UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁCURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

Turma 2015

CÁLCULO 2

FUNÇÃO LOGARITMO

1

Sejam os números com 𝐵 ≠ 1

Usualmente se define 𝐶 = log𝐵 𝐴 ↔ 𝐵𝐶 = 𝐴

Em particular se 𝐵 = 10 temos: 𝐶 = log10 𝐴 ↔ 10𝐶 = 𝐴

Verificando as seguintes propriedades:

i. log10 𝑃𝑄 = log10 𝑃 + log10 𝑄

ii. log101

𝑄= − log10 𝑄

iii. log10 1 = 0

iv. log10 10 = 1

v. log10 𝑃𝑄 = 𝑄 log10 𝑃

vi. log10𝑃

𝑄= log10 𝑃 − log10 𝑄

2

𝐴, 𝐵 ∈ 𝑅+

Que significa log10 𝜋 ?

Isto é, se 𝐶 = log10 𝜋, então 10𝐶 = 𝜋 .

Como calcular 𝐶?

Definição anterior inadequada!

Para uma definição adequada vamos manter a propriedade:

“logaritmo de um produto = soma dos logaritmos”

e analisar as consequências de esta definição.

3

DEFINIÇÃO: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 é uma função logaritmo se,

i. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅+

ii. 𝑓 não é uma função constante

iii. 𝑓 é diferenciável

iv. ∀ 𝑎 > 0, ∀ 𝑏 > 0: 𝑓 𝑎𝑏 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 .

Consequências da definição:

1) 𝑓 1 = 𝑓 1 ⋅ 1 = 𝑓 1 + 𝑓 1 ⇒ 𝑓 1 = 0

2) 0 = 𝑓 1 = 𝑓 𝑏 ⋅1

𝑏= 𝑓 𝑏 + 𝑓

1

𝑏⇒ 𝑓

1

𝑏= −𝑓(𝑏)

3) 𝑓𝑎

𝑏= 𝑓 𝑎 ⋅

1

𝑏= 𝑓 𝑎 + 𝑓

1

𝑏= 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)

4)𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥

ℎ=

𝑓 1+ℎ

𝑥

ℎ=

𝑓 1+ℎ

𝑥−𝑓(1)

𝑥⋅ℎ

𝑥

=1

𝑥

𝑓 1+𝑘 −𝑓(1)

𝑘⇒ 𝑓′ 𝑥 =

1

𝑥⋅ 𝑓′(1) se ℎ → 0.

Afirmação: 𝑓′ 1 ≠ 0.

Pois se 𝑓′ 1 = 0, então 𝑓′ 𝑥 =1

𝑥⋅ 0 = 0 e por tanto a função 𝑓 é constante, o qual é

uma contradição.4

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