Fundamentos de lógica e Informática (Primera Parte)

Docente: Joaquin Lara Sierra Universidad Tecnológica de Bolívar

Temas a tratar

Conceptos de lógica Proposiciones Conectores Tablas de Verdad Interpretación Ejemplos

Concepto de lógica.

Proposiciones.

Conectores.

Tablas de Verdad.

Interpretación del lenguaje simbólico al lenguaje natural.

Ejemplos y ejercicios.

Concepto de lógica


Cuando hablamos de lógica lo asociamos con la razón. Esta nos

muestra con sus leyes y principios una forma coherente de pensar

y actuar. Alguna definiciones puntuales de este termino son:

Es una disciplina que estudia la estructura o formas del pensamiento

tales como conceptos, proposiciones y razonamiento con el objetivo

de establecer razonamientos validos.

Es la ciencia de las leyes y de las formas del pensamiento que nos da

normas para la investigación científica y nos suministrara un criterio

de verdad.

Ejemplo:

Cuando vemos una película, leemos un material o escuchamos una

conversación, de acuerdo a lo que vemos u oímos lo aprobamos o

desaprobamos . Es decir que al aprobar esto, estamos de acuerdo .

Si estamos en desacuerdo expresamos cierta molestia al respecto,

lo vemos como algo absurdo, algo ilógico.


Tipos de lógica


El ejemplo anterior describe un proceso de reflexión. En donde pones a

prueba tu conocimiento pero este tipo de conocimiento es el que se

conoce como empírico, es muy superficial, es un conocimiento que te

ayuda en la cotidianidad a dar soluciones a problemas cotidianos y esa

solución la expresas a través del lenguaje ( oral, escrito, corporal etc)

Pensar y comunicarte son dos procesos que desarrolla el ser humano.

Ese tipo de actividades humanas que te permiten razonar algo son los

que hacen posible el objeto de la lógica.

Ya teniendo claro que es lógica, hay que resaltar que existen diversos

tipos de lógica.

1. Acabamos de mencionar una, que es la empírica también conocida

2. como Lógica Natural cuando un individuo hace uso de su razón

3. porque es innato en el .

2. Existe la lógica científica. Donde debes demostrar la validez de ese

conocimiento a través de técnicas, métodos etc.


Proposiciones


Hablemos nuevamente del lenguaje como el medio de comunicación que

tiene una persona, como actividad cotidiana del ser humano. Ese lenguaje

puede estar constituido por frases interrogativas, declarativas e imperativas.

A través de las frases declarativas es posible una descripción del

conocimiento.

Estamos hablando de La lógica proposicional como aquella que permite

la interpretación de frases declarativas simples

(proposiciones y enunciados).

Siendo una proposición matemática es un enunciado, frase o expresión

que tiene un significado determinado y que mediante un criterio definido

puede ser clasificado inequívocamente como falso o verdadero.

Por ejemplo:

1. Maria estudia un doctorado.

2. La ciudad esta progresando.


Proposiciones


A veces, las proposiciones están ligadas a su significado por decir:

Esta llorando el niño

El niño esta llorando.

Ambas tienen el mismo significado y se le consideran proposiciones iguales.

Pero existen enunciados u oraciones que no son proposiciones como es el

caso de las preguntas o expresiones de admiración.

En la lógica proposicional se puede determinar la validez de la expresiones

únicamente desde el punto de vista de su estructura sin tener en cuenta

el significado semántico de tales expresiones.

Por ejemplo:

Juan vive en Cartagena. En esta expresión no se sabe q Juan es una

persona, una animal o cualquier otro concepto. Y analizando la expresión

podemos clasificar esta como verdadera o falsa ya q su objetivo no

especifica un hecho.


Valor de las proposiciones


Tradicionalmente las proposiciones se representan mediante las letras

minúsculas del alfabeto. Y cada una de estas recibe le nombre del átomo.

La forma de representación para proposiciones sera mediante un átomo

seguido del símbolo dos puntos (:) y posteriormente el enunciado,

por decir

p: enunciado o proposición.

Cuando se dice que una proposición matemática es verdadera o falsa se

esta estableciendo su valor de verdad. Estamos interpretando una

proposición.

Por lo que es aconsejable siempre asignar valores de verdad a los

enunciados. Y esta interpretación se representa mediante la letra v,

por ejemplo:

v (atomo) = valor de verdad por decir siguiendo la proposición

anterior tendriamos: v(p)= V o v(p)= F


Negación de una proposición


Negar una proposición es convertir esta en falsa si es verdadera y si era

verdadera en falsa.

En lenguaje matemático la negación se expresa anteponiendo a una

proposición el símbolo ¬ y la interpretación de este símbolo es no.

Ejemplo tenemos la siguiente proposición:

q: el motor esta encendido. La negación de esta seria No el motor no

esta encendido.

Al observar la negación de la proposición, esta no suena igual, por ello

es posible utilizar otras posibles expresiones de lectura como por ejemplo

El motor no esta encendido.

El símbolo ¬ es unario. A continuación se muestran algunos casos en las

cuales se aplica la negación a un enunciado o proposición:




Proposición Valor Negación Valor

5 es múltiplo de 8 F 5 no es múltiplo de 8 V

37 es un número primo V 37 no es un número primo F

5 es mayor que 7 F 5 no es mayor que 7 V

3+7=15 F 3+7 ≠ 15 V

x es mayor que z V x no es mayor que z F




Valor de la proposición Valor de la negación de la proposición

v(q)=F (se asigna falso) v(¬q) = Verdadero (se asigna verdadero)

v(¬p)= V (se asigna verdadero) v(p) = Falso (se asigna falso)

v(s) =V (se asigna verdadero) v(¬s)= Falso (se asigna falso)

Gráficamente la forma para negar un los átomos seria :


Proposiciones Simples y Compuestas


Cuando una proposición o un atomo se encuentra en su forma mas sencilla es decir

expresando un solo enunciado se le considera proposición simple. Cuando esta se

costituye en mas de una proposición se le denomina proposición compuesta.

Las proposiciones simple continen un verbo, o un sujeto o un objeto.

Las proposición compuesta varios verbos, sujetos u objetos.

Por ejemplo:

Proposiciones simples

p: 7 es un número primo.

q: Bolivar no es una ciudad

Proposiciones compuestas

m: 5 es un número impar y 2 es un número par.

p: El árbol es de color verde o el árbol es de color café.

Teniendo en cuenta estos ultimos ejemplos prodiamos decir que una

proposición compuesta esta conformada por varias proposiciones simples las

cuales se unen a traves de los conectores.


Conectores y Proposiciones


Los conectores lógicos mas conocidos son:

si

entonces

si y solo si

y

o Un conectivo lógico es un elemento que permite la union de

proposiciones simples.




Ejemplo:

• s: el carro es costoso

• t: el respuesto es de color verde.

Otros:

u: el carro es costoso y el respuesto es de color verde.

o: x2 -16=0 si y solo si x=4 .

v: si el parqueadero es pequeño entonces el carro es grande.

En pocas palabra los conectivos lógicos son operadores que

tambien te permiten combinar proposiciones para formar otras

proposiciones; a esto tambien se le conoce como operadores binarios.

Graficamente losconectivos lógicos principales son:




Nombre Conectivo Lógico Símbolos

Conjución

y

Disyución inclusiva

o

Disyución exclusiva

o

⊻

Condicional

si...entonces

->

Bicondicional si y solo si

<->




Operadores:

Los operadores son

simbolos que sirven

para conectar los

datos haciendo

diversas clases de

operaciones.

Tipos de operadores:

En función de las

operaciones a

realizar, los

operadores se

clasifican en:


Conjunción


La proposición p ⋀ q es verdadera

unicamente cuando p es verdadera y

q es verdadera.

Es decir cuando ambas proposiciones

son verdaderas.

La conjucción se representa mediante el símbolo . Sean p y q dos

proposiciones, entonces p q se denomina la conjucción entre la

proposición p y la proposición q. Algunas frases en las que aparece la

conjucción son las siguientes:

p y q

p pero q

p aunque q

p sin embargo q

p no obstante q

p a pesar de q

p a menos q

p igualmente q


Conjunción


Ejemplos de representación en lenguaje natural en los cuales se utiliza

la conjucción son:

En Haití hay inflacción y no hay crecimiento económico

La tia tiene buenas intenciones sin embargo no tiene presupuesto

La oferta es alta no obstante la demanda muy poca

El equipo gano a pesar de la poca asistencia del publico

Aunque está lloviendo es posible conducir

Está nevando pero es posibole navegar

Ejemplos de formulas proposicionales en donde se asignan

interpretraciones arbirtrarias a los átomos y finalmente se dará el

resultado de la evaluación de la proposición:


Conjunción


Porposición

Interpretación

Evaluaciónde la

proposición

(p¬q) v(p)=F, v(¬q)=V

v(p¬q)=F

(ps) v(p)=V, v(s)=V

v(ps)=V

(pq) v(p)=F, v(q)=F

v(pq)=F

(¬qq) v(¬q)=V, v(q)=F

v(¬qq)=F

¬(p¬qr) v(p)=V, v(¬q)=V ,v(r)=F

v¬(p¬qr)=V


Disyunción


Disyunción Inclusiva: El conectivo lógico que representa la disyunción

inclusiva es ᐯ.

La proposición p ᐯ q es llamada la disyunción inclusiva entre las

proposiones p y q.

Se considera la proposición p ᐯ q falsa, únicamente cuando la

proposición p y la proposición q son falsas a la vez.

Algunas frases en las que aparece la disyunción son las siguientes:

p o q

p o q o ambos

al menos p o q

minimo p o q


Disyunción


Algunas frases de representación en lenguaje natural en los cuales

se utiliza la disyunción son las siguientes:

El parcial estaba dificil o mal redactado

Hizo frio o la persona es nerviosa

La ciudad es pequeña o había demasiado tráfico

Para pagar el credito al menos se debe tener cuenta corriente

o cuenta de ahorro


Disyunción


Proposición Interpretación Evaluación

(¬p¬q) v(¬p)=F, v(¬q)=V v(¬p¬q)=V

(ps) v(p)=V, v(s)=V v(ps)=V

(pqr) v(p)=F,v(q)=F, v(r)=F v(pqr)=F

¬(pqr) v(p)=F,v(q)=F, v(r)=F v¬(pqr)=V


interpretraciones arbirtrarias a los átomos y finalmente se dará el

resultado de la evaluación de la proposición:


Disyunción


Disyunción Exclusiva.

El conectivo lógico que representa la disyunción inclusiva es ⊻ .

La proposición p ⊻ q se denomina la disyunción exclusiva. p ⊻ q

es verdadera, únicamente cuando una de las dos proposiciones

es verdadera, pero no ambas a la vez.

Ejemplos de respresentación en lenguaje natural en los cuales se

utiliza la disyunsión exclusiva:

Hoy voy a cine o a jugar futbol.

La tesis es laureada o meritoria

El mes en que se debe pagar impuesto es noviembre o diciembre.

El rector se elige por consulta popular o por una comisión del

consejo.


Disyunción



(¬p ⊻ ¬q) v(¬p)=F, v(¬q)=V v(¬p ⊻ ¬q)=V

(p ⊻ q) v(p)=F, v(q)=F v(p ⊻ q)=F

(p ⊻ ¬q) v(p)=V, v(¬q)=V v(p ⊻ ¬q)=V

¬(p ⊻ q) v(p)=V, v(q)=V v¬(p ⊻ q)=F


interpretraciones arbirtrarias a los átomos y finalmente se dará

el resultado de la evaluación de la proposición:


Condicional


El conectivo lógico que representa la condicional es →. Sea p y q

dos proposiciones : entonces la proposición , si p entonces q, se

representa mediante p → q.

La proposición p → q es falsa, si la primera proposición

(antecedente ) es verdadera y la segunda proposición

(consecuente) es falsa .

Algunos ejemplos de representación en lenguaje natural en los

cuales se utiliza la condicional son los siguientes:

Si p entonces q

p implica q

p solo si q

q si p

p es suficiente para q

Para q es suficiente p

No p a menos q

q cuando p

q es necesario para p

Para p es necesario q

p en consecuencia q

p se deduce q

p por ende q


Condicional


Algunos ejemplos en lenguaje natural son:

Si el sol esta brillando entonces se puede hacer deporte

Si pedro es matematico entonces hace calculos

Si un número es par entonces es divisible por 2

Si un número tiene dos divisores es suficiente para que sea primo

Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o 5

Hoy es marte y por ende hay pico y placa para el carro

José perdió la materia en consecuencia perdió el semestre.


Disyunción


Proposición Interpretación Evauación

(¬q→p) v(¬q)=F, v(p)=V v(¬q→p)=V

(p→s) v(p)=V, v(s)=F v(p→s)=F

¬(p→q) v(p)=V, v(q)=F v¬(p→q)=V

(p→s)→q v(p)=V, v(s)=F, v(q)=F v(p→s)→q=F



el resultado de la evaluación de la proposición:


Bicondicional


El conectico lógico que representa la bicondicional es ↔. Sea p y q

dos proposiciones , la proposición p si y solo si q, se representa

p ↔ q. El bicondicional es verdadero únicamente cuando tanto p

como q tienen los mismos valores de verdad.

Algunos ejemplos de representación en lenguaje natural en los

cuales se utiliza el bicondicional son los siguientes:

p si y solo si q

p es necesario y suficiente para q

p es equivalente a q

p cuando y solo cuando q

p entonces y solo entonces q


Disyunción



(¬q↔ p) v(q)=F, v(p)=F v(¬q↔ p)=V

(p↔ s) v(q)=V, v(s)=F v(p↔ s)=F

¬(p↔s) v(p)=F, v(s)=V v¬(p↔ s)=V

¬¬(p ↔ ¬q) v(p)=V, v(¬q)=F v¬¬(p ↔ ¬q)=F



el resultado de la evaluación de la proposición: :

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