Sibex Instrumente Financiare Derivate Sibex Instrumente Financiare Derivate
Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin...
Transcript of Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin...
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
1/16
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
2/16
1 Introducere
2 Derivata unei funcţii într-un punct
3 Derivate laterale
4 Derivatele unor funcţii elementare şi compuse
5 Operaţii cu funcţii derivabile
6
Derivate de ordin superior
!
"onclu#ii
$iblio%rafie
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
3/16
INTRODUCERE
Noţi!"# $" $"ri%#&' # fo(& i!&ro$(' )i fo*o(i&' +!#&"#&i-' $" (#%#!&* I(##- N"&o! /0123 4 05326 +!*"7'&r' - (&$i* "-#!i-ii.
Pro8*"# %i&"9"i i!(!!"" # !i o8i*
vite#a medie a mobilului în intervalul de timp &t'( t) este*
( ) ( )
0
0m
tt
tstsv
−
−=.
vite#a instantanee a mobilului în momentul t' +fi,at( t' . ' este*
( ) ( ) ( )0
0
tt0
tt
tstslimtv0 −
−=→
acceleraţia mobilului la momentul t' fi,at este*
( ) ( ) ( )
0
0
tt0
tt
tvtvlimta
0
−
−=
→
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
4/16
Apro#p" +! #-"*#)i &ip )i (#%#!&* Go&&fri"$ i*;"* L"i8!i9 /0121 4 05016 # i!&ro$( !oţi!"# $" $"ri%#&' +!*"7'&r' - (&$i* !7"!&"i *# o -r8' +!&r
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
5/16
I.DERIVATA UNEI FUNCŢII ÎNTR
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
6/16
DERIVABILITATE
Ori-" f!-ţi" $"ri%#8i*' +!&r
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
7/16
II. DERIVATE LATERALE
DERIVATA LA ST@NGA:
Fi" f!-ţi# f:DR )i => 9 D.
( ) ( ) ( )
0
0
xxxx
0
'
sxx
xf xf limxf
0
0 −
−=
<→
DERIVATA LA DREAPTA: ( ) ( ) ( )
0
0
xxxx
0
'
dxx
xf xf limxf
0
0 −
−=
>→
F!-ţi# f #r" $"ri%#&' )i "(&" $"ri%#8i*' +! => $#-' )i !#i $#-' #r"$"ri%#&" *#&"r#*" )i "(&", r"(p"-&i%, derivabil la stAn%a şi la dreapta +! => )i:
( ) ( ) ( )0'
0
'
d0
'
s xf xf xf ==
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
8/16
INTERPRETAREA GEOETRICĂA DERIVATELOR LATERALE
( )0'
s xf "=i(&'.
( )0'
d xf "=i(&'.
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
9/16
PUNCTE REARCABILE ALE GRAFICULUI FUNCŢIEI
BC"8: D: C8OE0":0:
Fi" f!-ţi# f:DR )i => 9 D.
P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& $" +!&o#r-"r"#* f!-ţi"i f $#-' f!-ţi# "(&" -o!&i!' +! => )i#r" $"ri%#&" *#&"r#*" i!fi!i&" )i $if"ri&" +!#-"(& p!-&.
BC"8: BCFIBGE0:
P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& !7;i*#r #*f!-ţi"i f $#-' f!-ţi# "(&" -o!&i!' +! => )i #r" $"ri%#&" *#&"r#*" $if"ri&" +! #-"(&p!-& )i -"* pţi! !# "(&" fi!i&'.
BC"8: D: IC/G:HIBC: P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& $"
i!f*"=i!" #* f!-ţi"i f $#-' f!-ţi#"(&" -o!&i!' +! =>, #r" $"ri%#&' +!#-"(& p!-& /fi!i&' (# i!fi!i&'6, i#rf!-ţi# "(&" -o!%"=' /-o!-#%'6 $" op#r&" # *i => )i -o!-#%' /-o!%"='6 $"
-"#*#*&' p#r&" # *i =>.
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
10/16
III. DERIVATELE UNOR FUNCŢIIELEENTARE ŞI COPUSE
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
11/16
IV. OPERAŢII CU FUNCŢII DERIVABILE
Fi" f!-ţii*" f,7:D
R )i => 9 D p!-& $" #-*#r" # *i D. D#-'f!-ţii*" f )i 7 (!& $"ri%#8i*" +! p!-&* => 9 D, #&!-i f!-ţii*" f 7, f7)i f7, $#-' 7/=>6>, (!& $"ri%#8i*" +! p!-&* =>, )i # *o- r'&o#r"*"r"7*i $" $"ri%#r":
( ) ( ) ( ) ( )0'
0
'
0
'
xgxf xgf +=+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'
000
'
0
'xgxf xgxf xgf ⋅+⋅=⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
xg
xgxf xgxf x
g
f
0
2
0
'
000
'
0
'
⋅−⋅=
( ) 0xg 0 ≠
( ) '''
gf gf +=+
( ) ''' gf gf gf ⋅+⋅=⋅
2
'''
g
gf gf
g
f ⋅−⋅=
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
12/16
Fi" I )i i!&"r%#*" $" !"r" r"#*" )i f!-ţii*" :I
,f*I
. D#-' "(&"$"ri%#8i*' +! p!-&* => 9 I,i#r f "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* /=>6H> 9 ,#&!-i f!-ţi# -op(' /f6:I "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* => )i #r" *o-r"*#ţi#:
( ) ( ) ( )( ) ( )0
''
0
'xuxuf xuf
⋅=
DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSEŞI A FUNCŢILOR COPUSE
( ) ( ) ''' uuf uf ⋅=
D#-' ,%:IR (!& f!-ţii $"ri%#8i*" p" I )i /=6J>, = 9 I. A&!-i f!-ţi#% "(&" $"ri%#8i*' p" I )i $"ri%# "(&":
( ) 'v'1v'v
vulnuuuvu ⋅+⋅⋅=
−
Fi" I )i i!&"r%#*" o#r"-#r" )i f:I o f!-ţi" -o!&i!' )i 8i?"-&i%'.
D#-' f!-ţi# f "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* => 9 I, fK/=>6>, #&!-i f!-ţi#i!%"r(' f40:I "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* H> f/=>6 )i
( ) ( )( )0'0
'1
xf
1yf =−
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
13/16
V. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
( )( )
( ) ( )
0
0
''
xVVx
xx0
''
xx
xf xf limxf
0
0 −
−=
⊂∈
→
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
14/16
CONCLUII
Determinarea unor optimuri situaţionale( prin aplicarea calcululuidiferenţial( în probleme practice sau specifice unor domenii de activitate
tudiul funcţiilor în %eneral( al funcţiilor continue( derivabile în special(
necesit de#voltarea unor competenţe %enerale şi specifice reflectate în* Identificarea %raficJvi#ual( a proprietţilor unei funcţii numerice( privind*mr%inirea( continuitatea( tendinţa asimptotic( derivabilitatea
Esocierea de date( e,trase dintr-o situaţie problem( cu proprietţi alefuncţiilor numerice studiate( de tipul* teoreme de conver%enţ( operaţii cu
limite( limite tip( tabele de derivare Eplicarea unor al%oritmi specifici( calculului diferenţial( în re#olvarea unorprobleme şi modelarea unor procese specifice( unor domenii de activitate
:,primarea în limba=ul anali#ei matematice( a unor teoreme concrete(modelabile prin funcţii numerice
Interpretarea pe ba#a lecturii %rafice( a proprietţilor unor funcţii( carerepre#int e,emple din domeniul economic( social( ştiinţific
Kerificarea e,perimental a re#ultatelor( deduse prin calcul( pentru problemepractice e,primabile matematic
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
15/16
- #?&or* $"ri%#8i*i&'ţii (" po#&" (i*ii or$i!* $" *&ip*i-i&"#*" r'$'-i!i*or !"i "-#ţii po*i!oi#*" (# # i!&"r%#*"*or +! -#r" ("7'("(- r'$'-i!i*" !"i "-#ţii #(o-i#&" !"i f!-ţii po*i!oi#*".
$"&"ri!#r"# i!&"r%#*"*or $" o!o&o!i" p"!&r o f!-ţi" $#&'
/f!-ţi# "(&" -r"(-'&o#r" (# $"(-r"(-'&o#r"6 4 #-"(& *-r (" f#-"(&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i +!&Mi # f!-ţi"i
$"&"ri!#r"# p!-&"*or $" "=&r" p"!&r o -*#(' "=&i!(' $" f!-ţii!"ri-" 4 #-"(& *-r (" f#-" (&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i +!&Mi #f!-ţi"i
r"9*&"*" &"or"&i-" #(pr# o!o&o!i"i )i p!-&"*or $" "=&r" #*"!"i f!-ţii p"ri& o8ţi!"r"# !or i!"7#*i&'ţi -#r", - #?&or*"&o$"*or "*""!r" #r fi 7r" $" $"o!(&r#&
$"&"ri!#r"# i!&"r%#*"*or $" -o!%"=i&" (# -o!-#%i&" #*" !"i
f!-ţii 4 #-"(& *-r (" f#-" (&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i # $o# #f!-ţi"i
Ap*i-#ţii &i*" #*" $"ri%#&"i !"i f!-ţii
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
16/16
BIBLIOGRAFIE
#ri( Br&"#, G"or7" Br&"# 4 #&"#&i-', #!#* p"!&r-*#(# # OI>
Li# Ar#', To#$"r oro9#! 4 C*"7"r" $" pro8*"" $" #!#*i9'#&"#&i-' , E$i&r# U!i%"r(#* P#!, B-r")&i, 0QQ5
ir-"# G#!7# 4 Pro8*"" r"9o*%#&" $i! #!#*"*" $"#&"#&i-' p"!&r -*#(# # OI