FUNCIONES - UNIDAD II
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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
UNIDAD 2
FUNCIONES
Estoy bien, estudio bien
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
FUNCIONES
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
A través del desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante identifique las
diferentes conceptos de las funciones, además de entender el funcionamiento de
las mismas de acuerdo a sus necesidades.
OBJETIVOS – PROBLEMAS
El estudiante desarrollarla destreza en los conceptos de funciones, graficas y
propiedades que le permitirán identificar en estas conceptos fundamentales
para aplicarlo en problemas relacionados a su ámbito laboral.
EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA
Concepto de Funciones
Herramientas para el estudio de las funciones
Características de las funciones matemáticas
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REFERENTES TEÓRICOS
Función
Cuando mencionamos en el contexto matemático a palabra función a veces
desconocemos que este concepto está muy ligado a nuestro ámbito cotidiano con
situaciones puntuales tales como cuando compras un artículo en una cadena de tienda
cuando utilizas el peso automático para pesar un producto y saber cuánto tienes que
pagar, cuando te acercas a la estación de gasolina y relacionas el dinero con la cantidad
de galones que le suministran a tu automóvil entre otros.
Teniendo esto en cuenta podemos decir que una función es una relación existente entre
dos conjuntos, el conjunto de partida y el conjunto de llegada con la condición de que
todo elemento del conjunto de partida debe estar relacionado con un y solo un
elemento del conjunto de llegada. A continuación ilustraremos algunos ejemplos cuando
es y cuando no es una función.
Identificación de una función con conjunto.
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En este caso el conjunto A que es el conjunto de partida se conoce con el nombre de
dominio de la función f y se representa con y está compuesto por todos los
aquellos números reales para los cuales se puede calcular su imagen.
El conjunto B que representa el conjunto de llegada también se conoce con el nombre
de Codominio y se simboliza con . El rango es un subconjunto del
dominio en el cual todo elemento de este se relaciona con al menos un elemento de
dominio, este se simboliza con
Nota
Una clara diferencia entre el rango y el dominio se puede evidenciar en los graficos
mostrados anteriormente .
En el grafico 1 el mientras que el
.
En el grafico 2 el mientras que el .
En el grafico 3 el mientras que el
.
En el grafico 4 el mientras que el
.
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De este suceso salen dos definiciones importantes.
Se dice que una funcion : es inyectiva cuando todo elemento del dominio le
corresponde un valor distinto en el codominio, es decir
existe tal que .
Se dice que una funcion : es sobreyectiva cuando el codominio es igual al
rango, es decir si .
Se dice que una funcion : es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
Identificacion de una funcion graficada en el plano cartesiano
Para identificar si una grafica en el plano cartesiano es un función se traza una linea
paralela al eje y, si esta toca la grafica en dos o mas puntos, entonces podemos afirmar
que la grafica correspondiente en el plano cartesiano no es una función, en caso
contrario lo sera.
Simplemente con observar el eje de abscisas de dicha gráfica podemos saber el dominio
de la función. Porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y
por ello le corresponde un punto de la gráfica.
Grafica 1.
La grafica 1 representa una función debido a que cumple con la condicion planteada,
debiido que si trazamos una linea paralera al eje Y obtenemos que esta solo e
inteceptada en un solo punto.
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Grafica 2.
La grafica 2 no es una funcion debido a que al pasar una recta paralela al eje y
encontramos que hay un punto en el eje x que tiene tres imágenes distintas en e eje y lo
cual no cumple la definicion de función.
Como encotrar el Dominio y el rango de una función graficada en el plano
cartesiano
Encontrar el dominio y el rango de una función en el plano cartesiano consiste en
trasladar a lo largo de sus ejes unas líneas paralelas a este, luego se verifica los puntos en
los cuales la línea en mención tiene salto en la grafica, o en otras palabras los puntos
que no permiten desplazar las rectas no pertenecen al dominio o al rango de esa
función.
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Grafica 3.
En la gráfica 3 observamos una línea verde que nos va a permitir encontrar el dominio
de la función, la cual desplazamos hacia la izquierda, esa línea se desplaza sin sufrir
ningún salto hasta el punto x=-5 por lo cual el dominios serán los números reales mayores
o iguales a -5, mientras que la línea roja nos permite identificar el rango de la función
estos es que el rango de la función que aparece en la gráfica serán los numero reales
menores o iguales a 3.
Ahora mostraremos una gráfica que presenta salto, la cual nos va a permitir observar
que sucede cuando se presenta esta situación.
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Grafica 4.
Aquí podemos notar que la gráfica presenta saltos, cuyos datos se encuentren en esos
salto los sacaremos del dominio y del rango respectivamente. Para el dominio se tiene
que la gráfica salta en dos partes , con lo cual el dominio queda conformado por los
números reales menos los números que están entre -2 y -1 menos los números que
están entre 4 y 5 en términos matemáticos .
Mientras que el rango será el conjunto de los números reales.
Como encontrar el Dominio y el rango en un polinomio
Para encontrar el dominio de un polinomio se deben tener en cuenta las siguientes pistas.
1. Si es un polinomio de grado n entonces su dominio serán los reales.
2. Si el polinomio esta dado en términos de una fracción entonces el dominio serán
los reales sacando los valores que hacen cero el denominador de la fracción, es
decir sacando las raíces del denominador.
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3. Si es un radical entonces hay que tener en cuenta los siguiente si el radical tiene
por índice un número impar entonces el dominio serán todos los números reales,
ahora si el radica tiene por índice un numero par, los valores de x que hagan el
radicando negativo no existirá la función. Para calcular el dominio de este tipo de
funciones resolvemos la inecuación f(x) >0, la solución de dicha inecuación ser el
dominio de la función
Operaciones entre funciones
Sea y se definen las siguientes
operaciones
Suma
Producto
Cociente
Compuesta
Nota
1. La composición defunciones no es conmutativa es decir .
2. La función reciproca o inversa de una función denotada por es aquella que
cumple la condición
Ejemplo 1
Sea y dos funciones definidas por
Entonces encontrar
a. b. c.
d. e.
f.
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Solución.
a. Aquí simplemente aplicamos la propiedad y se resuelve la suma de polinomios, esto es
de
donde
b. Aplicamos la propiedad del producto entre funciones, y luego se destrozan los
paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes
=
c. Aplicamos la propiedad de la composición de funciones, y luego se destrozan los
paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes
d. Aplicamos la propiedad de la composición de funciones, y luego se destrozan los
paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes
e. en este caso se aplica la propiedad del cociente de funciones, y luego se verifica a ver
si se puede simplificar las funciones que queda en el numerador con la del denominador
para así obtener un resultado.
f. aquí lo primero que se hace es encontrar la función la cual se encuentra
despejando x en termino de la función esto es
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Entonces
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD
Taller de Ejercicios
Evaluación Unidad.
RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE
Computador
Acceso a internet
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BIBLIOGRAFIA
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