2.2. Funciones Trascendentes.2.2.1. Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

Funciones Trascendentes

No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado

lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se

clasifican en: las trigonométricas y sus inversas, relacionadas con el triángulo

rectángulo; y las logarítmicas y exponenciales, más asociadas a una variación en

progresión geométrica (crecimiento poblacional, por ejemplo).

Definición:

Algebraicas

Funciones Logarítmicas

Trascendentes Trigonométricas

Exponenciales

Funciones Trigonométricas Directas.

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones

trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes

son las siguientes:

Función trigonométrica Directas: Las funciones trigonométricas son el resultado del

cociente de dos números (cateto sobre hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre

cateto). Esto hace necesario, para el dominio de definición, restringir el eje en aquellos

números que anulen el denominador.

Seno La función seno es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su seno

f (x) = sen x

Coseno La función coseno es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su coseno.

f(x) = cos x

Tangente La función tangente es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su tangente.

f(x) = tg x

Cotangente La función cotangente es la asociación entre

un ángulo dado x y el valor de su cotangente.

f(x) = cotg x

Secante La función secante es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su secante.

f(x) = sec x

Cosecante La función cosecante es la asociación entre

un ángulo dado x y el valor de su cosecante.

f(x) = cosec x

La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y

secante, y tangente con cotangente.

Dominio de las Funciones Trigonométricas Directas

Función Dominio Contradominio.

f(x) = sen x Todo eje real

- < x <

El denominador es la hipotenusa, la cual

siempre es diferente de cero, no así los

catetos del triángulo

f(x) = cos x Todo eje real.

- < x <

La misma razón que el primer caso.

f(x) = tg x Se restringe el dominio de manera que el

denominador debe ser cos x 0.

f(x) = cotg x Se restringe el dominio de manera que el

denominador debe ser sen 0.

También, tenemos que:

;

f(x) = sec x Se restringe el dominio de manera que el

denominador cos x 0.

f(x) = cosec x Se restringe el dominio de manera que el

denominador sen 0.

Gráficas de las Funciones Trigonométricas Directas

Gráfica de y = sen x

Gráfica de y = cos x

Gráfica de y = tg x

Gráfica de y = cotg x

Gráfica de y = sec x

PERÍODO: π

DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma kπ, siendo k un entero.RANGO: R

Función impar (simétrica con respecto al origen).Función decreciente entre las asíntotas.Discontinua para kπ, siendo k entero.

PERÍODO: 2π

DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma π/2 + kπ, siendo k un entero.RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞)

Función par (simétrica con respecto al eje y).Discontinua en π/2 + kπ, siendo k entero.

Gráfica de y = cosec x

Función Exponencial.

Definición:

“Los términos exponenciales son en sí aquellas potencias cuya

base es un número fijo y el exponente es una variable”. En la siguiente

tabla se presentan algunos ejemplos de funciones exponenciales.

Función Título

f(x) = 10x Función exponencial de base 10

f(x) = 2x Función exponencial de base 2

Gráficas Exponenciales Típicas

PERÍODO: 2π

DOMINIO: Todos los números reales, con excepción de los de la forma kπ, siendo k un entero.RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞)

Función impar (simétrica con respecto al origen).Discontinua para kπ, siendo k entero.

Función exponencial: sea un número real positivo y distinto de 1. Definimos la

función exponencial de base como aquella que tiene la forma:

en donde x es cualquier número real.

Es útil comparar las gráficas de trazando ambas en

el mismo sistema coordenado (figura 34.a). La gráfica de:

(Figura 34.b)

se parece mucho a la gráfica de y = 2x y la gráfica de:

(Figura 34.b)

se perece mucho a la gráfica de . Nótese en ambos casos que el eje x

es una asíntota horizontal que nunca toca las gráficas.

1

a

OBSERVACIONES:

8

6

4

2

-2 -1 0 1 2

y = 2x

xx

y

2

2

1

y

Dominio = R Contradominio = (0,)

Tipo básico 1 Tipo básico 2

y = ax

0< a< 1

y = ax

a > 1

b

y

Note que cuando la base a es mayor que 1, la función

exponencial  (figura a) no está acotada superiormente. Es decir, 

crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero

como extremo inferior. Esto es,  tiende a cero (0), cuando x toma valores

grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base 0 < a < 1, la función exponencial 

(figura b) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores

grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,  crece sin límite, al tomar x

valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma

valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial  con a > 1, estrictamente

creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función

exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la

función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la

función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación

decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función

exponencial  , se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente,

se denota por Exp(x) =  . Se llaman funciones exponenciales a las

a b

funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es

constante (un número) y el exponente la variable x.

Dominio y Contradominio de la Función Exponencial.

Función exponencial de

base a

Dominio Contradominio

Todo número real - < x < 0< y <

EJERCICIOS: Calcule el dominio y contradominio de las siguientes

funciones. Realizar la gráfica de las funciones.

1) f(x) = (1/3)x

2) f(x) = 5x

RESUMEN: La función exponencial

Definición.-Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x le asigna la potencia ax se denomina función exponencial de base a.

Funciones exponenciales Df: - ∞<x<∞

Cf: 0<y<∞

  f(x) = ax (0<a<1) f(x) = ax (a>1)

Propiedades:

ax > 0 para todo x є R. La función exponencial de base a>1 es estrictamente creciente, mientras que la de base a<1 es estrictamente decreciente. La función exponencial de base mayor que 1 no está acotada superiormente aunque si lo está inferiormente en R. Si  0 < a < 1 la función exponencial de base a no está acotada superiormente aunque si lo esta inferiormente en R.  Si  0 < a < b  entonces:   ax < bx  si x > 0     y  bx < ax  si  x < 0.

Cualquiera que sea el número real positivo y existe un único número real x tal que ax = y. El número x se llama logaritmo en base a de y y se representa

 

Función exponencial:

, , Donde

. Esta función es creciente en todo

su dominio si y decreciente si

.

La imagen de es .