ITESM: Fısica Matematica 1

Funciones de Bessel

Jose Jaime Paredes Peralta, Marıa de Jesus Tellez Brito

1. Introduccion

La ecuacin diferencial de Bessel es la solucion espacial (en coordenadas cilindricas) a la ecuacion de onda (una de lasecuaciones fundamentales de la fısica matematica), esto es: la ecuacin de Bessel y su solucion (funciones de Bessel) predicenondas mecanica y electromagneticas con simetrıa cilındrica, esto da lugar a haces de luz invariantes en propagacion conperfil de las funciones de Bessel. En realidad hay muchas areas de la fısica donde se aplican.

Las funciones de Bessel son funciones especiales que surgen como soluciones de la ecuacion diferencial de Bessel (EDB):

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+(x2 − v2

)y = 0 (1)

Donde v es una constante real no negativa que define el orden de la funcion de Bessel.

1.1. Solucion de Ecuaciones Diferenciales por series de potencias

El metodo de solucion por series de potencias se utiliza, generalmente, para resolver ecuaciones diferenciales linealescon coneficientes variables como: h(x)y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x). El metodo consta de tres partes:

1. Proponer una solucion de la forma:

y(x) =

∞∑m=0

(x− x0)m

.

2. Obtener las respectivas derivadas de la solucion propuesta y sustituir los resultados en la ED.

3. Encontrar los coeficientes de la solucion propuesta y sustituirlos.

Se dice que existe una solucion en serie de potencias centrada en x0 de la ecuacin differencial del tipo:

an(x)y(n)(x) + an−1(x)y(n−1)(x) + ...+ ao(x)y(x) = f(x)

si los coeficientes an(x) tienen una representacion en series de potencias y siempre y cuando an(x0) 6= 0. Es decir, si todoslos coeficientes son analticos en x = x0, entonces es posible encontrar una representacion de y(x) en series de potencias.

1.2. Metodo de Frobenius(Metodo de series de potencias extendido)

El metodo de Frobenius es un metod mas general para resolver ED con coeficientes variables a traves de series depotencias. Sin embargo, este metodo funciona donde el metodo de series de potencias tradicional deja de ser aplicable.Esto ocurre cuando se trata de obtener una solucion alrededor de una xo en la cual los coeficientes se encuentran a lo masen un punto singular regular. Tal es el caso de la EDB, ecuacion (1), la cual tiene un punto singular en x = 0(Esto sedemuestra en la siguiente seccion).El metodo se resume en los siguientes pasos:

1. Proponer una solucion de la forma:

y(x) =

∞∑m=0

am(x− x0)m+r (2)

donde x0 es el numero alrededor del cual se expandera la serie, r es cualquier numero (real o complejo) y a0 6= 0.

2. Obtener las respectivas derivadas de la solucion propuesta y sustituir los resultados en la ED.

3. Mediante pasos algebraicos obtener una ecuacion, llamada ecuacion indicial, para calcular el valor de r.

1

4. Sustituir r en la solucion propuesta y encontrar los valores de am.

Cabe mencionar que es posible que despues del paso tres se encontrara uno de tres casos dependiendo de las solucion quearroge la ecuacion indicial. Puede ser que ambos valores de r sean iguales (caso1: entonces se tiene una solo solucion a laED), diferentes(caso 2: entonces se tienen 2 soluciones a la ED) o diferentes que difieren por un entero (caso3).

1.3. Metodo de Frobenius y la ecuacion diferencial de Bessel

En la seccion anterior se menciono que el metodo de Frobenius funcionara siempre y cuando la expansion en seriessea alrededor de un punto que a lo mas sea singular regular. En esta seccion se comprueba esto. Tomando en cuanta laecuacion

d2y

dx2+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = 0

Un punto regular singular x = x0 ocurre si cualquiera de las siguientes condiciones se cumple:

Si P(x) diverge cuando x→ x0, pero (x− x0)P (x) y (x− x0)2Q(x) se mantienen finitos cuando x→ x0.

Si Q(x) diverge cuando x→ x0, pero (x− x0)P (x) y (x− x0)2Q(x) se mantienen finitos cuando x→ x0.

(Arfken, 516)Para la ecuacion (1), se tiene que:

P (x) =1

xQ(x) = 1− n2

x2

Se puede observar que en x = 0, el punto alrededor del cual se desarrollaran las soluciones en las siguientes secciones,ambas ecuaciones P (x) y Q(x) divergen, por lo tanto x = 0 es un punto singular. Notando que

lımx→0

(x− 0)P (x) = lımx→0

x

(1

x

)= lımx→0

1 = 1

y

lımx→0

(x− 0)2Q(x) = lımx→0

x2(

1− n2

x2

)= lımx→0

x2 − n2 = −n2

se concluye que x = 0 es un punto singular regular, debido a que ambas expresiones son finitas, y por lo tanto el metodode frobenius funcionara con una expansion alrededor de este punto.

2. Funciones de Bessel

2.1. Funciones del Primer Tipo: Jv(x) y Jn(x)

A continuacion se resuelve la ecuacion diferencial de Bessel de la forma:

x2y′′ + xy′ +(α2x2 − v2

)y = 0 (3)

donde α es una constante. La ecuacion (3) se conoce como la ecuacion parametrica de Bessel, y sera de utilidad resolverlaen esta forma cuando se trate con la ortogonalidad de las funciones de Bessel.

2.2. Solucion de la ecuacion parametrica de Bessel

Tomando en cuenta que el punto singular de (3) es en xo = 0, se propone la solucion en series de potencias de lasiguiente forma:

y (x) =

∞∑m=0

amxm+r (4)

Derivando la solucion propuesta 2 veces se obtiene:

y (x) =

∞∑m=0

am (m+ r)xm+r−1

y (x) =

∞∑m=0

am (m+ r) (m+ r − 1)xm+r−2

2

Se sustituyen los resultados anteriores en la ecuacion 3, entonces se obtiene:

∞∑m=0

am (m+ r) (m+ r − 1)xm+r +

∞∑m=0

am (m+ r)xm+r + α2∞∑m=0

amxm+r+2 − v2

∞∑m=0

amxm+r = 0 (5)

Ahora se procede a encontrar la ecuacion indicial para conocer los valores de r. Para esto se expanden los valores dem = 0 del primer, segundo y cuarto termino de la ecuacion (5). Factorizar los coeficientes de los trminos de las series quecontengan a xr (notar que la serie del tercer termino comienza en la potencia xr+2, por lo que no aportara nada en estepaso). Entonces, corriendo la suma para m = 0, se obtiene:

xr[a0r (r − 1) + a0r − a0v2

]= 0 (6)

Notar que la igualacion a cero se debe a que la suma de las 4 sumatorias de la ecuacion (5) debe ser igual a cero, y estoimplica que la suma de los factores de cada potencia de x sea igual a cero. Se pueden observar dos posibles casos parapara la ecuacion anterior. El primero serıa que el factor xr sea igual a cero y el segundo serıa que su coeficiente sea iguala cero. El primer caso, con x = 0, solo darıa la solucion trivial a la ecuacion 5, y eso no es lo que nos interesa. Se buscauna solucion que sea valida para todo valor de x. Esto implica que todos los COEFICIENTES de cada potencia de x delas sumatorias sean cero. Por lo tanto se toma el segundo caso.Igualando el coeficiente de xr a cero, lo cual conduceira a la ecuacion indicial, es evidente que:

a0[r(r − 1) + r − v2

]= a0

[r(r − 1 + 1)− v2

]= a0

[r(r)− v2

]= a0

[r2 − v2

]= 0

por lo tantoa0[r2 − v2

]= 0

Recordar que una de las condiciones del Metodo de Frobenius es que a0 = 0, entonces la ecuacion indicial se ve de lasiguiente manera

r2 − v2 = 0 (7)

y por lo tanto se obtienen 2 valores de r: r1 = v(≥ 0) y r2 = −v.Conociento los valores de r, se tendrn dos soluciones a la ecuacion (3). Primero se tratara las solucion con r1. Sustituyendor = r1 en la ecuacion (4), obteniendo sus primeras dos derivadas y sustituyendo en (3) se llega a la ecuacion, (5), solo conr = v. Entonces se tiene la siguiente ecuacion:

∞∑m=0

am (m+ v) (m+ v − 1)xm+v +

∞∑m=0

am (m+ v)xm+v + α2∞∑m=0

amxm+v+2 − v2

∞∑m=0

amxm+v = 0 (8)

Lo que resta es encontrar los valores de los coeficientes de am. Bajo los mismo argumentos con los que se igualo a cero elcoeficiente de xr para obtener la ecuacion indicial, se obtienen ecuaciones similares para la potencia de xr + 1. Una vezmas, solo la primera, segunda y cuarta serie de la ecuacion 8 contienen tal potencia de x. Corriendo estas sumatorias enel valor de m = 1 conducira a:

a1[(m+ v)(m+ v − 1) + (m+ v)− v2

]= 0

Por lo tanto, a1 = 0 para que la igualdad se cumpla para cualquier valor permitido de v y m.Ahora se procede a encontrar una relacion de recurrencia. Para esto se toma en cuenta la ecuacion (8). Como ya se”utilizaron” los valores de m que generan las potencias xv y xv+1, por lo que se consideran en el siguiente paso. Ahora setomaran en cuenta las potencias de xm+v para m = 2, 3.... Notar que las primeras dos y ultima sumatoria de la ecuacion(8) generan la potencia x2+v con el valor de m = 2, mientras que la tercera sumatoria genera tal potencia con el valor dem = 0. Para que los valores de m en las 4 sumatorias generen las mismas potencias de xm+v(m = 2, 3...) se realiza unapequea manipulacion alebraica en la tercera sumatoria.Primero realizar el cambio de variable (SOLO en la tercera sumatoria) m′ = m + 2. Entonces se tiene(recordando queestamos tomando valores de m comenzando en 2 en la primera, segunda y cuarta sumatoria):

∞∑m=2

am (m+ v) (m+ v − 1)xm+v +

∞∑m=2

am (m+ v)xm+v + α2∞∑m=0

amxm+v+2 − v2

∞∑m=2

amxm+v

=

∞∑m=2

am (m+ v) (m+ v − 1)xm+v +

∞∑m=2

am (m+ v)xm+v + α2∞∑

m′=2

am′−2xm′+v − v2

∞∑m=2

amxm+v

3

y como el m′ es una variable muda, no hay problema en dejarlo todo en trminos de m. Entonces:

∞∑m=2

am (m+ v) (m+ v − 1)xm+v +

∞∑m=2

am (m+ v)xm+v + α2∞∑m=2

am−2xm+v − v2

∞∑m=2

amxm+v

=

∞∑m=2

[am (m+ v) (m+ v − 1)xm+v + am (m+ v)xm+v + α2am−2x

m+v + amv2xm+v

]=

∞∑m=2

[(am (m+ v) (m+ v − 1) + am (m+ v) + α2am−2 − amv2

)xm+v

]=

∞∑m=2

[(am((m+ v) (m+ v − 1) + (m+ v)− v2

)+ α2am−2

)xm+v

]=

∞∑m=2

[(am((m+ v) (m+ v − 1 + 1)− v2

)+ α2am−2

)xm+v

]=

∞∑m=2

[(am(m2 + 2mv + v2 − v2

)+ α2am−2

)xm+v

]=

∞∑m=2

[(am(m2 + 2mv

)+ α2am−2

)xm+v

]Por lo tanto:

∞∑m=2

[(am(m2 + 2mv

)+ α2am−2

)xm+v

]= 0

Lo cual expresa que a sumatoria de todas las potencias de xm+v(m ≥ 2) debe ser cero para cualquier valor de x. Entonces,por tener que cumplirse la igualdad para cualquier x, el coeficiente de xm+v de la ecuacion anterior debe ser igual a cero,es decir, am

(m2 + 2mv

)+ α2am−2 = 0. Despejando am se obtiene la relacion de recurrencia buscada:

am = − α2am−2m (m+ 2v)

(9)

Con esta ultima relacion se encontraran los valores de amm = 2, 3, .... Entonces, observar que sustituyendo valores impartesde m en (9) siempre dar como resultado un multiplo de a1:

a3 = − α2a13 (3 + 2v)

a5 = − α2a35 (5 + 2v)

=

(α4

5 (5 + 2v)

)(a1

3 (3 + 2v)

)a7 = − α2a5

7 (7 + 2v)

= −(

α6

7 (7 + 2v)

)(1

5 (5 + 2v)

)(a1

3 (3 + 2v)

)...

De manera general se puede decir que am ∝ a1 para m = 3, 5, 7.... Recordando que a1 = 0, se concluye que todos loscoeficientes con subındice impar de la serie de potencias propuesta, ecuacion (4), son igual a cero. Por lo tanto, solo quedadeterminar los valores de los coeficientes con subındice par, y cero, para encontran la solucion completa. Para esto, semodificara la ecuacion de recurrencia (9) para que de coeficientes con subındices pares simplemente haciendo el cambiode varialbe 2m′ = m, entonces se obtiene la relacion de recurrencia:

a2m = − α2a2m−222m (m+ v)

m = 1, 2, 3, 4...

Recordar que m′ es una variable muda, por lo tanto despues de hacer el cambio de variable se puede expresar la ecuacionsin los ′. Ahora se evaluaran los primeros 3 valores de m en la ecuacion anterior para observar que a2m se puede expresar

4

en terminos de a0. Entonces:

(m = 1)⇒ a2 = − α2a022(1) (v + 1)

(m = 2)⇒ a4 = − α2a222(2) (v + 2)

=α4a0

24(1)(2) (v + 1) (v + 2)

=α4a0

242! (v + 1) (v + 2)

(m = 3)⇒ a6 = − α2a422(3) (v + 3)

= − α6a026(1)(2)(3) (v + 1) (v + 2) (v + 3)

= − α6a0263! (v + 1) (v + 2) (v + 3)

Observar que los signos de los resultados encuadrados, comenzando con el negativo en a2, se van alternando. Tambien,la potencia de α y el 2 del denominador siempre tienen un exponente igual al doble de m. Y el resultado siempre quedamultiplicado por a0 y dividido por m!. Todo lo anterior se resume expresando a a2m de la siguiente manera:

a2m =(−1)

ma0

m!(v + 1)(v + 2)...(v +m)

(α2

)2mm = 1, 2, 3...

Ahora que se cuenta con una ecuacion para los coeficientes con subındices pares, lo que resta es encontrar a0. Estecoeficiente podrıa ser cualquier valor, entonces se le dara un valor tal que convenga matematicamente para simplificar laecuacion anterior. Entonces se elige:

a0 =αv

2vΓ(v + 1)

se vera mas adelante por que se incluyeron la ponencia v de α y 2. La Γ(v + 1) se propone para abusar de la propiedad:vΓ(v) = Γ(v + 1) (Demostracion en la seccion 5). sustituyendo a0 en la ecuacion de recurrencia se obtiene:

a2m =(−1)

ma0

m!Γ(v + 1)(v + 1)(v + 2)(v + 3)...(v +m)

(α2

)2m+v

=(−1)

ma0

m!Γ(v + 2)(v + 2)(v + 3)...(v +m)

(α2

)2m+v

= ...

=(−1)

ma0

m!Γ(v +m+ 1)

(α2

)2m+v

Este resultado es el que se sustituira en la ecuacion (4). Recordemos coeficientes tienen subındices pare, por lo que se haceel cambio de variable m’ = 2m en (4). Entonces se tiene:

y(x) =

∞∑m=0

a2mx2m+v

Ahora se sustituye el valor de a2m y se obtiene:

y(x) =

∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(v +m+ 1)

(α2

)2m+v

x2m+v

Y ahora se ve claramente por que se incluyo la pontencia v de α y 2 en a0. Simplificando el resultado de la ecuaciondiferencial queda como:

y(x) =

∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(v +m+ 1)

(αx2

)2m+v

5

A esta ecuacion, con α = 1 se le conoce como Funcion de Bessel de primer tipo de orden v, y se denota con lasiguiente simbolog’ia:

Jv(x) =

∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(v +m+ 1)

(x2

)2m+v

(10)

La cual es una solucion a la ecuacion parametrica de Bessel y en el caso de ser α = 1 es la solucion a la ecuacion dife-rencial de Bessel. Recordemos que esta es la solucion para la primera raız de la ecuacion indicial. Para la segunda raız,simplemente se sustituye v por −v en la ecuacion (10).

Una de las formas mas comunes de la funcion de Bessel es con v siendo un numero n entero mayor o igual que cero.Bajo esta condicion la ecuacion (10) se reduce a la siguiente forma:

Jn(x) =

∞∑m=0

(−1)m

m!(n+m)!

(x2

)2m+v

(n ≥ 0) (11)

2.3. Solucion General de la ecuacion de Bessel en terminos de Jv(x)

En este punto, se puede construir una combinacion lineal de las funciones Jv(x) y J−v(x). Pero esto esta restringidopara toda x 6= 0 y v 6= entero. Entonces

y(x) = c1Jv(x) + c2J−v(x)

Observar que si v es entero, es decir, tomando el lımite cuando v → n:

lımv→n

aJ−v(x) = J−n(x)

=

∞∑m=0

(−1)m

m!(m− n)!

(x2

)2m+n

Para el siguiente paso considere la grafica de Γ(x):

-3 -2 -1 1 2 3

x

-10

-5

5

10

GHxL

Figura 1: Grafica Γ(x) contra x

Notar que cuando x ≤ 0 se aproxima a un entero(por la izquierda o por la derecha), el valor de lafuncion tiene ainfinitos. Entonces, la ultima expresion se puede escribir como:

J−n(x) =

n−1∑m=0

(−1)m

m!(m− n)!

(x2

)2m−n+

∞∑m=n

(−1)m

m!(m− n)!

(x2

)2m−n= 0 +

∞∑m=n

(−1)m

m!(m− n)!

(x2

)2m−n

6

notar que los primeros n−1 terminos son cero debido a la tendencia infinita de la funcion Gamma para enteros negativos.Ahora se hase el cambio de variable m = n+ s a la ultima expresion.

⇒ J−n =

∞∑m=n

(−1)m

m!(m− n)!

(x2

)2m−n=

∞∑s=0

(−1)n+s

(n+ s)!(s)!

(x2

)2s+n(aplicando m = n+ s)

= (−1)n∞∑s=0

(−1)s

(n+ s)!(s)!

(x2

)2s+n= (−1)nJn(x)

Por lo tanto J−n(x) = (−1)nJn(x) para n entero, es decir, J−n y Jn(x) son linealmente dependientes. Y es por esto quela solucion genreal que se tiene restringe a v a no ser entero.

2.4. Grafica de Jn(x)

A continuacin se muestra la grafica de la funcion Jn(x). Notese que Jo(x) comienza en y = 1, mientras que el restocomienza en y = 0

J0HxL

J1HxL

J2HxL

J5HxL J10HxL

5 10 15 20

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 2: Funcion Jn(x) para n = 0, 1, 2, 5, 10

A pesas de que ya se encontr una solucion general a la ecuacion (1). Esta solo consta de funciones de Bessel del primertipo. Una mejor solucion general es una combinacion lineal de funciones del primer tipo Jv(x) y segundo tipo Yv(x), lascuales se analizan en la siguiente seccion.

2.5. Funciones del Segundo Tipo: Yv(x) y Yn(x)

2.6. Definicion de Yv(x) y Yn(x)

Hasta el momento se ha encontrado una solucion general de la ecuacion diferencial de Bessel la cual es una combinacionlineal de las funciones Jv(x) y J−v(x). Tal solucion, como ya se menciono, es solo valida para valores no enteros de v ypara toda x 6= o. Entonces se busca una fucion que sea una combinacion de Jv(x) y J−v(x) que no se vuelva linealmenteindependiente para valores enteros de v. Tal solucion se expresa usualmente de la siguiente manera:

Yv(x) =cos(vπ)Jv(x)− J−v(x)

sin(vπ)(12)

La cual se conoce como funcion de Bessel del segundo tipo o funcion de Neumman. Esta funcion es linealmente indepen-diente de Jv(x) con valores enteros de v cuando se toma el lımite con v → n. En general, la expansion en series de estafuncion cuando v → n, n siend entero es:

Yn(x) = lımv→n

Yv(x) =2

πJn(x)

[ln(x

2

)+ γ]

+xn

π

∞∑m=0

(−1)m−1(hm + hm+n)

22m+nm!(m+ n)!x2m − x−n

π

n−1∑m=0

(n−m− 1)!

22m−nm!x2m

7

Donde hm y hm+n representan a la serie armonica. Ahora se demuestra el caso para el cual n = 0 con el metodo defrobeniuspara la ecuacion diferencial:

x2y′′ + xy′ + (x2)y = 0 (13)

que es la ecuacion (1) con v = 0. Entonces al sustituir v = 0 en la ecuacion indicial, (7), se obtiene que r1 = r2 = 0, locual cae en el caso dos del metodo de Frobenius.Se sabe que la primera solucion es y1(x) = J0(x), entonces la segundasolucion, de acuerdo al metodo, es:

y2(x) = y1(x) ln(x) +

∞∑m=1

Amxm+r2 (14)

Sustituyendo y1(x),r2 = 0 y obteniendo la primera y segunda derivada:

y2(x) = J0(x) ln(x) +

∞∑m=1

Amxm (15)

y′2(x) = J ′0(x) ln(x) +J0(x)

x+

∞∑m=1

Ammxm−1 (16)

y′′2 (x) = J ′′0 (x) ln(x) +J ′0(x)

x+J ′0(x)

x− J0(x)

x2+

∞∑m=1

Amm(m− 1)xm−2 (17)

Ahora se sustituyen (15),(16) y (17) en 13:(xJ ′′0 (x) ln(x) + J ′0(x) + J ′0(x)− J0(x)

x+

∞∑m=1

Amm(m− 1)xm−1

)+

(J ′0(x) ln(x) +

J0(x)

x+

∞∑m=1

Ammxm−1

)

+

(xJ0(x) ln(x) +

∞∑m=1

Amxm+1

)

= ln(x) [xJ ′′0 (x) + J ′0(x) + xJ0(x)] + 2J ′0(x) +

∞∑m=1

Amm(m− 1)xm−1 +

∞∑m=1

Ammxm−1 +

∞∑m=1

Amxm+1

= ln(x)[0] + 2J ′0(x) +

∞∑m=1

Amm2xm−1 −

∞∑m=1

Ammxm−1 +

∞∑m=1

Ammxm−1 +

∞∑m=1

Amxm+1

= 2J ′0(x) +

∞∑m=1

Amm2xm−1 +

∞∑m=1

Amxm+1 = 0

⇒∞∑m=1

(−1)mx2m−1

22m−2m!(m− 1)!+

∞∑m=1

Amm2xm−1 +

∞∑m=1

Amxm+1 = 0 (18)

Donde se sustituyo el valor de 2J ′0(x) y se utilizo la ecuacion (13) para decir que xJ ′′0 (x) + J ′0(x) + xJ0(x) = 0. Bajo losmismos argumentos que se utilizaron para igualar a cero las potencias de x de la ecuacion (5), se obtendra el valor de A1

y una relacion de recurrencia para encontrar los coeficientes Am.

La potencia mas baja de x tomando en cuenta todas las series en la ecuacion (18) lo da la segunda sumatoria conm = 1, lo que conduce a A1 = 0.Ahora observar los coeficientes de x2 y x4(notar que la primera sumatoria solo contiene potencias impares):

32A3 +A1 = 0

52A5 +A3 = 0

Si se analiza un poco, estas expresiones se pueden reescribir de la siguiente manera:

(2(1) + 1)2A2(1)+1 +A(2(1)−1) = 0

(2(2) + 1)2A2(2)+1 +A(2(2)−1) = 0

Y en general se ve que(2s+ 1)2A2s+1 +A2s−1 = 0 s = 1, 2, 3... (19)

8

A partir de esta ecuacion y recordando que A1 = 0, se concluye que todos los coeficientes Am con subındices imparesson cero y por lo tanto, todas las potencias pares de x de las sumatorias de la ecuacion (18) desaparecen. Lo que quedaes analizar las potencias impares de x. En este caso se toman en cuenta todas las sumatorias de (18). Obeservar loscoeficientes de x5, lo cual ocurre respecitvamente para cada serie en m=3,m=6 y m=4, entonces se tiene que:

(−1)3

243!(2)!+ (6)2A6 +A4 = 0

Lo cual se puede reescribir como:

(−1)(2)+1

22(2)[(2) + 1]![(2)]!+ [2(2) + 2]2A2(2)+2 +A2(2) = 0

Y de manera general, los coeficientes de las potencias impares de x se relacionan por la recurrencia:

(−1)s+1

22s(s+ 1)!s!+ (2s+ 2)2A2s+2 +A2s = 0

Despejando A2s+2 = A2(s+1) y realizando el cambio de variable s+ 1 = m se obtiene la recurencia de los coeficientes paresde las series los cuales corresponden a las potencias impares de x:

A2m =

[(−1)m−1

22(m−1)m!(m− 1)!−A2(m−1)

]1

22m2=

(−1)m−1

22mm!2m−A2(m−1)

22m2

Observar que esta recurrencia de A2m est definida en terminos de coeficiente A2(m−1). De la misma manera, el trminoA2(m−1) debe estar definido en terminos del coeficiente A2(m−2), y ası consecutivamente. Esto sugiere que el coeficienteA2m esta definido en terminos de de todos los coeficientes con subındice pares anteriores. Tambien notar que se puedeobtener el valor de cualquier coeficiente par sustituyendo m = m ± n, con n = 1, 2, .... Ahora se sustituye el valor deA2(m−1) en la recurrencia de A2m y luego se sustituira el valor de A2(m−2) en la resultante para observar un patron quese forma.

A2m =

[(−1)m−1

22m(m!)2m−A2(m−1)

22m2

]=

[(−1)m−1

22m(m!)2m− 1

22m2

(−(−1)m−122

22m[(m− 1)!]2(m− 1)−

A2(m−2)

22(m− 1)2

)]=

[(−1)m−1

22m(m!)2m+

(−1)m−1

22m(m!)2(m− 1)+

A2(m−2)

24m2(m− 1)2

]=

[(−1)m−1

22m(m!)2m+

(−1)m−1

22m(m!)2(m− 1)+

1

24m2(m− 1)2+

((−1)m−124

22m[(m− 2)!]2(m− 2)−

A2(m−3)

22(m− 2)2

)]=

[(−1)m−1

22m(m!)2m+

(−1)m−1

22m(m!)2(m− 1)+

(−1)m−1

22m(m!)2(m− 2)−

A2(m−3)

26m2(m− 1)2(m− 2)2

]Obserbar que conforme se sutituyen mas y mas valores de Am−n en la recurrencia, de cada termino difiere solo en unfactor de 1/q (q = m,m− 1, ..., 3, 2, 1). Entonces la recurrencia se escribe de la siguiente manera:

A2m =(−1)m−1

22m(m!)2

(1

m+

1

m− 1+

1

m− 2+ ...+

1

3+

1

2+ 1

)=

(−1)m−1

22m(m!)2

∞∑m=1

(1

m

)=

(−1)m−1hm22m(m!)2

(20)

Donde hm representa la serie armonica∑∞m=1

(1m

).Tomando en cuenta que los coeficientes con subındice impar son cero

y sustituyendo (20) en (15) se obtiene y2(x). Por lo tanto:

y2(x) = J0(x) ln(x) +

∞∑m=1

(−1)m−1hm(m!)2

(x2

)2m(21)

9

Con esto, ya es posible construir la funcion de Bessel del segundo tipo tomando en cuenta la forma: y(x) = c1y1(x)+c2y2(x).Por convencion se elige c1 = bc2 y c2 = a con a = 2

π y b = γ − ln 2. Sustituyendo y1(x) = J0(x) y y2(x) (ecuacion (21)) seobtiene que

Y0(x) =2

π

[(γ + ln

x

2)J0(x) +

∞∑m=0

(−1)m−1hm(m!)2

(x2

)2m](22)

Donde γ es la Gamma de Euler y hm es la serie armonica.Cabe mencionar que la solucion general de la ecuacion diferencial de Bessel es una cominacion lineal de Jv(x) y Yv(x):

y(x) = c1Jv(x) + c2Yv(x)

2.7. Grafica de Yn(x)

Ahora se muestra una grafica para diferentes valores de Yn(x). Hay que notar que su comportamiento amortiguado loadopta de las funciones de Bessel del primer tipo y, de igual manera, su comportamiento creciente conforme se aleja dex = 0 hasta la primera cresta por el logaritmo involucrado en la expansion en series.

Y0HxL Y1HxLY2HxL

Y5HxL

Y10HxL

2 4 6 8 10

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 3: Funcion Yn(x) para n = 0, 1, 2, 5, 10

2.8. Funciones Mofificadas de Bessel

Las funciones modificadas de Bessel son aquellas que surgen como solucion del caso en que la ecuacion parametrica deBessel, (3), con α = i =

√−1. la ecuacion se ve de la siguienta manera:

x2d2y

dx2+ x

dy

dx− (x2 + v2) = 0 (23)

2.9. Primer Tipo:Iv(x)

Para obtener la solucion a (23) se utilizan los mismos argumentos y pasos que se utilizaron para resolver la ecuacionparametrica, (3). La solucion propuesta queda de la misma forma:

y(x) =

∞∑m=0

amxm+r

Sustituyendo la solucion propuesta, y suprimera y segunda, en (23) e igualando a cero los coeficientes de la potencia xr seobtiene la misma ecuacion indicial (7). Por lo que una vez mas los valores de r son r1 = v(≥ 0) y r2 = −v. Sustituyendor1 en la solucion propuesta y sustituyendo en la ecuacion (23) se obtiene la siguiente expresion muy similar a la de laseccion 3, ecuacion (8).

∞∑m=0

am (m+ v) (m+ v − 1)xm+v +

∞∑m=0

am (m+ v)xm+v −∞∑m=0

amxm+v+2 − v2

∞∑m=0

amxm+v = 0 (24)

10

De acuerdo a (24), de las potencias de xv+1 se concluye que a1 = 0. Despues, tomando en cuenta los coeficientes laspotencias de xm+v para m ≥ 2, se puede observar que:

am[(m+ v)(m+ v − 1) + (m+ v)− v2]am−2 = am[m2 + 2mv]− am−2 = 0

Y por lo tanto la relacion de recurrencia es:

am =am−2

m(m+ 2v)(25)

Lo cual es muy parecida a (9). Sabiendo que a1 = 0, entonces la recurrencia indica que todos los coeficientes con subındiceimpar son cero. Ahora se busca el subındice par. para esto se hace el cambio de variable m = 2m a (25), entonces:

a2m =a2(m−1)

22m(m+ v)

Mediante un analisis igual al utilizado en la seccion 2.1, se concluye que:

a2m =a0

22mm!(v + 1)(v + 2)...(v +m)

Una vez mas, por conveniencia matematica, se propone

a0 =1

2vΓ(v + 1)

Entonces

4a2m =1

22m+vm!Γ(m+ v + 1)

Sustituyendo el resultado anterior en (24) se obtiene la funcion modificada del primer tipo:

Iv(x) =

∞∑m=0

1

m!Γ(m+ v + 1)

(x2

)2m+v

(26)

Para obtener el resultado con r2, simplemente se sutituye v = −v en (26).

2.9.1. Relacion entre Iv(x) y Jv(x)

Una relacion interesante de Jv(x) ocurre cuando se multiplica por i−v.

⇒ i−vJv(ix) =

∞∑m=0

(−1)mi−v

m!Γ(v +m+ 1)

(ix

2

)2m+v

=

∞∑m=0

(−1)mi−vi2m+v

m!Γ(v +m+ 1)

(x2

)2m+v

=

∞∑m=0

(−1)m

(−1)m

m!Γ(v +m+ 1)

(x2

)2m+v

=

∞∑m=0

(−1)2m

m!Γ(v +m+ 1)

(x2

)2m+v

=

∞∑m=0

1

m!Γ(v +m+ 1)

(x2

)2m+v

La ecuacion final es identica a (26). Por lo tanto:

Iv(x) = i−vJv(ix)

11

2.9.2. Grafica de In(x)

A continuacion se muestra una grafica de In(x) para diferentes valores enteros de n. Notar que la funcion ya no oscilacomo las funciones del primer y segundo tipo.

I0HxLI1HxL

I2HxLI5HxL

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4: Grafica de In(x) para n=0,1,2,5

2.10. Segundo Tipo:Kv(x)

La motivacion para las funciones modificadas del segundo tipo es la misma que para las no modificadas.Se busca unacombinacion lineal de Iv(x) e I−v(x) analoga a Yv(x), con Yn(x) cuando v → n, siendo n un numero entero. La ecuacionmodificada del segundo tipo se define de la siguiente manera:

Kv(x) =π

2

I−v(x)− Iv(x)

sin(vπ)(27)

kn(x) = lımv→n

Kv(x) (28)

2.10.1. Grafica de Kn(x)

A continuacion se muestra una grafica de Kn(x) para diferentes valores enteros de n. Notar que la funcion ya no oscilacomo las funciones del primer y segundo tipo.

K0HxL

K1HxL

K2HxL K5HxL K10HxL

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 5: Grafica de Kn(x) para n=0,1,2,5

12

3. Ortogonalidad de las Funciones de Bessel

A continuacion se demostrara la ortogonalidad de las funciones de Bessel Jv(x) en el intervalo [0, a], donde a es unnumero real mayor a cero. Esto se demostrara comprobando que la integral∫ a

0

xJv

(αviax)Jv

(αvjax)dx =

a2

2[Jv+1 (αvi)]

2δij i, j = 1, 2, 3...

Donde x es la funcon de peso, δij es la delta de Kronecker y αvi y αvj son ceros de Jv(x), es decir Jv(αvi) = Jv(αvj) = 0.Se parte de las soluciones a las ecuaciones:

x2y′′ + xy′ + (k2x2 − v2)y = 0 k = constante (29)

x2y′′ + xy′ + (k′2x2 − v2)y = 0 k′ = constante (30)

Las cuales son J(kx) y J(k′x) respectivamente. Por el momento considerar solo la ecuacion (29).Sustituyendo los respectivos

ordenes de derivada de Jv(kx) y dividiendo ambos lados de la ecuacion entre x se obtiene:

xk2J ′′v (kx) + J ′v(kx) = (v2 − k2x2)Jv(kx)

Observar que el lado izquierdo de la ecuacion es la derivada de un producto, entonces:

d [xkJ ′v(kx)] = (v2 − k2x2)Jv(kx)dx

Multiplicando ambos lados por Jv(k′x) e integrando:∫ a

0

(v2 − k2x2)Jv(kx)Jv(k′x)dx =

∫ a

0

Jv(k′x)d [xkJ ′v(kx)]

= Jv(k′x) [xkJ ′v(kx)] |a0 −

∫ a

0

xkk′J ′v(kx)J ′v(k′x)dx

Se aplican los mismos pasos para llegar a una expresion similar partiendo de la ecuacion (30). Entonces:∫ a

0

(v2 − k2x2)Jv(kx)Jv(k′x)dx = Jv(k

′x) [xkJ ′v(kx)] |a0 −∫ a

0

xkk′J ′v(kx)J ′v(k′x)dx∫ a

0

(v2 − k′2x2)Jv(kx)Jv(k′x)dx = Jv(kx) [xk′J ′v(k

′x)] |a0 −∫ a

0

xk′kJ ′v(k′x)J ′v(kx)dx

Restando primera ecuacion de la segunda se obtiene la siguiente expresion:

(k2 − k′2)

∫ a

0

xJv(kx)Jv(k′x)dx = x [k′Jv(kx)J ′v(k

′x)− kJv(k′x)J ′v(kx)]a0

Despejando y evaluando el lado derecho:∫ a

0

xJv(kx)Jv(k′x)dx =

a [k′Jv(ka)J ′v(k′a)− kJv(k′a)J ′v(ka)]

k2 − k′2(31)

Se eligen valores de k y k′ de manera que f(ka) = f(k′a) = 0, es decir, que su producto con a sea un cero de la funcionde Bessel. Ahora se definen αvi = ka y αvj , el i-esimo y j-esimo cero de Jv(kx) y Jv(k

′x) respectivamente. Entonces:

k =αvia

y k′ =αvj

a

Sustituyendo los resultados en la ecuacion(31):∫ a

0

xJv(αviax)Jv(

αvjax)dx =

a [k′Jv(αvi)J′v(αvj)− kJv(αvj)J ′v(αvi)]k2 − k′2

Tomando en cuenta que Jv(αvi) = Jv(αvj) = 0, se concluye que∫ a

0

xJv(αviax)Jv(

αvjax)dx = 0 para i 6= j (32)

Se toma que la integral converge a cero cuando i 6= j debido a que si i = j ocurre una forma indeterinada en eldenominador debido a las k′s. Este caso se trata a continuacion. Retomando la ecuacion (16),se desea evaluar el caso en

13

el que k = k′. Esto se realiza a traves de un lımite con k′ → k. Despues se utiliza la regla de L’hopital para eliminar laforma indeterminada 0

0 .

lımk′→k

∫ a

0

xJv(kx)Jv(k′x)dx = lım

k′→k

a [k′Jv(ka)J ′v(k′a)− kJv(k′a)J ′v(ka)]

k2 − k′2

= lımk′→k

a[Jv(ka) d

dk′ (k′J ′v(k′a))− kJ ′v(ka) d

dk′ (Jv(k′a))

]ddk′ (k2 − k′2)

= lımk′→k

−ka2J ′v(ka)J ′v(k′a)

−2k′

=−ka2J ′v(ka)J ′v(ka)

−2k

=a2 (J ′v(ka))

2

2

=a2 (J ′v(αvi))

2

2

=a2 (Jv+1(αvi))

2

2(33)

(En el ultimo paso se utilizo J ′v(x) = J ′v+1(x), demostrada en la seccion 6).Los resusltados (32) y (33) se pueden sintetisar de la siguiente manera:∫ a

0

xJv(αviax)Jv(

αvjax)dx =

a2 (Jv+1(αvi))2

2δij (34)

Lo cual comprueba que las funciones de Bessel son ortogonales en el intervalo [0, a].

4. Ejemplo:Temperaturas estables en un cilindro circular (Zill, 357)

A continuacion se presenta una situacion en la que se requiere de funciones de Bessel para modelar la temperatura deestado estable de un cilindro circular de radio 2 cerrado como el que se muestra en la siguiente figura 6.

Figura 6: Cilindro circular r = 2

14

Con los siguientes valores en la frontera:

U(r, 4) = U0

U(2, z) = 0

U(r, 0) = 0

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ z ≤ 4

Donde U representa la temperatura a una distancia r del origen y altura z. Para encontrar tal funcion se resolvera laecuacion de calor:

∇2U =∂U

∂t(35)

Como se habla de temperatura de estado estable, entonces ∂U∂t = 0. Ahora se expande la ecuacion (35) en coordenadas

ciliındricas, debido a la simetrıa del problema, y se toma en cuenta que debido a las condiciones en la frontera U = U(r, z):

∇2U =1

r

∂

∂r

(r∂U

∂r

)+

1

r2∂2U

∂θ2+∂2U

∂z2

=1

r

(r∂2U

∂r2+∂U

∂r

)+∂2U

∂z2

= r∂2U

∂r2+

1

r

∂U

∂r+∂2U

∂z2

= 0

Por lo tanto la ecuacion diferencial a resolver queda de la siguiente manera:

r∂2U

∂r2+

1

r

∂U

∂r+∂2U

∂z2= 0 (36)

La cual representa la distribucion de calor en una region. Se utiliza el metodo de variables separables, por lo tanto sepropone una solucion de la forma:

U(r, z) = R(r)Z(z)

Sustituyendo las respecitvas derivadas de esta solucion en (35) y dividiendio ambos lados entre (U) se obtiene:

1

R

∂2R

∂r2+

1

rR

∂R

∂r+

1

Z

∂2Z

∂z2= 0

Separando variables:∂2R∂r2 + 1

r∂R∂r

R= − 1

Z

∂2Z

∂z2= −λ (37)

Donde λ es una constante que tomara valores a nuestra conveniencia. Entoces, tomando el primer y ultimo termino de(37) se observa que:

R′′ +1

rR′ + λR = 0

Ahora se define λ = α2 y se multiplica toda la ecuacion anterior por r2:

⇒ r2R′′ + rR′ + α2r2R = 0

Lo cual tiene la misma forma que la misma forma que (3) con v = 0. Por lo tanto:

R(r) = c1J0(αr) + c2Y0(αr) (38)

Ahora escogiendo la segunda y tercera parte de la igualdad (37) se llega a

Z ′′ − zα2 = 0

Cuya solucion general esZ(z) = c3 cosh(αz) + c4 sinh(αz) (39)

Debido a que los valores en la frontera estan definidos en cero, c2 = 0 porque Y0(r) no esta definida en ese punto. El tercervalor en la frontera indica que U(0, 0) = 0, esto implica que cada factor de las soluciones debe ser igual a cero en este

15

punto. El segundo factor de (39) cumple con esta condicion solo si c4 = 0. El segundo valor en la frontera obliga a queJ0(2α) = 0, por lo tanto α debe igual a los valores propios positivos. Entonces

λn = α2n (40)

denota el n-esimo valor propio positivo. Para encontrar una funcion gneral, intentara expresar U como una funcion deFourier Bessel, la cual se ve de la siguiente manera:

f(x) =

∞∑n=1

ciJn(x) (41)

con

ci =2

b2J2n+1(αib)

∫ b

0

xJn(αix)f(x)dx (42)

Para nuestro caso se tiene que:Un = R(r)Z(z) = An sinh(αnz)J0(αnr) (43)

donde An = c1c3y por lo tanto

U(r) =

∞∑n=1

Un(r) =

∞∑n=1

An sinh(αnz)J0(αnr) (44)

Utilizando la primera condicion en la fronera:

U0 =

∞∑n=1

An sinh(4αn)J0(αnr) (45)

Comparando (45) con (42) se observa que

An sinh(4αn) =2U0

22J21 (2αn)

∫ 2

0

rJ0(αnr)dr

Para resolver la integral se utiliza la propiedad 2 de la seccion 6, sustituyendo

t = rαn ⇒ tJ0(t) =d

dt[rJ1(r)]

Entonces la expresion queda:

An sinh(4αn) =2U0

22α2nJ

21 (2αn)

∫ 2αn

0

d

dt[tJ1(t)] dt

=2U0

22α2nJ

21 (2αn)

tJ1(t)|2αn0

=U0

αnJ1(2αn)

Entonces

An =U0

αn sinh(4αn)J1(2αn)(46)

Por lo tanto, sustituyendo (46) en , se obtiene la solucion:

U(r, z) = U0

∞∑n=1

sinh(αnZ)J0(αnr)

αn sinh(4αn)J1(2αn)(47)

Lo cual nos da la temperatura en la region en funcion del radio y la altura.

16

5. Funcion Gamma

De la definicion de la funcion Gamma: Γ(n) =∫∞0e−ttn−1dt Se evalua Γ(n+ 1) y se integra por partes.

Γ(n+ 1) =

∫ ∞0

e−ttndt

= tn(−e−t)|∞0 +

∫ ∞0

ntn−1e−tdt

= n

∫ ∞0

tn−1e−tdt

= nΓ(n)

6. Propiedades de las funciones de Bessel

Por sustitucion directa se pueden comprobar las siguientes relaciones de recurrencia

Jn−1 + Jn+1 =2n

xJn(x) (48)

Jn−1 − Jn+1 = 2J ′n(x) (49)

Propiedad 1Restando (49) de (48) se obtiene

Jn+1(x) =n

xJn(x)− J ′n(x)

Multiplicando por x−n se observa que el lado derecho es la derivada de un producto.

x−nJn+1(x) = nx−n−1Jn(x)− x−nJ ′n(x) = − d

dx

(x−nJn(x)

)Por lo tanto:

−x−nJn+1(x) =d

dx

(x−nJn(x)

)Propiedad 2Restando (49) y (48) se obtiene

Jn−1(x) =n

xJn(x) + J ′n(x)

Multiplicando por xn se observa que el lado derecho es la derivada de un producto.

xnJn−1(x) = nxn−1Jn(x) + xnJ ′n(x) =d

dx(xnJn(x))

Por lo tanto:

xnJn−1(x) =d

dx(xnJn(x))

Referencias- Arfken and Weber. “Mathematical Methods for Physicists”. 5thth ed. United States Of America: Harcourt AcademicPress, 2001. 516,669-711. Print.- Kreyszing, Erwin. “Matematicas Avanzadas para Ingenierıa”. Vol. I. Mxico: Limusa Wiley, 2007. 249-77. II vols. Print.- Zill, Dennis G., and Jacqueline M. Dewar. “Calculo Vectorial, Analisis de Fourier y Analisis Complejo”. 3ra ed. Mexico:Mc Graw Hill, 2008. 357-58. Print.- Spiegel, Murray R. “Matematicas Avanzadas para Ingenierıa y Ciencias”. Mexico: Mc Graw Hill, 2001. 277-97. Print.- Watson, G N. “A Treatise on the Theory of Bessel Functions.” Internet Achive. N.p., 10 Mar. 2001. Web. 3 Mar. 2014.<https://archive.org/details/ATreatiseOnTheTheoryOfBesselFunctions>.- Sober, D.“Orthogonality and Normalization of Bessel Functions.” . N.p., 10 Dec. 2010. Web. 3 Mar. 2014.<http://faculty.cua.edu/sober/611/Bessel orthog norm.pdf>.- Carreto, Larry. “Frobenius method Applied to Bessel’s Equation.” N.p., 14 Oct. 2004. Web. 11 Apr. 2014.<http://www.csun.edu/ lcaretto/me501a/20041014.pdf>.- Sankar, M. “Special Functions”. N.p., n.d. Web. 3 Mar. 2014. <http://elearning.vtu.ac.in/P8/e-notes/06MAT41/Unit-4-MS.pdf>.

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