Fungsi analitikDefinisif(z) dikatakan fungsi analitik pada suatu domain D jika f(z) terdefinisidan memiliki turunan ( differensiabel ) disemua titik di D.f(z) analitik di titik a bila f(z) analitik dilingkaran buka dengan pusat a.Bila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebutBila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebutjuga fungsi entire.

Page 47

Fungsi analitikContohDiketahuiApakah f(z) analitik di daerah berikut1z2zzf2 47Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Apakah f(z) analitik di daerah berikuta.b.c.1z:P

5,1i1z:Q−21: −zR

Page 48

Fungsi analitikPertama akan dilihat pada titik − titik berapa f(z) menjadi tidakanalitik.1z2zzf2 )iz)(iz(2z−48Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Jadi f(z) tidak analitik dititik −i dan i.Untuk melihat apakah f(z) akan analitik di daerah P,Q atau R cukupdengan melihat apakah titik −i dan i terletak didalam P, Q atau R danuntuk mempermudah akan ditunjukkan dalam gambar berikut

1z2 )iz)(iz(−

Page 49

Fungsi Analitika. Titik −i dan i diluar P , makaf(z) analitik di Pb. Titik i di dlm Q, maka f(z) tdkanalitik di Qpoint iPQ

49Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandunganalitik di Qc. Titik −i dan i diluar R, makaf(z) analitik di Rpoint −iPR

Page 50

Tes keanalitikanfungsi kompleksBila suatu fungsi kompleks disajikan dalam bentuk . Maka untuk menentukan apakah fungsi tersebut analitik padasuatu daerah D maka kita harus mengetahui terlebih dulu apakah

y,xViy,xUzf50Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

suatu daerah D maka kita harus mengetahui terlebih dulu apakahfungsi kompleks tersebut terdefinisi dan memiliki turunan di daerahD tersebut.Untuk mengetahui apakah fungsi kompleks tersebut terdefinisi atautidak mungkin tidak begitu rumit, sedangkan untuk menentukanturunannya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama.

Page 51

Tes keanalitikanfungsi kompleksAda cara yang lebih pendek untuk menentukan keanalitikan darifungsi ini yaitu menggunakan persamaan Cauchy−Riemman.Bila fungsi kompleks analitik disuatudomain D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman.

y,xViy,xUzf51Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

domain D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman.Untuk setiap titik didalam DTurunan f(z) didefinisikan denganyx

VU yx

U

V −xx

iVUz'f

Page 52

Tes keanalitikanfungsi kompleksBila fungsi kompleks disajikan dalam bentuk polar . analitik disuatu domain D, maka akanberlaku persamaan Cauchy−Riemman

,riV,rUzf 1152Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Untuk setiap titik didalam DTurunan f(z) didefinisikan sebagai

Vr1Ur

U

r1Vr −rri

iVUez'f −

Page 53

Fungsi analitikContoh 1Apakah analitik?Jika ya tentukan turunannya xyyxiyxzf2233

−53Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

JawabanAkan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman

Ternyatajadi tidak memenuhi PCRSehingga f(z) tidak analitik dan tidak memiliki turunan2

3xUx yx2xV2

y −yx

VU ≠

Page 54

Fungsi analitikContoh 2Apakah analitik?Jika ya tentukan turunannya y4xy8i1x4y4x4zf22

−−−54Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Jawaban

Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-RiemmanTernyata memenuhi PCR yaitudanSehingga f(z) analitik dan turunannya adalah 4x8Ux −y8Uy −y8Vx 4x8Vy −yx

VU yx

UV −y8i4x8z'f−

Page 55

Fungsi Harmonik dan SekawanHarmonikDefinisiJika

sebuah fungsi analitik pd domain D, makau(x,y) dan v(x,y) akan memenuhi pers. Laplacey,xViy,xUzf55Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungSuatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers. Laplace disebut fungsiHarmonic (→ u,v : harmonic function)u : fungsi sekawan harmonis vv : fungsi sekawan harmonis u0UUyyxxu2

∇0VVyyxxv2

∇Nabla:∇

Page 56

Fungsi Harmonik

dan Sekawan HarmonikContoh 1Bila adalah bagian Riil f(z) yang analitik,tunjukkan bahwa harmonik ? kemudian tentukan

y,xUyyxU22

−−56Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Sekawan Harmoniknya !JawabanJadi U merupakan fungsi Harmonik.yyxU−−022UUyyxxu2

−∇

Page 57

Fungsi Harmonikdan Sekawan Harmonik

Jawaban (lanjutan)Dihitung turuanan parsial terhadap x dan y.x2Ux 1y2Uy −−57Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Dengan menggunakan PCR makaKita dapat memulai dari salah satu persamaan Vy atau Vx .Misalkan akan mulai dari Vy makax

1y2Uy −−x2UVxy

1y2UVyx

−x2Vy

Page 58

Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikJawaban (lanjutan)Dengan mengintegralkan terhadap y

∫xhxy2dyx2V58Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Dengan menurunkan terhadap x diperolehDari PCR sudah diperoleh persamaanDengan menggabungkan dua persamaan Vx :Maka sehingga Jadi sekawan harmoniknya adalah

∫xhxy2dyx2Vx'hy2Vx

1y2

UVyx

−1y2x'hy21x'hcxxhcxxy2V

Page 59

Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikContoh 2Diketahui adalah bagian imaginer dari suatu fungsianalitik . Tentukan

xy2y,xV

zfzf59Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

JawabanPembuktian bahwa adalah fungsi Harmonik yaitufungsi memenuhi persamaan Laplace tidak perlu dilakukan karenaberdasarkan soal bahwa sudah analitik sehingga sudah tentu fungsi Harmonik.

xy2y,xVzfy,xV

Page 60

Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikJawaban (lanjutan)Dengan menggunakan PCR makax2VUy

x

60Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Misalkan akan mulai dari makaDengan mengintegralkan terhadap terhadap xDengan menurunkan terhadap y diperoleh y2VUx

y −−x

Ux2Ux ∫yhxdxx2U2

y'hUy

Page 61

Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikJawaban (lanjutan)Dari PCR sudah diperoleh persamaan Dengan menggabungkan dua persamaan Vx :y

VUxy2−−yyh2'−61Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

Jadi nilaiadalah Sekawan harmonikadalahSehinggaadalahcyyh −2

yhxy2y,xVcyxU−22

y,xViy,xUzf

zfxyicyx222−

Page 62

Soal LatihanDiketahui adalah fungsi yang analitikTentukan sekawan harmonik dari fungsi – fungsi berikut1.4.

y,xviy,xuzfxuySinevx62Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

2.5.3.6.xyu 2

3

xy3xu−xyvySinhxSin