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FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos losnúmeros reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es

la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.Por ejemplo, son funciones lineales fx! " #x $ % gx! " & x $ ' (x! " ) en esta m " * por lo +ue *x no se pone en laecuación!.

sta es la gr-fica de la función lineal y = 3x + 2 emos +ue m " # y b " % de la forma y = mx + b!

ste número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, a+uí /emos +ue por cada unidadrecorrida en x la recta sube # unidades en y por lo +ue la pendiente es m " #. 0 b es el intercepto de la recta con el eje Ydonde la recta se cru1a con el eje Y!

ol/amos al ejemplo de las funciones linealesf(x) = 3x+2 2i x es #, entonces f #! " #3#$% " 44

2i x es ), entonces f )! " #3)$% " 4)2i x es 5, entonces f 5! " #35$% " 4'

6ada /e1 +ue la x se incrementa en 4 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de lapendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en +ue los /alores de x  y de f(x)  78 287P98P896:87;L2.Lo +ue son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+ 2i x" *, entonces g *! " &#3*! $' " *$' " '2i x" 4, entonces g 4! " &#34! $' " &#$' " )2i x" %, entonces g %! " &#3%! $' " &<$' " 4

6ada /e1 +ue la x se incrementa en 4 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3  unidades. Si el valor de lapendiente es negativo la función es !ecreciente.

"(x) = # 2i x" * , entonces (*! " )2i x" => entonces (=>! " )

1

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6ada /e1 +ue la x se incrementa en 4 unidad, el resultado, esto es, h(x), 78 aumenta. $s la función constante. 2ugr-fica es una recta paralela al eje ?.

sta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Si %uieres a&pliar estos conceptos te reco&iendo estas paginas'

(ttp@AAes.BiCipedia.orgABiCiADunciE6#EF#nGlineal

(ttp@AABBB.x.edu.uyAlineal.(tm

(ttp@AABBB.ing.unp.edu.arAmatematicaAHodulosAUnidadG).PID

 ;(ora /eamos como graficar una función.

 $e&plos9epresenta gr-ficamente las siguientes funciones lineales y = 2x  y y = - 3x + 4

Sugerencia' Primero elabora una tabla de /alores, luego ubica los pares de puntos dela tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los /alores de  x son asignados arbitrariamente o a tu gusto J te aconsejo usar valores pequeños para facilitar lasoperacionesJ luego en la ecuación rempla1amos la x  por cada /alor de la tabla. 

.  y = 2xVamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

Para x = 2! y = 2"2# = $ quedando la pareja "2 ! $#Para x = %! y = 2"%# = 2 quedando la pareja "% ! 2#

 X y = 2x 

&% &)

&4 &%

* *

4 %

% )

2

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.  y = 3x + $

Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.Para x = %! y = 3"%#+ $ = & quedando la pareja "% ! &#Para x = 2! y = 3"2# + $ = 2 quedando la pareja "2 ! 2#

 X y = -

3x + 4

&4 '

* )

4 4

% &%

# &5

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FUNCIONES CUADRÁTICAS

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el

área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. 

2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x metros. !uiere "acer un camino alrededor del estanque

como muestra el siguiente dibujo# . $a anc"ura del camino "a de ser constante

en todo el contorno.

$lama x a la anc"ura constante del camino.%Cuál será el área & del camino'

Calcula los (alores de & cuando x es )* 1* 2* + ,. -scribe los (alores en una tabla.

ibuja unos ejes + dibuja los puntos /x* &0.

Si el área del camino "a de ser de ) m2 * utilia la gráfica + a(erigua el anc"o x del camino.

%ara qu3 (alor de x es & 4 1))'

Actividad resuelta

. -l director de un teatro estima que si cobra ) por localidad* podra contar con 5)) espectadores + que

cada bajada de 1 le supondra 1)) personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función deln7mero de bajadas del precio.

8bser(a la tabla#

euros descuento 0 1 2 x

recio ) )91 )92 )9x

 :; espectadores 5)) 5))<1)).1 5))<1)).2 5))< 1))x

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=ngresos ).5))/)910>/5))<1)).10 /)920>/5))<1)).20

/)9x0>/5))<1)).x0

$os ingresos obtenidos son

siendo x el n; de euros de descuento* en el precio de la entrada.

Una u!ci"! cuadr#tica es toda función que pueda escribirse de la forma $x% & a x2 ' ( x ' c*

donde a) ( * c son n7meros cualesquiera* con la condición de que a sea distinto de ) .

$as funciones $x% & x2 ' +x* ,$x% & x2 ' 1+ + -$x% & . 100 x2 ' 2/00 x ' 1/000

que se corresponden con las tres primeras acti(idades* son ejemplos de funciones cuadráticas.

?ráfica de las funciones cuadráticas

$a función cuadrática más sencilla es $x% & x2 cu+a gráfica es#

x 9 92 91 9)@5 ) )@5 1 2

$x% & x2 A , 1 )@25 ) )@25 1 , A

-sta cur(a sim3trica se llama parábola.

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Bunciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

ibujemos la gráfica de $x% & x2 .2 x . .

x 91 ) 1 2 ,

$x% ) 9 9, 9 ) 5

Completando la gráfica obtengo#

Actividades resueltas

,. ada la parábola * & x2 . x ' * determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura#

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unciones Cubicas

FUNCION CUBICA

La función cúbica es una función polinó&ica de tercer  grado. Kiene la forma@

donde el coeficiente a es distinto de *.

Kanto el do&inio de definición como el conunto i&agen de estas funciones pertenecen a los n*&eros

reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrtica y su integral una función curtica.

f(x)=-x3 +,

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Propiedades:

• l dominio de la función es la recta real es decir &M @ M!

• l recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.

•

La función es simétrica respecto del origen, ya +ue f&x!"&fx!.

• La función es continua en todo su dominio.

• La función es siempre creciente.

• La función no tiene asintotas.

• La función tiene un punto de corte con el eje Y.

• La función puede tener (asta un m-ximo de # puntos de intersección con el eje ?.

Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

unción ra cuadrada

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Las funciones ra cuadrada las escribimos de la forma@

cuyo dominio son todos los números reales positi/os (/0 1), lo cual significa +ue x no puede ser negati/o. 2i el /alor de x fuese negati/o no

sería una función ra cuadrada.

La gr-fica de una función ra cuadrada corresponde a la mitad de una par-bola como las +ue conocemos de la función cuadrtica, pero eneste caso el ee de si&etra de la media par-bola es (ori1ontal paralelo al eje de las abscisas!.

l gr-fico de la función raí1 cuadrada es@

 ; este gr-fico le podemos aplicar traslaciones (ori1ontales, (acia la derec(a si (acemos x , y (acia de i1+uierda si (acemos x + .

Por ejemplo, el gr-fico de muestra +ue se (a trasladado una unidad (acia la derec(a@

4ea&os otro ee&plo' 5raslado tres unidades "acia la i%uierda

Su grafica es'

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unción en valor absoluto

9ecordemos +ue la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = 6x60 y sie&pre representa distancias7 por lo tanto0 sie&pre ser positiva o nula .

n esta condición, de ser siempre positi/a o nula, su gr-fica no se encontrar- jam-s debajo del eje x. 2u gr-fica /a a estar siempre por encima

de dic(o eje o, a lo sumo, toc-ndolo.

8as funciones en valor absoluto sie&pre representan una distancia o intervalos (tra&os o troos) y se pueden resolver o calcular

siguiendo los siguientes pasos@

4. Se iguala a cero la función, sin el /alor absoluto, y se calculan sus races (los valores de x).

%. 2e forman intervalos con las races (los valores de x) y se eval*a el signo  de cada inter/alo.

#. Iefinimos la función a inter/alos, teniendo en cuenta +ue en los intervalos donde la x es negativa se ca&bia el signo de la función .

). 9epresentamos la función resultante.

4ea&os un ee&plo'

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9tro ee&plo'

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FUNCIÓN RACIONAL

La Función Racional

La Función Racional es aquella donde la variable aparece en el

denominador. La gráfica que se genera se denomina Hipérbola.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Dentro de la Función Racional encontramos una particular: la función de proporcionalidad inversa

 y = k/x donde k  es un nmero real distinto de 0Su representación gráica es una !ip"r#$%a e&ui%átera'

!ara k ( 0 se forma una familia de "ipérbolas decrecientes que ocupan el primero # tercer cuadrante

$%emplo: y = ) / x

!ara k * 0 se forma una familia de "ipérbolas crecientes que ocupan el segundo # cuarto cuadrante

$%emplo: y = + , / x

$n los siguientes video tutoriales verás cómo graficar la función

racional.

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Son funciones definidas por distintos criterios, según losintervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.

Función parte entera de x

Es una función que a cada número real hace corresponder elnúmero entero inmediatamente inferior.

f(x) = E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1

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Función mantisa

Función que hace corresponder a cada número el mismo númeromenos su parte entera.

f(x) = x - E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.

f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.

Función signof(x) = sgn(x)

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Representa y describe as caracter!sticas de as sig"ientes f"nci#nes$

%) &#mini#$ Dom(f) =  

') Rec#rrid#$ Im(f) =  

3) "nt#s de c#rte$

Puntos de corte del eje Y

! = 0 " f(0) = 3#0 $ 1 = $ 1 " (0 % $1)

Puntos de corte con el eje &

' Pr ! 1 * = 0 % * = 3! $ 1 " 0 = 3! $ 1 " ! = 1+3 1 " (1+3 % 0)

' Pr ! , 1 * = 0 % * = ! $ 2 " 0 = ! $ 2 " ! = 2 , 1 " (2 % 0)

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) C#ntin"idad$

($- % 1) l func./n es cont.nu or ser un func./n l.nel

(1 % -) l func./n es cont.nu or ser un func./n l.nel

emos s. f es cont.nu en el unto ! = 1

' f(!) = 3! $ 1 f(1) = 3#1 $ 1 = 2

' f(!) = ! $ 2 f(1) = 1 $ 2 = $ 1

omo no co.nc.den f no es cont.nu en ! = 1

Por tnto% f es cont.nu en   $ 1

*) +#n#t#n!a$

' . ! 1 f(!) = 3! $ 1 es un func./n l.nel con end.ente os.t. (m = 3)% or tnto es crec.ente

' . ! , 1 f(!) = ! $ 2 es un func./n l.nel con end.ente os.t. (m = 1)% or tnto es crec.ente

func./n f es crec.ente en todo su dom.n.o

,) As!nt#tas$

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m:s rms de l func./n son l.neles% or tnto% no t.ene n.n;un s<ntot

-) eri#dicidad y simetr!a$ no t.ene er.od.c.dd * s.metr<

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