Fundamentos Físicos de la Ingeniería - uco.es · ... Electrotecnia, Motores y ... Las clases...

FFuunnddaammeennttooss FFííssiiccooss ddee llaa IInnggeenniieerrííaa

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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA1/7

Curso 2012/13

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AGRONÓMICA Y DEMONTES

GRADO DE INGENIERÍA FORESTALCURSO 2012/13

ASIGNATURA: FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA

DATOS DE LA ASIGNATURA

Denominación: FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍACódigo: 101052

Plan de estudios: GRADO DE INGENIERÍA FORESTAL Curso: 1

Denominación del módulo al que pertenece: FORMACIÓN BÁSICAMateria: FÍSICACarácter: BASICA Duración: ANUALCréditos ECTS: 9 Horas de trabajo presencial: 90Porcentaje de presencialidad: 40% Horas de trabajo no presencial: 135Plataforma virtual: http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/

DATOS DEL PROFESORADO

__

Nombre: ORTEGA GIRON, MANUEL RAMONCentro: ETSIAMDepartamento: FÍSICA APLICADAÁrea: FÍSICA APLICADAUbicación del despacho: C2 (Edif. Einstein) 1ª Plantae-Mail: [email protected] Teléfono: 957218483URL web: http://www.uco.es/users/fa1orgim _

Nombre: MUÑOZ RODRÍGUEZ, DAVIDCentro: ETSIAMDepartamento: FÍSICA APLICADAÁrea: FÍSICA APLICADAUbicación del despacho: C2 (Edif. Einstein) 1ª Plantae-Mail: [email protected] Teléfono: ---URL web: --- _Nombre: CRUZ FERNANDEZ, JOSE LUIS DE LACentro: ETSIAMDepartamento: FÍSICA APLICADAÁrea: FÍSICA APLICADAUbicación del despacho: C2 (Edif. Einstein) 1ª Plantae-Mail: [email protected] Teléfono: ---URL web: ---

_Nombre: PEREA MORENO, ALBERTO JESÚSCentro: ETSIAMDepartamento: FÍSICA APLICADAÁrea: FÍSICA APLICADAUbicación del despacho: C2 (Edif. Einstein) 1ª Plantae-Mail: [email protected] Teléfono: ---URL web: ---

DATOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA


Curso 2012/13

REQUISITOS Y RECOMENDACIONES

Requisitos previos establecidos en el plan de estudios

.

Recomendaciones

Haber cursado Física en el Bachillerato.

COMPETENCIAS

CB1 Conocimiento en materias básicas, científicas y tecnológicas que permitan un aprendizaje continuo, así como unacapacidad de adaptación a nuevas situaciones o entornos cambiantes.

CB2 Capacidad de resolución de problemas con creatividad, iniciativa, metodología y razonamiento crítico.CU2 Conocer y perfeccionar el nivel de usuario en el ámbito de las TICCEB5 Comprensión y dominio de los conceptos básicos sobre las leyes generales de la mecánica, termodinámica, campos, y

ondas y electromagnetismo y su aplicación para la resolución de problemas propios de la ingeniería.

OBJETIVOS

- Transmitir unos conocimientos científicos básicos y esenciales para el estudio de asignaturas especializadas(Hidráulica e hidrología, Electrotecnia, Motores y máquinas,...) que constituyen una parte importante de laformación del Ingeniero Forestal.

- La adquisición de un bagaje de conocimientos que faciliten al estudiante la comprensión de los fundamentosteóricos de la tecnología que encontrará en su futuro ejercicio profesional.

- Proporcionar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes yprincipios que constituyen el aspecto más fundamental de esta rama del conocimiento científico y de susaplicaciones tecnológicas.

CONTENIDOS

1. Contenidos teóricos

Teoría de Campos.- Mecánica.- Ondas.- Mecánica de fluidos.- Termodinámica.- Electrostática.- CorrienteContinua.- Electromagnetismo.- Corriente alterna.

Tema 01. Álgebra vectorial.Tema 02. Vectores deslizantes.Tema 03. Análisis vectorial.Tema 04. Cinemática de la partícula.Tema 05. Cinemática del sólido rígido.Tema 06. Las leyes de la Mecánica.Tema 07. Sistemas de referencia en rotación.Tema 08. Trabajo y energía.Tema 09. Momento angular.Tema 10. Geometría de masas.Tema 11. Dinámica de los sistemas de partículas. Leyes de conservación.Tema 12. Estática del sólido rígido.Tema 13. Dinámica del sólido rígido.Tema 14. Movimiento armónico simple.


Curso 2012/13

Tema 15. Ondas mecánicas. Ondas progresivas.Tema 16. Estática de los fluidos.Tema 17. Dinámica de los fluidos.Tema 18. El calor y trabajo. Primer Principio de la Termodinámica.Tema 19. Segundo Principio de la Termodinámica. Entropía.Tema 20. El campo eléctrico.Tema 21. El potencial eléctrico.Tema 22. Capacidad eléctrica.Tema 23. El campo eléctrico en la materiaTema 24. Corriente eléctrica y fuerza electromotriz.Tema 25. Circuitos de corriente continua.Tema 26. El campo magnético.Tema 27. Campos magnéticos creados por corrientes.Tema 28. Inducción electromagnética.Tema 29. Corriente alterna.Tema 30. Circuitos de corriente alterna.

2. Contenidos prácticos

01. Introducción al cálculo de errores.02. Medidas de precisión03. Tiro parabólico. Composición de movimientos.04. Movimiento relativo.05. Movimiento armónico simple y movimiento circular uniforme06. Fuerza que ejerce un muelle y movimiento armónico simple.07. Coeficiente de rozamiento08. El giroscopio09. Determinación de la aceleración de la gravedad10. Principio de Arquímedes. Aplicación a la determinación de densidades de sólidos y líquidos11. Viscosidad (método de Stokes)12. Utilización del Polímetro y reconocimiento de resistencias.13. Circuito de corriente continua.14. Circuito de corriente continua. Leyes de Kirchhoff.15. Carga y descarga de un condensador.16. Circuito RC en corriente alterna.

METODOLOGÍA

Aclaraciones generales sobre la metodología y adaptaciones metodológicas para los alumnos a tiempoparcial

Lecciones magistrales

En estas clases se explicarán los contenidos del Programa, prestando una especial atención a la compresión delos conceptos e ideas centrales de la asignatura.

Estudio de casos

Al comenzar el curso, los alumnos dispondrán de un Boletín con una selección de enunciados de problemaspropuestos para su resolución durante el curso. Este material estará disponible en el Aula Virtual y en la WebDocente de los profesores que imparten la materia.

En estas clases se plantearán, explicarán y resolverán ejercicios, problemas y cuestiones relacionadas con todos ycada uno de los temas del Programa.

Laboratorio

Las clases prácticas de laboratorio se impartirán en los laboratorios de la UCO y en las Aulas de Informática, deacuerdo con los horarios publicados en el Tablón de Anuncios del Departamento.

Cada alumno entregará una Memoria o Cuaderno de Prácticas, en la que se expondrán los objetivos,fundamentos teóricos, desarrollo, cálculos realizados sobre los datos experimentales obtenidos, estudio de laexactitud y validez de los métodos empleados y conclusiones que se sigan del trabajo realizado en el laboratorio.


Curso 2012/13

Actividades presenciales

Actividad Grupocompleto

Grupomediano

Grupopequeño Total

Actividades de evaluación 4 - - 4 Estudio de casos - 29 - 29 Laboratorio - - 7 7 Lección magistral 50 - - 50 Total horas: 54 29 7 90

_Actividades no presenciales

Actividad Total Búsqueda de información 10 Ejercicios 20 Estudio 45 Problemas 60 Total horas: 135

MATERIAL DE TRABAJO PARA EL ALUMNADO

Casos y supuestos prácticos - http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/Cuaderno de Prácticas - http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/Dossier de documentación - http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/Ejercicios y problemas - http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/Manual de la asignatura - http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/Simulaciones - http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/

Aclaraciones:

El profesorado que imparte la asignatura ha desarrollado abundante material docente que está disponible tanto ensu versión impresa (en copistería, librerías y biblioteca) como en formato digitalizado en http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/docencia/

- Manual de la asignatura. Libros de Texto.

Ortega Girón, M.R. y López Luque, R.: Lecciones de Física (Mecánica). Monografías y Textos. Córdoba, 1999.

Ortega Girón, M.R. y Ibáñez Mengual, J.A.: Lecciones de Física (Termología). Monografías y Textos. Córdoba,1999.

- Problemas resueltos y explicados.

Ortega Girón, M.R. y López Luque, R.: Problemas de Física propuestos en Exámenes. Departamento de FísicaAplicada. Universidad de Córdoba, 2005.

- Cuadernos de Prácticas.

Preparados por los profesores responsables de la impartición de las Clases Prácticas de Laboratorio, adaptados ala disponibilidad y programación de las mismas.

- Guías de ayuda al estudio.

Ortega Girón, M.R.: Guías de Física (Termología). Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba,

../users/mr.ortega/fisica/docencia/


Curso 2012/13

2009.Ortega Girón, M.R.: Guías de Física (Electricidad y Magnetismo). Departamento de Física Aplicada.Universidad de Córdoba, 2004.

EVALUACIÓN

Competencias

Instrumentos

Escalas deactitudes

Resolución deproblemas ycuestiones

Informes/memoriasde prácticas

Realización detareas y trabajosindividuales o en

grupo

CB1 x x

CB2 x x

CEB5 x x

CU2 x

Total (100%) 15% 60% 15% 10%

Periodo de validez de las calificaciones parciales: Año académico completo

Aclaraciones generales sobre la evaluación y adaptaciones metodológicas para los alumnos a tiempoparcial:

- Informes/memorias de prácticasLas Prácticas de Laboratorio implican la participación presencial en las mismas y la presentación de una Memoriao Cuaderno de Prácticas.

- Realización de tareas y trabajos individuales o en grupoEl alumno realizará las tareas y trabajos encomendados por los profesores de la asgnatura y los entregará en lasfechas señaladas para que sean evaluados.

- Escalas de actitudesSe valorará el grado de asistencia de a las clases, tanto teóricas como prácticas, así como la participación en lasmismas y en cualquier otra actividad complementaria.

- Pruebas escritas presenciales. Resolución de problemas y cuestiones.

Consistirán en ejercicios prácticos (problemas) y teóricos (cuestiones). Durante el curso se realizarán 2 pruebasescritas parciales, una al final de cada cuatrimestre. La calificación media mediante estas dos pruebas constituyela calificación con este instrumento.

En la convocatoria de septiembre se recuperarán las pruebas parciales no liberadas durante el curso o en laconvocatoria de junio. La convocatoria de septiembre, tanto en lo referente a la estructura del examen, como a lacalificación del curso y definitiva para las Actas, se regirá por los mismos procedimientos descritos para laconvocatoria de junio

En las convocatorias de carácter extraordinario, los exámenes versarán sobre todo el programa de laasignatura, en el que se incluirán ejercicios prácticos (problemas) y teóricos (cuestiones). Para estasconvocatorias, no se conservarán las calificaciones de los exámenes parciales aprobados durante el curso ocursos anteriores; sin embargo, se tendrán en consideración dichas calificaciones y el grado de cumplimiento delas actividades desarrolladas si ello puede beneficiar al alumno.

- CalificaciónLa calificación del grado de conocimientos y competencias adquiridas se valorará en la escala de 0 a 10 en cadauno de los instrumentos de evaluación. La calificación final resultante será la media ponderada de todas ellas.

- Alumnado repetidor.


Curso 2012/13

El alumnado repetidor estará exento de la realización de las prácticas de laboratorio si ya las hubiese realizado,entregado el informe correspondiente y declarado apto en años anteriores.Los alumnos repetidores serán evaluados mediante un examen escrito, en condiciones análogas a los alumnosque se acojan a convocatorias de carácter extraordinario.

BIBLIOGRAFÍA

1. Bibliografía básica:

- Libros de texto

Ortega Girón, M.R.: Lecciones de Física (Mecánica). Monografías y Textos. Córdoba, 1999.Ortega Girón, M.R. y Ibáñez Mengual, J.A.: Lecciones de Física (Termología). Monografías y Textos. Córdoba,1999.Ortega Girón, M.R.: Guías de Física (Termología, Electricidad y Magnetismo). Departamento de FísicaAplicada. Universidad de Córdoba, 2004.

- Libros de Problemas Resueltos

Ortega Girón, M.R.: Problemas de Física propuestos en Exámenes. Departamento de Física Aplicada.Universidad de Córdoba, 2005.

2. Bibliografía complementaria:

- Bibliografía Complementaria

Sears, F.W., Zemansky, M.W. Y Young, H.D.: Física Universitaria. Fondo Educativo Interamericano. Méjico,1986.Serway, R.A. Física. (Vol. 1 y 2), Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1997.Tippler, P.A. Física. (Vol. 1 y 2), Ed. Reverté. Barcelona,1986.

- Direcciones web recomendadas

www.walter-fendt.de/ph14swww.sc.ehu.es/sbweb/fisica/www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/webphysics.ph.msstate.edu/javamirrorexploresciece.com/activities/activityhyperphyics.phyastr.gsu.edu/hbase/hph.html

CRITERIOS DE COORDINACIÓN

- Actividades conjuntas: conferencias, seminarios, visitas...- Criterios de evaluación comunes- Fecha de entrega de trabajos- Realización de actividades- Selección de competencias comunes- Trabajos válidos para varias asignaturas

http://www.walter-fendt.de/ph14s

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror

http://www.explorescience.com/activities/activity

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html


Curso 2012/13

CRONOGRAMA

PERIODO

Actividades

Actividades deevaluación Estudio de casos Laboratorio Lección magistral

1ª Semana 0 0 0 22ª Semana 0 1 0 23ª Semana 0 1 0 24ª Semana 0 1 0 25ª Semana 0 1 0 26ª Semana 0 1 1 27ª Semana 0 1 0 28ª Semana 0 1 0 29ª Semana 0 1 0 210ª Semana 0 1 1 211ª Semana 0 1 0 212ª Semana 0 1 0 113ª Semana 0 1 0 114ª Semana 0 1 1 115ª Semana 2 1 0 216ª Semana 0 1 0 217ª Semana 0 1 1 218ª Semana 0 1 0 219ª Semana 0 1 1 020ª Semana 0 1 0 221ª Semana 0 1 0 222ª Semana 0 1 1 223ª Semana 0 1 0 224ª Semana 0 1 1 225ª Semana 0 1 0 226ª Semana 0 1 0 227ª Semana 0 1 0 128ª Semana 0 1 0 129ª Semana 0 1 0 130ª Semana 2 1 0 0Total horas: 4 29 7 50

Fundamentos Físicosde la Ingeniería

Enunciados de Problemas

Prof. Manuel R. Ortega Girón

Escuela Técnica Superior de IngenierosAgrónomos y de MontesUniversidad de Córdoba

2 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

Actualizado el 15 de septiembre de 2011

1- Álgebra Vectorial 3

1.- Álgebra Vectorial.

1.1.- Decir cuáles son las propiedades de losvectores A y B, tales que: a) A + B = A - B; b) A+ B = C y A + B = C; c) A + B = C y A2 + B2 = C2;d) A + B= A - B.1.2.- Un vector forma ángulos iguales con cadauno de los ejes coordenados. Expresar dichovector en funciónde sus componentes cartesianas.1.3.- Determinar la ecuación de la bisectriz delángulo formado por los vectores concurrentes A yB.1.4.- Descomponer el vector A = 3i + 5j + 4k enlas direcciones de los vectores u(1,1,0), v(1,0,1),w(0,1,1).1.5.- Descomponer el vector A = 5i + 10j + 7k enlas direcciones del vector unitario e = 0.8i + 0.6jy del normal al vector e.1.6.- a) Demostrar que los tres vectores:

A = 51i + 42j - 26kB = 18i + 19j + 66kC = 46i - 54j + 3k

son perpendiculares entre sí y que forman untriedro directo. b) Establecer una base vectorialortogonal y positiva que tenga las mismasdirecciones que los vectores anteriores.1.7.- Dados los vectores A = 3i + 4j + k y B = i+ 2j + 5k, calcular: a) sus módulos; b) su suma;c) su producto escalar; d) el ángulo formado entreambos; e) la proyección del vector A sobre el B;f) suproducto vectorial; g)el versor perpendiculara A y a B.1.8.- Dados los tres vectores:

A = 2i - j + 3kB = xi + 2j + zkC = i + yj + 2k

determinar x, y, z, para que los tres vectores seanmutuamente perpendiculares.1.9.- Ecuaciones vectoriales. Dado el sistema deecuaciones vectoriales:

a + b = 3i - 2j + 5ka - b = i + 6j + 3k

determinar a y b.1.10.- Ec. de la recta I. Determinar la ecuaciónde la recta que pasa por los puntos A(2,4,5) yB(3,6,4).1.11.- Ec. de la recta II. Determinar la ecuaciónde la recta que pasa por el punto P(1,5,3) y esparalela al vector u = 2i + j + 3k.1.12.-Ec. del plano I. Determinar la ecuación delplano determinado por los puntos A(2,3,-1),B(3,5,1) y C(1,-2,3).

1.13.- Ec. del plano II. Determinar la ecuacióndel plano que pasa por el punto P(2,5,3) y esnormal al vector N = i + 2j + 3k.1.14.-Ec. del plano III. Encontrar la ecuación delplano determinado por la recta [2x + y - z + 3 = 0;x - 3y + z + 1 = 0] y el punto (1,2,3).1.15.- Proyección de unasuperficie. Determinarla proyección de la superficie representada por elvector S = 3i + 2j + k sobre el plano normal a ladirección del vector N = i + j + k.1.16.- Consideremos el vector A y la direccióndefinida por el vector B. Descompongamos elvector A en dos: uno paralelo y otro perpendiculara la dirección del vector B. Demostrar que losvectores componentes de A son AB/B y(B×(A×B)/B2.

2.- Vectores deslizantes.

2.1.- Determinar el momento del vector F = 2i - j+ 3k, aplicado en el punto P(2,5,3): a) conrespectoal origen de coordenadas; b)con respectoal punto O(1,2,-1); c) comprobar que MO= MO +OO × F.2.2.- Dado el vector deslizante F = i + 2j + 3k,aplicado en el punto P(3,4,2), calcular sumomento: a) con respecto a cada uno de los ejescoordenados; b) con respecto al eje determinadopor el origen de coordenadas y el punto Q(2,3,1);c) con respecto a la recta de ecuación(x-1)/2 =(y+2)/3 =(z-4)/(-5).2.3.- Dado el vector deslizante F = 2i - 3j + 2k,cuyo momento con respecto al origen decoordenadas es MO = 5i + 6j + Mzk, determinar Mzy la ecuación de la recta de acción del vector F.2.4.- Un sistema de vectores deslizantes estádefinido por sus momentos respecto a tres puntosdel espacio, en la forma siguiente

M1 = i + 2j - k respecto a O1(2,0,1)M2 = ai + 4j + 3k O2(0,0,1)M3 = bi - j + ck O3(1,-1,0)

Hallar el vector resultante y completar lasexpresiones de los momentos.2.5.- El módulo de la resultante de un sistema devectores es R = 6, el invariante escalar del sistemaes MR=30 y la ecuación del eje central delsistema es 2x = y = 2z. Hallar: a) el momentomínimo; b) la resultante; c) el momento respectoal origen; d) el momento con respecto al punto(2,1,0).2.6.- Dado un vector deslizante F = -i + 2j + 3kcuya recta de acción pasa por el punto P(2,1,1), yel par de momento M = 4i + 2j, reducir dichosistema aun vector único (de ser posible)aplicadoen un punto del plano xy, cuyas coordenadasdeben determinarse.2.7.- Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas,F1 = 3i - 2j + k y F2 = i - j, aplicadasrespectivamente en los puntos (0,1,1) y (2,0,1), y


un par de fuerzas de momento M = 3i -k. Sustituirese sistema de fuerzas por: a) una fuerza que pasepor el punto (1,1,1) y un par; b) por una fuerza yun par de eje paralelo a la fuerza.2.8.- Determinar el eje central del sistema devectores deslizantes definidos de la siguienteforma:

A = 2i + j + 3k; PA(0,0,1)B=6; Bx>0; 2(x-1)=y=zC=3; Cx>0; PC(3,0,0); 2cosα=cosβ=cosγ2.9.- Dado el sistema de vectores deslizantes:

a = i - j aplicado en A(0,0,1)b = k aplicado en B(1,0,0)

determinar un tercer vector, de módulo 2 ycomponentes enteras, que junto con los dosanteriores constituya un sistema cuyo eje centralsea la recta x = y = z.2.10.- Sean dos sistemas de vectores deslizantesdefinidos por sus torsores {R;M} respectivos:

T1 = {(1,2,1);(2,4,2)} P1(1,0,0)T2 = {(0,1,1);(0,3,3)} P2(0,1,0)

Determinar el torsor resultante del sistema devectores constituido por los dos dados.

3.- Análisis vectorial.

3.1.- Demostrar que la derivada de un vector demódulo constante es otro vector normal al dado.3.2.- Demostrar que la dirección del vector A(t)permanecerá constante si se verifica que

3.3.- Dado el vector A = (t+1)i + t2j + 2tk,calcular:

a) y b)

3.4.- Consideremos la función definida por elmódulo del vector de posición de los puntos delespacio con respecto al origen de coordenadas.a) ¿Define dicha función un campo escalar?b) ¿Cómo son las superficies equiescalares dedicho campo?3.5.- La función φ= x2 + y2 - z define un campoescalar. ¿Cómo son las superficies equiescalaresde dicho campo?3.6.- Un campo escalar estacionario, φ(r), estádefinido por la funciónφ= r2 -2ar, donde a es unvector constante. a) Demostrar que las superficiesequiescalares son esféricas. b) Determinar elmenor valor posible que tomará el campo escalary el punto(s) donde lo toma.

3.7.- Si es A = (x + y)i + xyj, calcular Adr sobrelos siguientes recorridos: a) y=x desde (0,0) hasta(1,1); b) la línea quebrada determinada por lospuntos (0,0), (1,0) y (1,1); c) ídem por los puntos(0,0),(0,1) y (1,1); d) sobre la curva y=x2 entre lospuntos (0,0) y (1,1); e) ídem sobre la curva x=y2;f) sobre la trayectoria cerrada definida por lascurvas y=x2 y x=y2; g) ¿Es conservativo estecampo?3.8.- Calcular Adr, donde

A = (2x-y+z)i + (x+y-z)j + xyzk

sobre la elipse de ecuación x2/9+y2/4=1. ¿Esconservativo este campo?3.9.- Calcular el flujo del campo vectorialdefinido por A = xi + yj + zk, a través de lassuperficies siguientes: a) la superficie de un cubode arista unidad delimitado por los planoscoordenados y los planos x=1, y=1 y z=1; b) lasuperficie esférica de radio unidad y centrada enel origen de coordenadas.3.10.- Hallar los gradientes de los camposescalares siguientes:

a) φ= x2 + y2 + z2

b)φ= xy3 + yz3 + zx3

c)φ= x2y/z3

d)φ= x sen(yz) + y cos(xz)e)φ= x cos x + xyz3.11.- a) Calcular la derivada direccional de lafunciónφ= 2xz - y2 en la dirección del vector 2i +j - k en el punto P(1,3,2). b) Determinar, en dichopunto, la dirección del máximo crecimiento de φ,así como el valorde dicho crecimiento por unidadde longitud en la citada dirección.3.12.- Calcular grad (Ar), siendo A un vectorconstante y r el vector de posición.3.13.- Dado el campo vectorial definido por

A =(x3+yz)i + (y3+xz)j + (z3+xy)k

calcular: a) div A; b) SAdS, siendo S lasuperficie de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.3.14.- a) Demostrar que el campo vectorial Adefinido en el Problema 3.13 es conservativo.b) Determinar una función escalarφtal que sea A= grad φ. c) Calcular la circulación del campo Aentre los puntos (0,0,0) y (1,3,-2).3.15.- Sea el campo vectorial

A = (1+yz)i + (1+xz)j + (1+xy)k

a) Calcular la circulación de este campo vectorialentre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo de larecta que los une.b) Demostrar que este campo esconservativo y determinar la función potencialcorrespondiente. c) Recalcular el primer apartadomediante la función potencial.3.16.- Sea el campo vectorial

A = (2x+yz)i + (2y+xz)j + (2z+xy)k

a) Evaluar su circulación entre los puntos (0,0,0)y (1,1,1) a lo largo de la curva definida por y = x2;

3- Análisis vectorial 5

Prob. 4.7

Prob. 4.9

z = x. b) Demostrar que el campo es conservativoy determinar la funciónde potencial. c) Reavaluarelprimer apartado utilizandola función potencial.3.17.- Sea el campo vectorial A = r/r, donde r esel vector de posición. a) Demostrar que el campoes potencial y obtener su función potencial.b) Calcular la circulación del campo entre lospuntos (1,0,0) y (0,0,1) a lo largo de un arco decircunferencia que pasa por dichos puntos y cuyocentro es el origen de coordenadas:i)directamente; ii)utilizando la función potencial.

4.- Cinemática de la partícula.

4.1.- El maquinista de un tren expreso que circulacon una velocidad v1 observa a una distancia d elfurgón de cola de un tren de mercancías quemarcha por delante del expreso, sobre la mismavía y en el mismo sentido, con una velocidad v2,menor que la del expreso. El maquinista delexpreso aplica inmediatamente los frenos,produciéndose una desaceleración constante a,mientras que el mercancías continúa su marcha avelocidad constante. Determinar el menor valor dela desaceleración para que pueda evitarse lacolisión.4.2.- Después de parar el motor de una canoa, éstatiene una aceleración en sentido opuesto a suvelocidad y directamente proporcional alcuadrado de ésta. Determinar: a) la velocidad dela canoa en función del tiempo; b) la distanciarecorrida en un tiempo t; c) la velocidad de lacanoa después de haber recorrido una distancia x;d) Constrúyanse las gráficas del movimiento.Aplicación numérica: supóngase que cuando separa el motor la velocidad de la canoa es de20 m/s y que 15 s después dicha velocidad se hareducido a la mitad. Determinar el valor de laconstante de proporcionalidad que aparece en ladefinición de la aceleración.4.3.- Vehículo quitanieves. La velocidad de unvehículo quitanieves es inversamente proporcionalal tiempo transcurrido desde que comenzó anevar. Transcurrido un cierto tiempo, t0, a partirdel instante en que empezó a nevar, el vehículo sepone en marcha y recorre 2 km en la primera horay 1 km en la segunda. a) Determinar la ecuacióndel movimiento del vehículo, i.e., x(t). b) Calcularel valor de t0. c) ¿Qué distancia recorrerá elvehículo durante la tercera hora defuncionamiento?4.4.- El movimiento rectilíneo de una partículaestá caracterizado por su aceleración a=-9x,siendo x la distancia (en cm) que la separa de uncierto origen sobre la trayectoria. En el instanteinicial la partícula se encuentra en el puntox0=3 cm y tiene una velocidad de 2 cm/s(alejándose del origen). Determinar la posición yla velocidad de la partícula en un instantecualquiera t .

4.5.- En un cierto instante la celeridad de unapartícula es de 20 m/s y el módulo de suaceleración es 3 m/s2. Los vectores velocidad yaceleración forman, en ese instante, un ángulo de30. Determinar la curvatura y el radio decurvatura de la trayectoria de la partícula en eseinstante.4.6.- El movimiento de una partícula quedadefinido por r = R cosωt i + R senωt j, donde Ryωson constantes. a) Obtener la ecuación f(x,y)de la trayectoria. ¿En qué sentido se recorre dichatrayectoria? b) Demostrar que la velocidad de lapartícula es en todo momento perpendicular a suvector de posición. c) Demostrar que laaceleración de la partícula está siempre dirigidahacia el origen y quesu módulo es proporcional almódulo del vector de posición. d) Demostrar quer×v es un vector constante.4.7.- En el dispositivo que se muestraen la figura, lasdeslizadoras 1 y 2están unidas por unacuerda flexible, delongitud l , que pasapor una pequeñapolea P. Determinar la velocidad y la aceleraciónde la deslizadora 2 en el instante en que ladeslizadora 1 se mueve hacia la derecha convelocidad v1 y aceleración a1.4.8.- ¿Cuál debe ser la elevación de disparo deuna pieza de artillería para que en el punto másalto de la trayectoria del proyectil se pueda trazaruna circunferencia tangente (circunferenciaosculatriz) cuyo centro se encuentre situado en lamisma horizontal que la pieza?

4.9.- Un esquiador se desliza por una pista dependiente constante que forma un ángulo θcon lahorizontal. Tras haber partido del reposo, recorreuna distancia s sobre la pista antes de encontrarsecon el borde de un escarpado vertical de altura H,como se indica en la figura. Al pie de laescarpadura la pista continúa con la mismapendiente.Determinar la posición del punto dondecae el esquiador.4.10.- Una partícula se mueve describiendo laparábola x2 = 2py, donde p es una constante, demodo que la proyección de su velocidad sobre latangente a la parábola en el vértice de éstapermanece constante e igual ak. Determinar: a) la


Prob. 5.9

velocidad y la aceleración de la partícula; b) lascomponentes intrínsecas de la aceleración.4.11.- Dadas las ecuaciones paramétricas(temporales) del movimiento de una partícula:x = 2t , y = t2, z = t3/3, determinar: a) Lascomponentes intrínsecas de su aceleración en elinstante t=1; b) el radio de curvatura de latrayectoria en dicho instante.4.12.- Una lancha motora, que navega río arriba,se encontró con una balsa arrastrada por lacorriente. Una hora después de este encuentro, elmotor de la lancha se averió. La reparación duró30 min; durante este tiempo la lancha fuearrastrada por la corriente. Reparado el motor, lalancha navegó río abajo con la misma velocidad(respectodel río) que antes de la avería, y alcanzóa la balsa a una distancia de 7.5 km del punto desu primer encuentro. Determinar la velocidad dela corriente del río, considerándola constante.4.13.- La velocidad de un avión con respecto alairees de 600 km/h. Si sopla un viento procedentedel Oeste, con una velocidad de 100 km/h,determinar el rumbo que debe poner el piloto delavión para dirigirse hacia el Norte y calcular cuálserá entonces la velocidad del avión con respectoa tierra.4.14.- Puente aéreo. Un avión emplea 1 h y15 min para desplazarse entre dos poblacionesseparadas poruna distancia de 660 km. En el viajede vuelta emplea sólo 55 min. Suponiendo quetanto en el viaje de ida como en el de vuelta hasoplado un viento constante en una dirección queforma un ángulo de 30con la trayectoriacalcúlense la velocidad del viento y la del aviónen aire en calma.

5.- Cinemática del sólido rígido.

5.1.- Un sólido rígido se mueve con respecto a unsistemade ejes de referencia. En un instante dado,el punto del sólido de coordenadas (2,3,1) tieneuna velocidad v = (2,1,-1). Decir si es posible queel punto del sólido de coordenadas (5,4,6) tengaen ese instante algunas de las velocidadessiguientes: a) v = (1,2,-2); b) v = (1,4,-1); c) v =(2,1,-1).5.2.- a) Para el movimiento general del sólidorígido, demostrar que todos los puntos del sólidoque se encuentran sobre una recta paralela a ladirección de la velocidad angular ωdel sólidotienen la misma velocidad. b) Para el caso delmovimiento plano del sólido rígido, demostrar lamisma proposición anterior para la aceleración.5.3.- Consideremos un sólido rígido sometido ados rotaciones simultáneas con respecto a ejesconcurrentes en el origen de coordenadas, dadaspor ω1 = (0,0,2) y ω2 = (0,3,4). Determinar lavelocidad y la aceleración de un punto del sólidode coordenadas (0,2,1).5.4.- En un instante dado, el movimiento de unsólido queda definido por las rotaciones

simultáneas siguientes: ω1 = (-3,0,2), ω2 = (1,0,1)yω3 = (2,1,0), cuyos ejes pasan, respectivamente,por los puntos (0,0,0), (0,-9,6) y (-1,5,0).a) Reducir el movimiento al origen decoordenadas y describir los movimientoselementales correspondientes. b) Determinar elmovimiento helicoidal tangente, hallando el ejeinstantáneo de rotación y deslizamiento y lavelocidad de deslizamiento. c) Determinar lavelocidad de un punto del sólido de coordenadas(1,1,2).5.5.- En un instante determinado, el movimientode un sólido rígido consiste en dos rotacionessimultáneas,ω1 yω2, teniendo lugar ω1 alrededorde un eje paralelo al eje z y que pasa por el punto(0,1,0). En ese instante, el movimiento del sólidose reduce a una traslación del punto"perteneciente" al sólido de coordenadas (0,0,0) ya una rotación alrededor de un eje que pasa pordicho punto. Sean

vO = 2i + j + k y ω= i + j + k

a) Determinar ambas velocidades angulares derotación. b) Determinar el eje de ω2.5.6.- En un instante determinado, las velocidadesde tres de los puntos de un sólido rígido, decoordenadas A(0,0,0), B(1,10) y C(0,1,1) son,respectivamente, vA = (6,-2,6), vB = (4,0,5) y vC =(5,-2,6). a) Comprobar que dicho movimiento esposible. b) Determinar la velocidad angular delsólido en dicho instante. c) Determinar laecuación del eje instantáneo de rotación ydeslizamiento. d) ¿Qué tipo de movimiento tienelugar?5.7.- Demostrar que cuando un cuerpo parte delreposo y gira alrededor de un eje fijo conaceleración angular constante, la aceleraciónnormal de un punto del cuerpo es directamenteproporcional a su desplazamiento angular. ¿Quéángulo habrá girado el cuerpo cuando suaceleración forme un ángulo de 60N con suaceleración normal?5.8.- El rotor de un generador eléctrico estágirando a 200 r.p.m. cuando el motor se apaga.Debido a efectos de fricción, la aceleraciónangular del rotor, en rad/s2, después de que seapaga el motor viene dada por la expresión α= -0.01ω, dondeωes la velocidad angular en rad/s.¿Cuántas revoluciones gira el rotor hasta que sedetiene?5.9.- Una escaleraAB, de longitud l, está apoyadaen una pared vertical OA (vide figura). El pie del a e s c a l e r a e sempujado de modoque se desplaza avelocidad constantev0 alejándose de lapared. a) Demostrarque el punto mediod e l a esca l e r ad e s c r i b e u n acircunferencia deradio l/2 y con centro

5.- Cinemática del sólido rígido. 7

Prob. 5.10

Prob. 5.11

Prob. 5.12

Prob. 5.14

Prob. 5.18

Prob. 5.19

en el punto O. b) Determinar la velocidad y laceleridad de dicho punto medio en el instante enque B dista una distancia x de la pared. c) ¿Cuálsería la función vx(t) del pie de la escalera paraque el movimiento del punto medio de la mismasea circular uniforme?5.10.- El extremo superiorde la varilla AB desliza alo largo de una guíavertical (vide figura), entanto que la varilla nopierde contacto en C conel apoyo. Determinar elvalor del ángulo θal quecorresponde una velocidadhorizontal para el extremolibre, B, de la varilla.5.11.- Una varilla,que está apoyadasobre un cilindrode radio r= 1 cm,puede deslizar alo largo de unaguía tangente adicho cilindro,como se indica enla figura. Lalongitud de lavarilla es cuatroveces el radio delcilindro. En elinstante en que el centro de la varilla se apoya enel cilindro, la velocidad del punto A es 10 cm/s.Calcular, en dicho instante, las velocidades de lospuntos B y C y la velocidad angular de la varilla.5.12.- En el mecanismoarticulado que se muestraen la figura, la varilla DBgira con velocidadangular constante ωalrededordel eje que pasapor D. Determinar lavelocidad del extremo Cde la varilla AC en elinstante en que θ=60.5.13.- Sobre un planohorizontal rueda sindeslizar un cono recto desección circular, de 20 cmde generatriz y 30de semiángulo en el vértice.La rodadura es tal que en 1 segundo el cono pisa5 veces un punto determinado del plano.Determinar: a) la velocidad angular del cono conrespecto a su eje de simetría; b) el punto del conocuya velocidad (con respecto al plano fijo) esmáxima, así como la velocidad y aceleración dedicho punto.5.14.- El disco que se muestra en la figura estágirando con velocidad angular ω1 y aceleraciónangular α1 alrededor de su eje de revolución, altiempo que dicho eje es arrastrado por elmovimiento de rotación de la horquilla, convelocidad angular ω2 y aceleración angular α2.Determinarla velocidad y aceleración de un punto

genérico P de laperiferia del disco.5.15.- Un disco deradio r está girandoalrededor de su ejede simetría convelocidad angularω y aceleracióna n g u l a r α.Simultáneamente,e l d i s co es tág i r a n d o , c o nvelocidad angular constante Ω, alrededor de uneje fijo en el espacio que está contenido en elplano del disco y es tangente al perímetro de ésteen un punto Q. Determinar la velocidad yaceleración del punto P del perímetro del discodiametralmente opuesto al punto Q de tangencia.5.16.- La hélice de un avión gira a razón de6 000 rpm, en tanto que el avión tiene unavelocidad horizontal, en línea recta, de 360 km/h.Determinar: a) El tipo de movimiento que realizaun punto de la hélice distante 1 m del eje de lamisma; b) la velocidad y aceleración de dichopunto.5.17.- Para que vire un tractor que se mueve conuna velocidad v0 = 18 km/h, el tractorista frenauna de las orugas de modo que el eje de la ruedamotriz de ésta comienza a avanzar con velocidadv1 = 14 km/h. La distancia entre las orugas es D =1.5 m. a) Determinar el radiode la trayectoria quedescribe el centro del tractor. b) ¿Cuánto tarda eltractor en dar media vuelta?

5.18.-En el mecanismo de biela y manivela quesemuestra en figura la manivela gira con velocidadangular constante de 10 rad/s y son l=90 cm yR=30 cm. Calcular la velocidad del pistón A y lavelocidad angular de la biela (AB) para lossiguientes valores del ángulo θ: a) 0; b) 90;c) 180.


Prob. 5.20

Prob. 5.21

5.19.- Un cilindro de radio r rueda sin deslizarsobre la superficie de otro cilindro de radio 2r, demodo que se eje de simetría tienepermanentemente una velocidad de móduloconstante v0. Determinar las velocidades yaceleraciones de los puntos A y B de la periferiadel cilindro en el instante que se indica en lafigura.5.20.- Una moneda, de1.5 cm de radio, ruedainclinadamanteniendo unángulo de 60º respecto alplano horizontal. En sumovimiento, el punto decontacto con el planohorizontal describe sobreéste una circunferencia,de 0.75 cm de radio, cadatercio de segundo.D e t e r m i n a r l a svelocidades y aceleraciones del centro de lamoneda A y del punto B de la periferia, en elinstante en el que se encuentra en una posicióndiametralmente opuesta al punto de contacto conel plano horizontal.5.21.- El piñón satélite de radio R que se muestraen la figura engrana con las dos ruedas dentadascoaxiales de radios 2R y 4R que giran convelocidades angulares constantes 3ω y 2ω,respectivamente, en sentidos opuestos, como seindica en la figura. El movimiento del piñón

produce la rotación del brazo OOalrededor deleje O. a) Determinar la rotación θ̇instantánea delpiñón (indicando su sentido), así como lavelocidad de su eje. b) Encontrar la velocidadangular φ̇del brazo OO. c) Obtener la base y laruleta del movimiento del piñón. d) Calcular lavelocidad de sucesión del CIR del piñón.

6.- Las leyes de la Mecánica.

6.1.- Un péndulo cuelga del techo de un autobús.Describir y explicar, almenos cualitativamente,elcomportamiento de dicho péndulo en cada una delas situaciones siguientes: a) El autobús se mueveen una trayectoria rectilínea con celeridad

constante; b) el autobús acelera; c) el autobúsfrena; d) el autobús toma una curva.6.2.- La cinta transportadora de viajeros de unaeropuerto tiene una longitud de 100 m y avanzacon una velocidad de 1.2 m/s. Una persona semueve sobre la cinta con una velocidad relativa aella de 1.5 m/s. Determinar el tiempo que estará lapersona sobre la cinta cuando: a) camina endirección del movimiento de la cinta y b) cuandocamina en sentido opuesto.6.3.- Una persona sube poruna escaleramecánica,que se encuentra parada, en 8.2 s. Cuando laescalera está en funcionamiento, puede subir a lapersona en 5.0 s. ¿Cuánto tiempo emplearía lapersona en subir caminando por la escalera enmovimiento?6.4.- Dos barcos se aproximan entre sí sobretrayectorias que se interceptan y con velocidadesque conducen a una colisión. Examinar lasituación desde un sistema de referencia fijo enuno de losbarcos. Explicar cómo losobservadoressituados en cualquiera de los barcos puedenadvertir el peligro de colisión por medio demediciones sucesivas de la dirección en que venal otro barco.6.5.- Un avión de transporte va a despegar de unapista horizontal arrastrando dos planeadores, unodetrás del otro. Cada uno de los planeadores pesa500 kg y la fuerza de rozamiento o resistenciasobre cada uno de ellos puede considerarseconstante e igual a 200 kg. Si la tensión en loscables de remolque no debe exceder 2000 kg y sise requiere una velocidad de 150 km/h para eldespegue; a) ¿qué longitud mínima de recorridosobre la pista es necesaria para el despegue?;b) ¿cuál será la tensión en el cable entre los dosplaneadores mientras son acelerados para eldespegue?6.6.- Una cadena flexible y homogénea, delongitud L, se encuentra inicialmente en repososobre una mesa lisa, colgando una longitud b de lacadena por fuera del borde de la mesa. Calcular eltiempo que empleará la cadena en abandonar lamesa y su velocidad en ese instante.6.7.- Un paquete cuelga de una balanza de resortesujeta al techo de un ascensor. a) Si el ascensortiene una aceleración hacia arriba de 1.2 m/s2 y labalanza marca 25 kg, ¿cuál es el verdadero pesodel paquete?; b) ¿En qué circunstancias indicarála balanza 15 kg?; c) ¿Qué indicará la balanza sise rompe el cable del ascensor?6.8.- Una masa m colocada sobre una superficielisa horizontal está unida a una masa M medianteuna cuerda ligera que pasa por un agujeropracticado en la superficie. La masa m se muevedescribiendo una trayectoria circular de radio rcon una celeridad v. Determinar el valor de lamasa M para que ese movimiento se mantenga.6.9.- Una bola de 2 kg de masa está sujeta alextremo de una cuerda y se mueve en unacircunferencia de 1 m de radio. a) ¿Cuál ha de serla velocidad mínima de la bola en el punto másalto de la trayectoria que permita completar la

6.- Las leyes de la Mecánica. 9

Prob. 6.14

Prob. 6.15

Prob. 6.16

Prob. 6.17

trayectoria circular?. b) Si la velocidad en elpunto más alto de la trayectoria fuese el doble dela calculada anteriormente, ¿cuál sería la tensiónde la cuerda en dicho punto? ¿Y cuándo lapartícula está abajo?6.10.- Un cazabombardero que está volando enpicado a la velocidad de 720 km/h sale del picadocambiando su trayectoria para describir unacircunferencia vertical. a) ¿Cuál ha de ser el radiomínimo de ésta si la aceleración en el punto másbajo no debe exceder el valor de 6 g. b) ¿Cuálserá, en esas condiciones, el peso aparente delpiloto si su peso real es de 80 kg?6.11.- Una partícula de masa m permanece enreposo en la cima de una semiesfera de radio Rque está apoyada por su base sobre una superficiehorizontal. Cuando desplazamos ligeramente lapartícula de su posición de equilibrio, éstacomienza a deslizar sobre la superficie de lasemiesfera. a) ¿En qué posición abandona lapartícula la superficie de la semiesfera? b) ¿Cuáles la velocidad de la partícula en ese instante?c) ¿A qué distancia del pie de la semiesfera caerála partícula sobre el plano horizontal?6.12.-Un automóvil pesa 1 000 kg y se mueve conuna velocidad de 36 km/h cuando chocafrontalmente contra un muro muy resistente.¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimientodel automóvil y la fuerza promedio que actúasobre el mismo si en 0.2 s: a) queda en reposo;b) si rebota con una velocidad de 9 km/h. c) Enambos casos, discutir la conservación de lacantidad de movimiento durante el choque.6.13.- Una balanza de resorte está ajustada paraleer el cero. Dejamos caer desde una altura de 5 msobre el platillo de la balanza un chorro deperdigones,a razón de 20perdigones por segundo,que chocan contra el platillo, rebotan hacia arribacon la misma velocidad y salen definitivamentedel platillo. Si cada perdigónpesa 200 mg, ¿cuál será lalectura de la balanza?6.14.- Los dos bloques de lafigura están unidos por unacuerda homogénea que pesa2 kg. Las masas de losbloques son m1 = 10 kg ym2 = 5 kg. Calcular la tensiónen los extremos y en el puntomedio de la cuerda.6.15.- Las masas de loscuerpos A y B, en la figurason 2 kg y 1 kgr e s p e c t i v a m e n t e .Inicialmente ambas masasse encuentran en repososobre el suelo. La cuerdaque las une pasa por lagarganta de una polea ligeray sin fricción. Determinar laaceleración de cada masa yla tensión de la cuerda

cuando se aplica una fuerza hacia arriba de:a) 1 kg, b) 2 kg, c) 3 kg y d) 5 kg.6.16.- Un albañil, que pesa70 kg, está de pie sobre unaplataforma de aluminio de10 kg de peso. Una cuerdasujeta a la plataforma pasa poruna polea fija a la parte alta dela casa, de modo que el albañilpuede elevarse a sí mismotirando del extremo libre de lacuerda (vide figura). a) ¿Quéfuerza debe ejercer el albañilsobre la cuerda para mante-nerse en reposo o moverse convelocidadconstante. b) Ídem paraacelerarse haciaarriba a razón de 0.5 m/s2. c) Ídem para descendercon una aceleración de 1 m/s2.6.17.- En cada uno de los sistemas representadosen la figura, calcular las aceleraciones queadquierencada uno de loscuerpos que intervieneny las tensiones en las cuerdas. En todos los casos,supóngase que las superficies son lisas (sinrozamiento), que las cuerdas son flexibles,


Prob. 6.18

Prob. 6.20

Prob. 6.21

Prob. 6.22

Prob. 6.23

Prob. 6.24

Prob. 6.26

inextensibles y de masas despreciables y que laspoleas tienen masas despreciablesy fricción nula.En todos los casos, resolver primero el problemaalgebraicamente y luego obtener la soluciónnumérica para m1 = 5 kg, m2 = 3 kg, F = 40 N, α=30y β= 60.6.18.- El bloque Ade la figura pesa 15kg y el bloque Bpesa 5 kg. El coefi-ciente de rozamientoentre todas las su-perficies en contactovale 0.20. Calcularla magnitud de lafuerza F necesariapara arrastrar elbloque B hacia laderecha con velo-cidad constante, encada uno de loscasos que se mues-tran en la figura.6.19.- Un estudiante trata de encontrarexperimentalmente el coeficiente de rozamientoentre un ladrillo y un tablón. Para ello coloca elladrillo sobre el tablón y va aumentandogradualmente el ángulo de inclinación de éste.Cuando el ángulo es de 30el ladrillo comienza adeslizar, acelerándose hacia abajo. Entoncescomienza a reducir progresivamente el ángulo deinclinación y observa que cuando éste es de 25sedetiene. Obtener los coeficientes de rozamientoa partir de esas observaciones.

6.20.- En el sistema que se muestra en la figura,calcular la aceleración de cada uno de los dosbloques en los siguientes supuestos: a) no existeningún rozamiento; b) el coeficiente derozamiento entre todas las superficies en contactoes μ.6.21.- El bloque de la figura pesa 100 kg y seencuentra en reposo sobre una superficiehorizontal. El coeficiente de rozamiento entre elbloque y la superficie es 0.50. Mediante unacuerda ligera unidaal bloque y queforma un ángulo θcon la horizontaltratamos de movere l b l o q u e .Encontramos quela magnitud de lafuerza mínimanecesaria paramover el bloquedepende del valor

del ángulo θ. a) Expresar la magnitud de dichafuerza mínima en función del ángulo θ. b) ¿Cuáles el valor del ánguloθmás eficaz para mover elbloque?6.22.-Dos bloquesde madera seencuentran sobreu n p l a n oinclinado, unidosentre sí por unacuerda ligera quepasa poruna poleade rozamiento ei n e r c i ad esp rec i a b l e s ,como se indica en la figura. El coeficiente derozamiento entre todas las superficies en contactovale 0.30. Determinar: a) El valor crítico delángulo de inclinación del plano que impide eldeslizamiento de los bloques; b) la aceleración delos bloques si el ángulo de inclinación es de 80.6.23.- Un bloque demasa m resbala por uncanal en forma de V,como se muestra en lafigura. Si los coefi-cientes estático ycinético de rozamientoentre el bloque y lasparedes del canal valen0.3 y 0.2, respectiva-mente, obtener: a) Elvalor mínimo del ángulo θpara el que el bloquecomienza a deslizar; b) la aceleración del bloquesi el ángulo θvale el doble del calculado en elapartado anterior.6.24.- En el sistema quese representa en lafigura, el coeficiente derozamiento entre todaslas superficies es μ.D e t e r m i n a r l aaceleración de cada unade las cuñas. Aplicaciónnumérica: m1=m2,μ=0.5.6.25.- Una bolita estáensartada en un alambreliso (de modo que puededeslizar por él sinrozamiento) cuya forma es la de una parábola deeje vertical y ecuación y = x2. Supongamos queabandonamos la bolita (en reposo) en el punto decoordenadas (x0,y0). Calcular la velocidad de labolita y la fuerza de ligadura cuando pasa por elfondo de la parábola.6.26.- El extremo inferiorde la varilla rígida yligera representada en lafigura está articulado a lap l a t a f o r ma d e l avagoneta. En el otroextremo de la varilla estásujeta una masa m depequeñas dimensiones.

6.- Las leyes de la Mecánica. 11

Prob. 6.27

Prob. 6.28

Prob. 6.29

Prob. 6.30

Prob. 7.3

Prob. 7.4

Expresar el valor del ánguloθque forma la varillacon la horizontal en función de la aceleración dela vagoneta. ¿Cómo describirá la situación unobservador que viaje en la vagoneta?6.27.- a) ¿Qué fuerzahorizontaldebeaplicarseconstantemente als i s tema que semuestra en la figurade modo que loscuerpos de masa m1 ym2 no se muevan conrespecto al M. b) Si lafuerza aplicada es la mitad de la calculada en elapartado anterior, ¿Cuál será la aceleración de losbloques m1 y m2 respecto del bloque M?6.28.- Un niñoc o l o c a u n abásculasobre unaplataforma quepuede deslizar sinfricción sobre unplano inclinado,como se indicaen la figura. Elniñose sube en labáscula y lee la indicación de su "peso" cuando laplataforma desciende (aceleradamente) por elplano inclinado. Si el peso del niño encondiciones normales es P, ¿cuál será laindicación de la báscula?6.29.- Dos pequeñoscuerpos, cuyasmasas seencuentran en larelación de 5/3, estánunidos por un hiloinextensible de masadespreciable, de 10 cmde longitud, y seencuentran situadoss o b r e u n acircunferencia lisavertical, de 20 cm deradio, una a cada ladodel diámetro vertical. Determinar la posición deequilibrio de las dos masas.6.30.- Una cadenaflexible, que pesa10 kg, cuelga entred o s g a n c h o ssituados a unamisma altura (videfigura). En cadaextremo la cadenaforma un ángulo θcon la horizontal. a) ¿Cuál esla magnitud y dirección de la fuerza ejercida porla cadena sobre cada uno de los ganchos?b) ¿Cuál es la tensión en el punto más bajo de lacadena?

7.- Sistemas de referencia enrotación.

7.1.- Un referencial xyz está girando con unavelocidad angular ω= 2ti + 3t2j + (1-t)k conrespecto a un referencial inercial XYZ que tiene sumismo origen. El vector de posición de unapartícula en el referencial xyz es r = (t2-1)i + 3tj -2k. Calcular las velocidades absoluta y relativa dela partícula y las distintas aceleraciones queintervienen (absoluta, relativa, centrífuga, deCoriolis, ...) en el instante t=2 s.7.2.- En un tiovivo. Sobre la plataforma de untiovivo, que gira con una velocidad angularconstante ω, se encuentra un cubilete giratorio,de radio r, que está girando alrededor de su ejecon una velocidad angular constante Ω, en lamisma dirección que ω. Sea Ro la distancia deleje del cubilete al centro de la plataforma.a) Calcular la velocidad y aceleración absolutasde un punto genérico de la periferia del cubilete.b) Determinar la relación que deberá existir entrelos módulos de ωy Ω(i.e., el valor del cocienteω/Ω) para que el punto del cubilete que en cadainstante se encuentra más próximo al centro de laplataforma tenga una velocidad absoluta nula. Enestas condiciones, ¿cuál será la aceleraciónabsoluta de ese punto?7.3.- El discoque se muestraen la figura estág i r ando conv e l o c i d a dangular ω1 ya c e l e r a c i ó na n g u l a r α1alrededor de sue j e d erevolución, alt i e m p o q u edicho eje esarrastrado por el movimiento de rotación de lahorquilla, con velocidad angularω2 y aceleraciónangularα2. Determinar la velocidad y aceleraciónd e u n p u n t ogenérico P de laperiferia del disco.7.4.- Una correderaP desliza a lo largode un anillo deradio R con unavelocidad v (demódulo constante)respecto del anillo.A su vez, el anilloestá girando convelocidad angular constante, ω, alrededor de uneje tangente al mismo, como se muestra en lafigura. a) Determinar la velocidad y laaceleración absolutas de la corredera en unaposición genérica, como se indica en la figura.


Prob. 8.3

b) Particularizar los resultados del apartadoanterior para θ=0, 90, 180y 270.7.5.- La hélice de un avión gira con unavelocidad angular constante θ, en tanto que elavión se mueve en un plano horizontal,describiendo una trayectoria circular de radio R,con velocidad v de módulo constante. Determinarla velocidad y aceleración absolutas de un puntogenérico de la hélice.7.6.- En el hemisferio Norte, un automóvilcircula por una autopista con una velocidad de144 km/h. En un instante, el automóvil avanza enla dirección Sur-Norte en un lugar de 40delatitud. a) Determinar la velocidad y aceleraciónabsolutas del automóvil en ese instante,considerando tan sólo el movimiento de la Tierracomo rotación pura alrededor de su eje polar.b) Calcular el valor (módulo y dirección) de lafuerza de Coriolis en ese instante. c) Repetir losdos apartados anteriores cuando el automóvilavanza hacia el NE, formando un ángulo de 30con la dirección del meridiano.7.7.- Peralte. Una carretera está peraltada demodo que un vehículo que circula a 80 km/hpueda tomar una curva de 30 m de radio aún enlas condiciones más desfavorables en que elrozamiento entre los neumáticos y el firme seanulo (carretera helada). Determinar la velocidadmáxima a que un vehículo puede tomar esa curvaen el caso de que el coeficiente de rozamientovalga 0.25.7.8.- En bicicleta. a) Calcular el radio mínimode la curva que puede tomar un ciclista que correa una velocidad de 25.2 km/h por una carreterano peraltada si el coeficiente de rozamientoestático entre los neumáticos y el suelo vale 0.30.b) Bajo esas condiciones, calcular el ángulo quedebe inclinarse el ciclista para tomar la curva.7.9.- Superficie libre de los líquidos enrotación. Demostrar que la superficie libre de unlíquido en rotación uniforme en torno a un ejevertical es un paraboloide y escribir su ecuación.7.10.- Orillas de un río. Un río de anchura Dcorre a lo largo de un meridiano, en el hemisferioNorte, a una latitud λ. Demostrar que existe undesnivel de agua entre las orillas derecha eizquierda dado por h 2Dωv senλ/g, donde ωesla velocidad angular de la Tierra y v la velocidadde la corriente. Efectuar los cálculos para D =1 km, v = 6 km/h yλ45.7.11.- Desviación de un proyectil. Se dispara unproyectil de 100 kg a lo largo de un meridiano,en dirección Norte, con una velocidad inicial de1 800 km/h, en un lugar de latitud 40N.a) Calcular el valor de la aceleración y de lafuerza de Coriolis en el momento inicial.b) ¿Hacia dónde se produce la desviaciónaparente de la trayectoria?7.12.- Azafata. Un avión comercial vuela sobreel Ecuador, a una altura de 6 000 m, con unavelocidad de 900 km/h, en dirección hacia elEste. Una de las azafatas se pesa en una balanzade resorte, precisa y de buena fidelidad. En el

viaje de vuelta, cuando el avión sobrevuela lamisma población, la azafata vuelve a pesarse ydescubre con horror que la balanza marca casimedio kilogramo más que en el viaje de ida. ¿Haengordado la azafata o podemos atribuir ladiferencia de peso a otras causas? ¿A cuáles?Hacer unos cálculos indicativos que justifiquenlas respuestas anteriores.

8.- Trabajo y energía.Conservación de la energía.

8.1.- Una partícula de masa m se mueve bajo lainfluencia de un campo de fuerzas definido por

F = A (cos ωt i + sen ωt j)

donde A y ωson constantes. Si la partícula seencuentra inicialmente en reposo en el origen decoordenadas, demostrar que el trabajo que se harealizado sobre la partícula, transcurrido untiempo t, viene dado por A2(1-cos ωt)/mω2.8.2.- Un disco que pesa 50 g está colocado sobreun tablero horizontal liso. El disco está sujeto auna cuerda flexible y ligera que pasa por unorificio practicado en el tablero. Inicialmente, eldisco describe una trayectoria circular, de 40 cmde radio y con centro en el orificio, con unaceleridad angular de 30 rpm, para lo que esnecesario que sujetemos con la mano el otroextremo de la cuerda. a) ¿Qué fuerza debemosejercer sobre la cuerda para mantener esemovimiento circular? b) Tiramos poco a poco delextremo libre de la cuerda hasta reducir a lacuarta parte el radio de la trayectoria circular yobservamos que la celeridad angular experimentaun aumento considerable. ¿Qué trabajo hemosrealizado sobre el disco? ¿Se conserva la energíacinética del disco?8.3.- Un automóvil que pesa 750 kg circula poruna carretera a nivel (vide figura) con unavelocidad 54 km/h cuando su motor desarrollauna potencia de 10 CV. a) ¿Cuánto vale la sumade todas las resistencias (rozamiento, resistenciadel aire, ...) que actúan sobre el automóvil?b) ¿Qué potenciadeberá desarrollar elmotor del automóvilpara subir a 54 km/huna cuesta del 10% dependiente? c) ¿Quépotencia será necesariapara que el automóvilbaje a 54 km/h unapendiente del 3%?d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvilbaje a una velocidad de 54 km/h sin que funcioneel motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzasde resistencia permanecen constantes).8.4.- Una partícula se encuentra en un campo defuerzas tal que la fuerza que actúa sobre ella es

8.- Trabajo y energía. Conservación de la energía. 13

Prob. 8.6

Prob. 8.7

F = (2xy+z3)i + x2j + 3xz2k

a) Demostrar que dicho campo de fuerza esconservativo. b) Obtener una expresión para laenergía potencial de la partícula en dicho campo.c) Calcular el trabajo que tenemos que realizarpara llevar la partícula desde el punto (2,1,3) al(0,0,0).8.5.- Una partícula es atraída por el origen decoordenadas con una fuerza directamenteproporcional a su distancia a dicho origen. a) ¿Esconservativa esa fuerza? b) Calcular el trabajoque deberemos realizar sobre la partícula paratrasladarla desde el punto (1,0,0) al (3,0,0) a lolargo de la circunferencia de radio unidad ycentro en (2,0,0).8.6.- Una escalerahomogénea, de masa m ylongitud L, está apoyadasobre una pared verticallisa y sobre un suelohorizontal rugoso,formando un ángulo θ0con la horizontal (videfigura). El coeficientede rozamiento entre elsuelo y el pie de la escalera es μ. Calcular eltrabajo que debemos realizar para llevar laescalera a la posición vertical, empujándolahorizontalmente a una distancia d de su pie.8.7.- En la figura, se representa un péndulosimple, de longitud l, cuyas oscilaciones estánlimitadas por laexistencia de unclavo horizontals i tuado a unadistancia 2l /3 delpunto de suspensióny en su mismavertical.Determinarel ángulo Θ desdeel que debemosabandonar la masapendular para queel hilo de sus-pensión se enrolleen el clavo.8.8.- Colgamos un cuerpo de masa m del extremoinferior de un muelle vertical que está sujeto deltecho por su otro extremo, y lo dejamosdescender lentamente, soportándolo con la mano,lo que hace que el muelle se estire una distanciad. ¿Cuál sería el máximo descenso del cuerpo silo hubiéramos dejado caer bruscamente?8.9.- Una partícula de masa m está situada en lacima de una semiesfera lisa, de radio R, que estáapoyada por su base sobre un plano horizontal.Cuando desplazamos ligeramente la partícula desu posición de equilibrio comienza a deslizarsobre la superficie de la esfera. La posición de lapartícula queda determinada en cada instante porel ángulo θ que forma el radio-vectorcorrespondiente con la vertical. a) Tomando el

plano de la base como nivel de referencia,expresar las energías potencial y cinética de lapartícula en función del ángulo θ. b) Ídem lasaceleraciones tangencial y normal. c) Determinarel valor del ángulo para el cuál la partícula sedespega de la semiesfera. d) En el caso de queexistiese rozamiento, ¿el ángulo correspondientea la posición de despegue sería mayor o menorque el anteriormente calculado?8.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por unplano inclinado de 30con una velocidad inicialde 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá sobre elplano, antes de detenerse, si el coeficientecinético de rozamiento vale 0.25? b) Sea 0.45 elcoeficiente estático de rozamiento. ¿Volverá abajar el bloque, plano hacia abajo, después dehaberse detenido? En caso afirmativo, ¿cuál serásu velocidad al llegar de nuevo al pie del plano?8.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobreun suelo duro y rebota hasta el 90% de su alturaoriginal. a) Encontrar una expresión general parala altura máxima de la pelota después del n-ésimo rebote. b) Ídem para la pérdida de energíay la fracción de pérdida de energía de la pelotadespués del n-ésimo rebote. c) ¿Cuántos rebotesse necesitarán para que la altura máxima de lapelota se reduzca a un 5% de su valor inicial.d) Hacer una estimación del tiempo máximodurante el cuál estará botando la pelota, cuandose la deja caer desde una altura inicial de 5 m.8.12.- Una masa puntual, m, está unida alextremo superior de una varilla rígida y ligera, delongitud l, que puede girar alrededor de un ejehorizontal que pasa por su extremo inferior. Seabandona el sistema a partir de la posiciónvertical (equilibrio inestable), en reposo.a) Expresar la tensión en la varilla en función delángulo que forma ésta con la vertical. b) Calcularel ángulo que formará la varilla con la verticalcuando la tensión en la misma pasa de sercompresora a tensora.8.13.- Una vagoneta, abierta por su partesuperior, que marcha con una velocidadconstante de 4 m/s es cargada con 10 Tm decarbón, mientras pasa bajo una tolva de descarga,en un tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extrahabrá que aplicar a la vagoneta para que suvelocidad permanezca constante durante elproceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizará esafuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinéticaexperimenta el carbón? d) Explicar ladiscrepancia entre los resultados de los dosapartados anteriores.8.14.- Una partícula de 2 g de masa se muevebajo la acción de una fuerza que viene expresadapor

F = 2(3x+y)i + 2(x+4yz)j + 4y2k

con x,y,z en cm y F en dyn. Cuando pasa por elpunto de coordenadas (3,2,1) tiene una celeridadde 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridad cuando pasepor el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto(1,-3,0)?


Prob. 9.2

Prob. 10.2

9.- Momento angular.Fuerzas centrales.

9.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg demasa se encuentra en el punto r = 5i m y tieneuna velocidad v = 3j m/s. Sobre el cuerpo actúauna fuerza constante F = 4i N. a) Expresar lacantidad de movimiento y el momento angulardel cuerpo en función del tiempo. b) Calcular elmomento de la fuerza y compararlo con laderivada temporal del momento angular.9.2.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de20 g de masa, está unido a un extremo de unacuerda ligera y flexible que pasa a través de unorificio practicado en un tablero horizontal liso,c o m o s emuestra en laf i g u r a .Sujetamos ele x t r e m o sinferior de lac u e r d a yhacemos quese mueva elcuerpo en unat r a y e c t o r i acircular de 40 cm de radio, con una velocidadangular de 2 rad/s. a) Calcular la velocidad linealdel cuerpo, su momento angular y su energíacinética y la fuerza con que debemos tirar haciaabajo para que el movimiento sea posible. b) Acontinuación, vamos aumentando la tensión de lacuerda hasta que el radio de la trayectoria sereduce a 10 cm. Repetir los cálculos del apartadoanterior. ¿Qué magnitudes físicas hanpermanecido constantes? c) Calcular el trabajoque hemos realizado al tirar de la cuerda ycompararlo con el cambio que ha experimentadola energía cinética.9.3.- Órbita geoestacionaria. Supóngase que sedesea establecer en el espacio una baseinterplanetaria que se mueva en una órbitacircular en el plano ecuatorial de la Tierra y auna altura tal que permanezca siempre sobre elmismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esaórbita?9.4.- Conocidos los semiejes mayores de lasórbitas de la Tierra y de la Luna, 149.6×106 km y384.0×103 m, respectivamente y loscorrespondientes periodos de revolución, 1 año y27.32 días, calcular la masa del Sol en unidadesde la masa de la Tierra.9.5.- Los semiejes mayores de las dos Lunas delplaneta Marte, Phobos y Deimos, miden9 .408×103 km y 2 3 . 4 5 7 × 1 0 3 km,respectivamente. El periodo de revolución orbitalde Phobos es de 4.65 horas. Con esos datos sedeben calcular la masa del planeta Marte y elperiodo de revolución de Deimos.

10.- Geometría de masas.

10.1.- Determinar la posición del centro de masade un bastón hecho con una barra de seccióntransversal y densidad constante cuyo puño tieneforma semicircular, de radio R, siendo L lalongitud del mástil.10.2.- En una esfera demadera, maciza y de radioR, la carcoma ha hecho unhueco esférico, de radioR/2, tangente a la superficiede la esfera, como se indicaen la figura adjunta.Localizar el centro de masade la esfera ahuecada.10.3.- Determinar elmomento de inercia de unalámina plana y homogénea,cuya forma es la de un triángulo rectánguloisósceles, con respecto cada uno de los ejes quese indican: a) cada uno de los lados de la lámina;b) cada uno de los ejes definidos por lasbisectrices de los ángulos del triángulo; c) un ejeperpendicular a la lámina en el vértice del ángulorecto de la misma; d) ídem en otro de losvértices; e) ídem por el centro de la lámina.10.4.- Determinar el momento de inercia de uncubo homogéneo respecto a cada uno de los ejessiguientes: a) eje que pasa por el centro de doscaras opuestas; b) eje que coincide con una de lasaristas; c) una de las diagonales interiores delcubo.10.5.- La densidad de una varilla recta aumentaen proporción directa a la distancia a uno de susextremos. Determinar el momento de inercia dela varilla con respecto a un eje perpendicular aella y que pasa por: a) uno u otro de susextremos; b) su centro geométrico; c) su centrode masa.10.6.- La densidad de un esfera aumentaradialmente en proporción directa a la distancia asu centro. Determinar el momento de inercia dela esfera con respeto a: a) un eje diametral; b) uneje tangencial a la esfera.10.7.- Determinar el momento de inercia de unalámina plana, de masa m, cuya forma es la de unacorona circular, de radios R1 y R2, con respeto a:a) un eje diametral; b) un eje tangencial a suborde y contenido en su mismo plano.

11.- Dinámica de los sistemas de partículas. 15

Prob. 11.1

Prob. 11.3

Prob. 11.4

Prob. 11.5

11.- Sistemas de partículas.Leyes de conservación.

11.1.- En la figura adjunta se muestra un sistemaconstituido por dos bloques de masa m1 y m2,respectivamente, que reposan sobre unasuperficie horizontal lisa, entre los que hay unmuelle ideal, de constante elástica k y longitudnatural l0, inicialmente comprimido hasta unalongitud l < l0. Cuando se abandona el sistemapartiendo del reposo, el muelle recupera sulongitud natural, empujando a ambos bloques

con fuerzas iguales y opuestas, hasta quefinalmente se desprende y cae sobre la superficie,mientras los bloques continúan moviéndose.a) Expresar la energía potencial interna de dichosistema en función de la distancia x entre los dosbloques. b) Encontrar la razón existente entre lasenergías cinéticas finales de los bloques yexplicar porqué el bloque de menor masa recibela mayor parte de la energía potencial inicial, apesar de que las fuerzas que actúan sobre cadabloque son de la misma intensidad en todoinstante.11.2.- Se dispara un proyectil en una direcciónque forma un ángulo de 45con la horizontal ycon una velocidad inicial de 458 m/s. Cuando elproyectil alcanza el punto más alto de sutrayectoria, fragmentándose en dos parte de igualmasa. Un fragmento, cuya velocidad inicial escero, cae verticalmente, a) ¿A qué distancia delpunto de disparo caerá sobre el terreno el otrofragmento, suponiendo que todo el terreno esplano y horizontal? b) ¿Qué cantidad de energíase liberó en la explosión?11.3.- Un bastidor, de 5 kg de masa y cuyasdimensiones son las que se indican en la figuraadjunta, se encuentra inicialmente en reposo

sobre un superficie horizontal lisa. En el centrode la superficie enmarcada por el bastidor haydos bloques, de masas ma = 1 kg y mb = 4 kg,entre los que se mantiene comprimido un muelle.Inicialmente, el centro de masa del sistema seencuentra situado en el centro geométrico debastidor. Cuando el muelle se distiende, la masama sale despedida con una velocidad de 6 m/s yfinalmente queda empotrada en A; la masa mb seempotra en B. Dar una descripción detallada delmovimiento del sistema.11.4.- Una cuña de masa M se encuentra enreposo sobre un tablero horizontal, como semuestra en la figura. En la parte más alta de la

cuña reposa un pequeño bloque de masa m, a unaaltura h sobre el tablero horizontal. Todas lassuperficies son perfectamente lisas.Abandonamos el sistema, de modo que el bloquedesciende y la cuña retrocede. Encontrar lavelocidad de retroceso de la cuña en el instanteen que el bloque toca el tablero horizontal.11.5.- Un fusil está suspendido mediante doshilos ligeros, en posiciónhorizontal, como se muestraen la figura. El fusil pesa5 kg, su ánima mide 80 cmy dispara un proyectil de10 g de masa con unavelocidad (respecto a tierra)de 500 m/s. a) Calcular lavelocidad de retroceso delfusil. b) Calcular el tiempo que el proyectil haempleado en recorrer el ánima del fusil.c) Suponiendo, por simplificar, que la fuerza queha actuado sobre la bala en el ánima seaconstante, determinar el módulo de dicha fuerza.11.6.- Un vagón de carga, abierto por su partesuperior, pesa 10 Tn y se mueve libremente, sinrozamientos apreciables, sobre una vía recta anivel. Comienza a llover intensamente, cayendola lluvia verticalmente sobre el terreno. El vagónestá vacío inicialmente y se mueve con unavelocidad de 3.6 km/h. ¿Cuál será la velocidaddel vagón después de haber recorrido losuficiente como para recoger una tonelada deagua? ¿Qué suposiciones ha debido Vd. hacerpara llegar a ese resultado?11.7.- Se coloca un recipiente sobre el plato deuna balanza de resorte y se ajusta ésta para quemarque cero cuando el recipiente está vacío.Entonces se vierte agua dentro del recipiente, un


Prob. 11.9

Prob. 11.10

Prob. 12.3

Prob. 12.4

Prob. 12.5

chorro continuo, a razón de 100 cm3 por minuto,desde una altura de 1 m. a) Expresar la lectura dela balanza en función del tiempo desde elinstante en que empezamos a verter agua.b) ¿Cuánto marcará la balanza cuando se hayanrecogido 500 cm3 de agua?11.8.- Un hombre, que junto con su rifle pesa70 kg, lleva patines y dispara su rifle en direcciónhorizontal. Cada proyectil tiene una masa de 30 gy sale con una velocidad de 800 m/s. Supóngasedespreciables los rozamientos. a) ¿Cuál será lavelocidad del hombre después de efectuar 10disparos? b) supongamos que los diez disparos sehayan realizado en 10 s, ¿cuál es el valor de lafuerza media que se ha ejercido sobre el hombre?11.9.- Una cadena uniforme, de longitud L ym a s a M , s eencuentra inicial-mente en reposo,a m o n t o n a d a yenrollada sobre unas u p e r f i c i ehorizontal. Tiramosverticalmente yhacia arriba de unode los extremos dela cadena, de modoque cada eslabón de la cadena permanece enreposo hasta el instante en que comienza aelevarse y que la velocidad del extremo superiorsea constante. a) Calcular la potencia quedesarrolla la fuerza vertical aplicada. b) ¿Quécantidad de esa potencia se disipa? ¿Cómoexplica Vd. esa disipación de potencia?11.10.- Dos prismas triangulares, de masas M ym, y anchuras a y b, están en reposo, tal como seindica en la figura adjunta, sobre un tablerohorizontal liso. Las superficies de contacto entrelos dos prismas son, también, perfectamentelisas. Determinar el retroceso del prisma inferior

hasta el instante en que la cara vertical del prismasuperior alcanza el tablero horizontal. Aplicaciónnumérica: M = 10 kg, m = 2 kg, a = 40 cm y b =10 cm.

12.- Estática del sólido rígido.

12.1.- Una caja de embalaje que contiene unfrigorífico pesa 300 kg y tiene forma deparalelepípedo rectangular de 2 m de alto por80 cm × 80 cm de base. El coeficiente derozamiento entre la caja y el suelo vale 0.30. Sideseamos arrastrarla sobre el suelo mediante laaplicación de una fuerza horizontal, ¿cuál debeser la magnitud de esa fuerza? ¿A qué alturasobre el suelo podemos aplicar esa fuerza sinriesgo de vuelco?12.2.- La caja del Problema 12.1 se encuentraahora sobre la plataforma de un camión. Cuandoel camión frena bruscamente ¿qué riesgo serámayor, el de deslizamiento o el de vuelco de lacaja?1 2 . 3 . - D e s e a m o stranspor ta r en unacarretilla un bloquehomogéneo, de masa m,cuyas dimensiones seespecifican en la figura.Sea μel coeficiente derozamiento entre la basedel bloque y la plataformade la carretilla. Deter-minar los valores máxi-mos de la aceleración dela carretilla (acelerando yfrenando) para que nohaya movimiento relativoentre el bloque y lacarretilla.12.4.- Una varillahomogénea de masa m ylongitud l apoya susextremos en dos planoslisos que determinan undiedro recto, como semuestra en la figura.Determinar la posiciónde equilibrio y las reac-ciones en los extremosde la varilla en función del ángulo α.12.5.- En el mecanismo que se representa en lafigura se aplica un par mediante dos fuerzas de

11.- Dinámica de los sistemas de partículas. 17

Prob. 12.7

Prob. 12.8

Prob. 12.9

Prob. 12.10

Prob. 12.11

Prob. 12.12

Prob. 12.13

Prob. 12.14

100 N, con un brazo de 120 mm, aplicadas en lospuntos D y E de la aleta. Todas las cotasindicadas están expresadas en mm. Determinar lafuerza F necesaria para establecer el equilibrio ylas reacciones en los apoyos fijos B y C. (Sedesprecia el peso de la aleta).12.6.- Un rodillo homogéneo de 25 cm de radio y40 kg de peso está situado sobre un planohorizontal.Deseamos hacerlo subir un escalón de5 cm de altura, y para ello tiramos de él con unafuerza cuya línea de acción pasa por el eje delrodillo. Determinar el módulo de la fuerzanecesaria para conseguir nuestro objetivo: a) si lafuerza aplicada es horizontal y b) si la fuerzaaplicada forma un ángulo θcon la horizontal.c) ¿Cuál será el valor de θque minimizará lafuerza necesaria y cuánto valdrá ésta?1 2 . 7 . - U n a p l a c arectangular y homogénea,de dimensiones 30 cm ×20 cm y que pesa 2 kg,está unida a un ejevertical de modo que enA está articulada con eleje y en B sólo se apoyaen él. a) Determinar lasreacciones en los apoyos cuando el sistema giracon una velocidad angular de 30 rpm. b) ¿Apartir de que velocidad angular no se apoyará laplaca en B?12.8.- Determinar laposición de equilibrio delsistema representado enla figura que se adjunta,en el que no existenrozamientos en losapoyos de la varilla con lapared vertical y con elborde horizontal.12.9.- Un bastón estáformado por un tramorectilíneo de 100 cm delongitud y un puñosemicircular de 8 cmde radio. Lo apoyamosen el borde de unamesa de modo que laparte rectilínea cuelguepor debajo del tablerode la mesa. Determinarl a p o s i c i ó n d eequilibrio del bastón.12.10.- Un canalón,de masa m cuyaforma es la de mediocilindro circular conun radio exterior quees el doble del radiointerior, descansasobre un planoh o r i z o n t a l .D e t e r m i n a r e lmódulo de la fuerzavertical F que deberá

aplicarse al borde del canalón para que se inclineun ánguloθ, como se indica en la figura.12.11.- La barra homogénea que se muestra en lafigura se apoya sin fricción en el interior y en elborde de una semiesfera hueca. La posición deequilibrio del sistema corresponde a la barra en

posición horizontal. a) Determinar las reaccionesen los contactos. b) Encontrar la relaciónexistente entre M, m y θ.12.12.- En el mecanismo que se muestra en lafigura, la dos barras homogéneas tienen una masapor unidad de longitud λ. Un tope (C) impide quela corredera se desplace hacia la derecha.

Determinar la reacciones en los apoyos A y B yen el tope C.12.13.- Dos bolas idénticas, de masa m y radior, están colocadas en elinterior de un tubocilíndrico (abierto ensus bases) de diámetro3r. El conjunto descansasobre un plano hori-zontal, como se muestraen la figura. Determinarla masa mínima quedeberá tener el tubocilíndrico para que el sistema no vuelque.12.14.- Tres rodillos idénticos están apilados enla forma que semuestra en la figura.Supongamos que elc o e f i c i e n t e d erozamiento estático esel mismo para todosl o s p a r e s d es u p e r f i c i e s e ncontacto. Calcúlese elvalor mínimo delc o e f i c i e n t e d e


Prob. 12.16

Prob. 12.15

Prob. 12.17

Prob. 12.18

Prob. 12.19

Prob. 13.1 Prob. 13.2

rozamiento que evite el desmoronamiento delsistema.

12.15.- Determinar el valor del ángulo θcorrespondiente a la configuración de equilibriodel sistema de dos barras ligeras articuladascomo se muestra en la figura adjunta. Expresar elresultado en función de las intensidades de losesfuerzos P y F.12.16.- Determinar laconfiguración corres-pondiente al equilibriode las tres barrasarticuladas que semuestran en la figuraadjunta, cuando actúauna fuerza horizontal de1 kg sobre el extremoinferior de la barra queestá más abajo. Las tresbarras son homogéneasentre sí; cada una deellas mide 50 cm y pesa2 kg.12.17.- El sistemarepresentado en la figuraestá constituido por dosvarillas idénticas, de100 cm de longitud y4 kg de masa cada una deellas, articuladas sinfricción, apoyadas sobreun suelo horizontal liso yunidas por sus centrosmediante un muelleconstante elástica k = 113.16 N/m y 30 cm delongitud natural. Determinar el valor del ánguloθpara que el sistema se encuentre en equilibrio.12.18.- Una barra de 4 m de longitud y 100 kg depeso está apoyada por unode sus extremos en unapared vertical lisa ysostenida por el otroextremo mediante un cableinextensible, de 6 m delongitud y masa des-preciable, como se indicaen la figura. a) Determinarel valor de los ángulosαyβque forman el cable y labarra con la pared en laposición de equilibrio.

b) Determinar la tensión del cable y la reacciónen el apoyo.12.19.- Una varilla lisa, de masa m y longitud l seapoya por uno de sus extremos (A) en un planohorizontal liso y por un punto comprendido entreel A y su centro de gravedad (G) en un borde fijoB, como se muestra en la figura. Determinar la

fuerza horizontal que hay que aplicar en A paramantener la varilla en equilibrio con unainclinación θrespecto de la horizontal y evaluarlas reacciones en los apoyos.

13.- Dinámica del sólido rígido.

13.1.- Un disco homogéneo, de 15 kg de masa y10 cm de radio, está montado sobre un ejesostenido horizontalmente por apoyos sinrozamiento. Sobre la periferia del disco seenrolla una cuerda ligera y se aplica una fuerzaconstante de 5 kg y dirigida hacia abajo en elextremo libre de la cuerda. a) Determinar laaceleración angular del disco. b) En lugar deaplicar la fuerza anterior, colgamos un pesa de 5kg en el extremo libre de la cuerda. Determinar,entonces, la aceleración angular del disco y laaceleración de caída de la pesa, así como latensión de la cuerda. c) Comparar los resultadosobtenidos para la aceleración angular en losapartados anteriores y explicar por qué sondistintos.

13.2.- Dos poleas de radios 8 cm y 5 cmrespectivamente, están acopladas la una a la otraformando un bloque que puede girar en torno aleje central horizontal. De la garganta de la poleagrande pende un peso de 20 kg y de la gargantade la polea pequeña pende otro peso de 30 kg que

13.- Dinámica del sólido rígido. 19

Prob. 13.3

Prob. 13.7

Prob. 13.8

Prob. 13.9

Prob. 13.11

tiende a hacer girar las poleas en sentidocontrario al anterior. El momento de inercia delas dos poleas en conjunto es 0.006 kgm2. Aldejar el sistema en libertad se pone enmovimiento. a) ¿En qué sentido se mueve elsistema? b) Calcular la aceleración angular de laspoleas y la aceleración de cada presa. c) Calcularla tensión en cada cuerda.13.3.- Determinar els e n t i d o d e lmo v i mi e n t o d e lsistema representadoen la figura, laa c e l e r a c i ó n d e lsistema y la tensiónen cada tramo de lacuerda que une losbloques m1 = 8 kg y m2 = 10 kg, considerando lapolea como un disco de 1 kg de masa y 10 cm deradio. El coeficiente de rozamiento en el planoinclinado (30) esμ= 0.2.13.4.- Un cilindro macizo baja rodando sinresbalar por un plano inclinado. a) Calcular laaceleración del centro de masa del cilindro.b) Determinar el valor mínimo de la fuerza derozamiento (estático) entre el plano y el cilindroa fin de que éste ruede sin resbalar. c) Calcular elvalor mínimo del coeficiente de rozamiento paraque el cilindro no resbale. d) Estudiar elmovimiento del cilindro en función de diversosvalores del coeficiente de rozamiento. e) ¿Seconserva la energía total del cilindro cuando ésterueda sin resbalar?13.5.- Un aro, un cilindro macizo y una esferabajan rodando sin resbalar por un mismo planoinclinado. Si los tres cuerpos partieronsimultáneamente del reposo desde una mismaaltura en el plano, ordenarlos de acuerdo con elorden de llegada al pie del plano. ¿Intervienen lasmasas o los radios de los cuerpos en el orden dellegada? ¿Entonces, qué criterio se ha seguidopara hacer la clasificación? Explíquese.13.6.- Dadas dos esferas de la misma masa y delmismo radio, pero una maciza y la otra hueca,describir detalladamente un experimento que, sindañar las esferas, nos permita averiguar cual es lamaciza y cual la hueca. Hacer los cálculosnecesarios para justificar los resultados delexperimento.13.7.- Presionamoscon el dedo unapelota de ping-pongcontra la mesa, de talm o d o q u e a lescapársenos salel a n z a d a h a c i aadelante con unavelocidad de traslación v0 al mismo tiempo quegira con velocidad angular ω0, como se muestraen la figura adjunta. Sea μel coeficiente derozamiento entre la pelota y la mesa.a) Determinar la relación que debe existir entrev0 y ω0 para que al cabo de cierto trayecto la

pelota quede en reposo de traslación y derotación. Calcular dicho trayecto. b) Determinarla relación que debe existir entre v0 yω0 para quela pelota, después de anularse su velocidad detraslación, regrese hacia el punto inicial delanzamiento con una velocidad angular ω0/2.13.8.- Una esferamaciza y homogénea,de masa m y radio rresbala sin rodarsobre una superficiehorizontal rugosabajo la acción de unafuerza F dirigidahorizontalmente y aplicada a una altura h<r,como se indica en la figura. Determinar laaceleración de la esfera y el coeficiente derozamiento entre esta y el plano.

13.9.- Una esfera maciza y homogénea descansasobre una plataforma horizontal, como se indicaen la figura. El rozamiento entre la plataforma yesfera es suficiente para evitar el deslizamientode ésta. Aplicamos a la plataforma una fuerzahorizontal constante. a) Determinar lasaceleraciones (absolutas) que adquirirán laplataforma y en centro de la esfera. b) Encontrarla aceleración angular de la esfera (módulo ydirección).13.10.- Un yo-yo está formado por dos discospesados, de radio R y masa total M, unidos porun eje ligero de radio r, alrededor del cual searrolla el hilo. Un muchacho sostiene el extremolibre del hilo en una posición fija y deja caer elyo-yo verticalmente. el yo-yo se acelera haciaabajo, llega el instante en que se desenrolla todoel hilo y, entonces, comienza a subirenrollándose de nuevo el hilo sobre su eje.a) Explicar detalladamente el movimiento del yo-yo. ¿Por qué vuelve a subir? b) Calcular laaceleración del yo-yo y al tensión en el hilo enlos movimientosde bajada y desubida?13.11.- En elg i r o s c o p i orepresentado enla figura el discotiene una masade 200 g y unradio de giro de5 cm y está


Prob. 13.12

Prob. 13.13

Prob. 13.14

Prob. 13.15

Prob. 13.16

Prob. 13.18

situado a 10 cm del punto de apoyo del eje.Calcular la velocidad angular de precesióncuando el disco está girando alrededor de su ejecon una velocidad angular de 20 rps.13 .12 . - En la f igu ra se mues t r aesquemáticamente el tren de aterrizaje de unavión visto desde atrás. El radio de la rueda es de40 cm y su momentode inercia es de2.5 kgm2. El avióndesp e ga a unav e l o c i d a d d e180 km/h. Despuésdel despegue, serecoge el tren deaterrizaje girándololateralmente a razónde 45por segundo.D e t e r m i n a r l amagnitud del parejercido sobre larueda por su soportee indicar las direcciones de las magnitudesvectoriales implicadas.13.13.- El cuerpo representado en la figura estáformado por dos discos pesados, de radio R ymasa total M, unidos mediante un eje ligero, de

radio r, en torno al cual se ha enrollado un hilo.Supongamos que tiramos horizontalmente delextremo libre del hilo, como se muestra en lafigura, con una fuerza constante F. Determinar elsentido del movimiento y la aceleración delcuerpo.13.14.- Un bloque de masa m desliza sobre unplano horizontal liso y está unido a un cilindro demasa M y radio R mediante un hilo ligero quepasa por la garganta de una polea de masadespreciable. El hilo está arrollado en torno delcilindro con un gran número de vueltas.a) Calcular la tensión del hilo durante elmovimiento del sistema y las aceleraciones que

intervienen. b) Analizar los resultados anteriorespara las situaciones límites m0 y m.13.15.- Los dos discos de lafigura adjunta tienen lamisma masa m y el mismoradio R. El disco superiorpuede girar librementealrededor de un eje horizontalfijo que pasa por su centro.Un hilo ligero está arrolladoalrededor de ambos discos.Calcular la tensión del hilo ylas aceleraciones queintervienen cuando se dejacaer el disco inferior.13.16.- Una varilla homogénea AB está guiadapor dos pasadores, A y B, que deslizanlibremente por las guías situadas en un planovertical que se indican en la figura adjunta. Se

abandona la varilla, partiendo del reposo, en laposición 1 indicada. Determinar las velocidadesde los pasadores A y B, así como la velocidad detraslación y la velocidad angular de la varilla, enlas posiciones 2 y 3 indicadas.13.17.- Una varilla de longitud L se sostieneverticalmente apoyada sobre el suelo por unextremo y se la deja caer. Suponiendo que elextremo apoyado no resbala, determinar lavelocidad angular de la varilla en función delángulo que forma con la vertical y la velocidaddel extremo libre cuando pega contra el suelo.13.18.- Las dos varillashomogéneas, de lamisma masa m ylongitud l, que semuestran en la figura,están articuladas entre síen el punto A. Elextremo O de la varillasuperior está articuladaa un punto fijo y elextremo B de la inferiorlo está a una correderaque puede deslizar sinfricción a lo largo de uneje vertical. Se abandona el sistema, partiendodel reposo, de la posición horizontal (θ=0).Determinar: (a) la velocidad angular de cada

13.- Dinámica del sólido rígido. 21

Prob. 13.19

Prob. 13.22

Prob. 13.24

Prob. 13.25

Prob. 14.2

varilla en función del ángulo θ; (b) la velocidadde la corredera en función deθ.13.19.- Unc i l i n d r omacizo yhomogéneo,de radio r ygenera t r iz2r, descansaapoyado enuna de susbases sobre un plano horizontal rugoso que nopermiteel deslizamiento.Le aplicamosuna fuerzahorizontal, a una altura conveniente sobre elplano, hasta que, apoyado en el borde de su baseinferior se desequilibra e inicia la caída.(a) Calcular el momento de inercia del cilindrocon respecto al eje AAtangente a la periferia dela base. (b) Determinar la velocidad angular delcilindro en el instante en que su generatriz llegaal plano horizontal.13.20.- Una varilla homogénea de longitud L ymasa M puede girar sin rozamiento alrededor deun eje vertical que pasa por su centro y que esperpendicular a la varilla. A lo largo de la varillapueden moverse dos esferillas idénticas, de masam cada una, unidas entre sí por un hiloinextensible de longitud d < L. Inicialmente, lavarilla está girando con una frecuencia ν0 y lasesferillas se encuentran en posiciones simétricascon respecto al eje de rotación. En un instantedeterminado, el hilo se rompe y las esferillas sedesplazan hacia los extremos de la varilla, quedando detenidas en los topes que existen endichos extremos. a) Calcular la frecuencia derevolución final del sistema. b) ¿Se conservará laenergía cinética en el proceso?13.21.- Una pequeña esfera de radio r permaneceen equilibrio inestable en la cima de una granesfera fija de radio R. Desplazamos ligeramentela esferilla de su posición de equilibrio, de modoque comience a rodar (sin resbalar) sobre laesfera grande. Determinar la posición en que laesferilla se despega de la esfera grande y lavelocidad que lleva en ese instante.13.22.- Una bolita, deradior, ruedaporuncarrilsituado en un planovertical, de radiointerior R>r. ¿Cuáldeberá ser el valormínimo de v0 a fin deque la bolita completesu trayectoria circularsin despegarse delcarril?13.23.- Una varillahomogénea tiene sus extremos apoyados en unapared vertical lisa y en un suelo horizontal liso.En el instante inicial, la varilla forma un ciertoánguloθ0 con la horizontal; entonces comienza aresbalar. Calcular el ángulo de inclinación de la

varilla cuando se extremo superior se despega dela pared.13.24.- Un cilindromacizo y homogéneo, demasa m y radio r, ruedasin deslizar por el interiorde otro cilindro hueco, demasa M y radio R, quepuede girar alrededor deunejefijohorizontal (O)quecoincide con su eje desimetría. En el instanteinicial, se abandona elsistema (partiendo del reposo) en la posición quese indica en la figura. a) Determinar lasvelocidades angulares de cada uno de los doscilindros en el instante en que el cilindro interiorpasa por su posición más baja. b) Determinar lavelocidad de traslación del cilindro interior endicho instante.1 3 . 2 5 . - Unrodillo macizo,de masa m yr a d i o r ,d e s c i e n d erodando (sinresbalar) por lacara inclinadade un prismat r i a n g u l a rmóvil, de masam e inclinación θ, como se ilustra en la figura.a) Determinar las aceleraciones (absolutas) delrodillo y del prisma. b) Si el rodillo partió delreposo en la parte superior del prisma, estandotambién éste inicialmente en reposo, ¿cuál será lavelocidad final del prisma?

14.- Colisiones y percusiones.

14.1.- Dejamos caer una pelota, desde una alturade 10 m, sobre un suelo duro y horizontal. Seobserva que la pelota remonta hasta una altura de8.1 m después del primer bote en el suelo.Supongamos que el coeficiente de restituciónpermanezca constante en los rebotes sucesivos.a) Calcular el valor del coeficiente de restituciónen los rebotes. b) ¿Qué fracción de la energía sepierde en cada rebote? c) ¿Cuántos botes dará lapelota antes de que su altura de remonte sereduzca a 10 cm? d) Calcular el tiempo quedeberá transcurrir antesde que la pelota quede enreposo y el espacio totalque habrá recorrido hastaese instante.14.2.- Dos pequeñasesferas , de masasrespectivas m y 2m,cuelgan de un puntocomún mediante sendos


Prob. 14.5

Prob. 14.6

Prob. 14.8

hilos de longitud l , como se indica en la figura.La esfera 2m se encuentra en reposo y la esfera mse abandona a partir de la posición que se indica,de modo que tenga lugar una colisión frontal yperfectamente elástica entre ambas esferas.Determinar la altura a la que ascenderá cadaesfera después del primer choque.14.3.- Dos péndulos simples, de masa respectivasm1 y m2, ambos de longitud l, están suspendidosde un mismo punto. Se separa uno de ellos de lavertical (manteniéndose el hilo tenso) hasta quese obtiene una diferencia de alturas h entreambas masas pendulares. Se suelta dicho péndulode modo que colisione con el otro. Suponiendoque la colisión sea completamente inelástica, ¿aqué altura se elevará el conjunto después de lacolisión?14.4.- a) Un elevador está subiendo por el cubo(hueco de la escalera) con una velocidadconstante de 1.83 m/s. En el instante en que eltecho del elevador se encuentra a 18.3 m de laparte más alta del cubo, se deja caer desde esesitio una pelota ligera que rebotará elásticamenteen el techo del ascensor. ¿A qué altura subirá lapelota por encima del lugar desde el que se dejócaer? b) Resolver el mismoproblema suponiendoque el ascensor esté bajando con una velocidadde 1.83 m/s.14.5.- Una forma sencilla de determinar lavelocidad de un proyectil consiste en lautilización del péndulo balístico. Este pénduloestá constituido por un bloque grande de madera,de masa M, suspendido mediante dos hilosverticales, como se ilustra en la figura. Elproyectil, de masa m, cuya velocidad v se quieredeterminar, sed i s p a r ahorizontalmentede modo quechoque y quedeincrustado en elb l o q u e d emadera. Si elt i e m p o q u ee m p l e a e lp royec t i l enquedar detenidoen el interior del bloque de madera es pequeño encomparación con el periodo de oscilación delpéndulo (bastará con que los hilos de suspensiónsean suficientemente largos), los hilos desuspensión permanecerán casi verticales durantela colisión. Supongamos que el centro de masadel bloque asciende a una altura h después de lacolisión. Calcular: a) La velocidad que lleva elproyectil y b) la fracción de la energía cinéticainicial que se disipa. aplicación numérica: M =

3 kg, m = 10 g y b = 4 cm.14.6.- Un disco desliza sobre una superficiehorizontal lisa, con una celeridad de 5 m/s, ycolisiona elásticamente con otros discos

idénticos, que se encontraban en reposo, encontacto entre sí y colocados de modo que lalínea de sus centros era perpendicular a latrayectoria del disco incidente, como se muestraen el figura adjunta. El disco incidente se apuntódirectamente al punto de contacto de los otrosdos. Calcular las velocidades (módulos ydirecciones) de los tres discos después de lacolisión.14.7.- Una varilla homogénea, de longitud L ymasa M, se encuentra en reposo sobre un planohorizontal liso. Un disco de hockey, de masa m,se mueve sobre dicho plano en direcciónperpendicular a la varilla y con una velocidad v0.El disco choca elásticamente con la varilla en unpunto P situado a una distancia h del centro deésta. a) ¿Qué magnitudes se conservan durante elchoque? b) ¿Cuál deberá ser la masa del discopara que quede en reposo inmediatamentedespués del choque? c) En el supuesto anterior,calcular la velocidad del centro de masa de lavarilla y la velocidad angular de ésta.d) Determinar la posición del punto Q de lavarilla que permanece en reposo después de lacolisión. e) Demostrar que si el disco choca en elpunto Q, el punto P permanecerá en reposo.14.8.- Una varillahomogénea, de masam y longitud l caedesde una ciertaaltura. En el instanteen el que uno de susextremos toca elsuelo, la varillaforma un ángulo de60con el mismo,su centro de masa tiene una velocidad v y estárotando con una velocidad angular ω, como seilustra en la figura. Suponiendo que la colisiónsea perfectamente elástica, determinar las nuevasvelocidades de traslación y de rotación de lavarilla después del choque.

14.- Colisiones y percusiones. 23

Prob. 14.9

Prob. 14.10

Prob. 14.12

Prob. 14.14

Prob. 14.15

14.9.- Una viga uniforme, de longitud 2l y masam, está sostenida horizontalmente por dos

apoyos, A y B, a una distancia x del centro G dela viga. Determinar la distancia x para que, alsuprimirse súbitamente uno de los apoyos, novaríe en ese instante la reacción en el otro.14.10.- Un bloquehomogéneo de formaprismática, de seccióncuadrada de lado l,desliza sobre un planohorizontal liso convelocidad v. Cuandochoca contra el tope Oque se indica en lafigura, gira alrededor de él. Calcular: (a) Lavelocidad angular con que se iniciará el giro;(b) el valor mínimo de la velocidad v del bloquepara que se produzca el vuelco de éste,sobrepasando al tope.14.11.- Jugando al billar I. Una bola de billar,que se encuentra inicialmente en reposo sobre lamasa, recibe un golpe de taco de modo que lalínea de acción del impulso está contenida en elplano vertical que pasa por el centro de la bola,es paralela a la superficie de la mesa y estásituada a una distancia h del centro de la bola.Como consecuencia de ese impulso, la bola salelanzada hacia adelante con una velocidad v0 y,debido a su "efecto", posteriormente adquiereuna velocidad v. Sea R el radio de la bola.a) Demostrar que

b) Demostrar que si queremos conseguir que labola ruede sin resbalar sobre el tablero desde elmismo momento en que recibe el nombre elimpulso, la línea de acción de éste debe estarsituada a una distancia h = 2R/5 por encima delcentro de la bola. c) Demostrar que el "efecto"será hacia adelante o hacia atrás según que h seamayor o menor que 2R/5. d) Demostrar que esimposible, con el "efecto de retroceso", dar a labola una velocidad de retroceso a menos que elimpulso tenga una componente vertical haciaabajo.14.12.- Una masa puntual, de magnitud m, estáunida mediante un hilo ligero, flexible einextensible, de longitud L, a un punto fijo O.

Abandonamos la masa puntual, partiendo delreposo, en la posición indicada en la figura.Determinar la amplitud de las oscilacionespendulares de dicha masa. ¿Se conserva laenergía durantetodo el proceso?14.13.- Dos discoshomogéneos estánmontados sobree j es paralelos .Inicialmente ambosd i s c o s e s t á ngirando libremente,con velocidadesa n g u l a r e sconstantes. En uninstante dado seaproximan entre sí los ejes de rotación de sendosdiscos de modo que éstos quedan acoplados porsus bordes. Determinar las velocidades angularesde los discos después del acoplamiento. Expresarlos resultados en función de las velocidadesangulares iniciales y de las razones de masas yradios de los discos.14.14.- Una placarectangular, de masam uniformementerepartida, puede giraralrededor de un ejefijo horizontal quecoincide con uno desus bordes, como seindica en la figura.Separamos la placa hasta la posición horizontal yla abandonamos partiendo del reposo. Cuandoalcanza la posición vertical, colisionaelásticamente contra el borde de otra placaidéntica que se encontraba en reposo sobre unplano horizontal. a) Determinar las velocidadesde cada placa después de la colisión. b) Calcularla percusión en el eje.14.15.- Un carrete está formado por dos discoshomogéneos idénticos, de radio R, unidos por uneje cilíndrico, de radio r, en el que está enrolladauna cuerda ligera yflexible. Sea m lamasa total del carretee I su momento deinercia con respecto asu eje. Tiramosbruscamente de lac u e r d a ,h o r i z o n t a l me n t e ,como se indica en la figura (i.e., aplicamos unaimpulsión Π). a) Determinar el movimiento delcarrete justamente después de la impulsión.b) Suponiendo que el suelo sea rugoso,determinar el movimiento final del carrete.


Prob. 14.16

Prob. 15.4

Prob. 15.8

Prob. 15.9

14.16.- Una esfera homogénea, de masa m yradio R, reposa sobre un bloque, de masa 2m, quese mueve con velocidad constante v0 sobre untablero horizontal liso, como se ilustra en lafigura. El bloque colisiona inelásticamente en By queda detenido; entonces, la esfera comienza arodar sobre el bloque. En el supuesto de que el

rozamientoentre la esfe-ra y el blo-que sea sufi-ciente comopara que co-mience a ro-dar, sin res-balar, desdee l pr imer

instante, determinar la velocidad angular de laesfera y las reacciones percusionales.

15.- Movimientoarmónico simple.

15.1.- El movimiento de un oscilador armónicosimple está descrito por la ecuación

x=5 sen (0.2t + 0.5236)

donde todas las cantidades están expresadas en elsistema c.g.s.. Determinar: a) la amplitud, elperiodo, la frecuencia y la fase inicial delmovimiento, b) la velocidad y la aceleración yc) las condiciones iniciales.15.2.- Las posiciones sucesivas de una partículaque ejecuta un m.a.s. son x=a, b y c;correspondientes a los instantes t=t0, 2t0, 3t0,respectivamente. Calcular el periodo delmovimiento.15.3.- Dos partículas realizan sendosmovimientos armónicos simples de la mismaamplitud, frecuencia y origen a lo largo de unamisma línea recta. Cada vez que se cruzan,moviéndose en sentidos opuestos, suselongaciones son la mitad de la amplitud.Calcular la diferencia de fase entre ambos m.a.s.15.4.- Calcular el periodo de las oscilaciones dela columna líquida contenida en un tubo en U desección transversal constante,colocadoverticalmente, comose muestra en la figura.1 5 . 5 . - U n a m o n e d apermanece en reposo sobreuna plataforma horizontal querealiza un movimientoarmónico simple de amplitudA y frecuencia v. a) Si lap l a t a f o r m a o s c i l averticalmente, ¿cuál será el

valor máximo de A que permita a la monedapermanecer en contacto permanente con laplataforma? b) Supongamos ahora que laplataforma oscila horizontalmente y que sea μelcoeficiente de rozamiento estático entre lamoneda y la plataforma. ¿Cuál será, entonces, elvalor máximo de A que permita a la monedapermanecer en reposo respecto a la plataforma,sin deslizar?15.6.- Una varilla homogénea, de masa m ylongitud L, se encuentra inicialmente en repososobre un plano horizontal xy. Cada elemento dela varilla es atraído por una fuerza proporcional asu masa y a su distancia al eje x. Estudiar elmovimiento de la varilla.15.7.- La escala de undinamómetro de muelle,que alcanza de 0 a 500 g,mide 8 cm de longitud.Del dinamómetro sesuspende un pequeñopaquete, se le da un tirónhacia abajo y se observaque sus oscilacionesverticales presentan unafrecuencia de 3 Hz.¿Cuánto pesa el paquete?15.8.- Determinar lasfrecuencias de oscilacióncorrespondientes a cadauno de los sistemasrepresentados en lafigura.15.9.- Consideremos un pequeño objeto, de masam, que tan sólo puede moverse a lo largo de unarecta, unido a un extremo de un muelle deconstante elástica k y de longitud natural l0. Elotro extremo del muelle está unido a un punto

fijo A situado a una distancia h > l0 de la rectasobre la que se mueve el pequeño objeto, comose muestra en la figura. Calcular la frecuencia delas pequeñas oscilaciones del sistema.15.10.- Un reloj de péndulo que ha sidocuidadosamente ajustado para marcar el tiempocorrecto en un lugar donde g = 9.823 m/s2 retrasa40 s por día cuando se lleva a otro lugargeográfico. ¿Cuánto vale g en ese lugar?15.11.- En el dispositivo que se muestra en lafigura, el collarín ligero por el que pasa la varillay al que están unidos dos muelles idénticos,permite que éstos permanezcan horizontales.

15.- Movimiento armónico simple. 25

Prob. 15.11

Prob. 15.15Prob. 15.14

Prob. 15.16

D e t e r m i n a r l afrecuencia de laspequeñas oscilacionesde la varilla.15.12.- a) Calcular lafrecuencia de laspequeñas oscilacionesde un aro de radio Rcolgado de la paredmediante un clavohorizontal. ¿Cuál es lalongitud reducida deeste péndulo físico? b) Repetir el apartadoanterior si se suprime la mitad inferior del aro.15.13.- a) Calcular el periodo de las oscilacionesde pequeña amplitud de una lámina en forma detriángulo equilátero cuando el eje de suspensiónes perpendicular al plano de la lámina y pasa poruno de los vértices del triángulo. b) Ídem, en lasmismas condiciones, para una lámina en formarectangular.

15.14.- Determinar la frecuencia de las pequeñasoscilaciones del sistema que se muestra en lafigura adjunta, suponiendo que la polea sea undisco homogéneo de masa M y radio R y que lacuerda sea ligera y no resbale por la garganta dela polea.

15.15.- El cilindro macizo y homogéneo que semuestra en la figura, de masa m y radio R, estásuspendido del techo mediante una cuerda. Unode los extremos de la cuerda está unidodirectamente al techo; el otro lo está a un muellede constante elástica k. Determinar la frecuenciade las oscilaciones del sistema.15.16.- Los extremosd e u n a v a r i l l ahomogénea es t ánligados a una circun-ferencia vertical ypueden deslizar sinrozamiento a lo largode la misma. Si lavarilla subtiende unángulo central de 120,demostrar que lalongitud del péndulosimple equivalente es igual al radio de lacircunferencia.

15.17.- Una partícula está sometidasimultáneamente a tres m.a.s. de la mismafrecuencia y dirección, cuyas amplitudes son 3, 4y 5 respectivamente. El segundo m.a.s. estáadelantado un ángulo de fase de 30respecto alprimero, y el tercero lo está 120respecto alsegundo. Hallar la amplitud del desplazamientoresultante y su fase relativa al primer m.a.s.15.18.- Calcular la amplitud y la constante defase del desplazamiento resultante de lasuperposición de los m.a.s. x1 y x2, que se dan acontinuación y dibujar los diagramas fasorialescorrespondientes:a) x1= 3 sen(ωt+30) x2= 4 sen(ωt+45)b) x1= 3 sen(ωt+45) x2= 4 sen(ωt+135)c) x1= 2 sen(ωt+60) x2= 5 cos(ωt-30)15.19.- Consideramos la superposición de dososcilaciones armónicas sobre una misma rectacuyas elongaciones vienen dadas por

x1 = A sen 16πt x2 = A cos 12πtrespectivamente. a) Hallar el periodo y lafrecuencia del batimiento. b) ¿Cuántos ciclos dela oscilación básica están contenidos en cadamódulo del batimiento? c) Dibujar un esquemacuidadoso de la perturbación resultante durantedos periodos del batimiento.

16.- Ondas mecánicas.

16.1.- La función de onda que describe una ondatransversal que se propaga en una cuerda tensacuya densidad lineal es de 20 g/m viene dada por

y = 0.2 cos(1.75x-628.32t)donde x e y se miden en centímetros y t se mideen segundos. a) Determinar la amplitud, lalongitud de onda, la frecuencia y la velocidad depropagación de la onda. b) Dibujar la forma de lacuerda en los instantes t=2.5 ms y t=5.0 ms.c) Calcular la tensión de la cuerda.16.2.- Consideremos una onda plana armónica,cuya velocidad de fase sea 32 m/s, su amplitud3.2 cm y su frecuencia 60 Hz, que se propaga enla dirección positiva del eje x. Supongamos queen x=0, en el instante t=0, la elongación seamáxima y positiva. a) Escribir la función deonda. ¿Cuál es la longitud de onda? b) Calcularla elongación, velocidad y aceleración de unpunto de abscisa x=15.3 m en el instante t=2.6 s.16.3.- Uno de los extremos de un muelle muy lar-go, en posición horizontal, esta unido a unvibrador que proporciona una frecuencia de25 Hz. A lo largo del muelle avanza un trencontinuo de ondas longitudinales en el que seobserva que la distancia entre dos rarefaccionesconsecutivas es de 24 cm y que el máximo des-plazamiento de cualquiera de las espiras del


muelle es de 5 mm. Supongamos que las ondasavanzan en el sentido positivo del eje x, que elvibrador está en x=0 y que el desplazamientopara x=0 y t=0 sea nulo. a) Determinar la velo-cidad de las ondas. b) Escribir la función deonda. c) Determinar la elongación en función deltiempo de una espira situada a 10 cm delvibrador.16.4.- Uno de los extremos de una cuerdahorizontal está firmemente unido a un vibradoraccionado eléctricamente a una frecuencia de110 Hz. La cuerda pasa por una polea y llevacolgado de su extremo libre una pesa de 2 kg. Lacuerda mide 1.20 m y pesa 24 g. a) Determinar lavelocidad de las ondas transversales en la cuerda.b) ¿Cuál es la longitud de onda? c) Si la amplitudde las vibraciones del vibrador es de 2 mm,calcular la potencia instantánea y la potenciamedia que suministra el vibrador.16.5.- Chillidos del albatros. Un náufrago quese encuentra en un bote salvavidas apenasalcanza a oír los chillidos de un ídem que vuela agran altura sobre el océano, a una distancia de3 km en línea recta del náufrago. Como veremosen una lección posterior, el umbral de audicióndel oído humano es 1012 W/m2, apro-ximadamente. a) Suponiendo que el albatrosemitiese los sonidos en forma isotrópica, calcularla potencia de sus chillidos. b) Supongamos queel ave emita sus chillidos 1000 veces al día, conuna duración de 1 s cada uno, ¿cuánta energíaemite diariamente en forma de ondas sonoras?16.6.- Tren AVE. Un observador, que seencuentra cerca de las vías del tren de altavelocidad (AVE), en campo abierto, percibe elsonido del silbato de la locomotora, que circulacon velocidad constante alejándose del observa-dor, con una intensidad de 10 μW/m2, en elinstante en que ésta se encuentra a una distanciade 40 m del observador. Transcurridos 6 s, elobservador percibe el mismo sonido con unaintensidad de 100 nW/m2. ¿Cuál es la velocidaddel tren? NOTA: Despreciar la absorción delsonido en el aire.16.7.- Caída de tono. Un tren hace sonar susilbato al acercarse y alejarse de un paso a nivelcon barreras. Un músico, que está esperando quepase el tren, apoyado en la barrera, escucha elsonido del silbato en el tono de La2 (220 Hz)mientras el tren se acerca y en el de Sol2(198 Hz) cuando ya se aleja. Calcular lavelocidad del tren y la frecuencia del sonidoemitido por su silbato.16.8.- Patrullero. Un coche de policía, provistode una sirena que emite un sonido puro de440 Hz, se mueve con una velocidad de 36 km/hen dirección a un acantilado que refleja las ondassonoras. a) Calcular la frecuencia de laspulsaciones que percibe un observador en reposoque ve alejarse el coche hacia el acantilado. b)Calcular la frecuencia de las pulsaciones quepercibe el conductor del automóvil. c) ¿Cuál

debería ser la velocidad del automóvil para que elsonido percibido por el conductor, tras lareflexión, corresponda a una octava más alta queel emitido por la sirena?16.9.- Bang supersónico. Un avión supersónicovuela a una altura de 3000 m con una velocidadde 1.7 Mach. a) Determinar el ángulo de Mach.b) Calcular el tiempo que transcurrirá desde queel avión sobrevuela directamente encima de unobservador situado en tierra hasta que ésteescucha el bang supersónico.16.10.- Función de onda estacionaria. La fun-ción de onda estacionaria en una cuerda fija porsus dos extremos es

a) Determinar la amplitud, frecuencia, longitudde onda y velocidad de fase de las ondas pro-gresivas cuya superposición dan lugar a esta ondaestacionaria. a) Escribir las funciones de ondacorrespondientes a dichas ondas progresivas.b) Hallar la distancia internodal. c) Si laexpresión dada corresponde al tercer modo deoscilación de la cuerda, ¿cuál es la longitud deésta?16.11.- Un hilo de acero, de 1 m de longitud y1 mm de diámetro, está tensado entre soportesfijos, sometido a una tensión de 100 kg. a) Deter-minar su frecuencia fundamental y los dos prime-ros armónicos, así como las longitudes de ondacorrespondientes. b) Hacer un esquema delestado de vibración del hilo en cada caso.c) Escribir las funciones de onda estacionariaspara esas frecuencias.16.12.- Cuerdas gemelas. Dos cuerdas gemelasde un instrumento musical (v.g., de un piano)vibran en su modo fundamental de 440 Hzcuando están sometidas a la misma tensión.a) Calcular la frecuencia de las pulsaciones entrelos modos fundamentales de ambas cuerdascuando incrementamos la tensión de una de ellasen un 3%. b) Ídem de los segundos armónicos.16.13.- Tubo acústico. En el dispositivo experi-mental descrito en esta lección, se observan lasdos primeras resonancias para L igual a 14.2 cmy 46.7 cm. a) Calcular la frecuencia del diapasóny la corrección del extremo del tubo. b) ¿En queposición se presentará la siguiente resonancia?16.14.- ¿Abierto o cerrado? En un tuboacústicose observan dos resonancias sucesivas cuando sele excita a las frecuencias de 2 200 Hz y3 080 Hz. a) Averiguar si se trata de un tuboabierto o cerrado. b) Determinar la longitud deltubo.16.15.- En el extremo izquierdo de un tubo (x=0),de longitud L, tenemos una fuente sonora queenvía hacia el interior del tubo la siguiente ondasonora:

Ondas mecánicas. 27

Prob. 17.2

Prob. 17.5

Prob. 17.4

Prob. 17.6

Prob. 17.7

Prob. 17.8

En el otro extremo del tubo (x=L), otra fuente so-nora envía hacia el interior del tubo la onda

Encontrar la expresión de la onda estacionaria enel tubo y mostrar que la intensidad del sonidosiempre es máxima en el centro del tubo.

17.- Estática de los fluidos.

17.1.- Un tubo en se coloca verticalmente y sellena parcialmente de mercurio. a) En una de lasramas del tubo se vierte una columna de 10 cmde agua. ¿Cuál será el desnivel entre lassuperficies libres del mercurio en ambas ramas?b) A continuación, se vierte aceite en la otrarama del tubo hasta conseguir nivelar lassuperficies libres del mercurio, para lo que seprecisa una columna de 12 cm de aceite. ¿Cuál esla densidad del aceite?17.2.- Un manómetro diferencial está conectadoen dos secciones, A y B, de una tuberíahorizontal por la que circula agua. El desnivel del

mercurio en ambas ramas del manómetro es de40 cm, como se muestra en la figura. Calcular ladiferencia de presiones entre los puntos A y B,expresando el resultado en Torr y en mmH2O.17.3.- Calcular la posición del centro de presióny la fuerza resultante debida a la presión sobreuna compuerta semicircular, de radio R,contenida en un plano vertical, cuyo bordediametral coincide en la superficie libre de unlíquido de densidadρ.17.4.- a) Determinar la fuerza total debida a lapresión del agua sobre la compuerta inclinada, de3 m de anchura, que se muestra en la figura.b) Calcular el momento de dicha fuerza respectoa la bisagra. c) Localizar la línea de acción dedicha fuerza resultante. d) Determinar la reacciónde la solera sobre el borde inferior de lacompuerta.

17.5.- Una viga demadera,deseccióncuadradade lado a, apoyadasobre una de susaristas, bloquea elextremo de un canalde fondo plano yh o r i z o n t a l ,a l c a n z a n d o l asuperficie libre delagua la arista superiorde la viga. Calcular el empuje que el agua ejercesobre la viga y ángulo que éste forma con lahorizontal.17.6.- El recipienteque se muestra en lafigura contiene aguahasta una altura H.D e t e r m i n a r l afuerza de empujeque actúa sobre lac a r a A B C D(módulo, direccióny línea de acción).17.7.- Determinar lafuerza resultanteque actúa sobre lacompuerta AB, cuyasección recta es lade un cuarto decircunferencia. Laanchura de lac o m p u e r t a e s1.20 m. Determinarla posición delcentro de presión.1 7 . 8 . - U n acompuerta, de formasemicilíndrica, hueca,de radio R y longitudL, está articulada en suborde inferior AA,como se ilustra en lafigura, retiene a unlíquido, de densidad ρ,q u e l a c u b r ejustamente hasta su


Prob. 17.9

Prob. 17.10

Prob. 17.12

Prob. 18.2

Prob. 18.5

borde superior BB. a) Determinar la fuerza(módulo y dirección) que ejerce el líquido sobrela compuerta. b) Determinar el peso de lacompuerta para que se mantenga en equilibrio enla posición indicada en la figura.17.9.- En una de las paredes verticales de unacuario hay un mirador de vidrio, de formasemisférica, de radio R = 50 cm, cuyo centro está

s i t u a d o a u n aprofundidad 3R . a)Determinar el módulo(en newtons) y ladirección (en grados) dela fuerza que ejerce elagua sobre el mirador,así como el punto deaplicación de dichafuerza. b) Ídem en elcaso de que el miradorfuese plano, de formacircular de radio R,contenido en el planode la pared.

17.10.- Determinar el peso mínimo que deberátener el semicascarón esférico, sin tapa en subase, de radio R,cuyo borde se apoyasobre una superficiehorizontal, como seilustra en la figura,para que no dejeescapar el líquidoque contiene.17.11.- Un cubometálico flota en mercurio, con una quinta partede su volumen sumergida. Añadimos aguaencima del mercurio hasta cubrir exactamente elcubo. a) ¿Qué fracción del volumen del cubopermanecerá sumergida en el mercurio?b) ¿Depende la respuesta anterior de la forma delobjeto?17.12.- Una varilla homogénea, de longitud l ydensidad ρ, puede girar alrededor de un ejehorizontal que pasa por uno de sus extremos,situado a una altura h sobre la superficie libre deun líquido de densidadρ0, como se muestra en lafigura. Determinar el ánguloθcorrespondiente alequilibrio.

18.- Dinámica de los fluidosideales.

18.1.- Un grifo, de sección recta circular de radior0, deja salir un chorro de agua, verticalmentehacia abajo, con una velocidad inicial v0. Puestoque v0 es pequeña, el agua fluye en régimenlaminar durante un cierto tramo de su caídavertical. Expresar el radio r del chorro de agua,en ese tramo, en función de la distancia h a laboca del grifo.18.2.- Para medir lavelocidad del agua quecircula por un arroyo, sedispone de un tubo en L,como se muestra en la figuraadjunta. ¿Cuál será lavelocidad de la corriente si elagua asciende por el tubovertical hasta una altura de40 cm por encima de lasuperficie libre del agua?18.3.- Por un canal abierto, de seccióntransversal rectangular, circula agua con unaprofundidad de 3 m y una velocidad de 2 m/s. Enun cierto lugar, el fondo del canal presenta unaelevación transversal. Se observa que el nivel delagua en el canal desciende 15 cm en la verticaldel obstáculo. Determinar la altura del obstáculotransversal.18.4.- Para medir el caudal de agua que circulapor una tubería, se intercala en ésta unventurímetro cuyos diámetros en el tramoprincipal y en el estrechamiento son 5 cm y 1 cm,respectivamente. La diferencia de presión entreel tramo principal y el estrechamiento resulta serde 0.35 atm. ¿Cuál es el caudal?18.5.- Un depósito abierto, de grandesdimensiones, que desagua a través de una tuberíade 10 cm de diámetrointerior, recibe unaporte de agua de50 litros/s, como semuestra en la figura.El diámetro deldepósito es muchomayor que el de latubería de desagüe.A l g ú n t i e m p odespués de abrir la llave de la tubería de desagüe,se alcanza un estado estacionario en el que elnivel del agua en el depósito permanececonstante. ¿Cuál es ese nivel? Nota: Elcoeficiente de descarga para una tubería largapuede tomarse igual a 0.5.

Dinámica de los fluidos ideales. 29

Prob. 18.6

Prob. 18.7

18.6.- Dos depósitos de gran tamaño, A y B,como se ilustra en la figura, contienen un mismolíquido. El depósito A descarga por medio de unatubería horizontal que presenta unestrechamiento en el que se acopla un tubo cuyo

extremo inferior se sumerge en el líquido deldepósito B. La relación entre las áreas de lassecciones rectas del tramo principal y delestrechamiento de la tubería es 2:1. Supondremosque el régimen de flujo sea ideal. Expresar laaltura de ascenso h2 del líquido por el tubo enfunción de la altura h1 del líquido en el depósitoA.18.7.- Sifón (I). Un sifón es undispositivo que se utiliza paraextraer líquido de un depósito.Su forma de operar se muestraen la figura adjunta. El extremodel tubo que está sumergido enel líquido puede estarlo ac u a l q u i e r p r o f u n d i d a d .Naturalmente, para que el sifónf u n c i o n e d e b e r á e s t a rinicialmente lleno de agua; perouna vez que está lleno, el sifónsuccionará líquido del depósitohasta que el nivel en éstedescienda por debajo del niveldel extremo del tubo abierto alaire libre. Supongamos que ellíquido sea agua a 15.5 C(ps13 tor) y despreciemos totalmente la fricción.a) Determinar la velocidad de salida del líquidopor el extremo C del tubo del sifón. b) ¿Cuántovale la presión absoluta en el punto B? c) ¿A quéaltura máxima sobre el punto C puede estar elpunto B sin que el sifón falle por cavitación?18.8.- Trasvasando aceite. Dos depósitos degrandes dimensiones, abiertos a la atmósfera,contiene aceite de oliva (0.918 g/cm3), existiendoun desnivel entre las superficies libres del aceiteen ellos de 10 m. Los depósitos estáintercomunicados mediante una tuberíahorizontal, de 12 cm de diámetro, con entradasbien perfiladas por debajo de los niveles deaceite en cada depósito. a) Determinar el caudalque circula por la tubería. b) Calcular la potencianominal de la bomba que se necesitará (70% derendimiento) para conseguir el mismo caudal ensentido inverso.

18.9.- Salto de agua. Calcular la potenciamáxima que podrá suministrar un salto de aguaen el que la turbina está situada a 50 m pordebajo del nivel del agua en el embalse, sabiendoque el caudal que la alimenta es de 5 m3/s y quela velocidad del agua en el desagüe es de 10 m/s.

19.- Termodinámica.

19.1.- Se dispone de una varilla de hierro de6 mm de diámetro que se encuentra a unatemperatura de 250 C, y se trata de impedir quese contraiga al enfriarse hasta 10 C. Calcular lafuerza que hay que ejercer en los extremos de lavarilla, sabiendo que el coeficiente de dilataciónlineal del hierro es 119×10-7K-1 y su módulo deYoung vale 104 kg/mm2.19.2.- Un matraz de 2 l de capacidad, provisto deuna llave de paso, contiene oxígeno a 300 K y ala presión atmosférica. Con la llave abierta a laatmósfera, se calienta el sistema hasta unatemperatura de 400 K; a continuación, se cierrala llave y se enfría el matraz hasta la temperaturainicial. a) ¿Cuál es la presión del oxígeno en elmatraz? b) ¿Cuántos gramos de oxígenoquedarán en el matraz?19.3.- En un sistema de calefacción porcirculación de agua caliente, esta llega a losradiadores a una temperatura de 60 C y sale deellos a 38 C. Se desea reemplazar el sistema decalefacción por otro de vapor, en el que el vapora la presión atmosférica se condensa en losradiadores, saliendo de ellos a 82 C. ¿Cuántoskilogramos de vapor suministrarán la mismacantidad de calor que 1 kg de agua caliente en laprimera instalación?19.4.- Un calentador doméstico de agua tiene unacapacidad de 40 l y equivale, a efectos térmicosde calentamiento, a 5 kg de agua (equivalente enagua del calentador). Cuando el agua tiene unatemperatura de 60 C, y se desconecta elcalentador, el agua se enfría a razón de 2 C/min.a) Calcular la potencia que debe proporcionar laresistencia eléctrica del calentador para mantenerel agua a 60 C. b) Si la tensión de red es de220 V, calcular el valor de la resistencia eléctricadel calentador.19.5.- En un recipiente abierto, a la presiónatmosférica, calentamos 1 kg de hielo,inicialmente a 0 C (ρ=0.9 g/cm3), hasta alcanzarla fase líquida a 100 C. Calcular la cantidad decalor suministrada, el trabajo realizado y losincrementos de entalpía y de entropía.19.6.- Fundimos 1 kg de hielo a 0 C con excesode vapor de agua a 100 C, teniendo lugar elproceso a presión atmosférica constante.a) Determinar la masa del vapor de aguanecesaria. b) Calcular las variaciones de entalpíay de entropía de cada componente y del sistematotal.


Prob. 19.8

Prob. 19.12

Prob. 19.16

Prob. 19.18

19.7.- Calentamos 10 kg de una sustancia sólidadesde 0 C a 100 C, a presión atmosféricaconstante. Calcular el calor absorbido, el trabajorealizado y las variaciones de energía interna, deentalpía y de entropía. Datos: calor específico,0.2 cal/gK; coeficiente de dilatación, 10-4 K-1;densidad a 0 C, 2.5 g/cm3.19.8.- Un mol de un gas perfectobiatómico está contenido en unrecipiente de paredes rígidas yadiabáticas, a una presión de 1 atmy una temperatura de 300 K. Unaresistencia eléctrica le aporta100 cal. a) Determinar la presión ytemperatura finales. b) Calcular lasvariaciones que experimentan lasfunciones termodinámicas.19.9.- Un mol de hidrógeno a 1 atm de presiónocupa 22.4 l y evoluciona según lastransformaciones reversibles siguientes: 1º. Uncalentamiento isóbaro hasta triplicar su volumen.2º. Un enfriamiento isócoro hasta volver a latemperatura inicial. 3º. Una transformación quecierra el ciclo cuya representación en el diagramap-V es una línea recta. Calcular los intercambioscaloríficos y el trabajo realizado, así como lasvariaciones de la energía interna, de la entalpía yde la entropía, en cada uno de los procesos y enel ciclo completo.19.10.- Tres moles de nitrógeno, inicialmente apresión atmosférica y 27 C, se someten a lastransformaciones reversibles siguientes. 1º Unacalentamiento isócoro hasta duplicar la presión.2º Una expansión adiabática hasta enfriarlo a latemperatura inicial. 3º una compresión isotérmicahasta el estado inicial. Determinar los caloresabsorbidos, los trabajos realizados y lasvariaciones de las funciones termodinámicas encada proceso y en el ciclo completo.19.11.- Dos litros de helio, que se encuentraninicialmente a la presión de 16 atm y temperaturade 600 K, se expansionan isotérmicamente hastaque ocupan un volumen de 8 l. A continuación secomprimen a presión constante hasta que suvolumen y temperatura son tales que una nuevacompresión adiabática devuelve el gas a suestado inicial. a) Dibujar el ciclo termodinámicoreversible en un diagrama p-V. b) Determinar laspresiones, volúmenes y temperaturasdesconocidas. c) Calcular los calores absorbidos,los trabajos realizados y las variaciones de lasfunciones termodinámicas en cada uno de losprocesos y en el ciclo termodinámico.19.12.- Un mol de un i.e., gas perfecto biatómicoevoluciona reversiblemente desde el estado 1 al2, según indica el segmento rectilíneo que seindica en el diagrama p-V que se adjunta. a) Eneste proceso termodinámico, calcular el trabajorealizado, el calor absorbido y los incrementos deenergía interna, de entalpía y de entropía.b) Determinar el estado para el cual es máxima laenergía interna del gas.

19.13.- Disponemosde 5 moles de N2 ala temperatura de0 C y la presión de1 atm a los quesometemos a unproceso reversibleq u e p u e d edescribirse mediantela función p = aV 2,donde a es unaconstante, hasta que alcanza un volumen dobledel inicial. a) Determinar el estado final desistema. b) Calcular el calor absorbido y eltrabajo realizado por el gas. c) Evaluar lasvariaciones de todas las funcionestermodinámicas.19.14.- Dos moles de un gas perfecto, queinicialmente ocupan 44.8 l a 1 atm, se someten auna transformación isoterma reversible en la quesu entropía disminuye 2.75 kcal/K. Determinar elestado final del gas (i.e., p, V y T) así como eltrabajo realizado y el calor absorbido durante elproceso.19.15.- En un recipiente abierto, calentamos100 g de mercurio desde 20 C a 30 C.a) Calcular el calor absorbido y el trabajoasociado a la expansión. b) Evaluar lasvariaciones que experimentan todas las funcionestermodinámicas.Datos (a 20 C): densidad, 13.5462 g/cm3; calor específico,0.033240 cal/gK; coeficiente de dilatación, 1.84×10-5K-1.

19.16.- Un gas perfectoexperimenta un procesotermodinámico reversiblecuya representación en eldiagrama T-S es una línearecta, tal como se ilustra enla figura, en la que n es elnúmero de moles delsistema yλes un parámetro.Encontrar la relaciónexistente entre el volumen del sistema y sutemperatura; i.e., V=V(T).19.17.- Disponemos de 100 g de nitrógeno (N2) a25ºC y 30 atm. Los sometemos a una expansiónadiabática brusca contra una presión exteriorconstante de 10 atm, hasta que el gas alcanza estapresión. Admítase que el gas tiene uncomportamiento ideal. a) Determinar latemperatura final del gas. b) Calcular loscambios que experimentan la energía interna y laentropía del gas en el proceso de expansión.19.18.- En elinterior de uncilindro cerrado,deparedes rígidas yadiabáticas, uné m b o l od i a t é r m a n osepara dos zonasque contienen,

19.- Termodinámica. 31

cada una de ellas, 2 moles de un mismo gas, enequilibrio térmico (vide figura). Cuando sesuprimen los topes que retienen al émbolo, elsistema evoluciona hasta que se alcanza un nuevoequilibrio. Determinar la temperatura final y loscambios parciales y totales de la energía interna yde la entropía.19.19.- Disponemosd e un c i l i nd r ocerrado, de paredesrígidas y adiabáticasen cuyo interiorpuede moverse sinfricción un émbolodiatérmano, que lo divide en doscompartimientos. En uno de los compartimientosse introducen 3 moles de hidrógeno a unatemperatura desconocida y en el otro 2 moles dehelio a 0 C. Inicialmente, ambos gases tienenuna misma presión y cada uno de ellos ocupa unvolumen de 5 . a) Determinar la temperaturainicial del hidrógeno. b) Determinar la presión,volumen y temperatura en cada compartimentocuando finalmente se alcanza el equilibriotermodinámico. c) Evaluar los cambios deenergía interna, entalpía y entropía queexperimentan cada uno de los gases y los delsistema global.19.20.- En un recipiente adiabático se mezclan1 mol de oxígeno a 300 K con 2 moles denitrógeno a 400 K. a) Determinar la temperaturay el volumen final de la mezcla. b) Evaluar lasvariaciones de las funciones termodinámicas paracada uno de los componentes y para el sistematotal.19.21.- Una mezcla de gases constituida por1 mol de helio y dos moles de oxígeno seencuentra en un recinto de 67.2 L a 1 atm depresión. Si la mezcla se calienta isobáricamentehasta duplicar su volumen, determínense losbalances de calor y trabajo y las variaciones deenergía interna, entalpía y entropía de la mezcla.19.22.- Un acondicionador de aire funcionasegún un ciclo reversible de Carnot. Su potenciafrigorífica es de 10 kilofrigorías/hora cuandoextrae calor de un local a 24 C y lo cede alexterior a 35 C. a) Calcular la potencia quedebe suministrar el motor. b) Con esa mismapotencia, calcular la potencia frigorífica cuandoel local se encuentra a 21 C y el exterior a40C.19.23.- Una máquinatérmicareversibletrabajasegún el ciclo que ser e p r e s e n t a e ldiagrama T-S que seadjunta. Sabiendo queT1=300 K, T2=200 K,S2-S1=100 cal/K yν=200 ciclos/minuto,determinar: a) El rendimiento del ciclo; b) La

potencia calorífica suministrada a la máquina y lapotencia mecánica de la misma.19.24.- Una máquina térmica reversible funcionaintercambiando calor con tres focos térmicoscuyas temperaturas son: T1= 500 K, T2= 400 K yT3= 300 K. La máquina toma una cantidad decalor Q1= 700 kcal del foco 1 y realiza un trabajode 1 kWh. a) Calcular las cantidades de calorintercambiadas con los otros focos.b) Determinar el rendimiento de la máquina.c) Calcular los cambios de entropía en losdistintos niveles térmicos y el total.19.25.- Dos máquinas térmicas reversiblesfuncionan una como máquina térmica y la otracomo máquina frigorífica. La primera máquinaabsorbe 30 kcal de un foco a 600 K y cede calora otro foco a 200 K. El trabajo producido por lamáquina térmica se le suministra a la máquinafrigorífica, que intercambia calor con dos focos a200 K y 300 K. Determinar todos losintercambios de calor de las máquinas con susfocos caloríficos.

20.- Campo eléctrico.

20.1.- a) Averiguar cual de los dos camposvectoriales que siguen puede ser un campoelectrostático:

E1 = (y-1)i +(x-1)j +(z-1)kE2 = (y-1)i +(z-1)j +(x-1)k

b) Determinar el campo de potencial del campoelectrostático.20.2.- Se tiene una distribución de potencial dadapor V = 6x2y + 5z (mks). Determinar la expresióndel campo eléctrico en todos los puntos delespacio y el trabajo necesario para transportaruna carga de 1 μC desde el punto de coordenadas(0,0,0) hasta el de coordenadas (1,2,3).20.3.- Determinar el campo eléctrico y elpotencial en los puntos de la mediatriz de unavarilla de longitud l uniformemente cargada.20.4.- Una carga eléctrica puntual, +q, estásituada a una distancia D del centro de una esferaconductora de radio R. a) Determinar el potencialeléctrico al que se encuentra la esfera. b) Unimosla esfera a tierra mediante un hilo conductorlargo y delgado (de influencia despreciable).Calcular la magnitud de la carga eléctricainducida sobre la esfera. (Explicar y hacer losesquemas gráficos oportunos para cada apartado,indicando la posición de las cargas inducidassobre la esfera.)20.5.- Un disco de material dieléctrico, plano ycircular, de radio R, tiene una carga Quniformemente repartida sobre una de sus caras.Determinar el campo eléctrico y el potencial enun punto situado sobre el eje del disco a unadistancia z del centro del mismo.


Prob. 20.8

Prob. 20.11

Prob. 20.16

Prob. 20.17

20.6.- Una capa semiesférica de radio R, dematerial dieléctrico, posee una carga neta Quniformemente repartida. Determinar el campoeléctrico y el potencial en los puntos del espaciosituados sobre el eje de simetría de ladistribución de carga.20.7.- Una esfera conductora, de 4 cm de radio,se carga a un potencial de 1000 V. Determinar lafuerza electrostática que actuará sobre una cargapuntual de 1 μC al acercarla a las inmediacionesde la superficie de la esfera, en el supuesto deque la proximidad de dicha carga no modifique ladistribución de carga eléctrica en la esferaconductora.20.8.- Una esferasólida, no conductora,de radio R, tiene unacavidad de radio R/2como se indica en lafigura. La esfera poseeuna carga eléctrica Q,u n i f o r m e m e n t erepartida en todo suvolumen, con unad e n s i d a d ρ.a) Determinar el vectorcampo eléctrico en el centro de la cavidad.b) Ídem en el punto P que se indica en la figura.20.9.- Dos hilos conductores, rectilíneos yparalelos entre sí, separados por una distancia a,poseen una carga eléctrica, del mismo signo,uniformemente repartidas, con densidadesλ1 yλ2,respectivamente. Determinar el lugar geométricode los puntos en los que el campo eléctrico seanula.20.10.- Un cilindro dieléctrico muy largo, de10 cm de radio, está cargado uniformemente conuna densidad de carga ρ(volúmica) tal que elpotencial sobre la superficie del mismo es de200 V y a una distancia de 1 m de su eje es de100 V. a) Determinar el campo eléctrico y elpotencial a una distancia r del eje del cilindro.b) Calcular E y V a una distancia de 10 m del ejedel cilindro. c) ¿Qué trabajo habrá que realizarpara transportar una carga puntual de 1 mC desdeun punto situado a 10 m del eje a otro situado a1 m del mismo eje? ¿Dependerádicho trabajo delcamino que sigamos?20.11.- Calcular lavelocidad que debellevar un ión, de masam y carga +q para quepueda pasar entre lasarmaduras de uncondensadorcilíndrico,de radio r y separacióndespreciable, cargadasuniformemente cond e n s i d a d e ssuperficiales de carga +σy -σ, respectivamente.20.12.- Sobre dos esferas conductoras, de radios0.10 cm y 0.15 cm, se depositan cargas eléctricas

de +100 nC y +200 nC, respectivamente.Ponemos las esferas en contacto y luego lasseparamos de nuevo. Calcular la carga final y elpotencial de cada esfera.20.13.- Las armaduras de un condensador plano,de aire como dieléctrico, tienen una superficie Sy están separadas por una distancia l. Cargamosel condensador hasta que adquiere una carga Q ylo desconectamos de la fuente de carga.a) Calcular la fuerza de atracción entre lasarmaduras. b) Calcular el trabajo necesario paraseparar la placas una distancia Δl. c) Determinarla variación de energía almacenada en elcondensador al separa las armaduras unadistancia Δl.20.14.- Deseamos construir un condensadorplano utilizando goma como dieléctrico. Estagoma tiene una permitividad relativa igual a 3 yuna rigidez dieléctrica de 20 kV/mm. Elcondensador debe tener una capacidad de 150 pFy debe soportar una tensión máxima de 6 kV.¿Cuál será la superficie mínima que pueden tenerlas armaduras del condensador?20.15.- Las armaduras de un condensador planotienen una superficie S y están separadas unadistancia l. Entre ellas existe un dieléctrico cuyapermitividad relativa es 1.5. Se conectan lasarmaduras a una diferencia de potencial V.a) ¿Cuál será la carga del condensador? b) ¿Cuálserá la carga de polarización del dieléctrico?20.16.- Un condensadorplano, cuyas armadurastienen una superficie S yestán separadas por unadistancia 6h, separadaspor aire, se conecta a unadiferencia de potencialV0. Una vez cargado elc o n d e n s a d o r , s edesconecta de la fuentede alimentación y se introducen entre susarmaduras tres dieléctricos, de espesores h , 2h y3h, y constantes dieléctricas 1, 2 y 3,respectivamente, como se muestra en la figura.a) Determinar la d.d.p. entre las armaduras delcondensador después de introducir losdieléctricos. b) Determinar el valor del campoeléctrico en cada uno de los dieléctricos.20.17.- Calcular la capa-cidad de un condensadorplano con tres dieléctricosentre sus armaduras,distribuidos en la formaque se indica en la figura,sabiendo que su permitivi-dades relativas son igualesa 1, 2 y 3, respectivamente, que la superficie eficaz del primero es lamitad de total y que los otros dos tienen el mismoespesor.20.18.- Un esfera conductora, de radio R, estáenvuelta por una capa dieléctrica de espesor 3R y

20.- Campo eléctrico. 33

Prob. 20.19

Prob. 20.20

Prob. 20.21Prob. 20.22

Prob. 20.23

Prob. 21.1

Prob. 21.3

Prob. 21.2

permitividad relativa igual a 2. Calcular lacapacidad eléctrica del conductor.20.19.- Mediante el dispositivo que se ilustra enla figura, cargamos el condensador C1 (= 8 μF)manteniendo el interruptor S en la posición A. Enel instante en el que el voltímetro indica 1000 V,pasamos el interruptor S a la posición B,conectando el condensador C2 (= 2 μF).a) Calcular la energía almacenada en C1j u s t amen t e a n t e s de conmuta r e linterruptor.b) Determinar la carga final de cadacondensador y la indicación final del voltímetro.c) Calcular la energía almacenada, finalmente, encada uno de los condensadores.

20.20.- En la asociación serie-paralelo decondensadores que se muestra en la figura,determinar la capacidad y la tensión de rupturadel condensador equivalente entre los bornes A yB.

20.21.- Disponemos de un "condensador de aire"constituido por cuatro láminas metálicasidénticas conectadas entre sí como se indica en lafigura. Calcular la capacidad de estecondensador.

20.22.- En el circuito que se representa en lafigura, los dos condensadores están inicialmentedescargados. Pasamos el interruptor S a laposición A y lo mantenemos así hasta que se

carga el condensador de 10μF; a continuación, lopasamos a la posición B. Determinar la cargafinal de cada condensador y las tensiones quesoportan.20.23.- Asociación mixta de condensa-dores. Entre los bornes de la asociación decondensadores que se muestra en la figura seaplica una d.d.p. de10 V. Determinarla carga y la tensiónque soporta cadau n o d e l o scondensadores y lac a p a c i d a d d e lc o n d e n s a d o requivalente en cadau n o d e l o ss i g u i e n t e ssupuestos: a) Todos ellos tiene la mismacapacidad de 1 μF. b) Las capacidadesrespectivas son 1 μF, 1 μF, 2 μF, 2 μF y 5 μF.c) Ídem 1 μF, 2 μF, 3 μF, 4 μF y 5 μF.

21.- Corriente eléctrica.

21.1.- En el esquemade la figura, elamperímetro marca10 mA y el voltímetro10 V. Determinar lasresistencias internasdel amperímetro y delvoltímetro.

21.2.- En el montajeque se representa en lafigura, el amperímetro marca20 mA y el voltímetro 16 V.La resistencia interna delamperímetro es 20 Ω.D e t e r m i n a r : a ) L aresistencia interna delvoltímetro; b) Ídem de lapila; c) La d.d.p. entre losbornes de la pila; d) Lapotencia suministrada por la pila, la potenciautilizable y la potencia disipada en la resistenciade carga.2 1 . 3 . - E n e lcircuito que serepresenta en laf i g u r a , e lg a l v a n ó m e t r oacusa el mismopaso de corrientecualquiera que seala posición delc o n m u t a d o r .Determina r laresistencia internade la batería.


Prob. 21.4

Prob. 21.6

Prob. 21.7

Prob. 21.8

Prob. 21.9

Prob. 21.11

Prob. 21.13

21.4.- En el circuito que se representa en laf i g u r a a d j u n -ta: a) Determinarlas intensidades encada una de lasramas; b) Calcularlas d.d.p. entre AB,BC y CA, así comolos potenciales enlos puntos A, B yC. c) Ídem en lospuntos a, b y c.21.5.- Las aristasde un tetraedroestán formadas porresistencias. Lasseis aristas tienenla misma resistencia R. Hállese el valor de laresistencia equivalente entre dos vérticescualesquiera.21.6.- En el circuitoquesemuestraenlafigura,determinar la inten-sidad de corriente encada una de lasramas y la d.d.p. en-tre los puntos A y B.21.7.- En el circuitoque se representa enl a f i g u r a , e lvoltímetro marca

2 V y el amperímetro 3 A. Considerando elvoltímetro y el amperímetro como "perfectos",determinar la f.e.m. del generador y el valor de laresistencia R.21.8.- a) Determinar la resistencia equivalenteentre A y B en el esquema de la figura.b) Calcular la intensidad de la corriente en cada

una de las resistencias si entre A y B se conectaun generador de f.e.m. de 12 V y 3 Ω deresistencia interna.21.9.- En el circuito de la figura: a) Determinarla resistencia equivalente entre los bornes A y B.b) Calcular las intensidades de corriente en cadauna de las ramas cuando se conecta el circuito alde la batería, como se indica en la figura.

21.10.- En la figura adjunta, cada dos vérticesestán unidos por ramas de resistencia eléctrica R.Calcular la resistencia eléctrica equivalente entrelos nodos A y B en cada uno de los casossiguientes: a) existiendo la rama AB;b) eliminando la rama AB.

21.11.- Determinar la f.e.m. y la resistenciainterna del generador equivalente al circuito dese representa en la figura, entre los bornes A y B.21.12.- Disponemos de tres baterías eléctricas,cuyas f.e.m. y resistencias internas respectivasson: (8V; 4Ω), (10V; 5Ω) y (12V; 6Ω). Determi-nar la f.e.m. y la resistencia interna de la bateríaequivalente cuando las tres baterías dadas lasagrupamos: a) en serie; b) en paralelo. En cadauna de las dos agrupaciones consideradas,calcular la intensidady la potencia máximasque puede entregar laagrupación.21.13.- En el circuitoque se muestra en lafigura, los condensa-dores están inicial-mente descargados,cuando el interruptor

21.- Corriente eléctrica. 35

Prob. 21.14

Prob. 21.17

Prob. 21.19

Prob. 21.18

está abierto. a) Determinar el valor de lacorriente que suministra el generador de f.e.m. enel instante en que cerramos el interruptor.b) Ídem una vez que los condensadores se hancargado completamente. c) Calcular la cargafinal de cadacondensador.21.14.- Consideremos el circuitoque se representaen la figura unavez que loscondensadores seh a n c a rg a d ocompletamente.a) Calcular lacarga y la tensión que soporta cada condensador.b) Determinar el valor máximo aplicable de laf.e.m. del generador si las tensiones de ruptura delos condensadores son 100 V, 200 V y 300 V,respectivamente.21.15.- Disponemos de un galvanómetro, cuyaresistencia interna es de 50 Ω, que requiere unacorriente de 1 μA para que su aguja se desvíe alfinal de su escala. A partir de este galvanómetro,deseamos construir: a) un amperímetro que mida1 mA a fondo de escala y b) un voltímetro quemida 5 V a fondo de escala. Determinar, en cadacaso, el valor de la resistencia que deberemosañadir y como hay que colocarla, así como laresistencia interna del instrumento resultante.21.16 . - Conver t i r un galvanómet ro(100 μA/100 Ω) en un polímetro con los fondosde escala que se especifican: a) Voltímetro: 1 V,10 V y 100 V. b) Amperímetro: 100 mA, 1 A y10 A. En cada caso, hacer un esquema de loscircuitos.21.17.-Consideremosel circuito que seesquematiza en lafigura, inicialmentecon el interruptor Sabierto. a) Determi-nar las característicasd e l g e n e r a d o requivalente (f.e.m. yresistencia interna)entre A y B cuando cerremos el interruptor S.b) Desde el instante en que cerremos elinterruptor, calcular el tiempo que necesitará elcondensador, inicialmente descargado, paraadquirir la mitad de su carga final. c) Una vezcargado el condensador, abrimos el interruptor S.Calcular el tiempo que deberá transcurrir hastaque su carga se reduzca hasta la mitad.21.18.- El circuito que se muestra en la figuraestá constituido por cinco generadores de f.e.m.asociados “en puente”. a) Determinar la f.e.m. yla resistencia del generador equivalente entre A yB. b) Calcular la intensidad que suministra cadagenerador cuando cortocircuitamos A y B.

21.19.- Una línea de tranvía, de 10 km delongitud, está alimentada por dos generadores decorriente continua, de (1100 V, 10 Ω) y (1000 V,10 Ω) respectivamente, conectados cada uno enun extremo de la línea, como se muestra en lafigura. La resistencia eléctrica del cable y de lasvías son de 0.1 Ω/km. El tranvía requiere unaintensidad de corriente de 100 A para sufuncionamiento. Para una posición genérica, x

(km), del tranvía, determinar las intensidades ypotencias que suministran al tranvía cada uno delos generadores y la tensión de alimentación delmismo.21.20.- En una línea de transporte de corrientecontinua, que tiene 400 m de longitud y 1 mΩderesistencia, se ha producido una derivación atierra por un mal aislamiento. La corriente deentrada en la línea es de 50 A a 125 V y la desalida de 45 A a 106.5 V. Determinar el punto dela línea en el que se ha producido la derivación yla resistencia eléctrica de la misma (i.e., laresistencia de fuga).

22.- Campo magnético.

22.1.- Cuando una carga eléctrica de 2×10-9 C semueve sobre la bisectriz del ángulo definido porlos ejes cartesianos Oyz, con una velocidad de104 m/s, experimenta una fuerza dirigida en ladirección negativa del eje Ox. Cuando la mismapartícula se mueve con la misma velocidad en ladirección positiva del eje Ox, actúa sobre ella unafuerza de 2×10-5 N en la dirección positiva deleje Oy. a) Determinar la intensidad y direccióndel campo magnético uniforme que produce esas


Prob. 22.3

Prob. 22.4

Prob. 22.5

Prob. 22.6

Prob. 22.8

Prob. 22.9

Prob. 22.10

fuerzas. b) Calcular el módulo de la fuerza en elprimer caso.22.2.- Un electrón penetra con una velocidad de105 m/s en una región del espacio en la que existeun campo magnético uniforme, describiendo enella una trayectoria helicoidal de 4.93×10-8 m deradio y 1.8×10-7 m de paso. a) Determinar elángulo que formaba la trayectoria inicial delelectrón con la dirección del vector B.b) Calcular la intensidad del campo magnético.22.3.- Una partícula cargada, de masa m y cargaeléctrica q, se mueve con una velocidad v en elvacío. En estas condiciones, la partícula penetraen una zona, de anchura h, en la que existe uncampo magnético uniforme B, en direcciónperpendicular a dicho campo. a) Determinar elvalor mínimo de B para que la partícula no pueda

atravesar la zona. b) ¿Qué desviaciónexperimentará la partícula, tras atravesar la zona,si el campo magnético tiene un intensidad que esla mitad de la calculada en el apartado anterior?22.4.- Una varilla de longitud l posee una cargaeléctrica Q uniformemente distribuida. La varillagira, con velocidad angular constante ωalrededor de un eje perpendicular a ella y quepasa por un punto Osi tuado a unadistancia l del extre-mo más próximo dela varilla, en ladirección longi-tudinal de la misma.Calcular el valor delcampo magnético de inducción (B) en el punto O.22.5.- Una varillad i e l é c t r i c a , d elongitud l, posee unacarga eléctrica neta+Q repartida de talmodo que la densidadlineal de carga esd i r e c t a m e n t eproporcional a ladistancia a uno de sus extremos. La varilla giracon velocidad angular ω alrededor de un ejeperpendicular a ella y que pasa por el extremo enel que la densidad de carga es menor, como semuestra en la figura. Determinar el campo

magnético de inducción B en dicho extremo de lavarilla.22.6.- Determinar el valor delcampo magnético (B) en elpunto O cuando la espirarepresentada en la figura estárecorrida por una corriente deintensidad I.22.7.- Determinar el campomagnético de inducción en elcentro de una espira de hiloconductor, de forma hexagonal de lado a,recorrida por unaintensidad de corrienteI.22.8.- En la figura serepresenta una secciónde un largo conductorrectilíneo, de seccióncircular de radio 2R,con una cavidadcilíndrica de radio R.Como aplicación delteorema de Ampère,determinar el campomagnético B en el punto P (que se indica en lafigura), sabiendo que el conductor está recorridopor una densidad de corriente J (A/m2) constante.22.9.- Una varilla metálica gira con velocidadangular ω constante alrededor de un ejeperpendicular a ella y que pasa por uno de suse x t r e m o s ,deslizando sobreun anillo conduc-tor de radio l, co-mo se esquematizaen la figura. El ejede la varilla estác o n e c t a d o a lborne positivo deun generador def.e.m., cuyo bornenega t i vo es t ác o n e c t a d o a lanillo. Si existe uncampo magnético uniforme perpendicular alplano del anillo, determinar la velocidad angularque adquirirá la varilla.22.10.- Una varilla metálica gira con velocidadangular ω constante alrededor de un ejeperpendicular a ella yque pasa por uno des u s e x t r e m o s ,deslizando sobre unanillo conductor deradio l, como seesquematiza en laf i g u r a .Perpendicularmente alplano del anillotenemos un campomagnético uniforme.

Campo magnético. 37

Prob. 22.13

Prob. 22.14

Prob. 22.15

Prob. 22.16

Prob. 22.19

a) Determinar la intensidad de la corriente quecircula por la resistencia R. b) Calcular elmomento mecánico y la potencia que debemosaplicar a la varilla para mantenerla enmovimiento.22.11.- Determinar el campo magnético creadoen el centro de un aro circular, de radio R, queposee una carga eléctrica Q uniformementerepartida, cuando gira con una velocidad angularωalrededor de uno de sus diámetros.22.12.- Una esfera conductora hueca, de radio R,posee una carga neta Q uniformemente repartidasobre su superficie. Determinar el campomagnético de inducción (B) en el centro de laesfera cuando ésta gira con velocidad angular ωalrededor de uno de sus diámetros.22.13.- Por un conductorrectilíneo muy largocircula una corrienteeléctrica de intensidadconstante I. Una espiracuadrada, de lado a,c o p l a n a r i a c o n e lconductor, se aleja de éstecon una velocidad v cons-tante, como se indica en lafigura. Sea R la resistenciaeléctrica de la espira.a) Calcular la f.e.m. inducida en la espira y laintensidad de la corriente inducida en ella enfunción de la distancia x que se indica en lafigura. b) Determinar, en función de x, la fuerzaque hay que aplicar sobre la espira y la potenciadesarrollada por dicha fuerza, para mantener laespira en movimiento con velocidad constante.22.14.- Un cuadro formado por N espiras muyapretadas, deresistencia eléc-trica total R ylado a, se en-cuentra situadoen una posiciónfija del espacio(i.e., no puedetrasladarse ni gi-rar) como seindica en la figu-ra. Considere-mos la existenciade una campomagnético deinducc ión Buniforme, en la dirección del eje y, aunque noestacionario, ya que su intensidad varía deacuerdo con la expresión B = Bmáxsenωt .a) Determinar la intensidad de la corriente quecircula por las espiras del cuadro. b) El momentomecánico que actúa sobre el cuadro.22.15.- Los radios de las dos espiras coaxialesque se representan en la figura son a y b,respectivamente, siendo ab, y están separadaspor una distancia rb. Por la espira grande

circula una corriente alterna i = I senωt.Determinar la f.e.m. inducida en la espirapequeña, suponiendo que el campo magnético entoda la superficie de la misma sea igual al queexiste en su centro.22.16.- Una espira de hiloconductor, de formacuadrada de lado l, estásituada a una distancia l deun la rgo c o n d u c t o rrectilíneo contenido en elmismo plano que la espira,como se muestra en lafigura. El conductorrectilíneo está recorrido poruna intensidad de corrientealterna i = I sen ωt.a) Determinar el flujomagnético que atraviesa a laespira. b) Encontrar el coeficiente de inducciónmutua entre el conductor rectilíneo y la espira.c) Hallar la f.e.m. inducida en la espira.22.17.- Sobre el núcleo de un toro de revoluciónde sección cuadrada se enrollan 100 espiras dehilo conductor. El lado de la sección cuadradadel toro es 1 cm, el radio medio del toro es 5 cmy la permeabilidad magnética relativa delmaterial del toro es μr=1000. Cuando por elembobinado circula una corriente de 2 A,determinar: a) El valor medio del campomagnético en el toro; b) El flujo magnético en eltoro y el flujo ligado en el embobinado; c) elcoeficiente de autoinducción.22.18.- En el interior de un solenoide muy largo,de radio R1 y n1 espiras por unidad de longitud,tenemos otro solenoide muy corto, de radio R2 yn2 espiras por unidad de longitud, compartiendoel mismo eje longitudinal. a) Determinar elcoeficiente de inducción mutua entre ambossolenoides. b) Si por el solenoide exterior circula

una corriente alterna determinar

la diferencia de potencial entre los bornes desolenoide interior.22.19.- Dos bobinas tiene coeficientes deautoinducción de 5 mH y4 mH, respectivamente,y un coeficiente deinducción mutua de1 mH. La agrupación enserie de ambas bobinas


Prob. 22.22

Prob. 22.23

Prob. 23.3

Prob. 23.4

se puede hacer de tal forma que sus flujosmagnéticos se adicionen o se opongan.a) Determinar el coeficiente de inducción de laagrupación en serie de las bobinas cuando sesuman sus flujos. b) Ídem cuando se oponen susflujos.22.20.- Una bobina tiene una resistencia internade 3 Ω y un coeficiente de autoinducción de200 mH. a) ¿Qué diferencia de potencial existiráentre los bornes de la bobina cuando circula porella una corriente de 5 A aumentando razón de12 A/s? b) ¿Ídem cuando disminuye a razón de12 A/s?22.21.- Se observa que cuando por una bobinapasa una corriente de 6 A, creciente a razón de10 A/s, la diferencia de potencial entre los bornesde la misma es de 130 V. Además, se observaque cuando la corriente es de 7.5 A y decrece arazón de 20 A/s, la d.d.p. entre bornes es lamisma que en el casoanterior. Con estos datos,d e t e r m i n a r l aautoinducción (L) y laresistencia óhmica (R) dela bobina.22.22.- Consideremos elcircuito de la figura, en elq u e c e r r a m o s e linterruptor. Transcurridoun intervalo de tiemposuficientemente largo,calcular la intensidad en cada rama del circuito,las tensiones entre bornes de cada elemento y lacarga del condensador.22.23.- a) Cuando eninterruptor S está en laposición A, en elcircuito RL de lafigura circula unai n t e n s i d a d I .Determinar la energíaalmacenada en labobina. b) Pasamos elinterruptor a laposición B. Calcular el tiempo que deberátranscurrir para que la intensidad en la resistenciase reduzca al 37% de su valor inicial, así como laenergía disipada en la resistencia en ese tiempo.

23.- Corriente alterna.

23.1.- Para determinar las constantes R y L deuna bobina se la coloca en serie con unaresistencia pura y calibrada de 1 kΩy se midenlas caídas de tensión en esta resistencia, en labobina y en el circuito serie completo,obteniéndose los siguientes resultados a 50 Hz:180 V, 50 V y 220 V, respectivamente.

a) Dibujar el diagrama fasorial de tensiones.b) Determinar R y L.23.2.- Un circuito RLC-serie está conectado auna línea de 120 V/60 Hz y consume unaintensidad de 11 A adelantada 45respecto de latensión de alimentación. a) Determinar lapotencia suministrada al circuito y la resistenciaóhmica del mismo. b) Si la autoinducción delcircuito es 50 mH, ¿cuál es la capacidad presenteen el mismo? c) ¿Qué capacidad o autoinduccióndeberá añadirse, en paralelo, para corregircompletamente el factor de potencia?23.3.- En elc i r c u i t orepresentadoen la figura,la intensidadque circulapor la bobinaL es el doblede la quecircula por elcondensadorC 1 . L a stensiones quese indican son las medidas con un voltímetroentre los bornes de los correspondientescomponentes. Determinar: a) Los valores de L,C1 y C2. b) La impedancia total del circuito y sufactor de potencia. c) La tensión entre bornes enel generador y las intensidades en cadacomponente del circuito. d) La capacidad delcondensador que deberá conectarse en paralelocon el circuito completo para reducir el factor depotencia a 0.95. e) Dibujar los diagramasfasoriales de intensidades y de tensiones.23.4.- En el circuito representado en la figura,determinar: a) La intensidad de corriente en cadarama. b) La diferencia de potencial entre lospuntos A y B. a) La potencia y el factor depotencia. b) El valor de la capacidad del

condensador que deberemos colocar en paralelopara corregir completamente el factor depotencia.23.5.- En una red de 220 V y 50 Hz, deseamosinstalar una lámpara de incandescenciaespecificada para consumir 60 W a una tensiónmáxima de 120 V. Para hacer posible lainstalación, colocamos un condensador en serie

Corriente alterna. 39

Prob. 23.6

Prob. 23.7

Prob. 23.9

Prob. 23.8

Prob. 23.10

Prob. 23.11

Prob. 23.12

con la lámpara. a) Calcular las características dedicho condensador (capacidad y tensión detrabajo). b) Si la frecuencia real fuese de 60 Hz,¿qué potencia consumiría la lámpara antes ydespués de colocar el condensador calculado enel apartado anterior?

23.6.- La potencia total disipada en los elementosdecircuito que se muestran en la figura es1100 W. Determinar la potencia disipada en cadaelemento y la lectura del amperímetro.23.7.- En el puente de Wheatstone, concondensadores ,que se muestra enl a f i g u r a ,d e t e r mi n a r l arelación que debeexistir entre losvalores de lascapacidades paraque el puente estéen equilibrio (i.e.p a r a q u e e lamperímetro noacuse paso decorriente) para cualquier frecuencia de lacorriente alterna.23.8.- En el puentede Wheatstone, concondensadores yinductores, que semuestra en lafigura, determinarla relación quedebe existir entrelos valores de lascapacidades y delas inductanciaspara que el puente esté en equilibrio (i.e. paraque el amperímetro no acuse paso de corriente)para cualquier frecuencia de la corriente alterna.23.9.- En el circuitoque se representa enla figura, determinarlas frecuencias de lacorriente alternapara las que elcircuito a) dejapasar libremente yb) no deja pasar

(corta) en absoluto la corriente.23.10.- a) Enel circuitoparalelo dedos ramasq u e s eesquematizaen la figura,determinar lafrecuencia deresonancia enfunción delos valores de RL, L, RC y C. b) Aplicaciónnumérica: RL = 100 Ω, RC = 50 Ω, L = 200 mH yC = 5 μF. c) Si la tensión de alimentación es de25 V, calcular, en la resonancia, la intensidad quecircula por cada rama y la intensidad quesuministra el generador de c.a.23.11.- En el circuito que se representa en lafigura: a) Determinar la intensidad que circulapor cada una de las ramas; b) Determinar latensión que soporta cada elemento; c) Dibujar el

diagrama fasorial de intensidades y de tensiones.d) Calcular el valor de la capacidad quedebemos colocar en paralelo con el generadorpara corregir completamente el factor depotencia.23.12.- En el circuito que se representa en lafigura: a) Determinar la intensidad que circulapor cada una de las ramas; b) Determinar latensión que soporta cada elemento; c) Calcular lapotencia y el factor de potencia; d) Dibujar los

diagramas fasoriales de intensidades, detensiones y potencia. e) Calcular el valor de lacapacidad que debemos colocar en paralelo conel generador para corregir completamente elfactor de potencia.


Prob. 23.13

Prob. 23.14

Prob. 23.15

23.13.- En elc ircui to dec o r r i e n t ealterna que serepresenta enla figura, elinterruptor estáa b i e r t o .a) Determinarla intensidadque circula por cada rama. b) Calcular la d.d.p.entre bornes en cada elemento. c) Calcular lad.d.p. entre los puntos AB; d) Dibujar losdiagramas fasoriales de intensidades y detensiones. e) Repetir los apartados anteriorescuando el interruptor está cerrado.23.14.- En el circuitoque se muestra en lafigura, el alternadors u m i n i s t r a u n atensión alterna de 50Hz y en la resistenciade 4 Ωse disipa unapotencia de 16 W.a ) C a l c u l a r l aintensidad en cada rama y la tensión entre bornesdel generador, así como la intensidad de lacorriente suministrada por éste. b) Determinar elfactor de potencia de toda la carga. c) Evaluar lapotencia consumida y la potencia reactiva de lacarga y de cada uno de los elementos.

23.15.- En el circuito de la figura, la tensiónentre bornes de la bobina es el doble que latensión que soporta el condensador C1.a) Calcular la d.d.p. entre los bornes delgenerador y la intensidad que éste proporciona alcircuito. b) Determinar los valores de L, C1 y C2.c) Evaluar la impedancia total del circuito y sufactor de potencia.23.16.- Disponemos de dos cargas inductivas,cuyos valores a 50 Hz son Z1=22/60 Ω yZ2=10/30Ω, que se pueden conectar: a) en serie ob) en paralelo a la red de corriente alterna (220V/50 Hz). En cada uno de los casos, calcular laintensidad total que consumen, el factor depotencia y el la capacidad del condensadornecesario para corregirlo totalmente al colocarloen paralelo con el resto del circuito.23.17.- Conectamos a la red de 220 V/50 Hz doscargas en paralelo, de 10 Ωcada una y factoresde potencia respectivos iguales a 0.8 (inductivo)

y 0.6 (capacitativo). a) Determinar la intensidadtotal demandada a la red. b) Calcular la potenciaconsumida en cada carga. c) Determinar el f.d.p.de la carga total. d) Evaluar el elemento que hayque colocar en paralelo con toda la carga paracorregir totalmente el factor de potencia. ¿Cuálserá entonces la intensidad demandada a la red?23.18.- A una red de corriente alterna(220 V/50 Hz) se conectan, en paralelo, trescargas cuyas impedancias y factores de potenciason: 30 Ω/0.8 (ind), 40 Ω/0.7 (ind) y50 Ω/0.6 (ind). a) Determinar la intensidad de lacorriente suministrada por la red. b) Calcular elfactor de potencia del conjunto. c) Evaluar laspotencias activas y reactivas del conjunto.d) Encontrar la capacidad del condensador quehay que conectar en paralelo para corregirtotalmente el factor de potencia.23.19.- Se conectan a la red de corriente alterna(220 V / 50 Hz) los siguientes elementos:

* 250 lámparas fluorescentes de 40 W cadauna y un factor de potencia de 0.45 (inductivo).* 21 motores de 5 kW de consumo, cada uno, y

un factor de potencia 0.85 (inductivo).* un conjunto de pequeña maquinaria, con un

consumo total de 20 kW y un factor depotencia de 0.8 (inductivo).

* 50 bombillas de incandescencia de 100 Wcada una.

Determinar: a) La intensidad total que sesuministra. b) El factor de potencia del conjunto.c) La capacidad del condensador necesario paracorregir el factor de potencia a 0.95.23.20.- Se realiza la iluminación de una sala detrabajo con 200 lámparas fluorescentes de220 V/40 W y un factor de potencia de 0.4(inductivo). a) Determinar la intensidad total quelas alimenta. b) La capacidad de condensadorque deberá colocarse en paralelo a la entrada dela instalación para corregir totalmente el factorde potencia. c) La capacidad de loscondensadores que deberían colocarse enparalelo con cada uno de las lámparafluorescentes para corregir totalmente el factorde potencia. NOTA: Esta es una alternativa a la solucióndel apartado anterior.

23.21.- A una red monofásica de corriente alternade 220 V / 50 Hz se conecta un motor queconsume 4.5 kW, cuyo factor de potencia es talque se necesita colocar en paralelo con el motorun condensador de 0.1 mF para aumentarlo hastaun valor de 0.95. a) Determinar el factor depotencia no corregido del motor. b) Determinarla capacidad del condensador de corrección quedeberá añadirse (en paralelo) para corregirtotalmente el factor de potencia de la instalacióncuando se añade a la misma otro motor de 7 kWy factor de potencia 0.85.

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