Functions

Выполнила: Лиманская Светлана Николаевна

Меню: Понятие первообразной

Неопределённый интегралТаблица первообразных

Три правила нахождения первообразныхОпределённый интеграл (его вычисление)Площадь криволинейной трапеции (1-4)

ПримерыЛитература Главное Главное

менюменю

)x(f)x(F

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если на нем производная функции F(x) равна f(x):

Операцию, обратную дифференцированию называют

интегрированием.

Понятие первообразной

Меню

1. f(x) = 2x; F(x) = x2 F(x)= (x2) = 2x = f(x)

2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x F(x)= (cos x) = – sin x = f(x)

3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x F(x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)

4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x F(x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

Примеры:

Меню

Неопределенный интеграл

c)x(Fdx)x(f

Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.

Где С – произвольная постоянная (const).

Меню

Примеры:

3344

3 xx441С

4x;С

4xdxx.4

xxxx eCe;Сedxe.2

xsinCxcos;Сxcosxdxsin.3

ACAx;CAxAdx.1

xcos

1Cxtg;Cxtgdxxcos

1.5 22

Меню

C1n

x 1n

хC3

xx2

f(x)

xсos1

2

xsin12

Cx1

alnax

alnx1

2x11

nx Cax

xlnxeCex

C Cxxsinxcos

Cxcos

Cxsin

Ctgx

Cctgx

Cxloga

Cxarcsin

f(x) F(x)F(x)

Таблица первообразных

Меню

1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть первообразная для f(x) + g(x).2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k – постоянная, то функция kF(x) есть первообразная для kf.3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –

постоянные, причем k ≠ 0, то функция

F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b).

1k

Три правила нахождения первообразных

Меню

)()()()( aFbFxFdxxf b

a

b

a

– формула Ньютона-Лейбница.Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями:сверху ограниченной кривой у = f(x), и прямыми у = 0; х = а; х = b.

Определённый интеграл

Меню

Вычисление определенного интеграла

516)111()222( 2323

10

3

10

3 36x)6x(2dx)6x(

2

123

2

1

2 )xxx(dx)1x2x3(

32718

380

363)63(2

3610)610(2

Меню

)a(F)b(F

dx)x(fSb

aABCD

a b x

y

y = f(x)

0A B

CD

x =

a

x =

b y = 0

Площадь криволинейной трапеции

Меню

b

aABCD dx)x(fS

a b x

y

y = f(x)

0A B

CD

x =

ax

= a

x =

bx

= b

y = 0

Площадь криволинейной трапеции (1)

)b(F)a(F

Меню

a b x

y

y = f(x)

0

y = g(x)

A B

CD

MP

b

a

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgdxxf

ABMPABCDPMCD SSS


Меню

a b x

yy = f(x)

0

y = g(x)y = g(x)

A B

CD

MP


ABMPABCDPMCD SSS

b

a

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgdxxf

Меню

a b x

y

y = f(x)

0y = g(x)

ABC

D

с

Е

с

a

b

сdxxgdxxf

СDBAEDCАЕDВ SSS


Меню

Пример 1:

2

1

2

1

2 dxxdx2x

4,5215

312

21

3842

2

1

322

1

2

3x2x

2xdxх2х

вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = x +

2.

x

y

y = x

2

y = x

+ 2

-1 2A

B

OD

C

2

ABOCDABCDВОС SSS

Меню

Пример 2:

2 8 x

y = (x – 2) 2

0AA BBCC

DD

4

yy = 2√8 – x

4

вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

СDBADСАDВ SSS

Меню

8

4

4

2

34

2

8

4

2

3x8x84

32xdxх-82dx2-x

348484

388884

322

324 33

3113

340

332

38

Пример 2: вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

Меню

Меню:Показательная функция

Показательные уравнения

Способы решения сложных показательных уравнений.

Показательные неравенства

Литература

Главное Главное менюменю

Определение

Примеры: ;

21 х

у

ху 4,0

;3ху

Показательная функция – это функция вида , где x – переменная, - заданное число, >0, 1.

xay a a a

Меню

Свойства показательной функции

1. Область определения: все действительные числа

2. Множество значений: все положительные числа

3. При > 1 функция возрастающая;при 0 < < 1 функция убывающая.

D(y) = R;

E(y) = (0; + ∞);

aa

Меню

График показательной функции

Т.к. , то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1)

10 а

1а 10 а

Меню


Примеры: 06359 хх;82 х

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Меню

Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

bxaa bx

.1,0 где , aaaa bx

Меню

Способы решения сложных показательных уравнений.

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Замена переменной

Деление на показательную функцию

Меню

Замена переменнойПри данном способе показательное

уравнение сводится к квадратному.

Способ замены переменной используют, если:

б) показатель одной из степеней в 2

раза больше, чем у другой.

Например:

3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0

коэффициенты перед

переменной

противоположны.

Например: 2 2 - х – 2 х – 1 =1

а) основания степеней одинаковы;

решение решениеМеню


Данный способ используется, если основания степеней разные.

а) в уравнении вида ax = bx делим на bx

Например: 2х = 5х | : 5x

б) в уравнении A a2x + B (ab)x + C b2x = 0 делим на b2x

Например: 325х - 815х + 59х = 0 | : 9x

решение

решение Меню


32242 21 xx

1) основания степеней одинаковы;

2) коэффициенты перед переменной одинаковы

Например:

Данный способ используется, если

соблюдаются два условия:

решение Меню


;93 хПримеры: 11252 1 хх

Показательные неравенства –

это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Меню

Простейшие показательные неравенства – это неравенства

вида:bx aa bx aa

bx aa bx aa

где a > 0, a 1, b – любое число.

Меню

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или

убывания показательной функции.

bxa

aa bx

1

bx

aaa bx

10

Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что

и при решении показательных уравнений.

Меню


(2 2х 32)1423

Ответ: 5

x + 1 - (x - 2) =

32)48(2 2 х

3242 2 х

82 2 х

32 22 х

32 х

4: |

= x + 1 – x + 2 = 3

32242 21 хх

5х

Замена переменной основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой.

3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0

t 2 – 4t – 45 = 0По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4

t1 = 9; t 2 = - 5 – посторонний корень

Ответ: 2

Замена переменной

122 12 хх

12222 12 хх

0t 2 xt

Основания степеней одинаковы, коэффициенты перед переменной

противоположны.

tt 28 2

0822 tt

2 ,8 2121 ttttПо т. Виета:

22 x

4 1 t - посторонний корень

22 t

1хОтвет: 1

12

4t

t


152

х

хх 52 x5 |:

0

52

52

х

0хОтвет: 0


053

358353

22

2

x

xx

х

х

095158253 ххх х9 :

05358

353

2

xx

)0( 35

tt

х

0583 2 tt

0583 2 tt22453464 D

;35

610

628

1

t .16

28 2

t

35

35

х

1х

135

х

0

35

35

х

0х

Ответ: 0; 1

Меню

Алгебра Бевз Бевз Владимирова

Алгебра 10-11 классЧекова А.М.

Алгебра и начала анализа

А.М.Чекова

Алгебра, III - V часть А.Н. Колмогоров и др.

Алгебра и начала анализа

Ш.А. Алимов и др.

Алгебра 10-11 класс Мордкович

Functions

Education

Transcript of Functions