Funciones vectoriales de variable real - Zaldivar

8/20/2019 Funciones vectoriales de variable real - Zaldivar

1/56

3 Funciones vectoriales de una variable real

3.1 Introducción

En R3 de…nimos la recta que pasa por el punto P0 y es paralela al vector a comoel conjunto fP0 + taj t 2 Rg. En esta de…nición de una recta, a cada númeroreal t le corresponde el punto único P0 + t a de R

3. A esta correspondencia sele llama función vectorial de una variable real, la cual se denota con el símbolof , y cuya regla de correspondencia es:

f (t) = P0 + t a = (x0 + t a1; y0 + t a2; z0 + t a3)

donde P0 = (x0; y0; z0) y a = (a1; a2; a3). El dominio de f es el conjunto detodos los números reales y el rango de f es la recta que pasa por el punto P0 yes paralela al vector a.

Cualquier función que tiene como dominio un conjunto de números reales ycomo rango un conjunto de vectores o puntos, se denomina función vectorial deuna variable real. En este capítulo estudiaremos el cálculo diferencial e integralpara este tipo de funciones.

3.2 Funciones vectoriales de una variable real

De…nición 1 Una función vectorial de una variable real, denotada por f : R !Rn, es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rangoes un conjunto de vectores o puntos de Rn:

Por ejemplo,

f (t) = (1; 3; 2) + t(1; 1; 2) = (1 + t; 3 + t; 2 + 2t);

Df = R

describe una función vectorial de una variable real. El rango de esta función esuna recta en R3 y la función es una correspondencia o transformación de puntossobre la recta real R en puntos sobre la recta que pasa por el punto (1; 3; 2) y esparalela al vector (1; 1; 2). El punto t = 0 de R se transforma en f (0) = (1; 3; 2);t = 1 se transforma en f (1) = (0; 2; 0); etc.

Si de…nimos f (t) en términos de sus componentes tenemos f (t) = (f 1(t); f 2(t);f 3(t)) donde f 1(t) = 1 + t, f 2(t) = 3 + t y f 3(t) = 2 + 2t. A las funciones f 1,f 2 y f 3 se les denomina funciones componentes de la función f ; estas funcionescomponentes son funciones reales de una variable real. Si I denota la funciónidentidad en los números reales, I (t) = t, entonces f 1 = 1 + I , f 2 = 3 + I yf 3 = 2 + 2I . De este modo, podemos escribir la función f en términos de suscomponentes como sigue:

f = (f 1; f 2; f 3) = (1 + I; 3 + I; 2 + 2I ):

En general, si el rango de f es un conjunto de vectores en Rn, podemosescribir

f = (f 1; : : : ; f n)

1


2/56

donde f i es el i-ésimo componente de f (t). La función real f i con dominio Df sellama la i-ésima función componente de la función vectorial f . De esta forma,

una función vectorial f con rango en Rn de…ne n funciones reales f 1; : : : ; f ntodas las cuales tienen como dominio a Df . Como veremos después, esta repre-sentación de una función vectorial en términos de sus funciones componentes nospermite aplicar a las funciones vectoriales las técnicas del cálculo desarrolladaspara las funciones reales de una variable real.

Ejemplo 1 Si f = (a cosh; b senh) donde a > 0 y b > 0, demuestre que el rangode f es una rama de una hipérbola.

Solución. Un punto (x; y) pertenece al rango de f si y sólo si x = a cosh t yy = b senh t para algún t 2 R. Así pues, si (x; y) 2 Rf

x2

a2 y2

b2 = cosh2 t

senh2 t = 1:

Esto nos demuestra que si (x; y) 2 Rf entonces (x; y) está sobre la hipérbola deecuación

x2

a2 y

2

b2 = 1; en realidad, (x; y) está sobre la rama derecha de esta

hipérbola ya que x = a cosh t > 0. Llamemos a esta rama de la hipérbola H.Ahora bien, si (x; y) 2 H, entonces existe un número t tal que y = b senh t.Usando la ecuación para H, obtenemos

x2

a2 = 1 + senh2 t = cosh2 t:

Como x > 0, concluimos que x = a cosh t. Lo que nos demuestra que si (x; y) 2

H, entonces (x; y)

2 Rf , y, por tanto, el rango de f es

H.

Ejemplo 2 Dibuje el rango de f cuando

f (t) = (t;t; 2t2) Df = [3; 3]:

Solución. El rango de f es el conjunto de puntosf (t)j f (t) = (t;t; 2t2); t 2 [3; 3].

Si escribimos f (t) = t(1; 1; 0)+t2(0; 0; 2), vemos que f (t) es la suma de un vectora lo largo de la recta y = x en el plano X Y y un vector perpendicular al planoXY . Así pues, el rango de f debe encontrarse en el plano de ecuación y = x.También podemos ver esto del siguiente modo: Para cada punto (x; y; z) delrango de f , x = t, y = t, z = 2t2. Como el plano con ecuación y = x es elconjunto de todos los puntos (x; y; z) de R3 tales que y = x, el rango de f debeencontrarse en tal plano.

Si hacemos u = x sec

4 = p 2x, entonces u es la distancia dirigida a lo largode la recta y = x en el plano XY . El rango de f es una parte de la parábolaz = u2 que se encuentra en el plano que contiene el eje Z y la recta y = x en elplano X Y (ver la …gura 1).

2


3/56

Figure 1: Rango de f (t) = (t;t; 2t2):

3.2.1 Ejercicios

1. Proporcione una función del intervalo [0; 1] sobre el segmento rectilíneoque une los puntos:

(a) (1; 2) y (3; 5)(b) (1; 4; 7) y (3; 2; 1)(c) P0 y P1 en Rn

2. Si f (t) = (a cos t; a sen t) donde a > 0 y Df = [0; 2], demuestre que elrango de f es una circunferencia en R2.

3. Si f (t) = (a cos t; b sen t) donde a > 0, b > 0 y Df = [0; 2], demuestre queel rango de f es una elipse en R2. Si a = 2 y b = 4, dibuje la elipse.

4. Si f = (3I; I 2), demuestre que el rango de f es una parábola en R2.

5. Dibuje el rango de f cuando f (t) = (t;t; sen t), t 2 [0; 4].

3.3 El límite de una función vectorialEn esta sección extenderemos el concepto de límite de una función real deuna variable real a las funciones vectoriales de una variable real. El conceptode límite para las funciones vectoriales tiene el mismo signi…cado intuitivo:

3


4/56

limt!a

f (t) = b signi…ca que f (t) puede hacerse arbitrariamente cercana al vec-

tor b tomando a t su…cientemente cerca de a, pero distinto de a. Como en Rn

la distancia de f (t) a b es jf (t) bj, la de…nición formal de limt!a

f (t) = b es:

De…nición 2 Se dice que el vector b es el límite de la función f en a, lo cual se denota lim

t!af (t) = b o lim

af = b, si para cada número " > 0 existe un número

> 0 tal que siempre que t 2 Df y 0 < jt aj < entonces

jf (t) bj < ":

Nota : Siempre que consideremos el limaf = b, se supondrá que a es un punto

de acumulación de Df .Observe también, que lim

t!af (t) = b es equivalente a lim

t!ajf (t) bj = 0; es

decir, cuando t se aproxima a a, f (t) se aproxima a b si y sólo si

jf (t)

b

j se

aproxima a 0.Para proporcionar un signi…cado geométrico a la de…nición de límite, intro-

ducimos la noción de vecindad de un punto en Rn. Una vecindad de c de radior es el interior de la esfera n-dimensional de radio r y centro c:

S (c; r) = fxj jx cj < rg :

Consecuentemente, una vecindad en R es un intervalo abierto, es decir

S (c; r) = fxj jx cj < rg = (c r; c + r):

En R2, una vecindad es el interior de un círculo y en R3 es el interior de unaesfera. Si omitimos el punto c de la vecindad S (c; r), obtenemos una vecindad reducida de c la cual se denota S 0(c; r).En términos de vecindades, la de…nición de lim

af = b es:

De…nición 3 limaf = b signi…ca que para cada vecindad S (b; ") de b, existe

una vecindad reducida S 0(a; ) de a tal que f transforma S 0(a; ) en S (b; ").

Ejemplo 3 Si f = (3I; I 2), determine lim2f .

Solución. Para t próximo a 2, vemos que f (t) = (3t; t2) está cerca de (6; 4).Así, suponemos que lim

2f = (6; 4). Para veri…car que lim

2f = (6; 4), debemos

demostrar que para todo > 0 existe una > 0 tal que siempre que t 2 Df y

0 <jt

2j

<

entonces (3t; t2) (6; 4) < ":Ahora bien, (3t; t2) (6; 4) = (3t 6)2 + (t2 4)21=2 ;

4


5/56

Figure 2: Interpretación geométrica de lim2f :

por tanto (ver …gura 2)

(3t; t2) (6; 4) < " si j3t 6j < "p 2

yt2 4 < "p

2:

Como lim

t!23t = 6, existe una 1 > 0, por ejemplo 1 =

"

3p 2, tal que

j3t 6j < "p 2

siempre que 0 < jt 2j < 1:

Por otra parte, limt!2

t2 = 4 implica que existe una 2 > 0, por ejemplo 2 =

min

1;

"

5p

2

tal que

t2 4 < "p 2

siempre que 0 < jt 2j < 2:

Luego, si = min( 1; 2),

(3t; t2) (6; 4) = (3t 6)2 + (t2 4)21=2 < " "p 2

2+

"p 2

2# = "

siempre que 0 < jt 2j < . Esto demuestra que limt!2(3t; t2) = (6; 4).Utilizando la …gura 2, damos una interpretación geométrica de la solución

del ejemplo 3. Si elegimos una tal que siempre que la distancia de t a 2 sea

5


6/56

menor que , las longitudes de los lados del rectángulo sean menores que "=p

2.Entonces, la longitud de la diagonal debe ser menor que ".

En el ejemplo 3 el límite de la función vectorial de una variable real es elvector cuyos componentes son los límites de los correspondientes componentesde la función. Esto es cierto para cualquier función vectorial y la prueba de estehecho, esencialmente es el razonamiento utilizado en la solución del ejemplo 3.

Teorema 1 Sea b = (b1; : : : ; bn) 2 Rn, f = (f 1; : : : ; f n) una función de Ren Rn, y a un punto de acumulación de Df . Entonces, lim

af = b si y sólo si

lima

f i = bi para i = 1; : : : ; n.

Prueba. Si limaf = b, entonces para cualquier " > 0 existe un > 0 tal que

jf (t)

b

j= "

n

Xi=1

(f i(t)

bi)

2#1=2

< "

siempre que t 2 Df y 0 < jt aj < . De dondejf i(t) bij < " para cada i = 1; : : : ; n

siempre que t 2 Df = Df i y 0


7/56

De…nición 4 Si f y g son funciones vectoriales con rangos en Rn y dominios

Df y

Dg en R, entonces f + g, f

g, f

g y f

g son funciones con dominios

Df \ Dg y reglas de correspondencia:[f + g] (t) = f (t) + g(t)

[f g] (t) = f (t) g(t)[f g] (t) = f (t) g(t)

[f g] (t) = f (t) g(t) (de…nida solamente en R3):Si f es una función vectorial y ' es una función real de una variable real,entonces la función 'f está de…nida como sigue:

['f ] (t) = '(t)f (t), D'f = D' \ Df :Estas operaciones también pueden expresarse en términos de las funciones

componentes. Si f = (f 1; : : : ; f n) y g = (g1; : : : ; gn) entonces para cualquiert 2 Df \ Dg

[f + g] (t) = f (t) + g(t)

= (f 1(t); : : : ; f n(t)) + (g1(t); : : : ; gn(t))

= ([f 1 + g1] (t); : : : ; [f n + gn] (t)) :

Por tanto,f + g = (f 1 + g1; : : : ; f n + gn): (1)

De la misma manera podemos demostrar que

f g = (f 1 g1; : : : ; f n gn) (2)

f g = nXi=1

f igi (3)

Si f = (f 1; f 2; f 3) y g = (g1; g2; g3), entonces

f g = (f 2g3 f 3g2; f 3g1 f 1g3; f 1g2 f 2g1):Observe que f g es una función real de variable real. Por ejemplo, si f =

(I; cos; sen) y g = (exp; I 1=2; I 2), entonces

f g = I exp + I 1=2 cos+I 2 sen;es decir,

[f

g] (t) = t et +

p t cos t + t2 sen t:

Como Df = R y Dg = [0; 1), entoncesDf g = Df \ Dg = [0; 1):

El teorema 1 nos permite probar algunos teoremas de límites de funcionesvectoriales utilizando los teoremas conocidos sobre límites de funciones reales.

7


8/56

Teorema 2 Si f y g son funciones vectoriales de una variable real tales que

lima f = b y lima g = c

y a es un punto de acumulación de Df \ Dg, entonces lima

[f + g] = limaf + lim

ag = b + c

lima

[f g] = limaf lim

ag = b c

lima

[f g] =

limaf

limag

= b c

lima

[f g] =

limaf

limag

= b c (sólo para R3).

Prueba. Probaremos solamente el límite de una suma. Las pruebas de loslímites para las otras funciones son semejantes. Si f = (f 1; : : : ; f n) y g =

(g1; : : : ; gn),

lima

[f + g] = lima

(f 1 + g1; : : : ; f n + gn)

=

lima

(f 1 + g1) ; : : : ; lima

(f n + gn)

=

lima

f 1 + lima

g1; : : : ; lima

f n + lima

gn

=

lima

f 1 + + lima

f n

+

lima

g1 + + lima

gn

= lim

a(f 1; : : : ; f n) + lim

a(g1; : : : ; gn)

= limaf + lim

ag:

Teorema 3 Si f es una función vectorial y ' es una función real y

limaf = b y lim

a' = r

a es un punto de acumulación de D'f , entonces lima

('f ) = lima

' limaf = rb:

Prueba. Si f = (f 1; : : : ; f n), entonces

lima

('f ) = lima

(' f 1; : : : ; ' f n)

= lima

(' f 1

) ; : : : ; lima

(' f n

)=

lima

' lima

f 1; : : : ; lima

' lima

f n

= lim

a'

lima

f 1; : : : ; lima

f n

= lim

a' lim

af :

8


9/56

El teorema 2 nos dice que para las funciones vectoriales el límite de la suma

es la suma de los límites, el límite de la diferencia es la diferencia de los límites,el límite del producto escalar es el producto escalar de los límites y el límitedel producto vectorial es el producto vectorial de los límites, siempre y cuandolos límites de las funciones existan. El teorema 3 a…rma que el límite de unafunción real por una función vectorial es el límite de la función real multiplicadapor el límite de la función vectorial, si los límites de estas funciones existen.

Nota : Los teoremas 2 y 3 pueden probarse utilizando la de…nición de límite.Las pruebas habrían sido análogas a las pruebas correspondientes para funcionesreales, ya que la longitud de un vector tiene las mismas propiedades básicas queel valor absoluto de un número real.

A continuación de…nimos los límites laterales.

De…nición 5 El límite de f a la izquierda de a, lo que se escribe limt!a

f (t) = b,

si para todo " > 0 existe un > 0 tal que

jf (t) bj < "

siempre que t 2 Df \ (a ; a).

De…nición 6 El límite de f a la derecha de a, lo que se escribe limt!a+

f (t) = b,

si para todo " > 0 existe un > 0 tal que

jf (t) bj < "

siempre que t 2 Df \ (a; a + ).

3.3.1 Ejercicios

1. Si f (t) = (t; t2), calcule y marque la posición de f (0:9), f (0:99), f (0:999),f (1:1), f (1:01), f (1:001). Utilice la de…nición 2 para veri…car que lim

t!1f (t) =

(1; 1).

2. Determine limaf (si es que existe), cuando

(a) f = (I 1=2; I 2; sen), a = 2

(b) f (t) =

ln t;

p 1 + t2;

2t

4 t2

, a = 2

(c) f (t) = 11 + t2

; 1 + 2t

t2 ; 3t2, a = 3

3. Si f (t) = ([t] ; t), determine limt!2

f (t) y limt!2+

f (t).

4. Si f (t) = (t; t2; t3), determine limh!0

f (t + h) f (t)h

9


10/56

3.4 Continuidad

La extensión de la noción de continuidad de las funciones reales a la de funcionesvectoriales es muy natural y directa como la extensión del concepto de límite.

De…nición 7 La función f es continua en el punto a 2 Df si para cada " > 0existe una > 0 tal que

jf (t) f (a)j < "siempre que t 2 Df y jt aj < .

Si a no es un punto de acumulación de Df , entonces f es continua en elpunto a, pues en este caso hay una > 0 tal que a es el único punto en Df \(a ; a + ) y, entonces para cualquier " > 0, jf (t) f (a)j < " siempre quet 2 Df \(a ; a + ).

Si a es un punto de acumulación de Df , entonces la de…nición 7 es equivalentea: la función f es continua en el punto a 2 Df si

limt!a

f (t) = f (a):

El teorema siguiente es una consecuencia inmediata del teorema 1 (página6).

Teorema 4 Si f = (f 1; : : : ; f n) y a 2 Df , entonces f es continua en el punto asi y sólo si f i es continua en el punto a, para todo i = 1; : : : ; n.

Prueba. Si a no es un punto de acumulación de Df , entonces la prueba esinmediata (recuerde que para todo i, Df i = Df ). Supongamos que a es unpunto de acumulación de Df . Según el teorema 1, limt!a f (t) = f (a) si y sólosi limt

!a f i(t) = f i(a) para todo i = 1; : : : ; n. Esto completa la prueba.

De este modo, la continuidad de una función vectorial en un punto a puededeterminarse comprobando la continuidad de las funciones componentes en a.Por ejemplo, la función f = (I; cos; sen) es continua en todos los puntos de R.

El teorema siguiente es una consecuencia de los teoremas de límite 2 y 3.

Teorema 5 Si las funciones f y g son continuas en a, entonces f + g, f g,f g y f g son continuas en a. Si f y ' son continuas en a, entonces 'f es continua en a.

Prueba. Probaremos solamente que f + g es continua en a. Las pruebas paralas demás funciones son análogas. Si a no es un punto de acumulación de Df +g,entonces f + g es continua en a. Si a es un punto de acumulación de Df +g,entonces a es un punto de acumulación de Df y de Dg y limt!a f (t) = f (a) ylimt!a g(t) = g(a). De acuerdo con el teorema 2, tenemos

limt!a

[f + g] (t) = limt!a

f (t) + limt!a

g(t)

= f (a) + g(a) = [f + g] (a):

Luego f + g es continua en a.

10


11/56

De…nición 8 La función f es continua en un conjunto S Df si la función restringida f

S es continua en todos los puntos de

S .

Por función restringida f S , donde S Df , entendemos la función con do-minio S y regla de correspondencia f S (t) = f (t) para todo t 2 S .

En la mayoría de los casos el conjunto S es un intervalo. Si S es un intervaloabierto, la de…nición 8 es equivalente a: la función f es continua en el intervaloabierto I si f es continua en todo punto de I . Si S es un intervalo cerrado, lade…nición 8 es equivalente a: la función f es continua en el intervalo cerrado[a; b] si f es continua en el intervalo abierto (a; b) y limt!a+ f (t) = f (a) ylimt!b f (t) = f (b).

Una función se llama continua si es continua en todo punto de su dominio.

3.4.1 Ejercicios

1. Encuentre los puntos (si los hay) donde las funciones siguientes no soncontinuas y dibuje el rango de cada función.

(a) f = (exp; I ), Df = [0; 2]

(b) f (t) =

8<:

t;

sen t

t

; t 2 (0; )

(0; 1); t = 0

2. Si f (t) = (jtj ; 2 jtj ; t), t 2 [2; 2] y

g(t) =

(t; 2t; t); t 2 [2; 0](2 t; 4 2t; 2 t); t 2 (0; 2] ;

dibuje el rango de f y g.

3.5 Curvas

El término curva tiene signi…cados distintos en diferentes áreas de la matemática.Aquí, le asignaremos un signi…cado apropiado para el estudio de las funcionesvectoriales. Una posibilidad es la de de…nir una curva como el rango de una fun-ción vectorial continua que tiene como dominio un intervalo. Llamamos a estouna curva de puntos . Esta de…nición es apropiada para la geometría analítica.Ejemplos de curvas de puntos son: la recta, la parábola, la elipse, etc. estudiadasen la geometría analítica.

Si g es una función real continua con un intervalo I como dominio, entonces,si hacemos f = (I; g) vemos que la grá…ca de g, f (t; g(t)j t 2 Ig es el rango def y, por tanto, puede considerarse como una curva de puntos en R

2

. Sin em-bargo, cuando se discuten las tangentes a la grá…ca se hace uso de la descripciónanalítica de ésta. En este contexto la grá…ca es más que solamente un conjuntode puntos. Es un conjunto de puntos trazado en la forma descrita por la fun-ción f = (I; g); es decir, f (t) va trazando el conjunto de puntos de izquierda aderecha a medida que t aumenta sobre el intervalo I .

11


12/56

Consideremos ahora el problema de describir el movimiento en el espacio deuna partícula durante un intervalo de tiempo [a; b]. Con cada punto t de [a; b]

asociamos el punto f (t) que es la posición de la partícula en ese instante conrelación a un sistema de coordenadas rectangulares establecido. De esta forma,el movimiento de la partícula queda descrito por la función vectorial f de dominio[a; b] y rango en R3. Además, la función f es continua, pues en mecánica clásicase supone que una partícula no puede cambiar instantáneamente su posición;es decir, si la partícula está en el punto P0 = f (t0) en el instante t0 y S (P0; ")es una vecindad de P0, entonces existe un intervalo abierto para el tiempo(t0 ; t0 + ) durante el cual la partícula permanece en la vecindad S (P0; ").

En problemas como este, la curva de puntos que es el rango de f no nos dauna descripción adecuada del movimiento de la partícula. Claramente, la mismacurva de puntos puede haber sido trazada de modos diferentes; en diferentesdirecciones y con diferentes velocidades. Para describir la forma en que se hatrazado la trayectoria de la partícula debemos conocer cuál es la función f , nosólo su rango.

De…nimos por ello una curva-trayectoria como una función vectorial continuacon un intervalo como dominio. En este capítulo trataremos casi exclusivamentecon curvas-trayectoria y, por ello, emplearemos simplemente el término curva para indicar curva-trayectoria . Por tanto, una curva es una función f . Sinembargo, como el término curva debe tener una connotación geométrica, debe-mos imaginarla como la curva de puntos trazada en la forma descrita por f .Denotaremos la curva por C y diremos que C es la curva descrita por f .

Como una curva está descrita por una función continua, no puede haberinterrupciones o huecos en su trazo. Por ejemplo, el conjunto dibujado en la…gura 3 no es una curva de acuerdo con la de…nición que hemos aceptado.Supongamos que este conjunto fuera una curva descrita por la función continua

f = (f 1; f 2) con el intervalo I como dominio. Entonces f 1 y f 2 serían continuasen I . De acuerdo con el teorema del valor intermedio para las funciones realesde una variable real, f 1 y f 2 transforman intervalos en otros intervalos. Sinembargo, en la …gura 3 vemos que f 2 no transforma el intervalo [t1; t2] en otrointervalo.

Ejemplo 4 Proporcione una descripción geométrica de la curva C descrita por f , donde f (t) = (cos t; sen t) y Df = [0; 2].

Solución. La curva de puntos que es el rango de f es la circunferencia de radiouno con centro en el origen,

(x; y)j x2 + y2 = 1. A medida que t toma valores

de 0 a 2, el punto f (t) va recorriendo C, la circunferencia, en dirección contrariaal giro de las manecillas del reloj desde f (0) = (1; 0) hasta f (2) = (1; 0). La

curva C también puede describirse con las ecuaciones paramétricas:x = cos t, y = sen t, t 2 [0; 2]:

La variable t se llama parámetro, y estas ecuaciones se denominan ecuacionesparamétricas de la curva C.

12


13/56

Figure 3: Ejemplo de un conjunto que no es una curva.

Ejemplo 5 Trace la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

x = cos t, y = sen t, z = 12

t; t 2 [0; 4]:

Solución. La distancia del eje Z a un punto (x; y; z) cualquiera de la curva esp x2 + y2 =

p cos2 t + sen2 t = 1:

Así, la curva debe encontrarse sobre el cilindro circular recto con base de radio1 y el eje Z como eje (ver …gura 4). A medida que t aumenta de 0 a 4, el punto(x; y; z) = (cos t; sen t; 12 t) se mueve desde (1; 0; 0) hasta (1; 0; 2) girando endirección contraria al giro de las manecillas del reloj, cuando se ve desde arriba,y moviéndose hacia arriba sobre la super…cie del cilindro. Esta curva es un arcode hélice cilíndrica. Esta función f también puede escribirse en términos de losvectores unitarios i, j y k como f (t) = (cos t) i + ( sen t) j + ( 12 t)k.

Ejemplo 6 Proporcione una función que tenga como rango la curva de puntos trazada por un punto P de una circunferencia cuando la circunferencia rueda sin deslizamiento sobre una recta. Esta curva de puntos se llama cicloide.

Solución. (Ver la …gura 5) Supongamos que la recta sobre la que la circunfer-encia rueda es el eje X y sea P el punto de la circunferencia que se encuentrasobre el eje X cuando el centro de la circunferencia está sobre el eje Y . Sea la medida en radianes del ángulo que forma el vector P C con la direcciónnegativa del eje Y y sea ' el ángulo que forma la dirección positiva del eje X con PC. Como C = (a ; a) y ' + = 32 , tenemos

13


14/56

Figure 4: Curva de…nida por x = cos t, y = sen t, z = 12

t.

Figure 5: Grá…ca de la cicloide.

14


15/56

(x; y) = P = C + (a cos '; a sen ')= (a ; a) + (a sen ; a cos )= a( sen ; 1 cos ):

Por tanto, la cicloide es el rango de la función f donde

f () = a( sen ; 1 cos ):

3.5.1 Ejercicios

1. Proporcione las descripciones geométricas y los dibujos de las grá…cas para

las siguientes funciones:

(a) f (t) = et(cos 2t; sen2t)

(b) f (t) = et(sen2t; cos2t)

(c) f (t) = (1 sen t; 2 + sen t; 2sen t)

2. Dibuje la curva descrita por

f (t) = cos t i + 2 cos t j + sen tk; t 2 [0; 2]:

3. Dibuje el arco de hélice cónica descrita por

f () =

cos ; sen ;

2

; 2 [0; 2]:

4. Proporcione una función que tenga como rango la curva de puntos trazadapor un punto P sobre una circunferencia de radio 1, cuando esta circun-ferencia rueda sobre el lado interior de un círculo de radio 4 y dibuje lacurva. A esta curva de puntos se le llama hipocicloide .

5. Un punto P en el primer cuadrante de R2 se mueve de tal forma que sudistancia al origen es igual a la pendiente t de la recta que va del origena P. Proporcione una representación paramétrica de la curva trazada porP usando t como parámetro y dibuje la curva.

3.6 La derivadaSi f es una función vectorial de una variable real, de…nimos la derivada de f esencialmente en la misma forma en que se de…ne la derivada de una funciónreal de una variable real.

15


16/56

De…nición 9 La derivada de una función vectorial f es la función vectorial f 0

cuya regla de correspondencia es

f 0(t) = limh!0

f (t + h) f (t)h

y cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales t para los que el límite existe.

Si t es un número real en el dominio de f 0, entonces se dice que f es derivableo diferenciable en t.

Aplicando el teorema 1 (página 6), obtenemos la siguiente regla para calcularla derivada de una función vectorial: la derivada de la función f es la función vectorial cuyos componentes son las derivadas de las componentes de f .

Teorema 6 Si f = (f 1; : : : ; f n), entonces

f 0 = (f 01 ; : : : ; f 0n);

donde el dominio de f 0 es la intersección de los dominios de las derivadas f 01 ; : : : ; f

0n.

Prueba. De acuerdo con el teorema 1, sabemos que

limh!0

f (t + h) f (t)h

= limh!0

f 1(t + h) f 1(t)

h ; : : : ;

f n(t + h) f n(t)h

existe si y sólo si cada uno de los límites

limh!0f i(t + h)

f i(t)

h (i = 1; : : : ; n)

existe. Esto prueba que el dominio de f 0 es la intersección de los dominios def 01 ; : : : ; f

0n. Si t está en el dominio de f

0, entonces usando de nuevo el teorema 1concluimos que

f 0(t) = (f 01 (t); : : : ; f 0n(t));

es decir, quef 0 = (f 01 ; : : : ; f

0n):

Ejemplo 7 Determine f 0 cuando

1. f = (cos; sen)

2. f (t) = (t; 2 t3; 4ln(1 t)), t < 13. f (t) = et(1; cos !t; sen !t):

Solución.

16


17/56

Figure 6: Interpretación geométrica de f 0.

1. f 0 = ( sen; cos)

2. f 0(t) =

1; 3t2; 4(1 t)

, t


18/56

Por lo tanto, es natural dar la siguiente de…nición:

De…nición 10 Si C es una curva descrita por f (t) y si f 0(t) existe y es distinta del vector cero, entonces f 0(t) se llama vector tangente a la curva C en el puntof (t), y la recta

L = f f (t) + r f 0(t)j r 2 Rgse l lama recta tangente a la curva C en el punto f (t).

El vector tangente f 0(t) apunta en la dirección en que la curva va siendotrazada por f (t) cuando t aumenta.

El ejemplo siguiente muestra que la de…nición de recta tangente a una curvaes una extensión del concepto de recta tangente a la grá…ca de una función realde una variable real.

Ejemplo 8 Si

C es la grá…ca de la función real g, demuestre que g0(x) es la

pendiente de la recta tangente (ver de…nición 10) en el punto (x; g(x)) de C.Solución. C es la curva descrita por la función f = (I; g). Luego, f 0 = (1; g0) yla recta tangente en el punto (x; g(x)) de C es

L = f (x; g(x)) + r(1; g0(x))j r 2 Rg :La pendiente de L es g 0(x).

Introducimos a continuación otra notación para la derivada. Si la curva estádescrita por la transformación f del intervalo I , entonces C = fxjx = f (t); t 2 Igy decimos que C está descrita por la ecuación paramétrica

x = f (t):

Seadx

dt = f 0(t):

Si C es una curva en el espacio tridimensional, entonces tiene una ecuaciónx = (x; y; z) = f (t)

ydx

dt = (

d x

dt ;

d y

dt ;

d z

dt ) = f 0(t):

Ejemplo 9 Encuentre la recta tangente a la hélice cilíndrica (…gura 4, página 14) descrita por las ecuaciones paramétricas

x = cos ty = sen t

z = 12

t; t 2 (1; 1)

en el punto

0; 1;

4

.

18


19/56

Solución. Observe que el punto

0; 1;

4 corresponde a t =

2. La curva C

está descrita por la ecuación(x; y; z) =

cos t; sen t; 12 t

= f (t):

Entonces

f 0(t) =

d x

dt ;

d y

dt ;

d z

dt

=

sen t; cos t; 12y

f 0

2

=

1; 0; 12 :Por tanto, la recta tangente a C en

0; 1;

4

es

L= n0; 1;

4 + r

1; 0; 12 r 2Ro

por lo que las ecuaciones paramétricas de L sonx = ry = 1

z =

4 +

1

2r; r 2 (1; 1):

Los ejemplos siguientes ilustran la manera en que puede utilizarse la derivadacomo una ayuda para el dibujo de una curva.

Ejemplo 10 Dibuje la curva C descrita por

f = (I 3 4I; I 2 4):Solución. Como f 1 = I

3 4I es una función impar y f 2 = I 2 4 es unafunción par, la curva es simétrica respecto al eje Y ; si f (t0) = (x0; y0) entoncesf (t0) = (x0; y0). Entonces podemos restringir nuestra atención a valoresno negativos de t. Como f 0 = (3I 2 4; 2I ), la curva tiene un vector tangentef 0(t) =

3t2 4; 2t en cada punto f (t). Al dibujar C los puntos donde f 0(t) es

horizontal (con segunda componente cero) o vertical (con primera componentecero) son de interés particular. En f (0) = (0; 4) la curva tiene un vectortangente horizontal f 0(0) = (4; 0) y en f

2p 3

=

169 p 3; 83 la curva tieneun vector tangente vertical f 0

2p 3

=

0; 4

3

p 3

. Considerando la expresión

general del vector tangente

f 0(t) =

3t2 4; 2t ;tenemos:

Si t 2 0; 23p 3, entonces f 0(t) apunta hacia la izquierda y hacia arriba puestoque 3t2 4 es negativa y 2t es positiva.

19


20/56

Figure 7: Curva de f = (I 3 4I; I 2 4).

Si t 2 23p 3; 1, entonces f 0(t) apunta hacia la derecha y hacia arriba puestoque 3t2 4 es positiva y 2t es positiva.

Marcando algunos puntos (entre los que deben incluirse todas las intersec-ciones con los ejes de coordenadas) podemos dibujar C (ver la …gura 7). Algunosde estos puntos son: f (0) = (0; 4), f

23

p 3

=

169

p 3; 83

, f (2) = (0; 0),

f (5

2

) = 458

; 9

4. El punto (0; 0) se llama punto doble de C: f (2) = f (2) = (0; 0).Observe que C tiene dos vectores tangentes en este punto: f 0(2) = (8; 4) y

f 0(2) = (8; 4).

Observe que en la de…nición 10 no se de…ne ningún vector vector tangenteen el punto f (t) si f 0(t) = 0. En tal punto puede suceder que la curva tenga uncambio de dirección abrupto. Ilustramos esto en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 11 Dibuje la curva C descrita por

f (t) =

t2

1 + t2;

t3

1 + t2

; t 2 (1; 1):

Solución. Como f 1 es una función par y f 2 es una función impar,

C es simétrica

con respecto al eje X ; si f (t0) = (x0; y0) entonces f (t0) = (x0; y0). Con-siderando el vector tangente

f 0(t) =

2t

(1 + t2)2;

t4 + 3t2

(1 + t2)2

!;

20


21/56

Figure 8: Curva descrita por f (t) =

t2

1+t2; t

3

1+t2

.

vemos que C no tiene tangentes horizontales ni verticales. Sin embargo f 0(0) = 0.Investigamos ahora el comportamiento de C en el punto f (0) = (0; 0). Escribi-endo

f 0(t) = t

(1 + t2)2

2; t3 + 3t

;

vemos que, para t < 0, f 0(t) tiene la misma dirección que 2; t3 + 3t y parat > 0, f 0(t) tiene la misma dirección que

2; t3 + 3t

. Como

limt!0

2; t3 + 3t = (2; 0) y limt!0+

2; t3 + 3t

= (2; 0);

la curva tiene un cambio abrupto de dirección en f (0) (ver …gura 8).A tal punto se le llama cúspide o punto cuspidal. La recta x = 1 es una

asíntota vertical de C :

limt!1

t2

1 + t2 = 1 y lim

t!1t3

1 + t2 = 1:

Si una funciónf

describe el movimiento de una partícula durante un intervalode tiempo I (es decir, para cualquier t 2 I , f (t) es la posición de la partículaen el tiempo t), entonces f 0(t) es la velocidad y jf 0(t)j es la rapidez o velocidad modular de la partícula en el instante t.

Así, f 0(t) = 0 signi…ca que la partícula tiene velocidad cero en el instantet. Como hemos visto, puede que haya un cambio abrupto de dirección en la

21


22/56

trayectoria en el punto f (t). Sin embargo, no es este necesariamente el caso. Porejemplo, supongamos que f = (I 3; I 3). Entonces, f 0 = (3I 2; 3I 2) y f 0(0) = 0.La curva descrita por f es la recta con ecuación y = x trazada de izquierda aderecha cuando t aumenta. El hecho de que f 0(0) = 0 signi…ca que la partículase detiene en el origen.

3.6.1 Ejercicios

1. Determine f 0 cuando

(a) f = (I 1=3; 3I 2; sen)

(b) f = (exp; senh; cosh)

(c) f (t) =

ln

t2 + 1

;p

t2 + 1; 2t

t2 + 1

(d) f (t) =

e2t; t2 sen 1t

; t 6= 0(1; 0); t = 0

2. Pruebe que si f es diferenciable en el punto t, entonces f es continua en t.

3. Encuentre un vector tangente y la recta tangente a

(a) la elipse con ecuaciones paramétricas

x = 4 cos

y = 3 sen ; 2 [0; 2]:

en los puntos (0; 3), (2p

2; 32p

2), (4; 0).

(b) la hélice cónica de representación paramétrica

f () =

cos ; sen ;

2

en los puntos (0; 0; 0),

0; 2 ; 14

:

4. Trace la curva C descrita por la función f en cada uno de los casos quesiguen. Encuentre todos los puntos en que C tiene un vector tangentehorizontal o vertical.

(a) f = (I 3; I 2 + 2I )

(b) f = (I 4 4I; I 3)

(c) f (t) = (cos t; sen3t) ; t 2 [0; 2](d) f (t) = (cos 2t; cos2t tan t) ; t 2 3 ; 3

5. Trace la curva C descrita por la función f en cada uno de los casos quesiguen. Encuentre todos los puntos en que C tiene un vector tangenteparalelo a uno de los planos coordenados.

22


23/56

(a) f (t) = (sen t; cos t; sen3t)

(b) f

(t) = (sen 2t; cos t; sen3t)6. Trace la curva C descrita por la función f en cada uno de los casos que

siguen. Determine todos los puntos de C en que f 0(t) = 0 y analice elcomportamiento de C en estos puntos.

(a) f (t) =

t2; t3

; t 2 [1; 1](b) f (t) =

t3; t5

; t 2 [1; 1]

(c) f (t) =

t4 2t2; t3 ; t 2 [1; 1]3.7 Teoremas de derivación

Se dice que una función es diferenciable en un punto si la derivada de la función

existe en dicho punto. De…nimos a continuación lo que signi…ca la diferencia-bilidad en un intervalo.

De…nición 11 La función f es diferenciable en el intervalo abierto (a; b) si f es diferenciable en cada punto de (a; b).

De…nición 12 La función f es diferenciable en el intervalo cerrado [a; b] si f es diferenciable en el intervalo abierto (a; b) y si existen las siguientes derivadas laterales en los puntos extremos:

f 0+(a) = limh!0

f (a + h) f (a)h

y

f 0(b) = limh!0

f (b + h) f (b)h

:

El teorema siguiente es una simple consecuencia de las de…niciones de con-tinuidad y diferenciabilidad en un intervalo.

Teorema 7 Si la función f es diferenciable en un intervalo I , entonces f es continua en I .

En el cálculo de funciones vectoriales las reglas de derivación son semejantesa las existentes para las funciones reales de una variable real. Por ejemplo, laderivada de una suma es la suma de las derivadas. Antes de presentar estas reglasintroducimos la notación que nos permite formularlas de un modo conveniente.

Hagamos f 0 = D f ; D es una función (operador) cuyo valor en f es f 0. Lasfunciones cuyo dominio y rango son conjuntos de funciones se llaman operadores .De ahora en adelante diremos que la función f 0 se obtiene cuando aplicamos eloperador D a f .

23


24/56

Teorema 8 Si las funciones f , g y ' son diferenciables en un intervalo I ,entonces f + g, f

g, f

g, f

g y 'f son diferenciables en

I , y en

I ,

D(f + g) = Df + Dg

D(f g) = Df DgD(f g) = f Dg + Df g

D(f g) = f Dg + Df gD('f ) = ' (Df ) + (D') f :

Prueba. Probaremos solamente D(f g). Las pruebas de las otras reglas sonanálogas. Si f = (f 1; f 2; f 3) y g = (g1; g2; g3), entonces

f g = (f 2g3 f 3g2; f 3g1 f 1g3; f 1g2 f 2g1):

Por el teorema 6, página 16, en el intervalo I ,D (f g) = (D(f 2g3 f 3g2); D(f 3g1 f 1g3); D(f 1g2 f 2g1))

= (f 2 Dg3 + g3 Df 2 f 3Dg2 g2 Df 3; f 3 Dg1 + g1 Df 3f 1Dg3 g3 Df 1; f 1 Dg2 + g2 Df 1 f 2Dg1 g1 Df 2)

= (f 2 Dg3 f 3Dg2; f 3 Dg1 f 1Dg3; f 1 Dg2 f 2Dg1)+ (g3 Df 2 g2 Df 3; g1 Df 3 g3 Df 1; g2 Df 1 g1 Df 2)

= (f 1; f 2; f 3) (Dg1; Dg2; Dg3) + (Df 1; Df 2; Df 3) (g1; g2; g3)= f Dg + Df g:

Nota : Como el producto vectorial no es conmutativo, se debe tener cuidado

en escribir en el orden correcto los factores de la fórmula para la derivada delproducto vectorial. Esta fórmula únicamente es válida en R3: Las otras reglasse veri…can para funciones vectoriales con rango en Rn.

Ejemplo 12 Demuestre que si jf j es una constante, entonces f (t) y f 0(t) son ortogonales para todo t 2 Df .

Solución. Para todo t 2 Df ,

f (t) f (t) = jf (t)j2 = jf j2 (t):

Por tanto, si jf j = cf f = jf j2 = c2

yD (f f ) = f Df + Df f = 2 f Df = 0:

Esto demuestra que para todo t 2 Df , f (t) f 0(t) = 0; es decir, que f (t) y f 0(t)son ortogonales para todo t 2 Df .

24


25/56

También se utilizan los símbolos Dt y d

dt para denotar la derivada de una

función vectorial:Dtf (t) =

d

dtf (t) =

df

dt = f 0(t);

es decir, si f (t) es la regla de correspondencia para f , entonces

Dtf (t) = d

dtf (t)

denota la regla de correspondencia para f 0.Sea f una función diferenciable que describe la circunferencia C(P0; r) con

centro en P0 y radio r. Para todo t 2 Df , jf (t) P0j = r y, por tanto, deacuerdo con el ejemplo 12, f (t) P0 es ortogonal a

Dt [f (t) P0] = Dtf (t) DtP0 = f 0(t);es decir, el radio trazado desde P0 al punto f (t) sobre la circunferencia es or-togonal al vector tangente en este punto.

Ejemplo 13 Si f = (I; cos; sen) y ' = exp 2I , determine D('f ).Solución. Como ' es una función real de una variable real compuesta, tenemos

'(t) = [exp 2I ] (t) = exp(2t) = e2t

y D' = R. La fórmula para la derivada de f g, llamada regla de la cadena, es(f g)0 = (f 0 g) g0:

Por tanto, D(exp 2I ) = 2(exp 2I ); es decir, '0(t) = 2e2t.Ahora, como las funciones f y ' son diferenciables en R y

D(' f ) = ' (Df ) + (D') f

= [exp 2I ] (1; sen; cos) + [2 exp2I ] (I; cos; sen)= [exp 2I ] (1 + 2I; 2cos sen; cos +2 sen);

es decir, para todo t 2 R,Dt [' f ] (t) = e

2t (1 + 2t; 2cos t sen t; cos t + 2 sen t) :

De…nimos a continuación la composición de una función vectorial f con unafunción real ' para después estudiar algunas propiedades de esta composición.

De…nición 13 Si ' es una función real de una variable real y

f es una función vectorial de una variable real, f ' es la función función vectorial de una variable

real con regla de correspondencia

[f '] (t) = f ('(t))y dominio Df ' = f t 2 D'j '(t) 2 Df g.

25


26/56

Si t 2 Df ' y f = (f 1; : : : ; f n), entonces

[f '] (t) = f ('(t)) = (f 1('(t)); : : : ; f n('(t)))= ([f 1 '] (t); : : : ; [f n '] (t)) :

Por tanto,f ' = (f 1 ' ; : : : ; f n ') :

Teorema 9 Si ' es continua en t0 y f es continua en '(t0), entonces f ' es continua en t0.

Prueba. De acuerdo con el teorema 4, página 10, f ' es continua en t0 si ysólo si f i ' (i = 1; : : : ; n) es continua en t0. Como ' es continua en t0 y f i escontinua en '(t0), sabemos por la teoría de las funciones reales de variable realque f i ' es continua en t0. Esto completa la prueba.Teorema 10 Si ' es diferenciable en un intervalo

I y f es diferenciable en un

intervalo que contiene a '( I ) = f'(t)j t 2 'g, entonces f ' es diferenciable en I y

D (f ') = [(Df ) '] D' en I :Prueba. Según el teorema 6, página 16, en el intervalo I ,

D (f ') = (D(f 1 '); : : : ; D(f n ')) :De acuerdo con la regla de la cadena para funciones reales de variable real, parai = 1; : : : ; n, tenemos

D(f i ') = [(Df i) '] D' en I :Así,

D (f ') = ([(Df 1) '] D ' ; : : : ; [(Df n) '] D')= ([(Df 1) '] ; : : : ; [(Df n) ']) D'= [(Df ) '] D':

Esto completa la prueba.Podemos escribir la fórmula del teorema 10 en la forma

Dtf ('(t)) = '0(t)f 0('(t)):

La generalización del teorema del valor medio a las funciones vectoriales deuna variable real es la siguiente:

Teorema 11 Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b) entonces existen ci 2 (a; b) tales que

f (b) f (a) = (b a)(f 01(c1); : : : ; f 0n(cn)):Prueba. La hipótesis sobre f implica que cada componente f i es una funcióncontinua en [a; b] y diferenciable en (a; b). La conclusión del teorema se sigue dela aplicación del teorema del valor medio de funciones reales de variable real acada componente f i de f .

26


27/56

3.7.1 Ejercicios

1. Si

f (t) =

t; t2; 13 t3

; t 2 [0; 1)g = (cos; sen; I )

'(t) = et; t 2 [0; 1)

determine:

(a) f 0

(b) g0

(c) f 00

(d) D2tg(t)

(e) D(f + g)

(f) (f g)0(g) D(f g)(h) D('f )

(i) 'f 0

(j) D(f ')(k)

d

dtg(t2)

(l) Djf j2

(m) D (

jf j)

2. Determine

(a) Dt(a cos !t;a sen !t)

(b) D2t (a cos !t;a sen !t)

3. ¿Cuál es el dominio y regla de correspondencia para

(a) D (jf j)

(b) D

f

jf j

?

4. Supongamos que una curva de puntos C

está descrita por la función f de[a; b] y por la función g de [0; b a], donde g(u) = f (b u). ¿Cuál es larelación entre los vectores tangentes determinados por f y g, en cualquierpunto de la curva?

27


28/56

5. Consideremos el arco C de hélice cilíndrica descrito por

f (t) = (cos t; sen t; t); t 2 [0; 2 ]:Demuestre que en ningún punto de C, f 0(t) es paralela a la cuerda de f (0)a f (2 ).

6. Determine el componente radial (es decir, el componente en la direcciónde f (t)) de f 0(t) y de f 00(t), cuando

(a) f (t) = (r cos !t;r sen !t)

(b) f (t) = (r cos t2; r sen t2):

7. La grá…ca polar de r = es una espiral de Arquímedes. Sus ecuacionesparaméticas son:

x = cos

y = sen :

Determine un vector tangente a la espiral en el punto (; 0).8. Sea g una función real diferenciable en [; ] y sea C la grá…ca polar de

r = g(). Entonces, C está descrita por la función f = gu de [; ], dondeu = (cos; sen).

Demuestre que

f 0 = g0u + gu? donde u? = ( sen; cos)

e interprete este resultado geométricamente.9. Resuelva el problema 7 usando el problema 8.

10. Determine un vector tangente en cualquier punto de la cardioide cuyaecuación polar es r = 1 + cos . Dibuje la curva.

3.8 La diferencial

Sea f una función vectorial de…nida en [a; b] y sean t y t + h puntos distintosen [a; b]. El vector f (t; h) = f (t + h) f (t) se llama incremento de f en tcorrespondiente al incremento h de t; éste es el cambio de f debido al cambio hen t. Si f es diferenciable en t, entonces

f (t; h) = f (t + h) f (t) = h f 0(t) + h'(t; h)donde '(t; h) =

1

h [f (t + h) f (t)]f 0(t). Como lim

h!0'(t; h) = 0, el incremento

f (t; h) es aproximadamente igual a h f 0(t) para pequeños valores de h. Altérmino h f 0(t) se le llama diferencial.

28


29/56

Figure 9: La diferencial df (t; h).

De…nición 14 El vector h f 0(t) se llama diferencial de f en t correspondiente al incremento h en t y se denota por d f (t; h); es decir

d f (t; h) = h f 0(t):

En términos de la diferencial, tenemos

f (t; h) = d f (t; h) + h'(t; h)

donde limh!0

'(t; h) = 0. Por tanto, para valores pequeños de h,

f (t; h) d f (t; h)y

f (t + h) = f (t) + f (t; h) f (t) + d f (t; h): (4)Sea C la curva descrita por la transformación f de [a; b]. Si f 0(t) 6= 0, entonces

d f (t; h) = h f 0(t) es un vector paralelo al vector tangente a C en el punto f (t)(ver …gura 9). La ecuación 4 implica que en una vecindad de f (t) la rectatangente a C en f (t) está muy cerca de la curva.

Es práctica común usar dt en lugar de h y abreviar d f (t; h) por d f . Por

tanto,d f = d f (t; dt) = f 0(t)dt

y f 0(t) es df

dt, una notación ya introducida para la derivada. Cuando usamos d f

para denotar un valor de la diferencial, es generalmente posible determinar porel contexto de la discusión los valores de t y dt que el usuario tiene en mente.

29


30/56

Si f = (f 1; : : : ; f n), entonces

d f = f 0(t)dt = (f 01(t)d t ; : : : ; f 0n(t)dt) ;

es decird f = (df 1; : : : ; df n): (5)

Si hacemos x = (x1; : : : ; xn) = (f 1(t); : : : ; f n(t)) = f (t), entonces podemosescribir dx = df y dxi = df i, y de aquí, la ecuación 5 toma la forma

dx = (dx1; : : : ; d xn):

De la de…nición de diferencial y las fórmulas de derivación que hemos desarrol-lado, se deduce fácilmente que

d (f + g) = d f + dg (6)

d (f g) = d f dg (7)d (f g) = f dg + d f g (8)

d (f g) = f dg + d f g (9)d('f ) = ' d f + (d')f (10)

d(f ') = (f 0 ')d': (11)Estas fórmulas se prueban utilizando los teoremas 8 (página 24) y 10 (página

26).La fómula 11 es de interés especial. Si hacemos x = f (t) y t = '(u) entonces

x = f ('(u)) = g(u), donde g = f '. En tal caso, la notación dx parala diferencial parece ambigua; ¿signi…ca f 0(t)dt o g0(u)du? Sin embargo, esta

ambigüedad es aparente, ya que según la fórmula 11

g0(u)du = f 0(t)dt;

y, en realidad, es precisamente a causa de esta aparente ambigüedad que lanotación de diferencial resulta conveniente.

3.8.1 Ejercicios

1. Determine f (t; h) y d f (t; h), cuando f (t) = (t; t2; t3) y

(a) t = 0, dt = 103

(b) t = 0, dt = 103

(c) t = 103, dt = 101

2. Halle el valor aproximado de f (103) cuando

(a) f = (cos; sen; tan)

(b) f (t) = et(1; sen t; cos2t)

30


31/56

(c) f (t) = et(1; sen2 t; cos2 t):

3. Demuestre que bajo hipótesis adecuadas

(a) d (f g) = f dg + d f g(b) d(f ') = (f 0 ')d':

3.9 Integración

Una curva puede describirse utilizando uno de sus puntos y un vector tangenteen cada uno de sus puntos. Supongamos que conocemos que una curva C pasapor el punto x0 y que para cada t 2 [a; b], f (t) es un vector tangente a C .Deseamos determinar una transformación x de [a; b] tal que x(t0) = x0 paraalgún t0 2 [a; b] y x0(t) = f (t) para todo t 2 [a; b]. Entonces C está descrita porla transformación x de [a; b].

Para determinar x debemos resolver la ecuación diferencialx0 = f sobre [a; b]

sujeta a la condición x(t0) = x0. La solución de esta ecuación diferencial essimple una vez que hayamos introducido la integral de una función vectorial.

De…nición 15 Si f = (f 1; : : : ; f n) es una función vectorial de…nida en [a; b],entonces Z b

a

f =

Z ba

f 1; : : : ;

Z ba

f n

!:

También utilizamos la notaciónR ba f (t)dt para la integral de f de a a b. Así,

Z b

a

f (t)dt = Z b

a

f 1(t)d t ; : : : ;Z b

a

f n(t)dt! :La integral

R ba f existe siempre que cada una de las integrales

R ba

f i, i = 1; : : : ; n,existe.

El teorema siguiente extiende el primer inciso del teorema fundamental delcálculo a funciones vectoriales.

Teorema 12 Si f = (f 1; : : : ; f n) es continua en un intervalo I y a 2 I , en-tonces

Dt

Z ta

f = f (t); t 2 I :

Prueba. La prueba se obtiene por la aplicación del primer inciso del teoremafundamental del cálculo a cada una de las funciones componentes:

Dt

Z t

a

f = Dt

Z t

a

f 1; : : : ;Z t

a

f n

=

Dt

Z ta

f 1; : : : ; Dt

Z ta

f n

= (f 1(t); : : : ; f n(t)) = f (t):

31


32/56

El teorema siguiente extiende el segundo inciso del teorema fundamental del

cálculo a funciones vectoriales.

Teorema 13 Si F = (F 1; : : : ; F n) tiene una derivada continua en un intervalo I , entonces para todo a; b 2 I Z b

a

F0 = F(b) F(a):

Como el teorema fundamental del cálculo puede extenderse a funciones vec-toriales, la ecuación diferencial x0 = f puede resolverse en la forma habitual.

Teorema 14 Si f es continua en un intervalo I , si t0 2 I , y si x0 es un vector cualquiera, entonces hay una y solamente una solución en I de la ecuación diferencial x0 = f que satisface la condición x(t0) = x0.

Prueba. Supongamos que x0 = f y x(t0) = x0. Entonces, de acuerdo con elteorema 13 Z t

t0

f =

Z tt0

x0 = x(t) x(t0)y

x(t) = x0 +

Z tt0

f ; t 2 I :

Recíprocamente, si

x(t) = x0 +

Z tt0

f ; t 2 I

entonces x(t0) = x0 y según el teorema 12

x0 = f en I :

Así, si una curva C pasa por el punto x0 en el tiempo t0 y f (t) es un vectortangente a C para cualquier t 2 [a; b], entonces, suponiendo que f sea continuaen [a; b], C está descrita por la transformación x de [a; b], donde

x(t) = x0 +

Z tt0

f ; t 2 [a; b]:

Sea x(t) el vector de posición de una partícula P de masa m, v(t) = x0(t) lavelocidad de P , y a(t) = v0(t) la aceleración de P en el instante t. Si la fuerzaejercida sobre P en el instante t es F(t) entonces, utilizando la segunda ley delmovimiento de Newton, x debe satisfacer la ecuación

ma = m x00 = F:

Así, la trayectoria de la partícula está determinada por esta ecuación diferencialy algunas condiciones iniciales.

32


33/56

Ejemplo 14 Sin considerar la fricción y suponiendo una fuerza gravitacional constante, proporcione una descripción del movimiento de una partícula de masa

m cuya velocidad inicial es v0 y cuya posición inicial es x0.

Solución. Sea m g la fuerza constante. Tenemos

a = v0 = g:

Luego,

v(t) = v0 +

Z t0

g = v0 + g t

y

x(t) = x0 + Z t

0

(v0 + gu) du

= x0 + v0t + 12g t2:

Para facilitar el dibujo de la trayectoria de la partícula seleccionamos unsistema de coordenadas (ver la …gura 10) tal que x0 = (0; 0; 0), g = (0; g; 0)y v0 = (c1; c2; 0); el origen se coloca en el punto inicial, la fuerza está en ladirección negativa del eje Y , y la dirección del eje X se elige de modo que v0 esparalelo al plano X Y . Las ecuaciones paramétricas que describen el movimientode la partícula son,

x = c1t

y = 12

gt2 + c2t

z = 0:

Si c1 6= 0, estas son las ecuaciones paramétricas de una parábola en el planoXY . La altura máxima de la trayectoria es

c222g

y ésta se alcanza cuando t = c2

g .

El eje de la parábola es vertical y su vértice es el punto

c1c2

g ;

c222g

; 0

:

3.9.1 Ejercicios

1. Evalúe las siguientes integrales:

(a)

R 1

0 (I; I 1=2; exp)

(b)R =20 (sen t; cos t; tan t) dt

(c)R 42

1

1 + t2;p

1 + t2; 4t3

dt:

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y dibuje la curva descritapor x en cada caso.

33


34/56

Figure 10: Trayectoria de una partícula.

(a) x0(t) = c, x(0) = 0

(b) x0(t) = a t + b; x(0) = (1; 0; 1).

(c) x0(t) = !( sen !t; cos !t; 0); x(0) = (1; 0; 0).

3. Si no está actuando fuerza alguna sobre una partícula de masa m y su

posición y velocidad iniciales son x0 y v0, respectivamente, describa latrayectoria de la partícula.

4. Prescindiendo de los efectos de la atmósfera y suponiendo un suelo perfec-tamente nivelado, estime la velocidad inicial mínima requerida para hacerque una pelota de golf recorra 250 yardas.

5. ¿Cuál sería la respuesta al problema 4 si el punto de salida de la pelotaestá a 25 pies por encima del nivel de la pista?

6. Puede mostrarse que cada una de las soluciones x de la ecuación diferencial

x00 = !2x

donde ! es una constante, tiene una regla de correspondencia de la formax(t) = a cos(!t + ), t 2 (1; 1). Veri…que que toda función que tieneuna regla de correspondencia de esa forma es una solución. Determine lasolución que satisface:

(a) x(0) = x0, x0(0) = 0;

34


35/56

(b) x(0) = 0, x0(0) = v0;

(c) x(0) = x0, x0(0) = v0.7. ¿Cuál es la forma general de la solución de la ecuación diferencial vectorial

mx00 = k x; k > 0; m > 0?

8. La ecuación diferencial del problema 7 es la ecuación de movimiento deuna partícula P de masa m sobre la que actúa una fuerza central que estásiempre dirigida hacia 0 y cuya magnitud es proporcional a la distanciade la partícula a 0.

(a) Describa el movimiento de la partícula si

i. x(0) = 0, x0(0) = 0

ii. x(0) = x0, x0(0) = 0iii. x(0) = 0, x0(0) = v0

(b) Demuestre que la suma de dos soluciones de la ecuación de movimientoes una solución. Describa el movimiento de la partícula cuandox(0) = x0 y x

0(0) = v0.

(c) Determine cuáles deben ser la posición y velocidad iniciales de lapartícula para que se mueva a lo largo de una circunferencia de radior alrededor del origen.

3.10 Longitud de arco

Sea

C una curva descrita por la transformación f de un intervalo cerrado [a; b] en

Rn. Consideremos una partición P = f tij i = 0; : : : ; kg de [a; b] donde a = t0 <t1


36/56

Figure 11: Longitud de arco.

De…nición 16 La curva C descrita por una transformación f de [a; b] se dice que es recti…cable si f LP j P 2 Pg tiene una cota superior. Si C es recti…cable,la longitud L de C es el supremo de f LP j P 2 Pg; es decir,

L = sup fLP j P 2 Pg :

Esta de…nición de la longitud de C utiliza la idea intuitiva de la longitud decurva antes mencionada. Como L es una cota superior de f LP j P 2 Pg, L esmayor o igual que la longitud LP de cualquier poligonal obtenida tomando unapartición P de [a; b]. Por otra parte, para cualquier " > 0 existe una particiónP de [a; b] tal que L " < LP L; de otra forma L no sería el supremo (o cotasuperior mínima) de fLP j P 2 Pg.

Demostramos a continuación que si obtenemos una nueva partición P 2 de[a; b] añadiendo algunos puntos a la partición P 1 de [a; b], entonces LP 1 LP 2 .A P 2 le llamamos re…namiento de P 1.

Lema 15 Si P 2 es un re…namiento de P 1, entonces LP 1 LP 2.

Prueba. Este lema es una simple consecuencia de la desigualdad del triángulo.

Sea j el primer punto de P 2 que no está en P 1. Entonces, para algún i, ti1 < j < ti y

jf (ti) f (ti1)j = jf (ti) f ( j) + f ( j) f (ti1)j jf (ti) f ( j)j + jf ( j) f (ti1)j :

36


37/56

Utilizando un número …nito de pasos podemos añadir todos los puntos de P 2 aP 1 y obtener LP 1

LP 2 .

Si tuviésemos que utilizar la de…nición 16 para calcular la longitud de unacurva, la tarea no sería nada fácil. Sin embargo, para la mayoría de las curvas deinterés podemos encontrar la longitud calculando una integral. Consideremosla curva C descrita por la transformación f de [a; b] como la trayectoria de unapartícula, donde f (t) es la posición de la partícula en el instante t. Supongamosque f es diferenciable en [a; b]. Entonces f 0(t) es la velocidad de la partícula enel instante t y jf 0(t)j es la rapidez de la partícula en el instante t. Supongamosque tomamos una partición P de [a; b] tal que la velocidad cambia muy pocosobre cada arco de f (ti1) a f (ti); digamos que es aproximadamente f 0(ti ) eneste arco de f (ti1) a f (ti). Entonces, usando la noción elemental de que ladistancia es igual a la rapidez multiplicada por el tiempo, la longitud de lacurva C es aproximadamente

S P =kX

i=1

jf 0(ti )j (ti ti1) :

Reconocemos a S P como una suma de Riemann, por lo que es una aproximaciónde la integral

R jf 0j. Es decir,Z ba

jf 0j = limjP j!0

S P

donde jP j denota la norma de la partición P :jP j = max f ti ti1j i = 1; : : : ; kg ;

y este límite signi…ca:Para cualquier " > 0 existe una > 0 tal que jP j < implicaS P

Z ba

jf 0j < ":

Así, es lógico esperar que la longitud de C sea R ba jf 0j.

En el razonamiento anterior fue necesaria la suposición de que la velocidad cambiase muy poco en el arco de curva. Esto signi…ca que necesitamos que f 0

sea continua en [a; b]. La discusión anterior justi…ca el siguiente teorema.

Teorema 16 Si f tiene una derivada continua en [a; b], entonces la curva Cdescrita por f es recti…cable y

L =

Z ba

jf 0j :

Ejemplo 15 Sea C la hélice cilíndrica (4, página 14) descrita por f = (cos; sen; 12I ).Determine la longitud L del arco de C de (1; 0; 0) a 1; 0; 2 :

37


38/56

Solución. Como f (0) = (1; 0; 0) y f () = (1; 0; 2 ),

L =Z

0

jf 0j =Z

0

q sen2 +cos2 +14 =

Z

0

p 52 =

p 52 :

Ejemplo 16 Determine la longitud de la curva C descrita por f (t) = (cos t; sen t),t 2 [0; 4].Solución. La curva C es la circunferencia unitaria C(0; 1) recorrida dos vecespor la transformación f de [0; 4]. Usando el teorema 16 obtenemos

L =

Z 40

p sen2 +cos2dt =

Z 40

dt = 4:

3.10.1 Ejercicios

1. Determine la longitud del arco de la parábola descrita por f (t) = (t2; 2t),t 2 [0; 1].

2. Determine la longitud de la grá…ca de y = ln(1 x2) entre x = 0 y x = 12 .3. Determine la longitud del arco de la cicloide descrita por f = a(I sen; 1

cos), donde a > 0.

4. Encuentre la longitud de la curva descrita por f (t) = (t;t; 2t2), t 2 [3; 3].5. Determine la longitud del arco de la hélice cónica descrita por f () =

( cos ; sen ; ), 2 [0; 1].6. Determine la longitud de la curva descrita por la transformación f (') =

a

' sen '; 1 cos '; 4sen '2

del intervalo [0; 2].

7. Considere la curva C descrita porx = t

y = a cosh t

a

z = a senh t

a:

Demuestre que la distancia a lo largo de

C desde el punto (0; a; 0) hasta

un punto P0 sobre C es proporcional a la distancia de P0 al plano X Y .8. Considere la elipse descrita por

x = a sen '

y = b cos '; ' 2 [0; 2]; a 0; b 0:

38


39/56

Demuestre que la circunferencia de tal elipse es

4aZ =2

0

p 1 e2 sen2 'd'

donde e =

1 b

2

a2

1=2es la excentricidad de la elipse. Esta es una

integral elíptica de segunda clase. Utilizando MATHEMATICA determinela circunferencia de la elipse con semieje mayor a y e = 0; 14 ;

12 ;

34 y 0:99.

9. La grá…ca polar de r = 1+cos es una cardioide. Las ecuaciones paramétri-cas de la cardioide son,

x = (1 + cos )cos

y = (1 + cos )sen ;

2[0; 2]:

Determine la longitud de la cardioide.

10. Si el movimiento de una partícula está descrito por

f (t) = (cos !t; sen !t); ! > 0;

dibuje la trayectoria y encuentre la distancia recorrida por la partícula

desde el instante t = 0 hasta t = 2

! .

3.11 Tangente unitaria, normal principal y vectores binor-

males

Supongamos que la función f de…nida en [a; b] tiene una derivada continua dis-tinta de cero en [a; b]. Entonces, la curva C descrita por la transformación f de[a; b] se llama curva lisa . Como f tiene una derivada distinta de cero en [a; b], lacurva C tiene un vector tangente f 0(t) en cada punto f (t). Obtenemos el vectortangente unitario T(t) en el punto f (t) dividiendo el vector tangente f 0(t) porsu longitud jf 0(t)j, es decir,

T(t) = f 0(t)jf 0(t)j : (12)

Como la función f tiene una derivada continua en [a; b], la curva C descritapor f es recti…cable. La longitud l(t) del arco de C correspondiente a la trans-formación f de [a; t] es

l(t) = Z ta j

f 0

j; t

2[a; b]: (13)

El número l(t) es la distancia a lo largo de la curva C del punto f (a) al puntof (t). De acuerdo al teorema 12, la función l de…nida por la ecuación 13 tieneuna derivada

l0 = jf 0j : (14)

39


40/56

Luego, usando la ecuación 12, tenemos

f 0 = l0T: (15)Si consideramos la curva lisa C descrita por f como la trayectoria de una

partícula, entonces la ecuación 15 nos dice que la dirección del vector velocidadf 0(t) es la del vector tangente unitario T(t) y la magnitud del vector velocidad—la rapidez — es l 0(t): la razón de cambio de la distancia a lo largo de la curva.

Si x(t) = f (t) es la ecuación de una curva en R3 y si hacemos s = l(t)entonces la ecuación 14 puede escribirse en la forma

ds

dt =

s dx

dt

2+

dy

dt

2+

dz

dt

2(16)

o, en términos de diferenciales

ds2 = dx2 + dy2 + dz2:

Con esta notación, la ecuación 15 se convierte en

dx

dt =

ds

dtT: (17)

Supongamos ahora que f 0 es diferenciable en [a; b]; es decir, que f 00 existeen [a; b]. Entonces, según el problema 3, página 27, l00 y T0 existen en [a; b] ydiferenciando la ecuación 15 obtenemos

f 00 = l00T + l0T0: (18)

Como jTj = 1 en [a; b], sabemos, por el ejemplo 12, página 24, que T0(t) esortogonal al vector tangente T(t) para todo t 2 [a; b].

Cualquier recta que pase por el punto f (t) de una curva C y sea ortogonal a latangente a la curva en ese punto se llama normal a la curva. Como consecuenciade la importancia del vector normal T0(t), la recta que pasa por f (t) en ladirección de T0(t) (si T0(t) 6= 0) se llama normal principal a la curva C en f (t).Si T0(t) 6= 0, entonces de…nimos el vector unitario normal principal N(t) como:

N(t) = T0(t)jT0(t)j : (19)

Así, podemos escribir la ecuación 18 en la forma

f 00 = l00T + l0 jT0j N; (20)o, lo que es equivalente,

d2x

dt2

= d2s

dt2T +

ds

dt jT0

j N

donde x = f (t) y s = l(t).Si C es la trayectoria de una partícula que se mueve en R3, entonces f 00(t) es la

aceleración de la partícula en el tiempo t. La ecuación 20 nos dice que el vectoraceleración se encuentra en el plano determinado por los vectores tangente ynormal principal.

40


41/56

Ejemplo 17 Determine que los componentes tangencial y normal (normal prin-cipal) de f 00(t) en el punto f (t) de la hélice descrita por f = (cos; sen; 12I ).

Solución 1. De acuerdo con la ecuación 20, el componente tangencial de f 00(t)es l 00(t). Como

f (t) =

cos t; sen t; 12 t

;

tenemos

f 0(t) = sen t; cos t; 12 ;

l0(t) = jf 0(t)j = 12p

5;

yl00(t) = 0:

De donde el componente tangencial de f 00(t) es cero, y el componente normal es

jf 00(t)j = j( cos t; sen t; 0)j = 1:

Solución 2.

T(t) = f 0(t)jf 0(t)j =

2p 5

sen t; cos t; 12

N(t) = T0(t)jT0(t)j = ( cos t; sen t; 0)

yf 00(t) = ( cos t; sen t; 0) :

De donde,

CompT(t) f 00(t) = f 00(t) T(t) = 0y

CompN(t) f 00(t) = f 00(t) N(t) = 1:

En nuestra discusión sobre las curvas hemos de…nido una curva como unafunción vectorial continua que tiene un intervalo como dominio. No hemos hechoninguna restricción respecto a la dimensión del espacio en el que se encuentra elrango de la función. Consecuentemente, la teoría desarrollada hasta este puntose aplica a una curva en un espacio de dimensión cualquiera. Sin embargo, losejemplos discutidos nos muestran claramente que nuestro interés principal estáen las curvas en R2 o R3.

Si C

es una curva en R2 y T = (a; b) es un vector tangente unitario a C

enalguno de sus puntos, es fácil ver que el vector unitario normal principal N eneste punto debe ser o T? = (b; a) o T? = (b; a).

Restringimos ahora nuestra atención a las curvas en R3. El plano que pasapor f (t) determinado por los vectores T(t) y N(t) se llama plano osculador 1 de

1 El nombre proviene de la palabra latina osculum que signi…ca beso.

41


42/56

C en f (t). El vector B(t) = T(t) N(t) se llama vector binormal y es un vectorunitario normal al plano osculador. En cada punto f (t) de

C los vectores T(t),

N(t) y B(t) forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales.Por ejemplo, en cada punto f (t) de la hélice descrita por f =

cos; sen; 12I

(ejemplo 17) tenemos

T(t) = 2p

5

sen t; cos t; 12N(t) = ( cos t; sen t; 0)B(t) =

1p 5

(sen t; cos t; 2) :

Y una ecuación del plano osculador es

x sen t

y cos t + 2z = t:

Ejemplo 18 Demuestre que si una curva C se encuentra en el plano P en R3entonces el plano osculador en cualquier punto de C es P .Solución. Sea P = fPjP n = cg y supongamos que C está descrita por lafunción f . Como C P , para cada t 2 Df , f (t) n = c. Diferenciando una veztenemos f 0(t) n = 0 y de aquí, T(t) n = 0. Diferenciando de nuevo tenemosT0(t) n = 0 y, por tanto, N(t) n = 0. Esto demuestra que n es ortogonal aT(t) y N(t). Además, f (t) pertenece a P y al plano osculador de C en f (t). Porlo tanto, estos planos deben coincidir.

3.11.1 Ejercicios

1. Determine T y N para cada una de las siguientes curvas:

(a) La parábola: x = p t2, y y = 2 p t:

(b) La elipse: f () = (a cos ; b sen ), 2 [0; 2]; a > 0; b > 0:(c) La rama de la hipérbola: x = a cosh t, y y = b senh t:

(d) La hélice cónica: f () = ( cos ; sen ;a) :

2. Sea C la curva descrita por la transformación f de [a; b]. Puede sucederque en un punto f (t0) de C donde f 0(t0) = 0, exista limt!t0 T(t). En estecaso de…nimos

T(t0) = limt!t0

T(t)

y a T(t0) se le llama vector unitario tangente a

C en f (t0). Determine la

recta tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados:

(a) f (t) =

t3; t3

para t = 0

(b) f (t) =

3t2; 2 + 8t2; 5t2 para t = 0(c) f (t) =

t2; t3; t4

para t = 0 y t = 1:

42


43/56

3. Cada una de las siguientes es una regla de correspondencia descrita porel movimiento de una partícula donde t es el tiempo. En t = 0 y t = 1

determine la velocidad, la rapidez y las componentes normal y tangencialde la aceleración.

(a) f (t) = (10sen2t; 10cos2t)

(b) f (t) = (10cos2t; 10sen2t)

(c) f (t) =

cos t2; sen t2

(d) f (t) = et

cos 2 t; sen 2 t

4. Si C es una curva en R3 descrita por f demuestre que

B = f 0 f 00jf 0 f 00j

N = BT = (f 0 f 00) f 0j(f 0 f 00) f 0j :

5. Si una curva está descrita por f (t) =

t; t2; t3

, determine T(t), N(t), B(t)y el plano osculador cuando t = 0 y t = 1.

6. Determine T(t), N(t), B(t) y el plano osculador para las curvas descritasa continuación:

(a) f (t) = (t cos t; t sen t; t)

(b) f (t) = (t sen t; 1 cos t; t)7. Si C es una curva en R3 y B0(t) existe, demuestre que B0(t) es paralela a

N(t).

3.12 Curvatura y torsión

Se supone en toda esta sección que C es una curva lisa descrita por una transfor-mación f de [a; b]. El objetivo de esta sección es de…nir una medida del pandeode la curva C en un punto. Sean f (t0) y f (t1) dos puntos en C.

Entonces, T(t0) y T(t1) son los vectores unitarios tangentes a C en los puntosf (t0) y f (t1) respectivamente (ver la …gura 12). La cantidad jT(t1) T(t0)j esuna medida de cuánto ha cambiado la dirección de la curva entre f (t0) y f (t1).En realidad

jT(t1)

T(t0)

j2 =

jT(t1)

j2

2T(t0)

T(t1) +

jT(t0)

j2

= 2 (1 cos ) =

2sen

2

2;

donde es el ángulo entreT(t0) y T(t1) (ver …gura 13). Observe que

2sen 22

2 para pequeño.

43


44/56

Figure 12: Curvatura.

Figure 13: Curvatura.

44


45/56

Como la longitud del arco de C desde f (t0) hasta f (t1) es jl(t1) l(t0)j, elcambio promedio de dirección por unidad de distancia sobre este arco es

jT(t1) T(t0)jjl(t1) l(t0)j : (21)

Para obtener la razón instantánea del cambio de dirección con respecto a ladistancia a lo largo de la curva en el punto f (t0), hacemos que t1 se aproxime at0. Si f

00(t) existe, entonces el límite de la ecuación 21 cuando t1 se aproxime a

t0 también existirá. Este límite es jT0(t0)j

l0(t0) y se llama curvatura (t0) de C en

f (t0). Así, la curvatura (t0) de C en f (t0) se de…ne como

(t0) = jT0(t0)j

l0(t0) =

jT0(t0)jjf 0(t0)j : (22)

Ejemplo 19 Determine la curvatura de la circunferencia

C(0; r) = f(r cos t; r sen t)j t 2 [0; 2]g :Solución. C(0; r) está descrita por la función f , donde

f (t) = (r cos t; r sen t) :

Entoncesf 0(t) = (r sen t; r cos t)

yf 00(t) = (r cos t; r sen t) :

Por tanto,

jf 0(t)j = r; T(t) = 1rf 0(t); T0(t) = 1

rf 00(t);

y como

jT0(t)j =1r f 00(t)

= 1r jf 00(t)j=

1

r

p r2 cos2 t + r2 sen2 t

= 1

rr = 1;

la curvatura es

(t) = jT0(t)j

jf 0(t)

j =

1

r:

De…nimos el radio de curvatura (t) de una curva C en el punto f (t) comoel recíproco de la curvatura en ese punto:

(t) = 1

(t): (23)

45


46/56

En vista del resultado del ejemplo 19, el radio de curvatura (t) de C en f (t) esel radio de una circunferencia que tiene curvatura (t). El punto f (t)+ (t)N(t)

se llama centro de curvatura de la curva C correspondiente al punto f (t), y lacircunferencia de radio (t) y centro el centro de curvatura se denomina círculode curvatura o círculo osculador de C correspondiente a f (t).

Como = jT0j

l0 , la ecuación 20 , página 40, puede escribirse como sigue:

f 00 = l00T + l02N; (24)

o, lo que es equivalente,

d2x

dt2 =

d2s

dt2T +

1

ds

dt

2N

donde x

= f

(t) y s = l(t).Ejemplo 20 Encuentre la curvatura de la cúbica alabeada C descrita por f (t) =(t; t2; t3) en el punto (1; 1; 1).

Solución. El punto (1; 1; 1) corresponde a t = 1. Usaremos la ecuación 24 paracalcular (1).

f 0(t) =

1; 2t; 3t2

; f 0(1) = (1; 2; 3); l0(1) =p

14

f 00(t) = (0; 2; 6t) ; f 00(1) = (0; 2; 6) ;

T(1) = f 0(1)jf 0(1)j =

1p 14

(1; 2; 3):

Entonces, usando la ecuación 24

l00(1) = f 00(1) T(1) = (0; 2; 6) 1p 14

(1; 2; 3) = 22p

14

y

(1)l02(1)N(1) = f 00(1) l00(1)T(1)= (0; 2; 6) 2214(1; 2; 3)= 17(11; 8; 9):

Por tanto,(1) = 198 j(11; 8; 9)j = 198

p 266:

Ejemplo 21 Si C es la grá…ca de una función g , demuestre que

= jg00jh

1 + (g0)2i3=2 :

46


47/56

Solución. Supongamos que la curva C está descrita por la función f = (I; g).Derivando, tenemos f 0 = (1; g0) y f 00 = (0; g00). Entonces, Utilizando la ecuación24

l00 = f 00 T = (0; g00) (1; g0)

(1 + g02)1=2

= g0 g00

(1 + g02)1=2

y

l02N = f 00 l00T = (0; g00) g0 g00

(1 + g02)1=2(1; g0)

(1 + g02)1=2

= (g0 g00; g00)

1 + g02

:

Por tanto,

= 1

(1 + g02)2 j(g0 g00; g00)j = jg

00j(1 + g02)3=2

:

Supongamos ahora que C es una curva en R3 descrita por f y que el vectorbinormal B(t) es diferenciable en todos los puntos f (t). En f (t) el vector

B0(t)l0(t)

describe la razón de cambio del vector binormal respecto a la distancia a lo largo

de la curva. Como este vector B0(t)

l0(t) es paralelo a N(t) (ver ejercicio 7, página

43), es igual a un número real por N(t). El inverso aditivo de este número

se llama torsión de C en f (t) y se denota por (t). Es decir, la torsión estáde…nida por la relaciónB0 = l0N: (25)

Como la binormal de una curva plana es constante (ver ejemplo 18, página42), la torsión de una curva tal es cero. Si una curva no es una curva plana,entonces la torsión da una medida del torcimiento de la curva respecto al planoosculador.

Por ejemplo, en el caso de la hélice descrita por f =

cos; sen; 12I

, tenemos

N = ( cos; sen; 0), B = 1p 5

(sen; cos; 2), B0 = 1p 5

(cos; sen; 0) y l0 = 12p

5.

Sustituyendo en la ecuación 25, obtenemos

1p 5

(cos; sen; 0) =

1

2

p 5 (

cos;

sen; 0)

de donde = 25 .Nota : En la mayoría de los casos, la fórmula del ejercicio 8 da un método

más conveniente para obtener .

47


48/56

3.12.1 Ejercicios

1. Deduzca la fórmula siguiente para la curvatura de la curva descrita por f :

=

q jf 0j2 jf 00j2 (f 0 f 00)2

jf 0j3 :

Sugerencia : utilice la ecuación 24.

2. Si C es una curva en R3 descrita por f , deduzca la siguiente fórmula parala curvatura

= jf 0 f 00j

jf 0j3 :

3. Determine la curvatura para cada una de las siguientes curvas:

(a) La recta: x = P0 + ta

(b) La elipse: f () = (a cos ; b sen ), 2 [0; 2]; a > 0; b > 0(c) La hélice cilíndrica: f (t) = (cos t; sen t; t)

(d) La hélice cónica: f () = ( cos ; sen ; )

4. Sea g la función real con segunda derivada en [; ] y sea C la grá…ca polarde r = g(). Deduzca la siguiente fórmula para la curvatura de C:

=

g2 + 2g02 gg00(g2 + g02)3=2

:

5. Determine la curvatura de las curvas que tienen las siguientes ecuacionespolares:

(a) La espiral de Arquímedes: r = a:

(b) La cardioide: r = 1 + cos :

6. Demuestre que

(a) T0 = l0N

(b) N0 = l0T + l0B:Nota : Las dos fórmulas de este problema junto con la fórmula 25 seconocen como las fórmulas de Frenet, por el matemático francés F.Frenet. Juegan un papel importante en la geometría de las curvas en

el espacio.

7. Si C es una curva en R3 descrita por f , utilice la ecuación 24 y el ejercicio6 para demostrar que

f 000 =

l000 2l03T + 3l0l00 + 0l02N + l03B48

Funciones vectoriales de variable real - Zaldivar

Documents

Transcript of Funciones vectoriales de variable real - Zaldivar