Vctor Daniel Rojas Cerna

Vctor Daniel Rojas Cerna

TEMA :FUNCIONES

COMPETENCIAS

Se buscar desarrollar en el alumno las siguientes competencias:

Comprender el concepto de funcin. Calcular el dominio y rango de una funcin. Reconocer grficamente una funcin . Identificar las funciones bsicas y especiales. Resolver problemas en los que interviene diversos tipos de funciones.

INTRODUCCIN.

Uno de los conceptos ms fundamentales e importantes de toda la matemtica es el de funcin ya que permite describir una cantidad en trminos de otra, as por ejemplo: Un economista observa que la demanda de cierto producto esta en relacin con el precio, y busca obtener la regla o funcin que relaciona estas cantidades, un bilogo observa que el nmero de bacterias en un cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo, y entonces trata de determinar la regla que relaciona ambos, el rea A de un circulo depende de su radio r, y la regla que regla que relaciona ambos esta dad por la frmula A = ,el costo de enviar un paquete por correo es una funcin de su peso, etc.A partir de estos ejemplos se puede ver que son muy importantes las funciones en las ciencias.

PRELIMINARES.

PAR ORDENADO:

Un par ordenado es un ente matemtico que consiste de dos elementos a y b en la cul importa el orden y se denota por (a ; b). dondea se denomina primera componente y b segunda componente

En trminos de conjunto el par ordenado se define como: (a ; b) ={ {a}; {a ; b}}PROPIEDADES :

1. ( a;b) (b,a) , a b2.

(a , b) = (c , d) { a = c b = d }

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos A y B , se define el producto cartesiano como el conjunto

A x B = { (a , b) / aA bB }

EJEMPLOS:

1. Dados los conjuntos A= {x / x3 = x } y B = { x / 3 < 2x-1< 9 } determinar AxB y BxA

2. Graficar Ax B, si: A= [ 1 ; 3{4} y B = [ 2 ; 4]3. Graficar : x [ -2 ; 3 >4. Graficar : [ 1 ; 3 > x { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }

OBSERVACIONES :1. AxB = , si al menos uno de los conjunto A o B es vaco.2. En general A x B B x A .3. Siendo A y B dos conjuntos finitos se tiene : n (AxB) = n(A). n(B)4.

x =

RELACINSean A y B dos conjuntos no vacos, entonces R es una relacin de A en B si y slo si R es un subconjunto no vaci de AxB.

es una relacin de A en B

Ejemplo:

Dado los conjuntos A = { 1; 4 ; 9 } y B = { 2; 8 ; 9 } Determine l relacin R de A en B tal que: R = { (a; b) AxB / 15 < 2a +b < 25 }

FUNCIONES

DEFINICIN:

Dados dos conjuntos no vacos A y B , decimos que la relacin f de A en B es una funcin si y slo si para cada x en A le corresponde un nico y en B tal que (x, y) f.

O equivalentemente:

es funcin

Notacin:

x y = f ( x)Regla de correspondencia.

Denotamos con , el segundo elemento del par ordenado de , cuyo primer elemento es x, para cada .

BAfGrficamente:

. .A : Conjunto de partida

y = f (x)x (dominio de )B : Conjunto de llegada.

OBSERVACIONES:

Dada una funcin de A en B1. No puede haber dos pares ordenados distintos en f con la misma primera componente.2.

f es una funcin si y solo si (x, y)f (x, z)f y = z3. Cuando un par (x ; y) f a la segunda componente se le denota por y = f (x) y se dice que y es la imagen de x mediante f.4. A la regla y = f (x) se le llama regla de correspondencia de f, donde x se llama variable independiente e y se le llama variable dependiente5. Una funcin es una relacin , pero no toda relacin es una funcin.

Nota: A la definicin de funcin que estamos tomando tambin se le conoce como aplicacin

EJEMPLOS:

BAf1.

45123

f es funcin de A en B, f : AB

BAf123 7

2.

f es funcin de A en B, f : AB

BAf3.

453

123f es funcin de A en B

BAf234564.

f no es funcin de A en B

DOMINIO DE UNA FUNCIN

El dominio de una funcin, es el conjunto dado por :

Dom f = { x A / ! y B (x,y)f }

Dom f = A

RANGO DE UNA FUNCIN

El rango de una funcin, es el conjunto dado por :

Ran f = { yB / (x,y)f xA }

Ran ( f ) B

EJEMPLOS:

1. Calcular a + b si el conjunto : g = { (2 ; a+1) , ( 3 ; b-1) , ( 2; 4) , ( 3 ;7) } representa una funcin2. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente funcin: f = { (7; 9), (5; 7), (1; 2a) , (a ; 7), (81; 3a-5) }

3. Dados A= { 2; 3 ; 5} , B = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 }

Sea f: AB tal que : f= { (x , y) / y = 2x}. Hallar el dominio y el rango de f.

FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL.

Se llama as a la funcin donde A y B son subconjuntos de nmeros reales

EJEMPLOS:

1. Determinar en cada uno de los siguientes casos , si es o no funcin los conjuntos de pares ordenados:a. { ( x+2 , x ) / x }b. { ( x , 1/x ) / x }c. { ( x2+1,x ) / x }d. { ( x , x2 ) / x }

2. Determine el dominio de la funcin f(x)=

3. Determine el rango de la funcin f(x) =

GRAFICA DE UNA FUNCIN:

La grafica de una funcin real f, es el conjunto de pares ordenados que pertenecen a f, considerando como puntos del plano 2 .

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES

f = { (x, y)2 / y = f(x)}es una funcin si y solamente si toda recta vertical (paralela al eje y ) corta a la grafica de f en a lo ms un punto.

Ejemplos:

y

xy

ff

x

f es funcin f no es funcin

FUNCIONES IGUALES:

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia, es decir:

Ejemplos:

1. Sean f y g dos funciones definidas por:

f(x) =

g(x) =

Se puede afirmar que f =g

2. Las funciones f(x) = y g(x) = x son iguales ?

FUNCIONES ESPECIALES:

Un conjunto , se dice que es simtrico si y solo si

FUNCIN PAR

Una funcin es funcin par si cumple :

i) A es simtrico.

ii)

Grficamente f es simtrica al eje y

xyxy

FUNCIN IMPAR

Una funcin es una funcin impar si cumple:i) A es simtrico.

ii)

Grficamente f es simtrica respecto al origen.

xyxy

EJERCICIOS

Identifique si las funciones son pares o impares.

1. .

2. .

3. .

4.

5. .

6.

7. .

8.

FUNCIONES BASICASSea la funcin f :Dom(f), tal que y =f(x)FUNCINREGLA DE CORRESPONDENCIAGRAFICADOMINIO Y RANGO

1. FUNCIN CONSTANTEy = c

c : constateyf

c

x

Dom(f) =

Ran(f) = {c}

2. FUNCIN IDENTIDADy =I(x) = x

y

f

45

x

Dom(f) =

Ran(f) =

3. FUNCIN A FINy = ax+ b

a, b : constantes

ya >0

bxf

Dom(f) =

Ran(f) =

4. FUNCIN LINEALy = ax

a, constante no nula.xy

Dom(f) =

Ran(f) =

5. FUNCIN CUADRTICAy = ax2 + bx + c

a, b, c constantes

ya > 0

f

x

h = k= V (h, k)

Dom(f) =

Ran(f) =[k ,>

6. FUNCIN CUBICA y = x 3

yxf

Dom(f) =

Ran(f) =

7 FUNCIN VALOR ABSOLUTO

y = =

y

xf

45 45

Dom(f) =

Ran(f) =[0,

8. FUNCIN RAIZ CUADRADA y =

y

f

x

Dom(f) =[0,

Ran(f) =[0,

9. FUNCIN INVERSO MULTIPLI-CATIVOy =

y

xf

Dom(f) =-{0}

Ran(f) = -{0}

10. FUNCIN SIGNO (sgn)Sgn(x)=

y

f

1

x

-1

Dom(f) =-{0}

Ran(f) = -{0}

11. Funcin de prueba

12, Funcin mximo entero

FUNCIONES MONTONAS

Una funcin es montona si es cualquiera de las siguientes funciones:

i) FUNCIN CRECIENTE

Una funcin f es creciente si se cumple:

x1< x2 f (x1) < f (x2) , x1 y x2Dom f

y

xx2x1f (x2)f (x1)

ii) FUNCIN DECRECIENTE

Una funcin f es decreciente si se cumple:

x1< x2 f (x1) > f (x2) , x1 y x2Dom f

xf (x2)f (x1)x2x1y

iii) FUNCIN NO CRECIENTE

Una funcin f es no creciente si se cumple:

x1< x2 f (x1) f (x2) , x1 y x2Dom f

xy

iv)FUNCIN NO DECRECIENTE

Una funcin f es creciente si se cumple:

x1< x2 f (x1) f (x2), x1 y x2Dom f xy

FUNCIONES ESTRICTAMENTE MONTONA.

Las funciones crecientes o decrecientes se denominan funciones estrictamente montonas.Apreciaciones.1. Si una funcin es creciente, entonces es no decreciente.2. Si una funcin es decreciente, entonces es no crecienteFUNCION PERIDICA.

Una funcin se dice que es peridica si , tal que .Periodo de una funcin peridica.

Es el menor , que satisface la definicin.

La funcin constante es peridica, cualquier .La funcin constante es peridica, pero no tiene periodo.

INTERPRETACIN.

Si una funcin es peridica, si es generada por una parte de su grafica.

T2TfOperaciones con funciones.

Sean 1. Suma de funciones.

Definimos la funcin , como la funcin con

.2. Resta de funciones.

Definimos la funcin , como la funcin con

.3. Producto de funciones.

Definimos la funcin , como la funcin con

.

Apreciaciones.

1. La funcin tiene periodo .

2. La funcin tiene periodo .

3. La funcin tiene periodo .

4. La funcin tiene periodo .

MODELOS MATEMTICOS: CONSTRUCCIN DE FUNCIONES

Con frecuencia los problemas del mundo real conducen a modelos matemticos que utilizan funciones, las cuales hay que construir con base en la informacin de que se disponga. Para construir funciones debemos poder traducir la descripcin verbal de un problema al lenguaje de las matemticas. Esto lo hacemos asignando smbolos para representar a las variables independientes y dependientes y determinando despus la funcin o regla que relaciona a dichas variables.

El permetro de un rectngulo es de 50 pies. Exprese su rea A como una funcin de la longitud de su lado.Consulte la figura 1. Si la longitud del rectngulo es x, y w su anchura, entonces la suma de las longitudes de los lados es el permetro, 50.

wxwxFigura 1x + w + x + w = 502 x + 2 w = 50x + w = 25w = 25 - x

El rea A la constituye la longitud por la anchura, de modo que

A = x w = x (25 x)

El rea A como una funcin de x es

A (x) = x (25 x)

Observe que utilizamos el smbolo A como la variable dependiente y tambin como el nombre de la funcin que relaciona la longitud x con el rea A. Como habamos dicho, este doble uso es comn en aplicaciones y no debe causarle dificultades.

Economa: Ecuaciones de demanda

En economa, el ingreso R est definido como la cantidad de dinero obtenida de la venta de un producto, es igual al precio de venta unitario p del producto por el nmero x de artculos vendidos. Es decir,

R = x p

Por lo general, existe una relacin entre p y x: si uno crece el otro disminuye. Supongamos que p y x estn relacionados por la siguiente ecuacin de demanda:

El ingreso R como funcin del nmero x de artculos vendidos.

Solucin

Como y , esto implica que

Determinacin de la distancia desde el origen hasta un punto de la grfica:

Sea P=(x,y) un punto en la grfica de y=x2-1

(a) Exprese la distancia d al origen O como funcin de x.(b) Cul es el valor de d si x=0?(c) Cul es el valor de d si x=1?(d) Cul es el valor de d si ?

Figura 2

Solucin (a) La figura 2 ilustra la grfica. La distancia d de P a O es

Como P es un punto en la grfica de y=x2-1, tenemos

As, hemos expresado la distancia d como una funcin de x.

(b) Si x=0, la distancia d es

(c) Si x=1, la distancia d es

(d) Si , la distancia d es

Llenando una alberca

Una alberca rectangular de 20 metros de largo por 10 de ancho, tiene 4 metros de profundidad en un extremo y 1 metro en el otro. La figura 3 ilustra una vista transversal de la alberca. El agua para llenar la alberca es bombeada por el extremo profundo.

(a) Determinar una funcin que exprese el volumen V de agua en la alberca como funcin de su profundidad x en el extremo profundo.(b) Calcular el volumen del agua cuando su profundidad es de 1 metro.(c) Determinar ese volumen cuando la profundidad es de 2 metros.

Figura 3

Solucin

(a) Sea L la distancia (en metros) medida al nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos profundo. Observe que L y x forman los lados de un tringulo cuyos lados son 20 por 3 metros. De ese modo, L y x estn relacionados mediante la ecuacin.

O

El volumen V de agua en la alberca en cualquier instante es

Metros cbicos

Como , tenemos

Metros cbicos

(b) Cuando la profundidad x del agua es 1 metro, el volumen V=V(x) es

Metros cbicos

(c) Cuando la profundidad x del agua es de 2 metros, el volumen V=V(x) es

Metros cbicos

rea de un tringulo issceles

Considere un tringulo issceles de permetro fijo p.

Figura 4

(a) Si x es igual a la longitud de uno de los lados iguales, exprese el rea A como una funcin de x.(b) Cul es el dominio de A?(c) Observe la figura 4. Como los lados iguales miden x, el tercer lado debe medir p-2x (Advierte por qu?) Sabemos que el rea es

Para determinar la altura h trazamos la recta perpendicular a ka base cuya longitud es p-2x, utilizamos el hecho de que la perpendicular biseca a la base. Por el Teorema de Pitgoras, tenemos

El rea A est dada por

(b) El dominio de A se determina como sigue. Debido a la expresin necesitamos que

Como p-2x es un lado del tringulo, tambin necesitamos

As, el dominio de A es p/41000g(x) =

Vase la figura 6.

10 -20 -30 -0 |500 |1000 |1500 |2000Figura 6

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