1

FUNCIONES HIPERBOLICAS

Definiciones e Identidades

Las combinaciones

Cosh u = ½ ( e ^u + e ^−u) ( coseno hiperbólico de u)

Senh u = ½ ( e ^u − e ^−u) ( seno hiperbólico de u)

se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios masadelante.

Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² − y² =1.

A propósito suele pronunciarse cosh u como cosh u y senh u como senh u.

Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:

x² − y² =1

cosh² u − senh² u = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ −2u) − ¼ (e ^ 2u − 2 + e ^ −2u) = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ −2u − e ^ −2u + 2 − e ^ −2u) = 1

¼ ( 4) = 1

En realidad, si hacemos

x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ −u).

y = senh u = ½ ( e ^ u − e ^ −u).

entonces, cuando u varia de − oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² − y² = 1.

El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica

cosh² u − senh ² u = 1.

Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.

Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:

2

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta

1 − tanh² u = sech² u

Si dividimos por senh² u, obtenemos

coth² u − 1 = csch² u

Se deduce que

cosh u + senh u = e ^ u

cosh u − senh u = e ^ −u

Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ −u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa.

Como e ^ −u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ −u es pequeño y cosh u = senh u.

En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es,

cosh ( −x) = cosh x,

3

y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,

senh (−x) = − senh x ;

de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( o circulares).

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

SENO HIPERBÓLICO:

COSENO HIPERBÓLICO

TANGENTE HIPERBÓLICA

4

COTANGENTE HIPERBÓLICA

SECANTE HIPERBÓLICA

COSECANTE HIPERBÓLICA

5

DOMINIO Y RANGOS

SENO HIPERBOLICO

DOMINIO: Reales

RANGO: Reales.

COSENO HIPERBÓLICO

DOMINIO : Reales

RANGO : ( 1, oo)

TANGENTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : Reales

RANGO : ( −1, 1)

COTANGENTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : ( −oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( −oo, −1 ) ( 1, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : Reales

RANGO : ( 0, 1)

COSECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : ( −oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( −oo, 0) ( 0, oo)

IDENTIDADES

Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades

senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y

cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

Las cuales, haciendo y = x,

Senh 2x = 2 senh x cosh x

Cosh 2x = cosh² x + senh² x

La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del ángulo medio sin mas que combinar la identidad

1 = cosh² x − senh² x.

6

Sumando resulta

cosh 2x + 1 = 2 cosh² x

mientras que si restamos se tiene

cosh 2x − 1 = 2 senh² x

Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas

Cosh u /2 =* cosh u + 1 / 2

Senh u /2 = ± *cosh u −1 /2

La formula no tiene ( ±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( −) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS

Usamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx =cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es

y = senh ^ −1 x

Para cada valor de x en el intervalo − oo < x < oo, el valor de y = senh ^ −1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.

La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es

y = cosh ^ x

para cada valor de x > 1, y = cosh ^ −1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x.

Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación es

y = sech ^ −1 x.

Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ −1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es

y = tan^ −1 x, y = ctgh^ −1 x, y = csch ^ −1 x.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

SENO HIPERBÓLICO INVERSO

7

COSENO HIPERBÓLICO INVERSO

8

TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

9

COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIOS Y RANGOS

SENO HIPERBÓLICO INVERSO

DOMINIO : Reales

RANGO : Reales

COSENO HIPERBÓLICO INVERSO

DOMINIO : ( 1, oo)

RANGO : Reales

TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( −1, 1)

RANGO : Reales

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( −oo, −1) ( 1, oo)

RANGO : ( −oo, 0) ( 0, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( O, 1)

RANGO : Reales

COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( −oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( −oo, 0) ( 0, oo)