FUNDAMENTOS DE MATEMTICA FINANCIERA

Curso de Preparacin y Evaluacin de Proyectos

TemarioILPES

Temario Ciclo de vida EVALUACIN DE PROYECTOS:Introduccin Matemticas Financieras Flujo de Fondos Criterios de Decisin VAN TIR Otros

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

2

ILPES

MATEMTICA FINANCIERATemario Valor del dinero en el tiempo Valor futuro y valor actual

Temario Ciclo de vida

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

Tasas de inters compuesta y simple Anualidades Inflacin y tasas de inters

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ILPES

Valor del dinero en el tiempoCorresponde a la rentabilidad que un agente econmico exigir por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando una rentabilidad. La tasa de inters (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo

Temario Ciclo de vida

IdentificacinDiagnstico

La sociedad es un participante ms que tambin tiene Evaluacin preferencia intertemporal entre consumo e inversin presente y futura.

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ILPES

Valor del dinero en el tiempo

...continuacin...

Temario Ciclo de vida

Ejemplo Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opcin de poner el dinero en el banco. a) Cul ser el valor de ese monto dentro de un ao si la tasa rentabilidad o de inters (r) que puede obtener en el banco es de 10% ? 1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un ao)

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

Periodo 0(Ao 0)

Si r = 10%

Periodo 1(Ao 1)

$1.000

$1.100

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ILPES

Valor del dinero en el tiempoSi : Slo hay 2 periodos Ingreso slo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un ao (C0, C1) Rentabilidad exigida por no consumir hoy: r=10%Entonces C1 = (Y0 C0)*(1+r) Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880 Consumo total= 200 + 880 = 1.0801.200

...continuacin

Temario Ciclo de vida

b) Cul sera el monto final disponible para consumir dentro de un ao si consume $200 hoy ?1.100 1.000 (200, 880)800Periodo 1

600 400 200

(500, 550)

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

(800, 220)

0100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 0

Periodo 0

6

ILPES

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)VALOR FUTUROAo: 0

Temario Ciclo de vida

1

Slo 1 periodo

VA

VF

VF VA * 1 r Ao: 0 1 2

Donde:

r = tasa de inters

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

3

Si son 3 periodos

VA

VF3

VF VA * 1 r 1 r 1 r VA1 r Caso General:

VF VA * 1 r

n

7

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)ILPES

...continuacin...

VALOR ACTUALTemario

Ao: 0

1

Caso 1 periodo Ciclo de vida

VAVA Ao: 0 1

VFVF 1 r 2Donde:

r = tasa de inters

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

3

Caso 3 periodos

VAVA

VF

VF VF 1 r * 1 r * 1 r 1 r 3

Caso General:

VF VA n 1 r 8

ILPES

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)Ejemplo VF :

...continuacin...

Temario

a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de inters anual es de 12%. Cul ser su valor al final del tercer ao? Ciclo de vida Ao Ao Ao Ao 0: 1: 2: 3: 1.000 1.000 * (1+0,12) = 1.120 1.120 * (1+0,12) = 1.254 1.254 * (1+0,12) = 1.405

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

Alternativamente: VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

9

ILPES

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)Ejemplo VA:

...continuacin

Temario Ciclo de vida

b) Si en cuatro aos ms necesito tener $ 3.300 y la tasa de inters anual es de 15%. Cul es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?Ao Ao Ao Ao Ao 4: 3: 2: 1: 0: 3.300 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

Alternativamente:VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8

10

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)ILPES

...continuacin

Temario Ciclo de vida

Ejemplos VF y VA:

Caso especial c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del ao 3. Cul ser la tasa de inters anual relevante? VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643 (1+r)3 = 1,64 (1+r) = (1,64)1/3

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

1+r = 1,18 r = 0,18

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Tasas de inters compuesta y simpleILPES

Tasa de inters compuestaTemario Corresponde al mismo concepto asociado a la conversin de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa. Ciclo de vida El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, as por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital ms los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

VF VA * 1 r

n

VF VA n 1 r

VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversin inicial (valor actual) r = tasa de inters del periodo n = nmero de perodos

(1+r) n : Factor de capitalizacin 1 (1+r) n : Factor de descuento12

Tasas de inters compuesta y simpleILPES

...continuacin...

Tasa de inters simpleTemario Ciclo de vida Concepto poco utilizado en el clculo financiero, es de fcil obtencin, pero con deficiencias por no capitalizar la inversin periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

VF VA* (1 r * n)

VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversin inicial (valor actual) r = tasa de inters del periodo n = nmero de perodos

(1+r*n) : Factor acumulacinsimple

VF VA 1 r * n

1 (1+r*n) : Factor descuento simple13

Tasas de inters compuesta y simpleILPES

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Ejemplo tasa inters compuesta versus tasa inters simple Temario Ciclo de vida Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de inters anual es de 12%. Cul ser su valor al final del tercer ao? Con tasa inters compuesta: C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.4051000 1+r

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

11201+r

1254

1405 1+r

Intereses ganados: Ao 1: $ 120 Ao 2: $ 134 Ao 3: $ 151

Con tasa inters simple: C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.3601000 1+r*3 1360 Intereses ganados: Ao 1: $ 120 Ao 2: $ 120 Ao 3: $ 12014

Tasas de inters compuesta y simpleILPES

...continuacin

Tasa de inters equivalenteTemario Ciclo de vida

Si se tiene una tasa de inters anual ra , la tasa de inters mensual equivalente rm, puede ser calculada usando las siguientes expresiones:Con inters compuesto:

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

r m 1 ra rm 12

1 12

1

Con inters simple:

ra

Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.15

AnualidadesILPES

Temario Ciclo de vida

Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los aos por un perodo de tiempo n a una tasa rAo:Flujos Actualizados: F1F1

0

1F1

2F1

3F1

n-1F1

nF1

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

(1+r) (1+r)2 (1+r)3

F1

(1+r)n-1 (1+r)n

F1

F1

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AnualidadesILPES

...continuacin...

Temario Ciclo de vida

El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como:VA F * 1 1 (1 r ) F * 1 1 (1 r )2

... F * 1n

1 (1 r )n

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

(1 r ) 1 F1 * n r * (1 r )

1 (1 r ) n VA F1 * r17

ILPES

Anualidades

...continuacin...

Temario Ciclo de vida

Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene: El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como:VF F * (1 r ) 1 n F * (1 r ) 1 n 1 ... F 1

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

(1 r ) 1 VF F1 * rn

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ILPES

Anualidades

...continuacin...

Temario Ciclo de vida

Ejemplo anualidad: Suponga usted pag cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 aos (24 meses) a una tasa de 1% mensual. Cul fue el valor del prstamo?

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

1 (1 0,01) 24 VA 250 .000 * 3.186 .508 0,01

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ILPES

Anualidades

...continuacin...

Temario Ciclo de vida

Ejemplo anualidad: Suponga usted trabajar durante 30 aos, su cotizacin en la AFP ser de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5% Cul ser el monto que tendr su fondo al momento de jubilar?

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

(1 0,005 ) VF 20 .000 * 0,005

360

1

20 .090 .301

20

ILPES

Anualidades

...continuacin...

Temario Ciclo de vida

Ejemplo anualidad: Suponga usted comprar una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crdito por el total del valor a 15 aos plazo (180 meses). La tasa de inters es de 0,5% mensual. Cul deber ser el valor del dividendo mensual ?

IdentificacinDiagnstico Evaluacin

1 (1 r ) n Si: VA F1 * r

Entonces:

r F1 VA * 1 (1 r ) n

As:

0,005 F1 20 .000 .000 *