FUNCIÓN EXPONENCIAL- Definición

- Gráfica

- Propiedades

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

- Definición

- Gráfica

- Propiedades

(Ir)

(Ir)

(1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD/TECNOLOGÍA)

EJERCICIOS (Ir)

Sea a R, a >0, a 1

xayx

RRf

}0{:

Función exponencial de base “a”, a 1, es la aplicación de R en los reales estrictamente positivos que hace corresponder a cada “x” real una imagen ax real positiva.

Para cualquier “a” se cumple que

f(0) = a0 =1 y f(1) = a1 = a

Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1

FUNCIÓN EXPONENCIALSea a R, a >0, a 1

Veamos la gráfica de y = 2 xx -3 -2 -1 0 1 2 3y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

1

0

2

3

4

1 2-1-2-3 3

y=2x

Propiedades:

Gráfica de y = e x

1

10

a

2-1-2-3 3

y=ax; a>1

La gráfica de la función

con a R, a>1 es:

y=ax

Dominio:R

Recorrido: R*+ (ax >0, x R)

a0 =1; a1

=a (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica

Estrictamente creciente

Inyectiva

Continua en todo su dominio

Está acotada inferiormente, pero no superiormente

)/,( 212121

xx aaxxRxx

)( 2121 xxaa xx

Rbaalim bx

bx

,)(

)( x

xalim

izquierdalaporhorizontalasíntotaesyalim x

x00)(

PROPIEDADES

Veamos la gráfica de y = (1/2) x

x -3 -2 -1 0 1 2 3y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

0

1

1

2

2

3

4

-1-2-3 3

y=(1/2)x

1

10

a

y=ax

0<a<1

Propiedades:

La gráfica de la función y=ax con a R, 0<a<1 es:

Dominio:R

Recorrido: R*+ (ax >0, x R)

a0 =1; a1

=a (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica

Estrictamente decreciente

Inyectiva

Continua en todo su dominio

Está acotada inferiormente, pero no superiormente

)/,( 212121

xx aaxxRxx )( 21

21 xxaa xx

Rbaalim bx

bx

,)(

)( x

xalim

derechalaporhorizontalasíntotaesyalim x

x00)(

PROPIEDADES

xyx

RRf

alog

}0{:1

Para cualquier “a” se cumple que

f -1(1) = loga 1 = 0 y f -1(a) =loga a = 1

Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función exponencial f(x) = ax, a 1 es inyectiva, podemos

entonces definir la función f -1 recíproca de f

Dom(f -1) = Im(f) = R+-{0}; Im(f -1) = Dom(f) = R; f -1(x) = y f(y) = x

Función logarítmica de base “a”, a 1 , es la aplicación de R+-{0} en R que hace corresponder a cada “x” real >0 una imagen loga x real tal que y = loga x ay = x

Veamos la gráfica de

y = log2 x

1

10

2

2

3

4

-1-2-3 3

y=2x

x -3 -2 -1 0 1 2 3y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

1

10

2

2

3

4

-1-2-3 3

y=log2x

-1

-2

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8y -3 -2 -1 0 1 2 3

4

y=log2x

Gráfica simétrica respecto

de la bisectriz

del primer cuadrante

de la de y = 2 x

y =log ax ; a>11

10

a

a

y=ax; a>1

Propiedades

y =log ax con a R, a>1 es:

La gráfica de la función

Gráfica de y = log x

Gráfica de y = Ln x

Dominio: R +-{0} =

Recorrido: R

log a1 = 0; log a1 = 0 (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica

Estrictamente creciente

Biyectiva

Continua en todo su dominio

No acotada

*R

)loglog/,( 2121*

21 xxxxRxx aa

*,log)(log Rbbxlim aa

bx

)(log xlim ax

verticalasíntotaesxalim x

x0)(

0

PROPIEDADES

1

10

a

y=ax

0<a<1

a

y=logax0<a<1Propiedades

La gráfica de la función y=logax

con a R, 0<a<1 es:

Dominio: R +-{0} =

Recorrido: R

log a1 = 0; log a1 = 0 (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica

Estrictamente decreciente

Biyectiva

Continua en todo su dominio

No acotada

)loglog/,( 2121*

21 xxxxRxx aa

*,log)(log Rbbxlim aa

bx

)(log xlim ax

verticalasíntotaesxalim x

x0)(

0

*R

PROPIEDADES

EJERCICIOS

1.- El cero de la función f(x) = log2 x - 2x es:

a) 0 b) no existe c) 2

)( xx

xeelim2.-

a) + b) 0 c) -

3.- La función f(x) = log1/3 x es una función:

a) Creciente y no acotada

b) Positiva y no acotada

d) Decreciente y no acotada

4.- La función f(x) = a |x|, con 0<a<1, es:

a) Creciente y no acotada

b) Decreciente y acotada inferiormente

c) Acotada

6.- En cualquier función logarítmica f(x) = loga x:

a) La gráfica siempre pasa por el punto (0,1)

b) La gráfica siempre pasa por el punto (1,0)

c) f(x) = f(- x)

5.- La función inversa respecto de la composición (recíproca) de

f(x) =ln[(1+x)/2] es:

a) f -1(x)= e 2x -1 b) f -1(x)= 2ex -1 c) f -1(x)= e (1+x) /2