Fundamentos de Matemática - Universidade Federal Fluminense · 2021. 1. 21. · Fundamentos de...
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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 3
6 de janeiro de 2012
Aula 3 Fundamentos de Matemática 1
Aplicação: Resolução de Equações
Aula 3 Fundamentos de Matemática 2
Resolvendo equações. . .
x · x = x
[PA27]
⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 3 Fundamentos de Matemática 3
Resolvendo equações. . .
x · x = x
[PA27]
⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 3 Fundamentos de Matemática 4
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
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Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 3 Fundamentos de Matemática 21
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a, b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a, b,∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R − {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 1
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
• 0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]• 1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]• −a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07]• (1/a) · a = 1, ∀a ∈ R − {0}. [PA08]• −(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]• 1/(1/a) = a, ∀a ∈ R − {0}. [PA10]• (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R. [PA11]• a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12]• (−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R. [PA14]• (−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]• (a · b)/c = a · (b/c) = (a/c) · b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}. [PA16]• −(1/a) = (−1)/a = 1/(−a), ∀a ∈ R − {0}. [PA17]• 1/(a · b) = (1/a) · (1/b), ∀a, b ∈ R − {0}. [PA18]• (a · b)/(c · d) = (a/c) · (b/d), ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R − {0}. [PA19]• (a + b)/c = a/c + b/c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}. [PA20]
Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 2
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
• −(a + b) = −a − b, ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R − {0}, ∀a, b ∈ R. [PA21]• −((a + b)/c) = (−a − b)/c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}. [PA22]• 1/(a/b) = b/a, ∀a, b ∈ R − {0}. [PA23]• (a/b)/(c/d) = (a/b) · (d/c), ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R − {0}. [PA24]
• ∀a, b, c ∈ R, a = b ⇒ a · c = b · c. [PA25]• ∀a, b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b. [PA27]• ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}, a · c = b · c ⇔ a = b. [PA28]• ∀a, b ∈ R, a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0. [PA29]• ∀a, b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0. [PA30]• ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R − {0}, (a/b) = (c/d) ⇔ a · d = b · c. [PA31]
Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 3
R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R
+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R
+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R
+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R
+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R
−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R
−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 4
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
• ∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]• ∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]• ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]• ∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]• ∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]• ∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]• ∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]• ∀a ∈ R − {0}, (i) a > 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0. [PO08]• ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]• ∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]• ∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]• ∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]• ∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]• ∀a ∈ R, a �= 0 ⇔ a2 > 0. [PO16]
Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 5
O que está errado neste argumento?
x = 1
⇐⇒
x2 = x
⇐⇒
x2 − 1 = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 3 Fundamentos de Matemática 22
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒
x2 − 1 = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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#
Aula 3 Fundamentos de Matemática 23
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 24
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 25
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 26
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 27
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 3 Fundamentos de Matemática 28
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 29
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 30
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 31
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 32
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐=
2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
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!
!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 33
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐=
2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 34
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐=
2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 35
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 36
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 37
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 38
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
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!
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 39
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 40
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
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Aula 3 Fundamentos de Matemática 41
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒
x · (2 · x − 5) = 0
=⇒
x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 42
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒
x · (2 · x − 5) = 0
=⇒
x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 43
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒
x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 44
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 45
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 46
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 47
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 48
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 49
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas
nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 50
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas
nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 51
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
É preciso tirar a “prova real”!
x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 52
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
É preciso tirar a “prova real”!
x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 3 Fundamentos de Matemática 53
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 54
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 55
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 56
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 57
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 58
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 59
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]⇐⇒ x =
52
Aula 3 Fundamentos de Matemática 60
Implicações e teoria dos conjuntos
Aula 3 Fundamentos de Matemática 61
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 62
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 63
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 64
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 65
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 66
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 67
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 68
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 69
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 70
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 3 Fundamentos de Matemática 71
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 72
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 73
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 74
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 75
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 76
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 77
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 78
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 79
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 80
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 81
Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 82
Seção de Exercícios
Aula 3 Fundamentos de Matemática 83
Conectivos Lógicos
Aula 3 Fundamentos de Matemática 84
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 85
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 86
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2 ou x2 = 4 .
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 87
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2︸ ︷︷ ︸p
ou x2 = 4︸ ︷︷ ︸q
.
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 88
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 89
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 90
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 91
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 92
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 93
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 94
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2 e x2 = 1 .
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 95
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2︸ ︷︷ ︸p
e x2 = 1︸ ︷︷ ︸q
.
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 96
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2︸ ︷︷ ︸p
e x2 = 1︸ ︷︷ ︸q
.
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 97
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 98
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 99
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 100
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 101
Aplicação:solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Aula 3 Fundamentos de Matemática 102
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 103
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 104
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 105
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 106
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 107
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 108
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 109
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 110
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 111
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 112
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 113
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 114
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 115
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 116
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 117
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 118
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 119
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 120
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 121
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 122
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 123
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 124
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 125
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 126
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 127
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 128
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Mais exemplos:
|1−√
2| =√
2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,
|�| ={
�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,
|x2 − 1| =
{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,
=
{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,
− x2 + 1, se − 1 < x < 1.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 129
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0
=
{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0
=
x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 130
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0
=
{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0
=
x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 131
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0
=
{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0
=
x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 132
Módulo (ou valor absoluto) de um número real
Observação:
|x | =
{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0
=
{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0
=
x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 133
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 134
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 135
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 136
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 137
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 138
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 139
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 140
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 141
Propriedades
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 142
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 143
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 144
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 145
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 146
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 147
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 148
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 149
Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|
Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.
Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:
|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))
⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)
⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1
⇔ x =12.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 150
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 151
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 152
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 153
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 154
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 155
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 156
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 157
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 158
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 159
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 160
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 161
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 162
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 163
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 164
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 165
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 166
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 167
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 168
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 169
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 170
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 171
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 172
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 173
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 174
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 175
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 176
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 177
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 178
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 179
Propriedade [PM01]: demonstração
∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.
Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.
Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.
(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 180
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 181
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 182
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 183
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 184
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 185
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 186
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 187
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 188
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 189
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 190
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 191
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 192
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 193
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 194
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 195
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 196
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 197
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 198
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 199
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 200
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
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− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 201
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 202
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 203
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 204
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 205
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 206
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 207
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 208
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 209
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 210
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 211
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 212
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 213
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 214
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 215
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 216
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 217
Propriedade [PM02]: demonstração
|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.
a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.
(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então
|a| = | − b| ={
− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0
=
{−b, se b ≤ 0,
b, se b > 0= |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 218
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 219
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 220
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 221
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 222
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 223
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 224
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 225
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 226
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 227
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 228
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 229
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 230
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 231
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 232
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 233
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 234
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 235
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 236
Propriedade [PM03]: demonstração
|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).
Demonstração.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.
(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.
Observação.
A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!
Mas sua recíproca é falsa!
(Exercício!)
Aula 3 Fundamentos de Matemática 237
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 238
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 239
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 240
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 241
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 242
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 243
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 244
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 245
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 246
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 247
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 248
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 249
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 250
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 251
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 252
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 253
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 254
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 255
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 256
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 257
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 258
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 259
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 260
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 261
Propriedade [PM04]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.
Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.
a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.
Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 262
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 263
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 264
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 265
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 266
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 267
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 268
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 269
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 270
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 271
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 272
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 273
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 274
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 275
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 276
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 277
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 278
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 279
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 280
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 281
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 282
Propriedade [PM05]: demonstração
∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.
De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1
b
∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1
|b|=|a||b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 283
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 284
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 285
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 286
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 287
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 288
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 289
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 290
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 291
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 292
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 293
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 294
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 295
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 296
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 297
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 298
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 299
Propriedade [PM06]: demonstração
|p| < a⇔ −a < p < a. Vale também que |p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.
Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a < p < a,quando a ≤ 0.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤ p < a⇔ − a < p < a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 300
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 301
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 302
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 303
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 304
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 305
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 306
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 307
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 308
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 309
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 310
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 311
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 312
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 313
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 314
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 315
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 316
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 317
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 318
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 319
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 320
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 321
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 322
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 323
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 324
Propriedade [PM07]: demonstração
|p| > a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.
Demonstração. Vamos demonstrar que |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.
Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.
Suponha então que a > 0. Temos então que
|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 325
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 326
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 327
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 328
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 329
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 330
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 331
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 332
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 333
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 334
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 335
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 336
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 337
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 338
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 339
Propriedade [PM08]: demonstração
∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).
Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:
− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|
⇓
− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|
⇓
− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 340
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 341
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 342
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 343
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 344
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 345
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 346
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 347
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 348
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 349
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 350
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 351
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 352
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 353
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 354
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 355
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 356
Propriedade [PM09]: demonstração
∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que
|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e
|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.
Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 357
Interpretação geométrica
−3 −2 −1 0 1 2 3
A BCDE
d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2
Aula 3 Fundamentos de Matemática 358
Interpretação geométrica
−3 −2 −1 0 1 2 3
A BCDE
d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2
Aula 3 Fundamentos de Matemática 359
Interpretação geométrica
−3 −2 −1 0 1 2 3
A BCDE
d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2
Aula 3 Fundamentos de Matemática 360
Interpretação geométrica
−3 −2 −1 0 1 2 3
A BCDE
d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2
Aula 3 Fundamentos de Matemática 361
Interpretação geométrica
−3 −2 −1 0 1 2 3
A BCDE
d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2
Aula 3 Fundamentos de Matemática 362
Interpretação geométrica
a b
d(a,b) ={
b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 363
Interpretação geométrica
a b
d(a,b) ={
b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 364
Interpretação geométrica
a b
d(a,b) ={
b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 365
Interpretação geométrica
a b
d(a,b) ={
b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 3 Fundamentos de Matemática 366
Duas propriedades importantes
|p| < a ⇔ −a < p < a
|p| > a ⇔ p < −a ou p > a
Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.
0
−a ap
Aula 3 Fundamentos de Matemática 367
Duas propriedades importantes
|p| < a ⇔ −a < p < a
|p| > a ⇔ p < −a ou p > a
Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.
0
−a ap
Aula 3 Fundamentos de Matemática 368
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 369
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 370
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 371
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 372
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 373
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 374
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1
2
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 375
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 376
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 377
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 378
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 379
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 380
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 381
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 3 Fundamentos de Matemática 382
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 383
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 384
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 385
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 386
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 387
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 388
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 389
Aplicação
Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.
|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.
|x − 2| é a distância de x a 2.
Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1/2
S =
(−∞, 1
2
).
Aula 3 Fundamentos de Matemática 390