Función generadoraDe Wikipedia, la enciclopedia libre(Redirigido desde Funciones generadoras)Saltar a navegación, búsqueda

En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos.

Hay varios tipos de funciones generadoras: funciones generadoras ordinarias, funciones generadoras exponenciales, la serie de Lambert, la serie de Bell y la serie de Dirichlet; de las cuales abajo se ofrecen definiciones y ejemplos. Cada sucesión tiene una función generadora de cierto tipo. El tipo de función generadora que es apropiada en un contexto dado depende de la naturaleza de la sucesión y los detalles del problema que se analiza.

Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x.

Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en en el sentido usual de ser mapeos entre un dominio y un codominio; el nombre es únicamente el resultado del desarrollo histórico de su estudio.

Una función generadora es una cuerda de tender en la que colgamos una sucesión de números para mostrarla

Herbert Wilf 1

Contenido

[ocultar]

1 Función generadora ordinaria 2 Aplicaciones

o 2.1 Determinación de la función generadora a partir de una recurrencia o 2.2 Ejemplo de aplicación práctica

3 Otras funciones generadoras o 3.1 Función generadora exponencial o 3.2 Función generadora de Poisson o 3.3 Serie de Lambert o 3.4 Serie de Bell o 3.5 Función generadora de la serie de Dirichlet o 3.6 Funciones generadoras de sucesiones polinómicas

4 Ejemplos

o 4.1 Funciones generadoras ordinarias o 4.2 Función generadora exponencial o 4.3 Serie de Bell o 4.4 Función generadora de la serie de Dirichlet

5 Aplicaciones 6 Otras funciones generadoras 7 Véase también 8 Referencias 9 Notas 10 Enlaces externos

[editar] Función generadora ordinaria

La función generadora ordinaria de una sucesión (an) = a0, a1, a2, a3 ... se define como

Es común usar la expresión función generadora sin mayor calificativo, para referirse a este tipo de función.

Ejemplo.La sucesión de Fibonacci definida por la recurrencia

es la sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...Su función generadora es

puesto que el desarrollo en serie de potencias de tal función es

.

y los coeficientes de tal desarrollo son precisamente 0,1,1,2,3,5,8,13,...

Es posible definir funciones generadoras sobre varias variables. Por ejemplo, la función generadora ordinaria en 2 variables de (am,n) donde n y m son índices que recorren los enteros no negativos, es

[editar] Aplicaciones

Si bien las funciones generadoras son una herramienta usada ampliamente en combinatoria, no existen métodos detallados que proporcionen solución a los problemas en cada situación. Sin embargo existen ideas generales que pueden ser modificadas y adaptadas en las diferentes situaciones que se presentan. A continuación se ilustran varios usos de las funciones generadoras junto con la idea general que se está usando.

[editar] Determinación de la función generadora a partir de una recurrencia

En esta situación lo que se hace es multiplicar ambos lados de la recurrencia por x^n y sumar sobre todos los índices. Después se efectúan transformaciones para que la igualdad entre sumas que se obtiene se convierta en una ecuación que involucra la función generadora y se procede a resolverla.

Como ilustración, considere la recurrencia

.

que da origen a la sucesión (an)=1,5,17,53,161,485,1457...

Multiplicando ambos lados por xn y sumando sobre todos los valores de n se obtiene:

.

El lado izquierdo es casi la función generadora, pero los índices están desfasados. Pero notando que

,

se deduce que el lado izquierdo es

.

El lado derecho se desarrolla como

.

Al final, se aplicó la fórmula para sumar una serie geométrica:2

.

Igualando ambas simplificaciones, se obtiene la ecuación

que al resolverse arroja por resultado

[editar] Ejemplo de aplicación práctica

Si cn es el número de formas en que se puede pagar n pesos usando monedas de 1, 2 y 5 pesos, entonces la función generadora de la sucesión (cn) es

.

ya que el coeficiente de xn es igual al número de formas de escoger a, b, c tales que

y que corresponen a usar a monedas de 1 peso, b monedas de 2 pesos y c monedas de 5 pesos.

La aplicación de la fórmula de Taylor es demasiado compleja en este caso, por lo que aplicaremos el siguiente artificio debido a Ronald Graham.

Cada uno de los denominadores (1-x), (1-x2) y (1-x5) son divisores de (1-x10), por lo que podemos reescribir

para un A(x) en donde:

Finalmente, desarrollando la función generadora

obtenemos

.

De la expresión anterior se puede leer con detalle el valor exacto del coeficiente de xn, es decir, el número cn de formas de pagar n pesos con monedas de 1,2 y 5 pesos. Por ejemplo, el número de formas de pagar 77 pesos se obtiene calculando el término correspondiente a x77:

y se concluye que hay 328 formas de pagar 77 pesos con monedas de 1, 2 o 5 pesos.

[editar] Otras funciones generadoras

[editar] Función generadora exponencial

La función generadora exponencial de una sucesión an es

[editar] Función generadora de Poisson

La función generadora de Poisson de una sucesión an es

[editar] Serie de Lambert

La serie de Lambert de una sucesión an es

Nótese que en una serie de Lambert, el índice n comienza en el 1, no en 0.

[editar] Serie de Bell

La serie de Bell de una función aritmética f(n) y un número primo p es

[editar] Función generadora de la serie de Dirichlet

Las series de Dirichlet a menudo se clasifican como funciones generadoras, aunque no son estrictamente series formales de potencias. La función generadora de la serie de Dirichlet de una sucesión an es

La función generadora de la serie de Dirichlet es especialmente útil cuando an es una función multiplicativa, cuando tiene una expresión de producto de Euler en términos de la serie de Bell de la función

Si an es un carácter de Dirichlet, entonces su función generadora de la serie de Dirichlet se llama serie L de Dirichlet.

[editar] Funciones generadoras de sucesiones polinómicas

El concepto de funciones generadoras puede extenderse a sucesiones de otros objetos. Así, por ejemplo, las sucesiones polinómicas de tipo binomial se generan por

donde pn(x) es una sucesión de polinomios y f(t) es una función de cierta forma. Las sucesiones de Sheffer se generan de modo similar. Véase el artículo principal polinomio generalizado de Appell para más información.

[editar] Ejemplos

Artículo principal: Ejemplos de funciones generadoras

Cuando se trabaja con funciones generadoras, es importante reconocer las expresiones de algunas sucesiones fundamentales.

[editar] Funciones generadoras ordinarias

La más fundamental de todas es la sucesión constante 1,1,1,1,..., cuya función generadora ordinaria es

La expresión de la derecha se puede justificar multiplicando la serie de potencias de la izquierda por X − 1, y comprobando que su resultado sea la serie constante de potencias 1; en otras palabras, que todos los coeficientes desaparezcan excepto el de X0. (Por lo demás, no puede haber otra serie de potencias con esta propiedad, ya que un anillo de series de potencias como Z''X'' es un dominio de integridad.) El lado de la derecha, por lo tanto, designa la inversa de X − 1 en el anillo de series de potencias.

Fácilmente se derivan para ésta expresiones para la generación ordinaria de otras sucesiones. Por ejemplo, para la serie geométrica 1,a,a2,a3,... para cada constante a se tiene

y en particular

También se pueden introducir «brechas» regulares en la sucesión sustituyendo X por alguna potencia de X; así, por ejemplo, para la sucesión1,0,1,0,1,0,1,0,.... se obtiene la función generadora

Calculando el cuadrado de la función generadora inicial, fácilmente se ve que los coeficientes forman la sucesión 1,2,3,4,5,..., así que se tiene

y el cubo tiene como coeficientes los números triangulares 1,3,6,10,15,21,... cuyo

término n es el coeficiente binomial , de manera que

Dado que , se puede encontrar la función generadora ordinaria para la sucesión 0,1,4,9,16,... de números cuadrados por combinación lineal de las sucesiones precedentes;

[editar] Función generadora exponencial

[editar] Serie de Bell

[editar] Función generadora de la serie de Dirichlet

[editar] Aplicaciones

Las funciones generadoras se emplean para

encontrar una forma cerrada para una sucesión dada en una relación de recurrencia. Por ejemplo, considérense los números de Fibonacci;

encontrar relaciones de recurrencia para sucesiones: la forma de una función generadora puede sugerir una fórmula de recurrencia;

encontrar relaciones entre sucesiones: si las funciones generadoras de dos sucesiones tienen una forma similar, entonces las propias sucesiones probablemente están relacionadas;

explorar el comportamiento asintótico de las sucesiones; demostrar identidades que implican sucesiones; resolver problemas de enumeración en combinatoria; evaluar sumas infinitas.

TRADUCCION BIDIRECCIONAL

Nueva líneaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

En informática, nueva línea es un carácter especial, o secuencia de caracteres, que indica el final de una línea de texto y el paso a la siguiente. Se le llama así porque el carácter a la derecha del nueva línea aparecerá en la línea de debajo de los caracteres que había a la izquierda, por tanto en una línea nueva.

La codificación del carácter nueva línea no es la misma en todas las arquitecturas ni sistemas operativos, cosa que puede dar problemas cuando se intercambian datos entre ordenadores.

Contenido

[ocultar]

1 ¿Terminador o separador? 2 Representaciones 3 Protocolos de red 4 Unicode 5 Historia 6 N.l. en lenguajes de programación 7 Problemas comunes 8 Utilidades de conversión 9 Véase también

[editar] ¿Terminador o separador?

Aún se discute si el carácter de nueva línea debería terminar o separar las líneas.

Si se usa como separador, un texto con las líneas A, B, y C quedaría grabado así (representando el carácter de nueva línea con \n):

A \n B \n C

Entonces, la última línea (C) no tiene el código de nueva línea al final. Este comportamiento está poco recomendado, y algunos programas tienen problemas procesando la última línea de un fichero si no acaba con una nueva línea, así que la convención general es tratar \n como terminador:

A \n B \n C \n

Este cambio puede afectar en el recuento de líneas de un fichero, pero no da problemas mayores.

[editar] Representaciones

Las aplicaciones y los sistemas operativos normalmente representan el carácter nueva línea con uno o con dos códigos de control:

Los sistemas basados en ASCII o en una codificación de caracteres compatible usan LF (Salto de línea), CR (Retorno de carro), o CRLF (CR seguido de LF):

o LF:     Unix y sistemas tipo Unix, Linux, AIX, Xenix, Mac OS X, BeOS, Amiga, RISC OS y otros

o CR+LF: CP/M, MP/M, DOS, Microsoft Windowso CR:     familia Apple II y Mac OS hasta la versión 9o LF+CR: Las antiguas maquinas de escribir (Nada relacionado con la

informatica, solo es una comparacion) Los sistemas EBCDIC, principalmente mainframes de IBM incluyendo a z/OS

(OS/390), i5/OS (OS/400), usan NEL (siguiente línea) como carácter de nueva línea. EBCDIC también tiene caracteres llamados CR y LF, pero el valor numérico del LF es distinto al que se usa en ASCII. Otras variantes de EBCDIC también usan NEL pero con otro valor numérico asignado al carácter.

VMS usa un sistema de ficheros basado en registros, y guarda los ficheros de texto con un registro por línea. Por tanto, no se almacena ningún terminador de línea, aunque el sistema puede añadir terminadores a cada línea de forma transparente cuando una aplicación accede a los datos.

Los valores numéricos usados normalmente son:

CR : decimal 13, hexadecimal 0D LF : decimal 10, hexadecimal 0A NEL: decimal 21, hexadecimal 15

El CRLF no es más que uno detrás de otro, por tanto 0D 0A en hexadecimal.

[editar] Protocolos de red

Muchos protocolos de Internet son textuales, o sea, que envían líneas de texto para hacer las peticiones (además de usar código binario). Por eso, han de controlar cómo se tiene que marcar el final de cada línea.

Por tradición, la mayoría han funcionado usando el CRLF en el nivel de protocolo. Por ejemplo, HTTP, SMTP, FTP e IRC, entre otros. Sin embargo, algunos recomiendan que las aplicaciones también reconozcan un LF suelto.

En la práctica, hay muchas aplicaciones que acaban usando (incorrectamente) el código de nueva línea del lenguaje de programación C, que es \n pero tiene un valor que depende de la plataforma (ver sección N.l. en lenguajes de programación, más abajo).

Esto causa problemas al comunicarse con sistemas que siguen más firmemente el estándar. Por ejemplo, el agente de correo qmail no acepta mensajes de sistemas que envíen sólo LF en vez del CRLF requerido. Detalles, en inglés.

[editar] Unicode

El estándar Unicode trata el problema definiendo un gran número de caracteres que las aplicaciones han de reconocer como terminadores de línea. Según [1]:

 LF:    Salto de línea, u000A CR:    Retorno de carro, u000D CR+LF: CR seguido por LF NEL:   Next Line, u0085 FF:    Form Feed, u000C LS:    Line Separator, u2028 PS:    Paragraph Separator, u2029

Parece demasiado complicado frente a otras posibles soluciones, como por ejemplo convertir todos los terminadores a un solo carácter como el LF, pero se ha hecho así para que la conversión pueda ser bidireccional. Si transformamos un texto EBCDIC cambiando todos los NEL por LF, y luego lo queremos devolver a EBCDIC, no sabríamos si los LF de nuestra codificación corresponden a NEL o al propio LF de EBCDIC.

En Unicode, se puede hacer la transformación sin perder información, de forma que los programas siguen pudiendo reconocer todos los tipos posibles de terminadores de línea.

[editar] Historia

ASCII se desarrolló simultáneamente por el ISO y el ASA, la organización predecesora de ANSI. Durante el período 1963-1968, los borradores (pre-estándar) de ISO permitían usar tanto CRLF como LF para marcar una nueva línea, mientras que los borradores de ASA permitían sólo CRLF.

El sistema operativo Multics empezó a desarrollarse en 1964 y usaba sólo LF. Unix siguió la práctica de Multics, y sistemas posteriores siguieron a Unix.

La secuencia CR LF era común en los primeros ordenadores que tenían máquinas de teletipo (como el ASR33) como dispositivo de terminal. Esta secuencia era necesaria para posicionar el cabezal de la impresora al principio de una nueva línea. Como esta operación no se podía hacer en tiempo "1 carácter", había que dividirla en dos caracteres. A veces era necesario enviar CR LF NUL (siendo NUL el carácter de control que le manda "no hacer nada"), para asegurarse de que el cabezal de impresión parara de moverse. Después de que estos sistemas mecánicos desaparecieran, la secuencia CR LF dejó de tener sentido, pero aun así se ha seguido usando.

Se especula que QDOS (que Microsoft compró y renombró a MS-DOS) adoptó CRLF para copiar la implementación usada por CP/M. También se dice que CP/M eligió CR+LF para introducir una clara incompatibilidad con Unix, y así intentar evitar una

posible denuncia de AT&T/Bell, que decía que CP/M violaba el copyright de Unix porque estaba basado en Unix (según esta teoría). Otros creen que CP/M se parece más a los sistemas de DEC (como el RSTS/E) que a Unix. En cualquier caso, esta convención de QDOS pasó al siguiente sistema operativo comercializado por Microsoft, el Windows, y sigue igual en la actualidad (2006).

[editar] N.l. en lenguajes de programación

Para que sea más fácil crear programas portátiles, los lenguajes de programación ofrecen abstracciones para no tener que tratar con las pequeñas diferencias entre sistemas.

El lenguaje de programación C permite usar las secuencias de escape \n (nueva línea) y \r (retorno de carro). Sin embargo, éstas no son equivalentes a LF y CR en general. El estándar C sólo garantiza dos cosas:

1. Cada una de estas secuencias se traduce a un número que cabe en un sólo valor char, y que depende de la implementación.

2. Cuando se escribe a un fichero de tipo texto (en contraposición a un archivo binario), el \n se traduce de forma transparente al código de nueva línea nativo del sistema, que puede ser de más de un carácter. Cuando se lee en modo texto, la secuencia de nueva línea nativa se vuelve a traducir a \n. En modo binario no se hacen estas traducciones.

En las plataformas Unix, donde nació C, la secuencia que indica nueva línea es el código ASCII LF (0x0A), así que al principio se hizo que \n tuviera ese valor. Entonces, como la representación interna y la externa son idénticas, la traducción que hay que hacer en modo texto es nula, y modo texto y binario se comportan de la misma manera. Esto ha hecho que muchos programadores ignoren por completo la distinción, cosa que afecta al software desarrollado, que deja de ser portable.

Otro problema común es usar \n al comunicarse mediante un protocolo de red que requiere CRLF como terminador. En Windows funcionará, ya que \n se traduce a la representación nativa, que es precisament CR+LF, pero en Unix produce sólo LF (la representación nativa del carácter nueva línea). Usar \r\n en modo binario es algo mejor, pero tampoco funciona en el caso general. Lo correcto es especificar los valores concretos, en modo binario; por ejemplo, \x0D\x0A

Perl y C++ ofrecen la misma interpretación de '\n' que C. C++ también tiene std::endl, que es la representación de una nueva línea en el sistema subyacente y vacía el stream después de emitirlo. Perl tiene un 'binmode' para las traducciones literales a la hora de leer y escribir en ficheros.

Java también proporciona las secuencias de escape \n y \r, que sí que garantizan que su valor será 0x0A y 0x0D respectivamente. Para que un programa hecho en Java se vea correctamente en el notepad, es necesario poner \r\n. Esto cobra vital importancia si se trata de comunicar nuestro programa en Java con un programa hecho en C mediando un archivo txt.

Las bibliotecas de entrada/salida de Java no traducen estas secuencias automáticamente, como en C. En cambio, ofrecen funciones para escribir una línea completa añadiendo el código nativo de nueva línea, y funciones para leer líneas que aceptan cualquier secuencia como terminador (CR, LF, CRLF).

[editar] Problemas comunes

Las diferentes representaciones de la nueva línea en los sistemas operativos a veces causan que al transferir un fichero entre dos ordenadores, se muestre incorrectamente. Por ejemplo, en condiciones normales, los ficheros creados en sistemas Unix o Apple Macintosh se verán como una línea larga en Windows. Y a la inversa: los ficheros creados en un ordenador con Windows se verán extraños con algunos editores, ya que el CR extra que Unix no necesita se mostrará como un ^M al final de cada línea.

El problema puede ser difícil de detectar si algunos programas manejan bien los terminadores de línea ajenos pero otros no. Por ejemplo, un compilador puede fallar con extraños mensajes de error aun cuando el fichero fuente se muestra correcto en la línea de comandos o un editor de texto.

Los navegadores web suelen poder trabajar con páginas codificadas en cualquier sistema, y los editores de texto modernos permiten no sólo abrir ficheros de cualquier codificación, sino convertir entre ellas (ver siguiente sección).

Al transferir ficheros por FTP, el cliente puede convertir automáticamente entre diferentes codificaciones si está activado el modo de texto. Sin embargo, si se usa este modo para transferir un archivo binario, el fichero llegará corrupto. Los programas suelen usar heurísticos para detectar si un fichero es binario o no, pero pueden equivocarse.

[editar] Utilidades de conversión

En general, un editor de textos es el programa más conveniente para trabajar con ficheros que usan distintos terminadores de línea. La mayoría de editores modernos permiten cualquier combinación con los códigos de control ASCII CR y LF. Por desgracia, el editor predeterminado de Windows (Notepad) no lo permite, aunque Wordpad sí.

El programa de MS-DOS llamado EDIT también se puede usar para convertir un fichero que use los terminadores de línea de tipo Unix. Sólo hay que abrir el archivo y volverlo a grabar.

En muchos sistemas Unix se encuentran las utilidades dos2unix y unix2dos, que transforman entre las codificaciones CRLF (DOS/Windows) y LF (Unix). Hay varias versiones de estos programas, con sintaxis algo distintas.

Se puede usar también el programa tr, que sí que está en cualquier sistema tipo Unix, y que permite hacer cualquier tipo de transformación de caracteres. Para pasar de DOS/Windows a Unix, eliminar todos los CR:

tr -d '\r' < fichero_entrada > fichero_salida

Y en la otra dirección: se puede convertir de Unix a DOS con sed:

sed -e 's/$/\r/' fichero_entrada > fichero_salida

En sistemas Unix está el comando file, que permite identificar el tipo de terminadores de línea que usa un fichero