Fundamentos de Relatividad General

8/13/2019 Fundamentos de Relatividad General

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Fundamentos deRelatividad GeneralConceptos y recursos matemáticos de relatividad restringida y general

Armando Martínez



Fundamentos de Relatividad General Prologo

Prof. Armando Martínez Página 1





Indice de contenidos

Prologo .................................................................................. 4

Movimiento absoluto ........................................................... 18

Un descubrimiento sorprendente ........................................ 26

La física es parada de cabeza ............................................... 34

Las consecuencias directas de la teoría ................................ 50

El experimento que antecedió a la teoría .............................. 68

Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski ....................... 80

Las transformaciones de Lorentz ....................................... 104

Representaciones matriciales ............................................. 122





Prologo

Surge este trabajo ante una ausencia de texto alguno en español acerca de la

Teoría de la Relatividad que abarque no sólo la aplicación de las fórmulasfundamentales (que es algo a lo que se limitan muchos libros de texto) sino lafilosofía fundamental sobre lo que es realmente la Teoría de la Relatividad, cómo sefueron desarrollando las ideas hasta llegar a ella.

Resulta lamentable que muchos libros de texto sobre este tema se limitan areproducir algunas fórmulas aplicando dichas fórmulas a unos cuantos ejemplosparticulares, dejándole al estudiante muchas dudas e inclusive cierto grado deperplejidad ante lo que parecen ser efectos sacados de un baúl de trucos de magia y paradojas aparentes que hacen dudar sobre las bases de la teoría. Aunado a lo

anterior se enfrenta el obstáculo de que los efectos físicos que son consecuenciadirecta de la Teoría de la Relatividad no son apreciables en nuestra experienciacotidiana dado que tales efectos sólo salen a relucir a velocidades comparables a lavelocidad de la luz, la cual es extraordinariamente alta (300 mil kilómetros porsegundo). Si la velocidad de la luz fuese de unos 2 mil kilómetros por segundo,seguramente estaríamos acostumbrados a sus efectos y la Teoría Especial de laRelatividad sería comprendida en sus efectos hasta por un niño de primaria por lafamiliaridad diaria con sus consecuencias.

La ausencia de un buen libro introductorio en español e inclusive en inglés quele permita al lector no sólo comprender lo que es la relatividad sino que además le

permita llevar a cabo la resolución de problemas numéricos o inclusive problemasgeneralizados es notoria. Así tenemos libros introductorios escritos para el públicoen general como el libro “The Relativity Explosion” de Martin Gardner , el cual intenta

describir de manera detallada las filosofías que están detrás de las conclusiones ydescubrimientos de la Teoría de la Relatividad, pero el cual por su ausencia defórmulas y números aplicados sobre dichas fórmulas a casos particulares deja a suslectores funcionalmente iletrados en lo que es la relatividad. Después de leer en sutotalidad tal libro lo más seguro es que no podrán resolver ni siquiera un soloproblema así sea sencillo que involucre fenómenos relativistas. Por otro lado,tenemos libros de texto universitarios como el libro “ Foundations of Modern Physics”

de Paul A. Tipler , el cual en las 51 páginas de las que consta el primer capítulo dellibro enseña de manera concisa a sus lectores a resolver problemas simbólicos y





numéricos relacionados con la Teoría Especial de la Relatividad, pero no recurrepara nada a los diagramas espacio-tiempo concebidos originalmente por Hermann

Minkowski, tan esenciales para poder obtener una perspectiva geométrica sobre los

fenómenos relativistas. La didáctica utilizada por Tipler es una didáctica puramentealgebraica, y al prescindir por completo de los diagramas espacio-tiempo limita lasperspectivas de entendimiento de sus lectores, sobre todo en asuntos queinvolucran la simultaneidad, un fenómeno que se puede captar claramente en undiagrama espacio-tiempo. Por si esta deficiencia fuese poca, el libro de Tipler no dani siquiera la más remota pista a sus lectores acerca de lo que trata la Teoría Generalde la Relatividad.

Los diagramas espacio-tiempo sí son utilizados en el libro “ Física” (en su versión

en Español) de los autores Francis W. Sears y Mark W. Zemansky, lo cual da una buena

perspectiva geométrica a los lectores sobre la interpretación de los fenómenosrelativistas, pero lo que por un lado generosamente dan con los diagramas espacio-tiempo (a los cuales llaman diagramas Brehme) por el otro lado lo quitan al omitir

(seguramente por la naturaleza introductoria del libro aunque se trate de un textouniversitario) totalmente no sólo la derivación de las fórmulas de transformaciónLorentz-Fitzgerald sino toda la filosofía básica que subyace a los postulados básicosde la Teoría de la Relatividad, como tampoco hacen mención alguna a lo máselemental que yace detrás de la Teoría General de la Relatividad. De este modo, laperspectiva filosófica y la perspectiva algebraica son sacrificadas en aras de laperspectiva geométrica. Por otro lado, el libro “Space, Time and Gravity” de Robert M.Wald no lleva a cabo ni siquiera una introducción decente a los diagramas espacio-

tiempo en menos de las cinco páginas que le dedica a tal cosa, para luego saltardirectamente hacia la Teoría General de la Relatividad presentando un conjunto defórmulas que los lectores no tienen ni siquiera la más remota idea de dóndepudieron haber salido. Los materiales propios requeridos para el estudio de la Teoríade la Relatividad se encuentran tan dispersos que inclusive en el venerable libro“ Mathematical Methods for Physicists” de George Arfken (tercera edición, 1985), el

importantísimo tensor de Riemann tan fundamental para la geometría diferencial y el

estudio del espacio-tiempo curvo, en vez de cubrirse en una sección dedicada única y exclusivamente a dicho tema, es relegado a uno de varios problemas en el capítulo3.2 del libro, sin hablarse después más del asunto. ¡Y este es precisamente el librode texto convencional usado por años en las universidades para educar a los físicosen el uso de las herramientas matemáticas que todo físico necesita para podercontinuar adelante con estudios más especializados!

Y si no les enseñan en este libro mucho sobre el tema, ¿entonces en dóndeesperan que lo puedan aprender si no es que por cuenta propia? El libro “ Física

Moderna” de Ronald Gautreau y William Savin (de la Serie de Compendios Schaum)

podría haber sido una buena opción, excepto que no da una génesis coherente sobreel desarrollo de las ideas que condujeron a la Teoría Especial de la Relatividad, nihabla en lo absoluto acerca de los diagramas de Minkowski ni toca para nada eltema de la Teoría General de la Relatividad.

Y el libro “ Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería” de Robert Resnick y David Halliday es todavía peor en el sentido de que simplemente se limita a reproducir

varias de las fórmulas propias de la relatividad, sin entrar en detalle sobre los

orígenes filosóficos de la teoría y sin incluir mención alguna acerca de la existenciade los diagramas espacio-tiempo. Enfatiza la aplicación de las fórmulas a los





ejemplos numéricos sobre los cuales se pueden aplicar directamente las fórmulassin explicar realmente lo que está sucediendo. Lo cual tiene la desventaja de quehay muchos problemas sencillos que se pueden postular en un curso introductorioque no pueden ser resueltos con la mera aplicación de fórmulas aprendidas comodogmas traídos por un ser superior, problemas para los cuales es necesario

comprender exactamente lo que está sucediendo. No se puede tratar de resolverlotodo o inclusive una ínfima parte del todo simplemente multiplicando o dividiendopor:

1

Como acostumbran a hacerlo muchos principiantes. Si no se sabe cómo fueobtenida una fórmula, menos se sabrá como modificar la fórmula para aquellos

casos en los que el problema sea alterado un poco. Esta metodología para lo únicoque es buena es para memorizar, no para comprender, y ha sido la causante de quemuchos estudiantes que simplemente se limitan a aplicar las fórmulas terminencon la impresión equivocada de que la relatividad es algo repleto de efectos casimágicos, posibles ilusiones ópticas, o finalmente que se trata de una teoríaequivocada. Y muchos, que frustrados, tratan de aprender por cuenta propia lo quees la Teoría de la Relatividad y se en las pocas bibliotecas técnicas que hay en Méxicocon libros en los que es tema es tratado de una manera rigurosa e inclusive pedanteen la cual se obscurecen conceptos esenciales con formalismos notacionales que noilustran mucho lo que se está estudiando.

De este modo, en lugar del estilo relajado utilizado por matemáticos como Henri

Poincaré que se explayaban en sus trabajos dando todo tipo de ejemplos ilustrativos,esforzándose por hacerle entender a sus lectores las ideas que les quería transmitir.Lo que se tiene en muchos casos son textos que adoptan un rigorismo axiomáticoen el cual no se proporciona un solo ejemplo ilustrativo y que sólo se limitan a laderivación de teoremas a partir de los axiomas y definiciones que se van dando,siguiendo el método moderno para la publicación de trabajos científicos inspiradopor el grupo Bourbaki con el cual se elimina todo lo que no es considerado estricta y absolutamente indispensable. Eliminándose muchos pasos intermedios que sesuponen “obvios”, aunque ello implique dejar a los lectores con muchas dudas. Si

antes se tenía un formalismo moderado con el cual se dificultaba captar la

naturaleza esencial de las ideas transmitidas, con el formalismo axiomático rigurosode hoy en día en muchos casos no se tiene ni siquiera la más remota idea de lasposibles aplicaciones o la posible trascendencia de aquello de lo que se estáhablando.

En el camino de forjar una teoría generalizada en grado extremo, abstracta porexcelencia, con un conjunto mínimo de axiomas y postulados, definiendo algunostérminos básicos, derivando teoremas y empleando estrictamente las reglas de lalógica simbólica, obtener resultados y corolarios y continuar derivando teoremas sinun solo ejemplo ilustrativo e inclusive sin recurrir a un solo diagrama, puede dejarla impresión en muchos de que en ese largo recorrido se están pasando por alto o

se están perdiendo ideas importantes.





Los rigoristas de hoy han olvidado que si no se le puede poner números a aquellode lo que se está hablando en realidad se sabe muy poco o tal vez no se sepa nadaacerca de lo que se está hablando, y a ellos se les podría recordar la máxima de LordKelvin quien señaló:

“Yo digo frecuentemente que cuando uno puede medir aquello de lo cual se estáhablando, y expresarlo en números, entonces uno sabe algo acerca de ello”.- Lord Kelvin -

Y procediendo de una manera rigurosamente axiomática, formalista, bastaríantan sólo unas dos o tres páginas para decirle al lector que todo lo que tenga que vercon la Teoría General de la Relatividad se puede derivar de tan sólo dos ecuaciones:

8 ⋅

Γ ∙ ∙

Lo cual es cierto. E inclusive, adentrándonos en el rigorismo, podríamoscomenzar postulando a la siguiente cantidad conocida como la “acción”, (el

integrando es un concepto físico importante conocido como el Lagrangiano) como

punto de partida de la Teoría General de la Relatividad:

∫ 12 ∙

Habido el hecho de que a partir de la “extremización” de la acción (con la ayudadel cálculo de variaciones que es esencialmente un refinamiento del procedimiento

para obtener máximos y mínimos mediante el cálculo infinitesimal) se puedenderivar axiomáticamente las ecuaciones de campo de Einstein de la RelatividadGeneral. Pero nadie en su sano juicio esperaría que algún lector sin experienciaprevia en el asunto empiece a resolver de buenas a primeras problemas a partir delos anteriores enunciados matemáticos como lo haría alguien que haya tomado unbuen curso previo sobre la materia.

Se pueden tomar las ecuaciones anteriores como postulados, y con unas cuantasdefiniciones que se vayan agregando en el camino, se pueden ir derivando teoremas,lemas y corolarios con los cuales se pueden seguir derivando más teoremas, y máslemas y más corolarios, y así la cosa hasta el infinito . Pero... ¿realmente se entiendeaquello de lo que se está hablando? La derivación mecánica de resultados aplicandolas reglas de la lógica es algo que, estrictamente hablando, lo puede hacer cualquiermáquina programada para ello. Aunque hasta la fecha son pocos, inclusive los másoptimistas en el campo de la inteligencia artificial, los que esperan realmente quede una máquina, aplicando a ciegas las leyes de la derivación lógica, pueda saliruna idea nueva.

Otro obstáculo en el estudio independiente de la Teoría de la Relatividad lo

constituye el hecho de que un mismo símbolo es usado frecuentemente pararepresentar conceptos totalmente diferentes, como la letra griega delta minúscula





que es usada para representar el símbolo delta de Kronecker , y es usada

también para denotar la derivada absoluta, y es usada también para denotar lafunción delta de Dirac, y en el cálculo de variaciones se utiliza para representar lavariación de una integral a ser extremizada. Esto desde luego podría ser solventadoinventando una cantidad creciente de nuevos símbolos que a fin de cuentas sóloreemplazarían una complejidad por otra (la primera opción, retener un mismosímbolo para representar cosas distintas, parece ser mejor que la segunda).

La contraparte son las definiciones matemáticas para las cuales no hay unaconvención universalmente aceptada, como el hecho de que en muchos libros loscomponentes de los vectores covariantes son representados con índices subscriptos(sub-índices) y los componentes de los vectores contravariantes son representadoscon índices superscritos (superíndices), mientras que en muchos otros libros selleva a cabo precisamente lo contrario representando los componentes de losvectores covariantes con índices superscriptos y los componentes de los vectorescontravariantes con índices subscriptos; o como ocurre con los símbolos de

Christoffel que no sólo son representados con la notación usual gamma y sino que también son representados con paréntesis rectangulares , y connotación de corchetes , lo cual sólo aumenta la confusión en los iniciados al ir deun texto a otro.

Un libro muy bueno que tal vez sea una excepción a la regla de los libros pedantes,fanfarrones o incompletos sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad es el

libro “ Relativity” de Bernard F. Schütz, el cual tiene la enorme ventaja de que incluye

al final del libro pistas y soluciones a los ejercicios de práctica propuestos en el libro,con los cuales el estudiante autodidacta puede ver por sí mismo qué tan bien hacomprendido el material. Desafortunadamente, este libro es un libro en inglés, queaún (2009) no ha sido traducido al español, que no está disponible en la granmayoría de las bibliotecas técnicas y universitarias de la República Mexicana, y deque se trata de un libro impreso no en los Estados Unidos sino en Inglaterra oAustralia o algún otro país miembro del Commonwealth, dificulta obtener el libro.

Otro problema en intentar comprender realmente de lo que trata la Teoría de laRelatividad frecuentemente es que la tarea es complicada por maestros que nosaben explicar bien aquello de lo cual saben mucho, o peor aún que saben darexplicaciones perfectamente claras acerca de cosas sobre las cuales saben yentienden muy poco. Estoy convencido de que la única razón por la cual una

persona se resigna a perder miles de horas de su corta vida calentando pupitres,sin aprender mucho o inclusive nada de aquellos malos maestros de los cualesdebería de estar aprendiendo muchas ideas nuevas, privándose a la vez de otrassatisfacciones que podría obtener de la vida, es porque tiene que cumplir con unrequisito obligatorio aplicado por igual a todos los estudiantes. Aguantar a esosmalos maestros como un mal necesario de la vida ante el cual solo queda resignarse,mientras los cursos académicos felizmente lleguen a su fin.

Otro estorbo en la difusión de las ideas fundamentales que hay detrás de la Teoríade la Relatividad es la formidable (e injustificada) reputación de que se trata de unateoría extremadamente complicada para la cual se necesita ser un genio para poder





comprenderla. Una anécdota que viene al caso es una entrevista realizada alProfesor Arthur Stanley Eddington, en la cual el entrevistador pregunta:

“Profesor Eddington, ¿es cierto que sólo hay tres personas en el mundo que entiendenla teoría de Einstein?”, a lo cual supuestamente Eddington le responde: “¿quién es la tercera?”

Como si todo lo que ya se ha señalado no fuesen suficientes intimidaciones,obstáculos e impedimentos para dificultarle al principiante el tratar de aprender porcuenta propia los aspectos relevantes de la Teoría de la Relatividad, otro problemacon el que nos topamos es, que no sólo hay autores que omiten pasos de desarrolloque tal vez para ellos serán muy obvios pero que no son nada obvios para quienestá tratando de entender cada paso, sino que inclusive incurren en lo que parecenser errores sin dar justificación alguna a la lógica empleada por ellos para asentartales errores dándolos como hechos ciertos e incontestables. Un ejemplo entremuchos lo podemos tomar del reverenciado libro “ A First Course in General Relativity”

del muy respetado y alabado autor Bernard F. Schütz, en donde podemos leer en lasección 10.7 de su libro titulada “ Realistic stars and gravitational collapse” una

derivación del momentum de Fermi que invoca al principio de incertidumbre de

Heisenberg para afirmar que para un electrón encerrado en una caja de volumen ,el momentum de dicho electrón es incierto por una cantidad del orden de (ecuación10.71 en el libro): ℎ−/

Qué viene siendo lo mismo que: · ℎ

En donde ℎ es la constante de Planck:ℎ 6.626 · 10− ·

ℎ 4.136 · 10− ·

Lo primero que salta a la vista es que la ecuación dada por Schütz esdimensionalmente incorrecta. No existe forma alguna en la cual se puedancompaginar las unidades. Ello deriva del hecho de que la relación usual de laincertidumbre de Heisenberg es una fórmula unidimensional:

∆ ∙ ∆ ≥ ℎ4

El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser extendido rigurosamente,desde luego, de una dimensión a tres dimensiones. Pero la fórmula así obtenida nose asemeja a la fórmula dada por Schütz. En una ciencia en la que hasta diferenciasnuméricas minúsculas - después de la tercera o la cuarta cifras significativas - enlas masas de dos elementos distintos son importantes para calcular la enormecantidad de energía liberada mediante el proceso de conversión de masa a energía.Estas omisiones en las que con toda la naturalidad del mundo una potencia lineales reemplazada por una potencia cúbica o viceversa son francamenteimperdonables. Y si el lector intenta justificar por sí mismo la fórmula dada por





Schütz, encontrará que el 99 por ciento de los libros que pueda consultar le daránla fórmula de Heisenberg en su versión unidimensional, no en su versióntridimensional. Y cuando se la dan es probable que se la den como parte de unejercicio puesto al final del libro para el cual no se da solución alguna dentro dellibro. Complicando aún más las cosas está el hecho de que la derivación dada por

Schütz ni siquiera es la derivación usual que se da al momentum de Fermi, ya quemientras que Schütz parte del principio de incertidumbre de Heisenberg, laderivación usual de la fórmula que se da en la gran mayoría de los libros deMecánica Cuántica para el momentum de Fermi recurre a la especificación deniveles energéticos extendidos a lo que llamamos una esfera de Fermi encerrada

dentro de una superficie de Fermi:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy

Por lo que podemos ver, la derivación dada por Schütz es una derivación muy sui

generis, partiendo de una base que para él parece estar totalmente justificada y queno requiere mayores explicaciones al lector, y si lo que Schütz omitió en su libroresulta ser muy claro para él entonces se supone que debe ser también muy claropara todos sus lectores y para los maestros que adopten su libro como libro de texto,aunque desafortunadamente esto no sea el caso.

Otro punto de contención que se puede formular en contra de muchos textos“clásicos” es el hecho de que asumen demasiadas cosas por enseñadas o explicadas

en otros textos considerados más elementales. Un ejemplo lo podemos ver en lasegunda edición del libro “Classical Electromagnetic Radiation” de Jerry B. Marion y

Mark A. Heald en el Apéndice C “Fundamental Constants”, en donde para la carga

eléctrica del electrón se proporciona un valor de 4.803×10− , ydebajo de dicho valor proporciona un valor de ² 1.440 × 10− · sin darmayores explicaciones al respecto, lo cual puede dejar perplejo al lector. Pero nosólo no proporciona explicación alguna en dicho apéndice sobre el por qué o la formaen la cual se llevó a cabo esta conversión. Tampoco dentro del libro hace menciónalguna al respecto, suponiendo que la razón para esto seguramente fue enseñadaen otros textos más elementales. Y además la gran mayoría de los textosconsiderados más elementales, no hace tampoco mención alguna sobre el origen deesto, suponiendo que tal cosa será cubierta en mayor detalle en textos consideradosmás avanzados como el de Marion-Heald. Y lo peor del caso es que en los textos

considerados más elementales el sistema de unidades utilizado es el SI del cual launidad de carga eléctrica statcoulomb no forma parte (el valor que utilizan es el de1.6×10− , el cual está relacionado con el statcoulomb mediante la

conversión 1 3 × 10 ).

Esto puede confundir y desesperar a cualquier principiante que se encuentra así mismo perdiendo una gran parte de su tiempo enfrascado en la conversión deunidades, algo en lo que no debería haber problema alguno. Y como éste caso sepueden citar millares de ejemplos en los cuales, en textos consideradosautosuficientes, se utiliza información para la cual se dan muchas cosas porconocidas previamente aunque no haya razón para suponer que tales cosas fueran

enseñadas previamente en la mayoría de los cursos considerados más elementales.








Una razón utilizada por muchos autores para no entrar en detalles aclaratoriossobre cosas que ameritan una mayor explicación es el argumento (yo lo llamaríamás bien excusa, pretexto) de “la falta de espacio”. Afortunadamente, en Internet no

se trabaja con tales limitaciones, y es posible explayarse de un modo que muchascasas editoras no lo permitirían. Naturalmente, si muchos libros en el mercado

resultan demasiado crípticos para el lector ordinario por todas aquellas cosasomitidas por “la falta de espacio”, siempre existe la posibilidad de que tales libros

eventualmente sean desplazados y pierdan una buena parte del mercado.Reemplazados por materiales de mayor extensión que se pueden encontrar enInternet, inclusive de manera gratuita.

Soy de la opinión de que el énfasis en rigorismo y en invención continua denotación matemática cada vez más elaborada y compleja tiene que ver directamentecon el hecho de que en la actualidad no se estén dando ya los espectacularesavances que se estaban dando a principios del siglo XX en las ciencias básicas. A

cambio de tanto rigorismo y tanto formalismo aplicado casi a ciegas lo que estamosobteniendo son teorías sumamente complejas como la teoría de las supercuerdas(string theory) que no han servido para proponer ni siquiera un solo experimento con

el cual se pueda descubrir algo nuevo y confirmar así la teoría. En contraste con lasecuaciones originales de James Clerk Maxwell y de Albert Einstein a partir de lascuales se predijeron muchos efectos que posteriormente fueron confirmados en loslaboratorios.

No sé si haya un libro en inglés que subsane todas las deficiencias que han sidoseñaladas anteriormente. Si lo hay, no tengo conocimiento del mismo. Perociertamente tal libro no parece estar disponible para su venta en español, al menos

yo no he visto un libro tal en las librerías dedicadas a la venta de textosuniversitarios y temas de índole técnica. Es por ello que, aprovechando la facilidadde poder llegar a través de Internet a un auditorio amplio, he decidido recopilar losmateriales que se encuentran dispersos aquí y allá para presentarlos de una maneracoherente y entendible.

He tratado de mantener los materiales agrupados y seleccionados de modo talque puedan ser comprensibles con un mínimo de estudios matemáticos. Pero no hetratado de incluirlo todo. Debe tomarse en cuenta que un curso completo sobre la Teoría de la Relatividad requeriría de un libro como el libro “Gravitation” de más de

1,200 páginas:





Ilustración 1

De Charles W. Misner , Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (considerado por los

estudiosos como la “Biblia” de la Relatividad General y conocido también entre lacomunidad científica como el “ Directorio Telefónico” por su grosor), siendo éste un

libro que se utiliza a nivel de estudios de Doctorado en Física. No es el propósito deesta obra ser enciclopédica cubriéndolo absolutamente todo. Sin embargo, con losmateriales que he incluido, al menos los que no son especialistas en el tema tendráncierta idea sobre aquello de lo cual están hablando estos libros de texto avanzados, y tal vez hasta podrán entender algunas cosas en dichos libros. Lo cual siempre esmejor que no entender absolutamente nada y no tener la menor idea sobre aquellode lo cual trata una de las teorías más revolucionarias de nuestros tiempos.

Tal vez haya frases o comentarios dentro de este trabajo que a algunos lectoresles parecerán demasiados obvias e inclusive superfluas. Por ejemplo, en variaspartes el lector tal vez encontrará una referencia a cierto objeto moviéndose todo eltiempo en la misma dirección y sentido, y al ver esto tal vez se dirá a sí mismo: “¿Porqué se habla aquí de un objeto que se está moviendo en la misma dirección ysentido? ¿Es que acaso un objeto puede moverse en cierta dirección pero endiferente sentido?”. La respuesta que a veces sorprende a muchos está ejemplificadaen el siguiente diagrama:

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SjQGOLVN4XI/AAAAAAAAGJY/kIjvUDiDPrY/s1600-h/libro_Gravitation.jpg





Ilustración 2

En este caso, tenemos un cuerpo que está moviéndose siguiendo una direcciónhacia la derecha. Pero el sentido en el que está moviéndose dicho cuerpo es realmente

hacia donde lo está jalando el cuerpo , que es hacia abajo. Al hablar de un cuerpo

que está moviéndose en la misma dirección y sentido, se está hablando de un cuerpoque se está moviendo en la misma dirección y en el mismo sentido, literalmente

hablando. Existen también otras def0iniciones con diferencias sutiles quedesafortunadamente muchos maestros omiten señalar ya sea por olvido o porignorancia, como el hecho de que utilizamos la palabra área cuando nos referimosal espacio comprendido dentro de una figura geométrica plana y utilizamos lapalabra superficie cuando nos referimos al mismo espacio comprendido dentro delos bordes de una figura geométrica tridimensional (como lo es el caso de lasuperficie de una pelota); o como el hecho de que no es lo mismo velocidad querapidez, ya que para definir la velocidad de un objeto generalmente la damosseñalando la dirección hacia la cual se está desplazando dicho objeto o por lo menosle asignamos un signo positivo o negativo (por ejemplo un signo positivo cuando se

trata de un cuerpo moviéndose hacia la derecha o un signo negativo cuando se tratadel mismo cuerpo moviéndose en sentido contrario, hacia la izquierda) pero paradefinir la rapidez del mismo objeto simplemente damos la magnitud de la velocidad(por ejemplo, 5 metros por segundo) sin hacer referencia alguna a la dirección haciala cual se está moviendo el objeto.

Hay aún otras definiciones cuyo uso puede causar confusión en quienes adolecende una mala enseñanza en sus estudios de secundaria y bachillerato, como ladiferencia entre el concepto de masa y el concepto de peso (la masa es algointrínseco, invariable, medido en kilogramos, propio de un objeto cualesquiera queocupe un lugar en el espacio y que inclusive pueda estar flotando en el espacio,

mientras que el peso es la atracción ejercida por la gravedad sobre una masa, deforma tal que una masa de una tonelada puede tener un peso igual a cero al estarflotando fuera del sistema solar, mientras que una masa de unos cuantos gramospuede tener un peso considerable sobre la superficie de un planeta como Júpiter).Y así como éstos hay otros detalles y expresiones similares empleadas aquí quevistas a fondo no son tan superfluas.

En donde lo he considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios depráctica que el lector puede intentar resolver por sí mismo antes de irse un pocomás abajo del mismo para ver su solución. En ningún caso he incluido problema oejercicio para el que yo no dé solución alguna, porque es mi objetivo no dejar condudas a los lectores. Y esto aplica a toda la obra.

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sd0hSiUn-zI/AAAAAAAAFhQ/3t4TtEUauZY/s1600-h/direccion_y_sentido.png





He tratado también de recurrir a todo el arsenal disponible de elementosdidácticos y pedagógicos para poder mantener centrada la atención del lector sobreel tema que se está discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas asícomo el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la

importancia de algo en específico; y del mismo modo me he permitido agregar pasosextra en la derivación de resultados que frecuentemente son omitidos en los textosimpresos. Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones ymuchos pasos que son más que obvios para el maestro o para el especialista, pasosque son omitidos en la publicación de trabajos científicos. Muchas veces hay cosasque no son tan obvias para los que están iniciando por vez primera el estudio deuna rama nueva del conocimiento, y es aquí en donde cualquier explicaciónadicional o comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector acomprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto es de lo quetrata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado llevando a cabo en esta obra.

La obligación del maestro no es dar explicaciones elegantes, su obligación es darexplicaciones entendibles, su obligación es enseñar, y en la medida en que elmaestro pueda lograr esto habrá cumplido (o fracasado) en su misión fundamentalque consiste en la transmisión de conocimientos. Las explicaciones elegantes,concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se pueden dejarpara la publicación de trabajos científicos para cuya lectura se supone que loslectores están familiarizados e inclusive son expertos en el tema.

Se ha hecho lo posible por hacer esta obra autosuficiente, proporcionando dentrode la misma las herramientas necesarias para poder avanzar sin necesidad de tener

que estar buscando en las bibliotecas y en las librerías otros libros de texto de difícilobtención que recurren incluso a notación diferente que puede resultar confusa.Los materiales de referencia externos, cuando son citados aquí, son materiales quese pueden obtener rápidamente con una conexión a Internet.

Como será obvio conforme el lector se adentre en el estudio de la materia, Einsteinno formuló por cuenta propia todo lo que tiene que ver con la Teoría de laRelatividad, se tuvo que apoyar en los trabajos de otros científicos de primer nivelcomo Bernhard Riemann (el matemático que asentó sobre bases firmes la geometríadiferencial y formalizó el estudio de las geometrías no-euclideanas), James Clerk

Maxwell (el padre del electromagnetismo), Gregorio Ricci y su alumno Tullio Levi-Civita (creadores del cálculo tensorial) y Hermann Minkowski (descubridor de lainterpretación geométrica de la Teoría de la Relatividad a través de los diagramasespacio-tiempo), y la labor ha tenido que ser continuada por científicos de la tallade Stephen Hawking y Roger Penrose. Pero el mérito de haber utilizado todas lasherramientas disponibles en su tiempo para consolidar una de las teorías másbrillantes del siglo XX es indiscutiblemente suyo, y ese es un mérito que nadie le vaa negar.

Aunque al tratar sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad se ha tratadode hacer el menor uso posible de las herramientas propias del cálculo infinitesimal,

la transición hacia la Teoría General de la Relatividad requiere forzosamente de





algunos conocimientos básicos del cálculo infinitesimal, y no sólo del cálculoinfinitesimal sino de otra rama de las matemáticas conocida como el cálculotensorial (cuyos fundamentos son cubiertos en esta obra). Esta es la naturaleza dela bestia. De cualquier modo, hay mucho material que puede ser entendido aún porquienes no cuentan con estas herramientas matemáticas, se ha hecho aquí un

esfuerzo adicional por lograrlo.

Como corresponde a una obra de esta extensión, se ha suministrado al final de lamisma una Bibliografía que incluye textos que van desde los más elementales hastalos que suelen considerarse más avanzados. También dentro de la Bibliografía, yreflejando el impacto que está teniendo la enciclopedia universal virtual Wikipedia, se ha proporcionado la lista de enlaces en los cuales los lectores pueden encontrarotras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra. Dicha listaha sido puesta acomodando los enlaces siguiendo un orden similar al cual se vantratando los temas dentro de esta obra. En dicha lista los lectores encontrarán tanto

enlaces Wikipedia en Español como enlaces Wikipedia en Inglés, esto en virtud deque los enlaces Wikipedia en Inglés por lo general tienen información másactualizada o están algo más completos que los enlaces Wikipedia en Español sobrelos mismos temas, especialmente tratándose de temas en ciencia y tecnología, einclusive hay ciertos temas que aparecen publicados en los enlaces Wikipedia enInglés pero que no aparecen aún en los enlaces Wikipedia en Español. Siendo laWikipedia una base de datos en proceso continuo de evolución, al igual que el mismoInternet, vale la pena tener todas las referencias y enlaces posibles de la mismatanto en español como en inglés para poder buscar así en uno algo que no se puedaencontrar en otro. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone por encimade otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia . ¿En cuántas ocasiones el

lector no se llegó a encontrar con la desagradable sorpresa de que después deencontrar un enlace interesante regresó tiempo después solo para descubrir quedicho enlace ya no existía y que posiblemente hasta el sitio en el que se encontrabaalojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la información juntocon todas las imágenes? Esta es la principal razón por la cual me he abstenido enesta obra de citar enlaces cuya duración a largo plazo no esté garantizada.

Como una muestra de la revolución informática que está ocurriendo desde queInternet irrumpió en la vida del hombre del Tercer Milenio, en algunas partes deesta obra se hace referencia a un nuevo medio de diseminación de trabajos

científicos que está adquiriendo cada día mayor renombre. Se trata de arXiv, administrado por la Universidad de Cornell y financiado en parte por la NationalScience Foundation. Dados los costos involucrados en el pago de la compra odescarga vía Internet de papeles científicos publicados por las organizacionesprofesionales establecidas, los cuales pueden irse acumulando rápidamenteponiendo en aprietos los bolsillos de los académicos e investigadores que no sonprecisamente gente rica (un contrasentido considerando que en su gran mayoría losautores que envían sus trabajos para ser publicados en estos medios no lo hacencon fines de lucro), aunado a la lentitud con la cual puede tardar en aparecerpublicado algún resultado importante mientras el trabajo es revisado por un equipode colegas (proceso conocido como revisión por pares conocido en inglés como peer

review), todo esto está motivando a que la preferencia hacia los medios clásicos de

http://www.arxiv.org/







publicación vaya menguando y que la atención se esté trasladando cada vez conmayor frecuencia a recursos más modernos en Internet tales como arXiv. En

muchos campos de las matemáticas y la física, casi todos los artículos científicos deimportancia se están colocando ya en arXiv. A la fecha de septiembre de 2007, arXivcontenía más de 440.000 trabajos imprimibles, lo que supone que miles de ellos son

añadidos cada mes. Su existencia fue uno de los factores que condujo a que seprecipitara la actual revolución en la forma en que se efectúan las publicacionescientíficas, conocido como el “movimiento de libre acceso”, con la posibilidad de una

eventual desaparición de las revistas científicas tradicionales que pueden terminarsiguiendo el camino recorrido por los dinosaurios en su extinción. Los matemáticosprofesionales y los científicos cargan regularmente sus artículos en arXiv.org paraque haya un acceso mundial y algunas veces para que se revise antes de que seanpublicadas en revistas. Aunque la falta de revisión por pares suscita algunapreocupación, no se considera un obstáculo para los usuarios de arXiv, ya quemuchos autores son cuidadosos con sus contribuciones, y la mayoría de los e-prints

también se envían a revistas científicas para que sean publicadas, pero algunostrabajos, incluidos algunos artículos influyentes, se quedan solo como e-prints y jamás son publicados en una revista científica. Un ejemplo bien conocido de estoúltimo es una prueba de la conjetura de la geometrización de Thurston que resuelve

finalmente la famosa conjetura de Poincaré como caso particular, enviada por Grigori

“Grisha” Perelman el 11 de noviembre de 2002 bajo el título “ The entropy formulafor the Ricci flow and its geometric applications”. Perelman parecía satisfecho derenunciar a una publicación tradicional revisada por pares, alegando que “Sialguien está interesado en mi forma de resolver los problemas, está todo ahí(refiriéndose a arXiv), dejemos que entren y lo lean”.

En las entradas en esta obra en donde se trata el tema de la electrodinámicarelativista, en lugar de la extensión del sistema de unidades hacia el área delelectromagnetismo convencionalizado conocido todo en conjunto como el sistemade unidades , se ha escogido al sistema Gaussiano de unidades. Aunque la granmayoría de los lectores seguramente han sido expuestos al sistema de unidadesde uso tan común en la resolución de problemas prácticos de ingeniería, cuyasunidades son de un orden de magnitud que resulta útil en la discusión de efectosmedibles a la escala de laboratorio (volts, amperes, webers/m², etc.), en el estudiode la interacción de la radiación electromagnética con los constituyenteselementales de la materia (átomos, fotones, etc.) resulta más conveniente adoptar el

sistema Gaussiano de unidades.Una consecuencia en la adopción del sistema Gaussiano de unidades es que

fórmulas que le resultan familiares a muchos estudiantes como la fórmula en el sistema Gaussiano se tome simplemente como la igualdad sin que sevea a la constante de permeabilidad magnética presente. Pero la ausencia de enesta fórmula en el sistema Gaussiano de unidades se debe a la forma en la cual hasido definido dicho sistema de unidades. Aún otra consecuencia es que la familiar

fórmula que define al vector de Poynting como el producto cruz · se convierte

en la fórmula /4·, haciendo que entre en el panorama la constante quesimboliza a la velocidad de la luz. Sin embargo, este factor multiplicativo de

/4

resulta conveniente en los desarrollos que son llevados a cabo en el estudio de laelectrodinámica clásica. (De cualquier forma, para convertir una fórmula del

http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159










sistema de unidades al sistema Gaussiano de unidades basta reemplazar lapermisividad eléctrica del espacio libre con 1/4 y la permeabilidad magnética con 4.) Otra razón que justifica la adopción del sistema Gaussiano de unidades altratar el tópico de la electrodinámica relativista es que una gran cantidad de librosde texto a nivel universitario y a nivel postgrado adoptan el sistema Gaussiano de

unidades, y el adoptar aquí el sistema puede causar confusión posterior alestar consultando varios textos, y esta sea tal vez la mejor razón de todas para notratar de desviarse de algo que se ha convertido en una costumbre extendida.

Se han incluido como parte de los apéndices de esta obra tanto el texto completo(en inglés) del primer trabajo que le fue publicado a Einstein en 1905 con el cualdio a conocer al mundo la Teoría Especial de la Relatividad, así como las copias másrelevantes de su cuaderno de apuntes en el cual fue desarrollando a lo largo de dosaños en forma manuscrita sus ideas principales acerca de la Teoría General de laRelatividad, que fue publicada en octubre de 1915. Se ha relegado también a los

apéndices material importante que complementa las ideas expuestas en el interiorde la obra o que expande el material expuesto hacia nuevos horizontes pero que noes indispensable para poder dar continuidad a lo que se está leyendo cuando se estásiguiendo el orden de las entradas puestas en esta obra.

Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo es unapequeña contribución al ambicioso objetivo de un mundo en el que todas laspersonas y cualquier persona tengan libre acceso a la suma total de losconocimientos de la humanidad.

Aprovecho la ocasión para expresar mi más profundo agradecimiento a Roger

Cortesi, quien generosamente proporcionó los medios para la generaciónautomatizada a través de LaTeX de la tipografía requerida para la construcción de

fórmulas matemáticas que hasta la fecha no pueden ser generadasautomáticamente por ninguno de los navegadores de Internet (browsers)convencionales.

IMPORTANTE: Este es un trabajo construcción, y sólo se considerará terminadocuando este último párrafo no aparezca aquí haciendo esta advertencia. Los huecosque aparezcan aquí y allá a espera de ser llenados en esta obra son la consecuenciainevitable de ser algo que está siendo elaborado simultáneamente en partes

diferentes. Aunque conforme se van acumulando los materiales están siendosometidos a un proceso de revisión continua, es inevitable que en una obra de estamagnitud surjan equivocaciones, errores tipográficos e inclusive fallos de lógica, porlo que agradeceré cualquier observación que se me haga llegar al respecto así comocualquier sugerencia para mejorías.



Fundamentos de Relatividad General Movimiento absoluto


Movimiento absoluto

Empezamos nuestra disertación con un viajero que se acaba de subir a un trende pasajeros en una estación de ferrocarriles y se acaba de acomodar en su asientoel cual está justo a un lado de una ventana que da una vista hacia afuera. Una vez

que el porter se ha asegurado de que todos los pasajeros le han entregado susboletos de viaje y que están ya en sus lugares asignados, el tren se pone enmovimiento enfilándose hacia su destino:

El viajero se da cuenta de que el vagón de ferrocarril en el que viaja está enmovimiento porque la vista que recibe del exterior le muestra que todo lo queobserva de afuera, casas, praderas, edificios, llanos, granjas, etc., parece crear lailusión de estarse desplazando todo junto en una dirección contraria a la direcciónhacia la cual se está moviendo el ferrocarril. Al caer la noche, los pasajeros bajanlas cortinas de las ventanas para poder dormir, y todo lo que se siente es el vaivéndel ferrocarril conforme avanza sobre las vías de acero.

Es aquí cuando el viajero se percata de que al estar cerradas las cortinas, al notener una vista directa desde el vagón hacia el exterior, ha perdido su punto dereferencia visual con el cual podía darse cuenta sin el menor asomo de duda que elvagón de pasajeros en el que viaja estaba en movimiento sobre las vías del tren.

De cualquier manera, él sabe que el pesado tren está en movimiento porque seestá meciendo de un lado a otro produciendo vibraciones sensibles no sólo al oídosino al tacto, clara señal de que el tren mantiene cierto tipo de movimiento.

Ahora llevaremos a cabo un experimento gedanken

, un experimento realizado por

completo dentro de la tranquilidad de nuestro pensamiento pero que no por ello dejade tener repercusiones completamente válidas para el mundo real en que vivimoscomo las podría tener un experimento llevado a cabo con instrumentos y aparatoscostosos. Vamos a suponer que todas las ventanas del tren han sido selladasherméticamente de modo tal que será imposible tener la menor pista de que el trenestá en movimiento por alguna señal visual llegada del exterior. El interior del trense encuentra perfectamente iluminado por el sistema de energía eléctrica autónomodel convoy de ferrocarriles, pero no es posible ver hacia afuera porque el vagón esen efecto una caja herméticamente sellada.





¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagónque nos transporta?

Lo primero que se nos ocurre es la confirmación que nos da el vaivén del vagónmeciéndose de un lado a otro. Esto nos confirma que estamos en movimiento. Pero

esta confirmación se debe a las imperfecciones de las vías del ferrocarril que noestán situadas sobre una superficie horizontal perfectamente plana. En nuestroexperimento gedanken, imaginaremos que las vías del ferrocarril están colocadas

sobre una superficie extensa perfectamente plana de modo tal que el vagón no tienepor qué mecerse de un lado a otro, e imaginaremos también que el tren se muevesiempre hacia adelante sin virar en lo más mínimo ni hacia la derecha ni hacia laizquierda. De este modo el convoy de vagones se mueve sin mecerse de un lado aotro, y así hemos perdido otra pista que nos indicaba que estamos en movimiento.Pero aún nos queda el ruido estridente que producen las ruedas de acero delferrocarril tallando sobre las vías de acero en las que se mueve. Sin embargo esto

se puede solucionar sellando acústicamente el vagón de ferrocarril de modo tal queno sea posible percibir ruido alguno llegado del exterior, con lo cual estaremosviajando en un tren perfectamente blindado en contra de ruidos (si el viajero essordo, tal blindaje acústico no será necesario).

Tal vez se nos ocurra hacer trampa con un amigo situado en el exterior que através de un teléfono celular nos llame del exterior y nos confirme que el tren estáen movimiento. Pero supondremos que no contamos con tal ayuda.

Supongamos que el tren es un tren bala de diseño ultramoderno que está viajandoa una velocidad extremadamente elevada con respecto al suelo, digamos a unos 500

kilómetros por hora. Se nos podría ocurrir otra cosa; se nos podría ocurrir saltarhacia arriba dentro del vagón de ferrocarril para no tener contacto alguno con elpiso del mismo por algunos segundos, en la creencia de que al estar separados delpiso por ese breve lapso de tiempo suspendidos en el aire el vagón continuará consu movimiento rápido de 500 kilómetros por segundo mientras que nosotros iremosquedando atrás, y al caer tocando nuevamente el piso estaremos en una posiciónmás retrasada que la posición desde la cual habíamos saltado. Sin embargo, alhacer esto, descubrimos que esto no funcionará tampoco, caeremos exactamenteen el mismo sitio desde el cual saltamos hacia arriba. Esto se debe a que si bien eltren se está moviendo a una rapidez elevada, a 500 kilómetros por hora, nosotroscon los pies puestos firmemente sobre el piso del vagón también nos estaremos

moviendo a los mismos 500 kilómetros por hora, y al despegarnos del piso del trenseguiremos moviéndonos a la misma velocidad de 500 kilómetros por hora, porqueen un vagón perfectamente blindado no hay nada que nos haga perder nuestravelocidad de 500 kilómetros por hora. Esto es algo que nos garantiza una de lasleyes de Newton, que nos dice que todo cuerpo permanece en estado de reposo o ensu movimiento rectilíneo mientras no intervenga una fuerza externa que modifiquedicho estado de reposo o de movimiento rectilíneo. Y en un vagón perfectamentesellado no hay fuerza horizontal alguna actuando en contra nuestra que nos hagaperder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Si el vagón estuviera aldescubierto, sin techo y sin paredes, entonces al saltar hacia arriba la fuerza del

aire exterior actuando como un viento en contra de nosotros nos haría caer másatrás, pero esto se debe a que al saltar y despegarnos del piso del vagón por breves





instantes el vagón ya no nos puede seguir arrastrando con la misma velocidad al notener nosotros ya el momento del tren para vencer a la resistencia del aire. En unvagón perfectamente sellado, no hay corrientes de aire que nos puedan mover de unlado a otro cuando saltamos, así que un brinco hacia arriba nos hará caer en elmismo punto del cual saltamos. Esta es una experiencia que tal vez muchos habrán

compartido cuando al estar viajando dentro de un camión de pasajeros circulandopor la carretera saltaron hacia arriba creyendo que iban a caer un poco más atrás y cayeron en el mismo lugar del cual saltaron.

Al fallar lo anterior, nuevamente, volvemos a formularnos la pregunta de antes:¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón quenos transporta?

Si hemos sido raptados, anestesiados, y despertamos después en un vagón deferrocarril perfectamente sellado del exterior, lo primero que desearíamos saber essi el tren en el que viajamos está en movimiento. Pero sin pista visual alguna y sinpista acústica alguna, tal cosa se antoja problemática. Es entonces cuando tratamosde recurrir a la física, cuando tratamos de recurrir a cierto experimento mecánicoque nos permita darnos cuenta de que estamos en movimiento. Aquí vale de todo,sacar balanzas, agujas colgando de hilos delgados, medidores de presiónbarométrica, en fin, todos los instrumentos y aparatos que se nos puedan ocurrir.

Sin embargo, conforme hacemos experimento tras experimento, encontramos queno hay absolutamente nada de índole mecánica que nos confirme que nos estamosmoviendo, por la sencilla razón de que todos nuestros instrumentos y aparatosmecánicos están en reposo frente a nosotros moviéndose exactamente a la misma

velocidad a la cual nos estamos desplazando con el tren. Adentro del vagónperfectamente blindado, todo se encuentra en un reposo tan perfecto como el reposoen el que nos encontraríamos afuera en un laboratorio escolar.

Aquí seguramente habrá críticos que dirán que esta es una situación altamentehipotética, altamente idealizada, de un experimento imposible de llevarse a cabo.Sin embargo, esto no es así, ya que para llegar a las mismas conclusiones todo loque tenemos que hacer es subirnos a una nave espacial y salir fuera de la órbitaterrestre. Estamos en la nave espacial, y de repente al asomarnos por una de lasventanas de la misma vemos pasar un asteroide a gran velocidad muy cerca denosotros el cual casi se estrella contra nuestra nave. Aquí decimos: “Qué rápido se

está moviendo el asteroide”. Pero un náufrago espacial varado en el asteroide muybien nos podría decir “Qué rápido se está moviendo esa nave espacial”. Tantonosotros como el náufrago espacial varado en el asteroide podríamos enfrascarnosen un debate diciendo que es el otro el que se está moviendo a gran velocidad. ¿Perocuál de los dos tiene la razón? En realidad, ninguno, no a menos de que exista unexperimento mecánico que permita determinar de modo absoluto quién es el que seestá moviendo. Y para que la respuesta sea válida, tendría que existir algún puntode referencia absoluto, algo que por su misma naturaleza pudiéramos clasificar enun estado de reposo absoluto, con respecto al cual tanto nosotros como el náufragoespacial podríamos dirimir el asunto sobre quién es el que realmente se estámoviendo. Porque podría muy bien suceder que si bien nosotros y el náufragoespacial varado en el asteroide nos estamos viendo el uno al otro moviéndonos en





direcciones opuestas a gran velocidad el uno con respecto al otro, ninguno de losdos realmente está en reposo con respecto a otro punto de referencia absoluto si esque pudiera existir una cosa así.

En base a lo anterior, los siguientes tres puntos de vista para dos naves espaciales

que se encuentran en el espacio viajando en direcciones opuestas producirán losmismos resultados numéricos para cualquier tipo de experimento mecánico que sepueda llevar a cabo.

Ilustración 3

En el primer caso, la nave inferior se considera a sí misma que está paradaflotando en el espacio, mientras que ve pasar por encima de ella a otra nave espacialviajando a una velocidad de 500 metros por segundo, a la cual el tripulante de lanave inferior le dice “yo estoy parado flotando en el espacio, eres tú el que se estámoviendo”. En el segundo caso, el tripulante de la nave que pasa por arriba, lecontesta: “eso no es cierto, yo soy el que está detenido flotando en el espacio, erestú el que se está moviendo a una velocidad de 500 metros por segundo. Y en eltercer caso, con respecto a un tercer observador externo a ambas naves, las dos seestán moviendo en sentidos opuestos cada una con una velocidad de 250 metros

por segundo. ¿Quién tiene la razón? Todos, y a la vez ninguno. Todos tienen la razónporque al no poder detectarse el movimiento absoluto los tres anteriores supuestosson igualmente válidos. Y todos están equivocados si insisten en afirmar cada unoque su punto de vista es el correcto y los demás están en el error.

Por lo pronto, y regresando a nuestro vagón blindado de ferrocarril en la tierra,tenemos que aceptar querámoslo o no que no existe experimento alguno de índolemecánica que nos permita saber si nos estamos moviendo. Esto era algo que ya sesabía desde los tiempos de Galileo y que fue formalizado tiempo después por Newtoncon sus leyes con las cuales dio inicio a la mecánica clásica tal y como la conocemos

hoy en día.





“No existe ningún experimento de índole mecánica que nos pueda indicar que estamos enmovimiento.”

Lo que acabamos de enunciar tiene alcances y repercusiones mucho másprofundas que lo muchos pudieran suponer. Regresemos al viajero que está en un

vagón del ferrocarril en movimiento. Un observador estacionario situado a un ladode las vías del ferrocarril que tenga sus pies plantados firmemente sobre la Tierrapodría sentirse tentado a decirle en voz alta al viajero: “Indudablemente que tú eresel que se está moviendo. No puedes argumentar que el ferrocarril está parado y queson las vías del ferrocarril las que se están moviendo en sentido contrario junto contodo lo que tú estás viendo moverse a través de tu ventana de observación,incluyendo los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, todoincluyéndome a mí. Yo soy el que está parado, y tú indudablemente eres el que seestá moviendo”.

El argumento anterior podría parecer razonable a primera vista. Sin embargo, esuna falacia.

Supongamos que hemos construido un ferrocarril cuyas vías han sido colocadassiguiendo la ruta del ecuador de la Tierra. Supongamos ahora que el ferrocarril sepone en movimiento en sentido contrario al sentido de rotación de la Tierra. La Tierra, en virtud de su movimiento de rotación alrededor de su eje, movimiento queda origen a los días y las noches, da un giro completo en 24 horas. Usando radianescomo medida de desplazamiento angular, la velocidad angular de rotación de la Tierra será entonces:

2 /24 ℎ 72.722 × 10− /

Por otro lado, la velocidad tangencial en la superficie de un cuerpo en rotaciónque está girando a una velocidad angular a una distancia del eje de rotación dedicho cuerpo está dada por:

Suponiendo para la Tierra un radio medio en su ecuador de 6.37 ×10 , la velocidad tangencial en la superficie del ecuador de la Tierra conrespecto a su eje de rotación será entonces:

72.722× 10− /6.37 × 10

463.24 /

Si el ferrocarril se pone en marcha en sentido contrario al movimiento de rotación

de la Tierra a una velocidad de 463.24 metros por segundo, y si empieza el viaje al





mediodía con el Sol directamente encima, entonces el Sol parecerá estacionario sinmoverse un solo milímetro. Para alguien flotando en el espacio encima delferrocarril, la bóveda celeste parecerá estacionaria, y todo lo demás fuera delferrocarril parecerá estarse moviendo, incluyendo las vías sobre las cuales estámontado el ferrocarril, los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las

praderas, los lagos, incluyendo desde luego al observador estacionario en la Tierraque le decía al viajero que era él quien estaba en reposo absoluto. Fuera delferrocarril, para todos, amanecerá y anochecerá, los días transcurrirán comosiempre, mientras que para el viajero dentro del ferrocarril el Sol seguirá puestoencima de él sin moverse para nada. De repente, el viajero en el ferrocarril parecehaberse convertido en el observador privilegiado que se siente tentado a decir queél sí está en estado de reposo absoluto.

Siguiendo un impulso egocentrista, podríamos sentirnos tentados a afirmar quela Tierra es el centro del cosmos, dándole a la Tierra una condición de reposo

absoluto y negando el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Estafue precisamente la cuestión por la cual el físico italiano Galileo Galilei fue acosadopor la Santa Inquisición, en tiempos en los que por motivos religiosos se considerabaal hombre como el centro de la Creación, el centro del cosmos, con la bóveda celestegirando en torno suyo certificando su posición privilegiada como criatura predilectade Dios. Lo único que pudo hacer Galileo después de ser obligado a negar elmovimiento de rotación de la Tierra fue exclamar en voz baja:

“Y sin embargo se mueve” – (Galileo Galilei).

Sin embargo, ni aún compensando por el movimiento de rotación de la Tierra conun ferrocarril construido siguiendo la ruta del ecuador le sería posible a un el viajerodentro del ferrocarril considerarse a sí mismo como un observador privilegiado enreposo absoluto, en virtud de que la Tierra no sólo tiene un movimiento de rotaciónen torno a su eje sino que además tiene un movimiento de traslación alrededor delSol, precisamente el movimiento que da origen a las estaciones del año.

Fracasando en nuestros intentos por encontrar en la Tierra un punto dereferencia absoluto con respecto al cual el movimiento absoluto se pueda medir,podríamos sentirnos tentados a asignarle al Sol un papel privilegiado,

considerándolo como el centro del Universo. De esto es de lo que trata la creenciaen la teoría heliocéntrica (el Sol es el centro del cosmos) sostenida inclusive por losastrónomos Copérnico y Kepler que se encargaron de darle la puntilla a la teoríageocéntrica (la Tierra es el centro del cosmos). Pero esto a la postre resulta sertambién una ilusión, por el hecho de que el Sol no es más que una estrella másdentro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, habiendo muchas otras estrellasalbergando otros sistemas solares, los cuales resultan estar también en movimientodentro de la Vía Láctea.

El anterior fracaso podría llevar a algunos a intentar proclamar a la Vía Láctea,nuestra propia galaxia, como el centro del Universo. Pero nuestra galaxia no es laúnica galaxia del Universo. En nuestra mira de observación con la ayuda de





nuestros instrumentos actuales hay billones y billones de otras galaxias, a ningunade las cuales puede asignársele una posición privilegiada por el hecho de que todaslas galaxias se están separando la una de la otra debido a la expansión continua delUniverso. Y esta es una expansión que tampoco tiene un “centro de origen”, uncentro de la explosión inicial que hoy conocemos como el “Big Bang ”.

Parece que hemos agotado todas las posibilidades de poder detectar elmovimiento absoluto recurriendo a referencias astronómicas además de tratar derecurrir a experimentos de índole mecánica. Sin embargo, a principios del siglo XX,había una esperanza basada en un descubrimiento sobre otro tipo de fenómenosfísicos, un descubrimiento que llevó a físicos de primera línea a postular laexistencia de una substancia universal conocida como el éter, con respecto al cualdebería ser posible en principio determinar el movimiento absoluto no por mediosmecánicos, sino por medios ópticos, usando rayos de luz.



Fundamentos de Relatividad General Un descubrimientosorprendente


Un descubrimientosorprendente

Descartada totalmente la posibilidad de poder determinar por medio de algún

experimento propio de la mecánica si algo está en estado de movimiento conrespecto a algún punto de referencia que pudiera considerarse absoluto, en ciertomomento renació la esperanza de que tal cosa pudiera lograrse no por mediosmecánicos sino por medios ópticos llevados a cabo dentro de un vagón de ferrocarrilperfectamente blindado. Es aquí cuando entra en el panorama el físico matemático James Clerk Maxwell, el cual asentó firmemente sobre bases matemáticas losprincipios básicos del electromagnetismo, enunciados desde los tiempos deFaraday, enunciando las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo con lascuales ganó para sí mismo la inmortalidad en la comunidad científica:

∇ · ∇ · 0

∇ ·

∇ ·

Estas cuatro fórmulas están elaboradas en notación vectorial (las cantidades D,

B, E, H y J son vectores, o mejor dicho campos vectoriales en analogía con las líneasde fuerza que representan un campo gravitacional, y como tales son cantidades quetienen dirección y sentido de forma similar al viento que sopla en las praderas), locual simplifica enormemente el pronunciamiento de las mismas debido a que elenunciado es independiente del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares,cilíndricas, esféricas, etc.) que se utilicen en el estudio de algún fenómenoelectromagnético particular. La primera ecuación nos dice esencialmente que el flujoneto (divergencia) de las líneas de fuerza eléctrica que salen (o entran) de cualquierrecipiente cerrado depende de la densidad de la carga eléctrica ρ que encierra dichorecipiente (para un recipiente dentro del cual no hay carga eléctrica algunaalmacenada en su interior, el flujo neto de las líneas de fuerza eléctrica sobre todala superficie del recipiente es cero); la segunda ecuación nos dice que todas las





líneas de fuerza de un campo magnético (como las de un imán) forman siempre unbucle cerrado (no existen monopolos magnéticos, esto es, una partícula de la cualsalgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Norte deun imán, y otra partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnéticocorrespondientes al polo Sur del imán) y por lo tanto la divergencia de las líneas del

campo magnético es siempre cero (el flujo neto de las líneas de fuerza del campomagnético que entren a cualquier recipiente cerrado restado del flujo de las líneasde fuerza del campo magnético que salgan del mismo recipiente será exactamenteigual a cero en todos los casos); mientras que la tercera y la cuarta ecuación nosdicen que todo campo eléctrico que varíe con el tiempo producirá camposmagnéticos rotacionales del mismo modo que todo campo magnético que varíe conel tiempo producirá a su vez campos eléctricos rotacionales.

Se puede demostrar a partir de las ecuaciones del campo electromagnético deMaxwell, como el mismo Maxwell lo descubrió por vez primera, que la velocidad de

una onda electromagnética en el vacío que consta de un campo eléctrico y uncampo magnético perpendiculares el uno al otro y alternantes sinusoidalmenteen el tiempo:

Ilustración 4

Depende única y exclusivamente de la permisividad eléctrica del vacío y de lapermeabilidad magnética del vacío , y la velocidad para dicha ondaelectromagnética debe ser:

1

Los valores experimentales para estos parámetros ya eran conocidos en lostiempos de Maxwell, de modo tal que no fue para él ningún problema llevar a cabo

una substitución de dichos valores para poder saber cuál era la velocidad de unaonda electromagnética propagándose en el vacío.

PROBLEMA: En el sistema de unidades SI (MKS) se aceptan generalmente como válidos lossiguientes valores experimentales para la permisividad eléctrica y para la permeabilidad magnéticadel vacío:

8.854 × 10−

/

12.5664 × 10− ℎ/





Determínese, a partir de estos valores experimentales, la velocidad de una ondaelectromagnética propagándose en el vacío.

Puesto que las unidades SI del farad y el henry son algo crípticas para quienes no

están familiarizados con estas unidades, las pondremos en una forma másconvencional acorde con las unidades que se utilizan en la Mecánica.

Empezaremos con la unidad del farad. De la teoría básica del campo eléctrico, lacapacitancia de un condensador es igual a la carga eléctrica almacenada por elcondensador dividida entre el voltaje que hay entre las terminales delcondensador, según la fórmula /. Esto significa que, dimensionalmente, unfarad es igual a un coulomb de carga eléctrica dividido entre un volt:

1 1

Entonces la unidad de la permisividad eléctrica es:

1 1 ·

Pero el voltaje se define como el trabajo hecho sobre una unidad de carga para moverla de un punto con un potencial a otro punto con un potencial ,dividido entre el valor de la carga, o sea /. Y el trabajo mecánico se definecomo el producto de la fuerza aplicada (medida en newtons) por la distanciarecorrida (medida en metros). Entonces, dimensionalmente hablando, una unidad

de voltaje es igual a: 1 1 ·

Entonces podemos escribir la unidad dimensional de la permisividad eléctrica delmodo siguiente: 1

1 ·

·

O sea: 1 1 ·

De este modo:

8.854 × 10− ·

Ahora trabajaremos con la unidad del henry. El henry es la unidad utilizada paramedir la inductancia eléctrica

de una bobina, de acuerdo con la fórmula:





ε De modo que, dimensionalmente hablando:

1 1 ℎ ·

Pero un ampere de corriente eléctrica es por definición igual a un coulomb porsegundo de carga eléctrica atravesando una superficie imaginaria:

1 1

Entonces:

1 1 ℎ ·

Despejando para la unidad del henry:

1 ℎ 1 ·

Entonces la unidad dimensional SI para la permeabilidad magnética

puede

escribirse en la siguiente forma igualmente válida:

1 ℎ 1 · ·

De este modo, utilizando el equivalente “mecánico” del volt obtenido en el caso dela permisividad eléctrica, podemos escribir la permeabilidad magnética del modosiguiente:

12.5664×10−

·s

Podemos proceder a la aplicación de la fórmula de Maxwell para la velocidad deuna onda electromagnética verificando al mismo tiempo la correcta cancelación ysimplificación de unidades:

12.5664 ×10− · ×8.854 ×10− ·

1.1126×10−

Finalmente:





1 11.1126×10−

Y

1 1√1.1126×10−

13.356×10−

299.795.638

Este resultado seguramente habrá llamado de inmediato la atención de Maxwell,

porque esta es precisamente la velocidad de la luz en el vacío. Y puesto que la luzviaja en el vacío a esta velocidad, Maxwell concluyó de inmediato que la luz puedeser considerada como una onda electromagnética que consta de campos eléctrico ymagnético alternantes. A la velocidad de la luz se le identifica comúnmente en laactualidad con la letra c, de modo tal que la conclusión de Maxwell puede serenunciada de la siguiente manera con el significado filosófico que ello conlleva:

1 2.99792458×10 /

Este descubrimiento sorprendente presentó casi de inmediato un problemafundamental. Siempre que hablamos de la velocidad de algo lo hacemos tomandootra cosa como referencia para medir dicha velocidad. Si decimos que algo, por

ejemplo un avión, tiene una velocidad de 10 metros por segundo, entonces debe deestarse moviendo a 10 metros por segundo con respecto a otra cosa, en el caso del

avión, con respecto al suelo. No tiene sentido ni lógica alguna hablar acerca de la

velocidad de algo utilizando ese algo como su propia referencia del mismo modo que

no tiene sentido alguno hablar acerca de una línea paralela cuando no existe otralínea recta con respecto a la cual se pueda compararla para decir que es paralela.Del mismo modo que no podemos decir que algo se encuentra “arriba” cuando no

hay nada “abajo

” de ese algo. Y el resultado obtenido no es algo que podamos

reinterpretar a nuestro antojo, ya que la permisividad eléctrica y la permeabilidadmagnética del vacío son atributos propios universales del mismo vacío que darán los

mismos valores en cualquier parte del Universo en donde nos encontremos.

Lo interesante de la fórmula de Maxwell es que la velocidad de la luz aparecíacomo un valor único, constante, invariable. ¿Pero con respecto a qué? Los físicosclásicos entrenados en la filosofía del universo clásico de Newton, presionados aproponer alguna salida al dilema sobre qué exactamente significaba esa velocidadde la luz considerada como una onda electromagnética no tardaron en inventar elmedio en el cual se transmitía dicha onda, y la respuesta natural dada en aquél

entonces fue que esa era la velocidad de la luz con respecto al éter (la palabra aquí no





tiene ninguna relación con el compuesto químico óxido de etilo del mismo nombrecon fórmula química 222 que es utilizado como anestésico por los doctores,sino con la idea de lo que es etéreo, celestial, algo llenando a la bóveda celeste de

confín a confín).Para formular tal proposición se tomó en cuenta que, si de acuerdo con el

resultado obtenido por Maxwell, la luz es una onda electromagnética, entonces parapoder propagarse de un lado a otro tenía que hacerlo sobre el medio en el cualsupuestamente estaba vibrando, del mismo modo en que los sonidos queescuchamos todos los días no son más que ondas acústicas formadas porcompresiones y enrarecimientos del aire sumamente rápidas (en el vacío del espacioexterior en donde no hay aire, tampoco hay sonido alguno); del mismo modo en queocurre en una “ola” de gente en cuya producción participan espontáneamente milesde aficionados presentes en un partido de futbol levantándose de sus asientos porbreves instantes cuando les toca ser parte de la “ola”. Sin la presencia de losaficionados en las gradas, esas “olas” no se dan, del mismo modo que sin la

presencia del aire no es posible que se produzca sonido alguno.Siendo la luz una onda electromagnética, el concepto del éter parecía una

suposición lógica y natural. La postulación de la existencia del éter no sólo eradeseable para suponer al éter como el medio a través del cual se propagan las ondasmagnéticas luminosas, también era deseable desde el punto de vista filosófico einclusive religioso, ya que permite evadir el tema del vacío total, ese vasto espacio

entre los planetas, entre los sistemas solares y entre las galaxias en el cual a nuestravista no parece haber absolutamente nada. Desde tiempos de la antigüedad, el vacíototal ha sido una idea cuya sola mención ha causado angustia e inclusive espantoentre filósofos y religiosos de renombre, porque el vacío total representa la nada, laausencia de todo. El omnipresente éter, invisible a nuestros ojos, era la solución

científica ideal con la cual la ciencia podía reconfortar a los preocupados por talcuestión haciéndoles saber que el vacío total, el vacío absoluto, era algo que noexistía. Porque las vastas regiones del cosmos, en donde no parecía haber nada demateria estaban repletas de éter, así que siempre había algo que llenaba “los espaciosvacíos”.

El éter, aunque debía ser capaz de poder “vibrar ” (para poder transmitir las ondas

electromagnéticas luminosas), debía permanecer completamente inmóvil conrespecto a todos los objetos materiales, más bien debían ser los objetos materialeslos que se movieran a través de él, como el movimiento de una coladera a través del

agua. Aunque el éter fuese una substancia invisible, incorpórea, una substanciaque no puede ser vista directamente, escuchada, tocada, olida o paladeada, elmovimiento absoluto de los planetas con respecto al éter debía ser detectablerecurriendo a experimentos hechos con rayos de luz.

Al éter se le suponía como algo completamente rígido, indeformable de confín aconfín del Universo. Sus propiedades no podían ser menos que fantásticas. Teníaque poseer una rigidez extraordinaria para poder dar apoyo a ondaselectromagnéticas de una frecuencia tan elevada como la poseída por los colores dela luz del espectro visible. En las guitarras y en todos los instrumentos de cuerda,para producir los sonidos más agudos, los de mayor frecuencia, la tensión de la

cuerda que los produce tiene que ser mayor que la tensión de la cuerda requerida





para producirlos sonidos graves, en virtud de que la velocidad de las ondas en unacuerda tensa es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de lacuerda. Pero pese a esta extraordinaria rigidez el éter no parecía tener efecto algunosobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol cuyas órbitas se podíanpredecir clásicamente con un buen nivel de precisión usando las fórmulas de

Newton para la atracción gravitacional entre el Sol y los planetas, ignorando endichas fórmulas cualquier efecto de retardo que el éter pudiese producir en losmovimientos de los planetas.

A diferencia del agua en los océanos de la Tierra, en los cuales se formancorrientes internas, en el éter cósmico no había tales “corrientes de éter ”. El éter era

uno solo, inamovible, como si fuese un bloque infinitamente grande de hielo, demodo que si algún observador privilegiado pudiera situarse en estado de reposo

absoluto con respecto al éter en cualquier ciudad de la Tierra, podía tener laseguridad de que también estaba en reposo absoluto con respecto al éter en cualquier

parte del Universo. El éter era el marco de referencia ideal con respecto al cual se

podía medir el movimiento absoluto, y aparentemente también era inmune a loscambios de temperatura así como químicamente inerte, ya que no parecía habersubstancia alguna conocida con la cual el éter pudiera reaccionar químicamente.Pero no sólo era el éter algo completamente rígido, a través del universo entero,inmune a los cambios de temperatura y químicamente inerte, también eracompletamente poroso y permeable, estaba metido dentro de todo, inclusive dentrode las cajas fuertes de los bancos suizos o en vagones sellados de ferrocarriles enmovimiento.

El éter podía estar en cualquier parte en donde pudiera producirse un rayo deluz. El mismo Maxwell determinó para el éter una densidad específica de

9.36·1019, un coeficiente de rigidez de

842.8, y una estimación de que la densidad del aire

a una distancia infinita de la Tierra era 1.8·10 veces menor que la densidad porél estimada del éter. Pero no había científico alguno que se atreviera a aventuraruna hipótesis sobre cuál era la substancia de la cual pudiera estar constituido eléter, ya que en la química de aquellos tiempos no se conocía elemento alguno quepudiera tener tan fantásticas propiedades. En realidad, la única razón de ser deléter era servir como medio universal de conducción para las ondaselectromagnéticas del mismo modo que el aire sirve como medio de conducción paralas ondas acústicas.

La universalidad y absoluta rigidez del éter permitió suponer que la velocidad dela luz con respecto al éter tal vez pudiera utilizarse como el punto de referencia absoluto

para la determinación del movimiento absoluto que no se había podido encontrarpor medios puramente mecánicos hasta entonces. Aquél cuya velocidad fuera igualque la velocidad de 300 mil kilómetros por segundo podría considerarse a sí mismoen estado de reposo absoluto con respecto al éter , mientras que todo aquél cuya

velocidad fuese mayor o menor que la velocidad de la luz podría considerarse a símismo en estado de movimiento con respecto al nuevo estándar de referencia, eléter. Y de este modo habría también una manera de determinar quién o quiénesestán en estado de reposo o en estado de movimiento con respecto a este nuevo

parámetro.Volviendo nuevamente a la nave espacial con forma de vagón de ferrocarril

perfectamente blindado que vimos en el capítulo anterior. Sin necesidad de ver haciael exterior bastaría con que alguien echara mano de una linterna encendiéndola





para enviar un rayo de luz de un extremo a otro de la nave, y si la velocidad de eserayo de luz medida de alguna manera resultara ser igual a la velocidad de la luzobtenida mediante las ecuaciones de Maxwell, entonces el ocupante de la naveespacial podría dar por hecho el encontrarse por alguna maravillosa casualidad enun estado de reposo absoluto. Por otro lado, si para una persona exterior a la nave

espacial, tal como un viajero varado en un asteroide, dicha nave espacial pasara agran velocidad junto a ella, la velocidad de la luz disparada desde la linterna dentrode la nave espacial tendría que ser necesariamente diferente según el náufragoviajando en el asteroide. Aunque este se moviese rápidamente con respecto a la naveespacial en la misma dirección o en dirección contraria al haz saliendo de la linterna

dentro de la nave espacial. En caso de moverse con una velocidad en direccióncontraria a la dirección del haz que sale de la linterna dentro de la nave espacial con

una velocidad , el náufrago espacial en el asteroide debería ver al rayo de luzmoverse con una rapidez todavía mayor igual a , mientras que en caso demoverse con una velocidad

en la misma dirección del haz que sale de la linterna con

una velocidad debería ver al rayo de luz moverse con una rapidez menor igual a (moviéndose a una velocidad igual a , el náufrago espacial estaría avanzandoa la par con el rayo de luz que le parecería estático). Y en principio podría estarmoviéndose tan rápido que inclusive hasta podría dejar atrás al rayo de luz despuésde alcanzarlo.

Por fin había una forma de poder determinar experimentalmente quién se estabamoviendo y con respecto a qué se estaba moviendo, todo en base a un simple rayode luz, todo en base a cualquier experimento óptico que pudiese utilizar rayos deluz para la determinación del movimiento absoluto con respecto a la nueva vara demedición. Todo gracias al éter. El problema de la determinación del movimientoabsoluto parecía resuelto. Al menos en apariencia.



Fundamentos de Relatividad General La física es parada de cabeza


La física es parada de cabeza

Clásicamente, antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, elmundo basado en los conceptos del tiempo absoluto, que marcha por igual en todoel Universo, invariable, y el espacio absoluto, también invariable, siendo ambos

conceptos completamente independientes el uno del otro, era un mundo mucho mássencillo. En este mundo, para ubicar a un objeto puntual en el espaciotridimensional utilizando coordenadas Cartesianas para ello, bastaba conespecificar tres números para que la posición del objeto puntual quedaraidentificada de modo unívoco, como el siguiente punto especificado por lascoordenadas ,, 2, 3, 5 medidas a partir de un origen de referencia concoordenadas ,, 0,0,0:

Ilustración 5

Con esta convención, si el objeto ubicado en el punto empezaba a desplazarsea lo largo de uno de los ejes, digamos el eje , a una velocidad constante , digamosde unos 4 /, su posición nueva medida a partir de un tiempo 0 se podíaobtener fácilmente simplemente sumando la cantidad al valor original en dichacoordenada. De este modo, al haber transcurrido un tiempo de 3 , elobjeto se habría desplazado una distancia de 12 , y sus nuevascoordenadas serían:

′ 2

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SkTpp2g3hLI/AAAAAAAAGTo/8triRmyGoEw/s1600-h/ejemplo_vector_en_tres_dimensiones.gif





′ 3 4 / 3 15 ′ 5

(Obsérvese cómo se cancelan las dimensiones de las unidades, para dar siempreen la respuesta final las unidades correctas. Añadir todas las unidades desde un

principio en la solución de cualquier problema matemático, cancelándolas según serequiera, es una buena forma de darse cuenta de que no se están cometiendoerrores; llevando la contabilidad correcta de las dimensiones. Si en la respuesta final

de un problema un estudiante obtiene metros/segundo cuando esperaba obtenerkilogramos/metro cúbico ello le indicará que hubo un error, el cual puede sercorregido de inmediato con sólo ver en dónde las unidades se salieron fuera decontrol.)

De este modo, considerando a dos observadores distintos moviéndose uno conrespecto al otro a una velocidad constante

, un observador

en reposo en su propio

sistema de coordenadas rectangulares ,, a cuyo marco de referencia y otro observador ’ en movimiento junto con su propio sistema decoordenadas rectangulares ’,’,’ al que llamaremos ’, para pasar de un sistemade coordenadas al otro simplemente echábamos mano de las transformaciones deGalileo deducidas como se hizo en el ejemplo de arriba recurriendo a la lógica

elemental. Si el movimiento relativo se lleva a cabo a lo largo de un eje común entreambos, digamos el eje , y si suponemos que el marco de referencia ’ es el que seestá moviendo de izquierda a derecha:

Ilustración 6

Entonces es fácil ver que las transformaciones de Galileo para pasar lascoordenadas de un punto fijo situado en el marco de referencia ’ a las coordenadasque le corresponden en el marco de referencia deben ser:

’ ’ ’ ’ Aunque nos parezca superfluo, por completitud introduciremos el tiempo universal

como un cuarto componente en el conjunto ordenado de componentes de cada

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sfy3-nTJ6NI/AAAAAAAAFw4/G9N89RIlgRw/s1600-h/marcos_de_referencia_1.png





sistema de coordenadas. Así, para el observador un punto cualquiera en susistema de coordenadas estará especificado como ,,,, y para el observador ’ otro punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como

’,’,’,’, y el conjunto completo de transformaciones de Galileo para llevar a cabo

la conversión de un punto cualquiera en

’ a las coordenadas que le corresponden

en serán:

’ ’ ’ ’ ’ Hemos supuesto que ambos observadores están provistos de metros y relojes de

forma tal que pueden medir las coordenadas de los eventos o acontecimientos que

les toque presenciar. Hemos supuesto también que ambos ajustan sus relojes de

modo tal que cuando pasen el uno frente al otro en ’ 0 la lectura en susrelojes será ’ 0. El uso de las transformaciones de Galileo quedará más clarocon la resolución de los siguientes problemas.

PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil S’ son’,’,’,’ 4,7,2,0. ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco

de referencia estacionario para un tiempo 3 segundos y para un tiempo 5 segundos

si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a 4 metros/segundo?

Para un tiempo de ′ 3 segundos, las coordenadas en se obtienen como:

’ ’ 4 4 /3 16 ’ 7 ’ 2 ’ 3

Las coordenadas en serán entonces:

,,, 16,7,2,3. Para un tiempo de ′ 5 segundos, las coordenadas en se obtienen como:

’ ’ 4 4 /5 24 ’ 7 ’ 2 ’ 5


,,, 16,7,2,3





Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en ’ se vadesplazando más y más hacia la derecha. Las coordenadas en el eje y en el eje se mantienen iguales puesto que no hay movimiento alguno fuera del que se lleva acabo a lo largo del eje

.

Hemos considerado en la resolución del problema anterior que el marco dereferencia ’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha (en el sentido positivodel eje ) a velocidad , pero la resolución del problema hubiera sido exactamentela misma si hubiéramos considerado al observador ’ fijo y al marco de referencia moviéndose de derecha a izquierda en el sentido del eje :

Ilustración 7

Para pasar del marco de referencia

al marco de referencia

’, las

transformaciones de Galileo serán:

’ – ’ ’ ’ Obsérvese el cambio de signo que se tuvo que hacer, ya que esta es una

transformación inversa a la anterior.

PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil

son:

, ,, 3,1,8,0. ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referenciaestacionario ’ para un tiempo 5 y para un tiempo 10 si la velocidad

relativa entre ambos marcos de referencia es igual a 2 /?

El punto fijo se encuentra ahora en el marco de referencia . Para un tiempode 5 , las coordenadas en se obtienen como:

’ 3 2 /5 7

’ 1

’ 8 ’ ’ 5

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfzAo5e-zTI/AAAAAAAAFxA/vjOaYw26AwI/s1600-h/marcos_de_referencia_2.PNG






,,, 7,1,8,5

Para un tiempo de 10 , las coordenadas en se obtienen como:’ 3 2 /10 17 ’ 1 ’ 8 ’ 10 Las coordenadas en S serán entonces:

,,, 17,1,8,10

Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en se vadesplazando más y más hacia la izquierda, en el sentido negativo del eje .

PROBLEMA: Un pasajero de un tren que se mueve a 20 metros/segundo para frente a un hombre

que se encuentra en la plataforma de la estación en un tiempo que para ambos es ’ 0. Diezsegundos después de que el tren lo pasa, el hombre de la plataforma encuentra que un pájaro quevuela a lo largo de la vía y en la misma dirección del tren está a 500 metros de distancia. ¿Cuáles

son las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero?

Las coordenadas asignadas al pájaro por el hombre en la plataforma de laestación son: , , , 500 , 0, 0, 10 .

Pasando del sistema de referencia al sistema de referencia ’ y de acuerdo conlas transformaciones de Galileo, la distancia del pájaro al pasajero, medida poréste es: ’ 500 20 / 10 ’ 300

Entonces las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero son:

’, ’, ’ , ’ 300 , 0, 0, 10 Al pasar del marco de referencia al marco de referencia ’, las transformaciones

de velocidad , según Galileo, basadas en incrementos de las coordenadas, serán:

’ ∆ ∆

∆

∆ ∆∆ ∆∆ ∆





∆∆ ∆ ∆

’

Y del mismo modo: ’ ; ’′

’ ∆z∆t ; ’

’

Por otra parte, al pasar del marco de referencia al marco de referencia ’, lastransformaciones de aceleración, según Galileo, basadas en incrementos de las

velocidades con respecto a incrementos iguales de tiempo, serán (la velocidadrelativa entre ambos marcos de referencia permanece constante y no cambia conrespecto al tiempo transcurrido):

’

’ ’

’ ’ ’

El hecho de que la aceleración de un cuerpo medida clásicamente tanto por unobservador estacionario como por un observador móvil sea la misma implica que lasleyes de Newton basadas en la fórmula

permanecerán las mismas en

todos los marcos de referencia al pasar de un marco de referencia a otro, y por lotanto los experimentos basados en las leyes de la mecánica clásica que a su vez sebasan en los conceptos del espacio absoluto y el tiempo absoluto no nos sirven paradetectar el movimiento absoluto, confirmando lo que ya habíamos visto al principiode esta obra.

“El movimiento absoluto no se puede detectar a través de experimentos mecánicos. “

Pero se suponía que se podía detectar a través de experimentos ópticos usandorayos de luz. Para eso estaba el éter, para darnos un marco de referencia universal

e inmóvil con respecto al cual era posible concebir el movimiento absoluto. De este





modo, la velocidad de la luz, predicha teóricamente mediante las fórmulas delelectromagnetismo de James Clerk Maxwell, parecía zanjar de una vez por toda lacuestión sobre el asunto del movimiento absoluto.

PROBLEMA: Considérese una masa atada a un resorte que se mueve sobre una superficiehorizontal sin rozamiento, y la cual cuando el resorte no está estirado ni comprimido se encuentra

a una distancia de la pared a la que está anclado el otro extremo del resorte. Clásicamente, lafuerza de tensión ejercida por el resorte sobre la masa M cuando es estirado a una distancia xde la pared está dada por la relación que nos dice que dicha fuerza es directamente proporcionala la distancia :

Esta fuerza cuando está desbalanceada produce una aceleración sobre la masa

M que está dada por la ley de Newton · (fuerza igual a masa por aceleración).Demostrar que esta fórmula es invariante bajo las transformaciones de Galileo.

Ilustración 8

Considerando el movimiento de la masa a lo largo del eje , la ecuación delmovimiento de la masa determinada por un observador en reposo con respecto a lasuperficie es: Ma kx x0 Max

Usando las transformaciones de Galileo para determinar la ecuación del

movimiento encontrada por un segundo observador moviéndose a una velocidad

con respecto al primero: ’ ’ - ’ ’ ’

Obtenemos la siguiente ecuación del movimiento para el segundo observador:

’ ’0 ’ ·

Puesto que la ecuación del movimiento para el segundo observador tiene la mismaforma que la ecuación del movimiento para el primer observador, la ecuación del

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SgBgopT7UlI/AAAAAAAAF0w/c9zJbz5TQOk/s1600-h/resorte_oscilante.png





movimiento es invariante bajo las transformaciones de Galileo. Esto confirma que

no se puede detectar el movimiento absoluto haciendo experimentos mecánicos conresortes.

En general, se dice que hay invariancia en una ecuación cuando esta presenta la

misma forma al ser determinada por dos observadores distintos moviéndose el unocon respecto al otro. En la teoría clásica se supone que las medidas de espacio ytiempo obtenidas por dos observadores están relacionadas por las transformacionesde Galileo.

PROBLEMA: Suponiendo que los sistemas de referencia y ’ además de estarse moviendo a unavelocidad relativa el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes ,’ se están moviendotambién a una velocidad relativa el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes ,’ y a

una velocidad relativa el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes ,’, ¿cuáles serán lastransformaciones de las coordenadas? ¿Cuáles serán las transformaciones de velocidad? ¿Cuáles

serán las transformaciones de aceleración?

Puesto que el movimiento relativo es independiente de los movimientosrelativos y , del mismo modo que el movimiento relativo es independiente del

movimiento relativo , la extensión natural de las transformaciones de Galileo haciaun espacio de tres dimensiones será:

’ ’ ’ ’

’ ’ ’ Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones anteriores obtenemos

las transformaciones de velocidad:

’ ’ ’

Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones de velocidad

obtenemos las transformaciones de aceleración:

’ ’ ’

PROBLEMA: Suponiendo que las coordenadas de un punto ’ en ’ son ’,’,’ 7,4,9 en untiempo ’ 0, y que ’ , ’ , ’ 3,5,2, ¿cuáles serán las coordenadas de dicho punto en

un tiempo ’ 6?





Las coordenadas en el sistema de referencia de tres dimensiones serán deacuerdo con los resultados anteriores:

’

’ 7 3 6 25

’ ’ 4 5 6 34

’ ’ 9 2 6 3

Las coordenadas del punto en el sistema de referencia serán entonces:

,,, 25,34,3,6

La mecánica clásica, construída sobre las columnas del espacio absoluto y elmovimiento absoluto, invariante bajo las transformaciones de Galileo, daba lugar aque las ecuaciones de Newton permanecieran iguales al pasar de un sistema dereferencia a otro. Era un entorno cómodo, consistente, con el que todos estaban

contentos. El único “pero” que se le podía poner a este esquema era que al intentarextender los conceptos de la mecánica clásica al estudio de los fenómenos propiosdel electromagnetismo (del cual no se sabía casi nada en los tiempos de Galileo yNewton) empezaban a surgir inconsistencias y asimetrías que no se habían visto enel estudio de la mecánica Newtoniana. Si se suponía que era posible medir elmovimiento absoluto de todos los objetos del universo con respecto a un simple rayode luz, el asunto matemático de repente se había vuelto extraordinariamentecomplejo. Uno de los primeros en darse cuenta de las complejidades matemáticasque se habían venido encima con la suposición del movimiento absoluto basado enel concepto del éter fue un físico alemán de nombre Albert Einstein. Suponiendo elmovimiento absoluto como válido, las mismas fórmulas del electromagnetismo de

Maxwell tenían que ser revisadas y modificadas para tomar en cuenta los diferentesresultados experimentales que podrían esperar obtener diferentes observadores enmovimiento relativo el uno con respecto al otro y por lo tanto en movimientosdiferentes con respecto a un rayo de luz.

La revisión requería introducir asimetrías en las fórmulas de Maxwell para darcabida en ellas a observadores privilegiados cuyo estado de reposo absoluto se

encontrase en concordancia exacta con la dirección y la velocidad teórica de un rayode luz. Estas asimetrías no existían en las fórmulas de Maxwell, puesto que dichasfórmulas no situaban a ningún observador en un plano preferencial con respecto alotro, las fórmulas tal y como estaban dadas por Maxwell eran igualmente válidas

para todos los observadores sin cambio alguno. Pero con la velocidad de la luz fijadacomo una vara de medición absoluta con respecto al éter, las fórmulas de Maxwellhabían dejado de ser universales, habían dejado de ser simétricas. Uno de losejemplos más claros de ello lo es la ecuación de onda electromagnética, obtenida de las

ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnética y representada en su formamás compacta por la siguiente fórmula:

1

Esta fórmula en la que el operador Laplaciano

actuando sobre la onda

electromagnética φ representa de manera concisa lo siguiente:





Se puede expresar en forma más explícita como:

1 0

No es difícil demostrar que al aplicar las transformaciones de Galileo a la fórmulaanterior, la ecuación toma el siguiente aspecto (se ha utilizado la sobre-línea encimade cada variable en lugar de la comilla para simplificar la notación):

1

1 2

0

Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. La únicamanera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la velocidad 0,lo cual significa regresar a la fórmula original válida para un observador que está enreposo con respecto al éter . El observador que está en reposo con respecto al éter siempretendrá la fórmula más sencilla de todas; es un observador privilegiado . Todos los demás

obtendrán fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nostopamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier otrasituación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos experimentosllevados a cabo con rayos de luz (o con ondas electromagnéticas de teléfonos

celulares, radio y televisión) adquirirán asimetrías al pasar de un marco dereferencia a otro.

Por más que intentó restaurar con parches las ecuaciones de Maxwell queanteriormente mostraban una simetría perfecta, Albert Einstein lo único queencontró en cada nuevo intento fueron más asimetrías y más asimetrías. Simple ysencillamente no había forma alguna de restaurar las ecuaciones de Maxwell a sucondición original como ecuaciones independientes del movimiento del observador.

Esto llevó a Einstein a cuestionar las mismas bases de lo que entendemos por

movimiento absoluto. En su esencia básica, todo movimiento, medido

experimentalmente como una velocidad, definida como la distancia recorrida entreel tiempo empleado en recorrer dicha distancia:

Presupone necesariamente que tanto la distancia como el tiempo son parámetrosfísicos absolutos, invariables.

Pero, ¿realmente podemos considerar la distancia entre dos objetos como algoinvariable, absoluto? La lógica nos dice que sí, que dos personas que estén paradasla una frente a la otra medirán la misma longitud de un metro. ¿Y dos personas quese están moviendo la una con respecto a la otra, también medirán la misma longitud

de un metro para la vara? El fundador mismo de la mecánica clásica, Isaac Newton,





nos había afirmado que sí, y esto se había tomado casi como un dogma indiscutiblepor muchas décadas en reconocimiento al enorme calibre intelectual de Newton,algo que no era fácil de poner en entredicho en base a lo que nos sugiere nuestrapropia intuición. Pero Newton fue más allá al afirmar que eso que nosotros llamamostiempo también es algo absoluto, universal, en el sentido de que dos personas con

relojes diferentes en sus manos y en reposo la una frente a la otra medirán el mismolapso del tiempo que les marcan los relojes que si se ponen en movimiento la unafrente a la otra inclusive hasta alcanzar velocidades extraordinariamente altas. ParaNewton, la marcha del tiempo era algo universal, invariable, y si la marcha deltiempo era medida con relojes iguales sincronizados con elevada precisión el unocon respecto al otro, ambos deberían obtener los mismos lapsos de tiempo. Esto, elconcepto del tiempo absoluto, aunque un poco menos obvio que el concepto de la

longitud absoluta, también era tan obvio a nuestra intuición que simple y

sencillamente no había razones para cuestionarlo. Pero el problema de aferrarnos alos conceptos de la longitud absoluta y del tiempo absoluto con su consecuencia

directa que es el movimiento absoluto se traducía directamente en la destrucción dela simetría universal mostrada por las ecuaciones básicas del electromagnetismo deMaxwell. Podemos, si así lo deseamos, aferrarnos a los conceptos de la longitudabsoluta y del tiempo absoluto, y toparnos con las mismas ecuaciones asimétricaspara la teoría del electromagnetismo que Einstein trató de remendar inútilmente.

O podemos, aunque nos cueste mucho trabajo hacerlo, y aunque vaya en contra de nuestro máselemental sentido común, prescindir por completo de los conceptos de la longitud absoluta y del espacioabsoluto, y con ello del movimiento absoluto.

Esto, desde luego, nos lleva nuevamente a la misma situación en la cual nosencontrábamos desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana, de que no esposible determinar quién es el que se está moviendo, definido el movimiento comoalgo contra lo que se pudiera decir que nos estamos moviendo. Pero tiene unaconsecuencia matemática extraordinariamente apetecible: todas las asimetrías quehabían surgido en las ecuaciones de Maxwell desaparecen casi como por arte demagia, las ecuaciones básicas de la teoría del electromagnetismo retoman sucarácter sencillo y universal. Pero para que esto ocurra, es necesario también queuno de los descubrimientos más sorprendentes de Maxwell, la constancia de lavelocidad de la luz considerada como una onda electromagnética, permanezca

invariable para distintos observadores aunque estén en movimiento relativo el unocon respecto al otro. En pocas palabras, dos o más observadores que se estén moviendoen direcciones diferentes ambos medirán para un mismo rayo de luz la misma velocidad ,siendo esta precisamente la velocidad predicha por las ecuaciones de Maxwell.

Convencido de que esta era la única salida posible para el enredo, Albert Einsteinformuló los dos principios básicos sobre los cuales descansa la Teoría Especial de la

Relatividad , conocida también como Teoría Restringida de la Relatividad o

simplemente Teoría Restringida por estar limitada a fenómenos físicos en los cuales

no hay aceleraciones entre dos observadores distintos sino únicamente movimientosrelativos entre el uno y el otro llevándose a cabo a velocidad constante:





1. El movimiento absoluto no puede ser detectado, porque tal cosa no existe.

2. La velocidad de la luz es la misma para distintos observadores.

El primer postulado nos confirma que el movimiento absoluto no sólo no puedeser detectado por medios mecánicos, lo cual ya se sabía desde los tiempos de Newton y Galileo, tampoco puede ser detectado por medios ópticos que involucren a la misma luzasí como experimentos de índole eléctrica y magnética, y de hecho no puede ser detectado

por medio alguno, no puede ser determinado por ningún tipo de experimento deíndole alguna que a alguien se le pueda ocurrir ahora o en el futuro.

Y el segundo postulado es irónico porque a la vez que descarta la existencia de lalongitud absoluta y del tiempo absoluto, sube a un pedestal privilegiado a un nuevoabsoluto de la física, la velocidad de la luz, la cual será la misma e invariable encualquier parte del universo para cualquier observador.

Estos dos postulados sobre los cuales descansa la Teoría Especial de la

Relatividad, tan sencillos como parecen, tienen repercusiones amplias y profundas,siendo causantes de una de las revoluciones intelectuales más profundas eimportantes del siglo XX.

Uno de los primeros triunfos inmediatos de la nueva teoría fue que la ecuaciónde onda electromagnética permanecía invariante al pasar de un sistema dereferencia a otro sistema de referencia ’ o viceversa; o sea que si la ecuaciónoriginal en el sistema S era:

φ∂y

1 ·

0

Entonces en el sistema ’ la fórmula obtenida era:

− φ∂y− − 1 · − 0

¡Simetría total, por fin!

Obviamente, las transformaciones requeridas para llevar a cabo la conversión deun marco de referencia a otro no podían estar basadas en las transformaciones deGalileo. Se requería un nuevo tipo de transformaciones incorporando los principios de

los dos postulados de la Teoría Especial de la Relatividad. Esto se veráposteriormente con mayor detalle.

De este modo, al llevar a cabo experimentos de óptica con rayos de luz, desaparecíala posibilidad de poder detectar el movimiento absoluto con respecto al éter, y conello desaparecía la necesidad de creer en la existencia del éter, al mismo tiempo quedesaparecía el concepto del observador privilegiado. Pero había que pagar un costopor todo esto. De pronto las transformaciones de Galileo perdieron su carácteruniversal y sólo eran aproximadamente válidas a bajas velocidades (en comparación





con la velocidad de la luz). La cinemática clásica tuvo que ser revisada a fondo ypuesta al día. Y la dinámica basada en las leyes de Newton era insostenible en casode no ser modificada adaptándola a los nuevos conceptos.

En su trabajo original, publicado en 1905 en el tomo 17 de la publicación

científica Annalen der Physik, cuya página frontal tenemos a continuación:

Ilustración 9

Y en cuyo interior tenemos el trabajo “Zur Elektrodynamik bewegter Korper ” (Sobre

la electrodinámica de los cuerpos en movimiento) cuya introducción es:

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfI5HFdeqsI/AAAAAAAAFr4/Epa6Bw23a5A/s1600-h/Annalen_der_Physik_1905_pagina_frontal.jpg





Ilustración 10

Podemos leer lo siguiente:“Es conocido que la electrodinámica de (James Clerk) Maxwell -como usualmente

se entiende en el tiempo presente- cuando se aplica a los cuerpos en movimiento,conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes en los fenómenos. Tómese, porejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. Elfenómeno observable aquí depende únicamente del movimiento relativo del

conductor y el imán, mientras que el punto de vista acostumbrado hace unadistinción aguda entre los dos casos en los cuales el uno o el otro de estos cuerposestán en movimiento...

“Ejemplos de este tipo, junto con los intentos infructuosos para descubrir

cualquier movimiento de la tierra relativo al “medio de luz” (aquí Einstein está haciendouna clara referencia al éter que supuestamente servía como medio de transporte para la luz)

sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como los de la mecánica, no

poseen propiedades que correspondan a la idea del reposo absoluto (si el reposoabsoluto no puede ser detectado, tampoco el movimiento absoluto). Estos sugieren que,

como ya se ha demostrado al primer orden para cantidades pequeñas, las mismas

leyes de electrodinámica y óptica serán válidas para todos los marcos de referenciapara los cuales las ecuaciones de la mecánica son sostenidas como válidas.Elevaremos esta conjetura (que será llamada de aquí en adelante el “ Principio de

Relatividad ”) a la categoría de un postulado, introduciendo también otro postulado,

que es irreconciliable sólo en apariencia con el anterior, que la luz es propagada

siempre en el espacio vacío con una velocidad definida que es independiente delestado de movimiento del cuerpo emisor. Estos dos postulados son suficientes parala realización de una teoría simple y consistente de la electrodinámica de cuerposen movimiento basada en la teoría de Maxwell para cuerpos estacionarios.”

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfI8BhMBZOI/AAAAAAAAFsA/zAoincg3qOw/s1600-h/primera_pagina_del_trabajo_introductorio_de_la_teoria_especial_de_la_relatividad.png





Para beneficio e interés de los lectores, se ha reproducido íntegramente al final de esta obra latraducción inglesa del trabajo original con el cual Einstein dio a conocer al mundo desde Alemania laTeoría Especial de la Relatividad, puesto en el Apéndice I bajo el título “El papel original de Einsteinde 1905”.

Bastan pues tan solo dos postulados sencillos, enunciados en unos cuantosrenglones, para construir todo nuestro castillo de conocimientos sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad (Einstein no utilizó el adjetivo “Especial” en suprimer trabajo sobre el tema, esto lo incluiría posteriormente). Aquí tal vez podríapreguntarse alguien, ¿y por qué razón Einstein hizo referencia posterior a esta teoríacomo la Teoría Especial de la Relatividad? ¿Acaso estaba concebida para formarparte de un esquema más amplio? ¿Acaso la Teoría Especial de la Relatividad iba aformar parte de una teoría de mayor cobertura, una Teoría General de laRelatividad? ¿Qué es entonces lo que está ausente de la Teoría Especial de la

Relatividad?En efecto, cuando Einstein concibió la Teoría de la Relatividad en su primerformato, supo desde un principio que esta teoría tendría que formar partenecesariamente de un esquema más amplio, sabía que la Teoría de la Relatividadque había formulado no abarcaba algo que había quedado pendiente y que por lotanto tendría que ser considerada como una Teoría Especial de la Relatividad.

Para saber qué es lo que había quedado ausente, trasladémonos de nuevo alvagón de ferrocarril herméticamente sellado en el que nuestro viajero se encontrabaviajando y en el cual trataba de concebir infructuosamente alguna formaexperimental con la cual pudiera saber si se estaba moviendo o no. En base a la Teoría Especial de la Relatividad, no existe experimento alguno que le pueda decir

al viajero si se está moviendo o no, porque el movimiento absoluto no existe, siemprefue una quimera a la cual fuimos llevados por la forma tan simplificada en la cualopera nuestro sentido común:

Ilustración 11

Sin embargo, si el tren se acelera o decelera, por muy blindado que esté el trenpor dentro el viajero sabe de inmediato que el tren ha cambiado de velocidad por lasfuerzas que experimenta de súbito en el interior. Si lleva un reloj de bolsillo consigocolgando de una cadena y el reloj está suelto, la ligera elevación del reloj le indicaráclaramente que el vagón está experimentando un cambio de velocidad, un cambiosusceptible de ser medido experimentalmente con instrumentos de medición:

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Se9EfBhbYKI/AAAAAAAAFpA/ELUEN1hvY3U/s1600-h/pasajero_en_tren_a_velocidad_constante.png





Ilustración 12

Esto parecería darle al ocupante del vagón de ferrocarril la condición de ser unobservador privilegiado con respecto a todos los demás observadores externos al tren

que lo ven pasar rápidamente sobre las vías del ferrocarril, porque mientras losobservadores externos se pueden considerar en estado de reposo el viajero en elvagón blindado se puede dar cuenta de cuándo el vagón está cambiando develocidad. De lo que no puede darse cuenta es si el vagón se está moviendo a unavelocidad constante cuando se está moviendo a una velocidad constante, pero

indudablemente que sí se puede dar cuenta de cuándo el vagón ha variado lavelocidad de su marcha. Esto parece restaurar cierto status de observador

privilegiado al viajero que va dentro del vagón. Pero este es un asunto que involucraaceleraciones, cambios de velocidad, no velocidades constantes. Einstein dejó esteasunto pendiente por algún tiempo mientras formulaba esa teoría más general quetomara en cuenta el caso de los cambios de velocidad, esa teoría que llegaría a serconocida como la Teoría General de la Relatividad de la cual la Teoría Especial de laRelatividad es, perdonando la redundancia, un caso especial.

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Se9E108NPrI/AAAAAAAAFpI/I-G3CZFfQ_o/s1600-h/pasajero_en_tren_a_aceleracion_constante.png



Fundamentos de Relatividad General Las consecuencias directas de la teoría


Las consecuencias directas de lateoría

Si tomamos como ciertos los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la

Relatividad y nos aferramos a ellos sin cuestionarlos, las consecuencias suelentomar un carácter dramático para la forma de pensar a la cual estábamosacostumbrados. En realidad, para muchos puede resultar un verdadero shock .

Empezaremos con el siguiente ejemplo que es tal vez uno de los ejemplos mássimples que podamos concebir, en el cual tenemos a un experimentador viajandoen un tren sin paredes y sin techo, con la plataforma descubierta, a una velocidadextremadamente alta de 100 mil kilómetros por segundo con respecto a las vías deltren , el cual con una linterna acciona un rayo de luz que en el dibujo podemos verque viaja de izquierda a derecha:

Ilustración 13

En la tierra tenemos un observador que ve pasar rápidamente al vagón a lavelocidad de 100 mil kilómetros por segundo.

El viajero que va en el tren con la plataforma al descubierto y el cual tiene unalinterna reposando en sus manos, ve salir al rayo de luz de la linterna con unavelocidad de 300 mil kilómetros por segundo. Si tiene instrumentos a bordo esto eslo que él medirá.

¿Y qué velocidad medirá para el mismo rayo de luz el observador que ve pasar elvagón a una velocidad de 100 mil kilómetros por segundo? Nuestro sentido comúnnos dice que la velocidad del rayo de luz de 300 mil kilómetros por segundo sesumará a la velocidad del vagón de 100 mil kilómetros por segundo resultándole enuna velocidad de 400 mil kilómetros por segundo. Pero la Teoría de la Relatividadnos dice que él también medirá una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo para

el rayo de luz . Ambos miden para el mismo rayo de luz una velocidad de 300 mil

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/ScFMZy2KOlI/AAAAAAAAFVE/Bxx6fMcY8xc/s1600-h/movimiento_relativo_con_luz.gif





kilómetros por segundo. ¿Entonces qué es lo que está sucediendo? Lo que estásucediendo es que la distancia que recorre el rayo de luz para el experimentadorque viaja en el vagón y el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia son diferentesdel tiempo y de la distancia que el observador en tierra mide experimentalmente . Enefecto, las distancias y los tiempos han dejado de ser unidades de medición

absolutas. Lo único que no ha cambiado y que permanece invariable como unaconstante universal es ese rayo de luz.

Consideremos ahora otro experimento hipotético, en el cual tenemos unferrocarril que se mueve a una velocidad extremadamente rápida, dentro del cualhay un pasajero A que tiene una linterna en su mano y que en un momento dadoenciende y apaga su linterna con el objeto de enviar un pulso luminoso hacia unespejo que puede estar situado ya sea en el techo del vagón en el que viaja o en lapared contraria, siempre y cuando el pulso luminoso no sea enviado en la mismadirección en la cual se está moviendo el tren o en dirección contraria, sino en una

dirección perpendicular al sentido del movimiento del tren.

Ilustración 14

Supondremos también que hay un observador externo B situado a un lado de lasvías del ferrocarril que se ha puesto de acuerdo previamente con el viajero A en eltren en que el observador externo B es el que está en reposo y que el tren se estámoviendo a una velocidad de 0.6 . Puesto que la velocidad de laluz es extremadamente alta, para fines didácticos consideraremos una velocidad dela luz 1 /, lo cual no altera las conclusiones básicas que estamos buscando.

Es ya costumbre “encajonar” al viajero que se traslada en la plataforma móvil dentrode lo que llamamos un marco de referencia (la palabra inglesa es reference frame) como

si estuviese contenido dentro del marco de un cuadro en el cual está todo lo que semueve junto con el viajero incluyendo al tren, su linterna, el aire que respira, elespacio tridimensional en el que está situado, en fin, todo incluyéndolo a él; comotambién es ya costumbre denotar dicho marco de referencia con la letra ′. Por otrolado, es ya costumbre “encajonar ” el observador situado a un lado de las vías del

ferrocarril y al cual consideramos en reposo dentro de su propio marco de referenciacomo también es ya costumbre denotar dicho marco de referencia con la letra .

El viajero A lleva consigo dentro de su marco de referencia (que llamaremos ′ siguiendo la costumbre usual) un reloj electrónico de alta precisión con el cual mideel tiempo total de ida y vuelta que el pulso luminoso tarda en recorrer la distancia

D de la linterna hasta el espejo junto con el tiempo que tarda en regresar a su punto

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SdAY_u3DwKI/AAAAAAAAFYE/kxh4fdEKeww/s1600-h/rayo_de_luz_disparado_hacia_arriba.png





de origen. El tiempo que transcurre entre dos eventos que ocurren dentro de unmismo marco de referencia en el cual el observador está en reposo es conocido comotiempo propio (y también como tiempo local).

Para fines ilustrativos usando números, supondremos que la distancia D delviajero hasta el espejo que tiene frente a él es de 4 metros. Entonces el pulso

luminoso recorrerá un total de 8 metros en su trayecto de ida y vuelta:

Ilustración 15

Entonces el tiempo propio

′ que mide el viajero con su reloj entre la salida del

pulso de luz de la linterna y el retorno del pulso después de haber sido reflejado porel espejo será igual a:

2 · / ′ 2 · /

′ 8 / 1

′ 8

Sin embargo, lo que observa el viajero dentro de su marco de referencia ′ no es lomismo que lo que observa la persona que está fuera del ferrocarril a un lado de lasvías del tren en un marco de referencia que llamaremos , la cual verá al pulso deluz recorrer una longitud mayor que la que ve el viajero dentro del vagón:

Ilustración 16

Si el ferrocarril se está trasladando a una velocidad igual a 0.6 metros porsegundo, entonces la distancia recorrida por el pulso luminoso seráindudablemente mayor para el observador estacionario en el marco de referencia que la distancia 2 que el viajero ve que el pulso luminoso recorre en su marco dereferencia

′. Sin embargo, por el segundo postulado de la Teoría Especial de la

Relatividad, ambos deben medir la misma velocidad para ese pulso luminoso.





Entonces, ¿cómo puede el observador estacionario obtener la misma velocidad para el pulso luminoso siendo que la longitud de recorrido que él mide es mayor quela longitud de recorrido para el viajero dentro del vagón? Pues midiendo un tiempomayor de recorrido

para el pulso luminoso que el tiempo

′ medido por el viajero

A. Este es un fenómeno relativista conocido como la dilatación del tiempo.

Usando el Teorema de Pitágoras, el recorrido del rayo de luz se puededescomponer en una componente vertical y una componente horizontal:

Ilustración 17

Veamos ahora las cosas desde la perspectiva del observador externo B, en elmarco de referencia , medidas en el tiempo propio del observador externo B.

Para el observador B, el rayo de luz hace un recorrido triangular que, dentro desu marco de referencia, transcurre en un tiempo total que necesariamente debeser mayor que el tiempo propio ′ del viajero A para que así ambos puedan medirpara el rayo de luz la misma velocidad . En algo en lo que ambos viajero yobservador externo están completamente de acuerdo, además del hecho de que losdos miden para el pulso luminoso la misma velocidad c, es que el tren se estádesplazando a la misma velocidad

de 0.6 metros por segundo.

En su tiempo , entre ambos eventos del disparo y retorno del rayo de luz a supunto de origen, para el observador B el tren habrá avanzado una distancia total · . Entonces la distancia que habrá avanzado el tren desde que el rayo de luz esdisparado por el viajero A hasta que llega al espejo situado en el lado contrario alviajero será la mitad, o sea ·/2. También, en su marco de referencia , elobservador B medirá para la distancia total recorrida por el rayo de luz desde quees disparado por el viajero A hasta que regresa a su punto de origen una longitudtotal de · . Entonces la distancia que habrá recorrido el rayo de luz desde que esdisparado por el viajero A hasta que llega al espejo situado en el lado contrario alviajero será la mitad de la trayectoria total, o sea

·/2. Podemos ver que la

relación de longitudes, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, estará dada en baseal siguiente triángulo:





Ilustración 18

Y será:

· 2 · 2

Entonces, despejando para : 2 ·· √ 2

8 /√1 /² 0.6 /²

8/0.8

10

Así pues, para el observador B, el rayo de luz tarda 10 segundos en recorrer el

trayecto total de ida y vuelta. El tiempo que mide el viajero A se ha dilatado (expandido)en B, ya que el viajero B mide 8 segundos entre ambos eventos. Al usar la palabra

“dilatación”, no la estamos utilizando en el sentido de “retraso”, sino en el sentido de

“aumento”.

Usando exactamente el mismo procedimiento que el que utilizamos para resolvereste problema numérico, podemos obtener una fórmula general para la dilatacióndel tiempo (en la derivación de la fórmula se prescindirá del símbolo

al

sobreentenderse que el tiempo es una diferencia de tiempo transcurrido entre doseventos):

12 12

4 · 4 ·

4

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SdPmDsixRII/AAAAAAAAFbk/WTxKL1gbgwE/s1600-h/triangulo_para_derivacion_relativistica.PNG





2 1

2 1

Pero ya vimos que 2/ es el tiempo ′ que mide el viajero A entre ambos eventos.Entonces:

1

Usando los valores del numéricos del ejemplo, con 0 . 6 metros/segundo y ′ 8 , encontramos que el tiempo del viajero A se dilata a un tiempo 10 , lo cual nos verifica la fórmula.

Supongamos ahora que tenemos en tierra espaciados a distancias iguales unaserie de relojes sincronizados que están en reposo cada uno de ellos con respecto a

todos los demás:

Ilustración 19

Al referirnos a estos relojes como relojes sincronizados estamos hablando de

relojes que no sólo marcan todos ellos la misma hora para el observador en repososituado en tierra sino que también avanzan a la par cada uno de ellos con respectoa los demás sin adelantarse ni retrasarse.

Si repetimos los cálculos que hemos hecho arriba manteniendo constante (igual)la velocidad usando trayectorias de recorrido más largas, comprobaremos que el

tiempo dilatado

aumentará en forma directamente proporcional al tiempo propio

′ medido dentro del vagón. O sea que si el reloj

′

marca 8 segundos justo cuando un reloj del observadorenfrente de él marca un tiempo de 10 segundos,entonces si el reloj ′ marca 16 segundos (el doble)entonces otro reloj en tierra que se encuentredirectamente enfrente de él al tomarse la lectura estarámarcando un tiempo de 20 segundos, y si el reloj ′ marca 24 segundos (el triple) entonces otro reloj entierra que se encuentre directamente enfrente de él altomarse la lectura estará marcando un tiempo de 30segundos, en una forma sugerida por las siguientes

figuras (los relojes sincronizados puestos a lo largo delsistema de referencia del observador en reposo seIlustración 20

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mantienen sincronizados en todo momento para el observador en reposo; sin embargo

y como lo veremos posteriormente, todos esos relojes aparecerán desincronizados para el observador en movimiento, al ocurrir una pérdida relativista de lasimultaneidad absoluta con la cual lo que es simultáneo en un marco de referencia

deja de serlo al ser visto desde otro marco de referencia. Todo esto nos indica que el factor de corrección (que en este caso es igual a /′ 10/8 1.25) que debemos

aplicar para obtener el tiempo en el marco de referencia en tierra cuandoconocemos el tiempo ′ dentro del vagón es una cantidad constante, y por lo tanto la transformación matemática requerida para pasar del marco de referencia del vagón almarco de referencia en tierra (o viceversa) debe ser una transformación lineal. Haremos uso

de esta observación cuando posteriormente llevemos a cabo la derivación defórmulas de carácter general para poder movernos de un marco de referencia a otro.

Analicemos ahora el ejemplo desde la perspectiva del viajero A estando ambostodavía de acuerdo en que el viajero A es el que se está desplazando a una velocidad

y el observador B está en reposo.El viajero A mide para el rayo de luz en su plataforma móvil con su reloj en mano

una velocidad de c = 1 metro por segundo al recorrer dentro de su marco dereferencia una distancia total (ida y vuelta) de 8 metros en 8 segundos. Pero al serreflejado el rayo de luz y llegar a su punto de origen, encuentra que en ese mismopunto en el que ambos coinciden por un instante mientras el tren prosigue con sumovimiento el reloj del observador B marca 10 segundos. Ambos siguen en completoacuerdo en que el tren se está moviendo a la misma velocidad con respecto aambos. La única forma posible en la que el viajero A pueda seguirle asignando alobservador B una velocidad

de 0.6 metros por segundo (en dirección opuesta) es

que el viajero A determine desde su punto de vista una longitud menor para el

observador B entre ambos eventos, ya que de no ser así le estaría midiendo unavelocidad errónea igual a:

6 / 8 0.75 /

Entonces el viajero A también necesita un factor de corrección para compensar

por la contracción de longitud que está detectando. ¿Y de cuánto tiene que ser ese

factor de corrección? Para poder seguirle midiendo al observador B una velocidadde 0.6 metros por segundo en ocho segundos, la distancia entre ambos eventos enla plataforma de B según el viajero A, debe ser:

8 0.6 /

4.8 ¡Para el viajero A, una longitud de 6 metros del observador B parece haberse

contraído a 4.8 metros! El factor de corrección para la contracción de longitud debe

ser entonces:

4.8 / 6 0.8





El factor de corrección utilizado por el viajero móvil A para medir la contracción dela longitud en B resulta ser exactamente el inverso del factor de corrección utilizado

por el observador B para poder determinar la dilatación del tiempo de A, lo cual era

de esperarse y no debe causarnos ningún asombro. Lo que para un observador esun fenómeno físico de dilatación del tiempo para el otro observador refiriéndose alos mismos eventos es un fenómeno físico de contracción de longitud.

En la cinemática relativista, la contracción de la longitud es un corolario de la dilatación del tiempo,y viceversa. Ambas cosas siempre van de la mano.

El factor de corrección:

1 1

Aparece con tanta frecuencia en problemas propios de la Teoría Especial de laRelatividad, que con fines de simplificación notacional es representado con elsímbolo γ (letra griega gamma):

1 1

Con esto tenemos la siguiente relación simplificada para obtener la dilatación deltiempo al pasar del marco de referencia a otro:

∆∆′ Si simbolizamos al tiempo propio (tiempo local) del observador en reposo con la

letra griega (tau), entonces la fórmula toma el siguiente aspecto que resulta más

familiar para quienes estudian ciertos aspectos más avanzados de la Teoría de laRelatividad:

∆ ∆

Del mismo modo, con el factor de corrección γ podemos escribir la siguienterelación simplificada para obtener la contracción de longitud al pasar de un marco de

referencia a otro:

Por otra parte, la cantidad / aparece también en el análisis de problemas derelatividad con tanta frecuencia que es común que sea abreviada con el símbolo β (letra griega beta):

/





Hagamos el cálculo de la velocidad del rayo de luz tal y como es medida tanto porel viajero A como por el observador B. Desde la perspectiva del viajero A, el rayo de

luz recorre dentro de su marco de referencia

′ ocho metros

2 en ocho segundos

′. Entonces él mide una velocidad de:

22 8 / 8

1 / Desde su perspectiva, el observador B ve que el rayo de luz recorre una distancia

dentro del marco de referencia del viajero A tanto en su trayectoria de ida como ensu trayectoria de regreso una distancia que podemos obtener del triángulo de lasdistancias básicas:

Ilustración 21

Podemos ver que para el observador B el rayo en su trayectoria de ida recorre 5metros, o sea que en su trayectoria total de ida y vuelta recorre 10 metros. Entoncespara el observador B el rayo de luz tiene una velocidad de: 10 /

10 / 10

1 /

Ambos viajero A y observador B miden para el rayo de luz la misma velocidad,como era de esperarse.

Como hemos visto, la parte matemática del problema no es tan difícil de resolver.Lo duro viene al considerar la parte filosófica. Cuando hablamos de contracción delongitud, ¿de qué estamos hablando realmente? ¿Se comprime una vara de medirconforme pasa volando a gran velocidad frente a nosotros? ¿Qué la comprime?.

En realidad, la vara de medir en sí no se comprime. Es todo el espacio que viajaen ella y en torno a ella el que se achica. Se achica el espacio entre los átomos de lavara de medir, se achica longitudinalmente el cuerpo del observador B,absolutamente todo se achica, y es precisamente por ello que el observador B no

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percibe cambio alguno en su marco de referencia dentro del cual para él todo sigueigual sin contracción alguna.

De las fórmulas obtenidas, podemos ver que entre mayor sea la velocidad delviajero A tanto mayor será la contracción de longitud que el viajero a detecta en todolo que corresponde al espacio del observador estacionario B. Si le fuera posible al

viajero moverse a la velocidad de la luz, entonces de acuerdo con la fórmula todo elespacio del observador B desaparecería longitudinalmente, desaparecería delUniverso, lo cual ciertamente no va a ocurrir. Ningún objeto material sólido puede

moverse a una velocidad igual o mayor que la velocidad de la luz. Sólo la luz puedemoverse a la velocidad de la luz, y la luz no es ningún objeto material sólido, esenergía electromagnética pura.

Es importante enfatizar que lo que hemos visto no es una cuestión de ilusionesópticas. Se trata de fenómenos reales que están ocurriendo en el mundo real. Nonos damos cuenta de ello porque siendo la velocidad de la luz extremadamente alta,

el factor ²/² y con ello el factor de corrección sólo se vuelve importante parasituaciones que se acercan a la velocidad de la luz. Pero los efectos son medibles.Un caso que ocurre cotidianamente tiene que ver con las partículas cósmicas queconstantemente están bombardeando la Tierra. Al chocar contra la atmósfera de la Tierra, cada una de las partículas cósmicas produce una estela de otras partículassubatómicas.

En el siguiente dibujo podemos ver una representación de las partículassubatómicas que una partícula cósmica produce tras su choque con la atmósferaterrestre:

Ilustración 22

Entre todas estas partículas subatómicas hay una que nos interesa, el muón +,producido por el decaimiento del mesón + a su vez producido por el choque de laspartículas cósmicas con la atmósfera terrestre. Por experimentos llevados a cabo enlaboratorios en la Tierra, se sabe que los muones cuando están reposo tienen untiempo de vida medio de tan sólo 2 microsegundos, un tiempo extremadamentecorto. Puesto que los muones son producidos a gran altura, muy pocos de ellosdeberían llegar al nivel del mar. Sin embargo, los muones que se observan son

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muchos (esto se puede confirmar utilizando una cámara de niebla de Wilson). Un

muón viajando a una velocidad de 0.99 veces la velocidad de la luz (0.99c) alcanzaríaa recorrer únicamente unos 600 metros en sus 2.2 microsegundos de vida. Sinembargo, en virtud de que el muón viaja a una velocidad muy cercana a la velocidadde la luz, en el marco de referencia del muón el tiempo avanza mucho más

lentamente. Su vida media de 2.2 microsegundos se ve incrementada en el marcode referencia de la Tierra por un factor de corrección de 16 (para una velocidad de0.998c), aumentando hasta 16 microsegundos, y un muón viajando a la velocidadde 0.99c alcanza a recorrer 4,800 metros en este lapso de tiempo:

Ilustración 23

Sin embargo, desde la perspectiva del muón, viajando a un lado suyo, su vidamedia sigue siendo de 2.2 microsegundos. Lo que pasa es que la distancia querecorre el muón es menor por los efectos de la contracción relativista de la longitud.

El muón no recorre los 4,800 metros, recorre únicamente 600 metros:

Ilustración 24

Nuevamente, lo que para un observador se trata de una dilatación del tiempo, para el otro observadorse trata de una contracción de longitud.

PROBLEMA: En su primer papel en el cual dio a conocer al mundo su Teoría Especial de laRelatividad, Einstein escribió lo siguiente:

“Si en los puntos A y B de K hay relojes estacionarios que, vistos desde un sistema estacionario,están sincronizados, y si el reloj en A es movido con velocidad

a lo largo de la línea AB hacia B,

entonces a su llegada a B los dos relojes no sincronizarán, el reloj movido de A hacia B estará

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detrás del otro que permaneció estacionario por ½²/² (hasta magnitudes de orden cuatro ymayor), siendo el tiempo ocupado en la jornada de A hacia B.”

Demostrar el enunciado anterior .

Al estar en la posición A, ambos relojes que llamaremos el reloj 1 y el reloj 2coinciden en un mismo tiempo . Al llegar el reloj viajero 1 de A a B, ambosrelojes habrán acumulado tiempos diferentes ≠ , y la diferencia acumuladaentre ambos estará dada por la fórmula para la dilatación del tiempo:

’ 1

’ · 1

−

Podemos llevar a cabo la expansión por series de la expresión anterior recurriendoal teorema del binomio que en su forma más general es enunciado de la siguientemanera:

1 1

2! 2 1 2

3! 3 …

Haciendo 1 y tomando el exponente como el exponente fraccionario negativo½, tenemos la serie infinita:

1 − 1 12 … __ ≤ 1

Con la cual:

’ 1 12

En donde ⁄ significa “los Otros términos residuales de la serie infinita sobre v/c

de orden 4 o mayor ”. Entonces, despreciando esos otros términos residuales de la

serie:

’ 1 12

’ ’ 12





’ 12 ’

Pero

’ es precisamente la diferencia entre los lapsos de tiempos

y

’

transcurridos entre los dos relojes, y como el lapso de tiempo ’ corresponde al relojque se movió, vemos que esto será igual a la expresión dada por Einstein en supapel original.

PROBLEMA: En el mismo papel elaborado por Einstein en donde aparece lo anterior, Einsteinagregó lo siguiente:

“Entonces concluimos que un reloj de balanza puesto en el Ecuador deberá correr máslentamente, por una cantidad muy pequeña, que un reloj precisamente similar situado en uno delos polos bajo condiciones de otra manera idénticas.”

Calcúlese la diferencia de tiempos entre los dos relojes después de un siglo.En medidas angulares, la Tierra gira sobre su propio eje 2π radianes en 24 horas. Su velocidadangular ω será entonces:

2 24 ℎ

72.722 · 10−

Tomando el radio medio de la Tierra como 6.37 · 10 , podemos estimaruna velocidad tangencial en su ecuador igual a:

72.722 · 10− /6.37 · 10

463.24 /

El retardo de tiempo acumulado después de un siglo por el reloj que avanza a la

anterior velocidad será:

12 ’ 12 ’

12 100 ñ

3.8 × 10−

Esta es una diferencia de tiempos muy pequeña que en los tiempos de Einsteinera indetectable. Sin embargo, en los tiempos de hoy en los que contamos con relojes





de precisión atómica, el experimento se puede llevar a cabo en cualquier momentosubiendo a una persona a un avión llevando consigo un reloj de alta precisión. Elexperimento ya se ha efectuado, y los resultados son precisamente los que predicela Teoría de la Relatividad. Fue llevado a cabo por vez primera en 1971 por Joseph C.

Hafele y R. Keating , los cuales se subieron con cuatro relojes atómicos de cesio a

bordo de aviones comerciales dándole la vuelta a la Tierra primero en dirección Este y después haciendo otro viaje redondo en dirección Oeste, comparándose laslecturas de los mismos con la lectura de otro reloj idéntico en Tierra en la ciudad deWashington sincronizado inicialmente con los relojes viajeros. Al comparar laslecturas de los relojes atómicos después del viaje, los del avión y el de la Tierra, yano estaban sincronizados. Los relojes atómicos que habían volado estabanligeramente retrasados (muy ligeramente pero medible con dichos relojes, ladiferencia de tiempos era de unas pocas centésimas de milésima de millonésima desegundo). Tras descontar ciertos efectos gravitatorios secundarios, y asumiendo queno hubo ningún error de medida, lo cual se comprobó controlando las condiciones

y repitiendo el experimento varias veces, se concluyó que la única explicaciónposible venía por la Teoría de la Relatividad.

A un costo de 8.000 dólares por el experimento, de los cuales 7.600 dólares fueronempleados para pagar los pasajes, la edición de septiembre de 1972 de la revistaScientific American lo llamó la prueba más económica que se haya hecho sobre la

relatividad. De hecho, son tantas las pruebas experimentales que se han llevado acabo ya de diversas maneras confirmando las predicciones teóricas de la Teoría dela Relatividad, que un resultado negativo causaría en estos momentos unaverdadera conmoción entre la comunidad científica.

En tiempos recientes, los efectos relativistas de la dilatación del tiempoocasionados por una rotación alrededor de la Tierra tienen que ser tomados encuenta para hacer las correcciones numéricas necesarias para poder mantenersincronizados con la Tierra a los 24 satélites utilizados por el Sistema dePosicionamiento Global o Global Positioning System (GPS), cada uno de los cualesda una vuelta completa a la Tierra cada 12 horas:

Ilustración 25

En virtud de que dichos satélites, al estarse moviendo en el espacio en relacióncon los relojes atómicos que están en reposo en la Tierra, registran un tiempo quecamina con mayor lentitud. El sistema de localización GPS requiere para su buenfuncionamiento que los satélites estén sincronizados a un elevado nivel de precisión,

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sj7H6y2riaI/AAAAAAAAGOY/z6XO7XCRSSM/s1600-h/satelites+GPS.jpg





lo cual es absolutamente necesario para permitirles a las personas en la Tierra quetengan receptores GPS (cada vez incorporados con mayor frecuencia como unafunción en teléfonos celulares de alto costo):poder ubicar sus coordenadasgeográficas con la exactitud requerida en base a las distancias de cada uno de lossatélites cuyas señales alcanzan a llegar a un receptor de señales GPS. Aunque el

efecto relativista es relativamente pequeño, los relojes atómicos son losuficientemente precisos como para ser afectados por el efecto de la dilatación deltiempo, y las correcciones numéricas que se tienen que hacer son precisamente lasque predice la Teoría de la Relatividad.

PROBLEMA: Una vara en movimiento de longitud L forma un ángulo θ con respecto a lahorizontal. Si la vara se mueve a una velocidad V a lo largo de la dirección con respecto a la cualforma dicho ángulo, ¿cuál será la longitud de la vara y cuál será el ángulo que forma la vara con

respecto a la horizontal para un observador en reposo que los ve pasar?

Ilustración 26

Puesto que las dimensiones de un objeto experimentan una contracción

relativista por un factor √ 1 / en la dirección del movimiento, para unobservador en reposo la componente horizontal de la vara habrá quedado reducidaa una longitud de:

cos 1

Mientras que la componente de la vara perpendicular a la dirección delmovimiento, que es , permanecerá inalterada en ambos marcos de referencia.Por lo tanto, para el observador en reposo en el marco de referencia , por el teoremade Pitágoras la longitud de la vara en su marco de referencia será igual a la raízcuadrática de la suma de los cuadrados de la componente vertical y de lacomponente horizontal contraída:

sin 1 cos

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Ss9-2I4u5JI/AAAAAAAAH_Q/xjoEJfuw2iw/s1600-h/angulo_relativista.png





sin cos

Y en lo que al ángulo respecta, el ángulo

medido por el observador en

estará

dado de:

t a n sin c o s · 1

t a n · t a n

1·tan PROBLEMA: Dos observadores en los sistemas de referencia y ’ sincronizan sus relojes para

que den las mismas lecturas de 0 en sus orígenes cuando coinciden el uno frente al otro. Elobservador en lee la lectura del reloj en ’ a través de un telescopio. ¿Cuál es el tiempo que lee

del reloj en ’ cuando su reloj marca 20 minutos si ² 8/9 ² ?Este problema ilustra una complicación adicional que tenemos que tomar en

cuenta en la resolución de ciertos problemas que tiene que ser agregada a los efectospropios de la relatividad: el tiempo finito empleado por la luz en llegar de un lugara otro. Si nosotros desde la Tierra vemos con un telescopio un reloj en el planeta

Marte sincronizado con el nuestro cuando los planetas están más cercanos,podemos tener la seguridad de que la lectura que veremos en el reloj de Marte conla ayuda de nuestro telescopio no será igual a la de nuestro reloj ya que la distanciaque tiene que recorrer viajando a la velocidad de la luz la imagen del reloj es de unos100 millones de kilómetros, y puesto que esa imagen no nos llega instantáneamentesino que es una imagen que tarda (100,000,000 Km)/(300,000 Km/seg) = 333segundos = 6 minutos, la lectura que veremos es una imagen del pasado , de algoque nos fue enviado 6 minutos antes y que tardó 6 minutos en llegarnos. De hecho,todo, pero absolutamente todo lo que vemos, son imágenes del pasado. No hay imagen

alguna de nada que vemos con nuestros ojos que nos llegue instantáneamente,inclusive de objetos cercanos a nosotros al alcance de nuestras manos, en virtud dela velocidad finita de la principal portadora de información, la luz. Vivimos en lailusión de que todo lo que tenemos ante nosotros cerca de nosotros lo vemos justocuando está ocurriendo, pero ello es una ilusión encubierta por el hecho de que lasdiferencias en los tiempos involucrados son tan pequeñas que para fines prácticospueden ser consideradas despreciables, pero no son despreciables.

Afortunadamente, aunque la velocidad de la luz es finita, también es bastanteelevada, de modo tal que no nos damos cuenta de que las imágenes que vemos entorno nuestro son imágenes de un pasado tanto mayor cuanto mayor sea ladistancia que nos separa de lo que estamos viendo. En estos momentos vemos connuestros telescopios, incluido el telescopio espacia Hubble, las imágenes de estrellas

que ya no existen, que se apagaron hace millones de años. En el tiempo en que





tardaron las imágenes de esas estrellas en llegarnos tales estrellas desaparecieron y ya no existen hoy.

Regresando al problema que nos ocupa, podemos ver que ocurren tres eventos:

1) Los dos observadores y ’ están el uno frente al otro sincronizando sus relojesa un tiempo 0.

Ilustración 27

2) El observador viajero

’ llega a cierto punto en su recorrido desde donde le envía

una imagen de su reloj al observador en

.

Ilustración 28

3) La imagen del reloj de ’ le llega al telescopio al observador en a la vez que ’ continúa su recorrido.

Ilustración 29

Nótese que el tiempo de ’ que lee el observador en no es la lectura que estámarcando el reloj de ’ cuando le llega la imagen del reloj a a los 20 minutos.

Desde la perspectiva del observador en reposo, el tiempo de 20 minutos en el cual el

observador en

recibe la imagen del reloj de

’ debe ser igual al tiempo

/

que tarda el viajero en ’ en llegar hasta el punto desde el cual le envía a la imagende su reloj, más el tiempo / que tarda en llegarle dicha imagen a , siendo la distancia propia medida por :

20

20 / / 1/ 1/ ’ √9/8 1 / 2.06 /

1,200 · 3 × 1 0

2.06 1.747 × 10

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sg2r-VCvaQI/AAAAAAAAF9Q/DMuMp9TNg20/s1600-h/evento_3.png

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sg2rmVLGyhI/AAAAAAAAF9I/WhVJ-GOmog4/s1600-h/evento_2.png

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sg2rRUtQKUI/AAAAAAAAF9A/zMl9Z7LJxLU/s1600-h/evento_1.png





Esta es la distancia que ha recorrido ’ medida por cuando el primero le envíala imagen de su reloj a .

Sin embargo, para

’ esta distancia de está contraída por un factor

1 1 89 13

O sea que, desde su perspectiva, ’ ha recorrido una distancia de ’ 0.582 × 10 metros. Entonces el tiempo ’ que tiene acumulado en su reloj al recorrer dichadistancia viajando a una velocidad de:

89

Es: ’ ’/ 0.582 · 1011 / 0 2.8284 · 108 /

205.8 3.43



Fundamentos de Relatividad General El experimento que antecedió a la teoría


El experimento que antecedió a lateoría

“¿Qué es el tiempo?” - en alguna ocasión

se le llegó a preguntar a Einstein, quizá para meterlo en un aprieto filosófico.

“Es lo que medimos con el reloj” - contestó.

Es interesante el hecho de que la primera confirmación experimental de la TeoríaEspecial de la Relatividad se dio en 1881 cuando aún no existía dicha teoría einclusive cuando Einstein apenas tenía dos años de edad (nació en 1879). La TeoríaEspecial de la Relatividad sería publicada 24 años después, en 1905, y cuandoEinstein desde Europa dio a conocer al mundo su teoría ni siquiera parecía haberestado bien enterado de los resultados obtenidos en aquél famoso experimentollevado a cabo por vez primera en los Estados Unidos por el físico Albert Michelson

24 años atrás. Cuando Einstein elaboró su teoría no la concibió con la finalidad deexplicar los resultados obtenidos por Michelson, la elaboró con el fin de liberar deasimetrías las ecuaciones básicas del electromagnetismo descubiertas por Maxwell.

Cuando Michelson llevó a cabo su ahora ya famoso experimento, la intención deMichelson era determinar la rapidez con la cual se estaba moviendo la Tierra en elespacio en relación con ese medio estático, invisible y universal que se suponía queservía como medio de conducción para la transmisión de las señales luminosas, eléter, el cual había sido postulado por varios físicos de prestigio como la granreferencia cósmica con respecto a la cual el movimiento absoluto podía serdetectado. Michelson esperaba poder detectar desde su laboratorio no sólo lavelocidad a la cual se estaba moviendo la Tierra con respecto al éter, sino inclusivela dirección hacia la cual o de la cual se estaba acercando o alejando del éter en unmomento dado al girar la Tierra en torno al Sol.

El aparato original de Michelson cuando fue utilizado por vez primera tenía elsiguiente aspecto:





Ilustración 6-1

Este aparato trabajaba sobre el siguiente esquema simplificado:

Ilustración 6-2

Todo el aparato estaba montado sobre una enorme piedra caliza montada sobremadera suave flotando a su vez en una piscina de mercurio líquido con el fin dedisminuir las vibraciones del instrumento. Sobre la plataforma había una fuente deluz de la cual emanaba un haz que, con la ayuda de un espejo semireflectante, eradividido en dos caminos diferentes, dirigiéndose parte del haz por transmisióndirecta a través del espejo semireflectante hacia un espejo opuesto hacia la fuentede luz (situado a la derecha del dibujo), y dirigiéndose la otra parte del haz porreflexión directa hacia otro espejo (situado en la parte superior del dibujo). Amboshaces eran reflejados por los espejos, y al combinarse los haces separadosnuevamente lograban pasar por el espejo semireflectante hacia un detector queconsistía básicamente en un telescopio graduado. Puesto que uno de los haces de

la combinación seguía una trayectoria más larga que el otro, al juntarse nuevamente

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/ScKDMmpWYUI/AAAAAAAAFVc/6n__T4mEVoY/s1600-h/experimento_Michelson-Morley.gif

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/ScKCzJKQvLI/AAAAAAAAFVU/o4v2QrCicSI/s1600-h/aparato_original_de_Albert_Michelson.jpg





ambos haces se producía un patrón de interferencia propio de las ondas que lleganfuera de fase. A continuación tenemos un bosquejo del efecto que se obtenía delaparato:

Ilustración 6-3

El objetivo de la rueda que flotaba sobre la piscina de mercurio líquido era girartodo el instrumental (fuente de luz, espejos, telescopio) situado sobre la plataforma,para dejar que el movimiento con respecto al éter alterara las franjas de interferenciaobservadas en el telescopio y a través de la alteración determinar la velocidad delaparato (y por lo tanto de la Tierra sobre la cual estaba puesto el aparato) conrespecto al éter. Obviamente, para poder obtener un patrón de interferencia entredos haces de luz de una misma fuente pero arribando con una diferencia delongitud en sus trayectorias, era necesario utilizar un haz luminoso monocromático,de un solo color (y por lo tanto de una sola frecuencia):

Ilustración 6-4

El experimento estaba diseñado sobre una premisa muy fácil de entender: siexiste el éter absoluto, inamovible, que permea todo el espacio, medio usado por lasondas electromagnéticas incluida la luz misma para propagarse, entonces si un rayoluminoso es lanzado directamente hacia un espejo el tiempo total de ida y vuelta delrayo luminoso será diferente si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección quecoincide con la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter que el tiempototal de ida y vuelta si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección perpendicular ala dirección en la cual está “soplando” el viento del éter, suponiéndose que este“viento del éter” se debe al movimiento combinado de rotación y traslación de la Tierra en el cosmos. En el aparato de Michelson, aunque no sepamos ni podamosver en qué dirección está “soplando” el viento del éter, nos basta con ir girando la

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SdZ4pbPUiTI/AAAAAAAAFdM/uUkJAUKJhL0/s1600-h/patron_interferencia.jpg

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/ScKNX5e3uaI/AAAAAAAAFVk/Rl4HoR2e8P4/s1600-h/interferometro_Michelson-Morley.png





rueda sobra la cual está montada todo el instrumental para poder obtener unadiferencia de tiempos la cual, aunque minúscula, debe poder ser detectada a partirde los patrones de interferencia formados en el telescopio detector.

Cuando un rayo de luz es lanzado hacia un espejo, a lo largo de una misma

dirección con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del laboratoriocon respecto al éter, si la velocidad del laboratorio moviéndose en contra del estáticoéter es la velocidad del rayo luminoso se verá disminuída de a en su

viaje de ida, y se verá aumentada a en su viaje de retorno. (Obsérvese quebajo la hipótesis del éter, al no ser la velocidad de la luz la misma para todos los marcos dereferencia en movimiento absoluto con respecto al éter no existe impedimento alguno paraque los objetos materiales puedan moverse a velocidades mayores que la velocidad de laluz):

Ilustración 6-5

Llamando a la distancia entre la fuente de luz y el espejo reflector, el tiempototal de ida y vuelta del haz luminoso será la suma del tiempo de ida:

/ a la del tiempo de vuelta: /

o sea:

1 1

2 ; · 2 ; 2

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sf3f7fFzglI/AAAAAAAAFxo/tddIuxAyrpQ/s1600-h/movimiento_con_respecto_al_eter.png





21

El caso en el cual el rayo de luz es lanzado en una dirección perpendicular a ladirección en la cual está “soplando” el viento del éter se puede comparar medianteuna analogía con un avión en el aire. Un avión que vuela de Sur a Norte a unavelocidad de 20 metros por segundo tardará diez segundos en recorrer una distanciade 200 metros volando de Sur a Norte cuando no está soplando viento alguno, perosi el avión es arrastrado al mismo tiempo de Este a Oeste por el viento a unavelocidad de 12 metros por segundo, tardará más tiempo en recorrer los mismos200 metros de Sur a Norte ya que su velocidad efectiva en dicha dirección habrádisminuido a 16 metros por segundo. Tardará 12.5 segundos en lugar de diez enrecorrer esos 200 metros de Sur a Norte:

Ilustración 6-6

Esto lo podemos deducir con una simple substracción vectorial de velocidades

llamando a la velocidad del avión en un día tranquilo sin viento alguno, lavelocidad con la cual empieza a soplar el viento, y la velocidad efectiva del aviónde sur a norte:

Vectorialmente , la velocidad del avión es disminuida en su sentido de norte asur de 20 metros por segundo a una velocidad efectiva de 16 metros por segundopor el “soplo del viento” (el avión sigue manteniendo su misma velocidad de acuerdoa lo que le marcan al piloto los instrumentos). La magnitud de la velocidad efectiva

la obtenemos con la simple aplicación de teorema de Pitágoras:

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeiyyLAgCeI/AAAAAAAAFmA/ppwa1uTQgJs/s1600-h/substraccion_vectorial_de_velocidades.PNG

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeixgGuwiEI/AAAAAAAAFl4/-9uJF1qQD1w/s1600-h/avion_retrasado.PNG





20

12

20 12

256

16 /

Esto mismo lo podemos generalizar para obtener una expresión para el tiempo

total de ida y vuelta del rayo luminoso cuando es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección del “viento del éter”.

PROBLEMA: Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general para calcular eltiempo total de ida y vuelta de un haz luminoso cuando el rayo de luz es lanzado hacia un espejoen una dirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz enrelación al éter, siendo L la distancia entre la fuente luminosa y el espejo reflector.

La resolución de este problema consiste simplemente en generalizar con símbolos

lo que acabamos de ver en el ejemplo de arriba. El tiempo de ida del haz en unadirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del

haz en relación al éter será igual al tiempo de regreso del haz al punto de dondefue lanzado, siendo este tiempo igual a:

√

y por lo tanto el tiempo total será:

2

√

2 1

Obsérvese que este tiempo es diferente del tiempo total de recorrido que se obtienecuando el haz luminoso es lanzado en una dirección paralela (en la misma dirección)a la dirección del “viento del éter” en vez de ser lanzado en una direcciónperpendicular a dicho viento.





PROBLEMA: Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general aproximada paracalcular la diferencia de tiempos en un aparato en el cual se lanza un rayo de luz recorriendo una

distancia hacia el espejo reflector en su trayecto de ida y vuelta cuando el rayo de luz viaja enuna dirección paralela a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, y el tiempo totalde ida y vuelta medido en el mismo aparato cuando el rayo de luz es lanzado viajando en una

dirección perpendicular a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”. ¿Cómo secomparan estos dos tiempos con el tiempo medido por un observador privilegiado que esté enreposo absoluto con respecto al éter?

Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado a lo largo de la misma direcciónen la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total de ida y vuelta es:

2

1

2 1 − Podemos llevar a cabo la expansión de esta expresión mediante una serie infinita

recurriendo al teorema del binomio que en su forma más general es enunciado de lasiguiente manera:

1 12! 2² 1 23! 3 . . .

Cuando 1 y cuando el exponente es 1 por tratarse de un inverso, el teorema del

binomio se reduce a:

1 − 1 ² . . . __ ≤ 1

(La condición ≤ 1 se cumple aquí porque suponemos que el aparato estáviajando a una velocidad menor que la velocidad de la luz sin suponer efectorelativista alguno.)

Con esta expansión tenemos:

1 − 1

en donde ⁄ significa “los Otros términos residuales de la serie obtenidos conexponentes de orden 2 y mayor”.

Por lo tanto el tiempo de ida y vuelta será aproximadamente igual a:





≈ 2 1

Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado en una dirección perpendicular

a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo de ida y vuelta es

2 1

2 · 1 −

Usamos nuevamente el teorema del binomio haciendo a 1 cuando el exponente esel exponente fraccionario negativo , con lo cual tenemos:

1 −

1 12 ; ∀ ≤ 1

Por lo tanto el tiempo total de ida y vuelta para el caso perpendicular será:

≈ 2 1

12

La diferencia entre y es entonces (obsérvese que es mayor

que ): ≈

≈ 2 1 2 1 12

Simplificando: ≈

Un observador privilegiado que se encuentre en absoluto reposo con respecto aléter tendrá una velocidad igual a cero, y el tiempo total de ida y vuelta será 2/. Puesto que esta relación es diferente de las relaciones obtenidas por otroexperimentador que está en movimiento con respecto al éter, hay una asimetríaentre el observador privilegiado y todos los demás observadores. Esta asimetría severá reflejada en diferencias medibles entre experimentos llevados a cabo con el

mismo aparato por distintos observadores.





Comparando los tres tiempos a un primer orden de aproximación:

≈ 2

1

≈ 2 1 12

2/

Comprobamos que, en todos los casos, el menor tiempo posible de recorrido seráprecisamente el que mida un observador privilegiado que esté en absoluto reposocon respecto al éter en cuyo caso por tener 0 tanto como se

reducen a

2/.

Esto, en principio, nos dá una forma teórica y experimental de poder saber si estamos en reposoabsoluto con respecto al hipotético éter.

Michelson supuso, al igual que otros científicos de su tiempo, que la Tierra porsus movimientos de rotación y traslación alrededor del Sol no estabapermanentemente en reposo con respecto al éter, y si acaso lo estaba ello sería porun instante brevísimo. Debía ser posible detectar el desplazamiento de la Tierra através del éter. El aparato que diseño se basó precisamente en la diferencia de

tiempos que esperaba obtener entre dos rayos de luz, uno arrojado en la posibledirección paralela al “soplo del viento del éter” y el otro arrojado en una direcciónperpendicular, juntando dichos haces de luz para detectar la variación producidaen un patrón de interferencia luminosa. Dada la enorme dificultad en hacer las dostrayectorias (la paralela y la perpendicular) de la misma longitud L a la precisiónrequerida, el patrón de interferencia producida por los dos haces luminosos al llegardesfasados al detector era observada y entonces el aparato completo era girado 90grados. Esta rotación debería de producir para cada haz luminoso la diferencia detiempo dada por:

≈

Esta diferencia de tiempo es equivalente a una diferencia de trayectoria de 2 ·. De acuerdo con los principios de la óptica ondulatoria, las franjas deinterferencia observadas en la primera orientación de la mesa giratoria deberían

recorrerse en el detector por una cantidad de franja igual a:

2 ·





∆ 2 · 2 · 2 · 2 · ·

2 ·

En donde es la longitud de onda de la fuente luminosa monocromática.

Cuando llegó el día de llevar a cabo la primera realización del experimento en1881, la distancia en la mesa giratoria era de unos . y la longitud de

onda de la señal luminosa utilizada era de . × − . Tomando lavelocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol para una primera aproximación de la

velocidad con respecto al éter, obtenemos una velocidad de unos 30 / que vienesiendo igual a

10−

, con lo cual

²/² es un factor de

10−, y se esperaba que

fuese igual a un 0.04 de franja. Desafortunadamente, se estimaba que lasincertidumbres experimentales eran de un orden de magnitud similar.

De cualquier manera, al efectuar el experimento y en un resultado que losorprendió, Michelson no encontró cambio alguno en los patrones de interferenciapor más que girase la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, con lo cual concluyó queesto era una evidencia de que la Tierra no se estaba moviendo con respecto al éter,aunque el resultado negativo del experimento llevado a cabo por Michelson fuetomado, inicialmente por muchos, como un fracaso debido a la falta de precisión delos instrumentos utilizados en aquella época en la que no existía ni siquiera la radiocomercial. Tiempo después, en 1887, Michelson repitió el mismo experimento con

Edward W. Morley, usando un sistema mejorado para girar la mesa circular delaparato sin introducir un desplazamiento en las franjas de interferencia luminosascausadas por tensiones mecánicas en el aparato, y la longitud efectiva de latrayectoria fue elevada de los 1.2 originales a unos 11 recurriendo auna serie de reflexiones múltiples. Este es el aparato que tenemos descrito arriba.Para este intento, se había calculado que debería tener un valor de 0.4 de franja,unas 20 ó 40 veces más que el mímino que era posible observar. Y de nueva cuenta,no se encontró corrimiento alguno en las franjas de interferencia al girar la mesarotatoria hacia uno y otro lado, y en esta ocasión había la certeza de que no sedebían a error experimental alguno. Desde entonces, el mismo experimento ha sido

repetido innumerables ocasiones alrededor del mundo, y jamás se ha encontradocorrimiento alguno en las franjas de interferencia.

En un esfuerzo por explicar los resultados negativos obtenidos por Michelson yMorley, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz formuló conjuntamente con elfísico irlandés George Francis Fitzgerald una explicación teórica hecha “ justo a lamedida”, argumentando que al igual que una masa suave que se mueve en el aire o

bajo el agua sufre una ligera deformación por la resistencia que le ofrece el medioen el cual se está desplazando, también la vara de medición que se estuvieramoviendo en contra del éter estático sufriría una contracción que por unamaravillosa y casi milagrosa coincidencia era justo lo que se necesitaba para

compensar, con una longitud menor, la diferencia de tiempos de traslado que se





hubiera esperado detectar a través de los patrones de interferencia observados enel telescopio y explicando con ello los resultados negativos obtenidos en losexperimentos.

Matemáticamente expresado, la contracción debida al “empuje del viento del éter”

reduciría la longitud original de la vara de medición a una longitud menor dadapor:

1

En donde vendría siendo la velocidad de la regla al estarse moviendo en contradel éter. De acuerdo con ésta fórmula, poniendo números, una vara de mediciónmoviéndose en contra del éter a una velocidad igual a las tres cuartas partes de lavelocidad de la luz sería “comprimida” a un 66 por ciento de su longitud original. Esta

contracción fue llamada desde que fue propuesta como la contracción Lorentz- Fitzgerald .

La principal objeción que podemos ponerle a esta teoría es que predice unacompresión igual en todas las varas de medición independientemente del materialdel que estén hechas, ya sea de acero inoxidable rígido o de caucho, lo cual por sísolo presiona demasiado los límites de nuestra credibilidad. Pero otra objeción másdura aún a la fórmula de contracción de longitud de una vara de medición dada porLorentz y Fitzgerald era que carecía de una teoría que justificase la fórmula, setrataba de una fórmula semi-empírica, era simplemente un artificio matemático

concebido para explicar los resultados negativos del experimento Michelson-Morley.

Fué solo hasta 1905 cuando Einstein dió a conocer su Teoría Especial de laRelatividad que los resultados negativos del experimento Michelson-Morley tuvieronuna explicación teórica rigurosa y satisfactoria. Al no existir el éter y por lo tanto alno existir forma alguna de poder detectar el movimiento absoluto de la Tierra conrespecto a algo que no fuese su rotación alrededor del Sol y ni siquiera así. La Tierrapodía tomarse como un cuerpo en estado de reposo, y al ser tomada como un cuerpoen estado de reposo la velocidad del éter en las fórmulas utilizadas por Michelson yMorley era

0, con lo cual los resultados negativos del experimento se vuelven

inevitables.

En el problema anterior, tenemos tres expresiones diferentes para los tiempos deviaje que obtendríamos para un rayo de luz usando el mismo aparato experimental, , y , tiempos de viaje predichos teóricamente sobre la base de la

existencia del éter y capaces de ser confirmados experimentalmente. Y de las tresexpresiones anteriores, la más sencilla de todas, la que nos dá 2 / , es la queobtendría un observador privilegiado que estuvierse en reposo absoluto con respectoal éter. Esto es algo de naturaleza general. Las leyes de la física adquieren su formamás sencilla posible para un observador privilegiado que esté en reposo absoluto conrespecto al éter, un observador para el cual

0. Para todos los demás

observadores, las leyes tendrán fórmulas más complejas como lo acabamos de ver.





A este tipo de asimetrías era a las que se refería Einstein en su papel original. Laúnica forma de deshacerse de estas asimetrías es rechazar la hipótesis de laexistencia del éter y del movimiento absoluto, que fue precisamente lo que hizoEinstein.



Fundamentos de Relatividad General Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski


Los diagramas espacio-tiempo deMinkowski

La Teoría Especial de la Relatividad, tal y como fue enunciada por vez primera

por Einstein, era una teoría puramente algebraica, sin referencia alguna a ningúntipo de geometría. Se debe a Hermann Minkowski la proeza de haberla convertidoen una teoría geométrica llevando a cabo de paso la unificación de dos conceptosque en la mecánica clásica habían sido considerados completamenteindependientes y separados el uno del otro, como espacio y tiempo. Gracias aMinkowski, el espacio y el tiempo fueron unificados en un solo concepto básico eindivisible bajo una sola palabra, el espacio-tiempo (aquí lo llamaremos espacio- tiempo en el entendido de que ambos conceptos han sido fusionados en uno solo),de modo tal que no era posible hablar ya del espacio como entidad individual y deltiempo como entidad individual también, separados el uno del otro. Pero aquí nos

estamos adelantando a nuestra historia.

Considerando para fines ilustrativos una velocidad de la luz de 1 /, eldiagrama espacio-tiempo para un rayo de luz es el siguiente:

Diagrama 7-1

Sobre el mismo diagrama, la especificación de la coordenada de una partículamaterial que nos indica la posición en la cual se encuentra la partícula y del tiempo al que corresponde esta coordenada, determina un evento o un suceso. Sirepresentamos la posición

en el eje de las abscisas (eje horizontal) y el tiempo

en

las ordenadas (eje vertical), cada punto del plano , corresponde a un posible

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SdAnsz6yvsI/AAAAAAAAFYk/9XTn7bm9lUk/s1600-h/rayo_de_luz_en_diagrama_espacio-tiempo.png





evento. En un diagrama así podemos representar dos eventos distintos vistos porun mismo observador, trátese de dos eventos distintos que ocurren en el mismolugar en tiempos diferentes, dos eventos distintos que ocurren al mismo tiempo endistintos lugares, o dos eventos distintos que ocurren en tiempos diferentes enlugares diferentes, como es el siguiente caso:

Diagrama 7-2

El lugar en un plano ∆,∆ de los eventos que representan las coordenadasapareadas de una partícula en varios instantes se conoce en los estudios de larelatividad como línea del mundo (world line) y también como línea del universo. En

la Teoría Especial de la Relatividad, la línea del mundo es siempre una línea rectacomo la línea azul que tenemos en el diagrama de arriba porque la partícula materialviaja siempre en movimiento rectilíneo en una misma dirección, recorriendo

distancias iguales en tiempos iguales. Si en el instante la coordenada de unapartícula móvil es , entonces las magnitudes y determinan el evento .Análogamente, y determinan el evento .

Los eventos para un mismo y único observador están separados en el espaciopor una distancia , y en el tiempo por una distancia .

En los estudios sobre la relatividad, no se acostumbra revolver peras conmanzanas, no se acostumbra revolver metros con segundos al medir sobrecoordenadas rectangulares. Para que en un diagrama espacio-tiempo tanto el ejehorizontal como el eje vertical usen el mismo tipo de unidades, se acostumbra

multiplicar el tiempo en el eje vertical que corresponde al tiempo por la constanteuniversal absoluta que es la velocidad de la luz , ya que con ello se convierte enuna distancia que está medida en metros , no en segundos. De este modo, nomezclamos peras con manzanas, al medir tanto en el eje vertical como en el ejehorizontal lo estamos haciendo en metros. En todos los diagramas espacio-tiempoque serán utilizados aquí, la ordenada vertical estará en dimensiones de metros, osea multiplicada por , representado en la ordenada vertical como . Aunqueaparezca en lugar de , se sobreentenderá que siempre nos estamos refiriendo a. Además, para fines de simplificación, le seguiremos dando a el valor de 1 /.Sin embargo, para fines de cálculo numérico, estamos en libertad de regresar a las

mediciones en segundos sobre el eje vertical.

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SdEp6pVcybI/AAAAAAAAFaE/PD0CE1ATnM8/s1600-h/particula_en_movimiento.png





En la última gráfica de arriba, tenemos representados dos eventos distintos, unoocurriendo en la posición en un tiempo representado en la posición , y el otroevento ocurriendo en la posición en un tiempo representado en la posición .Poniendo números y usando una velocidad de la luz igual a

1 /, las

coordenadas respectivas de cada evento y la distancia entre ambos eventos es:

1

2

1

3

2 1 1

3 1 2 PROBLEMA: Una vara de medir de tres metros de largo se encuentra en reposo en el marco dereferencia del observador O, y sus extremos coinciden con las coordenadas x1 = 2 metros y x2 = 5metros. Trazar las líneas del mundo de los extremos de la vara de medir en un diagrama espacio-tiempo del observador O.

El diagrama espacio-tiempo pedido es el siguiente:

Diagrama 7-3

No es un requisito indispensable que en la construcción de un diagrama delespacio-tiempo se utilicen ejes ortogonales (perpendiculares, puestos en ángulosrectos el uno con respecto al otro). Es factible e inclusive deseable por razones quepronto serán obvias construir el diagrama espacio-tiempo utilizando ejes que no sonperpendiculares. A continuación tenemos un diagrama en el cual los ejes principalesno son perpendiculares:

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfJ9cyfPWCI/AAAAAAAAFso/WOmIUzP-wd0/s1600-h/problema_diagrama_espacio-tiempo_observador_O.PNG





Diagrama 7-4

Obsérvese la manera de leer las coordenadas de un punto cualesquiera en estetipo de diagrama, trazando desde el punto líneas paralelas a uno de los ejes

principales hasta topar con el eje principal de la otra coordenada.

Y a continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo en el cual los ejesprincipales tampoco son perpendiculares:

Diagrama 7-5

Para un mismo observador, el anterior diagrama espacio-tiempo nos da ladistancia que separa dos eventos y , y nos da también la distancia quesepara a dichos eventos. Pero este diagrama espacio-tiempo describe la situación deun solo observador. El diagrama espacio-tiempo para un observador solitario no noses de mucha utilidad en la resolución de problemas propios de la relatividad. Esnecesario juntar de alguna manera los diagramas espacio-tiempo de dosobservadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro en unosolo. Lo que estamos buscando es algo que geométricamente nos permita visualizaren un mismo diagrama la situación de dos observadores. Esto se logra con unprocedimiento que nos fue dado por el matemático Hermann Minkowski que serádado a continuación.

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SdAo1ogPj9I/AAAAAAAAFYs/ogs1GcHRWmM/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_no-ortogonal.png

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SjAfZPR57FI/AAAAAAAAGHg/AQpLolquvV0/s1600-h/linea_del_mundo.png





Procedimiento para construir un diagrama espacio-tiempo:

1) Supondremos que la velocidad de la luz tiene un valor de 1 metro/segundo. Empezamos trazando dos coordenadas perpendiculares que

representan el diagrama espacio-tiempo de un

observador al cual llamaremos y que se consideraa sí mismo en estado de reposo en su marco dereferencia , con la coordenada horizontal asignadaa la representación de la posición de un objeto en eleje-x y con la coordenada vertical asignada a larepresentación del tiempo en el cual el objeto estáen cierta posición.

2) El diagrama espacio-tiempo más elemental quecombina a dos observadores es el diagrama trivial en el cual ambos

observadores está reposo el uno frente al otro enel mismo lugar ’ y tienen sus relojessincronizados al mismo tiempo ’, lo quepermite que los orígenes de ambos sistemas dereferencia y ’ coincidan en un mismo punto. Enforma similar a como sucede para el observador, el eje ’ es el lugar de los puntos tales que loseventos que ocurren a lo largo de dicho eje ocurrenen el mismo lugar ’ 0 pero en tiempos distintospara un observador .

3) Para trazar un diagrama espacio-tiempo combinado juntando a dos observadores diferentes que están en movimiento relativo el

uno con respecto al otro a una velocidad , trazamos primero el eje ’ del marcode referencia ’ sobre el diagrama espacio-tiempo del observador en reposo usando paraello la velocidad relativa entre ambosobservadores. No es necesario que los orígenesde los diagramas espacio-tiempo del observador y del observador ’ coincidan, esto es meracuestión de conveniencia. Construiremos undiagrama en el que ambos orígenes coinciden.Suponiendo que la velocidad relativa entreambos marcos de referencia es de 0.4 .4 / entonces para moverse una

distancia 1 el observador ’ debe de haberse movido en un tiempo / 2.5 con respecto al origen, y para moverse una distancia 2 el observador ’ debe de haberse movido en un tiempo / 5 segundos. Todos estos puntos están conectados con una línea recta, la cualtrazamos sobre el diagrama como se muestra arriba. Esta recta correspondeal tiempo ’ del marco de referencia ’. Obsérvese que entre menor sea lavelocidad relativa

más y más cercana estará la línea que hemos trazado a la

vertical que corresponde a , hasta que ambas llegan a coincidir cuando la

Diagrama 7-6

Diagrama 7-7

Diagrama 7-8

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/ShCQ8dUuKCI/AAAAAAAAF9Y/2NgYG2EkxQ8/s1600-h/diagrama_de_Minkowski_trivial.png


http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfTKsvmyQYI/AAAAAAAAFt4/nT1wWUpeNMM/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_inicial.PNG


http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfTJKkbCCfI/AAAAAAAAFtw/-7kzRfYKuDQ/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_observador_O.png





velocidad relativa entre los dos observadores es cero.Para mayor simplicidad, prescindiremos de lasgraduaciones que hemos puesto en las coordenadasde ambos ejes del observador

:

4) A continuación trazamos sobre el diagrama espacio-tiempo la ruta que corresponde a la trayectoria deun rayo de luz con una velocidad 1 /:

Diagrama 7-10

5) Ahora vamos a trazar la coordenada de

’ sobreponiéndola en el mismo

diagrama. Para poder localizarla en dicho diagrama, considérese primero unrayo de luz lanzado en el marco de referencia del observador ’ en un tiempo

(medido en metros) ’ desde lacoordenada ’ 0, un evento al que llamaremos, el cual es reflejado en sentido opuesto en un

tiempo 0 por un espejo en un evento al quellamaremos , para regresar nuevamente a lacoordenada ’ 0 en un evento al quellamaremos ocurriendo en el tiempo (podemos imaginar lo que ocurre como una

descripción geométrica en el espacio-tiempo delexperimento llevado a cabo por el viajero en elferrocarril al que vimos en el capítulo “La físicaes parada de cabeza ” cuando nos encontramospor vez primera el efecto relativista de ladilatación del tiempo):Desde la perspectiva del

observador estacionario , la situación del rayo de luz que fue reflejado en elmarco de referencia de ’ es la del diagrama 7-6:

Tanto en el marco de referencia del observador ’ como en el marco dereferencia del observador

la luz sigue teniendo la misma velocidad, como lo

enuncia el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad . Por lo

Diagrama 7-9

Diagrama 7-11

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfTOZcsBkHI/AAAAAAAAFuA/lWtBBHveVFw/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_1.PNG


http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfUWsK8iugI/AAAAAAAAFu4/E2QpbfcocDI/s1600-h/rayo_de_luz_reflejado_en_marco_de_referencia_S'.PNG


http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfTO3syFqXI/AAAAAAAAFuI/7xWm-RiIpgQ/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_2.PNG





tanto, el rayo de luz que es lanzado en el marco de referencia de ’ tambiéntendrá la misma pendiente de 45 grados en el marco de referencia de . En eldiagrama de arriba ubicamosarbitrariamente sobre el eje

’ el evento

en el punto

’ , y trazamos desde

dicho punto una trayectoria de 45grados que corresponde al rayo de luzque es lanzado por el observador ’. Porotro lado, ubicamos sobre el eje ’ elevento en el punto ’ , ytrazamos desde allí la trayectoria querepresenta el rayo de luz reflejado por elespejo desde el punto que deberepresentar al evento P, una línea rectatambién de 45 grados (en concordancia

con el segundo postulado de la TeoríaEspecial de la Relatividad) pero yendo de derecha a izquierda, extendiendodicha línea hasta que se cruce con la otra línea que habíamos trazado. Estonos da unívocamente en el diagrama la localización del evento . Por último,trazamos una línea punteada que conecta el origen común de ambosobservadores hasta el punto que representa al evento . Esta es la línea quecorresponde a la coordenada de ’. No tardamos en descubrir que el ánguloque forma la coordenada con la coordenada ’ es el mismo ángulo que el queforma la coordenada con la coordenada ’. Con esto, hemos terminadoesencialmente con la construcción del diagrama.

Una cosa que resalta del diagrama espacio-tiempo final es el hecho de que los doseventos identificados con cuadritos rojos y con los números 1 y 2 que sonsimultáneos para el observador ’ (ambos ocurren en su tiempo ’ 0) no ocurrenal mismo tiempo en el marco de referencia del observador . Esta es nuestraperspectiva geométrica del verdadero origen de los fenómenos relativistas dedilatación del tiempo y contracción de longitud: la simultaneidad deja de serabsoluta. En el universo de los absolutos, en la física pre-relativista, si dos eventosocurrían al mismo tiempo para un observador estacionario, también ocurrían almismo tiempo para otro observador en movimiento, lo cual deja de ser válido en la Teoría Especial de la Relatividad.

Una cosa que no hemos hecho y la cual dejaremos pendiente por el momento es

graduar (marcar con divisiones igualmente espaciadas) las coordenadas , delobservador y las coordenadas ’,’ del observador ’ de modo tal que podamosresolver gráficamente un problema relativista obteniendo aproximacionesnuméricas al igual que como lo hacen los ingenieros que utilizan papel gráfico parala resolución aproximada de problemas de otra índole (el Smith Chart utilizado parala resolución de problemas eléctricos de líneas de transmisión, y el diagrama dehumedad o carta psicométrica usada para la resolución de problemas de humedadrelativa y punto de rocío). Esta graduación es conocida también como la calibraciónde los ejes , y se puede llevar a cabo mediante cálculos numéricos con las ecuaciones

Diagrama 7-12

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfXMh0gXVWI/AAAAAAAAFvI/Tr2Uoo4k8hY/s1600-h/rayo_de_luz_reflejado_en_marco_de_referencia_S.PNG







de transformación de Lorentz que veremos posteriormente o con el procedimiento

geométrico de la hipérbola invariante .

Así pues, nuestro principal medio de trabajo para el análisis geométrico de losproblemas de la Teoría Especial de la Relatividad es el diagrama espacio-tiempo de

Minkowski:

Diagrama 7-13

El diagrama 7-8 muestra el diagrama espacio-tiempo desde la perspectiva delobservador en reposo. Si queremos, podemos dibujar también el diagramaespacio-tiempo (diagrama 7-9) desde la perspectiva del observador ’ cuando estese considera en reposo y cuando ve al observador

en movimiento hacia la

izquierda.

Diagrama 7-14

En esencia, lo que hemos hecho ha sido tomar el diagrama básico para unobservador en reposo en un marco de referencia , trazando sobre el mismo lalínea que marca la trayectoria de un rayo de luz con una pendiente de 45º quecorresponde a una velocidad de 1 /:

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfT3yjC41QI/AAAAAAAAFuo/RIIiZS3qVk0/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_4.PNG

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfT3CuAhcPI/AAAAAAAAFug/O1KfOS0hTPI/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_3.PNG





Diagrama 7-15

Y sobre este diagrama, usando como referencia común la bisectriz que ambosdiagramas deben tener identificando en el mismo la línea del mundo de un rayo deluz común a ambos observadores y ’ en los marcos de referencia y ’, hemosagregado al diagrama del observador estacionario

el siguiente diagrama espacio-

tiempo de

’ (nos queda pendiente el asunto de cómo se lleva a cabo la graduación

o calibración de los ejes ’ y ’):

Diagrama 7-16

Para así tener el siguiente diagrama espacio-tiempo combinando a ambosobservadores desde la perspectiva del observador estacionario :

Diagrama 7-17

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfKEQFzf_RI/AAAAAAAAFtA/58Va1AZZs_k/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_combinado.png

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfKDt3ejAvI/AAAAAAAAFs4/jIsV3Ao_LUo/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_observador_O'_con_rayo_de_luz.PNG

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfKCWkQie0I/AAAAAAAAFsw/XjF-r7r7Dzc/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_observador_O_con_rayo_de_luz.PNG





PROBLEMA: Representar en un diagrama espacio-tiempo cuatro eventos distintos cuyascoordenadas son las siguientes:

, 1,2

, 2,5

, 4,1

, 2,2

Los eventos y están especificados sobre las coordenadas del observador enreposo en su marco de referencia , y en el diagrama espacio-tiempo combinadoestarán ubicados en las siguientes posiciones (se han representado los dos eventos

en el diagrama con unos cuadritos de color púrpura):

Diagrama 7-18

Los eventos y están especificados sobre las coordenadas del observador enmovimiento O’ en su marco de referencia S’, y en el diagrama espacio-tiempocombinado estarán ubicados en las siguientes posiciones (se han representado losdos eventos en el diagrama con unos cuadritos de color verde):

Diagrama 7-19

Cuanta más alta sea la velocidad relativa entre dos marcos de referenciaacercándose o alejándose a una velocidad cada vez más cercana a la velocidad de laluz, tanto más se irán cerrando los ejes que corresponden al marco de referencia en

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfNaKbKQWAI/AAAAAAAAFtg/7Bw32WPARsE/s1600-h/resolucion_problema_B.PNG

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfNZEoeIW5I/AAAAAAAAFtY/t2FLddrHMVA/s1600-h/resolucion_problema_A.PNG





movimiento ’ como podemos apreciarlo en el siguiente diagrama espacio-tiempo:

Diagrama 7-20

En el diagrama espacio-tiempo de arriba, tenemos sobrepuestos a tres

observadores, el observador que consideramos estacionario, el observador ’ que seestá moviendo a una velocidad relativa con respecto al observador , y un tercerobservador ’’ que se está moviendo a una velocidad todavía mayor con respecto alobservador . Nótese cómo se van cerrando cada vez más y más los ejes coordenados y de un observador móvil conforme va aumentando su velocidad con respectoal observador estacionario.

Cuando se prescinde de un diagrama espacio-tiempo como el caso en el que sevaya a efectuar un cálculo numérico, para la especificación completa de un mismoevento cualquiera se deben especificar cuatro coordenadas, las coordenadas , del evento en el marco de referencia

, y las coordenadas

’,’ del evento en el

marco de referencia ’, de modo tal que un evento quedará registrado como,,’,’ en forma completa. Esto es válido para cualquier evento. El único eventoque tendrá las mismas coordenadas tanto para como para será el que ocurra enel punto común de origen, o sea ,,’,’ 0,0,0,0. En todos los demás casos lascoordenadas diferirán. Sin embargo, al hablar de un evento se está hablando de unmismo y único evento visible para todos los observadores. Cuando un carro chocacontra otro, ya sea visto por un observador estacionario o por un observador móvil,no existen dos marcos de referencia distintos en los cuales uno de los carros choque y el otro no. Distintos observadores siempre se podrán poner de acuerdo en unevento específico, cada uno asignándole sus propias coordenadas. En lo que no sepodrán poner de acuerdo es en la duración del lapso de tiempo entre dos eventosdistintos y y en la distancia espacial que separe a dos eventos distintos. Unobservador dirá que el lapso de tiempo entre dos eventos y fue mientras queel otro dirá que fue ’. Un observador dirá que la distancia espacial entre doseventos fue mientras que el otro dirá que fue ’, y en los diagramas de arribapodemos ver por qué no podrán ponerse de acuerdo jamás, a menos de que tomenen cuenta las correcciones relativistas.

Dado un evento cualquiera situado en un diagrama espacio-tiempo queinvolucre a dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, sepueden obtener las coordenadas del mismo tanto en un marco de referencia como

en el otro trazando desde el evento líneas paralelas a cada uno de los ejes

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfT6eTRGznI/AAAAAAAAFuw/NxC9-Dv0K6Y/s1600-h/diagrama_espacio-tiempo_5.PNG





coordenados respectivos de cada observador, como lo muestra el siguientediagrama:

Diagrama 7-21

En el diagrama espacio-tiempo de arriba tenemos un evento . Trazando unalínea horizontal hacia la izquierda hasta llegar al eje vertical podemos obtener elvalor de con lo cual podemos obtener el tiempo, y trazando una línea verticalhacia abajo podemos obtener la coordenada de la distancia . Del mismo evento podemos hacia la línea ’ una línea paralela a la coordenada ’ con lo cualobtenemos el valor de ’, y podemos trazar hacia abajo otra línea paralela a conlo cual obtenemos el valor de ’.

PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de ladilatación del tiempo.

El análisis se llevará a cabo considerando a nuestro proverbial viajero dentro deun vagón de ferrocarril que arroja un rayo de luz hacia arriba desde una linterna,el cual es reflejado por un espejo regresando al punto de partida. Mientras unobservador sentado a un lado de las vías del ferrocarril observa al rayo de luzrecorrer una trayectoria mayor.

En la construcción de cualquier diagrama espacio-tiempo se vuelve necesarioidentificar claramente los eventos que ocurren. En este caso, nos basta con

identificar sobre el diagrama espacio-tiempo dos eventos:el primer evento que llamaremos ocurre cuando elrayo de luz sale de la linterna, y el segundo evento quellamaremos ocurre cuando el rayo de luz regresareflejado por el espejo al punto desde donde fue lanzado.Ambos eventos ocurren en el mismo lugar para elobservador viajero ’, al cual le asignaremos lacoordenada ’ 0, pero en tiempos diferentes y .Una vez localizados ambos eventos en el sistema dereferencia

’ del observador

’, nos basta con trazar dos

líneas horizontales desde las coordenadas (’, y ’, hacia el eje de tiempos del observador para obtener lasDiagrama 7-22

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/ShLUDakHvFI/AAAAAAAAF-Q/hKeIDwRekkk/s1600-h/diagrama_de_Minkowski_dilatacion_del_tiempo.png



http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SgmqcjcZA6I/AAAAAAAAF7I/xxgVMenUwKg/s1600-h/lectura_de_coordenadas_en_diagrama_de_Minkowski.png





coordenadas correspondientes en el marco de referencia de de los dos eventos.Darse cuenta de que efectivamente hay una dilatación del tiempo, requiere quepongamos sobre los ejes del diagrama espacio-tiempo divisiones graduadas en losejes de los tiempos, o sea que llevemos a cabo la calibración de los ejes, lo cual severá en una entrada posterior. Obsérvese que a diferencia de como sucede con el

observador O’, los eventos E y E no sólo ocurren en tiempos diferentes t y t sinoque también ocurren en lugares diferentes x y x.

PROBLEMA: Ilustrar mediante un diagrama espacio-tiempo el fenómeno de la contracción delongitud sobre una vara de medición, suponiendo que:

a) El observador en reposo es el que tiene la vara de medir y el observador ’ es el que la ve pasar frente a él.

b) El observador en movimiento

’ es el que lleva consigo la vara de medir y el observador en reposo

es el que la ve pasar frente a él.

En caso (a), si el observador en reposo es el que tiene una vara de medir de longitud, las líneas del mundo de los dos extremos de la vara de medir se mantendráncomo dos líneas verticales paralelas proyectadas hacia arriba como lo muestra elsiguiente diagrama espacio-tiempo:

Diagrama 7-23

En este caso, el observador estacionario mide para la vara en el instante t 0 de su tiempo propio una longitud L. Pero el observador móvil ’ mide la coordenadade cada extremo de la vara en tiempos diferentes y concluye que hubo unacontracción en la longitud de la vara.

b) En el segundo caso, si el observador en movimiento ’ es el que lleva consigo lavara de medir de longitud , las líneas del mundo de los dos extremos de su varade medir se mantendrán como dos líneas paralelas las cuales a su vez seránparalelas a su eje vertical ’ como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo:

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SjAivRDyxkI/AAAAAAAAGHo/hoi-vCBUBmE/s1600-h/contraccion_relativista_de_longitud_1.png





Diagrama 7-24

En este caso, el observador ’ mide para su vara en el instante ’ 0 de sutiempo propio una longitud L. Pero el observador mide la coordenada de cadaextremo de la vara en tiempos diferentes y concluye por su parte que hubo unacontracción en la longitud de la vara.

Hemos visto una forma convencional del diagrama espacio-tiempo de Minkowski,pero no es la única manera de construir un diagrama espacio-tiempo. Otra formade lograrlo es recurriendo a un truco. El truco consiste en que sobre un mismodiagrama, usando el mismo origen para dos observadores distintos que se estánmoviendo a una velocidad relativa el uno con respecto al otro, se tracen dos ejesde espacios correspondiendo a los espacios propios medidos por cada observador, yademás se tracen dos ejes de tiempos correspondiendo a los tiempos propiosmedidos por cada observador, de modo tal que el eje de tiempos de un observadorsea perpendicular al eje de espacios del otro observador y que el eje de espacios dedicho observador sea perpendicular al eje de tiempos del otro observador. Esto es loque nos produce esencialmente lo que se llama un diagrama espacio-tiempo deLoedel, así llamado en referencia a su creador, el físico latinoamericano EnriqueLoedel Palumbo:

Diagrama 7-25

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El diagrama de Loedel es una modificación con fines didácticos del diagramaespacio-tiempo que fue concebido por Hermann Minkowski.

Ahora veremos con mayor detalle el asunto de la simultaneidad, visto desde laóptica de la Teoría Especial de la Relatividad.

El primer contacto que tienen muchos estudiantes con la explicación de lapérdida de la simultaneidad absoluta se basa en un ejemplo como el siguiente en elcual tenemos a nuestro proverbial pasajero de ferrocarril colocado justo a la mitadde los dos extremos del convoy de vagones. En el marco de referencia delobservador situado a un lado de las vías del ferrocarril justo a la mitad de dos torresde luz se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo) dos pulsos luminososemanados de las dos torres de luz usando relojes sincronizados en el marco dereferencia de S para lanzar los pulsos luminosos, de tal forma que el estallido deuno de los pulsos luminosos coincidirá justo con el extremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero delferrocarril:

Diagrama 7-26

El observador estático situado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco dereferencia recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tantoconcluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de su marco de referencia.Por su parte, en virtud de que la luz tiene una velocidad finita y en virtud de que el

pasajero del ferrocarril está en movimiento rápido, uno de los pulsos luminosos lellega primero que el otro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron almismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en quetardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lo tanto para éllos eventos no son simultáneos en su marco de referencia ’.

La anterior es una explicación simplista y en cierta forma errónea porque no tomaen cuenta para nada los efectos relativistas de la dilatación del tiempo y lacontracción de longitud. La pérdida en la simultaneidad se debe, según laexplicación anterior, a la velocidad finita de la luz. Si no hubiese dilatación deltiempo ni contracción de longitud, si no hubiese relatividad, si existiesen el tiempoabsoluto y el espacio absoluto, la pérdida en la simultaneidad sería meramente una

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ilusión, una pérdida de simultaneidad aparente. La situación actual es máscomplicada que la descrita en el ejemplo anterior precisamente porque hay efectosrelativistas de dilatación del tiempo y contracción de longitud. Efectivamente, hayuna diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsos luminosos al viajero en elferrocarril, pero también hay una pérdida de simultaneidad real que no es

ocasionada por la velocidad finita de la luz sino por efectos de índole relativista.Y es en este caso en donde los diagramas espacio-tiempo de Minkowski resultan deuna ayuda invaluable para entender lo que está sucediendo, permitiéndonos ir másallá de la anterior explicación simplista. Para entender lo que está sucediendo, esnecesario identificar a los dos eventos que ocurren simultáneamente en el marco dereferencia como y y ver las coordenadas ’,’ de cada uno de dichos eventosen el marco de referencia ’.

Si dos eventos ocurren al mismo tiempo en el mismo lugar se puede afirmar sinlugar a dudas que ambos eventos son simultáneos. Cuando dos aviones chocan en

el aire, no existe marco alguno de referencia en el cual la colisión de ambos avionesno sea simultánea. Pero entre mayor sea la distancia entre dos eventos que ocurrenen distintos lugares tanto mayor será la dificultad para los observadores en decidirpor cuenta propia el asunto de la simultaneidad.

Considérese el siguiente diagrama espacio-tiempo de Minkowski que ilustra la

situación de eventos que son simultáneos en un marco de referencia delobservador y que no son simultáneos en un marco de referencia ’ del observador’, así como eventos que son simultáneos en un marco de referencia ’ pero que noson simultáneos en el marco de referencia :

Diagrama 7-27

En este diagrama, los eventos A y B ocurren simultáneamente a un mismo tiempoen el marco de referencia S en dos lugares distintos que podemos identificar comox y x. Pero resulta claro que, relativísticamente hablando, los mismos eventos A yB ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia de S’, los cuales podemosubicar en los tiempos t y t . Los dos eventos y ocurren en tiempos diferentesen lugares diferentes para un observador situado en

’. Aquí lo que es simultáneo

para

no es simultáneo para

’. Por otro lado, los eventos

y

ocurren

simultáneamente a un mismo tiempo en el marco de referencia ’ en dos lugares

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distintos que podemos identificar como y Pero resulta claro que,relativísticamente hablando, los mismos eventos C y D ocurren en tiemposdiferentes en el marco de referencia de S, los cuales podemos ubicar en los tiempos

y

. Los dos eventos

y

ocurren en tiempos diferentes en lugares diferentes

para un observador situado en

. Aquí lo que es simultáneo para

’ no es simultáneo

para . Y en cuanto a los eventos y , tales eventos no son simultáneos ni para ni para ’. Todo esto lo podemos ver claramente tal como es en los diagramasespacio-tiempo de Minkowski. Desafortunadamente, aunque estos gráficos son degran ayuda, no se prestan para cálculos numéricos de precisión, para lo cualtendremos que recurrir a una herramienta algebraica conocida como las ecuacionesde transformación de Lorentz.

A continuación tenemos otro diagrama espacio-tiempo que nos ilustrará la faltade simultaneidad dentro de la Teoría Especial de la Relatividad:

Diagrama 7-28

En este diagrama espacio-tiempo, para el observador en el marco de referencia cuyas coordenadas son ,, dos eventos son simultáneos cuando de acuerdo consu reloj ocurren al mismo tiempo en dos lugares diferentes que podemosidentificar simplemente como y , marcados por los puntos obscuros que están

puestos sobre la línea horizontal que corresponde a un tiempo

.

Sin embargo, para el otro observador cuyas coordenadas son ’,’, los doseventos no ocurren simultáneamente, ocurre primero uno y después ocurre el otro.En su reloj un evento ocurre primero en el tiempo y el otro evento ocurre despuésen el tiempo . Esta anomalía relativista en la simultaneidad es precisamente laque ocasiona los efectos físicos de la dilatación del tiempo y la contracción delongitud. Todas las dificultades para comprender las aparentes paradojas que estándetrás de la Teoría Especial de la Relatividad surgen de nuestra renuencia arechazar de manera definitiva el falso concepto de la simultaneidad absoluta. Sihubiera simultaneidad absoluta, no habría dilatación relativista del tiempo nicontracción de longitud, aunque ello requeriría necesariamente la aceptación delmovimiento absoluto, lo cual a estas alturas ya hemos descartado por completo.

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeYwy-O3d3I/AAAAAAAAFkY/sd6mqvoO9h4/s1600-h/diagrama_de_Minkowski_eventos_simultaneos.png





PROBLEMA: Mediante un diagrama espacio-tiempo, obtener y explicar el efecto relativista de lacontracción de longitud.

Si en lugar de un diagrama espacio-tiempo trazado sobre una hoja hacemos unesfuerzo extra por representar dos coordenadas de la posición , y la coordenadadel tiempo apuntando esta última hacia arriba, podemos dibujar algo que seconoce como superficies de simultaneidad tanto para el observador en reposo enel marco de referencia como el observador en movimiento ’ en el marco dereferencia ’:

Diagrama 7-29

En el diagrama de la izquierda, tenemos dos eventos representados con puntitosrojos que ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia del observador . Y tenemos otros dos eventos representados con puntitos amarillosque ocurren en tiempos diferentes en el marco de referencia

’ del observador

’.

Pero en el diagrama de la izquierda, los dos eventos representados con puntitosamarillos sí ocurren al mismo tiempo, simultáneamente, en el marco de referencia’ del observador ’, aunque los eventos representados con puntitos rojos y que eran

simultáneos en el marco de referencia del observador han dejado de sersimultáneos para el observador ’.

La limitante de que ningún objeto puede viajar a una velocidad mayor que lavelocidad de la luz se refleja no tan sólo en un cuadrante del diagrama espacio-tiempo, se refleja en los cuatro cuadrantes, y el “origen ” del observador puede nonecesariamente coincidir con el origen del diagrama espacio-tiempo que estásituado en

0 y

0, en virtud de que la fijación de las coordenadas es una

mera cuestión de conveniencia:

En el diagrama 7-25, tenemos a un cuerpo que al moverse del punto al punto se ha movido en línea recta de 0.5 metros y 0.75 metros a partir de untiempo 0.5 segundos a un tiempo 1.75 segundos, siendo por lo tanto suvelocidad igual a 0.2 . Puesto que el avance natural del tiempo es siempre haciaarriba, el cuerpo sólo puede desplazarse también junto con el tiempo de abajo haciaarriba, en cualquier trayectoria rectilínea cuya pendiente no exceda la velocidad dela luz, lo cual está marcado por el área punteada. Del punto hay un conjunto depuntos que marcan el futuro de la posición del cuerpo en el diagrama espacio-tiempo, y hay también un conjunto de puntos que marcan el pasado de la posicióndel cuerpo en el diagrama espacio-tiempo.

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfNbrfefxTI/AAAAAAAAFto/4Rs9RsaNIvA/s1600-h/superficies_de_simultaneidad.png





Diagrama 7-30

No es necesario limitarnos a un diagrama espacio-tiempo de tan sólo dosdimensiones. Podemos agregar una dimensión adicional, como correspondería a lacoordenada en un plano Cartesiano , , para tener lo que parece ser un conodentro del cual están circunscritas las trayectorias posibles de un objeto, llamadocono de luz:

Diagrama 7-31

De este modo, podemos tener las siguientes dos trayectorias rectilíneas posiblesen el siguiente diagrama espacio-tiempo tridimensional:

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeZJcw1mcCI/AAAAAAAAFkw/ZDvLq21wxwk/s1600-h/trayectorias_rectilineas_posibles_en_el_espacio_tiempo.png

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeZGNFACKjI/AAAAAAAAFko/tgv7dhj6914/s1600-h/cono_de_luz_pasado_y_futuro.jpg





Diagrama 7-32

Antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, podíamos hablaracerca de un “ahora ” universal, podíamos hablar acerca de un “ pasado ” común

universal y acerca de un “ futuro ” común universal, comunes a todos los quehabitamos en este Universo, puesto que el tiempo absoluto marchaba al unísono

por igual en todo el Universo, sin retrasarse niadelantarse en ninguno de sus confines. Pero apartir del advenimiento de la Teoría Especial de laRelatividad, para cada observador hay un “ pasado ”,un “ presente” y un “futuro”, delimitados por el conode luz. En este último diagrama, la línea del mundo(de color verde) corresponde a un observador queestá en reposo. El punto en el que se tocan los dosconos de luz que corresponden al “pasado” y al“futuro” del observador viene siendo el “ahora” delobservador. Puesto que ningún objeto puedemoverse a una velocidad mayor que la velocidad dela luz, la única forma de poder llegar al “ahora” desde

el pasado (suponiendo una línea del mundo con unmovimiento rectilíneo) es haciéndolo dentro del conode luz inferior. Y la única forma de poder llegar a ciertopunto del diagrama espacio-tiempo en el “futuro” esestando dentro del cono de luz superior. Las regionesde espacio-tiempo de color gris en el diagrama de

arriba son, por lo tanto, regiones de espacio-tiempo alas que el observador no tiene acceso. Esto fija demanera unívoca todas las relaciones que pueda haberde causa-efecto entre dos observadores. Los únicoseventos que pueden cambiar el estado de unobservador o de un objeto en su posición actual en elespacio-tiempo deben estar situados en o dentro delcono de luz que corresponde a su “pasado”. Y los únicoseventos que pueden ser influenciados por eventos en los que participe unobservador o un objeto deben estar situados dentro del cono de luz que correspondea su “futuro”. De este modo, en el siguiente diagrama espacio-tiempo:

Diagrama 7-34

Diagrama 7-33

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SkKbQykLUOI/AAAAAAAAGSw/0Is9KJLqG2c/s1600-h/el_ayer_y_el_hoy_pre-relativista.png

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SkKcTZ4abkI/AAAAAAAAGS4/ebVfaWAtCwg/s1600-h/el_ayer_y_el_hoy_relativista.png

http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeZKAt8QYkI/AAAAAAAAFk4/S6teF-jV-ig/s1600-h/trayectorias_rectilineas_dentro_del_cono.gif





Diagrama 7-35

El evento que tuvo lugar en el punto

pudo muy bien haber cambiado lo que está

sucediendo en el “ahora” del observador que se encuentra en el punto

, y el

observador puede hacer algo para intervenir sobre lo que sucede en el evento quetiene lugar en el punto . Pero no puede hacer nada para modificar lo que ocurraen los eventos y porque están fuera de su alcance al no poder establecer unacomunicación con ellos debido a la limitante absoluta de la velocidad de la luz. Lospuntos y están en regiones prohibidas. Cabe aclarar que la línea en el diagramaque corresponde a la coordenada no está inclinada como parece estarlo; es unalínea perfectamente horizontal como puede comprobarlo el lector en el monitor desu computadora con la ayuda de una hoja de papel. Se trata de una ilusión óptica,como lo es la ilusión del concepto de la simultaneidad absoluta que tanto trabajoles cuesta a muchos estudiantes sepultar.

¿Entonces ya no podemos hablar de un pasado común y un futuro común a todoslos habitantes del Universo como se acostumbraba hacerlo antes? Sí, pero desde laperspectiva relativista. En el siguiente diagrama espacio-tiempo tenemos los conosde luz que corresponden no a uno sino a dos eventos y :

Diagrama 7-36

En este diagrama, el “ahora” del evento no puede tener efecto alguno sobre el

“ahora” del evento

porque ello requeriría atravesar la zona gris que le está vedada

a ambos eventos. Para poder tener efecto alguno sobre el “ahora” de , el “ahora” del

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SkOx_DX2YVI/AAAAAAAAGTY/rMB9TCoMqVA/s1600-h/el_pasado_y_el_futuro_comun_relativista.png

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evento debería ser capaz de poder transmitir información al “ahora” del evento

a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, lo cual es imposible. Sin embargo,ambos conos de luz tienen dos zonas en común, las zonas en las cuales se solapanlos dos conos de luz. La zona común en la cual se solapan los pasados de ambos,de color rosa, es la zona en la cual ambos eventos pueden intercambiar información

que sea capaz de cambiar el “ahora” de cada uno de ellos, es la zona denominadapasado común. Y la zona común en la cual se solapan los futuros de ambos, decolor azul cielo, es la zona en la cual ambos eventos podrán intercambiarinformación en su futuro (a menos de que ocurra un cambio en la línea del mundode uno de ellos o de ambos), es la zona denominada futuro común. De cualquiermanera, y hablando del Universo como un todo, sí podemos hablar de un “ahora”

universal que sin embargo no es un “ahora” absoluto, porque en la infinitud de las

regiones locales de las que está hecho el universo habrá variaciones en la marchadel tiempo como las que predice la Teoría de la Relatividad.

En los diagramas espacio-tiempo que hemos visto, sólo hemos consideradoobjetos que mantienen una trayectoria rectilínea a velocidad constante sobre la cualse pueden aplicar los principios propios de la Teoría Especial de la Relatividad. Perotambién podemos trazar en un diagrama espacio-tiempo la trayectoria de un objetoque no mantiene una trayectoria rectilínea, que está cambiando constantemente dedirección. Un diagrama tal tendría un aspecto como el siguiente:

Diagrama 7-37

En esta trayectoria tenemos a un viajero que se ha trasladado del punto alpunto en un lapso de tiempo medido en el reloj con el que va viajando el viajero.Este es precisamente el tipo de movimientos que deben caer bajo el ámbito de unateoría extendida para analizar movimientos no-rectilíneos o acelerados, una TeoríaGeneral de la Relatividad . La trayectoria de un cuerpo que no avanza en línea recta

dentro del cono de luz debe ser tal que la velocidad de la luz nunca debe serexcedida, o sea que la tangente de la curva nunca debe apartarse más de 45 grados

http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SeZDi1JmMpI/AAAAAAAAFkg/8or1nhYSoXo/s1600-h/trayectoria_no-rectilinea_en_espacio-tiempo.png





del eje vertical que representa a la coordenada del tiempo. A continuación tenemosun ejemplo de un recorrido válido y un recorrido inválido:

Diagrama 7-38

Obsérvese en el diagrama anterior izquierdo cómo el cono de luz es algo que viaja junto con el observador móvil, el cual puede definir en cualquier momento cuál seráel instante en que su reloj sea ajustado para marcar el “ pasado”, el “ futuro” y el

“ presente” (el instante a partir del cual se empieza a tomar el tiempo para llevar las

cuentas de una sucesión de eventos).

Partiendo de sus dos postulados, Einstein dedujo correctamente las nuevas leyespara las transformaciones llevadas a cabo entre dos marcos de referencia distintos,formalizadas algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz,

pero fue Herman Minkowski el que demostró que si dejábamos de ver a las tresdimensiones del espacio y a la dimensión del tiempo como entidades separadas ylas uníamos geométricamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones,entonces las transformaciones relativistas podían ser vistas como correspondiendoa rotaciones llevadas a cabo en este espacio-tiempo cuatridimensional, lo cual fue

una enorme simplificación creando una nueva perspectiva acerca del espacio y deltiempo. Al principio Einstein no dio mucha importancia a la interpretacióngeométrica de Minkowski, tomándola meramente como una formalidad matemáticasin significado físico real, pero eventualmente cambió su actitud adoptando el puntode vista cuatridimensional geométrico que después emplearía para la postulaciónde la Teoría General de la Relatividad.

http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/Sezq1GB2OhI/AAAAAAAAFno/MyyPoUDyEzw/s1600-h/trayectorias_validas_e_invalidas.PNG



Fundamentos de Relatividad General Las transformaciones de Lorentz


Las transformaciones de Lorentz

Conforme nos vamos familiarizando más y más con las consecuencias de lospostulados de Einstein, se vuelve deseable obtener fórmulas de carácter general quenos permitan obtener toda la información que describa los eventos analizados por

dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, dosobservadores situados en dos marcos de referencia distintos S y S' (se acostumbradenotar al observador en reposo como un observador colocado en el marco dereferencia S mientras que el observador móvil desplazándose a una velocidad estápuesto en el marco de referencia designado como S’):

Diagrama 8-1

Tales ecuaciones de transformación de carácter general de un marco de referenciaa otro fueron enunciadas por vez primera no por Einstein, sino por el físico Lorentz,razón por la cual reciben el nombre de ecuaciones de transformación de Lorentz.

Para la derivación de las ecuaciones de transformación, en ambos marcos dereferencia se centrará la atención sobre un evento común descrito por ambas

personas, el cual tendrá coordenadas ,,, en el marco de referencia S ycoordenadas ’,’,’,’ en el marco de referencia S’:

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Diagrama 8-2

Por simplicidad en la derivación de las ecuaciones de transformación, ambosmarcos de referencia son seleccionados de modo tal que sus orígenes (el punto enel marco de referencia de y el punto ’ en el marco de referencia de ’) coincidanen los tiempos 0 ’ 0.

Supóngase que cuando los orígenes de ambos marcos de referencia coinciden sedispara un pulso de luz en el origen común de ambos. Por el segundo postulado dela Teoría Especial de la Relatividad, este pulso de luz se propagará con la mismavelocidad tanto dentro del marco de referencia S como dentro del marco dereferencia S’. Este es precisamente el punto clave para poder obtener latransformación de un marco de referencia a otro, el hecho de que la velocidad de laluz c que debe ser la misma en ambos marcos de referencia, tanto para el marco dereferencia S:

Como para el marco de referencia ’:

’ ′ ¿Cuál es el tipo de transformación que estamos buscando? Si recordamos la

derivación de los resultados preliminares sobre los fenómenos de la dilatación deltiempo y la contracción de longitud, resulta claro que las transformaciones queestamos buscando deben ser transformaciones lineales.

Suponiendo fija la velocidad a la cual se desplaza el marco de referencia ’, porla dilatación del tiempo medido en ’ cuanto se mide en requiere de la aplicación

de un factor de corrección constante (esto es, si la velocidad es tal, que cuando un

lapso de tiempo medido en ’ es de 10 segundos equivale a un lapso de tiempomedido en

de 15 segundos, con lo cual al mantenerse constante el factor de

corrección entonces un lapso de tiempo de 20 segundos medido en

’ equivaldrá a

un lapso de tiempo de 30 segundos medido en , del mismo modo que un lapso de

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En otras palabras, para valores bajos de , debe acercarse a 1 y / debeacercarse a , la transformación relativista se debe reducir a la transformaciónclásica para bajas velocidades de . Esto nos permite escribir la transformaciónrelativista como:

’ ’

La transformación inversa debe tener la misma forma, excepto por el cambio designo involucrado por el hecho de que el marco de referencia se está desplazandohacia la izquierda mientras que el marco de referencia ’ permanece estático.’

Pero ya se había señalado que, por el segundo postulado de la Teoría de la

Relatividad:

’ ’ Sustituyendo estas dos relaciones tanto en la transformación de ’ a como en

la transformación inversa de a ’, obtenemos lo siguiente:

’ ’

’

y ’ ’

Eliminando de ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:

’ ∙ ’

′ ( ∙ )′ ( )′ ² ’ ² ² ² ’

De lo cual obtenemos lo siguiente:





11

1 1

Este resultado nos debería de ser ya familiar, es el mismo factor de corrección γque habíamos obtenido anteriormente . En pocas palabras .

Con esto:

’ ’

Podemos obtener la ecuación de transformación para el tiempo de la ecuación’

Usando

’ ’ ó

Para t: ’ ’ ’

De lo cual:

’ 1 ′

’ ’

Resumiendo, y empleando el símbolo γ en lugar de , para cambiar del marco dereferencia ’ que se está moviendo de izquierda a derecha a una velocidad al marcode referencia del observador estacionario , las ecuaciones de transformación deLorentz son:

′ ′





_ ′ _ ′

_ ′ ′/²

Podemos obtener la transformación inversa para cambiar del marco de referencia al marco de referencia ’ directamente de las anteriores ecuaciones. De la primeraecuación y de la cuarta ecuación, podemos reescribirlas en forma tal que tanto la

variable ’ como la variable ’ puedan ser despejadas por medio de ecuacionessimultáneas (por medio de determinantes aplicando la regla de Cramer o cualquierotra técnica matemática del gusto del estudiante):

Es así como obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:____′ ____′ ____′

Obsérvese que, exceptuando por la diferencia entre los signos “+” y “-” entre laprimera y la cuarta ecuación de ambas transformaciones, ambas transformacionesson completamente simétricas. La diferencia en el signo simplemente indica quemientras que para el observador en

la persona en

’ se está moviendo en una

dirección positiva (hacia la derecha), para la persona en ’ el observador en se estámoviendo en sentido contrario, en una dirección negativa (hacia la izquierda).

En virtud de que se requiere algo de práctica para poder adquirir cierta destrezaen el empleo de las transformaciones de Lorentz para la resolución de problemas, acontinuación veremos algunos ejercicios que nos darán una familiaridad en latransformación de coordenadas de un sistema de referencia a otro. Se observaráque estas transformaciones de coordenadas no son muy diferentes a lastransformaciones (clásicas) de coordenadas de Galileo, excepto que las fórmulas queempleamos aquí se basan en la validez de los dos postulados de la Teoría Especial

de la Relatividad.





PROBLEMA: Para un observador O un destello de luz sale del punto 100 ó, 20 ó, 30 ó en un tiempo 0.0005 . ¿Cuáles son las coordenadas

del evento para un segundo observador

que se mueve con respecto al primero a lo largo del eje

común ’ a una velocidad de 0.8 .?El factor de corrección en este caso es:

1 1 1 1 0.8 10.6 1.667

De las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia

al

sistema de referencia ′ tenemos entonces lo siguiente:

____ ′ – 1.667100 – 0.83 · 10 /5 · 10− 367

____′ 20

____′ 30

1.667 5 · 10

−

0.8100

12.8 · 10−

De esta manera, el evento tiene las siguientes coordenadas: ,,, 100 , 20 , 30 , 5 · 10− ′ ’,’,’,’ 367 ,20 , 30 , 12.8 · 10− En la mayoría de los problemas relativistas, más que obtener las coordenadas de

un mismo evento visto en dos marcos de referencia distintos, en lo que realmente

estamos interesados es en obtener la diferencia entre las coordenadas de doseventos distintos y comparar dicha diferencia de un marco a otro.





PROBLEMA: Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la dilatacióndel tiempo, especificando las coordenadas de cada evento involucrado en el análisis.

Es suficiente considerar únicamente dos eventos para la resolución de esteproblema. El primer evento es aquél en el cual los relojes de y ’ están el uno frenteal otro, sincronizados:

Ilustración 8-1

El segundo evento es aquél en el cual, de acuerdo con el observador en el sistema

, el reloj en

’ se ha movido de una posición

a una posición

en su eje de

coordenadas:

Ilustración 8-2

Obsérvese que para el reloj viajero la coordenada posición ’ dentro de su marcode referencia ’ no cambia en lo absoluto, ya que viaja a una velocidad (conrespecto al sistema de referencia

) llevando consigo su sistema de referencia.

Sea ’ el intervalo de tiempo propio medido dentro del marco dereferencia ’ en un mismo punto fijo dentro del marco de referencia ’. El intervalo

de tiempo entre los dos eventos que corresponde al marco de referencia puedeser obtenido de las ecuaciones de transformación de Lorentz:

’

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Este es el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo. Hemos obtenidodirectamente a partir de las transformaciones de Lorentz la relación para ladilatación del tiempo de un reloj. La resolución del problema requirió determinar loseventos sobre los cuales se llevaría a cabo la transformación de las coordenadas.Una vez que se han logrado determinar los eventos, el problema está prácticamente

resuelto.

PROBLEMA: Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la contracciónde longitud.

Considérese una vara de medición cuyos extremos en el marco de referencia ’ están identificados como

y

. La longitud propia

de la vara de medición dentro

del marco de referencia ’ será:

La longitud de esta vara de medición, medida en el marco de referencia con ambosextremos medidos en el mismo tiempo , en será:

Usando las relaciones de transformación de Lorentz, tenemos lo siguiente:

Por lo tanto:

/

Este es el fenómeno relativista de la contracción de longitud.

Las transformaciones de Lorentz nos preparan para un nuevo efecto relativistaque no habíamos encontrado previamente: la desincronización relativista de los relojes.

PROBLEMA: Considérense dos relojes sincronizados que están puestos en lugares diferentes x’ y

x dentro del marco de referencia

S’ al cual consideramos el marco de referencia móvil. ¿Cuáles

serán los tiempos dados por dichos relojes en el tiempo

dentro del marco de referencia

S?





En los problemas anteriores, teníamos puestos dos o más relojes sincronizadosen el marco de referencia fijo , pero teníamos puesto un solo reloj en el marco dereferencia móvil

. Ahora vamos a complicar un poco más esa situación, con dos

relojes colocados en el marco de referencia móvil en lugares diferentes. Supongamos

que hay un reloj A puesto en la coordenada del marco de referencia móvil y otroreloj B puesto en la coordenada del mismo marco de referencia.

De las ecuaciones de transformación de Lorentz tenemos lo siguiente para dosrelojes diferentes puestos en el marco de referencia móvil ’:

’

’

Entonces los tiempos de los relojes desincronizados dentro el marco de referencia ,relojes de que están sincronizados en , estarán relacionados de la manerasiguiente:

’ ’

’ ’

En donde es la distancia propia entre los dos relojessituados dentro del marco de referencia ’.

Este resultado que acabamos de obtener tiene implicaciones mucho másprofundas de lo que aparentan a primera vista. Dos relojes separados por unadistancia y sincronizados dentro del marco de referencia en el que se encuentranse verán desincronizados en un marco de referencia ’ en el que se estén moviendoa una velocidad , con el reloj perseguidor retrasado por un tiempo /². Estosignifica que dos eventos diferentes que ocurran a un mismo tiempo en un marcode referencia

S’ ocurrirán en tiempos diferentes para en un marco de referencia

S.

En efecto, dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco dereferencia S no serán simultáneos para un observador que viaje en un marco dereferencia ’ del mismo modo que dos eventos diferentes que sean simultáneosdentro de un marco de referencia ’ no serán simultáneos para un observador queviaje en un marco de referencia . Esto nos confirma algebraicamente lo que yahabíamos visto geométricamente en nuestra introducción a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, el hecho de que, relativistamente hablando, no existe lasimultaneidad absoluta. La falta plena de entendimiento de este hecho es lo que da

pie a falsos razonamientos que conducen a paradojas y confusiones entre quienesempiezan sus estudios de relatividad por vez primera.





Los problemas relativistas de contracción de longitud en los que todo se resuelvecon la simple aplicación de la fórmula:

· 1 –

Son problemas sencillos que involucran meramente una separación espacial de

las coordenadas, mientras que los problemas relativistas en los que simplemente sebusca una dilatación del tiempo son problemas sencillos que involucran meramenteuna separación temporal de las coordenadas. Es importante establecer claramentela diferencia profunda entre el concepto de la “separación espacial de lascoordenadas” y “longitud”. Un error común en la solución de problemas consiste ensimplemente multiplicar o dividir un determinado intervalo espacial por el término√1 ²/². Esta aproximación es válida si se trata de hallar relaciones entrelongitudes, entendiéndose por longitud algo como

. Sin embargo, si se trata

de un intervalo espacial entre dos acontecimientos que no tienen lugarsimultáneamente , la respuesta se obtiene utilizando la técnica de substracción encoordenadas de Lorentz y no multiplicando o dividiendo la expresión espacial

original por √1 ²/². Del mismo modo, si los observadores y ’ miden laseparación temporal entre dos acontecimientos que para ambos observadorestienen lugar en diferentes sitios , estas separaciones temporales no se relacionan

simplemente multiplicando o dividiendo por √1 ²/². La resolución de lossiguientes problemas hará más claro lo que se acaba de afirmar, y será obvio que

no basta con simplemente multiplicar o dividir por el término √1 ²/² pararesolver problemas relativistas. Es necesario aplicar las transformaciones de Lorentz.

PROBLEMA: Para un observador , dos acontecimientos están separados en el espacio y en eltiempo por 600 y por 8 × 1 0− ¿Con qué velocidad debe moverse un observador ’ con respecto a para que los acontecimientos aparezcan simultáneos a ’?

Establecemos la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación deLorentz:

’

La diferencia de tiempos será:

Para que los dos acontecimientos aparezcan simultáneos, se requiere que .Entonces:

0





8 × 1 0− · 600 3 × 1 0

0.4

0.4

PROBLEMA: Un tren de media milla de longitud (medida por un observador que viaja dentro deltren) se mueve a 100 /ℎ. Dos destellos de luz inciden simultáneamente en los extremosdel tren para un observador en tierra. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre estos eventos para

un observador ’ que viaja en el tren?

Supongamos que para el observador en tierra se asignan las coordenadas , y , a los dos eventos, mientras que para el viajero ’ que va en el tren lascoordenadas correspondientes de los dos eventos son , y , . Entonces lasituación es la siguiente:

Ilustración 8-3

Convertimos primero las millas por hora a millas por segundo tanto para lavelocidad del tren como para la velocidad de la luz tomando en cuenta que una millaequivale a 1609 metros:

100 ℎ · 13600 ℎ 2.78 × 10−

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3 × 1 0 11609 1.86 · 105

Para este problema:

2.78×10− 1.86×10 1.495 · 10−

y el factor 1 / √1 ²/² para fines prácticos lo podemos tomar como igual ala unidad.

Establecemos ahora la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación

de Lorentz para pasar del sistema de referencia ’ al sistema de referencia : ’ ’ /² La diferencia de tiempos entre los dos acontecimientos (los dos destellos de luz)

de acuerdo con el observador será:

Si los dos destellos inciden simultáneamente en los extremos del tren para un

observador en tierra (ocurriendo al mismo tiempo) entonces y:

0 {2.78×10− 1.86×10 } · 0.5

4.02 × 10− ___¡ Obsérvese el signo menos! El signo menos obtenido en la respuesta nos indica que para el observador viajeroque va en el tren el acontecimiento 1 (en el punto A en la figura) ocurre después queel acontecimiento 2 (en el punto B en la figura).

Anteriormente al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski yahabíamos hablado acerca de la introducción típica con la que varios textospresentan la ausencia de simultaneidad entre dos eventos, con un marco dereferencia de un observador situado a un lado de las vías del ferrocarril justo a lamitad de dos torres de luz que se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo)

emitiendo dos pulsos luminosos de las dos torres de luz usando relojes





sincronizados en el marco de referencia de para lanzar los pulsos luminosos enforma tal que el estallido de uno de los pulsos luminosos coincide justo con elextremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero del ferrocarril:

Ilustración 8-4

De acuerdo con la explicación que dan en dichos libros, el observador en tierrasituado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco de referencia recibe losdos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tanto concluye que ambos eventosfueron simultáneos dentro de su marco de referencia. Pero a causa de la velocidadfinita de la luz y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está en movimiento, unode los pulsos luminosos le llega primero que el otro, y el pasajero concluye que los

destellos no ocurrieron al mismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada ladiferencia de tiempos en que tardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataformamóvil. Y por lo tanto para él los eventos no son simultáneos en su marco dereferencia ’. Sin embargo, ya se había señalado que esta explicación es unaexplicación simplista y en cierta forma errónea porque no toma en cuenta para nadalos verdaderos efectos relativistas de pérdida de simultaneidad que hemos vistoarriba, y como acabamos de ver en los problemas que se han resuelto la pérdida enla simultaneidad no se debe simplemente a la velocidad finita de la luz.Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsosluminosos al observador viajero que está en el ferrocarril, pero también hay unapérdida de simultaneidad real que no es ocasionada por la velocidad finita de la luzsino por efectos de índole relativista, y para poder calcular numéricamente éstapérdida relativista de simultaneidad es necesario identificar a los dos eventos queocurren simultáneamente en el marco de referencia y calcular las coordenadas’,’ de cada uno de dichos eventos (o mejor dicho, las diferencias entre lascoordenadas) para ’ de acuerdo con las transformaciones de Lorentz.

Si queremos agregarle a todo esto lo que el viajero situado a la mitad de losvagones del ferrocarril ve, entonces tenemos que llevar a cabo cálculos adicionalesen base a la velocidad finita de la luz, lo cual viene a complicar el problema. Si elviajero pudiese estar mágicamente al mismo tiempo en ambos extremos del tren por

algún milagro de ubicuidad (como el que se le atribuye a algunos santos) de modoque la luz de ambos destellos no tenga que recorrer ni siquiera un milímetro para

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que el viajero los vea justo cuando ocurren frente a él, vería de cualquier manera aun destello ocurrir antes que el otro, y la diferencia de tiempos entre ambosacontecimientos sería la misma predicha por las transformaciones de Lorentz. Esto ya no tiene nada que ver con el tiempo finito de la velocidad de la luz sino con elhecho de que relojes que están sincronizados en un marco de referencia se salen

fuera de sincronía en otro marco de referencia porque el tiempo no es absoluto.

Hay una distinción bastante clara entre ver un acontecimiento y medir lascoordenadas del mismo, del mismo modo que hay una distinción bastante claraentre ver dos acontecimientos que nos parecen o no nos parecen ser simultáneos ymedir la pérdida de simultaneidad a causa de los efectos relativistas.

PROBLEMA:

(a) Un observador ’ se mueve con una velocidad 0.8 respecto a otro observador . Los relojes

se ajustan de tal manera que

’ 0en

’ 0.Si para

un destello de luz sale en

50 y 2 × 10− segundo, ¿cuál es el tiempo de este acontecimiento medido por ’ ?(b) Si un segundo destello aparece en ’ 10 y 2 × 10− segundo para el observador’, ¿cuál será el intervalo de tiempo entre los dos acontecimientos medido por ?

(c) ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por ’?(d) ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por ?

La parte (a) del problema involucra una transformación a una coordenada de tiempo ’ que selleva a cabo en forma directa con una de las ecuaciones de transformación de Lorentz:

’

La evaluación de γ nos dá:

1 1 1 1 0.8 1√ 0.36 10.6 1.667

Entonces:

’ 1.667·2×10− 0.850

’ 1.667· 2 × 1 0− 1.333 × 10− 1.11 × 10−

(b) Para un segundo destello de luz, identificamos sus coordenadas en ’ como , = 10 ,2 × 10− . El intervalo de tiempo entre los dosacontecimientos medido por estará dado por:





Tenemos el tiempo del primer acontecimiento (destello) medido por ’ que es el

que acabamos de obtener arriba,

1 × 1 1 · 1 0− , y tenemos la coordenada

espacial del segundo acontecimiento. Pero no tenemos aún la coordenadaespacial del primer acontecimiento, la cual tenemos que calcular antes de poderseguir adelante:

1.667 · (50 0.82 × 1 0− )

1.667 · 50 48

3.33

Tenemos ya todos los datos que requerimos para seguir adelante: 1.667 2 × 10− 1.11 × 10− 1.667 0.8/ 10 3.33

1.48 × 10− 0.296 × 10−

1.78 × 10−

(c) Teniendo y , la evaluación de es directa: 10 3.33 6.67

(d) Recurrimos nuevamente a las transformaciones de Lorentz para encontrar la

diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en cuandose conoce la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientosen ’:

1.667 · 6.67 0.8 3× 10 2 × 1 0− 1.11 × 10−

11.11 35.60 46.7

Repasando la relación:





Se concluye que si dos acontecimientos son simultáneos para (lo cual requiere1 2) no pueden ser simultáneos para ’; esto es imposible. Y si dosacontecimientos son simultáneos para ’ (lo cual requiere ) no pueden sersimultáneos para

. Esto ya lo habíamos visto geométricamente al estudiar los

diagramas espacio-tiempo de Minkowski, y lo comprobamos ahora algebraicamente

con las ecuaciones de transformación de Lorentz.

Las ecuaciones de transformación de Lorentz, aplicadas bajo el contexto de la Teoría Especial de la Relatividad, aparecen publicadas en el primer trabajo deEinstein en el que expuso los conceptos de dicha teoría (el cual es reproducido ensu versión inglesa en un apéndice puesto al final de esta obra):

Ilustración 8-5

Posiblemente haya quien se pregunte aquí por qué son llamadas ecuaciones detransformación de Lorentz y no ecuaciones de transformación de Einstein. Esto sedebe a que, si bien fue Einstein quien generalizó estas ecuaciones de transformaciónderivándolas de los dos postulados sobre los cuales está fundada la Teoría Especialde la Relatividad, el holandés Hendrik Antoon Lorentz se le adelantó publicándolasprimero, pero no aplicadas a los fenómenos propios de la mecánica sino de laelectrodinámica, y ello sin suponer efectos relativistas, sino meramente como unesquema ingenioso de simplificación matemática para hacer valer las ecuaciones deMaxwell dándoles cierta cualidad de invariancia. El mérito de Einstein fue elhaberles dado a estas ecuaciones de transformación un carácter universal, general,

aplicable no sólo a la electrodinámica sino a toda la mecánica, derivándolas no deconsideraciones hechas sobre fenómenos propios de la teoría delelectromagnetismo, sino de los dos postulados básicos.

En la resolución de muchos problemas propios de la Teoría Especial de laRelatividad, conviene resolverlos tanto algebraicamente con las ecuaciones detransformación de Lorentz como representarlos geométricamente con los diagramasespacio-tiempo de Minkowski, conviene recurrir a ambos métodos que secomplementan formidablemente el uno al otro y nos dan una mejor idea de lo queestá sucediendo.

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfJHJpgNTjI/AAAAAAAAFsY/uCfsZdJUXkU/s1600-h/pagina_del_trabajo_introductorio_de_la_teoria_especial_de_la_relatividad.PNG



Fundamentos de Relatividad General Representaciones matriciales


Representaciones matriciales

Las transformaciones de Lorentz, siendo transformaciones lineales, se prestanadmirablemente para ser manejadas a través de las herramientas másfundamentales del álgebra lineal, las matrices, esos arreglos rectangulares de

números:

4 2 24 6 8 2 2 4Que resumen la transformación que será llevada a cabo de un sistema de

coordenadas a otro.

Primero que nada, empecemos por visualizar a las cuatro variables ,,, comoun vector en cuatro dimensiones. Este vector tendría una representación en la forma

de un vector fila como la siguiente: En realidad, este vector es una matriz que consta de una fila y cuatro columnas,

o sea es una matriz 1x4.

La representación matricial anterior dada a las cuatro variables de las ecuacionesde transformación de Lorentz adolece de un defecto: revuelve peras con manzanas.En efecto, las coordenadas ,, son longitudes medidas en metros, mientras quela cuarta coordenada es una dimensión medida en segundos. Pero esto tiene un

remedio fácil, ya que todo lo que tenemos que hacer es multiplicar la cuartacoordenada por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz , conlo cual obtenemos la coordenada que también está expresada en metros. De estemodo, tenemos un vector fila en el que todos sus componentes son peras (omanzanas):

Repasemos ahora las ecuaciones de transformación de Lorentz:

’ ’

’





’ ’ ’

A continuación reescribiremos estas ecuaciones de transformación con el fin de

preparar el sistema para su representación matricial, multiplicando la cuartacoordenada (la del tiempo) por la constante absoluta universal que es la velocidadde la luz con la finalidad de que el vector de cuatro componentes al sertransformado de un sistema de referencia a otro contenga las cuatro coordenadasen dimensiones de metros:

’ 0’ 0’ ’

0’ 1’ 0’ 0 ’

0’ 0’ 1’ 0 ’ ’ 0’ 0’ ’

Para aquellos con alguna experiencia previa en matrices el arreglo rectangular dela representación matricial requerida casi salta a la vista, ya que lo que queremoses convertir el vector ’,’,’,’ al vector ,,,, o sea:

’,’,’,’ → ,,,

Si hacemos las siguientes designaciones:

,,, ′ ’,’,’,’

Entonces lo que estamos buscando es un operador que aplicado sobre el

vector

lo transforme al vector

′.

En notación matricial (el operador usualmente se escribe a la izquierda deloperando sobre el cual actúa, aunque hay algunos textos en los que por la falta deuna convención universal se escribe primero el operando que va a ser transformadoe inmediatamente después el operador que llevará a cabo la transformación) esto serepresenta con la siguiente ecuación:

’

Obsérvese que para representar al operador matricial propio de lastransformaciones de Lorentz estamos utilizando la letra griega cuyo equivalentelatino es la letra

.





Tomando en cuenta la forma en la cual se lleva a cabo la multiplicación de dosmatrices y (cada elemento en la fila y en la columna de la matriz resultante se puede obtener de la suma de los productos apareados respectivos de loselementos de la matriz

del lado izquierdo a los cuales apunta horizontalmente el

dedo índice de la mano izquierda en la fila

por los elementos de la matriz

del lado

derecho a los cuales apunta verticalmente el dedo índice de la mano derecha en lacolumna ):

2 5 67 8 4 × 2 35 41 0 2 · 1 5 · 5 6 · 1 2 · 3 5 · 4 6 · 07 · 2 8 · 5 4 · 1 7 · 3 8 · 4 4 · 0 33 1458 15 Determinamos de inmediato que las operaciones matriciales de transformación,

representando a los vectores y ’ como vectores columna, están indicadas por lasiguiente ecuación matricial:

[

0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 ] ′′′′

Con un simple intercambio en el orden de las filas y en la posición de unasvariables en las ecuaciones de transformación de Lorentz:

’ ’ 0’ 0’

’ ’ 0’ 0’ 0’ 0 ’ 1’ 0’ 0’ 0 ’ 0’ 1’

Podemos obtener la siguiente ecuación matricial que es un poco más reveladora:

[

0 0 0 00 0 1 00 0 0 1]

Tenemos, en efecto, una submatriz, la cual transforma las coordenadas ’,’ alas coordenadas , dejando intactas a las coordenadas y en virtud de queentre los sistemas de referencia

’ y

no hay un movimiento relativo en los ejes

y en los ejes

, el único movimiento es en el eje

. Entresacando dicha submatriz

de la matriz general, obtenemos la matriz que verdaderamente proporciona la





transformación en el eje , una transformación conocida como un boost (empuje)

en la dirección del eje :

No se requiere de mucha imaginación para darse cuenta de que en caso de queel marco de referencia móvil se esté moviendo a lo largo del , en lugar demoverse a lo largo del , las ecuaciones de transformación serán: 1’ 0’ 0’ 0’

0’ ’ 0’ ’

0’ 0’ 1’ 0’ 0’ ’ 0’ ’ La representación matricial de este sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:

[

0 0 00 0

0 0 1 00 0 1 ]

Y cuando el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia se esté dandoen el , las ecuaciones de transformación serán:

1’ 0’ 0’ 0’ 0’ 1’ 0’ 0’

0’ 0’ ’ ’

0’ 0’ ’ ’ La representación matricial de este sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:

[

1 0 0 00 1 0 00 0

0 0 ]





Obsérvese que, en cada caso, podemos entresacar una submatriz, la cual serásiempre la misma cuando el movimiento ocurre a velocidad a lo largo de solo unode los ejes coordenados. Esta matriz es conocida como la matriz simple de Lorentz.

Utilizando el símbolo

definido como

/, obtenemos una representación más

compacta de la matriz simple de Lorentz:

Λ βγ

Por razones de conveniencia que pronto serán obvias, haremos el cambionotacional , , con lo cual nuestra matriz de Lorentz adquiere elsiguiente aspecto:

Λ b

Consideremos ahora las ecuaciones de la transformación inversa de Lorentz,

utilizadas para efectuar el cambio de las coordenadas ,,, del marco dereferencia , a las coordenadas ’,’,’,’ del marco de referencia ’:’ ’ ’ ’ /²

Para poder obtener la submatriz que nos interesa, podemos ignorar las dostransformaciones intermedias que en realidad son transformaciones triviales,concentrándonos únicamente sobre las transformaciones que realmente nosinteresan: ’

’ No cuesta trabajo darse cuenta de que para la transformación inversa la

submatriz será:

Λ

En notación matricial compacta, si , entonces para obtener ’ ’, ’ la operación matricial estará representada por la siguiente ecuación;

’ Λ

Puesto que

Λ es la transformación matricial que usamos para convertir las

coordenadas del sistema de referencia

al sistema de referencia

’, y

Λ es la

transformación matricial que usamos para convertir las coordenadas del sistema de





referencia ’ al sistema de referencia , si aplicamos a un vector A primero la

operación y después la operación debemos obtener el mismo vector A con el quehabíamos comenzado originalmente:

’ ’ ’

’ ’ Esto solo puede ser cierto si el producto matricial es igual a la matriz identidad:

[

1 0 0 … 00 1 1 … 00 0 1 … 0⋮ ⋮ ⋮ … ⋮0 0 0 … 1]

Se recuerda, por si se ha olvidado, o se informa, por si no se sabe, que por logeneral la multiplicación de dos matrices no es una operación conmutativa , el orden de

los factores sí altera el producto. El producto de dos matrices y , tomado en elorden × , producirá una matriz diferente a la que producen las mismasmatrices tomadas en el orden × :

0 1 01 0 00 0 1

; 0 0 10 1 0 1 0 0

× 0 1 01 0 01 0 0 ≠ × 0 0 11 0 00 1 0

Cuando son conmutativas, el producto de ambas resulta ser la matriz identidad, ya que una de las matrices es la inversa de la otra.

Todo lo anterior nos conduce a concluir que tiene que ser la matriz inversa de la

matriz , lo cual representamos notacionalmente como −. Siendo así,entonces se debe cumplir la condición

−

:

× 1 00 1

Llevando a cabo la multiplicación matricial del lado izquierdo de la igualdad eigualando componente a componente con la matriz del lado derecho, además deobtener la obvia condición trivial obtenemos otra condición que no estrivial:

² ² 1

Esto nos permite definir, formalmente y de modo riguroso, a una matriz simplede Lorentz: como toda aquella matriz que tenga el aspecto





O el aspecto

Para la cual se cumpla la condición

² ² 1

El interés que podamos tener en las propiedades de las representacionesmatriciales de las transformaciones de Lorentz va más allá de la afición que puedahaber en nosotros hacia las curiosidades de las matemáticas. Las transformacionesde Lorentz tienen un aspecto casi único, distintivo, característico de lo quellamamos un espacio-tiempo plano propio de la Teoría Especial de la Relatividad.

Eventualmente llegará el momento de dar el salto hacia marcos de referencia no-inerciales, acelerados, en los cuales el espacio-tiempo no es plano sino que adquiere

una curvatura. Y las matrices de transformación volverán a aparecer nuevamentepero bajo un aspecto más elaborado, propio de la Teoría General de la Relatividad.Pero tales matrices características de un espacio-tiempo curvo se reducen a lasmatrices características de las transformaciones de Lorentz cuando el marco dereferencia acelerado que corresponde a los campos gravitacionales se puedaconsiderar en una región pequeña del espacio como Lorentziano.

Existe otra forma de representar lo mismo que lo que representan las matricescuadradas (rectangulares, de orden 2) en cuatro dimensiones, renombrando a las

cuatro coordenadas bajo un esquema conocido como coordenadas generalizadas 1,2,3,4 y prescindiendo de matrices usando en lugar de ello sumatorios ydobles sumatorios, pero esto quedará pospuesto para cuando se lleve a cabo unadiscusión sobre el cálculo tensorial. De antemano se señala aquí que ambas formasde representación son completamente equivalentes, están representando lo mismo, y cada una de ellas tiene sus propias ventajas.

PROBLEMA: Determinar si la siguiente matriz es una matriz de Lorentz.

1.25 0 0 . 750 1 0 00 0 1 0. 75 0 0 1.25

Extraemos primero la submatriz que nos interesa eliminando las filas y lascolumnas que contienen únicamente unos y ceros:

1.25 . 75. 75 1.25 Haciendo

1.25 .75, la matriz dada ciertamente tiene la configuración de

una matriz Lorentziana. Sin embargo, falta ver si se cumple la condición principal:





. . . .

Se concluye que la matriz es Lorentziana, y en los lugares en donde esta matrizaplica se cumplirán los postulados de la Teoría Especial de la Relatividad.

Al tratar el tema de las transformaciones de Lorentz, para derivar dichasecuaciones de transformación se supuso, como se ha hecho desde un principio, queel movimiento relativo entre los dos marcos de referencia usuales y ’ se lleva acabo con uno de los marcos moviéndose a una velocidad constante a lo largo del. Esto se hace con fines de simplificación. Los marcos de referencia puedenestarse moviendo el uno con respecto al otro en tal forma que no sólo haya unmovimiento relativo entre ambos marcos a lo largo del

, sino también que haya

un movimiento relativo entre ambos a lo largo del , e inclusive a lo largo del.De este modo, podríamos hablar de tres componentes de velocidad, , y en

lugar de una sola. En la situación clásica en donde utilizamos las transformacionesde Galileo, esto no presenta problema alguno porque allí las componentes develocidad a lo largo de cada eje son independientes la una de la otra por completo.De este modo, si las transformaciones clásicas de un marco de referencia a otrocuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre sólo a lo largo del son las siguientes:

’ ’

’ ’ Cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurre a lo largo de los tres

ejes las transformaciones de Galileo serán simplemente: ’ ’ ’ ’

’ ’ Desafortunadamente, en el caso de la Teoría Especial de la Relatividad, el asunto

de ampliar la cobertura cuando el movimiento relativo entre ambos marcos ocurrea lo largo de los tres ejes en lugar de uno solo no es un asunto tan sencillo en virtuddel requerimiento estricto del segundo postulado de la Teoría Especial de laRelatividad que nos dice que la velocidad de la luz medida por observadores situadosen ambos marcos debe seguir siendo exactamente la misma. De este modo un rayode luz, que tendrá tres componentes de velocidad proyectados sobre cada uno de

los ejes en ambos marcos de referencia, debe tener el mismo valor constante pordondequiera que se le mire. La transformación general de Lorentz para esta





situación, recurriendo a la ayuda de matrices con el fin de simplificar la notación,es la siguiente (recordemos que habíamos convenido que: / ):

[

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]

·

Como es de esperarse, la obtención de la transformación general de Lorentz es unasunto laborioso al que sólo se recurre cuando algún maestro que disfruta de sufama de “cruel” lo deja como tarea a sus alumnos (algo así como el draconiano

Profesor Charles W. Kingsfield que aparece en la película “The Paper Chase” ,protagonizado por John Houseman). El lector no deberá tener dificultad alguna enverificar la transformación general de Lorentz que se ha dado arriba tomando encuenta que la designación de las coordenadas es un asunto arbitrario, haciendo porejemplo 0 con lo cual se debe obtener como caso especial latransformación de Lorentz cuando el movimiento relativo ocurre únicamente a lolargo del , tras lo cual se puede hacer 0 para comprobar el segundocaso (movimiento relativo a lo largo del ), y finalmente 0 (movimiento relativo a lo largo del ).

En realidad, si estamos realmente interesados en derivar las relaciones que

corresponden a la transformación general de Lorentz cuando los marcos dereferencia están en movimiento relativo el uno con respecto al otro a través de tresejes coordenados en lugar de uno solo, la demostración se puede simplificar

enormemente si recurrimos a notación vectorial clásica denotando como el vector

posición a la ubicación de un punto en el sistema coordenado :

,,

Y denotando la ubicación del mismo punto en el sistema coordenado ’ como:

’ ’,’,’

Simbolizando asimismo a la velocidad relativa que hay entre los dos marcos de

referencia como un vector con componentes relativos en cada uno de los tres ejesCartesianos:

, ,

Lo anterior lo hacemos en conjunción con la notación vectorial del producto punto

o producto escalar entre dos vectores:

× , , × , ,





Con esta notación, la transformación general de Lorentz que estamos buscandotanto para las componentes espaciales como para la componente temporal se puederesumir vectorialmente en las siguientes dos fórmulas:

· · 2 1 · 2

Resta decir que para la derivación de estas dos fórmulas debemos aferrarnosestrictamente de principio a fin al manejo matemático vectorial que se acostumbradarle a los problemas típicos de la mecánica clásica en los que se manejancantidades vectoriales.

Habiendo visto una representación matricial para la transformación generalizadade Lorentz, no debe causarnos ningún asombro el hecho de que la siguiente matriztambién sea una matriz de Lorentz:

[

√ 3 √ 2 0 01 √ 62 12 12

1√ 62

12

120 0 √ 22 √ 22 ]

Esto nos debe dejar en claro cuál es la diferencia entre una matriz simple deLorentz como las que vimos arriba, y una matriz de Lorentz ordinaria.

Determinar si una matriz 4x4 como la de arriba es una matriz de Lorentz no esun asunto complicado. Ello requiere derivar primero tres relaciones generales apartir de lo que vendría siendo la invariancia de la ecuación del cono de luz (en

referencia a los diagramas de Minkowski). Pero para ello tenemos que tener en clarocuál es esa invariancia a la que nos estamos refiriendo, razón por la cual este asunto

debe quedar pospuesto hasta que no haya sido desarrollado dicho tema.

La multiplicación de dos matrices A y B tiene desde luego una definición másformal que la definición intuitiva que se ha dado arriba, y es la siguiente:

==

⋯

Este enunciado nos dice que para dos matrices , siendo una matriz de p filas y q columnas, y siendo una matriz de r filas y s columnas,





el producto de las mismas definido en el orden es tal que cada elemento de la

matriz resultante deberá ser obtenido de acuerdo a la relación anterior, para lo cuales requisito indispensable que el número de columnas de la matriz sea igual alnúmero de filas de la matriz

, o sea

.

En la definición formal que se acaba de dar para el producto de dos matrices,obsérvese un detalle interesante: el sumatorio se lleva a cabo sobre el subíndice queestá repetido, en este caso k . Si alguien borrara el símbolo del sumatorio en la

expresión de arriba, no tendríamos dificultad alguna para reestablecerlo junto conel índice que fue borrado. Tan sólo tendríamos que fijarnos en el subíndice que aparecerepetido.

PROBLEMA: Escribir la expresión para evaluar el elemento c47 resultante del producto AB de dosmatrices A y B si la matriz A es una matriz de cinco filas y nueve columnas (representado como5x9), y la matriz B es una matriz de nueve filas y ocho columnas (representado como 9x8).

En este caso, el producto matricial está definido, puesto que el número decolumnas de la matriz es igual al número de filas de la matriz , o sea:

5 × 9 9 × 8 Podemos ver también aquí que el sumatorio deberá correr desde 1 hasta 9 y que la matriz resultante será una matriz 5 × 8.

Utilizando la definición formal dada arriba, el elemento estará dado por elsiguiente sumatorio:

==

PROBLEMA: Si multiplicamos una matriz A cuyo tamaño es 5x4 por una matriz B cuyo tamañoes 4x7, y el producto resultante los multiplicamos por otra matriz C cuyo tamaño es 7x3, ¿cuálserá el tamaño de la matriz resultante?

5 × 4 · 4 × 7 · 7 × 3

Podemos ver que la matriz resultante será una matriz 5 × 3.

PROBLEMA: La siguiente cantidad ² ² ² ², resulta ser de granutilidad en el análisis de problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad.Representar dicha cantidad en forma matricial.

Formando un vector fila , , , y tomando la transpuesta del mismo para

formar el vector columna correspondiente, la cantidad:

² ² ² ²





Quedaría representada matricialmente por el siguiente producto matricial entreuna matriz que consta de una fila y cuatro columnas 1× 4 y una matriz que constade una columna y cuatro filas 4× 1:

∆ ∆ ∆ ∆ · ∆∆∆∆

Pero queremos además la selección de signos que se nos han indicado. Esto selogra injertando entre las dos matrices de arriba una matriz intermedia:

∆ ∆ ∆ ∆ · 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

· ∆∆∆∆

En notación matricial más compacta y haciendo , , , , lo anterior se

puede escribir como · · en donde es la matriz intermedia y es la

transpuesta de la matriz . Llevando a cabo el producto matricial ya sea en el orden multiplicando primero las dos matrices de la izquierda y multiplicando lamatriz resultante por la matriz a la derecha, o en el orden multiplicandoprimero las dos matrices de la derecha y multiplicando la matriz resultante por lamatriz de la izquierda, podemos ver que esta representación matricial nos producela expresión deseada.

La matriz intermedia A del problema representa los 16 componentes de un objetoque se conoce como el tensor métrico de un espacio-tiempo plano ( Lorentziano), el cual

se representa en forma abreviada ya sea como usando subíndices o como usando superíndices. El concepto del tensor métrico es generalizado haciaun espacio-tiempo curvo en la Teoría General de la Relatividad.

Llevaremos ahora a cabo la multiplicación de un vector fila de tres elementos:

Por una matriz cuadrada de tamaño 3 × 3:

Multiplicado todo por un vector de una columna de tres elementos:

Procedemos a formar el producto matricial de la manera siguiente:





· ·

Llevaremos a cabo la multiplicación de estas tres cantidades multiplicando

primero la segunda por la tercera siguiendo la regla para la multiplicación dematrices dada arriba:

·

El resultado final de la operación resulta ser una sola cantidad, la cual vienesiendo evaluada a fin de cuentas de la siguiente manera:

La evaluación de esta cantidad la podemos obtener sin ayuda derepresentaciones gráficas con la ayuda de dos sumatorios:

==

==

No cuesta mucho trabajo convencerse de que, si llevamos a cabo los dos

sumatorios, obtendremos el resultado final del producto triple

. No importa que

se lleve a cabo primero el sumatorio sobre p y después el sumatorio sobre q , o bienal revés, porque es cosa fácil comprobar el hecho, de que en un sumatorio múltipleel orden en que se llevan a cabo los sumatorios no altera el resultado final.

Al llevar a cabo el producto , empezamos con dos vectores y una matriz, yterminamos al final con un solo número. ¿Significa esto que hubo una metamorfosisen la cual terminaron perdiéndose los paréntesis cuadrados? Bueno, noprecisamente. Podemos ver simbólicamente que el resultado de estos productos seráuna matriz 1 × 1:

× ×

Ilustración 6

http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SpRmM1m2saI/AAAAAAAAHEA/SIQ6r169zl0/s1600-h/escalar_como_matriz_uno_por_uno.PNG









==

==

Un momento de reflexión nos revela que si en lugar del vector

de tamaño

1× 3

tenemos una matriz de tamaño × 3 , y que si en lugar del vector de tamaño 3 ×1 tenemos una matriz de tamaño 3 × , entonces el resultado final del producto delas tres matrices será una matriz de tamaño × , y para calcular el valor

de cada elemento de dicha matriz todo lo que tenemos que hacer en el doble

sumatorio de arriba es reemplazar el primer subíndice 1 en la variable por , yreemplazar el segundo subíndice 1 en la variable por , obteniendo la siguienterelación:

=

=

Lo que se acaba de hacer aquí es la obtención de la definición formal del productode tres matrices. Obsérvese que en los límites superiores de los sumatorios para esta

definición que acabamos de obtener el tamaño intermedio ya no está limitado hasta 3, podemos utilizar matrices del tamaño que queramos siempre y cuandodichos tamaños estén en concordancia con la definición de compatibilidad que seha dado para productos matriciales (no podemos multiplicar una matriz 4× 3 poruna matriz 2× 5 en ningún orden).

Obsérvese también otro detalle interesante. Si alguien borrara los símbolos

∑ de

los sumatorios en la expresión de arriba, no tendríamos dificultad alguna enreestablecerlos. Tan sólo tendríamos que fijarnos en los subíndices que están repetidos.De este modo, si lo que vemos escrito es lo siguiente:

Entonces con tan sólo mirar los subíndices que están repetidos (en este caso lossubíndices p y q ) podemos volver a poner los sumatorios en el orden que queramos(que al fin y al cabo el orden en el cual se lleven a cabo los sumatorios no altera elresultado final de la suma). Esto será de utilidad posteriormente cuando entremosen el estudio del análisis tensorial que a su vez es requerido para formular los

principios y resolver los problemas que corresponden a la Teoría General de laRelatividad. Mientras tanto, en base a lo que acabamos de ver, podemos hacerunívocamente la siguiente afirmación sin temor a equivocarnos:

El resultado final de todo producto matricial múltiple (involucrando dos o más matrices) puede serrepresentado no sólo gráficamente mediante matrices sino también con la definición formal basada enel uso de los sumatorios.

De este modo, contamos ya con dos representaciones distintas para la mismacosa.





Tomando en cuenta que el producto de dos matrices no es una operaciónconmutativa salvo en casos especiales, esta es una buena ocasión para señalar quepara que un sumatorio múltiple pueda ser representada en forma alterna como elproducto de varias matrices, cuando tal cosa sea posible, ayuda mucho el acomodarlos factores del sumatorio de modo tal que la conversión a la representación

matricial se pueda llevar a cabo directamente. A modo de ejemplo, en el siguientesumatorio múltiple:

=

=

=

=

No resulta nada claro cuál podría ser la representación matricial correspondiente.Pero si reacomodamos los factores del sumatorio de la siguiente manera usandocomo guía el requerimiento de que los subíndices tienen que estar apareadosconforme son leídos de izquierda a derecha en el sumatorio ya transformado:

=

=

=

=

La representación matricial salta a la vista casi de inmediato, la cual en notaciónmatricial compacta resulta ser:

· ΛT · · Λ ·

Obsérvese cuidadosamente que para poder lograr esta representación matricial,tomando en cuenta que el sumatorio múltiple debe producir al final un número (quematricialmente viene siendo una matriz que consta de una sola fila y de una solacolumna, algo que tenemos que saber de antemano para evitarnos mucho trabajo),la necesidad de emparejar los subíndices nos obligó a tomar la transpuesta de la

matriz , la cual representamos de color rojo como ; y también nos obligó a usarla representación del vector columna como el vector fila tomando la transpuestade y representándolo como . Esto significa que en el sumatorio múltiple

preparada para su representación matricial en donde aparecen y de color rojocomo corresponde a las transpuestas, si bien en lo que respecta al componente

dentro del sumatorio el cambio no tiene efecto alguno, el componente

en caso de

llevarse a cabo el sumatorio sobre esa expresión tiene que ser interpretado no comoel elemento dentro de la matriz que está en la fila i y la columna r sino como elelemento dentro de la matriz que está dentro de la fila r y la columna i .

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