DIFERENSIAL KALKULUS

FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

1.1 FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

Jika terhadap setiap titik (x,y) yang terletak di bidang xy dikaitkan suatu bilangan

real z, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari dua variabel x dan y. Contoh

fungsi semacam itu adalah :

z = x2 — y2 , z = x sin xy

Diferensiasi terhadap fungsi-fungsi tersebut sesuai diferensiasi fungsi

y = u + v , y = u.v , y = u/v

dengan u dan v adalah fungsi x. Dalam bebetapa hal fungsi dari dua variabel dapat

dianggap sebagai fungsi dari satu variabel dengan variabel lainnya dianggap konstan.

Fungsi dengan lebih dari dua variabel dibahas serupa. Contoh fungsi dengan lebih

dari dua variabel :

u=xyz, u=x2 + y2 + z2 – t2

Fungsi dengan lebih dari dua variabel sering dijumpai di fisika, misalnya.

1.2 DOMAIN DAN KAWASAN

Lazimnya fungsi dari variabel didefinisikan dalam suatu interval

Lazimnya fungsi dari satu variabel didefinisikan dalam suatu interval . Untuk

suatu fungsi dari variabel x dan y diperlukan konsep serupa. Layaknya didefinisikan

dalam empat persegi panjang.

Berbagai masalah yang dihadapi memerlukan daerah definisi berupa

lingkaran, elips dan sebagainya. Untuk mencakup hal ini perlu dirumuskan pengertian

domain. Pengertian tentang himpunan titik-titik di bidang xy berarti setiap kumpulan

titik-titik, terhingga atau tak terhingga jumlahnya, misalnya :

- Titik-titik (0,0) dan 91,0)

- Titik-titik pada garis y=x

- Titik-titik didalam lingkaran x2+y2 = 1

Lingkungan dari titik (x1,y1) diartikan himpunan titik-titik dalam lingkaran

berpusat di (x1,y1) dan berjari-jari , maka dapat disebut lingkungan berjari-jari .

Setiap titik (x,y) dari lingkungan memenuhi pertidaksamaan.

Suatu himpunan disebut himpunan terbuka jika setiap titik (x,y) dari

himpunan mempunyai lingkungan yang seluruhnya terletak dalam himpunan tersebut.

Titik-titik dalam (interior) dari suatu lingkungan adalah terbuka, begitu pula dari

ellips, bujur sangkar dan sebagainya. Himpunan terbuka ini ditentukan oleh

pertidaksamaan :

Seluruh bidang xy adalah terbuka, begitu pula setengah bidang x >0.

Titik-titik dalam sebuah lingkaran berikut kelilingnya tidak terbuka, karena

lingkungan titik pada keliling tidak seluruhnya terletak dalam lingkaran sebagai

himpunan titik-titik.

Suatu himpunan A tertutup j'ka titik-titik dari bidang yang tidak di A

membentuk himpunan terbuka.

Titik-titik pada keliling lingkaran x2 + y2 = 1 dan di luarnya membentuk

suatu himpunan tertutup. Titik-titik pada keliling dan di dalam lingkaran membentuk

himpunan tertutup pula.

Suatu himpunan terbatas jika seluruh himpunan dapat dicakup dalam suatu

lingkaran yang cukup besar. Maka titik-titik dari bujur sangkar

merupakan himpunan terbatas tetapi himpunan ini tertutup pula. Titik-titik interior

dari ellips x2+2y2< 1 merupakan himpunan terbatas yang terbuka.

Domain didefinisikan sebagai himpunan terbuka yang berh dan bersifat bahwa

setiap dua titik P dan Q dari himpunan dapat dihubungkan oleh garis patah yang

seluruhnya terletak dalam himpunan. Jelas, titik-titik dalam suatu lingkaran

merupakan dcmain. Kita ingat-kan bahwa suatu domain D lidak dapat dibentuk oleh

dua himpunan terbuka yang tidak bertindihan.

Misalnya, titik-titik memenuhi | x | > 0 membentuk himpunan E terbuka

terdiri atas dua bagian, himpunan titik-titik x > 0 dan himpunan titik-titik x < 0.

Himpunan E ini bukan domain, karena titik (-1,0) dan (1,0) yang terletak di E

tak dapat dihubungkan oleh garis patah yang seluruhnya terletak di E.

Suatu titik batas (boundary) dari suatu himpunan memiliki sifat bahwa setiap

lingkungannya mengandung paling sedikit satu titik di dalam himpunan dan paling

sedikit satu titik tidak di dalam himpunan.

Titik-titik batas dari domain lingkaran: x2 + y2 < 1 adalah titik-titik pada

keliling x2 + y2 = 1.

Tidak ada titik batas dari himpunan terbuka yang dapat merupakan anggota

himpunan tersebut, sebaliknya setiap titik batas dari himpunan tertutup adalah

anggota himpunan tersebut.

Kawasan atau region dipakai untuk menyatakan suatu himpunan, mungkin

ditambah dengan sebagian atau seluruh batas. Kawasan dapat berupa domain jika

tidak ada titik batas yang diikutsertakan. Jika se-mua titik batas diikutsertakan,

kawasan disebut kawasan tertutup dan merupakan himpi'nan tertutup.

Jadi, lingkaran. dengan titik dalamnya: x2 + y2 < 1 adalah kawasan tertutup.

Suatu domain kadang-kadang disebut kawasan terbuka. Sering kita jumpai bahwa

suatu domain didefinisikan oleh satu atau lebih pertidaksamaan.

Batas dari domain didefinisikan oleh satu persamaan atau lebih, sedang

kawasan didefinisikan oleh gabungan dari pertidaksamaan dan persamaan,

misalnya :

xy < 1 adalah domain

xy = 1 adalah batasnya

xy 1 adalah kawasan tertutup

Perluasan pengertian ini ke dalam tiga dimensi atau lebih tidak sukar. Untuk

empat dimensi atau lebih penampilan secara grafik menjadi sulit.

Lingkungan titik (x1,y1,z1) dalam ruang merupakan himpu titik-titik (x,y,z) di

dalam bola:

Definisi selanjutnya dapat dikembangkan sesuai di atas. Untuk satu dimensi,

definisi berupa demikian: Lingkungan titik x pada sumbu x adalah interval

Suatu domain pada sumbu x dapat berupa salah satu htmpunan berikut:

(1) Interval terbuka

(2) Interval tak terhingga terbuka

(3) Interval tak terhingga terbuka

(4) Seluruh sumbu x.

1.3 TURUNAN PARSIAL

Misalkan z = f(x,y) didefinisikan dalam domain D di bidang xy dan misalkan

(x1, y1) sebuah titik dari D.

Fungsi (x1, y1) tergantung pada x saja dan didefinisikan dalam interval sekitar

x1. Maka turunannya terhadap x di x = x1 mungkin ada. Jika ada, nilainya disebut

"tuiunan parsial" dari f(x,y) terhadap x d' (x1, y1) dan dinyatakan oleh

Notasi-notasi lain yang digunakan adalah zx, fx, tetapi jika v< dan turunan parsial

digunakan bersama-sama, notasi seperti -^- atai

lebih diinginkan.

Fungsi z = f{x,y) dapat digambarkan oltii sebuah permukaan d ruang. Persamaan

y = yj adalah bidang datar dan perpotonga dengan permukaan f(x,y) berbentuk suatu

lengkung.

Turunan parsial di (x ,y,) dapat dijelaskan sebagai condong dari garis

singgung pada lengkung di titik (x1, y1).

Misalkan kita pilih z = 5 + x2 — y2 ditenti di

titik x = 1, y = 2

Untuk y = 2 diperoleh

dan fx(1,2)=2

Turunan parsial ditentukan serupa, x diambil tetap sama dengan x1,

dan f(x1,y) diturunkan terhadap y.

Maka didapat

Ini dapat diterangkan sebagai condong dari garis singgung pada kung yang

merupakan perpotongan antara bidang x = x1 dan permukaan z= f(x,y). Untuk turunan

ini ditulis pula fy(x1 ,y1 ).

Jika titik (x1,y.) berubah-ubah, diperoleh fungsi baru dalam variabel ialah

fungsi fx(x,y).

Demikian pula turunan adalah fungsi fy(x,y).

Untuk fungsi z = f(x,y), turunan diperoleh dengan menurunkan fungsi terhadap satu

variabel, sedang variabel satunya dianggap tetap.

Definisi-definisi di atas-dapat diperluas untuk fungsi-fungsi dari tiga variabel atau

lebih. Jika w = g(x,y,u,v) maka sa'ah satu turunan parsialnya adalah

3w_ lim g(x,y,u + A^v)-g(x,y,u,v) 9u AU-H-O Au

dengan variabel-variabel x,y,v dianggap tetap. Untuk^ fungsi-fungsi dengan

beberapa variabel, lebih baik dicantumkan tanda dari variabel yang kita anggap tetap

pada turunan parsial. Misalnya

DIFERENSIAL TOTAL

Dalam membentuk turunan parsial , perubahan

ditinjau berasingan. Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama.

Misalkan (x,y) titik tertentu dari D dan (x + Ax, y + Ay) titik kedua dari D. Maka

fungsi z = f(x,y) berubah sebesar Az bermula dari (x,y) sampai (x + Ax, y + Ay).

z = f(x + x, y + y) - f(x,y)

Pernyataan ini menentukan z sebagai fungsi dari x dan y, dan x dan y

dianggap konstan, dengan sifat khusus :

z = 0 jika x = 0 dan y = 0 Misalkan jika z =x2 + xy + xy2, maka

Jelas terlihat bahwa Az adalah fungsi dari x dan y. Umumnya fungsi z = f(x,y)

dikatakan mempunyai diferensial total di titik (x,y)

jika di titik ini z = a x + b y + e1 x +e2 y

dengan a,b tidak tergantung pada x, y dan e1 dan e2 adalah fungsi dari x dan

y sehingga

persamaan linear dari a x dan b y disebut diferensial total dari z dititik (x,y) dan

dinyatakan oleh dz :

dz = a x +b y

Jika cukup kecil, nilai z mendekati dz. Tepatnya dapat ditulis

penggantian e1 dan e2 oleh 0 tidak akan mengakibatkan kesalahan yang berarti, jika

x dan y diambil cukup kecil. (Tinjauan ini tidak berlaku jika a atau b bernilai 0).

Teorema : jika z =f9x,y) mempunyai diferensial total di titik (x,y) maka,

adalah kedua turunan parsial di (x,y) dan bernilai sebagai yang

diberikan.

Bukti : Tentukan y=0 (karena y konstan)

Dengan jalan serupa ditunjukkan . Terdapatnya turunan parsial di titik (x,y),

belum cukup memberi jaminan aanya diferensial total, tetapi kontinuitasnya disekitar

titik tersebut cukup memberi jaminan.

Lemma Dasar

Jika z=f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D, maka z

mempunyai diferensial total :

Untuk fungsi dari tiga variabel atau lebih, misalnya w=f(x,y,u,v), maka :

Diferensial Fungsi dari fungsi

Fungsi berikut yang akan ditinjau didefinisikan dalam domain tertentu dan

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu sehingga diferensialnya dapat

dibentuk.

Teorema. Jika

Pada umumnya jika z = f(x,y,t, ....... ) dan x = g(u,v,w, .........)

Y=h(u,v,w,........) . t =p(u,v,w,.......)

Maka :

persamaan z=f(x,y) dan x = g9t), y=h(t) dapat ditulis z=f(g(t), h(t) dan merupakan

fungsi t dengan turunan sedang dan masing-masing adalah g’9t) dan h’(t).

Turunan dapat ditulis yang sama dengan fx(x,y)

dan fy(x,y).

Teorema diatas dengan mudah dapat dibuktikan jika ditinjau :

dan , sedangkan e1 dan e2 mendekati 0 karena x dan y mendekati 0.

Maka :

sesuai apa yang harus dibuktikan.

Ketiga fungsi t;x=g(t), y=h(t), z=f[g(t), h(t)] mempunyai diferensial

Teorema

Rumus diferensial yang berlaku jika z=f(x,y,t ......)

dan dx = x, dy = y, dt= t, ..... , tetap berlaku jika x,y,t, ...... , juga z adalah fungsi

dari variabel bebas lainnyaa dan dx, dy, dt ......., dz adalah diferensial bersangkutan.

Fungsi Implisit, Fungsi Invers, Jacobian

Jika F (x,y,z) adalah fungsi dari x, y, z yang diberikan, maka persamaan F

(x,y,z) = 0 adalah hubungan anara fungsi z dengan x dan y.

Jika x2 + y2+z2 – 1 = 0, maka atau dan kedua

fungsi tertentu . Kedua fungsi ini secara implisit oleh persamaan

.

F (x,y,z) = 0 mungkin menentukan satu atau lebih fungsi implisit w dari x,y,z.

Jika dua persamaan semacam itu diberikan :

F(x,y,z,w0 = 0 dan G (x,y,z,w) = 0

Pada umumnya secara teori mungkin untuk menyusutkan persamaan dengan

eliminasi menjadi bentuk

W=f(x,y) dan z=g(x,y)

Maka diperoleh dua persamaan dengan dua variabel.

Pada umumnya, jika dimiliki m persamaan dengan n anu (m<n), mungkin

memecahkan m variabel sebagi fungsi dari n-m variabel lainnya. Jumlah variabel

bebas sama dengan banyaknya persamaan.

Untuk memperoleh gambaran yang jelas, baiklah kita berikan suatu contoh

yang khusus, dimana fungsi-fungsi itu linear.

Misalkan diberikan tiga persamaan dalam 5 anu :

F (x,y,z,u,v) = 0, G(x,y,z,u,v) = 0 H(x,y,z,y,v) = 0 dengan F, G dan H adalah

linear tanpa konstanta.

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis

a1x + b1y + c1z + d1u + e1v = 0

a2x + b2y + c2z + d2u + e2v = 0

a3x + b3y + c3z + d3u + e3v = 0

penyelesaian khusus untuk persamaan ini adalah x = 0, y = 0, z = 0, u = 0, v = 0.

misalkan x, y, z dipilih sebagai variabel bebas, sedang u dan v tidak bebas, maka

dapat ditulis.

a1x + b1y + c1z = - d1u + e1v

a2x + b2y + c2z = - d2u + e2v

a3x + b3y + c3z = - d3u + e3v

penyelesaian untuk x,y,z mudah dilakukan dengan menggunakan aturan Cramer.

Determinan dari koefisien dari koefisien-koefisien adalah :

determinan yang diperoleh dari D dengan menggantikan kolom pertama dari D

dengan kolom dari konstanta, dinyatakan dengan D1

Demikian pula D2 dan D3 adalah determinan masing-masing dibentuk dari D dengan

menggantikan kolom kedua dan ketiga.

Jika D 0, maka penyelesaian tunggal adalah

Kalau D1 ditulis dalam bentuk yang lebih ringkas

maka

Begitu pula y dan z dapat dinyatakan dalam bentuk serupa.

Maka x,y,z dapat ditulis dalam bentuk “fungsi linear dalam u dan v”, yang menyusut

menjadi 0 untuk u = 0 dan v = 0.

Jika D =0, mungkin memilih tiga variabel lainnya, misalnya x,u,v yang memberikan

D 0.

Jika tidak mungkin memilih tiga variabel linear sehingga D 0, maka sistem

persamaan-persamaan ini dikatakan degrenerated.

Marilah kita tinjau kembali yang lebih umum di mana F,G,H tidak linear.

Jika x,y,z dianggap fungsi dari u dan v, maka

X=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)

Dapat ditulis :

F[f(uv), g(u,v), h(u,v) u,v] = 0

G[f(uv), g(u,v), h(u,v) u,v] = 0

H[f(uv), g(u,v), h(u,v) u,v] = 0

Diferensial total dari fungsi-fungsi ini sama dengan nol, maka :

Fxdx + Fydy + Fzdz + Fudu + Dvdv = 0

Gxdx + Gydy + Gzdz + Gudu + Dvdv = 0

Hxdx + Hydy + Hzdz + Hudu + Dvdv = 0

Diferensial dx, dy dan dz dapat dinyatakan dalam du dan dv.

Kita tinjau persamaan F,G,H untuk titik tertentu (x1, y1, z1, u1, v1). Turunan parsial Fx,

Fy, ...... dihitung di titik (x1, y1, z1, u1, v1), sehingga koefisien-koefisien dalam (1.4)

dapat dianggap sebagai konstanta.

Maka (1.4) akan serupa dengan (1.2), yang merupakan persamaan-persamaan linear

simultan dalam 5 anu, ialah dx, dy, du, dv.

Ini dapat diselesaikan dengan determinan, untuk memperoleh tiga anu misalnya dxm,

dy, dz dalam suku du dan dv.

Maka diperoleh

dengan mudah dapat dimengerti bahwa

Dalam kuliah-kuliah yang lebih lanjut ditunjukkan bahwa jika F,G,H

mempunyai turunan kontinu dalam domain termasuk titik (x1,y1,z1,u1,v1) maka

persyaratan D 0 cukup untuk menjamin bahwa x,y,z adalah fungsi-fungsi dari u dan

v yang dapat diturunkan dan terdefinisikan di sekitar titik (u1, v10 dengan nilai x1, y1,

z1 dititik tersebut.

Teorema tersebut di atas adalah bentuk umum dan dikenal sebagai teorema

implist. Bukti untuk teorema ini dapat diambil dari buku Courant’s Differential and

Integral Calculus. Jika D=0, dipilih variabel bebas lainnya sehingga D 0.

Determinan D disini dibentuk secara khusus oleh turunan parsial dari tiga

fungsi tersebut, yang merupakan fungsi dari tiga variabel ini. Determinan-determinan

semacam ini disebut determinan Jacobian. Determinan Jacobian ditulis secara

ringkas.

Tepatnya turunan ini harus ditulis dan seterusnya. Apa yang telah

diterangkan adalah khas untuk sistem m persamaan dalam n anu. Berapa contoh

lainnya akan diberikan sebagai berikut :

1 Persamaan dalam 2 anu : F(x,y) = 0

1 persamaan dalam 3 anu : F(x,y,z) = 0

2 persamaan dalam 3 anu F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0

2 persamaan dalam 4 anu : F(x,y,u,v) = 0, G(x,y,u,v) = 0

Cara lain : Fungsi-fungsi F,G,H dapat diturunkan secara parsial terhadap u ata v dan

diperoleh diantaranya.

Persamaan ini adalah linear dalam tiga turunan parsial, yang dapat diselesaikan

dengan determinan untuk . Hasilnya tentu akan serupa. Selain cara

determinan dapat pula digunakan cara eliminasi. Misalnya untuk persamaan-

persamaan :

u + 2 v – x 2 + y2 = 0 , 2u – v – 2xy = 0

Kita punyai :

du + 2dv – 2xdx + 2y dy = 0, 2du = dv = 2y dx = 2x dy = 0

dapatkah sekarang dipecahkan untuk dx dan dy dalam du dan dv.

(2x-y) du – (x+2y0 dv – (2x2 + 2y2) dy = 0

dari persamaan ini terbaca :

sesuai di atas dapat dihitung turunan-turunan lainnya.

Penyelesaian dengan determinan sebetulnya merupakan langkah yang sistematis.

Fungsi Invers

Jika jumlah variabel tidak bebas sama dengan jumlah variabel bebas, persamaan-

persamaan simultan ini dapat dianggap sebagai transformasi dari koordinat-koordinat.

Maka, jika

F(x,y,u,v) = 0 , G(x,y,u,v) = 0

Fungsi-fungsi bersangkutan

x = f(u,v), y = g (u,v) (1.6)

dapat dianggap sebagai titik-titik berpasangan di bidan xy dan di bidang uv

Lengkung-lengkung u = tetap dan v = tetap di bidang xy menentukan suatu sistem

koordinat-koordinat lengkung di bidang xy.

Contoh yang lazim dari ini adalah persamaan-persamaan :

x= e cos , y = r sin

yang menghubungkan koordinat tegak lurus dan koordinat polar.

Jika tranformasi diberikan secara eksplisit seperti (1.6) maka turunan parsial

dapat langsung dibaca. Variabel-variabel u dan v dapat pula dipilih

sebagai variabel tidak bebas, sedang x dan y bebas.

Persamaan implisitnya menjadi

u = k(x,y), v = 1(x,y) (1.70

Persamaan-persamaan (1.7) merupakan invers dari (1.6). untuk memperoleh turunan

parsial dari fungsi invers, dapat ditulis (1.6) dalam bentuk lain.

f(u,v) – x = 0, g(u,v) – y = 0

Contoh penyelesaian 2 persamaan dengan 4 anu dapat diterapkan disini,

sehingga diperoleh

Jacobian memegang peranan penting disebut “Jacobian

dari transformasi”.

Teorema fungsi implisit tersebut di atas mengandung arti bahwa jika Jacobian

tidak 0 di titik (u1, v1), maka fungsi invers k(x,y) dan 1(x,y) dapat diturunkan

dan didefinisikan dengan baik di sekitar titik (x1, y1), dimana x1 = f(u1, v1) dan y1 =

g(u1, v1).

Jacobian bersikap seperti turunan pula dalam beberapa hal, misalnya

peraturan-peraturn seperti berikut :

persamaan kedua menunjukkan bahwa Jacobian dari transformasi invers

adalah kebalikan dari Jacobian transformasi semula.

Turunan Parsial Orde Lebih Tinggi

Diberikan fungsi z=F(x,y), maka kedua turunan parsialnya dan adalah

fungsi-fungsi dari x dan y pula :

masing-masing dapat diturunkan terhadap x dan y, maka diperoleh keempat turunan

parsial keduanya :

Maka diperoleh karena diturunkan terhadap x1, sedang diperoleh

dengan menurunkan terhadap y. Jika turunan kontinu dalam suatu domain maka

berlaku

Turunan parsial ketiga dan orde lebih tinggi didefinisikan serupa, dan urutan turunan

tidak dipengaruhi jika turunan-turunan terebut kontinu dalam domain tersebut.

Untuk turunan parsial orde tiga diperoleh empat rupa :

Notasi-notasi lain untuk turunan-turunan orde tinggi sebagai berikut :

Jika z=f(x,y), Laplacian dari z, dinyatakan oleh terletak pada arti dari sebagai

“vektor operator diferensial”:

Secara simbolis ditulis :

Jika z = f9x,y0 mempunyai turunan kedua yang kontinu di dalam domain D dan

di D, maka z dikatakan harmonis di D. Syarat-syarat serupa berlaku untuk

fungsi-fungsi harmonis ialah :

Dan dikenal sebagi persamaan-persamaan Laplace dalam dua dan tiga dimensi.

Kombinasi lain yang penting dari turunan-turunan tampil dalam persamaan

“biharmonis”:

Turunan Lebih Tinggi Suatu Fungsi Dalam Fungsi

Misalnya z = f(x,y) dan x = g(t), y = h(t), sehingga z dapat dinyatakan dalam t saja.

Turunan dapat dihitung :

Untuk turunan kedua :

Seluruhnya memberikan :

Laplacian Dalam Koordinat Polar, Silinder Dan Bola

Akan kita bahas sekarang transformasi dari Laplacian dalam sistem koordinat

lainnya. Mula-mula kita tinjau Laplacian dimensi dua.

Maka w = f(x,y) dan ingin kita nyatakan dalam r

dan , pula turunan w terhadap r dan .

Penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

Persamaan ini merupakan peraturan umum untuk menyatakan turunan terhadap x atau

y dalam suku-suku dari turunan-turunan terhadap r dan diturunkan

sekali lagi terhadap x, diperoleh :

Peraturan penurunan untuk hasil kali memberikan :

Ditambahkan :

(inilah yang diinginkan)

Persamaan terakhir ini memungkinkan penulisan Laplacian berdimensi tiga dalam

koordinat silinder untuk transformasi.