Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Buku

Fungsi dan Grafik(pdf)

tersedia di www.buku-e.lipi.go.id

danwww.ee-cafe.org

Pembatasan

Pembahasan Fungsi dan Grafikdibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Keseluruhan bahasan mengenai fungsidan grafik akan mencakup

1. Pengertian Tentang Fungsi2. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural9. Fungsi Eksponensial10. Fungsi Hiperbolik11. Fungsi dalam Koordinat Polar

FungsiApabila suatu besaran y

maka dikatakan bahwa

memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x

y merupakan fungsi x

panjang sebatang batang logam (= y)

merupakan fungsi temperatur (= x)

Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

)(xfy =

y disebut peubah tak bebas

nilainya tergantung x

x disebut peubah bebas

bisa bernilai sembarang

Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupabilangan nyata.

Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai xtetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi

Contoh:

Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.

a brentang terbuka

a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang

rentang setengah terbuka a b

a ≤≤≤≤ x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak

rentang tertutup a b

a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b a dan b masuk dalam rentang

Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

-4

-3

-2

-1

1

2

3y

0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

IV

III

III

sumbu-x

sumbu-y

Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebutsumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.

Bidang terbagi dalam 4 kuadranyaitu Kuadran I, II, III, dan IV

(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)

Posisi titik pada bidangdinyatakan dalam

koordinat [x, y]

Kurva dari Suatu Fungsi

xy 5,0=

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

y

∆x∆y

P

RQ

xy 5,0=Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva

Kemiringan kurva: x

y

∆∆

Kita lihat fungsi:

(kita baca: “delta x per delta y”)

Kekontinyuan

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

)()(lim cfxfcx

=→

Contoh:

y = 1/x

y = 1/x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

Tak terdefinisikan di x = 0

y = u(x)1

y

x00

Terdefinisikan di x = 0

yaitu y|x=0 = 1

(y untuk x = 0 adalah 1)

(y untuk x = 0 tidak dapatditentukan nilainya)

Simetri

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh:

y = 0,3x2

y = 0,05x3

y2 + x2 = 9

x

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika:x diganti −xx dan y diganti dengan −x dan −yx dan y dipertukarkany diganti dengan −y

(simetris terhadap sumbu-y)

(simetris terhadap titik [0,0])

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8

1

1

22

2

22

=++

=

==+

yxyx

xy

xy

yx

)(xfy =Pernyataan fungsi

Pernyataan bentukimplisit

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas xakan memberikan satu atau lebih nilai

peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/1

1 2

xy

xy

xy

=

=−=

0)8( 22 =−++ xxyy

2

)8(4

2

22 −−±−=

xxxy

disebut bentuk eksplisit.

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4

x

y

Fungsi Bernilai Tunggal

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0

4

8

-1 0 1 2 3 4x

y25,0 xy =

0

0,8

1,6

0 1 2x

y

xy +=

-1,6

-0,8

00 1 2

x

y xy −=

-0,8

0

0,8

0 1 2 3 4x

y xy 10log=

0

2

4

-4 -2 0 2 4x

y

2xxy ==

Contoh:

Fungsi Bernilai Banyak

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3

x

y

xy ±=

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memilikilebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3x

y

xy /12 = xy /1±=

Contoh:

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

),,,,( vuzyxfw =

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya

2222 zyx ++=ρ

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

222 zyx +++=ρ

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ

Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut

θ= sinry

θ= cosrx

22 yxr +=

)/(tan 1 xy−=θx

P

θ

r

y

rsinθ

rcosθ

Contoh:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

θ

P[r,θ]

Bentuk ini disebut cardioid

)cos1(2 θ−=r

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3x

y

r

θ

P[r,θ]y = 2

2=θrContoh:

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

ky =

x

-4

0

5

-5 0 5

y y = 4

5.3−=y

Contoh:

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mxy =

kemiringan garis lurus

∆∆==

" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

∆x∆y

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4 x

y

y = 0,5x

y = x

y = 2x

y = -1,5x

m > 0

m < 0

Contoh:

garis lurus melalui [0,0]

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x

y − 2 = 2x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4x

y

mxby =− )(

y = 2x

y =2(x–1)

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

)( axmy −=Secara umum, persamaan garis lurusyang tergeser sebesar

b ke arah sumbu-y positif adalah

menunjukkanpergeseran sebesar a

ke arah sumbu-x positif

titik potongdengan sumbu-y

titik potongdengan sumbu-x

bmxy +=amxy ′+=

Bentuk umum persamaan garis lurus

pergeseran kearah sumbu-y

pergeseran kearah sumbu-x

menunjukkanpergeseran sebesar b

ke arah sumbu-y positif

Contoh:

Persamaan garis: xy 24 −=−

202

40

12

12 −=−−=

−−=

∆∆=

xx

yy

x

ym

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

memotong sumbuy di 4

memotong sumbux di 2

atau )2(2 −−= xy42 +−= xy

dapat dilihat sebagai garismelalui (0,0) yaitu

y = -2xyang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x

12

12

xx

yym

−−

=

xxx

yymxy

11

12

−−

==

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

[x1,y1]

[x2,y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8] 213

48

12

12 =−−=

−−

=xx

yym

persamaan garis: xby 2=− atau )(2 axy −=

24 =− b )3(28 a−=

2=b 1−=a

xy 22 =− )1(2 += xy

22 += xy

Contoh:

Persamaan garis lurusmelalui [0,0] yang sejajardengan garis yang melalui

P dan Q

P

Q

Garis ini harus digeserhingga melalui P dan Q

Perpotongan Garis Lurus

111 bxay += 222 bxay +=

2211 bxabxa +=+

2P2P1P1P

21

12P

atau

bxaybxay

aa

bbx

+=+=⇒

−−=⇒

Contoh:84dan 32 21 −=+= xyxy

5,5843221 =→−=+→= xxxyy

1435,5232 =+×=+= xy

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupuny2.

Dua garis:

Koordinat titik potong P harus memenuhi:

dan

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

x

y2

y1

P

xP

yP

Titik potong: 14] P[(5,5),

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a

maF = atvtv += 0)(

]]]]anoda katoda

l

Contoh:

Contoh:

e

e

m

Fa =

Beda tegangan antara anoda dan katoda dalamtabung katoda adalah V

Kuat medan listrik:l

VE =

Gaya pada elektron:l

eVeEFe ==

Percepatan pada elektron:

gaya fungsi linier dari V

percepatan fungsi linier dari Fe

Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier daripanjang tarikan.

Contoh:

kxF =

Contoh:Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

R

VGVi ==

RG

1=

A

lR ρ=

RA

V

A

ij ==

gaya panjang tarikankonstanta pegas

konduktansi resistansi

kerapatan arusresistivitas

G dan R adalah tetapan

Luas penampang konduktor

panjangkonduktor

Contoh:

materimasuk di xa

materikeluar di x

xa x

Ca

Cx

∆x

Peristiwa difusi mencapaikeadaan mantap,jika

konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

dx

dCDJ x −=

gradienkonsentrasi

koefisien difusi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi

Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

Fungsi Anak Tangga

0untuk 0

0untuk 1)(

<=≥=

x

xxu

)(xkuy =

muncul pada x = 0

amplitudo

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0

Fungsi anak tangga satuan

Secara umum

0

2

0 5x

y

1

1)(xuy =

)(xuy =

Contoh:

-4

0

5

0 5x

y)(5,3 xuy =

)(5,2 xuy −=

)( axkuy −=Fungsi anak tangga tergeser

-4

0

5

0 5x

y

1

)1(5,3 −= xuy

Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

Contoh:

Fungsi Ramp )(xaxuy =

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4x

y y1 = xu(x)y2 = 2xu(x)

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

Fungsi ramp tergeser: )()( gxugxay −−=

Fungsi ramp satuan : )(xxuy =

Contoh:

kemiringan a = 1

kemiringan

Fungsi ini baru muncul pada x = 0karena ada faktor u(x) yang

didefinisikan muncul pada x = 0(fungsi anak tangga)

Pergeseransearah sumbu-x

Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatunilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1

)()( 21 xxauxxauy −−−= :persamaan

12 xx −:pulsalebar

{ })2()1(2 −−−= xuxu

y1=2u(x-1)

y2 = −2u(x−2)

y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)

lebar pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4x

perioda

x

y

Deretan Pulsa:

Contoh:

Perkalian Ramp dan Pulsa

{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy −−−×=

{ })()( 21 xxuxxumAxy −−−=

ramp pulsahanya mempunyai nilaidalam selang lebarnya

y1=2xu(x)

y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5x

y

Contoh:

maka y jugaakan bernilaidalam selang

lebar pulsa saja

y2 = {u(x)-u(x-b)}

y1 = mxu(x)

y3 = y1 y2

= mx{ u(x)-u(x-b)}

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5

yy

xb

Contoh:

Gabungan Fungsi Ramp

.......)()()()()( 2211 +−−+−−+= xxuxxcxxuxxbxaxuy

Contoh:

y1= 2xu(x)

y2= −2(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)y

-8

-4

0

4

8

12

0 1 2 3 4 5x

Kemiringan yang berlawananmembuat y3 bernilai konstanmulai dari x tertentu

y1=2xu(x)

y2= −4(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

y2 lebih cepat menurun dari y1 makay3 menurun mulai dari x tertentu

Contoh:

y1= 2xu(x)

y2= −4(x-2)u(x-2)

y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{ u(x-1)-u(x-3)}

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

Pulsa ini membuat y3 hanyabernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3

Contoh:

Mononom

Mononom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn

Mononom Pangkat Dua: 2kxy =

y = x2

y = 3x2y = 5x2y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3x-100

-80

-60

-40

-20

0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

210xy −=

22xy −=

Contoh:

y memiliki nilai maksimum

Karena x2 ≥ 0,makajika k > 0 → y > 0

jika k < 0 → y < 0

y memiliki nilai minimum

y1 = 10x2

y2 = 10(x−2)2

y3 = 10(x−2)2 + 30

Pergeseran kurva mononom pangkat dua

-5 -3 3 5x0

50

100

-1 1

y

Pergeseran ke arahsumbu-x positif

Pergeseran ke arahsumbu-y positif

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0

1

2

3y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

0

2

4

6

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

y = 3x4

y = 6x2 y

x

Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai

kurva di sekitar titik puncak

Jika kurva-kurva ini memilikinilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Koordinat titik potong antara kurva

( ) 1223dan 2

236

3dan 6 :Kurva

4

242

42

===→

=→=

==

yx

xxx

xyxy

( ) 813dan 3

33

3dan :Kurva

6

246

46

===→

=→=

==

yx

xxx

xyxy

Contoh:

Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Mononom Pangkat Ganjil

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2x y = 2x5

y = 2x3

y

x

Pangkat ganjil terendah: linier

Jika kurva-kurva ini memilikinilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik[0,0] yaitu titik yang merupakan

titik belok

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom Pangkat Tiga

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-2 -1 0 1

y

-5 -4 -3 2 3 4 5x

33xy −=32xy =

Mononom pangkat tiga

Simetris terhadap [0,0]

y = 10(x−2)3

y = 10(x−2)3 + 100

y = 10x3

-5 -3 3 5x

-600

-400

-200

0

200

400

600

-1 1

y

Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah

sumbu-x positif

Pergeseran ke arahsumbu-y positif

Polinom

Polinom Pangkat Duacbxaxy ++= 2

y1=2x2

y3=13

y2=15x

x-10

y

-150

0

150

0 10

13152 2 ++= xxy

y1=2x2

y4 = 2x2+15x

y2=15xx = −15/2

y

-150

0

150

0 x-10 10

Kurva masing-masingkomponen (mononom)

dari polinom:

Penjumlahan mononompertama dan ke-dua: xxy 152 2 +=

Perpotongan dengan sumbu-x

2

151520 2 −=⇒+= xxx

y4 = 2x2+15x

−15/2

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri−15/4

10

y4 = 2x2+15x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13

10

Sumbu simetri dari xxy 152 2 +=

memotong sumbu-x di: 4

15−=x

Penambahan komponen y3 = 13 memberikan:

13152 2 ++= xxy

Koordinat titik puncak:

125,15134

1515

4

152

75,34/152

−=+

−+

−=

=−=

y

x

y = ax2 +bx +c

y = ax2

y

x0

0

Polinom Pangkat Dua secara umum

x2x1

Sumbu simetri:

a

bx

2−=

a

acb

a

bxa

ca

b

a

bxa

cxa

bxay

4

4

2

42

22

22

2

−−

+=

+−

+=

+

+=

Pergeseran ke arah kiri sumbu-x

Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

−−a

acb

4

42

Penjumlahan: y3 = y1 + y2

-2000

0

2000

-10 0 10x

y

y1

y2

20080194 233 −−+= xxxy

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua

dcxbxaxy +++= 23

Mononom pangkat tiga (y1)Dan

Polinom pangkat dua (y2)

-2000

0

2000

-10 0 10

y

x

y1 = 4x3

2008019 22 −−= xxy

y3 memotong sumbu-x di 3 titik

Hal ini tidak selalu terjadiTergantung dari nilai koefisien y1

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

Kasus:a kurang positifPenurunan kurva y1 di daerah x

negatif tidak terlalu tajamKurva terlihat hanya memotong

sumbu-x di 2 titikTitik potong ke-3 jauh di sumbu-x

negatif

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+y2

Kasus:a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif

sangat tajamTak ada titik potong dengan sumbu

di daerahx negatifHanya ada satu titik potong di x

positif

31 axy =

dcxbxaxy +++= 23

31 axy =

y3 = y1 + y2

y1

y2

-2000

0-10 0 15

2000

dcxbxaxy +++= 23

y3 = y1 + y2

-2000

0

2000

-10 0 15

331 kxaxy −==

dcxbxy ++= 22

a < 0Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −xmaka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

• jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −xdan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Simetri

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari ydan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh:122 =+ xy

21 xy −±=

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0

11 ≤≤− y

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

11 ≤≤− x

Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-ydiperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikiantidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-xmaupun sumbu-y

Contoh:

122 =+ xy

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]

xy = 1

Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkinmenyentuhnya, disebut asimptot

Contoh:

10)( 222 +=− xxxy)1(

102

−+

±=xx

xy

tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0

haruslah x < 0 atau x > 1

Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

-4

0

4

-4 0 4

y

x

Jarak Antara Dua Titik

Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

22 )()(PQ qpqp yyxx −+−=

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8]

20)48()13(PQ 22 =−+−=

Parabola Bentuk kurva 2kxy = disebut parabola

[0,0]

y

x

y=kx2

P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy = −p garis sejajar sumbu-xR terletak pada garis y

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabolaGaris y disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

xppyy

xpy

xp

222

22

22

2

)(

)PR(PQ

++−=

+−=

+−= py )(PR +=

pyxppyy +=++− 222 2p

xy

4

2=

pk

4

1=k

p4

1=

2

4

1x

py =

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,−p]

Contoh:

Parabola 25,0 xy =

dapat kita tuliskan

22

5,04

1

2

1xxy

×==

Direktrik: 5,0−=−= py

Titik fokus: Q[0,(0,5)]

LingkaranLingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap satu titik tertentuyang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

22 yxr += 222 ryx =+

persamaan lingkaranberjari-jari r

berpusat di [0.0]

222 )()( rbyax =−+−Pergeseran titikpusat lingkaransejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y

Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)

-1

1

-1 1

0,5

0,5

[0,0] x

y

r = 1

122 =+ yx

r

222 )5,0()5,0( ryx =−+−

Contoh:

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y22)(XP ycx ++=

22)(XQ ycx +−=

( )aycxycx

a

2)()(

misalkan kita 2XQXP

2222 =+−+++⇒

=+

22)( ycxxa

ca +−=−

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++

2222 )(2)( ycxaycx +−−=++

22222

22 22 yccxxx

a

ccxa ++−=+− 1

22

2

2

2=

−+

ca

y

a

x

kwadratkan

kwadratkan

sederhanakan

22 2 2XQXP :PXQ segitiga di caca >→>=+

12

2

2

2=+

b

y

a

x

222 cab −=

12

2

2

2=+

b

y

a

x

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y[−a,0] [a,0]

[0,b]

[0,−b]

sumbu panjang = 2a

sumbu pendek = 2b

Elips tergeser

1)()(

2

2

2

2=−+−

b

qy

a

px 122 =→= aa

5,012 =→= bb1

-1

0-1 0 1 2x

y

15,0

)25,0(

1

)5,0(2

2

2

2=−+− yx

5,0=p

25,0=q

HiperbolaHiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

22)(XP ycx ++=22)(XQ ycx +−=

aycxycx

XQXP

2)()( 2222 =+−−++

=−2222 )(2)( ycxaycx +−+=++

22)()/( ycxaxac +−=−

122

2

2

2

=−

−ac

y

a

x

Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ

→ 2c < 2a → c2 − a2 = b2

12

2

2

2

=−b

y

a

x

kwadratkan dan sederhanakankwadratkan

persamaan hiperbola

12

2

2

2

=−b

y

a

x

+∞

−∞

X(x,y)

-c c

y

x

[-a,0] [a,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a

222 acb −=

Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======

Lingkaran: ;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1

Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.

Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

Perputaran Sumbu Koordinat

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++

22 )()( ayaxayx −+−=−+

22 axy =

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,

2222 )()(2)()( ayaxaayax −+−+=+++

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5

0

5

-5 0 x

y

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

X[x,y]

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kitagambarkan lingkaran-satuan, r = 1

Fungsi sinus

PQPQ

sin ==θr

Fungsi Cosinus

OQOQ

cos ==θr

Fungsi Tangent

θθ==θ

cos

sin

OQ

PQtan

θ−=−=′

=θ− tanOQ

PQ

OQ

QP)tan(

Fungsi Cotangent

θθ==θ

sin

cos

PQ

OQcot

θ−=−

=′

=θ− cotPQ

OQ

QP

OQ)cot(

Fungsi Secan

Fungsi Cosecan

OQ

1

cos

1sec =

θ=θ

PQ

1

sin

1csc =

θ=θ

P

Q

θO[0,0]

-1

1

-1 1 x

y

r = 1

P’

-θ

θ+θ= 22 cossin1

Relasi-Relasi

sinα

α

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

β

cosα

cosα cosβ

cosα sinβ

βsinα sinβ

sinα cosβ

Relasi-Relasi

sinα

α

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

β

cosα

cosα cosβ

cosα sinβ

βsinα sinβ

sinα cosβ

)sin( β+α βα+βα= sincoscossin

)cos( β+α βα−βα= sinsincoscos

βα+βα=β−αβα−βα=β−α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(Karena

β−=β− sin)sin(

β=β− cos)cos(

Contoh:

αα=αα+αα=α+α=α cossin2sincoscossin)sin()2sin( a).

α−α=αα−αα=α+α=α 22 sincossinsincoscos)cos()2cos( b).

α+α= 22 sincos1

α=+α 2cos21)2cos(

1cos2)2cos( 2 −α=α

α−=−α 2sin21)2cos(α−=α 2sin21)2cos(

α−α=α 22 sincos)2cos(c).

βα+βα=β+α sincoscossin)sin(

2

)sin()sin(cossin

β−α+β+α=βα

2

)cos()cos(coscos

β−α+β+α=βα

βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(

2

)cos()cos(sinsin

β+α−β−α=βα

βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(

βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(

Contoh:

βα−βα=β−α sincoscossin)sin(

d).

βα=β−α+β+α cossin2)sin()sin(

e). βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(

βα=β−α+β+α coscos2)cos()cos(

f).

βα=β+α−β−α sinsin2)cos()cos(

Fungsi Trigonometri Normal

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

perioda

-1

0

1

0 x

y

2ππ−πx

y

-1

0

1

0−π π 2π−2π

perioda

)2/cos()sin( π−== xxy

pergeseran fungsi cosinus sejauhπ/2 ke arah sumbu-x positif

Contoh:oooo 34cos)9056cos(56sin =−=

)sin(xy = )cos(xy =

Fungsi Sinus Fungsi Cosinus

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3π/4 0-π/2 π/4 π/2 3π/4-π/4

Fungsi Tangent

θ=

θθ=θ

cot

1

cos

sintan

asimptot

Rentang: -π/4 < tanθ < π/4π/4 < tanθ < 3π/4dst.

Lebar rentang: π/2

θθ

cos

sin

-3

-2

-1

0

1

2

3

0-3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4

Fungsi Cotangent

θ=

θθ=θ

tan

1

sin

coscot

asimptot

Rentang: 0 < tanθ < π/2-π/2 < tanθ < 0dst.

Lebar rentang: π/2

θθ

cos

sin

Fungsi Secan

Fungsi Cosecan

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

)cos(

1)sec(

xxy ==

)sin(

1)csc(

xxy ==

Rentang: -π/2 < tanθ < π/2π/2 < tanθ < 3π/2dst.

Lebar rentang: π

Rentang: 0 < tanθ < π-π< tanθ < 0dst.

Lebar rentang: π

asimptot

Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi

x

xy1sin

atau arcsin−=

=

x

y

-10

10

−π

π

2π

−2π

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

Kurva lengkap

Kurva nilai utama

-π/2 < sin-1x <π/2

-1 < x < 1

yx

1

21 x−

xy 1sin−=

2

2

1tan

1cos

x

xy

xy

−=

−=

Sudut y yang sinusnya = x

xy =sin

Cosinus Inversi

x

y

-10

10

−π

π

0

0,25π

0,5π

0,75π

1π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

Kurva lengkap

Kurva nilai utama

0 < cos-1x < π

-1 < x < 1

xy 1cos−=

y

x

121 x−

xy 1cos−=

x

xy

xy

2

2

1tan

1sin

−=

−=

yx cos=

Tangent Inversi xy 1tan−=

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π

-π

-0,5π

0

0,5π

π

1,5πy

x

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-10 -5 0 5 10x

y

2tan

21 π<<π− − xKurva lengkap

Kurva nilai utama

yx tan=

yx

1

21 x+

xy 1tan−=

2

2

1

1cos

1sin

xy

x

xy

+=

+=

Cotangent inversi

xy 1cot−=

dengan nilai utama

π<< − x1cot0

0

0,5π

1π

-10 -5 0 5 10

y

x

π<< − x1cot0

Kurva nilai utama

yx cot=

y

x

121 x+

xy 1tan−=

2

2

1cos

1

1sin

x

xy

xy

+=

+=

Secan Inversi

xxy

1cossec 11 −− ==

dengan nilai utama

π≤≤ − x1sec0

0

0,25π

0,5π

0,75π

π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

π<< − x1sec0

Kurva nilai utama

yx sec=

y

x

1

21 x+

xy 1sec−=

2

2

1tan

1cos

1sin

xy

xy

x

xy

+=

=

+=

Cosecan Inversix

xy1

sincsc 11 −− ==

2csc

21 π

≤≤π

− − xy

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Kurva nilai utama

dengan nilai utama

2csc

21 π≤≤π− − x

yx csc=

y

x1

21 x+

xy 1csc−=

2

2

1

1tan

1cos

1sin

xy

x

xy

xy

+=

+=

=

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio

pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb

Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

)2sin(

)sin(

0 θ+π=θ+=tfA

xAy

sudut fasa

frekuensi siklusamplitudo

Selain frekuensi siklus, f0, kitamengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan

2 00 fπ=ω

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:

00

1

Tf =

Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik makagabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

T0

-A

0

A

0 t

y

Ts

T0

-A

0

A

0 t

y

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan

)()( 0 tfTtf =−

perioda

Contoh:

y

y = 3 cos 2f0t-4

0

4

-5 15 t

y

y = 1 + 3 cos 2f0t-4

0

4

-5 15 t

))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====

y

t

-4

0

4

-5 15

)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy

-4

1

-5 15

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan olehbesaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasamenentukan bentuk gelombang gabungan

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukanjuga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat

Komponen-komponen sinus yang terlibat dalampembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa

Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental

Di atas komponen fundamental adalah

Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsitetapan yang disebut komponen searah

sinus dasar(fundamental).

Contoh:

Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi

hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.

harmonisa-3 dan

sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan

sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

harmonisa-7 dan

sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.

SpektrumJika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik

yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombangnon-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus

Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaituSpektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.

Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan.

Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah

Lebar Pita

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensiyang merupakan selisih fmaks dan fmin

Contoh:

)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy

Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0

Amplitudo 10 30 15 7,5

Sudut fasa − 0 −π/2 π

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5Frekuensi [×f0]

Am

plitu

do

0

π/2

2π

0 1 2 3 4 5

Sud

ut F

asa

Frekuensi [×f0]

−π/2

−2π

Spektrum Sudut-fasaSpektrum Amplitudo

Suatu persamaan gelombang:

Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

[ ]∑ π+π+= )2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn

fungsi periodik

Koefisien Fourier

Contoh:

1 0 ; 2/

ganjil 0 genap; 1

/2

/

1

2

0

≠==

=−

π=

π=

nbAb

nann

Aa

Aa

n

nn

T0

t

y

Contoh:

Contoh:

T0

A

t

y

nb

nann

Aa

Aa

n

nn

semuauntuk 0

ganjil 0 genap; 1

/4

/2

2

0

=

=−

π=

π=

nn

Ab

na

Aa

n

n

semuauntuk

semuauntuk 0

2/0

π−=

==

T0

A

t

y

Bilangan Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyatadengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakangkoma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

1ln =e

aeaea == lnln

Kurva y = ln x

Fungsi Logaritma Natural

Definisi ln x

x

ln x

t0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

1/tluas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-xyang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

∫=x

dtt

x1

1ln

1 2 3 4x

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0

yy = ln x

1ln =e

e = 2,7182818284…..

e

Sifat-Sifat

1 untuk negatif bernilai ln

ln

1ln

lnln

;lnlnln

lnlnln

<=

==

−=

+=

xx

xe

e

xnx

axa

x

xaax

x

n

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

yx ln=

Fungsi Eksponensialxey =

Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsieksponensial dengan eksponen negatif

0 ; )( ≥= − xxuey ax

Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0

Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskandengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetapmuncul pada t = 0

Kurva Fungsi Eksponensial

x0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

ye− x

e−2x

Makin negatif eksponen fungsiini, makin cepat ia menurun

mendekati sumbu-x

axey −=

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a

Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya

Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo Adengan waktu sebagai peubah bebas adalah

)()( / tuAetuAey tat τ−− ==

yang dituliskan dengan singkat τ−− == /tat AeAey

τ = 1/a disebut konstanta waktu

makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun

Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A

fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ

Gabungan Fungsi Eksponensial

1/1

τtAey −−−−====2/

2τtAey −−−−====

(((( ))))21 // ττ tt eeAy −−−−−−−− −−−−====

t/τ

A

0 1 2 3 4 5

Fungsi Hiperbolik

DefinisiKombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk

fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2sinh ;

2cosh

xxxx eex

eex

−− −=+=

Fungsi hiperbolik yang lain

xx

xx

xx

xx

ee

ee

x

xx

ee

ee

x

xx −

−

−

−

−+==

+−==

sinh

coshcoth ;

cosh

sinhtanh

xxxx eexx

eexx −− −

==+

== 2

sinh

1csch ;

2

cosh

1sech

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

xey2

11 =

xey −−=2

12

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

2sinh

xx eexy

−−==

xy sinh=

y

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

2cosh

xx eex

−+=

xey2

11 =

xy cosh=

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

y

x

xxy

cosh

1sech ==

xy sinh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy csch =

xxy

sinh

1csch ==

xy coth=

x

y

0

0

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2 -1 1 2

x

xxy

cosh

sinhtanh ==

x

xxy

sinh

coshcoth ==

untuk sinhx dan coshx terdapat hubungan

14

4

4

2

4

2 sinhcosh

222222 ==+−−++=−

−− xxxx eeeexx

1sincos 22 =+ xx

Jika untuk sin x dan cosx kita kenal hubungan:

Identitas

Beberapa Identitas: 1sinhcosh 22 =− vv

vv 22 sechtanh1 =−

vv 22 csch1coth =−

vevv =+ sinhcosh

vevv −=− sinhcosh

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

θ= sinP ry

θ= cosP rx

P[r,θ]

[0,0] x

y

θ

r

xP

yPP(xP ,yP)•

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

222 cyx =+

[0,0] x

y

Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi

222 )sin()cos( crr =θ+θ

θr

a

[0,0] x

y

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

222)( cyax =+−

θr

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

222 )sin()cos( crar =θ+−θ

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah

222 )()( cbyax =−+−

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

222 )sin()cos( cbrar =−θ+−θ

b

a

[0,0] x

y

θ

r

Contoh:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

θ

P[r,θ]

Bentuk ini disebut cardioid

)cos1(2 θ−=r

Contoh:

θ

y

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

r

P[r,θ]

θ= cos162r

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3x

y

θ = π θ = 2πθ = 3π θ = 4π

r

θ

P[r,θ]y = 2

2=θr

Contoh:

Persamaan Garis Lurus

O

y

x

l1

a

r

θ

P[r,θ]

arl =θcos :1

O

y

x

b

l2

brl =θsin :2

r

θ

P[r,θ]

α

l3

O

y

x

β

a

A

r

θ

P[r,θ]

arl =θ−β )cos( :3

l4

O

y

x

β

a

r

θ

P[r,θ] arl =β−θ )cos( :4

Parabola, Elips, Hiperbola

θ−=

cos1

krParabola:

Eksentrisitas

θ+==

cosPD

PF

rk

resEksentrisitas:

D

B

θr

P[r,θ]

F

titik fokusDengan pengertian eksentrisitas ini

kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola.

Elips:

1=se

θ−=

cos1 s

s

e

ker

θ+=θ+= cos)cos( rekerker sss

1<seθ−

=θ−

×=cos2cos5,01

5,0 kkr (misal es = 0,5)

Hiperbola: 1>seθ−

×=cos21

2 kr (misal es = 2)

x

y

A

direktriks

k

Lemniskat dan Oval Cassini

F1[a,π] F2[a,0]

P[r,θ]

rθ θ = 0θ = π

θ = π/2

Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan

( ) ( ) ( )θ++=

θ++θ=

cos2

cossinPF22

2221

arar

rar ( ) ( ) ( )θ−+=

θ−+θ=

cos2

cossinPF22

2222

arar

rar

221 PFPF b=×Misalkan

( ) ( ))cos21(2

cos2cos222244

22224

θ−++=

θ−+×θ++=

raar

ararararb

θ−+= 2cos2 2244 raar

)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=

Buatb dana berrelasib = ka θ−+= 2cos2 224444 raarak )1(2cos20 44224 karar −+θ−=

Lemniskat )1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=

Kondisi khusus: k = 1

θ= 2cos2 22 ar

θ = 0θ = π

θ = π/2

-0,6

-0,2

0

0,2

0,6

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1

θ = 0θ = π

θ = π/2

-1

-0,5

0

0,5

1

-2 -1 0 1 2

Kurva dengan a = 1

Oval Cassini

Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8

θ = 0θ = π

θ = π/2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=

Bahan Kuliah Terbuka

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham