GUÍA de estudioSegundo Parcial (SP)

Funciones lineales, cuadráticas y polinómicas Inecuaciones

UCV MATEMÁTICA (0201) Facultad Ingeniería

RECTAS

1. Demostrar que para cualquier triángulo, la recta que une los puntos medios de dos lados es paralela al tercer lado del triángulo.

2. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 2 x−3 y+20=0 y que pase por el punto de coordenadas (10,-3).

3. Encuentre el valor de k tal que la recta kx−3 y=10

a) Sea perpendicular a la recta y=2x+4 .

b) Sea paralela a la recta y=− x

2−7

.c) Sea paralela al eje x.

4. Determinar el valor de k para que la recta k2x+( k+1 ) y+3=0 sea perpendicular

a la recta 3 x−2 y−11=0 .

5. Demostrar que las rectas 2 x− y−1=0 , x−8 y+37=0 , 2 x− y−16=0 y x−8 y+7=0 forman un paralelogramo y hallar las ecuaciones de sus diagonales.

6. Determinar el valor de k para que la recta 4 x+5 y+k=0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 3 unidades cuadradas.

7. En una universidad se compró un equipo de entrenamiento para el gimnasio del campus por un valor de Bs. 12.000. El equipo tiene una vida útil de 8 años. El valor de recuperación a los 8 años es de Bs. 2.000. Escriba una ecuación lineal que describa el valor de registro del equipo cada año.

8. Explique por qué la pendiente de una recta vertical se dice que está indefinida.

9. Explique cómo podría demostrar que los puntos A(2,3), B(2,9) y C(4,3) son vértices de un triángulo rectángulo.

1

10. El valor V de una máquina de moldeo t años después de su compra es V=−4000 t+58 ,5 con 0≤t≤5 . Explique qué miden la intersección de la recta con

el eje V y la pendiente de la misma.

FUNCIONES CUADRÁTICAS

1. Se da una función cuadrática: f ( x )=2x2−20 x+57a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar.b) Halle el dominio y el rango de la función.c) Halle su vértice y sus intersecciones con x e y.d) Bosqueje su gráfica.

2. Se da una función cuadrática: f ( x )=−4 x2−16 x+3a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar.b) Halle el dominio y el rango de la función.c) Halle su vértice y sus intersecciones con x e y.d) Bosqueje su gráfica.

3. Halle el valor máximo o mínimo de las funciones:a) f (t )=100−49 t−7 t 2

b) g ( x )=3−x−12x2

4. Encuentre una función cuya gráfica es una parábola con vértice (1,-2) y que pasa por el punto (4,16).

5. La mayor parte de los automóviles obtienen su mejor millaje de combustible cuando viajan a velocidad relativamente moderada. El millaje M para cierto automóvil nuevo se modela mediante la siguiente función:

M (s )=−128s2+3 s−31

Donde s es la velocidad en millas por hora y M se mide en millas/galón. ¿Cuál es el mejor millaje de combustible para el automóvil y a qué velocidad se obtiene?

6. Una ventana rectangular está rematada en la parte superior por un semicírculo. El perímetro de dicha ventana es 2 m. Hallar cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que el área de la ventana sea la mayor posible.

7. Un ingeniero desea calcular el número máximo de automóviles que pueden viajar de manera segura en una determinada carretera a una velocidad especificada. Se supone que cada automóvil mide 17 pies de longitud, viaja a una velocidad s y sigue al automóvil frente a él a la “distancia segura” para esa velocidad. Encuentra que el número N de automóviles que pueden pasar en determinado punto por minuto se modela mediante la función:

2

N (s )= 88 s

17+17 ( s20 )2

¿A qué velocidad puede el mayor número de automóviles viajar con seguridad en la carretera?

8. Se lanza una bola en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la ecuación: y=−0,005x2+x+5 donde x es la distancia que la bola ha viajado horizontalmente, e y es la altura sobre el nivel del suelo, ambas medidas en pies.a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola?b) ¿Qué tan lejos ha viajado horizontalmente la bola cuando choca con el suelo?

FUNCIONES POLINÓMICAS

1. Una caja abierta con un volumen de 1500 cm3 se construirá con una pieza de cartón de 20 por 40 cm, cortando cuadros de longitud lateral x cm en cada esquina, y doblando los lados hacia arriba. Muestre que esto se puede hacer en dos formas distintas y encuentre las dimensiones exactas de la caja en cada caso.

2. Una caja rectangular con un volumen de 2√2 pies3 tiene una base cuadrada. La diagonal de la caja (entre un par de esquinas opuestas) es un pie más grande que cada lado de la base.

a. Si la base tiene lados de x pies de largo, muestre que

x6−2 x5−x4+8=0b. Muestre que dos cajas diferentes satisfacen las condiciones dadas.

Encuentre las dimensiones en cada caso, correctas hasta el centésimo más próximo de un pie.

3. Bosqueje las gráficas de los siguientes polinomios:

a. P(x )=x3−16 x b. P ( x )=x3−3 x2−4 xc. P ( x )=x4+x3−2 x2 d. P ( x )=−5 x2+4e. P ( x )=x4−2 x3−2 x2+8x−8 f. P ( x )=x4−2 x3−7 x2+8 x−12g. P ( x )=2x 4+x3+2 x2−3 x−2 h. P (X )=x3−3x2−4 x+12

4. Compare la función polinomial con una de las gráficas. Explique su elección:

a. P(x )=x (x¿¿2−4)¿ b. P ( x )=−x2(x¿¿2−4 )¿c. P ( x )=−x5+5x3−4 x d. P ( x )=1

2x6+2x4

3

e. P ( x )=x4+2 x3 f. P ( x )=−x3+2x2

4

2X

5. Si el polinomio P( x )=x3

+5x2

−22x−56 admite una raíz igual a 4, halle las otras dos raíces. R: x =-2 y x = -7

6. Halle un polinomio P(x) que sea de grado 4 cuyas raíces sean 2,3,5 y -1; y tal que P(0)= -15.

7. Halle un polinomio de grado tres, donde el coeficiente de mayor grado sea igual a uno y que los restos que se obtienen al dividirlo en forma sucesiva por (x+3),

(x+2) y (x+1) sean 10, 20 y 8 respectivamente

8. En el polinomio P(X )==x5

−x4

−6x3

+ax2

+bx+c determine los valores de a, b y c para

que tenga como raíces x 1=3 ;x 2=−1;x 3=1 .9. ¿Qué valor debe tener k en el polinomio P( x )=2x

4

+9x3

+2x2

−6 x+3k para que al dividirlo por x + 4 el resto sea igual a 10?.

INECUACIONES

1. El perímetro del cuadrilátero mostrado es menor que 40cm pero mayor que 16cm. Escriba la inecuación que describe lo anterior y halle su solución.

2. Halle la solución de las siguientes desigualdades:

i) |x+3|≥7 ii)

( x−1 ) x ( x+2 )(3x−1 ) ( x−4 ) ( x+5 )

<0iii) ( x−1 )2−(2−x )2<3x+1

iv)

3

x2−2 x+1>0

v)

xx−1

>0vi)

x−1x+2

≥0vii)

3−x4 x+1

<−4

viii) x−2≤2x−3<−4 ix)

x+2x+3

< x−1x−2 x)

1x+1

+ 1x+2

≤0

xi) 8−|2 x−1|≥6 xii) 3−|2x+4|≤1 xiii) |x+12

|≥4

xiv) 5 x2+3 x≥3 x2+2 xv)

4 x+x2−2x2+x

> x2−2x

3. Suponga que Usted elige dos planes distintos de teléfonos celulares. El plan A cuesta Bs.49,99 por mes para 500 minutos más Bs.0,40 por cada minuto adicional. El plan B cuesta Bs.45,99 por mes para 500 minutos más Bs.0,45 por cada minuto adicional. ¿Cuántos minutos adicionales debe usar en un mes para que el plan B cueste más que el plan A?

5

X+3

X-1

X+2

4. Un estudio de tiempo se realizó para determinar la duración requerida para realizar una tarea particular en un proceso de manufactura. Los tiempos requeridos por casi dos tercios de los trabajadores en el estudio cumplieron con

la desigualdad |t−15 ,61,9

|<1 donde t es el tiempo en minutos. Determine el

intervalo en la recta de los números reales en el cual se encuentran estos tiempos.

5. Grafique la región solución de las siguientes inecuaciones:

i) yx−x≥1+2 y ii) x2+ y2−6 x+2 y<0 iii) x+ y<−1

iv) x2+ y2≤1 v)

x2

9+ y

2

4>1

vi)

x2

9+ y

2

25≤1

x2+ y2≥96. La cantidad de millas que recorre un vehículo particular por cada galón de

gasolina, manejado a v millas por hora, se obtiene mediante la fórmula

g=10+0,9v−0 ,01 v2 , siempre que v esté entre 10 millas/h y 75 millas/h. ¿Determine las velocidades para las cuales la cantidad de millas recorridas por galón es 30 millas/galón o más?

7. La fuerza gravitacional F que ejerce la Tierra sobre un objeto cuya masa es de

100 kg, se determina mediante la ecuación F=4000000

d2 donde d es la distancia en km del objeto desde el centro de la Tierra y la fuerza F se mide en newtons (N). ¿Para cuáles distancias la fuerza que ejerce la Tierra sobre este objeto estará entre 0,0004N y 0,01N?

8. Si un fabricante vende x unidades de cierto producto, sus ingresos R y sus

costos C ambos en bolívares, vienen determinadas como: R=20xC=2000+8 x+0 ,0025 x2Determine cuántas unidades debe vender dicho fabricante para disfrutar de una ganancia de por lo menos Bs.2400.

9. A partir de las siguientes gráficas de regiones, encuentre las correspondientes inecuaciones que las definen.

6

10. Establezca si es verdadero o falso que la región graficada a continuación,

representa la solución del siguiente sistema

x− y>43 x+2 y<3

Justifique apropiadamente su respuesta.

Referencias bibliográficas

PRECALCULO. Matemáticas para el cálculo. Quinta Edición. (2007). James Stewart. Lotear Redlin. Saleem Watson. Editorial Thomson.

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