Funciones Inversas y Sus Derivadas
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FUNCIONES INVERSAS Y SUS DERIVADAS RECORDAR . UNA FUNCION es una regla que asigna un único valor y de su rango o condominio a cada punto x de su dominio ,geométricamente significa que toda recta vertical corta a la grafica de f exactamente en un solo punto EXIXTENCIA DE FUNCIONES INVERSAS Para decidir si una funcion tiene inversa la funcion debe ser inyectiva o uno a uno FUNCIONES INYECTIVAS Una funcion f(x) es inyectiva en su dominio D si para
)()( 2121 xfxfqueimplicaxx ≠≠
Esto equivale a la condición geométrica o criterio grafico de la recta horizontal para decidir si una funcion tiene inversa es que
toda recta horizontal corte a la grafica de f a lo mas en un punto
Este criterio es difícil cuando no se conoce la grafica
Un criterio mas practico es que la funcion sea estrictamente monótona es decir f debe ser creciente o decreciente en su dominio Teorema : Si f es estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa
Dos funciones f y g son inversas una de otra si : La funcion compuesta entre f y g satisface las igualdades f(g(x))=x para todo x en el dominio de g y g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f se nota g como como (se lee inversa de f ) 1−f
---------------------------------------------------- COMENTARIOS : Si es la inversa f entonces también f es la inversa de 1−f 1−f ,es decir ff =−− 11 )(
El dominio de f debe ser idéntico al recorrido de 1−f y viceversa
La notacion de inversa con el símbolo -1 es diferente del exponente -1 es decir no es 1/f(x) 1−f
Por lo tanto la funcion compuesta de f y de 1−f en cualquier orden debe ser la funcion identidad
xffo =−1 y xff o =−1
Podemos pensar en f -1 como la funcion que actúa deshaciendo lo hecho por f Por ejemplo
1-la resta deshace la suma Si Cxxf +=)( entonces Cxxf −=− )(1 2- La división deshace la multiplicación f Cxx =)( entonces
0,1 ≠=− cconcxf
3- La radicación deshace la potenciación 2)( xxf = entonces xf =−1 con x>0
La grafica de es una reflexion de la grafica de 1−f f con respecto a la línea y=x
TEOREMA
la grafica de f contiene el punto (a, b) si y solo si la grafica de 1−fcontiene el punto (b, a) Si (a, b) esta en la grafica de f entonces baf =)( y por lo tanto
por lo tanto (b, a) esta en la grafica de aaffbf =−=− ))(()( 11 1−f
Método para hallar analíticamente la función inversa de otra 1 se despeja la variable x es decir se resuelve la ecuación y=f(x) en términos de y
2. La expresión que resulta en y se le llama )(1 yf −
3Se intercambia la x por la y para obtener )(1 xf − EJEMPLOS Hallar la inversa de
62 += xy
Solución Como y=f(x) es una funcion creciente entonces tiene inversa Se despeja x de la ecuación y se obtiene
)(2
)6( 1 yfyx −=−=
Ahora se intercambia x por y y la inversa es:
)(2
)6( 1 xfxy −=−=
Y comprobando con la compuesta entre f y )(1 xf −
xxxxfxff ==−+=+= −−
22
2)662()62())(( 11
xxxxfxff =+−=+−=−=− 6662
)6(2)2
)6(())(( 1
Las graficas correspondientes son
EJEMPLO
Hallar la inversa de 32)( −= xxf Solución : Se observa que f es creciente en todo su dominio, para hallar la ecuación de la inversa se hace y=f(x) y se despeja x en términos de y
32 −= xy se eleva al cuadrado en ambos lados
322 −= xy se despeja x
)(2
3 12
yfyx −=+= se intercambia variables
)(2
3 12
xfxy −=+=
Y como el recorrido de f es el intervalo ),0[ ∞ se define ese intervalo como
dominio de 1−f
)(2
3 12
xfxy −=+= con 0≥x
Las graficas de las inversas son :
EJEMPLO. ersa de Hallar la inv
132 +x)(
−=
xxf
Solución uno en los intervalos ),1(),1,( ∞−∞f es uno a es decir el dominio son los
Entonces si
números reales diferentes de 1
132 +x
−=
xy resolviendo
o despejando x se tiene 32)1( +=− xxy multiplicando
32 +=− xyyx factorizando x 32 +=− yxyx 3)2( +=− yyx
)(23 1 yf
yyx −=−+= intercambiando variables
)(23 1 xf
xxy −=−+= si x distinta de 2
as rectas verticales verde y rojas son las respectivas asuntotas
AS CON DOMINIO RESTRINGIDO
OTA : Para funciones que no tienen inversa en su dominio natural se
L INVERS Nrestringe el dominio a un conjunto donde la grafica sea creciente o decreciente
Por ejemplo para la funcion 2xy = no tiene inversa porque no es inyectiva porque para 2 puntos distint 2 las imágenes no son distinta porque
sa
os , 2 y -f(2)= 4 y f(-2)= 4 entonces restringiendo el dominio a 0≥x (0 también a
0≤x entonces 2xy = con 0≥x es inyectiva por lo tanto tiene inver x y= y
haciendo cam variables resulta bio de xy = las graficas son
Ejemplo
a funcion f(x)=sen x no es inyectiva en todo su dominio porque L
)()0( πsensen = , y )6
()6
( 5ππ sensen = entonces se restringe el dominio
al intervalo ]2
,2
[ ππ−y así la funcion es inyectiva y tiene inversa y se llama
)()(1 xnxsen =− sus graficas son : cosear
TEOREMAS DE LA FUNCION INVERSA Suponga que la funcion f es continua y creciente en el intervalo cerrado [a, b] entonces : (i) f tiene inversa definida en [f(a),f(b)] (ii) es creciente en [f(a),f(b)] 1−f(iii) es continua en [f(a),f(b)] 1−f Suponga que la funcion f es continua y decreciente en el intervalo cerrado [a, b] entonces : (i) f tiene inversa definida en [f(a),f(b)] (ii) es decreciente en [f(a),f(b)] 1−f(iii) es continua en [f(a),f(b)] 1−f DERIVADA DE LAS FUNCIONES INVERSAS La relacion enre las pendientes de las graficas de las inversas también es reciproca Si la pendiente de y=f(x) en el punto (a, f(a) es 1m 0)(' ≠af entonces la
pendiente de en el punto correspondiente (f(a),a) es 2m )(1 xf −=y)('
1af
Es decir la derivada de en 1−f )(af es igual al reciproco de la derivada de aenf
TEOREMA REGLA DE LA DERIVADA DE INVERSAS Si f es una funcion derivable y estrictamente monótona (creciente o decreciente) en el intervalo I y 0)(' ≠xf para toda x de I entonces es 1−fderivable (es decir existe la derivada de 1−f en el punto correspondiente
)(xfy = o en el intervalo f [I] y es :
)('1)()'( 1
xfyf =−
También se puede escribir como :
dxdydy
dx 1= donde )(1 yfx −=
EJEMPLO :
Halle la derivada de la inversa de 121)( += xxf
22)(1 −=− xxf entonces
)121()( += x
dxdxf
dxd
es decir 21)(' =xf y
)22()(1 −=− xdxdxf
dxd
es decir 2)()'( 1 =− xf
EJEMPLO
2)( xxf = entonces xf =−1 con x>0 mostrar que las pendientes de las
graficas de f y de son inversa en los puntos 1−fa) (2,4) y (4,2) b) (3,9) y (9,3)
Solucion Las derivadas de f y de 1−f son
xxf
xxf
21)()(
2)(''1 =
=
−
a) en (2,4) la pendiente de la grafica de f es
41
)2(21
421)4()(
4)2(2)2(''1 ===
==
−f
f en el punto (4,2)
b) b) en (3,9) la pendiente de la grafica de f es
61
)3(21
921)9()(
6)3(2)3(''1 ===
==
−f
f en el punto (9,3)
Entonces en ambos casos las pendientes son reciprocas EJEMPLO Halle la derivada de la inversa de 2)( 3 −= xxf en x=6 =f(2) sin hallar
)(1 xf − solo aplicando el teorema Soluciòn Se deriva f y se calcula en 2
12)4(3)2('3)(' 2
===
fxxf
Por lo tanto la derivada de la inversa calculada 6 es
121
)('1)()( '1 ==−
xfxf
121
)2('1)6()( '1 ==−
ff
EJERCICIO HALLAR LARECTA TANGENTE A LA GRAFICA DE UNA FUNCION INVERSA Halle la ecuación de la recta tangente a la grafica de )(1 xfy −= en el puntos=3donde
5)( 3 −= xxf Solución
3)2(3)(' 2
==
fxxf
Entonces y por el teorema 2)3(1 =−f
121
)('1)()( '1 ==−
yfxf
121
)2('1)3()( '1 ==−
ff de modo que la recta tangente tiene de pendiente
121=m y pasa a través del punto cuyas coordenadas son x=3 y
por lo tanto la ecuación de la recta tangente es 2)3()( '1 =−f
2)3(121 +−= xy
Sin embargo hallando la funcion inversa es 31
1 )5()( +=− xxf Diseño y elaboración de CLARA CASTILLO Y JORGE RINCON