Funcion exponencial

Prof Verónica González Durán

1

DECIMO AÑO

Matemática

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y

ECUACIONES EXPONENCIALES


2

Función exponencial

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función IRIRf : se llama EXPONENCIAL si es de la forma

xaxf tal que 0a y 1a

La función xaxf , es la función exponencial de base “ a “, donde “x” toma cualquier

valor real.

Ejemplos de Funciones Exponenciales.

a) xxf 3 b) x

xf

2

1 c) xxf 2 d)

x

xf

4

7

En cada uno de los siguientes ejemplos indique la base de la función exponencial

genérica xaxf .

xxf 5 xxk 10 x

xg

4

3

x

xh

3

5

base ____ base ____ base ____ base ____

xxf 7 x

xt

2

1

x

xm

9

8 xxv 02.0

base ____ base ____ base ____ base ____ GRAFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La grafica de una función exponencial de la forma xaxf siempre es asintótica al eje “x” , e

interseca al eje “y” en el punto ( 0, 1 ). Puede ser una función creciente ó decreciente ( depende

de la base ), de la siguiente manera

x

y

0 1a

xaxf


3

x

y

1a

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se tiene la función exponencial IRIRf : tal que xf x ka b , con 0a y 1a ;

entonces las siguientes son sus principales características:

1) El dominio de la función es ℝ.

2) Ambito de la función es ,b si 0k y ámbito de la función es ,b si 0k .

3) Es una función inyectiva

4) Es una función sobreyectiva

5) Interseca al eje “y” en el punto 0, k b .

6) Es asintótica al eje “x” con y b

10 a entonces f es estrictamente decreciente si 0k , y f es

estrictamente creciente si 0k .

1a entonces f es estrictamente creciente si 0k , y f es

estrictamente decreciente si 0k .

7) Si 10 a

0k Si ,0 ,x y k b Si 0, 0,x y k b

0k Si ,0 ,x y k b Si 0, ,0x y k b

8) Si 1a

0k Si ,0 0,x y k b Si 0, ,x y k b

0k Si ,0 ,0x y k b Si 0, ,x y k b

f es una función BIYECTIVA

6) Si


4

9) Si 1 2 1 2( ) ( ) f x f x x x f es una función creciente.

10) Si 1 2 1 2( ) ( ) f x f x x x f es una función decreciente.

11) Recuerde: ( ) , ,0 , 0, , ,f x y .

Ejercicios. En cada uno de los siguientes ejemplos indique cuáles funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes.

xxf 5 xxk 10 x

xg

4

3

x

xh

3

5

__________ ____________ _____________ ____________

xxf 7 x

xt

2

1

x

xm

9

8 xxv 02.0

__________ ____________ _____________ _____________

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Es una de las funciones más útiles en matemáticas avanzadas y en las aplicaciones. La base de

esta función exponencial es el número irracional, 711828,2e el cual aparece en muchos

estudios fenómenos físicos. Una vez que ya conocemos el número e , podemos definir la

función exponencial natural

La función exponencial natural IRIRf : es xexf

Las calculadoras científicas tienen la tecla xe que permite aproximar los valores de la función

exponencial natural. Complete la siguiente tabla aproximando a 2 decimales y construya la grafica.

x

y

x -3 -2 -1 0 1 2

y


5

ECUACIONES EXPONENCIALES

Antes de analizar como resolver ecuaciones exponenciales debemos repasar las leyes de

potencia definidas en ℝ para así tener una mejor comprensión de las mismas.

Sean x, y ℝ, además m, n ℤ; también x, y, m, n 0.

15

1)

0

0

Ejemplo

xa

3

7

10

55

5

)

Ejemplo

xx

xd nm

n

m

n

n

m

m

Ejemplo

xxg

5

15

1)

55

)

1

1

Ejemplo

xxb

yy

nmnm

Ejemplo

xxe

33 55

)

xx

n

nnn

Ejemplo

x

y

x

y

y

xh

5

8

8

5

)

523 555

)

Ejemplo

xxxc nmnm

2

2

2

8

5

8

5

)

Ejemplo

y

x

y

xf

n

nn

44

1

55

)

m

m

nn

Ejemplo

xxi

Analicemos la siguiente propiedad

De acuerdo con la propiedad anterior se pueden resolver ecuaciones exponenciales reduciendo ambos miembros de la ecuación a la misma base. Veamos algunos ejemplos.

Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.

152 77)1 xx

285 93)2 xx

53

1

8

12)3

x

x 12)4 32 x

Como la función exponencial xaxf es inyectiva se tiene que:

Si 21

2121

xxaaxfxfxx Lo cual es equivalente a decir

Si 2121 xxaa

xx


6

1)521

2

x

x

e

e

e

eee

xx

22)6

5

13

3

2

2

3)7

x

36335)8 xx

Cálculo de imágenes en una función exponencial Para calcular una imagen simplemente debemos SUSTITUIR el valor dado en el criterio de la

función, que en el caso de una función exponencial corresponde a partir del exponente. Así de

esta misma forma se puede obtener el ámbito de una función exponencial.

Ejemplos

1) Calcule la imagen de 4 en la función exponencial

25 xxf

4) Hallar el ámbito de la función dada por

xxf 2 y definida de IR,3

2) ¿Cuál es la imagen de 3 en la

función 82 2 xxf ?

5) Si x

xh

3

2 y h está definida de

IR 2, . Determine el ámbito de h .

3) Si x

xf

4

1, entonces

encuentre la imagen de – 3.

6) Halle el ámbito de la función

x

xg

4

3; definida de IR3,0

Cálculo de preimágenes en una función exponencial

Para calcular preímagenes en una función, se debe IGUALAR el valor dado al criterio de la función. En la función exponencial se puede observar que ese despeje que se hace corresponde a una ecuación exponencial, es decir, que se resuelve de la misma forma como las que se habían analizado anteriormente. De esta misma forma se hace el análisis para calcular el dominio de una función exponencial.

Ejemplos

1) Calcule la preimagen de 16 en la función exponencial

54 xxf

4) Hallar el dominio de la función dada por

222 xxf y definida de

,4: Df

2) ¿Cuál es la preimagen de 9

1 en

la función 423 xxk ?

5) Si 335 xxh y

,15: Dh . Determine D.


7

3) Si 2

5

1

x

xm , entonces

encuentre la imagen de 125.

6) Hallar el dominio de la función

133 xxn ; y 27,9: Dn

Cálculo del ámbito en una función exponencial

Para calcular el ámbito en una función, se toma los extremos del dominio dado y se sustituyen

en la función dada. Los resultados son los extremos del ámbito y se ordenan de forma

ascendente.

De la anterior manera, se hace el análisis para calcular el ámbito de una función exponencial.

Ejemplo.

Sea la función dada por ( ) 2 7; : xf x f ; calcule el ámbito de f .

D ,

2 7x y 2 7x y

2 7

y

y

2 0 2 7y

0 7

7

y

y

Entonces el ámbito de la función es A 7, .

Cálculo del dominio en una función exponencial

Para calcular el ámbito en una función, se toma los extremos del ámbito dado y se iguala cada

uno en la función dada; y se despeja la x . Los resultados son los extremos del dominio y se

ordenan de forma ascendente.

De la anterior manera, se hace el análisis para calcular el dominio de una función exponencial.

Ejercicios

1) Indique si las siguientes funciones son exponenciales o no lo son. En el caso afirmativo

escriba si trata de una función creciente o decreciente.

xxfa 2)

x

xff

3

2)

xxfb 3 5)

x

xfg

4

3

2

1)

x

xfc

7

1)

x

xfh

5,0

1)


8

xxfd 67)

x

xfi

3 6

5)

x

xfe

4

15)

xxfj 3,32,3)

2) Calcule las imágenes indicadas

A) 42 fxf x C) 13,0 fxf x

E) 3

3

5fxf

x

B) 923 fxfx

D) 3

9

1

fxf

x

F)

2

1

4

1fxf

x

3) Determine el ámbito de las siguientes funciones exponenciales.

a) xexh y :h IR,3 b) IRfxf x

3,

3

1:7 c)

IRkxk

x

2,1:

3

2

4) Calcule las preimagenes indicadas para cada una de las siguientes funciones.

1) 273 xfxf x 3) 1252,0 xfxf x

5) 3 81

9

1

xfxf

x

2) 5

15 xfxf

x

4) 25

36

6

5

xfxf

x

6) 10244

1

xfxf

x

5) Calcule el dominio A de las siguientes funciones exponenciales.

a) x

xh

2

1 ; ,8: Ah

b) xxr 3 2 ;

2,

2

1: Ar

c) xxu 1,0 ;

100,

100

1: Au

7) De acuerdo con la función dada por 1344 xxf ; conteste lo que se le solicita.

La preimagen de 2

La imagen de 1

¿ 0 es imagen de ?

La intersección con el eje “y” corresponde a

Determine 2f

La intersección con el eje “x” corresponde a

7) Sea 323 3

x

xf entonces determine lo que se le solicita

La preimagen de 3

La intersección con el eje “y” corresponde a

Calcule 2f


9

La intersección con el eje “x” corresponde a

¿Cuál es la preimagen de 3 3 ?

9) Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones exponenciales.

322) xa

12

3

2

2

3

27

8)

xx

i

133 25125) xxb

3

12

9

273)

xxj

xxc 85,032)

4

x

x

x

k 2

4

32

4

8

64)

8127

1)

32

x

d

6333) xxl

e) 3

35

4

9

3

2

x

xxxm 554125) 32

3123 16282) xxf

xxn 324332)

6812) 3

2

x

g

xxxo 2165164)

125

27

3

5)

2

x

h

03055) 212 xxp

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