CLASE 20 PARTE 1: FUNCIÓN IMPLÍCITA. Definición.

Caso de una sola ecuación.

Dada una ecuación en dos variables

y dado un punto que la verifica:

se llama FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCALEN TORNO DEL PUNTO atal que:

EJEMPLO DE FUNCIÓN IMPLÍCITA EN UNA ECUACIÓN.Sea la ecuación de la circunferencia:

Pasa por el punto

La curva circunferencia, alrededor del punto dado,es la gráfica de una función implícita en la ecuaciónLa función es (despejando y en función de x, de modo quepase por el punto dado):

Se cumple:

La misma ecuación de la circunferencia:

Pasa por el punto

La curva circunferencia, alrededor del punto dado,es la gráfica de una función implícita en la ecuaciónLa función es (despejando y en función de x, de modo quepase por el punto dado):

Se cumple:

Dada una ecuación en tres variables

y dado un punto que la verifica:

se llama FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCALEN TORNO DEL PUNTO atal que:

EJEMPLO DE FUNCIÓN IMPLÍCITA EN UNA ECUACIÓN.Sea la ecuación de la superficie esférica:

Pasa por el punto

La sup. esférica, alrededor del punto dado,es la gráfica de una función implícita en la ecuaciónLa función es (despejando z en función de x e y, de modo que pase por el punto dado):

En cambio, la misma ecuación, por este otro punto:

define como función implícita esta otra:

Dada una ecuación en q +1 variables

y dado un punto que la verifica:

se llama FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCALEN TORNO DEL PUNTO a

tal que:

CLASE 20 PARTE 2: TEOREMA DE LA FUNCIÓN

IMPLÍCITA LOCAL. Enunciado.Caso de una sola ecuación.

TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL(Caso de una sola ecuación). HIPÓTESISSea dada en U abierto,

y un punto en U,tales que:

1.

2. F es diferenciable en U

3. En U:

TESIS1. Existe función implícita local en torno del punto dado. Es decir: existe

tal que1a)

1b)

2. La función implícita f es diferenciable.

3.

4. Si F es entonces f también es .

CLASE 20 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN

IMPLÍCITA LOCAL. Demostración.Caso de una sola ecuación.

Dem. del teorema de la función implícita (una sola ecuación).

Paso 1. Existencia y unicidad de f

Para fijar ideas suponemos que es positiva.y

Teníamos:

PASO 2. CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA f.Hemos construido en el paso 1, la función implícita f tal quedado existe que cumple:

Por definición, f escontinua en a.En vez de a puede usarse p genérico.

PASO 3. Diferenciabilidad y derivadas parciales de f.

sigue

Teníamos

Despejando f(x) – b :

Llamando:

Lo anterior prueba que f es diferenciable en a y que susderivadas parciales son:

El mismo razonamiento puede hacerse para cualquier puntop donde la función implícita esté definida, en vez de a.

PASO 5. Probar que si F es de clase

entonces la función implícita f también lo es.

CLASE 20 PARTE 4: TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL. Ejemplo.Caso de una sola ecuación.

EJEMPLO

Ecuación implícita:

Por el teorema de la función implícita local existe y = f(x) tal que:

Teníamos:

Derivando respecto de x en x=1; f(1) = 2

Teníamos:

Derivando (1) nuevamente respecto de x, en x=1, f(1)= 2