Fundamentos Fundamentos Físicos Físicos

de de HemodinámicaHemodinámica

M.Sc. Adolfo Castillo MezaM.Sc. Adolfo Castillo MezaDepartamento de Física, Informática y Departamento de Física, Informática y

MatemáticasMatemáticasUPCH UPCH

Propiedades de líquidos y gasesPropiedades de líquidos y gases

S

n

TT ’

T ’

Sobre el elemento de superficie S actúan tangencialmente las tensiones T ’ , originando una resultante T.

La tensión actuante sobre la superficie será:

S

TP

nPn

Por otro lado:

knPjnPinPnP zzyyxx

Multiplicando escalarmente por i, j y k sucesivamente se obtiene que:

zyx PPPP

Es decir, en equilibrio, en cada punto la presión es igual (Ley de Pascal)

Ecuaciones de Equilibrio y Ecuaciones de Equilibrio y MovimientoMovimiento

P(x)

P(x + dx)

dx

dSdxxPxPdFx )]()([

La fuerza elemental que actúa sobre el elemento de fluído es originada por la diferencia de presiones entre los extremos:

Pero: dxx

PdxxPxP

)()(

Entonces:

dVx

PdSdx

x

P

De modo que podemos definir

x

Pf

dV

dFx

x

Fuerza por unidad de volumen

Por analogía definimos las restantes dos componentes:

z

Pf

y

Pf

x

Pf zyx

;;

y

Pgradf

kz

Pj

y

Pi

x

Pf

Ecuación fundamental de la Ecuación fundamental de la hidrostáticahidrostática

Fuerza que

actúa sobre el líquido

Por III Ley de Newton, de parte del líquidode parte del líquido actuará una fuerza:

Pgradestando el sistema en equilibrio. Si no está en equilibrio su ecuación de movimiento será (expresada por unidad de voumen):

Pgraddt

vd

Pgrada

ECUACION DE EULER

Si el líquido se halla en un campo gravitacional, en equilibrio:

gf

Por componentes: gz

P

y

P

x

P

;0

E integrando a lo largo del eje OZ: zgPP o

P(0) – Presión atmosférica a nivel del mar

De la ecuación de Mendeleev:

RT

P

tenemos:

zRT

gPP

dzRT

g

P

dP

zTTPRT

g

dz

dP

o

exp

)(,

FORMULA BAROMETRICA

Para líquidos en movimiento:

S1

S2

v1

v2

Volumen 1 = Volumen 2

constvSvS

dtvSdtvS

2211

2211

Se obtiene la ECUACION DE ECUACION DE CONTINUIDADCONTINUIDAD.

h1

h2

h

v1

v2

En términos de energía y trabajo:

AEE 12

donde:

E2- Energía mecánica total en 2

E1- Energía mecánica total en 1

A – trabajo de las fuerzas externas que trasladan la masa de líquido de 1 a 2

S1

S2

Recordemos que E = K + U, de modo que:

222

111

²2

1

²2

1

mghmvE

mghmvE

y el trabajo total, realizado por las fuerzas originadas por la diferencia de presiones entre los extremos del tubo, será:

)()( 222111

2211

tvSPtvSP

lFlFA

Trabajo parcial en 1 –

Trabajo parcial en 2

Trabajo parcial en 1 – Trabajo parcial en 2

Igualando ambos miembros de la ecuación de energía:

112122

22 2

1

2

1PghvPghv

volumenVtvStvS )()( 2211

Pero:

De modo que, finalmente, al dividir todos los términos por V:

)()(2

1

2

12221111

212

22 tvSPtvSPmghmvmghmv

Ecuación de Bernoulli

Donde:

i

i

i

P

gh

v

2

2

1 Presión dinámica

Presión manométrica de la columna de líquido

Presión registrada en el extremo del tubo

Si h1 h2:1

212

22 2

1

2

1PvPv

Y para un tubo curvo:

S1

S2

v1

v2

F ’

F

dt

vmd

dt

pddt

pd

dt

pd

)(

0'

Ley de conservación de momentum, consecuencia de la III Ley de Newton para un sistema cerrado.

Ley de Conservación de Momentum

Ley de Conservación de Momentum

Entonces:

)(

0

)(

,:

.

.

12

12

2112

2222

1111

vvSvFdt

pd

t

tvvSvp

vvvSSSpero

vtvSp

vtvSp

Fuerza que actúa sobre el punto de inflexión del tubo.

Fuerza que actúa sobre el punto de inflexión del tubo.

VISCOSIDADVISCOSIDADTomemos dos placas de superficie S situadas a una distancia h una de la otra, y asumamos que la placa superior se mueve con velocidad vo y la inferior permanece en reposo.

vo

h

F

-F

S

vo

h

F

-F

S

La fuerza con la cual la placa inferior se opone al movimiento será (por módulo) proporcional a la velocidad relativa de desplazamiento vo, la superficie de las placas S, e inversamente propocional a la distancia h entre ambas. Esto fué establecido experimentalmente por Newton.

Es decir:

h

vSF o

Coeficiente de

Rozamiento interno

Y si ambas placas se mueven con velocidades colineales v1 y v2:

h

vvS

h

vSF rel 12

Nótese que aparece una dependencia de la velocidad respecto a la distancia entre placas

Sea: yh

y

vSF

Podemos reescribir la expresión anterior como

Y en el límite, cuando y 0:

dy

dvS

dy

dvSF x

La velocidad longitudinal varía respecto al eje perpendicular OY (altura)

Tomemos un tubo recto donde la corriente es estacionaria:

P(x)

P(x + dx)

R

dx

S

En este caso, tanto la superficie transversal como la lateral S serán funciones de r, y la velocidad también.

)(),(),( rvvrSSr

La fuerza elemental de rozamiento (viscosidad) actuante en función de r será:

dr

dvrdxdF 2

Superficie lateral S del cilindroY entre las bases del cilindro actuará una

fuerza elemental neta:

dxdx

dPrdF

dxxPxPdF

²

.)()(

Como la corriente es estacionaria, quiere decir que F = 0, entonces:

dx

dPr

dr

dv

dxdx

dPrdx

dr

dvr

2

²2

Además,

l

PP

dx

dP 12 en virtud de que la corriente analizada es estacionaria, y como consecuencia el comportamiento de la presión es lineal respecto a x. Aquí l es la longitud del tubo.

Llegamos a la ecuación diferencial:

rdrl

PPdv

221

Integrando con los límites respectivos:

²²4

)(

²²4

)(

2

12

210

rRl

Prv

rRl

PPrv

rdrl

PPdv

R

rv

1. La velocidad máxima se alcanza en r = 0, en el eje longitudinal .

²4max Rl

Pv

2. La distribución de velocidades respeto a r es parabólica:

R

-R

X

r

En cuanto al “gasto” de líquido, es decir, masa de líquido que atraviesa la superficie S en una unidad de tiempo:

4

0

8

²)²(4

2

2

²,

Rl

PQ

rdrrRl

PQ

rdrvdQ

rSvdS

dQ

R

Ley de Ley de PoisellePoiselleLey de Ley de PoisellePoiselle

Analice los límites del sistema circulatorio a la luz de la relación encontrada.

Analice los límites del sistema circulatorio a la luz de la relación encontrada.

Número de ReynoldsNúmero de ReynoldsUna corriente puede ser laminar, si las líneas de velocidad de las partículas no se cruzan, o turbulentas en caso contrario.

El tipo de carácter de la corriente está determinado por el valor del Número de Reynolds.

Si Re 2000 o mayor, la corriente es turbulenta

vDRe

Diámetro del tubo

Sistema circulatorio – Efecto Fahraeus - Linqdvist

En vasos delgados, la sangre se comporta como si fuera solamente plasma.

Los eritrocitos se acumulan hacia el eje, por lo que la viscosidad se incrementa hacia el centro

La gradiente de velocidad se invierte, moviéndose el líquido más rápido cerca de las paredes

Al “reducirse” la viscosidad, la diferencia de presión necesaria para mantener el flujo es menor.

Sistema circulatorio – Efecto Fahraeus - Linqdvist

En vasos más pequeños (5 - 7m):

Los eritrocitos copan el vaso deformándolo, el movimiento se produce como una oruga.

Comparación entre el comportamiento de un líquido ideal y la sangre

Si bien los capilares son delgados, están agrupados en paralelo, lo que hace que su sección total sea mayor. Por Ley de Bernoulli:

constghvP ²2

1

Velocidad (cm/s) Presión (mm Hg)

50

40

30

20

10

0

120

80

40

Curva Teórica

Curva real

En forma más detallada:

CapilaridadCapilaridad

Tomemos una superficie a la cual trataremos de manetener estirada, evitando que tome su forma natural (esférica). Para ello aplicaremos una fuerza f tangente a la superficie y perpendicular a la línea de separación del medio (de longitud l):

fl

lf

Coeficiente de Tensión superficial

= ( T )

Tensión SuperficialTensión Superficial

El trabajo elemental a realizar para expandir (sin incremento de temperatura) el área en una longitud dx será:

l

dx

f dS

ldxfdxdA

Pero dA se va completamente en incrementar la energía de la película en dE:

dS

dE

dSdE

Energía libre (parte de la energía que puede

transformarse en trabajo por vía isotérmica)

Ejemplo: Tomemos n gotas de 2.10-3 mm de radio (r) y formemos una sola gota de R = 2mm.

22

21

12

22

21

.4

)(

4

.4

Rnr

SS

SSA

RS

nrS

Pero Volumen 1 = Volumen 2

3

3

33

3

4

3

4

r

Rn

Rnr

Trabajo de compresión, S2 < S1

1²4r

RRE

Para el agua = 73 dinas/cm.

JE 310.5.3

Presión debida a la curvatura de una Presión debida a la curvatura de una superficie libre:superficie libre:En un campo gravitacional, toda superficie tiende a ser plana. En caso de encontrar un límite físico (p.e. las paredes de un vaso) al tender a ser plana puede ocurrir cualquiera de las siguientes situaciones:

Superficie convexa

La superficie presiona sobre las capas inferiores, sobrepresión positiva

Superficie cóncava

La sobrepresión es negativa, pues la capa superior “tira” de las capas inferiores

Veamos cuál es la magnitud de esta sobrepresión para una superficie esférica, para lo cual analizaremos un casquete de superficie S:

df df

R

R

r

dl

Para la figura:

dldf

Pero es df la

que ejerce la presión sobre el líquido

dl

dfdf

sin

sin

Entonces, para todo el contorno:

R

rf

R

rpero

rf

dldffL L

22

sin:

2sin

sin

La presión actuante será:

RrR

rP

r

f

S

fP

22

2

2

2

La presión es inversamente proporcional al radio de la esfera. A menor radio, mayor presión actuante para un mismo

¿En qué dirección cree que fluirá el aire?

En este caso, guiarse por el radio es mala idea. El aire fluye de donde hay mayor presión a donde hay menor presión.

¿Por qué tenemos bronquiolos y alveolos pulmonares en lugar de tener solamente el pulmón como un sistema de fuelle?

Para una superficie cualquiera, la sobrepresión es:

R1

R2

1

2

21

11

RRP

Para un clindro:

RP

¿Qué pasa en los capilares?

Una vez analizado el líquido, veamos que ocurre cuando el líquido está en contacto con un cuerpo sólido (las paredes del recipiente).

En este caso extstirán dos tipos de fuerzas:

1. Entre las moléculas del mismo líquido

2. Entre las moléculas del líquido y el sólido

Posibilidades

1) La fuerza actuante entre las moléculas del líquido es mayor que la fuerza actuante entre ambos cuerpos2) Las fuerzas intermoleculares dentro del líquido son menores que las fuerzas que actúan entre ambos cuerpos.

Caso 1: El líquido NO moja el sólido. La fuerza resultante está dirigida HACIA el líquido

Esto ocurre cuando , el ángulo de contacto, es mayor o igual a /2. Si = , el líquido no moja en absoluto.

Caso 2: Las fuerzas de cohesión (entre las moléculas del líquido) son menores que las de adherencia (entre el líquido y sólido). En este caso el líquido moja al sólido. La fuerza resultante está dirigida hacia afuera del líquido.

Cuando el águlo de contacto es menor a /2, el líquido moja al sólido.

h

R

r

Calculemos a qué altura se elevará una columna de líquido que moja un tubo.

RP

2

Y la presión de la columna: ghP

En equilibrio:

grh

ghr

rRgh

R

cos2

cos2cos

,2

¿Y en este caso, ¿cuál será la altura?

En este caso:

0

0cos

h