FUNGSI DAN SIFATNYA - scele.ui.ac.id · KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Laju perubahan...
Transcript of FUNGSI DAN SIFATNYA - scele.ui.ac.id · KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Laju perubahan...
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
FUNGSI DAN SIFATNYA
Penyusun: Bevina D. Handari
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
DAFTAR ISI
1. Mengapa karakteristik grafik penting? 2. Fungsi Naik, Fungsi Turun
3. Titik Maksimum, Titik Minimum
4. Titik Maksimum Relatif, Titik Minimum Relatif 5. Titik Balik
6. Rasio Laju Perubahan 7. Fungsi Cekung
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Fungsi berguna untuk memodelkan relasi antara dua peubah. Misalnya relasi antara waktu dan jumlah penduduk. Dengan menggunakan fungsi, kita dapat mengetahui sifat spesifik dari sebuah relasi, bahkan dengan fungsi kita mungkin dapat melakukan prediksi dari sebuah perubahan.
Seringkali data divisualisasikan dalam bentuk grafik garis. Informasi yang dapat kita amati secara langsung dari grafik garis misalnya: titik maksimum, titik minimum, laju perubahan dan lain-lain.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Representasi grafik garis (grafik) dari fungsi merupakan alat yang penting untuk dapat menganalisis karateristik fungsi yang mungkin dijumpai pada masalah.
Karena itu lingkup subpokok bahasan adalah mengenai karakteristik grafik dan fungsi, khususnya karakteristik grafik.
Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari visualisasi informasi dengan grafik, sebagai contoh:
x T
1 30
2 60
3 90
4 120
5 150
Tem
era
tur (
Celc
ius)
Tabel Pengaruh Kedalaman Bumi (x) pada Temperatur (T)
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Representasi fungsi dengan grafik
1 2 3 4 5
Pengaruh Kedalaman Bumi
pada Temperatur 160
140
120
100
80
60
40
20
0
Tem
era
tur
(Cel
ciu
s)
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5
Kedalaman Bumi (km)
Titik (3,90) adalah salah satu titik pada grafik. Grafik
terdiri dari sejumlah tak hingga titik. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Grafik dari fungsi terdiri dari semua titik koordinat (a,b) dimana b adalah nilai peubah terikat dan a adalah nilai peubah bebas yang terkait dengan b. Pengaruh Kedalaman Bumi
pada Temperatur 160
140
120
100
(3,90)
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
2
0
4
14
12
10
8
6
2005 2006 2007 2008 2009 2010
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Kenapa karakteristik grafik penting? Jika kita memahami karakteristik grafik, akan memudahkan kita mengidentifikasi sifat-sifat penting sebuah fungsi. Misalnya kapan fungsi naik atau turun, mencapai nilai maksimum, dan lain-lain. Tingkat Inflasi Tahun 2005-2010
18
16
Tingkat inflasi Titik absolut
maksimum
Titik absolut
minimum
Fungsi naik
Tahun 2007-2008
Fungsi Turun
Tahun 2005-2006
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Jika diberikan sebuah grafik fungsi, dapatkah anda menentukan dengan cepat apakah grafik tersebut merepresentasikan sebuah fungsi atau bukan?
6
4
2
0
18
16
14
12
10
8
2005 2006 2007 2008 2009 2010
Tingkat Inflasi Tahun
2005-2010 Tingkat inflasi
Untuk menentukan suatu
grafik adalah sebuah fungsi
gunakan tes garis
vertikal
Jika sebarang garis
vertikal pada fungsi
memotong grafik hanya di
satu titik
Fungsi
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Fungsi Naik Peubah bebas
berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal
Makin ke kanan nilai
peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat juga makin besar
Fungsi
naik
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Fungsi Turun Peubah bebas
berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal
Makin ke kanan nilai
peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat makin kecil
Fungsi
turun
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Titik tertinggi dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai maksimum (absolut) dari fungsi.
-1
-1.2
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Titik
Maksimum
Pada titik
maksimum, nilai
peubah terikat
terbesar
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Titik terendah dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai minimum (absolut) dari fungsi. 0.2
Pada titik
minimum, nilai
peubah terikat
terkecil
Titik Minimum
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah dari naik ke turun adalah sebuah nilai maksimum relatif/maksimum lokal dari fungsi.
Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah dari turun ke naik adalah sebuah nilai minimum relatif/minimum lokal dari fungsi.
Titik pada grafik dengan nilai peubah terikatnya maksimum lokal/minimum lokal dari fungsi merupakan sebuah titik balik.
M2
M1
m1
m2
m1, m2: nilai
minimum relatif dari
fungsi
M1, M2: nilai
maksimum relatif
dari fungsi
A
B
C
D
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Titik A,B,C,D
adalah titik
balik
Grafik fungsi dengan 2 nilai
maksimum relatif dan 2
minimum relatif Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Jateng 14.21 13.28 12.59 11.76 11.38 10.76 10.54
Bali 15.56 14.48 13.78 14.21 14.02 13.06 12.78
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Berikut data persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur tahun 2003-2009:
Relatif maksimum dan relatif minimum data ini dapat ditentukan dengan mudah melalui grafik garis berikut.
Sumber:http://www.bps.go.id/
Per
sen
tase
15.56
14.21 14.48
13.28 13.78
12.59
14.21
11.76
14.02
11.38
13.06
10.76
12.78
10.54
8
6
4
2
0
16
14
12
10
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Tahun
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Persentase Penduduk Buta Huruf
menurut Kelompok Umur 15+ Tahun
2003-2009 18
Jawa Tengah
Bali
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Nilai persentase 13.78 penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2005 adalah relatif minimum, karena pada
tahun 2004 nilai persentase 14.48,
tahun 2005 nilai persentase 13.78, dan
tahun 2006 nilai persentase 14.21.
Relatif Minimum Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
2004
14.48%
2005
13.78%
2006
14.21%
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Nilai persentase 14.21 pada tahun 2006 adalah relatif maksimum, karena pada
tahun 2005 nilai persentase 13.78,
tahun 2006 nilai persentase 14.21, dan
tahun 2007 nilai persentase 14.02.
2005
13.78%
2006
14.21%
Relatif Maksimum 2007
14.02%
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Pada tahun 2003, 15.58 adalah nilai persentase maksimum (absolut) penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali. Sedangkan tahun 2008, 12.78 adalah nilai persentase minimum (absolut).
Grafik Jawa Tengah adalah grafik fungsi turun dan tidak memiliki nilai maksimum relatif dan minimum relatif. Grafik hanya memiliki nilai persentase maksimum (absolut) 14.21 dan nilai persentase minimum (absolut) 10.54.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Dengan kata lain, persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur 15+ di Jawa Tengah dari tahun 2003 hingga tahun 2009 menurun.
Persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2003-2005 menurun, meningkat sesudah tahun 2005 hingga 2007, dan menurun kembali sesudah tahun 2007.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Laju perubahan nilai-nilai peubah terikat terhadap satuan perubahan nilai peubah bebas dapat menjelaskan apakah nilai-nilai fungsi bertambah/berkurang dengan cepat atau lambat.
Nilai
Fungsi
naik
dengan
cepat
Nilai
Fungsi
naik lebih
lambat
-----------------------
------
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Laju perubahan y dari 𝑥1 hingga 𝑥2 dinyatakan sebagai rasio , 𝑥1 dan 𝑥2 adalah 2 nilai peubah bebas dan 𝑦1 , 𝑦2 adalah nilai-nilai peubah terikat yang bersesuaian dengan 𝑥1 dan 𝑥2 .
𝑦2 -------------------------
𝑦1 ---
𝑦2 - 𝑦1 bernilai negatif
𝑥2 - 𝑥1 bernilai positif
Rasio negatif
Laju perubahan negatif
𝑥1 𝑥2 Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Fungsi
turun
--------------------- ---
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Fungsi naik 𝑦2 - 𝑦1 bernilai positif 𝑥2 - 𝑥1 bernilai positif
Rasio positif
𝑦2 --------------------------
Laju perubahan positif
𝑦1 ---
𝑥1
Rasio adalah laju
perubahan y dari 𝑥1 ke 𝑥2 .
x2
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Tahun Kopi Teh 1995 49.3 81
1996 46.7 88.8
1997 61.8 89.3
1998 62.5 91.2
1999 63.2 91.6
2000 63.2 90
2001 62.5 83.3
2002 58.2 84.4
2003 57.4 83.3
2004 52.6 83.3
2005 52.9 81.7
2006 53.6 78.4
2007 52.5 77.6
2008 58.3 78.9
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Berikut data tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008:
Sumber: http://www.bps.go.id/
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha). Grafik kiri periode 1995-2000, grafik kanan periode 2000-2005.
0
50
40
30
20
10
100
90
80
70
60
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Kopi
Teh
0
50 40
30 20 10
100 90
80 70 60
1995 1996 1997 1998 1999 2000
Kopi
Teh
Sumber:http//www.bps.go.id
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar kopi (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah
bertambah sebesar ribu Ha.
Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar teh (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah
bertambah sebesar ribu Ha.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Rata-rata pertambahan luas tanaman kopi pada periode 1995-2000,yaitu 2.78 ribu Ha, lebih besar dari rata-rata pertambahan luas tanaman teh sebesar 1.8 ribu Ha.
Jika laju perubahan bernilai positif, maka semakin curam grafik berarti laju perubahannya juga semakin besar.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Laju perubahan dua grafik ini positif.
Grafik B
Grafik A
Grafik A lebih curam dari grafik B pada selang yang
sama, maka laju perubahan grafik A lebih besar dari
laju perubahan grafik B
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI
Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar kopi (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah
sebesar ribu Ha. Tanda minus berarti luas tanaman kopi berkurang. Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar teh (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah
sebesar ribu Ha. Tanda minus berarti luas tanaman teh berkurang. Pada periode tersebut luas tanaman kopi berkurang lebih banyak dari luas tanaman teh. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI
Laju perubahan dua grafik ini negatif.
Grafik A Grafik B
Grafik B lebih curam dari grafik A pada selang yang
sama, maka laju perubahan grafik B lebih besar dari
laju perubahan grafik A
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Observasi lain pada grafik fungsi adalah melihat bagaimana grafik melengkung, ke atas atau ke bawah, mengindikasikan apakah laju perubahan fungsi meningkat atau menurun. Sebuah fungsi adalah cekung ke atas jika grafik fungsi tersebut melengkung ke atas.
Naik dan melengkung ke atas Turun dan melengkung ke atas
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Sebuah fungsi naik yang cekung ke atas berarti laju perubahan dari fungsi tersebut meningkat.
Fungsi turun yang cekung ke atas berarti laju perubahan yang tadinya negatif akan semakin besar atau menjadi kurang negatif karena grafik berkurang kecuramannya (laju perubahan menurun).
50
40
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Berikut grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008: 100
90
80
70
60
Kopi
Teh
30
20
10
0
Sumber:http//www.bps.go.id
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
20
10
0
Namun dalam pembahasan laju perubahan biasa digunakan grafik garis. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
50
40
30
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Grafik di atas dapat juga dinyatakan dalam grafik batang berikut. 100
90
80
70
60
Kopi
Teh
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Pada grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 1996-1999 naik dan melengkung ke atas.
Berarti laju perubahan luas tanaman teh meningkat namun peningkatannya melambat sesudah tahun 1999.
Dilihat dari sisi laju pertumbuhan, laju pertumbuhan tahun 1996-1999 positif.
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Sebuah fungsi adalah cekung ke bawah jika grafik fungsi tersebut melengkung ke bawah.
Grafik dengan cekung ke bawah, laju perubahannya menurun. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Naik dan melengkung ke bawah Turun dan melengkung ke bawah
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Grafik fungsi naik yang cekung ke bawah maka laju perubahannya positif dan semakin menurun. Bentuk grafik naik namun kecuramannya makin lama makin berkurang.
Grafik fungsi turun yang cekung ke bawah, maka laju perubahannya yang negatif akan semakin negatif, grafik semakin lama makin curam.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1
Pada grafik garis luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 2004-2007 turun dan melengkung ke keatas. Berarti laju perubahan luas tanaman teh menurun namun penurunannya melambat mendekati tahun 2007. Dari sisi laju perubahan, laju perubahan bernilai negatif namun penurunannya makin berkurang pada tahun 2007.
Pada grafik garis kopi tidak terlihat jelas bagian grafik yang cekung ke atas maupun ke bawah.
Apa yang
sudah kita pelajari?
Karakteristik
Grafik
KESIMPULAN Fungsi naik dan
fungsi turun
Titik maksimum,
titik minimum, titik balik
Rasio laju
perubahan
Fungsi cekung
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
SARAN
Tentukan informasi terkait dengan titik maksimum, titik minimum, titik maksimum relatif, titik minimum relatif, dan titik balik dari grafik garis yang anda gunakan.
Tentukan informasi pada saat grafik garis merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
Tentukan apakah laju perubahan yang ada pada masalah anda meningkat atau menurun.
Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia
DAFTAR PUSTAKA
Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of Mathematics with Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.
Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.
Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.
Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing, 2007.