Funciones de La Serie de Taylor
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7/24/2019 Funciones de La Serie de Taylor
1/2
Funciones de la serie de Taylor
Ejemplo 1. Calclese la serie de Taylor def(x) = ex
Empezamos derivando, tratando de obtener un patrn; lo que es fcil con esta funcin
f (x )=ex
, f (x )=ex
,f (x )=ex
,...,fn
(x )=ex
Entonces, de la frmula
ex =e
a + e
a(x a ) + e
a(x a )
2
+ ea(x a )
3
+... + ea(x a)
n
...1! 2! 3! n!
Tomamos un punto (! a"), de fcil clculo y con el que e#istan las derivadas; en este casoesco$emos
a %&'
e
x
=e
0
+ e
0(x 0)+ e
0(x 0)2 + e
0(x 0)
3+... + e 0(x 0)n ...
1! 2! 3! n!
ex =1+ 1(x) +(x)2+ (x)
3+... + (x)n ...
1! 2! 3! n!
(a funcion de la serie
f (x )=ex, es:ex =1+ x + x
2
+ x3
+ x4
+ x5
+... +xn
...1! 2! 3! 4! 5! n!
e forma mssimple:
xn
ex =
n!n=0Es decir, evaluarf(x)
=ex resulta i$ual a evaluar el
xn
polinomio infnito
; por e*emplo
n!n=0
1n
1
f (1)=e1= =
n =0n ! n=0 n!
esarrollando el polinomio +asta - $rado:
e 1+1+
1+
1 +
1+
1=2.716
1! 2! 3! 4! 5!
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7/24/2019 Funciones de La Serie de Taylor
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Ejemplo 2. Calclese la serie de Taylor def(x)%ln(x)
erivadas:f (x) =
1
,f(x) =
1
,f(x) =
1.2
f IV(x )=
2.3
,...,fn(x) =
( 1) n+1( n1)!
x
x 2 x3
x
4xn
e la frmula deTaylor
1 (xa) 1 (xa)2 1 (xa) 3 ( 1)
n+1(xa)
n
ln(x) =ln( a)+ + +
+... + ...
a2 a3 an
a 1 2 3 n
.esulta evidente que ! a" no puede ser & (no admite una serie de /aclaurin)
ya que no es derivable 0 ni continua1 en ese punto; por comodidad se toma a%2'
1 (x1) 1 (x1)2 1 (x1) 3 ( 1)
n
+1
(x1
ln(x) =ln(1) + + +
+... +
12 13 1n
1 1 2 3 n
(x1) (x1)2 (x1) 3 (x1) 4 ( 1)
n(x1)
n+1
ln(x) = + +... + .1 2 3 4 n +1
Entonces:
( n+1)