funciones topologicas continuas

5/17/2018 funciones topologicas continuas - slidepdf.com

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Capıtulo 3

Funciones continuas

3.2. Homeomorfismos e inmersiones

Consideremos la funcion f : (−π

2,

π

2) −→ R definida por f (x) = tan−1 x.

Es bien sabido que la funcion f es continua, uno a uno y sobreyectiva, ademas,

que su inversa, la co-restriccion de la funcion tangente al intervalo (−π

2,

π

2),

tambien es una funcion continua. Esta funcion f con estas caracterısticas

nos permite pasar del espacio topologico (−π

2,

π

2) al espacio topologico R

sin perder informacion alguna. En otras palabras, gracias a la funci on f ,

conocemos la topologıa de uno de los espacios una vez conocemos la topologıadel otro.

En el fondo, aunque los dos espacios son en apariencia distintos, son elmismo espacio. Los conjuntos abiertos, cerrados, las adherencias, los interi-ores o los puntos de acumulacion en uno de los espacios tienen su contraparteen el otro y la funcion f es el puente para pasar de uno de los espacios al

otro. Diremos que el intervalo (−π

2,

π

2) y el espacio R son homeomorfos y

que la funcion f es un homeomorfismo.

En general tenemos la siguiente definicion.

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3.2.1 Definicion. Sean X y Y espacios topol´ ogicos. Una funci´ on f : X −→

Y es un homeomorfismo si f es continua, uno a uno y sobreyectiva y f −1

tambien es continua.Si existe un homeomorfismo f : X −→ Y decimos que los espacios X y Y

son homeomorfos.

Es inmediato que una funcion continua f : X −→ Y es un homeomorfis-mo si y solo si existe una funcion continua g : Y −→ X tal que g ◦ f =idX yf ◦ g =idY , donde idX y idY son las funciones identidad de X y Y , respecti-vamente.

Notese que la condicion de que f −

1 sea continua es equivalente a afirmarque f es una funcion abierta, esto es, que aplica conjuntos abiertos en con-

juntos abiertos, o a afirmar que f es una funcion cerrada, es decir, que aplicaconjuntos cerrados en conjuntos cerrados.

En resumen, una funcion f : X −→ Y es un homeomorfismo si es uno auno, sobre, continua y abierta (o cerrada).

Con esta observacion en mente resulta ser un facil ejercicio demostrar elsiguiente resultado.

3.2.2 Proposicion. Si X y Y son espacios topol´ ogicos y f : X −→ Y esuna funci´ on uno a uno y sobreyectiva, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. f es un homeomorfismo.

2. Si A ⊂ X , entonces f (A) es abierto en Y si y s´ olo si A es abierto en X .

3. Si K ⊂ X , entonces f (K ) es cerrado en Y si y s´ olo si K es cerradoen X .

4. Si M ⊂ X , entonces f (M ) = f (M ).

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3.2.3 Observacion. La relaci´ on ∼ definida en los espacios topol´ ogicos por

X ∼ Y si y s´ olo si X y Y son homeomorfos es una relaci´ on de equivalencia.Esto justifica el hecho de que veamos dos espacios topol´ ogicos homeomorfoscomo el mismo espacio. La relaci´ on “ser homeomorfos” nos permite conocer un espacio topol´ ogico por sus caracterısticas relevantes (aquellas que lo hacen ´ unico) y no por los nombres de sus elementos.

Cuando en la observacion anterior hablamos de “caracterısticas relevantes”de un espacio nos estamos refiriendo a las propiedades topol´ ogicas del espacio.Una propiedad topol´ ogica es aquella que si la posee un espacio X , la poseetambien cualquier espacio homeomorfo a X .

Que los conjuntos unitarios de un espacio topologico sean conjuntos cer-rados es un ejemplo de una propiedad topologica.

Si f : X −→ Y es una funcion continua y uno a uno y si f −1 : f (X ) −→ X

tambien es continua entonces X y f (X ) son homeomorfos. En este casodecimos que la funcion f es una inmersi´ on de X en Y o que X esta inmersoen Y . En terminos practicos, podemos pensar en X como un subespacio deY .

La inclusion de un subespacio en un espacio topologico es el ejemplo mas

inmediato que se puede presentar de una inmersion.

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Ejercicios

1. Sean X y Y espacios topologicos y f : X −→ Y una funcion unoa uno y sobreyectiva. Demuestre que las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

a ) f es un homeomorfismo.

b) Si A ⊂ X , entonces f (A) es abierto en Y si y solo si A es abiertoen X .

c) Si K ⊂ X , entonces f (K ) es cerrado en Y si y solo si K es cerradoen X .

d ) Si M ⊂ X , entonces f (M ) = f (M ).

2. Pruebe que la relacion∼ definida en los espacios topologicos por X ∼ Y

si y solo si X y Y son homeomorfos es una relacion de equivalencia.

3. Muestre que cada intervalo abierto (a, b) en R, con a > b es homeomorfoal intervalo (0, 1).

4. Muestre que cada intervalo cerrado [a, b] en R, con a > b es homeomorfoal intervalo [0, 1].

5. Defina un homeomorfismo de N con la topologıa discreta en Z tambiencon la topologıa discreta.

6. Sean τ 1 y τ 2 dos topologıas definidas sobre el mismo conjunto X . Pruebeque la funcion identica IdX : (X, τ 1) −→ (X, τ 2) es un homeomorfismosi y solo si τ 1 = τ 2.

7. Pruebe que la propiedad de que cada funcion continua de valor real so-bre un conjunto X tome un valor maximo es una propiedad topologica.

8. Utilice el ejercicio anterior para probar que [0, 1] y R no son homeo-morfos.

9. Muestre que la funcion f : R+−→ R definida por f (x) = −x es una

inmersion.

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