) = |x – 3| - x

10. g(x) = |x| + |x – 3|

1x,3

1x,1x)x(g1.

2x,4x

2x,2x)x(f2.

2x

4x)x(f

2

3.

3x,8x

3x,1x2)x(g6.

1x,2

1x,1x2)x(f4.

x

x2x)x(f

2 5.

1x

xx)x(f

23

8.

x

xx)x(f

39.

Page 21: Fungsi Limit

21

LIMIT

Perhatikan nilai dari fungsix

xsin)x(f

1

2

Pada tabel 1:

Nilai x bergerak menuju 0 dari sisi kiri.

Nilai f(x) bergerak mendekati 1.

Nilai 1 ini disebut limit dari f(x)=(sin x)/x

Untuk x mendekati 0 dari kiri.

1x

xsinlim

0x

x -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -0,01 0

f(x) 0,95885

0,97355

0,98507

0,99335

0,99833

0,99998

?

x 0 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

f(x) ? 0,99998

0,99833 0,99335

0,98507

0,97355

0,95885

Pada tabel 2:

Nilai x bergerak menuju 0 dari sisi kanan.

Nilai f(x) bergerak mendekati 1.

Nilai 1 ini disebut limit dari f(x)=(sin x)/x

Untuk x mendekati 0 dari kanan.

1x

xsinlim

0x

Page 22: Fungsi Limit

22

Grafikx

xsin)x(f

1x

xsinlim

0x

1

x

xsinlim

0x

Tetapi di x = 0,0

x

y

1

x

xsin 0

sin 0

Jika L)x(flim)x(flim00 xxxx

maka L)x(flim0xx

1x

xsinlim

0x

Baca: limit f(x) untuk x mendekati x0 sama dengan L.

Arti: nilai f(x) mendekati L untuk x mendekati x0 dari sisi kiri dan sisi kanan.

Jika )x(flim)x(flim00 xxxx

dikatakan )x(flim0xx

tidak ada

tidak terdefinisi

Secara umum:

Page 23: Fungsi Limit

23

Contoh 1

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) 2x

lim f(x) 2x

lim

)x(flim)x(flim2x2x

jadi f(x) 2x

lim

tidak ada

Nilai f(2) =

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

Contoh 2

f(x)

1xlim

f(x)

1xlim

f(x) 1x

lim

Karena mempunyai nilai

tak hingga, maka

f(x) 1x

lim

f(x) 1x

lim

tidak ada

1

4 1

+∞

+∞

+∞

Page 24: Fungsi Limit

24

Contoh 3

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) 1x

lim

f(x) 1x

lim

)x(flim)x(flim1x1x

jadi f(x) 1x

lim

tidak ada

Contoh 4: Limit Di Tak Hingga

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) xlim

f(x) xlim

+∞ - ∞

2

-1

Page 25: Fungsi Limit

25

LATIHAN

1.

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) 1x

lim

f(x) 1x

lim

f(x) 1x

lim

f(1) =

f(x) xlim

f(x) xlim

2.

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) 0x

lim

f(x) 1x

lim

f(x) 1x

lim

f(x) 1x

lim

f(1) =

f(0) =

f(x) xlim

f(x) xlim

Page 26: Fungsi Limit

26

PENGHITUNGAN LIMIT

LIMIT DASAR

k k ax

lim1.

k k x

lim2.

k k x

lim3.

a x ax

lim4.

x xlim5.

- x xlim6.

Contoh: 3 3 2x

lim

Contoh: 3 3 x

lim

Contoh: 3 3 x

lim

Contoh: 2 x 2x

lim

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) = 3

0 1 2-1-4 -2-3

3

4

-1

2

1

3 4

f(x) = x

Page 27: Fungsi Limit

27

TEOREMA

Misalkan lim disini berarti

Jika L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x), maka:

1. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2

2. lim [f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 - L2

3. lim [f(x).g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L1 . L2

4.

5.

,limax

0Ljika,L

L

)x(glim

)x(flim

)x(g

)x(flim 2

2

1

genap n jika 0 L untuk , L f(x) f(x) lim 1n

1nn lim

Dari teorema diatas didapatkan rumus:

1. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = L1n

2. lim k.f(x) = k.lim f(x) = k.L1, dengan k adalah suatu konstanta

Page 28: Fungsi Limit

28

Contoh 1:

)3x4lim5x

2(x 52

= 25 – 20 + 3

= 8

– 4.5 + 3

Page 29: Fungsi Limit

29

Contoh 1:

)3x4lim5x

2(x 3 5x

lim

2

5xlim x

= 52

= 25 – 20 + 3

= 8

4x 5x

lim

2 x5x

lim

x4 5x

lim

3 5x

lim

– 4.5 + 3

Page 30: Fungsi Limit

30

Contoh 2:

7 2 x

2

9x

xlim

25x952

16

8

4

8

= 2

52 – 2.5 – 7

925 = 25 – 10 – 7

Page 31: Fungsi Limit

31

Contoh 2:

7 2 x

2

9x

xlim

25x 9xlim 2

5x

)9xlim 2

5x

(

9limxlim5x

2

5x

952

16

8

4

8 = 2

7) 2 (x 2

xlim5x

=7 2 x2

5x5x5xlimxlimlim

=7 2 x2

5x5x5xlimxlimlim

9lim)xlim(5x

2

5x

=7 2 x)2

5x5x5xlimxlimlim(

= 52 – 2.5 – 7

925 = 25 – 10 – 7

Page 32: Fungsi Limit

32

Limit fungsi rasional untuk x a

Contoh 1:

Dapatkan 3x

4x5lim

3

2x

Penyelesaian:

3x

4x5lim

3

2x

32

42.5 3

441

44

Contoh 2:

Dapatkan 2x

4xlim

2

2x

Pembilang dan penyebut mempunyai limit mendekati 0 untuk x mendekati 2.

Limitnya dapat diperoleh dengan mencoret faktor persekutuannya.

2x

4xlim

2

2x

2x

)2x)(2x(lim

2x

)2x(lim

2x2 + 2 = 4

Page 33: Fungsi Limit

33

Limit fungsi rasional untuk x a

Contoh 3:

Dapatkan 12xx

8x2lim

24x

Penyelesaian:

34

2

7

2

12xx

8x2lim

24x )3x)(4x(

)4x(2lim

4x

)3x(

2lim

4x

Contoh 4:

Dapatkan 3x

9x6xlim

2

3x

Page 34: Fungsi Limit

34

Limit fungsi rasional untuk x aJika limit penyebutnya nol, tetapi limit pembilangnya tidak nol:

1. Limit mungkin +∞

2. Limit mungkin -∞

3. Limit mungkin +∞ dari satu sisi dan -∞ dari sisi lainnya

Page 35: Fungsi Limit

35

Limit fungsi rasional untuk x a

Contoh :??

8x2x

x2lim

24x

0- - - - - - - - - ++++++

-2 42

- -

(2-x)/(x-4)(x+2) Titik ujiselang

(+)/(-)(-) = +-3(-∞, -2)

(+)/(-)(+) = -0(-2, 2)

(-)/(-)(+) = +3(2, 4)

(-)/(+)(+) = -5(4, +∞)

8x2x

x2lim

24x-∞

8x2x

x2lim

24x+∞

8x2x

x2lim

24xTidak ada

8x2x

x2lim

24x )2x)(4x(

x2lim

4x

Pembuat nol:

2 – x = 0

x = 2

x – 4 = 0

x = 4

x + 2 = 0

x = -2

Page 36: Fungsi Limit

36

LATIHANLATIHAN

1x3xlim 3

5x

1.

3x12x

9x6lim

30x

3.

6xx

4x4xlim

2

2

2x

4.

2x

8xlim

3

2x

13.

3x

xlim

3x

10.

3x

9xlim

9x

8.

x

24xlim

0x

14.4x

xlim

22x 9.

2x3x

3x5xxlim

3

23

1x

11.

1x

1xlim

4

1x

7.

1x

x2xlim

2

3x

6.

)1x(

)2x)(1x(lim

2x

2.

10x3x

x3lim

22x

5.

x2

x4lim

4x

12.

3x

2x1lim

3x

15.

x

24xlim

2

0x

16.x

39x5lim

0x

17. |3x|

1lim

3x 18.

Page 37: Fungsi Limit

37

Limit yang memuat 1/x

x

y

x

1y

0

x

1lim

0x

x

1lim

0x

0x

1lim

x

0x

1lim

x

x

y

ax

1y

0

ax

1lim

ax

ax

1lim

ax

0ax

1lim

x

0ax

1lim

x

a

Page 38: Fungsi Limit

38

Limit polinomial untuk x +∞ atau x -∞

n

xxlim n = 1, 2, 3 …

...5,3,1n,

...6,4,2n,xlim n

x

0x

1lim

nx

0x

1lim

nx

5

xx2lim

Contoh:

+∞

5

xx2lim -∞

6

xx2lim -∞

6

xx2lim -∞

)x2x4x5(lim 35

x+∞

5

xx5lim

)xx5x4(lim 36

x-∞

)x4(lim 6

x

Page 39: Fungsi Limit

39

Limit fungsi rasional untuk x +∞ atau x -∞

8x6

5x3lim

x

x6

x3lim

x

2

1lim

x 2

11.

5x2

xx4lim

3

2

x2.

3

2

x x2

x4lim

x

2lim

x0

1x

x23lim

4

x3.

x

x2lim

4

x

2x- 3

xlim -∞

Latihan:

)h2(limh

1.

xx3

7x5lim

2

2

x

2.

4y

3lim

y 3.

1y

y25lim

2

3

y

4.

1x2x

2xlim

2x

5.

Page 40: Fungsi Limit

40

Limit fungsi yg didefinisikan sepotong-sepotong

Dapatkan untuk )x(flim

3x

3x,13x

3x,5x)x(f

2

Penyelesaian:

Dapatkan limit satu sisinya terlebih dahulu.

Untuk x mendekati 3 dari kiri, rumus untuk f adalah

Sehingga:

)x(flim

3x

(x 2 )5lim

3x32 – 5 = 4

Untuk x mendekati 3 dari kanan, rumus untuk f adalah 13x)x(f

)x(flim3x

13x

3xlim 4Sehingga: 133 16

Karena limit kiri dan limit kanannya sama, maka

4)x(flim3x

f(x) = x2 -5

Page 41: Fungsi Limit

41

Contoh 2

Dapatkan untuk )x(flim

3x

3x,6

3x,5x)x(f

2

Penyelesaian:

Untuk fungsi diatas )x(f lim

3x

)5(x lim 2

3x32 – 5 = 4

)x(f lim3x

rumus f(x) = x2 -5

dan sama sama menggunakan

sehingga

Page 42: Fungsi Limit

42

LATIHANLATIHAN

3x,7x3

3x,1x)x(f Dapatkan )x(flim

3x

1.

0x,2x

0x,x)x(f

2Dapatkan )x(flim

0x

2.

3x,7

3x,1x2x)x(f

2Dapatkan )x(flim

3x

3.

3x,k2

3x,3x

9x)x(f

2Dapatkan k sedemikian hingga

)x(flim)3(f3x

4.

Page 43: Fungsi Limit

43

KONTINUITASSuatu fungsi f dikatakan kontinu di titik p

jika:

a. f(p) terdefinisi

b. )x(flimpx

ada

c. )p(f)x(flimpx

Jika satu atau lebih syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di p.

Dan titik p disebut titik diskontinuitas.

Contoh 1: Tunjukkan bahwa f(x) = x2 + x + 1 adalah fungsi kontinu!Untuk semua bilangan real p: f(p) = p2 + p +1

)1xx(lim 2

pxp2 + p +1

)p(f)x(flimpx

Jadi f(x) = x2 + x + 1 adalah fungsi kontinu

Page 44: Fungsi Limit

44

Contoh 2:Tunjukkan bahwa fungsi diskontinu di x = 2!

2x

4x)x(f

2

Penyelesaian:

f(2) = Tidak terdefinisi

2x

4lim

2x

2x

2x

)2x)(2lim

2x

(x

2)(x

2xlim 2 + 2 = 4

Karena f(2) tidak terdefinisi maka f diskontinu di x = 2

2

4

f(x)

x

y

Page 45: Fungsi Limit

45

Contoh 3:

Apakah fungsi kontinu di x = 2!

2x,3

2x,2x

4x)x(f

2

Penyelesaian:

f(2) = 3

2x

4lim

2x

2x

2x

)2x)(2lim

2x

(x

2)(x

2xlim 2 + 2 = 4

2

3

f(x)

x

y

)x(flim2x

Karena ≠ f(2) maka f diskontinu di x = 2)x(flim2x

Page 46: Fungsi Limit

46

Contoh 5:

Tentukan nilai k sehingga kontinu!

1x,k

1x,5x3)x(f

2

)x(flim1x

)5x3lim 2

1x(

3.12 + 5 = 8

Agar f(x) kontinu maka f(1) harus sama dengan )x(flim

1x

Penyelesaian:

f(1) = )x(flim1x

k = 8

Jadi agar f(x) kontinu maka k = 8

Page 47: Fungsi Limit

47

LATIHANLATIHAN

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu!

Dapatkan k sehingga f(x) kontinu!

1x,kx

1x,2x7)x(f 2

2x,kx2

2x,kx)x(f

2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2x,x9

2x,3x2)x(f

3x,5

3x,5x3)x(f

2x,x5

2x,2x

2xx)x(f

2

3x,6

3x,3x

6xx)x(f

2

Page 48: Fungsi Limit

48

Contoh 4:

Dapatkan titik-titik diskontinuitas pada fungsi4x

4x)x(f

2

Penyelesaian:

f(x) diskontinu di titik yang menyebabkan x2 – 4 = 0

x2 – 4 = 0

(x + 2)(x – 2) = 0

x + 2 = 0 atau x – 2 = 0

x = -2 atau x = 2

Jadi titik diskontinuitasnya adalah x = -2 dan x = 2.

Page 49: Fungsi Limit

49

LATIHANLATIHAN

1x

x)x(f

2

4x

x2

x

5)x(f

3|x|

x)x(f

x3x

3x)x(f

2

Dapatkan titik diskontinuitas!

1.

2.

3.

4.

Page 50: Fungsi Limit

50

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Teorema:

1h

hsinlim

0h

1.

0h

hcos1lim

0h

2.

Contoh 1:

Carilah !x

xtanlim

0x

Penyelesaian:

x

xtanlim

0x

x

xcosxsinlim

0x

xcos.x

x sin lim

0x

xcos

1.

x

x sin lim

0x1 . 1 = 1

Page 51: Fungsi Limit

51

Contoh 2:

Dapatkan ! x

2x sin lim

0x

x

2x sin lim

0xPenyelesaian:

x

2x sin lim

0x

2

21 . 2 = 2

Contoh 3:

Dapatkan ! x5 sin

3x sin lim

0x

Penyelesaian:

x5 sin

3x sin lim

0x

0xlim

Sin 3x

Sin 5x

x

x

0xlim

Sin 3x

Sin 5x

/ x

/ x

=

33

55

0xlim

Sin 3x

Sin 5x

x

x

=

=1.

1.

3

5=

5

3

Page 52: Fungsi Limit

52

LATIHAN

x2

x sin lim

0x1.

h

3h sin lim

0h2.

20x x

x sin lim

3.

|x|

x sin lim

0x 4.

2

2

0x x3

x sin lim

5.

x3

x7 sin lim

0x6.

x tan

x lim

0x7.

x cos 1

x lim

2

2

0x 8.

x

x sin3 x lim

2

0x

9.

x

x sin x2 lim

0x

10.

Dapatkan limit berikut!

x

1sin x lim

x

Misalkan t = x

1

11.

)x

1cos - (1 x lim

x

Misalkan t = x

1

12.

sin x

x- lim

x

Misalkan t = π – x

13.

Page 53: Fungsi Limit

53

LATIHANDapatkan nilai k sedemikian

hingga

0x,k

0x,x

3xsin f(x)

kontinu di x = 0

Dapatkan nilai k sedemikian hingga

0x,2k3x

0x,x

kxtan f(x)

2

kontinu di x = 0

14.

15.