funciones lineales
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Cuando recibís la factura de tu celular, podés ver que el abono que pagás a fin de mes está formado por un valor fijo y otro variable
que depende de la cantidad de minutos que hablaste.
Con esta información podemos encontrar la relaciónentre los minutos que hablamos
y el costo a pagar.
C fijos = $18C variables = $0,20 cada minuto
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En primer lugar debemos ponernos de acuerdosobre cuáles son las variables.
t: es la letra con la que identificaremos el tiempoque vamos a hablar, es decir, la cantidad de
minutos que usaremos el teléfono.El costo, por supuesto, depende
del tiempo que hablamos.
EL COSTO DEPENDE DEL TIEMPO
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Es por esto que el costo es la variable dependienteY el tiempo es la variable independiente.
Veamos algunos casos en particular:
Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18 C = $8,4+$18 C = $26,40
Si t = 50 minutos C = $0,20•50+$18 C = $10+$18 C = $28
Si t = 120 minutos C = $0,20•120+$18 C =$24 +$18 C = $42
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Generalizando:Costo C= 0,20.t +18
(donde t son los minutos hablados)
Esto que acabamos de encontrar es la fórmula matemática
para relacionar tiempo con costoen nuestra factura telefónica.
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La característica particular que tienen las funciones lineales es que a variaciones iguales de x, corresponde siempre
la misma variación en y.
Cada vez que x aumenta 1y aumenta 2
-2 1 2-1 0
6
4
2
8
x
y
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1 2 3
Veamos otros ejemplos:
Si x aumenta 1, y disminuye 1
y
x aumenta de 1 a 2
x aumenta de 2 a 3
y disminuye de 4 a 3
y disminuye de 3 a 2
3
4
2
x
Es función lineal
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9
1
4
1 2 3
Δ y = 1 = 1 Si x aumenta de 0 a 1 Δ x 1 y aumenta de 0 a 1
Como puede verse Δ y no es constante Δ x
No es función lineal
Δ y = 3 = 3 Si x aumenta de 1 a 2 Δ x 1 y aumenta de 1 a 4
Δ y = 5 = 5 Si x aumenta de 2 a 3 Δ x 1 y aumenta de 4 a 9
x
y
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Se llama función lineal a la relación entre variablestal que su expresión sea:
y = m x + b
Dónde m: pendiente
b: ordenada al origen
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¿Qué es la pendiente?
m = Δ y variación en y Δ x variación en x
A
B
C
D
∆y
Siendo Δy = yB – yA= y D – y C
Δx = xB – xA= x D – x C
∆x
∆y
∆x
x
y
En la función lineal la relación entre ∆y/∆x es siempre la misma para cada recta
Es la relación:
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En las funciones lineales existe una relación entre la
variación de la variable independiente x y la variable dependiente y,que se mantiene constante.
A esa relación se la llama pendiente
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¿Qué es la ordenada al origen?
En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y,
y=mx+
y
x
b
b
Eje de abscisas
Eje de ordenadas
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y = m x + b
m: pendiente
b: ordenada al origen
x
y
(Forma explícita)
b
raíz
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La pendiente m se asocia a la inclinación de la recta
m + m -
x
y
x
y
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CASOS ESPECIALES DE RECTAS
x = -2 x =1
x = k(no son funciones)
y = k(sí son funciones)
y =-1
y =1
y =2
y =3
x
y y
x
x = -1 x =2 x =3
Rectas verticales Rectas horizontales
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CÓMO GRAFICAR UNA RECTA
Existen varias formas de hacerlo:
A)Utilizando una tabla de valores
B)Ubicando la ordenada al origen y usando el concepto la pendiente
1-xy 32Supongamos que queremos graficar la recta:
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A - Utilización de la tabla de A - Utilización de la tabla de valoresvalores
En este caso vamos a asignarle valores a la variable x, reemplazamos en
la función, y obtenemos el valor de la variable y. Con estos valores
formamos puntos (x;y) que luego ubicamos sobre el sistema de ejes cartesianos. Veamos como hacerlo:
Vamos a graficar la recta
tomo valores de x (los que quiera), y los reemplazo en la función:
1-xy 32
x 1-xy 32
-3 1--21-(-3)y 32
-1 1--1-(-1)y 32
32
0 1-01-0y 32
1 1-1-1y 32
32
3 1-21-3y 32
(-3;-3)
)(-1;- 35
(0;-1))(1;- 3
1
(3;1)
y)(x;
35
1311
3
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Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:
(-3;-3)
(x; y)
)(-1;- 35
(0;-1))(1;- 3
1
(3;1) 3
3
1
35
131
13
1
y
x
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B- Utilización de la ordenada al origen y la pendiente
También se podría graficar usandola ordenada al origen (b) que es donde la recta corta al eje y.Lo ubico sobre el eje y:
1-xy 32
x
y
-1 (b)
La pendiente me indica la variación en y (∆y), desde allí subo 2 unidades:
La pendiente también indica la variación en x (∆x), desde esta ultima posición me desplazo 3 unidades hacia la derecha.
Y allí encuentro otro punto para trazar la recta.
∆y=2
∆x=3
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CONDICIÓN DE PARALELISMO
R1
R2
Sean R1 y = m1 x + b1
m1 = m2x
y
R2 y = m2 x + b2
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R1
R2
Sean R1 y = m1 x + b1
R2 y = m2 x + b2
m1 .m2 = -1Ó
m2 = 1 m1
x
y Debe cumplirse:
La pendiente de una de las rectas, debe ser opuesta e inversa con la otra pendiente.
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Cómo hallar la ecuación de una recta
Supongamos que conozco dos de lospuntos por donde pasa una recta:
P1 (2; 4) P2 (-1; -3)
Y quiero conocer la ecuación de lafunción lineal
y = m x + b4
-1
-3
2
y
x
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Método A:Sé que la recta debe incluir a los puntos
P1 (2;4)P2 (-1;-3)
reemplazo entonces por ambos puntos en la fórmula de la recta , y = m x + b, ubicando el primer valor del par en x y el segundo en y (2;4) 4 = m . 2 + b 4 = 2 m + b Ecuación I (-1;-3) -3 = m. (-1) + b -3 = -m + b Ecuación II despejo b de ecuación II
b = -3 +m Ecuación III Reemplazo en ecuación I
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Continuación:
4 = 2 m + (- 3 + m)
4 = 2 m - 3 + m
4 + 3 = 2 m + m
7 = 3 m
7 : 3 = m
reemplazo en ecuación IIISi
Con lo que queda:
7m=
37m=
3operando7 2
b=-3+ b=-3 3
7 2y= x-
3 3
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Método B:Sé que la recta debe incluir a los puntos:
P1 (2; 4)P2 (-1;-3)
También sabemos que la pendiente “m” es la variación en y sobre la variación en x y
m=x
ó
Reemplazo con los valores de los puntos:
2 1
2 1
y ym=
x x
con lo que queda-3-4 7m= m=
-1-2 3
Con lo que la ecuación quedaría:7
y= x+b3
Todavía falta conocer el valor de b, para hacerlo puedo usar alguno de los puntos que tenia como dato, reemplazando en el x e y de la expresión I, usaré el (2;4):
I
operando despejando b con7 14 14 24 2 b 4 b 4 b b=-
3 3 3 3
Con lo que resulta:7 2
y= x-3 3
![Page 26: funciones lineales](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062513/556d58dfd8b42a6b4d8b46c8/html5/thumbnails/26.jpg)
¿Qué es la raíz, y como la obtengo?
En cualquier tipo de función (no solo función lineal), se llama raíz, al punto donde la gráfica corta al eje X.
y
x
raíz
Cualquier punto que se encuentre sobre el eje x, tiene coordenada en y=0, por lo tanto la raíz tendrá coordenadas (x;0), veamos como averiguar el valor de x:
reemplazo y=0 en la ecuación de la recta 0=mx+b, Despejo x: -b=mx
-bx=
m
(x;0)
![Page 27: funciones lineales](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062513/556d58dfd8b42a6b4d8b46c8/html5/thumbnails/27.jpg)
Forma implícita de la rectaForma implícita de la recta
La forma explicita, y=mx+b, no es la única forma de expresar una función lineal, otra de ellas es la forma implícita, que tiene la siguiente forma:
Ax+By+C=0
Donde A,B,C son números enteros.
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Forma segmentaria de la Forma segmentaria de la rectarecta
Otra forma útil de expresar la ecuación de la recta, es la segmentaria, que tiene la siguiente estructura:
x y1
p q
Donde p es la intersección con el eje x (raíz); y q es la intersección con el eje y (ordenada al origen)
y
x
q
p