Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 RELACIN DE PROBLEMAS MATEMTICAS II BLOQUE DE FUNCIONES 1.Ejercicio 1.- [25 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectngulo coronado con un semicrculo. De entre todas las ventanas normandas de permetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de rea mxima. 2.Ejercicio 2.- [25 puntos] Calcula el valor de b > u, sabiendo que el rea de la regin comprendida entre la curva y = xy la recta y=bx es de 4S unidades cuadradas. 3.Ejercicio 1.- Sea |1c, 4] R la funcin definida por (x) = _x -ln(x) + osi 1c x 2bx +1 - ln(2)si2 < x 4 Donde ln denota la funcin logaritmo neperiano (a)[1'25 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo (1/e,4).(b)[1'25 puntos] Para a = 0 y b = 1/2 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 4.Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Sea (u; +) R la funcin definida por(x) =x(1-ln(x)), donde ln denota la funcin logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto P(1,1). 5.Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Calcula la base y la altura del tringulo issceles de permetro 8 y de rea mxima. 6.Ejercicio 2.- Considera las funciones , g: RR definidas por(x) =6x x2yg(x) =x2 2x. (a)[0'75 puntos] Esboza sus grficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.(b)[175 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por las grficas de y g. 7.Ejercicio 1.- Sea la funcin definida por(x) =3x4+1x3 para x = u (a)[125 puntos] Estudia las asntotas de la grfica de la funcin.(b)[125 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 8.Ejercicio 2.- Sean , g: RR las funciones definidas por (x) = 14x2 + 4yg(x ) =x2 1.(a)[0'75 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de en el punto de abscisa x=-2.(b)[175 puntos] Esboza el recinto limitado por las grficas de ambas funciones y la recta y=x+S. Calcula el rea de este recinto. 9.Ejercicio 1.- [25 puntos] Dada la funcin RR definida por (x) =ox3 + bx2 + cx, determina o, b y c sabiendo que su grfica tiene un punto de inflexin en (1,u), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuacin y=-Sx+ S. A0 2011 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 10.Ejercicio 2.- Sean RR y g RR las funciones definidas por: (x) =4-S|x| y g(x) =x2.(a) [1 punto] Esboza las grficas de y g. Determina sus puntos de corte. (b) [15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por las grficas de y g. 11.Ejercicio 1.- [25 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectngulo de tal manera que tiene un vrtice en el origen de coordenadas y el vrtice opuesto en la parbola y=-x2 + S.Determina las dimensiones del rectngulo para que su rea sea mxima. 12.Ejercicio 2.- [25 puntos] Calcula:] x cos(x) Jxn20 13.Ejercicio 1.- [25 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que est junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. Cules son las dimensiones del prado de rea mxima que podemos cercar con 3000 euros? 14.Ejercicio 2.- [25 puntos] Calcula un nmero positivo o, menor que 2, para que el recinto limitado por la parbola de ecuacin y=12x2 y las dos rectas horizontales de ecuaciones y=o e y=2, tenga un rea de 14S unidades cuadradas. 15.Ejercicio 1.- [25 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 aos, los ingresos vienen dados por la frmula x2+7ux, mientras que para edades iguales o superiores a 50 aos los ingresos estn determinados por la expresin,400xx-30 Calcula cul es el mximo de los ingresos y a qu edad se alcanza. 16.Ejercicio 2.- Dada la funcin RR definida por (x) =-2x2+ Sx- 1 (a) [05 puntos] Prueba que las rectas y=-x+1 e y= Sx- 1 son tangentes a su grfica.(b) [2 puntos] Halla el rea del recinto limitado por la grfica de y las rectas mencionadas en el apartado anterior. 17.Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozosse construye un cuadrado y con el otro un rectngulo cuya base es doble que su altura. Calcula laslongitudes de cada uno de los trozos con la condicin de que la suma de las reas de estas dos figuras seamnima. 18.Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Determina la funcin (-1, +) Rtal que "(x) =1x y su grfica tiene tangentehorizontal en el punto P(1,1). 19.Ejercicio 1.- Sea RR la funcin definida por (x) =4 x2 (a)[1 punto] Halla la ecuacin de la recta normal a la grfica de f en el punto de abscisa x=2. (b) [1'5 puntos] Determina el punto de la grfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x+ 2y 2=u. 20.Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula:]x3+x2x2+x-2Jx 21.Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se desea construir un depsito cilndrico cerrado de rea totaligual a 54 m2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que ste tengavolumen mximo. 22.Ejercicio 2.- Sea (-1, +) R la funcin definida como (x) =ln(x+1), donde lndenota la funcin logaritmo neperiano. (a) [0'75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grfica de , el eje OY y la recta y=1.Calcula los puntos de corte de las grficas. (b) [175 puntos] Halla el rea del recinto anterior. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 23.Ejercicio 1.- [25 puntos] Sea (1, +) R la funcin definida como (x) = x -1. Determina el punto P de la grfica de f que se encuentra a menor distancia del puntoA(2,u). Cul es la distancia? 24.Ejercicio 2.- [25 puntos] Halla ]cx(c2x-1)(cx+1)Jx Sugerencia: efecta el cambio t = cx 25.Ejercicio 1. [25 puntos] Entre todos los tringulos rectngulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de rea mxima. 26.Ejercicio 2. [25 puntos] Sea (-2, +) R la funcin denida por (x) =ln(x+ 2). Halla una primitiva F de que veriqueF(u) =u. (ln denota el logaritmo neperiano) 27.Ejercicio 1. Sea (u, +) R la funcin definida por (x) =ln(x2 +Sx), donde ln denota el logaritmo neperiano.(a)[15 puntos] Determina, si existen, los puntos de la grfica de en los que la recta tangente a la grfica es paralela a la recta de ecuacin x-2y+1=u.(b)[1 punto] Halla la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a la grfica de en el punto de abscisa x = S. 28.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el rea del recinto comprendido entre la parbola y=x2 +ox y la recta y+x=u vale 36 unidades cuadradas. 29.Ejercicio 1. Sea la funcin definida como (x) =ux2+ bu-x para x=o.(a)[1'5 puntos] Calcula o y b para que la grfica de pase por el punto (2,S) y tenga una asntota oblicua con pendiente - 4. (b)[1 punto] Para el caso de o=2, b=S, obtn la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x=1 30.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula] scn(x)Jxn20 Sugerencia: Efecta el cambiox =t. 31.Ejercicio 1. [25 puntos] Calcula limx0 cx- cscnxx2 32.Ejercicio 2. Considera la funcin dada por (x) =S x y la funcin g definida como g(x) =4x para x=u. (a)[1 punto] Esboza el recinto limitado por las grficas de y g indicando sus puntos de corte. (b)[15 puntos] Calcula el rea de dicho recinto. 33.Ejercicio 1. [25 puntos] Sea la funcin RR dada por(x) = _cx(x2 +ox)six ubx2+cx+1si x > u. Calcula las constantes o, b y c sabiendo que es derivable y que la recta tangente a la grfica de en el punto de abscisa x=1 tiene pendiente S. S4.Ejercicio 2. [25 puntos] Dada la funcin f definida por (x) =3x2 -5x+4para x = 1y x =4.Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de , el eje de abscisas, y las rectas x= 2, x=S. A0 2010 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 35.Ejercicio 1. [25 puntos] Sea RR la funcin definida como (x) =(x+1). S -x3. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la grfica de en el punto de abscisa x = -S y en el punto de abscisa x=2. 36.Ejercicio 2. Considera la funcin RR definida por (x) =x|2-x|. (a)[1 punto] Esboza su grfica.(b)[15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de , el eje de abscisas y la recta de ecuacin x = S. 37.Ejercicio 1. [25 puntos] La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el tringulo engendra un cono. Qu medidas han de tener los catetos del tringulo para que el volumen del cono engendrado sea mximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = (1/3)r2h). 38.Ejercicio 2. Considera las funciones , g RR definidas por (x) =2 x2, g(x) =|x|. (a)[ 1 punto] Esboza sus grficas en unos mismos ejes coordenados. (b)[ 15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por las grficas de y g. 39.Ejercicio 1.Sea f la funcin definida como (x) =x3x2 1 para x = 1, -1. (a)(1 punto) Estudia y halla las asntotas de la grfica de (b)(1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de. (c)(05 puntos) Con los datos obtenidos esboza la grfica de . 40.Ejercicio 2. Dada la funcin f: (0,+) R definida por (x) =ln x, donde ln la funcin logaritmo neperiano, se pide: a)[075 puntos] Comprueba que la recta de ecuacin y=-cx+1 +c2 es la recta normal a la grfica de en el punto de abscisa x=c. b)[175 puntos] Calcula el rea de la regin limitada por la grfica de , el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a). 41.Ejercicio 1. [25 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los mrgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mnimo. 42.Ejercicio 2. Sea I= ]|51 + c-x ]Jx(a)(1 punto) Expresa I haciendo el cambio de :orioblc t2 = c-x. (b)(15 puntos) Determina I. 43.Ejercicio 1. Considera la funcin : |u,4] R definida por (x) = _x2 + ox + bsiu x 2cxsi 2 < x 4 (a)(175 puntos) Sabiendo que es derivable en todo el dominio y que verifica (u) =(4), determina los valores de o, b y c. (b)(075 puntos) Para o=-S, b=4 y c=1 halla los extremos absolutos de (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 44.Ejercicio 2. Considera la funcin f: R R dada por (x) =x2+4. (a)[075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de en el punto de abscisa x=1. (b)[175 puntos] Esboza el recinto limitado por la grfica de , el eje de ordenadas y la recta de ecuacin y=2x+S. Calcula su rea. 45.Ejercicio 1. [25 puntos] Dada la funcin RR definida como (x) =oscn(x) +bx2 + cx+ J, determina los valores de las constantes o, b, c y J sabiendo que la grfica de tiene tangente horizontal en el punto (u, 4) y que la segunda derivada de es (x) =Sscn(x)-1u. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 46.Ejercicio 2. Sea la funcin f dada por (x) =1x2+x para x = -1,u. Determina una primitiva F de tal que F(1) =1. 47.Ejercicio 1. [25 puntos] Considera la funcin RR definida por(x) = _c-x si x u1 - x2 si u < x < 12x + 1si 1 x Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funcin derivada de . 48.Ejercicio 2. Sean , g RR las funciones definidas por (x) =x2 - 2x + y g(x) =12x2 + 1. (a)[1 punto] Esboza las grficas de y g, y halla su punto de corte.(b)[15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por las grficas de ambas funciones y el eje de ordenadas. 49.Ejercicio 1.- [25 puntos] Sea la funcin definida por RR , (x) = ox3 +bx2 + cx + J.Calcula los valores de o, b, c y J sabiendo que verifica:-El punto (u , 1) es un punto de inflexin de la grfica - tiene un mnimo local en el punto de abscisa x=1 -La recta tangente a la grfica de en el punto de abscisa x=2 tiene pendiente 1. 50.Ejercicio 2.- Considerar las funciones definidas por , g RR , dadas por (x) = |x| y g(x) = 6 - x2 a)[1 punto] Esboza el recinto limitado por sus grficasb)[15 puntos] Calcula el rea de dicho recinto 51.Ejercicio 1.- [25 puntos] Se divide un segmento de longitud L = 20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectngulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las reas del cuadrado y del rectngulo sea mnima. 52.Ejercicio 2.- La recta tangente a la grfica de la funcin , definida por RR , (x) = mx2 + nx - Sen el punto (1 , -6), es paralela a la recta y=-x a)[125 puntos] Determina las constantes m y n. Halla la ecuacin de dicha recta tangenteb)[125 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de la funcin, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas 53.Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se considera la funcin : |1, +) R definida por (x) = x2 - x + x. Determina la asntota de la grfica S4.Ejercicio 2.- La curvay =12x2divide el rectngulo de vrtices A=(u,u), B=(2,u), C = (2,1) y =(u , 1) en dos recintos a)[075 puntos] Dibujar dichos recintos b)[175 puntos] Hallar el rea de cada uno de ellos 55.Ejercicio 1.- [2'5 puntos] De entre todos los rectngulos cuya rea mide 16 cm2,determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. A0 2009 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 56.Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Sea f la funcin definida por(x) =x4-9x2. Halla la primitiva Fde que cumple F(u) =S. (Sugerencia: Utiliza el cambio de variablet =32x2). 57.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula el siguiente lmite (In denota logaritmo neperiano),limx11lnx -2x2 - 1 58.Ejercicio 2. Sea RR la funcin definida por (x) =x|x 1|. (a)[0'5 puntos] Esboza la grfica de . (b)[0'75 puntos] Comprueba que la recta de ecuacin y=xes la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x=u. (c)[1'25 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de y la de dicha tangente 59.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por (x) = _1x - 1 si x < ux2 - Sx -1 si x u (a)[0'75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad. (b)[1'25 puntos] Determina sus asntotas y sus extremos relativos.(c)[0'5 puntos] Esboza la grfica de . 60.Ejercicio 2. Considera la curva de ecuacin y=x3-Sx. (a)[0'5 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = -1. (b)[2 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la curva dada y la recta y=2. 61.Ejercicio 1.- Sea f : R R la funcin definida por(x) = x2 |x + S|. a)[15 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de f b)[15 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) 62.Ejercicio 2.- Sea : (u, +) Rdefinida (x) = 1 + lnx, siendo ln la funcion logaritmo neperiano a) [1 punto] Comprueba que la recta de ecuacin y = 1 +1cx es la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = e b) [15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisa y la recta tangente del apartado a) 63.Ejercicio 1.- Sea : (u, +) R la funcin definida por: (x) = _x (lnx)2(x - 1)2 six = 1osix = 1 a) [1,25 puntos] Sabiendo que es continua, calcula o. b) [1,25 puntos] Estudia la existencia de asntota horizontal para la grfica de esta funcin. En caso de que exista, determina la ecuacin. 64.Se consideran las funciones : (u, +) R y g: R R definidas por(x) = Sx, g(x) =13x2 a) [0,5 puntos] Haz un esbozo de sus grficas. b) [2puntos] Calcula el rea del recinto limitado por las grficas de ambas funciones. 65.Ejercicio 1.- [25 puntos] Se sabe que la funcin : R R definida por(x) = _ -x2 + bx + 1 si x 1ox2 - Sx +2o six > 1 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 es derivable. Determina los valores de o y b. 66.Ejercicio 2.- [125 puntos] a) Calcula ]x. scn(x)Jx b) [125 puntos] Sean las funciones , g RR, definidas por (x) = x2+ 1 y g(x) =x 1. Calcula el readel recinto limitado por sus grficas 67.Ejercicio 1.- [25 puntos] Se sabe que la funcin + +definida por(x) = ox3 + bx2 + cx + Jtiene extremos relativos en (u , u) y (2 , 2).Calcula o, b, c y J. 68.Ejercicio 2.- Las dos grficas del dibujo corresponden a la funcin f (x): (0 , + )+ definida por (x) = 2x +2lnx y a la de su derivada (x): (u , + ) +(ln denota logaritmo neperiano) a)[05 puntos] Indica, razonando la respuesta, cul es la grfica de y cul la de b)[2 puntos] Calcula el rea de la regin sombreada 69.Ejercicio 1.- Sea la funcin definida por : R R, (x) = x + c-x. a)[075 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de , as como los extremos relativos o locales de . b)[05 puntos] Determina los intervalos de concavidad y convexidad de c)[075 puntos] Determina las asntotas de la grfica de . d)[05 puntos] Esboza la grfica de 70.Ejercicio 2.- Sea las funciones definidas por : R R y g: R R, (x) = x2 +|x| y g(x) = 2. a)[1 punto] Determina los puntos de corte de las graficas de y g. Esboza dichas grficas.b)[15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por dichas graficas 71.Ejercicio 1.- [25 puntos] De todos los tringulos cuya base y altura suman 20 cm., qu base tiene el de rea mxima? 72.Ejercicio 2.- [25 puntos] Calcula un nmero positivo a, menor que 4, para que el recinto limitado por la parbola de ecuacin y=x2y las dos rectas de ecuaciones y=4y y=o, tenga un rea de 28Sunidades cuadradas. 73.Ejercicio 1. Sean RR y g RR las funciones definidas por(x) =x2+ox+ b y g(x) =cc-(x+1) Se sabe que las grficas de y g se cortan en el punto (-1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente.(a) [2 puntos] Calcula los valores de o, b y c. (b) [05 puntos] Halla la ecuacin de dicha recta tangente. 74.Ejercicio 2. [25 puntos] Dadas las funciones |u, + ) R y g |u, + ) R definidas por(x) = x y g(x) =x3 calcula el rea del recinto limitado por las grficas de y g. 7S.Ejercicio 1. [25 puntos] Sea RR la funcin definida por (x) =ox3 +bx2 +cx+J. Se sabe que f tiene un mximo local en x=1, que el punto (u, 1) es un punto de inflexin de su grfica y que](x)Jx =9410 . Calcula o, b, c y J. 76.Ejercicio 2. Sea g (u, + ) R la funcin dada por g(x) =ln x (ln denota logaritmo neperiano).(a)[075 puntos] Justifica que la recta de ecuacin y=[1c x es la recta tangente a la grfica de g en el punto de abscisa x=c. A0 2008 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)[175 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior. 77.Ejercicio 1. Sea f: RR la funcin definida por:(x) = _ox2 + Sx si x 2x2 - bx - 4 si x > 2. (a)[15 puntos] Halla o y b sabiendo que es derivable en R. (b)[1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la grfica de en el punto de abscisa x=S. 78.Ejercicio 2. Dada la funcin g: RR , definida por g(x) =2x+|x2-1|. (a)[1 punto] Esboza la grfica de g. (b)[15 puntos] Calcula]g(x)Jx20 79.Ejercicio 1. [25 puntos] De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un tringulo de rea mnima. Halla el rea de dicho tringulo. 80.Ejercicio 2. Sean : RR y g: RR las funciones definidas por (x) =x2 1 y g(x) =2x+2 (a)[05 puntos] Esboza las grficas de y g. (b)[2 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por dichas grficas. 81.Ejercicio 1. [25 puntos] Sea f la funcin definida, para x=u, por (x) = x c1x. Determina las asntotas de la grfica de f. 82.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula ]dx(x2-x)(x-1)-1-2 83.Ejercicio 1. [25 puntos] De entre todos los rectngulos de permetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. 84.Ejercicio 2. Sea RR la funcin definida por (x) =c-2x (a)[1 punto] Justifica que la recta de ecuacin y=-2cxes la recta tangente a la grfica de en el punto de abscisa x=-12. (b)[15 puntos] Calcula el rea el recinto limitado por la grfica de , el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior. 85.Ejercicio 1. [25 puntos] Dada la funcin RR definida por (x) =x + 1cx, determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de en su punto de inflexin. 86.Ejercicio 2. Sean RR y g RR las funciones definidas mediante(x) =x3 - 4x y g(x) =Sx-6 (a)[075 puntos] Determina los puntos de corte de las grficas de y g.(b)[175 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por dichas grficas. 87.Ejercicio 1. Sea la funcin |u, 4] R definida por(x) = _x2 + ox + b si u x < 2cx + 1 si 2z x 4 (a)[2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado |u, 4], derivable en el intervalo abierto (u, 4) y que (u) =(4).(b)[05 puntos] En qu punto del intervalo se anula la derivada de la funcin? 88.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula ] x ln(x + 1) Jx10(ln denota la funcin logaritmo neperiano). 89.Ejercicio 1. Sea |u, 2n] R la funcin definida por (x) =cx(scn x+cos x). Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (a)[125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de .(b)[125 puntos] Calcula los puntos de inflexin de la grfica de . 90.Ejercicio 2.[25 puntos] Sean R R y g R R las funciones dadas por(x) =x2yg(x) =o (con o>u)Se sabe que el rea del recinto limitado por las grficas de las funciones y g es 4S. Calcula el valor de la constante o. 91.Ejercicio 1. Sea R R la funcin definida por(x) = ]x|x|si x 26 -x si x > 2 (a)[075 puntos] Esboza la grfica de . (b)[1 punto] Estudia la derivabilidad de .(c)[075 puntos] Calcula el rea comprendida entre la grfica de y el eje de abscisas. 92.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula]x2ln(x) Jxc1(ln denota la funcin logaritmo neperiano). 93.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin definida por f(x) = (3x 2x2)ex .(a)[15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b)[1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 94.Ejercicio 2. Considera las funciones (u, n) R y g (u, + ) R definidas por(x) =scnxcos3x y g(x) = x3 lnx [ln denota la funcin logaritmo neperiano]. (a)[125 puntos] Halla la primitiva de que toma el valor 1 cuando x = nS(se puede hacer el cambio de variable t=cos x ).(b)[125 puntos] Calcula]g(x)Jx 95.Ejercicio 1. [25 puntos] Dada la funcin definida, para x = u, por (x) =cx+1cx- 1 determina las asntotas de su grfica. 96.Ejercicio 2. Sea g R R la funcin definida por g(x) =14x3 - x2 +x. (a)[05 puntos] Esboza la grfica de g. (b)[075 puntos] Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de g en el punto de abscisa x=2.(c)[125 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de g y el eje de abscisas. 97.Ejercicio 1. Sea f: (0,+ ) R la funcin denida por(x) =3x+1x .(a)[15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan). (b)[1 punto] Calcula el punto de inflexin de la grfica de . 98.Ejercicio 2. Sea f: R R la funcin denida por f(x) = x|x-2|. (a)[1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2. (b)[05 puntos] Esboza la grfica de f. (c)[1 punto] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f y el eje de abscisas. 99.Ejercicio 1. [25 puntos] Determina una funcin f: R R sabiendo que su derivada viene dada porf (x) = x2 + x 6 y que el valor que alcanza f en su punto mximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mnimo (relativo). 100.Ejercicio 2. Sea f: (-1,+ ) R la funcin denida por f(x) = Ln(x+1). (Ln denota la funcin logaritmo neperiano). (a)[1 punto] Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 0. A0 2007 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)[15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1. 101.Ejercicio 1. [25 puntos] Determina dos nmeros reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es mximo. 102.Ejercicio 2. Sean f : R R y g : R R las funciones denidas mediante f(x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3. (a)[125 puntos] Esboza las grficas de f y de g calculando sus puntos de corte. (b)[125 puntos] Calcula el rea de cada uno de los recintos limitados entre las grficas de f y g. 103.Ejercicio 1. [25 puntos] Sea f : R R la funcin denida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la grfica de f en su punto de inflexin es la recta y = 2x + 3. 104.Ejercicio 2. [25 puntos] Dada la funcin f : R R denida por f(x) = Ln(1 + x2), halla la primitiva de f cuya grfica pasa por el origen de coordenadas. (Ln denota la funcin logaritmo neperiano). 105.Ejercicio 1. Sea f : (0,+ ) R la funcin denida por f(x)= x2Ln(x) (Ln denota la funcin logaritmo neperiano).(a)[15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).(b)[1 punto] Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = c 106.Ejercicio 2. Considera las funciones f : R R y g : R R denidas porf(x) = e x 1 y g(x) = e 1 x (a)[125 puntos] Esboza las grficas de f y de g y determina su punto de corte.(b)[125 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por el eje OY y las grficas de f y g. 107.Ejercicio 1. [25 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centmetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los permetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. Cmo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mnimo? 108.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por f(x)= x(x 3)2 .(a)[1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.(b)[05 puntos] Haz un esbozo de la grfica de f.(c)[1 punto] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f y el eje de abscisas. 109.Ejercicio 1. [25 puntos] De entre todos los rectngulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vrtice en la recta r de ecuacin x2+y=1 (ver figura), determina el que tiene mayor rea. 110.Ejercicio 2. Sea]22-cxJx (a)[1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t = ex . (b)[15 puntos] Calcula I 111.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = x2e -x .(a)[15 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).(b)[1 punto] Estudia y determina las asntotas de la grfica de f. 112.Ejercicio 2. Sea f : (2,0) R la funcin denida mediante(x) = _uxsi - 2 < x -1x2-[2 si - 1 < x < u Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (a)[15 puntos] Determina o y [ sabiendo que es derivable.(b)[1 punto] Calcula ] (x)Jx-1-2 113.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = (x - 3)e x .(a)[1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).(b)[15 puntos] Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en su punto de inflexin. 114.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por (x) = ]1 + ox si x < uc-x si x u (a)[1 punto] Determina el valor de sabiendo que f es derivable.(b)[05 puntos] Haz un esbozo de la grfica de f.(c)[1 punto] Calcula ] (x)Jx1-1. 115.Ejercicio 1. Sea f la funcin definida , para x 2 y x - 2, por (x) =x2 + 3x2 4. (a)[1 punto] Determina las asntotas de la grfica de f.(b)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).(c)[05 puntos] Esboza la grfica de f. 116.Ejercicio 2. Calcula (a)[1 punto]]3x+4x2+1Jx (b)[15 puntos] ] xcos(2x)Jxn40 117.Ejercicio 1. [25 puntos] Determina la funcin f : R R sabiendo que f (x) = x2 1 y que la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1. 118.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula > 0 para que el rea del recinto limitado por las grficas de las funciones f : R R y g :R R denidas por f(x) = x2 y g(x) = x2 + 22 sea 72 (unidades de rea). 119.Ejercicio 1. [25 puntos] Se quiere construir un depsito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m3. Qu dimensiones ha de tener el depsito para que su superficie sea mnima? 120.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = x2.(a)[075 puntos] Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x= 1.(b)[175 puntos] Dibuja el recinto limitado por la grfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su rea. 121.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la funcin logaritmo neperiano. (a)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la funcin f (puntos donde se alcanzan y valor de la funcin). (b)[15 puntos] Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de inflexin de abscisa negativa. 122.Ejercicio 2. Sea f la funcin definida por (x) = _cx -1 six ux c-x2 si x < u (a)[1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. (b)[15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f , el eje de abscisas y la recta x=-1. A0 2006 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 123.Ejercicio 1. [25 puntos] Calculalimx1[1Inx -1x-1 siendo Ln la funcin logaritmo neperiano. 124.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por(x) = _-ux six -1x2 + 1 si x > -1 (a)[075 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b)[05 puntos] Esboza la grfica de f . (c)[125 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f , el eje de abscisas y las rectas x+ 2=u y x-2=u. 125.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = x2 - |x|.(a)[075 puntos] Estudia la derivabilidad de f. (b)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c)[075 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funcin). 126.Ejercicio 2. Calcula (a)[15 puntos] ]5x2-x-160x2-25Jx (b)[1 punto] ](2x -S) tg(x2 - Sx)Jx, siendo tg la funcin tangente 127.Ejercicio 1. [25 puntos]Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las reas de ambos recintos sea mnima. 128.Ejercicio 2. [25 puntos] Halla la funcin RR sabiendo que (x) =12x 6 y que la recta tangente a la grfica de en el punto de abscisa x=2 tiene de ecuacin 4x y 7=u. 129.Ejercicio 1. [25 puntos] Determina un punto de la curva de ecuaciny = xc-x2y en el que la pendiente de la recta tangente sea mxima. 130.Ejercicio 2. Sea I = ]x31+x2Jx20 (a)[125 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t=1+x2 (b)[125 puntos] Calcula el valor de I 131.Ejercicio 1. Sea la funcin definida por (x) =x4+3x para x = u. (a)[0.75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asntotas de la grfica de . (b)[1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de . (c)[0.75 puntos] Esboza la grfica de . 132.Ejercicio 2. [2.5 puntos] El rea del recinto limitado por las curvas de ecuacionesy =x2u e y = ox con o>u, vale S. Calcula el valor de o. 133.Ejercicio 1. (a) [15 puntos] Sea f : R R la funcin dada por f (x) = ax2 + b. Halla los valores de a y b sabiendo] (x)Jx = 660 y que la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en el punto de abscisa 3 vale 12. 134.(b) [1 punto] Sea f : R R la funcin dada por f (x) = x2 + p x + q. Calcula los valores de p y q sabiendo que la funcin f tiene un extremo en x = 6 y su valor en l es 2. 135.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula ](x2 - 1)c-xJx 136.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por (x) =x2 - x + 1x2 + x + 1 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (a)[075 puntos] Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asntotas de la grafica de f . (b)[125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la funcin f . (c)[05 puntos] Esboza la grfica de f . 137.Ejercicio 2. [25 puntos] Halla el rea del recinto limitado por la grfica de la funcin f (x) = sen x y las rectas tangentes a dicha grfica en los puntos de abscisas x = 0 y x = . 138.Ejercicio 1. [25 puntos] Sea f : (1, + ) R la funcin dada por(x) =x(Inx)2(x-1)2 , siendo Ln la funcin logaritmo neperiano. Estudia la existencia de asntota horizontal para la grfica de esta funcin. En caso de que exista, hllala. 139.Ejercicio 2. Sea f : [0, 4] R una funcin tal que su funcin derivada viene dada por i(x) = _2Sx si u < x < S-2x + 8 si S x < 4 (a)[175 puntos] Determina la expresin de f sabiendo que f (1) = 16/3. (b)[075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 1. 140.Ejercicio 1. Se sabe que la funcin f : [0, 5] R denida por (x) = _ox + bx2 si u x < 2-4 + x -1 si 2 x Ses derivable en el intervalo (0, 5). (a)[175 puntos] Calcula las constantes a y b. (b)[075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 2. 141.Ejercicio 2. [25 puntos] Sean las funciones f y g : [0, +) R , dadas por (x) =x2 y g(x) = x, donde es un nmero real positivo fijo. Calcula el valor de sabiendo que rea del recinto limitado por las grficas de ambas funciones es 1/3. 142.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f (x) = x3 + ax2 + bx + 1 (a)[15 puntos] Determina a, b R sabiendo que la grfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto de inflexin de abscisa x = 0. (b)[1 punto] Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grfica de f en el punto de inflexin. 143.Ejercicio 2. Sea f : (0, 2) R la funcin denida por (x) = _lnx si u < x 1ln(x - 2)si 1 < x < 2, siendo Ln la funcin logaritmo neperiano. (a)[1 punto] Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1. (b)[15 puntos] Calcula ] (x)Jx1,51 144.Ejercicio 1. [25 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea mximo. 145.Ejercicio 2. (a) [075 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y = 15/(1 + x2) e y = x2 1. (b) [175 puntos] Calcula el rea de dicho recinto. 146.Ejercicio 1. [2'5 puntos] De la funcin f : R R denida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un mximo en x = -1, y que su grfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexin en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, adems, que la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.A0 2005 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 147.Ejercicio 2. Se sabe que las dos grficas del dibujo corresponden a la funcin f : R R denida por f (x) = x2ex y a su funcin derivada f '. (a)[1 punto] Indica, razonando la respuesta, cul es la grfica de f y cul la de f'. (b)[1'5 puntos] Calcula el rea de la regin sombreada. 148.Ejercicio 1. Sea f la funcin definida para x 0 por (x) =x2+1x (a)[1 punto] Estudia y determina las asntotas de la grfica de f. (b)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin). (c)[05 puntos] Esboza la grfica de f 149.Ejercicio 2. Considera la funcin f : R R denida por f (x) = e x/2.(a)[075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 0. (b)[175 puntos] Calcula el rea de la regin acotada que est limitada por la grfica de f, la recta de ecuacin x = 2 y la recta tangente obtenida en (a). 150.Ejercicio 1. Sea f la funcin definida para x 1 por (x) =cxx 1 (a)[0'5 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f. (b)[0'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c)[0'75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. (d)[0'5 puntos] Esboza la grfica de f. 151.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula la integral]3x3+x2-10x+1x2-x-2Jx 152.Ejercicio 1. [25 puntos] Determina los puntos de la parbola de ecuacin y = 5 - x2 que estn mas prximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de as coordenadas. 153.Ejercicio 2. Se sabe que la funcin f : [0,+ ) R denida por (x) = _ox si u x 8x2-32x-4si x > 9r es continua en |u, + ). (a)[05 puntos] Halla el valor de a.(b)[2 puntos] Calcula ] (x)Jx100 154.Ejercicio 1. [25 puntos] Se sabe que limx0 x-uscnxx2es nito. Determina el valor de y calcula el limite. 155.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por (x) = _2x + 4 si x u(x - 2)2 si x > u (a)[1 punto] Calcula los puntos de corte de la grfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha grfica. (b)[15 puntos] Halla el rea de la regin acotada que est limitada por la grfica de f y por el eje de abscisas. 156.Ejercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x 0, por(x) =x2- 1x, g(x) = c1xy (x) =n |x|, Siendo Ln la funcin logaritmo neperiano.(a)[175 puntos] Halla las ecuaciones de las asntotas de las grficas de f, g y h. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)[075 puntos] Identifica, entre las que siguen, la grfica de cada funcin, justificando la respuesta. Grfica 1 Grfica 2 Grfica 3 Grfica 4 157.Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula ] ln(2 + x) Jx0-1siendo Ln la funcin logaritmo neperiano. 158.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f (x) = (5x + 8) / (x2 + x + 1). (a)[05 puntos] Calcula los puntos de corte de la grfica de f con los ejes coordenados.(b)[05 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f . (c)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin).(d)[05 puntos] Esboza la grfica de f . 159.Ejercicio 2. Considera la funcin f : R R denida por f (x) = x2 5x + 4.(a)[075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 3.(b)[175 puntos] Calcula el rea de la regin acotada que esta limitada por el eje de ordenadas, por la grfica de f y por la recta tangente obtenida. 160.Ejercicio 1. [25 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mnima. 161.Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales:(a)[05 puntos] ]cos(Sx + 1) Jx (b)[05 puntos]]1(x+2)3Jx (c)[15 puntos] ] xc-3xJx10 162.Ejercicio 1. Se sabe que la grfica de la funcin f : R R denida por f (x)= x3 + ax+ bx + c es la que aparece en el dibujo.(a)[125 puntos] Determina f . (b)[125 puntos] Calcula el rea de la regin sombreada. 163.Ejercicio 2. Sea f la funcin definida para x 2 por (x) =(x2 4x + 3)x-2 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (a) [1 punto] Estudia y determina las asntotas de la grfica de f . (b) [075 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [075 puntos] Calcula, si existen, el mximo y el mnimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin). 164.Ejercicio 1. De la funcin f : (0, +) R denida por (x) =ux2 + bx,se sabe que la recta tangente a su grfica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = 2.(a)[15 puntos] Calcula a y b.(b)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . 165.Ejercicio 2. [25 puntos] Sea f : R R la funcin denida por f (x)= x2 sen(2x). Calcula la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1). 166.Ejercicio 1. De una funcin f: R R se sabe que f(0) = 2 y que f (x) = 2x.(a)[1 punto] Determina f. (b)[15 puntos] Calcula el rea de la regin limitada por la grfica de f, por el eje de abscisas y por las rectas de ecuaciones x = - 2 y x = 2. 167.Ejercicio 2. Sea f: R R la funcin denida por f(x) = (x 1)2.e x.(a)[05 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f. (b)[15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin). (a)[05 puntos] Esboza la grfica de f. 168.Ejercicio 1. De una funcin f : [0,5] R se sabe que f(3) = 6 y que su funcin derivada est dada por (x) = ]Sx - 2 si u x 1x2 - 6x + 8 si1 x < S (a)[1 punto] Calcula la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 3. (b)[15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin). 169.Ejercicio 2. Considera la integral definidaI = ]11+x-1Jx3 (a)[125 puntos] Exprsala aplicando el cambio de variable1 + x - 1=t . (b)[125 puntos] Calcula I. 170.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por(x) = x2 c-x2 (a) [075 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f . (b)[125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin).(c)[05 puntos] Esboza la grfica de f . 171.Ejercicio 2. Considera la funcin f : R R denida por f (x)= x |x| .(a)[075 puntos] Dibuja la regin acotada del plano que est limitada por la grfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.(b)[175 puntos] Calcula el rea de la regin descrita en el apartado anterior. 172.Ejercicio 1. [25 puntos] Halla una funcin f : R R tal que su grca pase por el punto M (0, 1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x y + 3 = 0 y que f (x) = 3x2. 173.Ejercicio 2. Considera la funcin f : R R denida por f(x) = e x + 4e -x .A0 2004 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (a)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcin).(b)[15 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f , el eje de abscisas y las rectas x= u y x=2 174.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3 . Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 / cm2 y para la base se emplea un material un 50% ms caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mnimo 175.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el rea de la superficie sombreada 176.Ejercicio 1. De una funcin : |u,4] R se sabe que (1) =S y que la grfica de su funcin derivada es la que aparece en el dibujo (a)[0'5 puntos] Halla la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x=1 (b)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de . En qu punto alcanza la funcin su mximo absoluto? (c)[1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de . 177.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula el rea del recinto acotado que est limitado por la recta y=2x y las curvas y=x2 c y=x22 178.Ejercicio 1. [25 puntos] Calcula]1x2+2x-3Jx0-2 179.Ejercicio 2. Se sabe que la funcin (- 1, 1) R definida por(x) = _2x2 - 12x + c si - 1 < x < u1 - x si u x < 1 es derivable en el intervalo (- 1, 1). (a)[1 punto] Determina el valor de la constante c.(b)[05 puntos] Calcula la funcin derivada . (c)[1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la grfica de f que son paralelas a la rectade ecuacin y=x. 180.Ejercicio 1. Sea |u, 2n] R la funcin definida por (x) =cx(cos x+ scn x). (a)[125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de .(b)[125 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de . 181.Ejercicio 2. [25 puntos] Sea RR la funcin definida por f(x) = (x - 1) e 2x. Calcula la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (1, c2). 182.Ejercicio 1. Considera la integral definida I = ]11+xJx91 (a)[15 puntos] Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 + x = t. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)[1 punto] Calcula I. 183.Ejercicio 2. (a) [1 punto] Halla la ecuacin de la recta tangente a la parbola y=x2que es paralela a la recta 4x+y+S=u. (b)[15 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parbola y=x2que pasan por el punto (2, u). 184.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por(x) = -13x2 +23x + 1 (a)[1 punto] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en un punto de la misma de ordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.(b)[15 puntos] Calcula el rea de la regin del plano limitada por la grfica de , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. 185.Ejercicio 2. [25 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa. 186.Ejercicio 1. Sea RR la funcin definida por (x) =2-x. |x| .(a)[075 puntos] Esboza la grfica de . (b)[1 punto] Estudia la derivabilidad de en x=u. (c)[075 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x=2. 187.Ejercicio 2. [25 puntos] Considera las funciones (u, + ) R y g RR definidas, respectivamente, por(x) =n(x) y g(x) =1 2x, siendo n x el logaritmo neperiano de x. Calcula el rea del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 y las grficas de y g. 188.Ejercicio 1. [25 puntos] Se sabe quelimx0[1cx-1 -u2x es nito. Determina el valor de o y calcula el lmite. 189.Ejercicio 2. [25 puntos] Determina b sabiendo que b>u y que el rea del recinto limitado por la parbola de ecuaciny = [13x - b2 y los ejes coordenados es igual a 8. 190.Ejercicio 1. De la funcin (-1, + ) R se sabe quei(x) =3(+1)2y que (2) =u.(a)[1'25 puntos] Determina . (b)[1'25 puntos] Halla la primitiva de cuya grfica pasa por el punto (u,1). 191.Ejercicio 2. Considera la funcin RR definida por (x) =(x +1)(x-1)(x- 2). (a)[1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grfica de f en el punto de abscisa x=1. (b)[1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de . Tiene puntos de inflexin la grfica de ? 192.Ejercicio 1. Se sabe que la funcin (-1, + ) R definida por(x) = _x2 - 4x + S si -1 < x < ux2 + ox +1 si x u es continua en (-1, +). (a)[1'25 puntos] Halla el valor de o.Es derivable en x=u? (b)[1'25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de . 193.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que e! rea de la regin limitada por la curva y = x2 y la recta y = 6x es igual a 9/2. 194.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calculalimx0[(1+x)-scnxxscnx, siendo n(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 195.Ejercicio 2. Sea RR la funcin definida por (x) =cx3.(a)[1 punto] En que punto de la grfica de f la recta tangente a sta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuacin de dicha recta tangente. (b)[1'5 puntos] Calcula el rea del recinto acotado que est limitado por la grfica de , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas 196.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Sea (u, + ) R la funcin definida por (x) =(x - 1). n(x), donde n(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de cuya grfica pasa por el punto (1, -S2). 197.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funcin f : R R denida por(x) = _x1 - |x| si x = -1,1u six = -1 o x = 1 198.Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la grfica de una funcin f que est definida en el intervalo (-S, S) y que es simtrica respecto al origen de coordenadas. (a)[0'75 puntos] Razona cual debe ser el valor de (u). (b)[0'75 puntos] Completa la grfica de . (c)[1 punto] Halla (x) para los x(-S, S) en los que dicha derivada exista. 199.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Se sabe que la funcin RR definida por (x) =ox2+bx+ c tiene mximo absoluto en el punto de abscisa x=1, que su grfica pasa por el punto (1, 4) y que] (x)Jx =3223-1. Halla o, b y c. 200.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se sabe que la funcin RR definida por(x) =ox3+ bx2+cx+ Jes tal que (u) =4y que su grfica tiene un punto de inflexin en (1, 2). Conociendo adems que la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x=u es horizontal, calcula o, b, c y J. 201.Ejercicio 2. [2'5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0; 2] la grfica de la parbola de ecuacin y = x2/4. Halla el valor de m para el que las reas de las superficies rayadas son iguales. 202. 203.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se sabe que la funcin f : R R denida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1. Calcula a, b y c. 204.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = x2 - 2x + 2. (a)[0'75 puntos] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 3. (b)[1'75 puntos] Calcula el rea del recinto limitado por la grafica de f, la recta tangente obtenida y el eje OY. 205.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se sabe que la funcin f : (0; 3) R es derivable en todo punto de su dominio, siendo i(x) = ] x - 1 si u < x 2 -x +S si 2 < x < S, y que f(1) = 0. Halla la expresin analtica de f. 206.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin con]nua denida por (x) = _|2 - x|si x < ox2 - Sx +7 si x o , donde a es un nmero real. (a)[0'5 puntos] Determina a. (b)[2 puntos] Halla la funcin derivada de f. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 207.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Sea Ln(1 -x2) el logaritmo neperiano de 1 - x2 y sea f : (-1,1) R la funcin denida por f(x) = Ln(1 - x2). Calcula la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0,1). 208.Ejercicio 2.[2'5 puntos] Se sabe que la funcin f : R R denida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su grfica tiene un punto de inflexin en el punto de abscisa x = - 1. Conociendo adems que ] (x)Jx = 610, halla a, b y c. 209.Ejercicio 1. Dada la parbola y = 1 + x2 y la recta de ecuacin y = 1 + x, se pide:(a)[1'5 puntos] rea de la regin limitada por la recta y la parbola. (b)[1'25 puntos] Ecuacin de la recta paralela la dada que es tangente a la parbola. 210.Ejercicio 2. Considera la funcin f : R R denida por f(x) = (x+3).e -x (a)[0'5 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f (b)[1'5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexin de su grfica.(c)[0'5 puntos] Esboza la grfica de f. 211.Ejercicio 1. Sea la funcin f : R R denida por(x) = _x2 + S si x 12 - x2 si x > 1. (a)[1'25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b)[1'25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcin f. 212.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Determina el valor positivo de para el que el rea del recinto limitado por la parbola y = x2 y la recta y = x es 1. 213.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin definida por(x) =x3 (a)[0'5 puntos] Calcula la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b)[0'5 puntos] Esboza el recinto limitado por la grfica de f y la recta tangente obtenida. (c)[1'5 puntos] Calcula el rea del recinto descrito en el apartado anterior. 214.Ejercicio 2. Considera la funcin f definida para x 2 por (x) =2x2 + 2x + 2 (a)[1'25 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f. (b)[1'25 puntos] Estudia la posicin relativa de la grfica de f respecto de sus asntotas. 215.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Sea la funcin f : R R denida por f(x) = 2x3 - 6x + 4. Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al mximo relativo de la funcin. 216.Ejercicio 2. Dada la funcin f definida para x -1 por (x) =x3(1 + x)2, determina: (a)[1'5 puntos] Las asntotas de la grfica de f. (b)[1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha grfica con sus asntotas. 217.Ejercicio 1. [2'5 puntos] De entre todos los rectngulos que tienen uno de sus vrtices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vrtice en la curva y = 2x2/(x2 - 1) con (x > 1), uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene rea mnima. 218.Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R R denidas por f(x) = 6 - x2 y g(x) = |x|. (a)[0'75 puntos] Dibuja el recinto acotado que est limitado por las grficas de f y g. (b)[1'75 puntos] Calcula el rea del recinto descrito en el apartado anterior. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 219.Ejercicio 1. Sea Ln(x) el logaritmo neperiano de x y sea f : D R la funcin denida por(x) =1x(Inx)2 (a)[1'5 puntos] Determina el conjunto D sabiendo que est formado por todos los puntos x R para los que existe f(x). (b)[1 punto] Usa el cambio de variable t = Ln(x) para calcular una primitiva de f. 220.Ejercicio 2. Sea f :[-1,4] R una funcin cuya derivada ]ene por grca la de la gura. (a)[1'5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. (b)[1 punto] Estudia la concavidad y convexidad de f. Tiene puntos de inflexin la grfica de f? 221.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la funcin f : R R denida por f(x) = x3 +3x2 +cx+d tiene como recta tangente en su punto de inflexin a la recta y = 3x + 4. 222.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula (3+ 22 2 + 3)/(2 1) 223.Ejercicio 1. (a) [1'5 puntos]Determina la funcin f: R R sabiendo que f '(x) = 2x3 - 6x2 y que su valor mnimo es -12.(b)[1 punto] Calcula la ecuacin de las rectas tangentes a la grfica de f en los puntos de inflexin de su grfica. Ejercicio 2. Sea f: R R la funcin denida por f(x) = x|x - 4| (a)[0'75 puntos] Esboza la grfica de f. (b)[0'75 puntos] Estudia su derivabilidad en x=4. (c)[1 punto] Calcula el rea del recinto limitado por la grfica de f y el eje de abscisas. 224.Ejercicio 1. [2'5 puntos]Considera el recinto limitado por la curva y=13x2 y la recta y=9. De entre todos los rectngulos situados como el de la figura, determina el que tiene rea mxima. 225.Ejercicio 2. [2'5 puntos]Sea n(x) el logaritmo neperiano de x. Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las grficas de las funciones y=1 e y=n(x). Calcula su rea. 226.Ejercicio 1. ConsideremosF(x) = ] (t)Jtx0.(a)[1'5 puntos] Si fuese la funcin cuya grfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:i)F(o) =u. ii)F (o) =u. iii)F es creciente en (u, o). (b)[1 punto] Calcula F(1) siendo (t) =1+1 A0 2002 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 227.Ejercicio 2. Considera la funcin f definida por (x) =x2 - 2x + 2x - 1para x=1 (a)[1'5 puntos] Calcula las asntotas de la grfica de . (b)[1 punto] Estudia la posicin de la grfica de respecto de sus asntotas. 228.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funcin f: (0,+ ) R denida por (x) = _S + x2 -x siu < x 11x +x24six > 1. Calcula su derivada 229.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula]3x3+1x2-x-210Jx. 230.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R denida por (x) =c2xx2 + 1r (a)[1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de (b)[1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). 231.Ejercicio 2. [1'5 puntos] Determina un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que P(0) = P(2) = 1 y ] P(x)Jx =1320. 232.Ejercicio 1. Sea f la funcin (x) =9x-3x2 2x para x=u y x=2.(a)[1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de (b)[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de . (c)[0'5 puntos] Con los datos obtenidos esboza la grfica de . 233.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Sea f : R R la funcin definida por f(x) = x e - x. Esboza el recinto limitado por la curva y = f(x), los ejes coordenado y la recta x = -1. Calcula su rea. 2S4.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula una primitiva de la funcin f definida por (x) =2x2 +10xx2 +2x 3 para x = 1 y x=-S. 235.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Considera la funcin f :R R la funcin denida por(x) = ]Sox + b si x ucx(ux+b) six < u Determina a y b sabiendo que f es derivable. 2S6.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin definida por f(x) = x3 - 5x2 + 5x + 3 y sea r la recta de ecuacin 2x+ y=6. (a)[1'5 puntos] Determina, si es posible, un punto de la grfica de f en el que la recta tangente sea r. (b)[1 punto] Hay algn punto de la grfica de f en el que la recta normal a la grfica sea r? Justifica la respuesta. 237.Ejercicio 2. Considera la curva de ecuacin y=x3 +2xx2 2x 3 (a)[1'5 puntos] Determina sus asntotas. (b)[1 punto] Corta la curva a alguna de sus asntotas en algn punto? Justifica la respuesta. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 238.Ejercicio 1. [2'5 puntos] De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuacin y = (1/4)x2 + 4x + 4. Calcula los puntos de tangencia correspondientes. 239.Ejercicio 2. Considera la funcin RR definida por f(x) = x2 e(x/2) (a)[1 punto] Calculalimx (x)ylimx-(x) (b)[1'5 puntos] Calcula los intervalos de monotona y los extremos locales de (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan) 240.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funcin RR definida por (x) = _scnxx si x > u1 si x u 241.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Esboza el recinto limitado por la grfica de la parbola y=-(x-2)2-2, la recta tangente a la grfica de la parbola en el punto de abscisas x=S, el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Calcula su rea 242.Ejercicio 1. Se quiere dividir la regin encerrada entre la parbola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual rea mediante la recta y = a. Halla el valor de a 243.Ejercicio 2. Sea f la funcin definida para x 1 por (x) =2x2x-1 (a)[ 1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f (b)[ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f. (c)[ 0'5 puntos] Esboza la grfica de f 244.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por (x) = ]Sx +1usix -1x2 - 2x +2six > -1 (a)[ 1 punto] Esboza la grfica de f (b)[ 1'5 puntos] Calcula el rea de la regin limitada por la grfica de f, el eje de abscisas y la recta x=S 245.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, calcula limx1[xx-1 -1Inx 246.Ejercicio 1. Sea f: R R la funcin dada por f(x) =|8 x2|. (a)[1punto]Esbozalagrficayhallalosextremosrelativosdef(dndesealcanzanyculessonsus respectivos valores).(b)[1'5 puntos]Calcula los puntos de corte de la grfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = -2. 247.Ejercicio 2. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la funcin f: (0, ) R denida por (x) =xn(x). Calcula: (a)[1'5 puntos] ](x)Jx(b)[1 punto] Una primitiva de f cuya grfica pase por el punto (1,0). 248.Ejercicio 1. [2'5 puntos] De la funcin f: R R se sabe que f ''(x) = x2 + 2x + 2 y que su grfica tiene tangente horizontal en el punto P(1, 2). Halla la expresin de f. 249.Ejercicio 2.[2'5 puntos]Halla el rea del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene como ecuacin y = (2x + 2)/(1 - x) A0 2001 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 250.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula limx0 (cx-1)scnxx3-x2

251.Ejercicio 2. Sea f :R R la funcin denida por f(x) = |x2 - 1| (a)[ 0'5 puntos] Esboza la grfica de f (b)[ 1 punto] Estudia la derivabilidad de f. (c)[ 1 punto] Calcula ](x)Jx20. 252.Ejercicio 1. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la funcin f : (-1,+ ) R denida por (x) = ]o(x -1)si - 1 < x 1xlnx si x > 1 (a)[ 1 punto] Determina el valor de a sabiendo que f es derivable. (b)[ 1'5 puntos] Calcula ](x)Jx20 253.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Determina la funcin f :R R sabiendo que su derivada segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es 5x-y-3 = 0. 254.Ejercicio 1. (a) [ 1'25 puntos] Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la grfica de la funcin f : R R denida por (x) = ]c-x si x uox + b si x > u admite recta tangente en el punto (0,1). 255.(b) [ 1'25 puntos] Existen constantes c y d para las cuales la grfica de la funcin g : R R denida por g(x) = ]c-x si x ucx2 + J si x > u admite recta tangente en el punto (0,1)? (justifica la respuesta) 256.Ejercicio 2. Calcula: (a) [ 1'25 puntos] limx0 1-1-x2x2 (b) [ 1'25 puntos] limxx2xc-3x

257.Ejercicio 1. Sea : R R la funcin definida por (x) = -2x3 - 9x2 - 12x (a)[ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (b)[ 1'5 puntos] Determina los extremos relativos y de f con < y calcula ] (x)Jx[ 258.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectngulo y un semicrculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene un permetro mnimo entre las que tienen rea igual a 2 m2. 259.Ejercicio 1. Sea f :R R la funcin denida por (x) = _11-x si x < u1 - mx - x2 si x u (a)[ 1'25 puntos] Determina m sabiendo que f es derivable. (b)[ 1'25 puntos] Calcula ] (x)Jx1-1

Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 260.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Un hilo de alambre de 1 m. de longitud se corta en dos trozos formando con uno una circunferencia y con el otro un cuadrado. Prueba que la suma de las reas es mnima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia. 261.Ejercicio 1. Considera la funcin f : [0,4] R la funcin denida por(x) = _4x si u x 116(x + 1)2 si 1 < x < S4 - x si S x 4 (a)[ 1 punto] Determina la grfica de f. (b)[ 1'5 puntos] Halla el rea del recinto limitado por la grfica de f y el eje de abscisas. 262.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Considera la funcin f : [0,3] R denida por f(x) = 3x -2. Calcula el punto de la grfica de f ms cercano al punto (2,6) y calcula tambin el ms alejado. 263.Ejercicio 1. Considera la funcin f : (- , 10) R denida por (x) = _ox si x < 2|x - S|si2 x < 1u (a)[ 1 punto] Determina el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > 0). (b)[ 0'5 puntos] Esboza la grfica de f. (c)[ 1 punto] Estudia la derivabilidad de f. 264.Ejercicio 2. (a) [0'5 puntos] Determina el recinto limitado por la curva y=12+cosx, los ejes coordenados y la recta x=n . (b) [2 puntos] Calcula el rea del recinto descrito en el apartado anterior. 265.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula el rea encerrada entre la curva y = x3 - 4x y el eje de abscisas 266.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Determina sabiendo que existe y es finito el lmite limx0 cx-c-x+uxx-scnx . Calcula dicho lmite 267.Ejercicio 1. (a) [ 1 punto] Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvasy=x2+1, y= 2xcy=x-1. (b) [ 1'5 puntos] Halla el rea del recinto considerado en el apartado anterior. 268.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Calcula a y b sabiendo que la funcin f: R R denida por(x) = _ox + Sx2 si x 2ux +bx si x > 2 sea derivable. 269.Ejercicio 1. [2'5 puntos] De entre todos los rectngulos de 40 kilmetros de permetro calcula las dimensiones del que tiene rea mxima. 270.Ejercicio 2. (a) [ 1 punto] Dibuja el recinto limitado por la curva y =(9 - x2)/4, la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x = 1 y el eje de abscisas. (b) [ 1'5 puntos] Calcula el rea del recinto considerado en el apartado anterior. 271.Ejercicio 1. [2'5 puntos] considera la funcin f: R R denida por f(x)=2+x-x2. Calcula , < 2 de forma que ] (x)Jx =922u A0 2001 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 272.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Calcula limx0xscnx(x2) 273.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Determina el valor de las constantes a, c y c sabiendo que la grfica de la funcin f: R R definida por f(x) = x(ax2+bx+c) tiene un punto de inflexin en (-2,12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuacin 10x+y+8 = 0. 274.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula el valor de , positivo, para que el rea encerrada por la curva y = x - x2 y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva que se obtiene para dicho valor de . 275.Ejercicio 1.(a)[ 1 punto] Dibuja el recinto limitado por las curvas y=ex+2, y=e-x y x=0 (b)[ 1'5 puntos] Halla el rea del recinto considerado en el apartado anterior. 276.Ejercicio 2. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos, viene dada por h(t) = 5-5t-5e-2t(a)[ 1'5 puntos] Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura mxima y el valor de sta. (b)[ 1 punto] Teniendo en cuenta que la velocidad es v(t)=h'(t), halla la velocidad al cabo de 2 segundos. 277.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Se dispone de 2888.000 pts. Para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 800 pts/metro y el de la valla de los restantes lados es de 100 pts/metro, cules son las dimensiones y el rea del terreno rectangular de rea mxima que se puede vallar? 278.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Determina a, b y c para que la curva y =ux2+bx+c sea la siguiente 279.Ejercicio 1. Considera la funcin f: R R denida por (x) = _11+c1x six = uusi x = u (a)[ 1'5 puntos] Calcula los lmites laterales de f en x = 0. Es continua f en x=0? (b)[ 1 punto] Calcula el valor de la derivada fe f en x = 1. 280.Ejercicio 2. Considera la funcin f: R R denida por f(x) = (1+x)ex.(a)[ 1'5 puntos] Calcula ](x)Jx(b)[ 1 punto] Calcula una primitiva de f cuya grfica pase por el punto (0,3). 281.Ejercicio 1. [2'5 puntos] Determina una funcin polinmica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un mximo en x=1, que su grfica pasa por el punto (1,1) y que la recta de ecuacin y = x es tangente a su grfica en el punto de abscisa x=0. 282.Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula la siguiente integral definida ]dxx2+4x+320 Qu representa geomtricamente? 283.Ejercicio 1. [ 2,5 puntos] Calcula el valor de la integral ] (x2 + S)c-xJx3-1. 284.Ejercicio 2. .Sea f la funcin definida para x 2 por (x) =x2x+2

(a)[ 1 punto] Halla las asntotas de la grfica de f. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)[ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de f.. (c)[ 0'5 puntos] Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la grfica de f. 285.Ejercicio 1. Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. De la tarde viene dada por v(t) = t3 - 15t2 + 72t + 8 para t [2,6]. (a)[ 1'25 puntos] A qu hora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta. (b)[ 1'25 puntos] A qu hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta. 286.Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R R denidas por f(x) = 6 - x2, g(x) =|x|, x R(a)[ 1 punto] Dibuja el recinto limitado por las grficas de f y g. (b)[ 1'5 puntos] Calcula el rea del recinto descrito en el apartado anterior. 287.Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea F: R + R la funcin definida por F(x) = ](2t + tx0)Jt (a)[ 1'5 puntos] Determina F(1). (b)[ 1 punto] Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de F en el punto de abscisa x = 1. 288.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Una empresa quiere fabricar vasos de cristal de forma cilndrica con una capacidad de 250 centmetros cbicos. Para utilizar la mnima cantidad de cristal, se estudian las medidas apropiadas para que la superficie total del vaso sea mnima. Cuales deben se dichas medidas? Justifica la respuesta. 289.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Sea f : R R la funcin denida en la forma(x) = _13x3 - x + 23 si x -2 usi- 2 < x 113x3 - x + 23 si 1 < x

Estudia la derivabilidad de f. 290.Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : [0,2] R denidas por f(x) = 2sen(x) y g(x) = sen(2x) (a)[ 1 punto] Dibuja la regin del plano limitada por las grficas de f y g. (b)[1,5 puntos] Calcula el rea de la regin descrita en el apartado anterior. 291.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por (x) = ]x six uxscnx six > u

(a)[ 1 punto] Estudia la derivabilidad de f. (b)[ 1'5 puntos] Calcula ] 2(x)Jxn2-1 292.Ejercicio 2. Sea l un nmero real y sea f : R R la funcin denida por f(x) = cos(x) + kx (a)[ 1'25 puntos] Determina todos los valores de k para los que la funcin anterior es creciente en todo su dominio. (b)[ 1'25 puntos] Para k = 1 halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin f en el punto de abscisa x = 0. 293.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] De entre todos los rectngulos inscritos, como indica la figura, entre la grfica de la funcin f : R R dada por f(x) = 1/(1 + x2) y el eje OX, halla el de mayor rea. A0 1999 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 294.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Dibuja y calcula el rea del recinto limitado por la recta y + x = 0 y la curva de ecuacin y = x2 + 4x +4.

295.Ejercicio 1. Considera las funciones f : R R y g : R R denidas por f(x) = x2 + 3x +2 y g(x) = -x2 - 3x + 10 (a)[ 1 punto] Representa grficamente ambas funciones. (b)[ 1'5 puntos] Halla el rea de la regin del plano que est formada por todos los puntos (x,y) que cumplen f(x) y g(x) 296.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Calcula las asntotas de la grfica de la funcin f definida para x = - 1 por (x) = x2 + Sx + 1x +1 y estudia la posicin de dicha grfica con respecto a las asntotas. 297.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Dibuja y halla el rea de la regin limitada por la recta y = - x +3 y la curva de ecuacin y = x2 - 4x + 3. 298.Ejercicio 2. Una partcula se desplaza a lo largo de la curva de ecuacin y = f(x) siendo f : R R la funcin dada por (x) = ]u si x < uxcxsi x u (a)[ 1 punto] Hay algn punto en la trayectoria de la partcula en el que dicha curva no admite recta tangente? (b)[ 1 punto] Determina las coordenadas del punto de la trayectoria en el que se alcanza la mxima altura. (c)[ 0'5 puntos] A que recta se aproxima la trayectoria cuando x ? Jus]ca la respuesta. 299.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] La funcin f : R R denida por (x) = _x2 + bx + c si x u(x+1)x six > u

es derivable en el punto x = 0. Cunto valen b y c? 300.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] De las funciones continuas f , g : R R se sabe que ((x) +g(x))Jx = S; S((x) - g(x))22 21Jx = S; (x)Jx = S; 2(x)Jx = S2131 Calcula, si es posible, ] (x)Jx31 y, si no es posible, di por qu. 301.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = 2x3 - 5x2 + 2x.(a)[ 1'5 puntos] Demuestra que la recta tangente de ecuacin y = - 2x + 1 es tangente a la grfica de la funcin y halla el punto de tangencia correspondiente. (b)[ 1 punto] Corta esta recta tangente a dicha grfica en algn punto distinto al de tangencia? 302.Ejercicio 2. La grfica f de la figura (en rojo) corresponde a una funcin polinmica de grado 2. (a) (a)[ 1'5 puntos] Determina una expresin algebraica de la funcin f. (b)[ 1 punto] Determina el rea de la regin limitada por dicha funcin y la recta dibujada (en azul). 303.Ejercicio 1. Sea ( u, + ) R la funcin logaritmo neperiano (x) =n(x). (a)[1 punto] Prueba que la funcin derivada f ' es decreciente en todo su dominio. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)[1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcin g: (u, + ) R dada por g(x) =(x)x. 304.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Dibuja y calcula el rea del recinto limitado por las grficas de las funciones , g RR dadas por f(x) = x2 y g(x) = x3 - 2x 305.Ejercicio 1. La funcin derivada de una funcin derivable f : R R viene dada por la grca de la gura. Adems, se sabe que f( -1) = 9/2 (a)[ 2 puntos] Determina una expresin algebraica de f. (b)[ 0'5 puntos] Calcula limx 3 f(x) 306.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Calcula una primitiva de la funcin f : R R denida por f(x) = 2x2.sen(x) cuya grfica pase por el origen de coordenadas. 307.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Haciendo el cambio de variable t = ex , calcula cxc2x + Scx +2Jx10 308.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Se sabe que la funcin f : [0,5] R dada por (x) = _ox +bx2 siu x < 2c + x - 1 si2 x S es derivable en el intervalo (0,5) y verifica f(0) = f(5). Cunto valen a, b y c? 309.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Dos partculas A y B se mueven en el plano XOY. En cada instante de tiempo t las posiciones de las partculas son, respectivamente A[12(-1),32(1-) y B(2 - t, u). Determina el instante to en el que las partculas estn ms prximas entre s y a qu distancia se hallan una de otra en ese instante. 310.Ejercicio 2. (a) [ 1 punto] Calcula la integral ]scnx(csx)3Jx Realizando el cambio de variable cos(x) = t (b) [ 1 punto] Calcula la misma integral que en el apartado anterior pero haciendo el cambio de variable tg(x) = u (c) [ 0'5 puntos] Se obtiene el mismo resultado en ambos casos? Justifica la respuesta. 311.Ejercicio 1. (a) [ 1 punto] Dibuja la regin limitada por la grfica de la funcin f:[0,1] R denida por (x) =n(1 + x), la recta tangente a la grfica de f en el origen y la recta x=1. (Nota: Ln(t) es el logaritmo neperiano de t). (b) [ 1'5 puntos] Halla el rea de dicha regin. 312.Ejercicio 2. La poblacin de una colonia de aves evoluciona con el tiempo t, medido en aos, segn la funcin P:[2,12] R dada por P(t) = _1u + (t - 6)2 si 2 t 1u28 - 2-9 si 1u < x 12 (a)[ 1'5 puntos] Representa grficamente la funcin P e indica en qu periodos de tiempo crece o decrece la poblacin. (b)[ 0'5 puntos] Indica los instantes en los que la poblacin alcanza los valores mximo y mnimo.. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (c)[ 0'5 punto] Si la poblacin evolucionara a partir de t=12 con la misma funcin que para 10< t 12, llegara a extinguirse? Justifica la respuesta dando, en caso afirmativo, el instante de la extincin. 313.Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Sea f : R R la funcin dada por f(x)= ax3+bx2+cx+d. Calcula a, b, c y d sabiendo que la grfica de f tiene un punto de inflexin en Q=(-1,3) y que la tangente a dicha grfica en el punto M=(0,1) es horizontal. 314.Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Dibuja y calcula el rea del recinto limitado por la curva de ecuacin y =21 + x2 315.y las rectas de ecuaciones x = 1 e y = 3x+2. 316.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R denida por f(x) = |x+3|(a)Estudia la derivabilidad de f. (b)Dibuja las grficas de f y f '. 317.Ejercicio 2. (a) Representa las curvas de ecuaciones y = x2 -3x +3 e y = x, calculando donde se cortan. (b) Halla el rea del recinto limitado por dichas curvas. 318.Ejercicio 1. (a) Sabiendo que F es una primitiva de una funcin f, halla una primitiva de f que se anule en el punto x = a(b) De una funcin g : R R se sabe que es dos veces derivable y tambin que g(0) = 5, g '(0) = 0 y g ''(x) = 8, para todo x perteneciente a R . Calcula una expresin algebraica de esta funcin g. 319.Ejercicio 2. Calcula siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x 320.Ejercicio 1. Una compaa area ofrece vuelos para grupos de estudiantes con las siguientes condiciones: Para organizar un vuelo, el nmero mnimo de pasajeros debe ser de 80, los cuales pagaran 210 euros cada uno. Sin embargo, esta tarifa se reduce en 1 euro por cada pasajero que exceda el nmero de 80. Suponiendo que la capacidad de cada avin es de 105 pasajeros y que el coste para la compaa es de 100 euros por plaza ocupada. qu nmeros de pasajeros ofrecen el mximo y, respectivamente, el mnimo beneficio para la compaa? 321.Ejercicio 2. Se sabe que la funcin f : R R dada por: es derivable en todo su dominio y que en los puntos x = 0 y x = 4 toma el mismo valor. (a)Halla a, b y c.. (b)Calcula ](x)Jx20 322.Ejercicio 1. Sea f : R R la funcin denida por f(x) = x2 +x + 1/4.(a)Dibuja el recinto limitado por la grfica de la funcin f y sus tangentes en los puntos de abscisas x = 1/2 yx = - 1/2. (b)Prueba que el eje de ordenadas divide el recinto anterior en dos que tienen igual rea A0 1998 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 323.Ejercicio 2. Se quiere construir un envase cerrado con forma de cilindro cuya rea total (incluyendo las tapas) sea 900 cm2. Cuales deben ser el radio de la base y la altura para que el volumen del envase sea lo ms grande posible? Cunto vale ese volumen mximo? 324.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R denida por f(x) = (3x - 2x2)ex. (a)Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f.. (b)Calcula los mximos y los mnimos relativos de f. 325.Ejercicio 2. (a) Halla el rea del tringulo formado por el eje OX y las rectas tangentes y normal a la curva de ecuacin y = e- x en el punto de abscisa x = -1. (b) Halla el rea de la regin limitada por la curva de ecuacin y = e- x y el eje OX para los valores -1 x 0. 326.Ejercicio 1. (a) Calcula los extremos relativos y absolutos de la funcin f : [-7, 1 R denida por f(x) = x3 +6x2+49.(b) Sea [ el punto en el que f alcanza su mximo absoluto. Calcula (x)Jx[-1 327.Ejercicio 2. Sea f : (- , ) la funcin derivable que para x 0 verica (x) = n(1+x2)scnx , siendo Ln(t) el logaritmo neperiano de t. (a)Cuanto vale f(0)? (b)Cuanto vale f '(0)? S28.Ejercicio 1. En la figura adjunta se representa la grfica de la funcin derivada f ' de una cierta funcin |u,1] R . (a) Halla una expresin algebraica de f sabiendo que su grfica pasa por el origen de coordenadas. (b) Representa grficamente la funcin f. Estudia la derivabilidad de f '. 329.Ejercicio 2. Se sabe que la temperatura, medida en grados centgrados, de una cmara frigorfica viene dada por la expresin f(t) = at2 +bt + c donde t representa las horas transcurridas desde su conexin a la res y a, b y c son tres constantes reales. Al conectarla, la temperatura interior asciende, por efecto del calor del motor, y alcanza su mximo a los tres cuartos de hora. A partir de ese momento comienza a descender la temperatura y transcurrida una hora desde su conexin alcanza los cero grados centgrados. A las dos horas de haberla conectado es de tres grados centgrados. Usando estos datos, determina los valores de las constantes a, b y c. 330.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R denida por f(x) = x + 1 .(a)Represntala grficamente. (b)Estudia su derivabilidad. (c)Calcula ] (x)Jx3-2

331.Ejercicio 2. La temperatura medida en una ciudad andaluza, desde las 12 horas del medioda hasta la medianoche de un cierto da de Agosto, viene dada por la expresin T(x) = ax2 + bx + c, en la que x representa el nmero de horas transcurridas desde el medioda. (a)Calcula a, b y c sabiendo que a las 5 de la tarde se alcanz una temperatura mxima de 35 y que a las 12 del medioda se midieron 30. Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (b)Determina de forma razonada los puntos en los que la funcin anterior alcanza sus extremos absolutos y relativos. 332.Ejercicio 1.(a)De todas tangentes a la grfica de la funcin f : R R denida por f(x) = e x - 1 , halla la que pasa por el origen de coordenadas. (b)Dibuja la regin limitada por la grfica de f, la recta tangente hallada en el punto anterior y el eje de ordenadas.. (c)Halla el rea de la regin descrita en el apartado anterior. 333.Ejercicio 2. El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia existente como uno de los lados y dispone de 300 m. de tela metlica para hacer los otros tres. (a)Podras indicar las dimensiones del recinto acotado de esa forma cuya rea es la mayor posible? (b)La comisin de fiestas del pueblo ha calculado que para montar las atracciones, pista de baile, etc., necesitan 8000 m2. Teniendo en cuenta los clculos realizados en el apartado anterior, ser suficientemente grande el recinto que quiere preparar el alcalde? 334.Ejercicio 1. De una funcin f se sabe que es polinmica de tercer grado, que sus primeras derivadas en los puntos x = 3 y x = - 1 son nulas, que f(2) = 5, que f(1) = 2 y que limx-(x) = + . Haz un esbozo de la grfica de f sin realizar ningn clculo justificando como lo haces a partir de los datos 335.Ejercicio 2. (a) Halla el punto de inflexin de la funcin f : R R denida por f(x) = x.e - x. (a)Dibuja la regin limitada por la grfica de f, el eje OX y la recta x = b donde b es la abscisa del punto de inflexin hallado en el apartado anterior. (b)Calcula el rea de la regin descrita en el apartado anterior 336.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R definida para por la relacin f(x) = (4x2 + 3x + 4)/x (a)Halla sus asntotas. (b)Determina sus extremos locales. (c)Dibuja la grfica de f indicando su posicin respecto de las asntotas. 337.Ejercicio 2. (a) Dibuja la regin limitada por la recta de ecuacin y = 3 y las grficas de las funciones f y g definidas en todo R por f(x) = 3x2 y g(x) = 1 - x2. (b)Calcula el rea de dicha regin. 338.Ejercicio 1. (a) Describe el mtodo de integracin por partes. (b) Calcula ](lnx)2Jx1 (Nota: Ln(x) es el logaritmo neperiano de x.) 339.Ejercicio 2. Dada una circunferencia de radio r, se divide uno de sus dimetros en dos partes que se toman como dimetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia dada. Qu longitud debe tener cada uno de estos dimetros para que sea mxima el rea de la regin comprendida entre las circunferencias interiores y la exterior ( la regin rayada en la figura) A0 1997 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 340.Ejercicio 1. Determina el valor de la constante k sabiendo que la curva de ecuacin posee una asntota que pasa por el punto ( 1, 3 ). 341.Ejercicio 2. (a) Dibuja la regin limitada por las curvas de ecuaciones y2 = xey = | x 2| . (b) Calcula el rea de dicha regin. 342.Ejercicio 1. Dado un tringulo issceles de base 8 cm. Y altura 5 cm., calcula las dimensiones del rectngulo de rea mxima que puede inscribirse dentro de dicho tringulo como se indica en la figura 343.Ejercicio 2. (a) Define el concepto de derivada de una funcin en un punto (b) Estudia la derivabilidad de la funcin f : R R denida por f(x) = |x| e x. Siendo f la funcin dada en el apartado anterior, calcula ](x)Jx10

344.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R definida por f(x) = (x - 2)e x. (a)Determina los intervalos en los que la funcin f es creciente (b)Dibuja la regin limitada por la grfica de f, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 1 y x = 3.. (c)Halla el rea de la regin descrita en el apartado anterior 345.Ejercicio 2. Una cierta funcin p se define como el cociente de dos funciones derivables f y g, es decir. p(x) = f(x)/g(x). En un punto a de su dominio la funcin p tiene un mnimo relativo y sabemos que f ' (a) = 6 y g ' (a) = 2. Puedes obtener el valor de p ' (a)? Razona tu respuesta 346.Ejercicio 1. Una locomotora sale de una estacin y viaja durante una hora a lo largo de una trayectoria rectilnea. La velocidad de la locomotora al cabo de t horas viene dada en km./h., por la frmula v(t) = 400t3 -1200t2 + 800t ( 0 t 1 ) (a)Calcula el espacio total que recorre la locomotora. (b)Determina la velocidad mxima que alcanza la locomotora y el instante en el que lo hace. 347.Ejercicio 2. Considera la funcin valor absoluto, es decir, la funcin f : R R dada por f(x) = |x| . (a)Estudia la derivabilidad de f.. (b)Dibuja la grfica de f. (c)Halla ] |x|Jx2-2 348.Ejercicio 1. Considera la funcin f : R R definida por f(x) = e x sen(2x) (a) Sea F : R R la funcin denida por Que dice el teorema fundamental del clculo integral sobre la funcin F? (b) Halla F() 349.Ejercicio 2. Desde la Tierra, que suponemos situada en el origen de coordenadas del plano, se observa un objeto que sigue una trayectoria de ecuacin xy = 16 ( donde las distancias se miden en aos-luz). Cuales son las coordenadas del punto de la trayectoria cuya distancia a la Tierra es mnima y cunto vale dicha distancia? Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 350.Ejercicio 1. (a) Determina razonadamente la expresin algebraica de una funcin continua f : R R que cumpla las condiciones siguientes f(3) = 9/2,i(x) = ]u si x < Sx si x > S (b)Razona si la funcin f es derivable en el punto x = 3. (c)Esboza la grfica de esta funcin f. 351.Ejercicio 2. Sea f : R R la funcin denida por (x) = xcx-x2

a) Halla los mximos y mnimos relativos de esta funcin b) Calcula limx(x) 352.Ejercicio 1. (a) Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = x - x2 e y = x4 - x2. (b) Halla el rea del recinto descrito en el apartado anterior. 353.Ejercicio 2. Dada la funcin f : R R denida por f(x) = x3 - 6x2 + 2x, halla la ecuacin de la recta tangente a su grfica en su punto de inflexin 354.Ejercicio 1. Determina una funcin f : R R sabiendo que es tres veces derivable, que f ''' (x) = 24x para cada punto x de R y que f(0) = 0, f ' (0) = 1 y f '' (0) = 2 355.Ejercicio 2. (a) Si el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso, demuestra que siempre se pierde valor al partirlo en dos trozos.. (b) Como puedes suponer, puede partirse en dos trozos con diferentes pesos de mltiples formas. Determina la particin que origina la mxima prdida de valor. Razona tu respuesta. 356.Ejercicio 1. (a) Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = x - x2 e y = x4 - x2. (b) Halla el rea del recinto descrito en el apartado anterior. 357.Ejercicio 2. Dada la funcin f : R R denida por f(x) = x3 - 6x2 + 2x, halla la ecuacin de la recta tangente a su grfica en su punto de inflexin 358.Ejercicio 1. Determina una funcin f : R R sabiendo que es tres veces derivable, que f ''' (x) = 24x para cada punto x de R y que f(0) = 0, f ' (0) = 1 y f '' (0) = 2 359.Ejercicio 2. (a) Si el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso, demuestra que siempre se pierde valor al partirlo en dos trozos. (b) Como puedes suponer, puede partirse en dos trozos con diferentes pesos de mltiples formas. Determina la particin que origina la mxima prdida de valor. Razona tu respuesta. 360.Ejercicio 1. La capacidad de concentracin de una saltadora de altura en una reunin atltica de tres horas de duracin viene dada por la funcin f : [0,3] R denida por f(t) = 300t(3 t ) donde t mide el tiempo en horas (a)[1 punto] . Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentracin aumenta y los intervalos en los que disminuye. Cundo es nula? (b) [075 puntos] Cual es el mejor momento, en trminos de su capacidad de concentracin para que la saltadora pueda batir su propia marca (c) [075 puntos] Representa grficamente la funcin de capacidad concentracin. 361.Ejercicio 2. [2'5 Puntos] Las grficas (i), (ii) y (iii) corresponden, no por ese orden, a las de una funcin derivable f, su funcin derivada f' y una primitiva F . Identifica cada grfica con su funcin justificando la respuesta. A0 1996 Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 362.Ejercicio 1. Una partcula si mueve a lo largo de la grfica de la curva y =2x1-x2 para x > 1 En el punto P = (2, -4/3) la abandona y sigue desplazndose a lo largo de la recta tangente a dicha curva. (a)[1 punto]. Halla la ecuacin de dicha recta tangente (b)[05 puntos]. Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, encuentra el punto en el que la partcula encuentra al eje OX. (c)[1 punto]. Si el desplazamiento es de derecha a izquierda, encuentra el punto en el que la partcula encuentra a la asntota vertical ms prxima al punto P. 363.Ejercicio 2. [25 puntos] De una funcin integrable f : [0,3] R se sabe que para cada. x en dicho intervalo se tiene | f(x) | 1 + x2 De los nmeros -3, -2, -1, 25 y 275 cuales pueden ser el valor de la integral] (x)Jx1-1. Justifica la respuesta. 364.Ejercicio 1. [25 puntos] En un terreno llano se desea acotar una parcela rectangular usando 80 m. De tela metlica para vallarla, pero dejando en uno de sus lados una abertura de 20 m. Sin vallar tal y como se muestra en la figura: Halla las dimensiones de la parcela rectangular de rea mxima que puede acotarse de esa manera y el valor de dicha rea. 365.Ejercicio 2. Las coordenadas (a,b) del centro de gravedad de una lmina de densidad uniforme que est limitada por la curva y = sen(x) y la porcin del eje OX comprendida entre x=u y x= n 2, vienen dadas por: o =] xscnxdxn2] scnxdxn2, y b =] (scnx)2dxn22 ] scnxdxn2

(a)[1 punto] Describe el mtodo de integracin por partes. (b)[15 puntos] Utiliza dicho mtodo para calcular el centro de gravedad de la lmina sabiendo que (scnx)2Jx = n4n20 366.Ejercicio 1. [25 puntos] Se toma una cuerda de 5 metros de longitud y se unen los extremos. Entonces podemos construir con ella tringulos issceles de diferentes medidas. Calcula, de manera razonada, las dimensiones del que tiene mayor rea 367.Ejercicio 2. [25 puntos] Las grficas (a), (b) y (c) corresponden, respectivamente, a tres funciones derivables f, g y h. Podran representar las grficas (r), (s) o (t) a las grficas de f , g o h (no necesariamente en ese orden)? Justifica la respuesta en cada caso. 368.Ejercicio 1. [2'5 puntos]. El nmero de bacterias en un cultivo experimental en un instante t es Departamento de Matemticas Curso 2011/2012 (t) =1uuu(2S+t c-20 , para 0 t 100. Cuanto valen el mximo y el mnimo nmero de bacterias y en qu instantes se alcanzan, respectivamente dichos valores, extremos? 369.Ejercicio 2. Un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta debido a la accin de una fuerza F que depende continuamente de la posicin x del objeto en dicha lnea recta. Se sabe que el trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto desde x = a hasta x = b viene dado por = ] F(x)Jx+b+u (a)[1'5 puntos] Si ha fuerza es F(x) =2(x-1)2, calcula el trabajo para ir desde x = 3 hasta x = 5. (b)[1 punto]. Determina razonadamente si la fuerza (x) =2(x2+1)2 realiza ms o menos trabajo que la fuerza F anterior para el mismo desplazamiento. 370.Ejercicio 1. Considera la curva de ecuacin y = xx (x 0) (a)[15 puntos]. Cul es el punto de la curva ms cercano al punto P = (1/2, 0) (b)[1 punto] Deduce de forma razonada si existe o no un punto en la curva que sea el que est ms lejos de P. 371.Ejercicio 2. [2'5 puntos]. De todas las primitivas de la funcin f : R R dada por f (x) = 1 + x |x| determina aqulla cuya grfica pasa por el punto ( 1, 0). 372.Ejercicio 1.Si una funcin f : [a b] R es integrable, se llama valor medio de f en el intervalo [a,b] al nmero m m =1b-u] (x)Jx+b+u. Para hacer un estudio sobre, la capacidad de memorizar de un nio se utiliza el siguiente modelo: si x es su edad en aos, entonces su capacidad de memorizar viene darla por f(x) = 1 + 2x Ln(x) (0