Captulo10INTRODUCCIONALASEDPDESEGUNDOORDEN.EDPPARABOLICASEsquema Introducci on: clasicaci on y ejemplos. Requerimientos adicionales: condiciones de contorno e iniciales. Tipos de condiciones de contorno en sistemas nitos. Introducci on a las edp2 parab olicas: ecuacion del calor para una varilla. Condiciones de contorno en un problema de difusi on del calor. Forma mas general de la ecuacion en derivadas parciales para un proceso difusivo. Condiciones de contorno homogeneas: ecuacion homogenea y no homogenea.* Ecuacion homogenea, cc de primera especie homogeneas.* Ecuaci on homogenea, cc de tercera especie homogeneas.* Ecuaci on diferencial no homogenea, cc homogeneas. Condiciones de contorno no homogeneas. Ecuaci on con terminos de ujo lateral y/o convecci on. Ecuaci on del calor o de la difusi on para un sistema de longitud innitaObjetivos Dada una ecuaci onenderivadas parciales linealde segundo orden(edp2),saberreconocerdeque tipo de ecuaci on se trata. Saber identicar los distintos tipos de condiciones de contorno que aparecen en un problema. Saber resolver una edp2 lineal parab olica simple con condiciones de contorno homogeneas, y enparticular saber plantear y resolver el problema de Sturm-Liouville asociado. Saber transformar otros tipos de edp2 lineales parab olicas a la forma que ya se sabe resolver. Saber usar los metodos basados en transformaciones integrales.3940 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICAS10.1 Introducci on: clasicaci onyejemplosEstudiaremos unicamentelasedp2linealescuandolafunci oninc ognitadependes olamentede dos variables independientes (normalmentex ey ox yt), es decir, es de la formaA(x, y)uxx +B(x, y)uxy +C(x, y)uyy +D(x, y)ux +E(x, y)uy +F(x, y)u = G(x, y). (10.1.1)Si G(x, y) =0laecuacionsedenominahomogenea. Paraproceder asuestudio, estasecuacionesseclasicanenvariostiposquevamosaconsideraracontinuacion. Hayqueindicarqueenestaclasicacionsolointervienenloscoecientesdelasderivadasparcialesdesegundoorden. Adem as, si A, ByCsonfuncionesdexeyesposiblequelaecuacionseadeuntipodiferenteendistintasregionesdelplano. Dadaunaecuaci ongenericacomo(10.1.1), se puede efectuar un cambio en las variables independientes de modo que, al menoslocalmente, laecuacionsepuedellevaraunadelastresformastpicasquesecomentanacontinuaci on.10.1.1 Clasicaci onSi B2 4AC= 0 la edp2 se denomina detipoparab olico. Este tipo de ecuacionesengeneralsurgenenproblemasfsicosenlosqueapareceelfenomenodeladifusi on:del calor, delaconcentraci ondeunasustanciaenunuido, delaconcentraci ondeelectrones en un semiconductor, etc.Ejemplo: la ecuacion que rige la transmisi on del calor a lo largo de una varilla unidi-mensional:ut = 2uxx, = constante.AquB = C = 0,A = 2.Si B24AC> 0 la edp2 se denomina de tipo hiperbolico. Este tipo de ecuaciones engeneral surgen en problemas fsicos en los que aparece el fenomeno de la propagaci onde ondas: vibraciones de una cuerda, ondas sonoras, ecuaciones de Maxwell, etc.Ejemplo: la ecuacion de la cuerda vibranteutt = c2uxx, c = constante > 0.En este caso concretoA = c2,B = 0 yC = 1.SiB24AC< 0 la edp2 se denomina de tipoelptico. En general este tipo de ecua-ciones surge en el estudio de los fenomenos estacionarios (independientes del tiempo).Ejemplo: la ecuacion de Laplace en el planouxx +uyy = 0,dondeA = C = 1 yB = 0.El uso de los calicativos parab olico, hiperb olico y elptico en esta clasicacion se debe a quesi consideramos las funciones Ax2+Bxy+Cy2+D = 0 con A, B, C y D constantes, entoncesson conicas, y en concreto siB2 4AC = 0 son par abolas, siB2 4AC> 0 son hiperbolasy siB24AC< 0 son elipses.10.2. REQUERIMIENTOSADICIONALES:CCYCI 4110.2 Requerimientos adicionales: condiciones decontornoycondicionesinicialesLamayorpartedelossistemasfsicosqueseestudiansonnitos,esdecir,estanlimitadospor un borde o una frontera,como es por ejemplo el caso de una varilla,de una cuerda delongitudL, deunamembranaconunaformadada, etc. Adem as, usualmenteseejerceuncierto control sobre el sistema actuando sobre la frontera del mismo. Esto es lo que se hacepor ejemplo al mantener los extremos de una cuerda jos, o al sumergir los extremos de unavarilla en sendos medios con temperaturas prejadas. Este tipo de restricciones o ligadurasadicionalesseplasmanenloquetecnicamentesellamanunascondicionesdecontorno,que deben suplementar a la ecuaci on diferencial cuando el sistema tiene una frontera, es decirsi es nito.Porotrolado, enel casobastantefrecuentedequeunadelasvariablesseael tiempo,podemosinterpretarquelaecuaci ondiferencialnosdicecomoevolucionaconeltiempolamagnitud que representa la funci onu. Entonces, para calcular esa magnitud en funci on deltiempo es necesario conocerla en un instante inicialt = 0. Dependiendo del orden de la edprespecto a la variable temporal, puede que sea necesario conocer tambien otras caractersticasdeu ent = 0 (por ejemplo el valor de su derivada temporal). Este conjunto de condicionessedenominancondiciones inicialesy, al igual quelas condiciones decontorno, debensuplementar a la ecuacion diferencial en el caso de tener una variabe temporal.Ademas, en casi todos los casos que se estudian, la magnitud que representau debe sernita(avecesdebeserinclusopositiva...) yestaesunacondicionavecesesencial quedebe vericar la soluci on que buscamos. Finalmente, otras veces el tipo de coordenadas queseutilizanparadescribirelsistemafsicorequierenalgunascondicionesespecialesdelafunci on con respecto a alguna de las coordenadas, como puede ser alg un tipo de periodicidad.En resumen, el problema fsico suele plantearse como1. La edp2 que describe el fen omeno fsico.2. Las condiciones de contorno (cc)3. Las condiciones iniciales (ci)4. La condici on de nitud.5. Otras posibles condiciones especiales.Sielproblemaest aadecudamenteplanteado, esteconjuntodecondicionesdebepermi-tirnos seleccionar cual es la unica soluci on del problema fsico de entre las innitas solucionesde la ecuacion en derivadas parciales.Observacion: como vamos a considerar funciones de dos variables exclusivamente, en loscasos en que aparezca el tiempo como variable independiente estaremos estudiando sistemasunidimensionales que evolucionan con el tiempo, mientras que si no aparece el tiempo estare-mos ante un sistema bidimensional propiamente dicho.10.3 TiposdecondicionesdecontornoensistemasnitosExisteninnidaddeposibilidadesencuantoaltipodecontrolquepodemosefectuarsobrelafronteradeunsistema. Sinembargoenlapr acticaexistentrestiposfundamentalesde42 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICAScondiciones de contorno que son las m as habituales en problemas fsicos y que implican jarel valordelamagnitudestudiadaodesuderivadanormal enlafrontera. Acontinuaci onenumeramos estos casos y damos un ejemplo de cada tipo de condicion de contorno para unsistema unidimensional nito de longitudL:De primera especie: cuando se ja el valor de la funci on en la frontera.Ejemplo:u(x = 0, t) = f1(t), u(x = L, t) = f2(t).De segunda especie: cuando se ja el valor de la derivada de la funci on con respecto alvector normal en cada punto la frontera.Ejemplo: en una dimensi on la derivada respecto de la normal en el extremo derecho esla derivada respecto de x, /n = /x, mientras que en el extremo izquierdo es menosla derivada respecto ax,/n = /x. Por tanto en una dimensi on las condicionesde contorno de segunda especie pueden escribirse como:ux(x = 0, t) = f1(t), ux(x = L, t) = f2(t).De tercera especie: cuando se ja lo que vale una combinaci on lineal de la funci on y desuderivadarespectodelanormal enlafrontera(evidentementeestecasoabarcalosdos anteriores).Ejemplo:1u(x = 0, t) +1ux(x = 0, t) = f1(t), 2u(x = L, t) +2ux(x = L, t) = f2(t).En todos los casos, sif1(t) =f2(t) = 0 las cc se llaman homogeneas y en caso contrariose llaman no homogeneas.10.4 Introducci onalasedp2parab olicas: ecuaci ondel calorparaunavarillaConsideremos una varilla cilndrica homogenea formada por un material conductor del calor,delongitudLydi ametrod 0 y la temperatura del punto aumenta; por el contrario, si u(x, t) > promedio , entoncesuxx< 0,ut< 0 y la temperatura disminuye. En resumen, laecuaciondeladifusionnosdice que la temperatura de un punto tiende a igualarse a la de los puntos vecinos.10.5 Condicionesdecontornoenunproblemadedifusi ondelcalorYahemosvistoquemanteniendolastemperaturasdelosextremosjasseobtienencondi-cionesdecontornodeprimeraespecie. Vamosahoraaestudiarquetipodecondicionesdecontorno resultan de efectuar un control de modo diferente de la temperatura de los extremos.Consideremos la misma varilla que antes, pero supongamos ahora que los extremos estan encontacto con sendos lquidos a temperaturas dadas,g1(t) yg2(t).Liquido a T=g (t)Liquido a T=g (t)1244 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICASPara escribir las condiciones de contorno debemos utilizar dos leyes del calor: la ley deenfriamiento de Newton y la ley de Fourier.La ley de Newton nos dice que el ujo de calor entre dos sistemas es proporcional a ladiferencia de temperaturas entre ellos. Por tantoujo hacia el exterior enx = 0 = h1 [u(0, t) g1(t)] ,ujo hacia el exterior enx = L = h2 [u(L, t) g2(t)] ,siendo loshkcoecientes de intercambio de calor entre la varilla y los liquidos corre-spondientes (su expresi on es complicada, dependiendo de las caractersticas de la varilla,loslquidosylageometradel contacto, peroandecuentassonciertasconstantespositivas).La leydeFouriernosdicequeel ujodecalorhaciael exteriordeunaregi onesproporcional a la derivada de la temperatura con respecto de la normal orientada haciael interior (todo evaluado en la frontera o supercie del objeto):CalienteFlujoCalienteFrioFlujoFrioEn la zona izquierda del dibujo la derivada deTrespecto de la normal hacia adentroes negativa, u por tanto el ujo de calor hacia el exterior es negativo, es decir el ujode calor es hacia el interior. En la zona de la derecha la derivada deTrespecto de lanormalorientadahaciaelinteriorespositivayportantoelujodecaloreshaciaelexterior. Por tanto,ujo hacia el exterior enx = 0 = ux(0, t),ujo hacia el exterior enx = L = ux(L, t),siendo la conductividad termica de la varilla.Combinando ambos resultados obtenemos para el problema que estamos analizandoux(0, t) h1u(0, t) = h1g1(t), ux(L, t) +h2u(L, t) = h2g2(t), (10.5.1)esdecir, encontramoscondicionesdecontornodeterceraespecie. Notesequesi hj>>entonces las ecuaciones se reducen a unas de primera especie.Finalmente, sipudieramoscontrolarelujodecalorenlosextremosentoncesseg unlaley de Fourier estaramos jando el valor de la derivada de la funci on respecto de la normal,es decir, tendramos condiciones de contorno de segunda especie. Una manera muy sencillade jar el ujo de calor en los extremos es aislarlos termicamente, con lo cual el ujo es nulo,y las cc seran homogeneas de segunda especie.10.6. FORMAMASGENERALDEUNPROBLEMADIFUSIVO 45Porsupuestonospodemosencontrarconcasosmixtos, porejemplo, unextremodelavarillaaisladoyel otroencontactoconunlquidoatemperaturaconstante T, comosemuestra en la siguiente gura:TEn este caso las cc seranux(0, t) = 0, ux(L, t) +hu(L, t) = hT. (10.5.2)10.6 Formamasgeneraldelaecuaci onenderivadasparcialesparaunprocesodifusivoLa ecuacion parab olica mas general que suele aparecer en problemas fsicos de tipo difusivoes la siguiente:ut = 2uxx(u u0) ux +f(x, t). (10.6.1)Nosindicaqueel ritmodevariaci ondelatemperaturaesdebidoadiversosfactores, queseg un el orden en el que aparecen en la f ormula son los siguientes:Flujo interno debido a la difusi on.Flujolateral: si lavarillanoest aaisladaensusupercielateral puedeintercambiarcalorconel medioexterno, ysi esteseencuentraaunatemperaturau0apareceeltermino mostrado.Flujodebidoalaconvecci on: estetipodeterminosintervienencuando,porejemplo,estamos estudiando la difusi on de una sustancia en un uido que se est a moviendo convelocidad.Fuentes externas: si la varilla es metalica y por ella pasa una corriente electrica, o si ensu interior ocurren reacciones nucleares, por ejemplo.Comenzaremos estudiando los casos mas sencillos para ir considerando posteriormente otrosmas complicados. As, en primer lugar estudiaremos la ecuaci on sin terminos de ujo lateralni convectivo. Dentro de este apartado estudiaremos en primer lugar el caso de condiciones decontorno de primera especie homogeneas y ecuacion homogenea (f(x, t) = 0). A continuaci onestudiaremosccdeterceraespeciehomogeneasyecuacionhomogenea. Pasaremosdespuesaestudiarelcasodecchomogeneasyecuacionnohomogeneaynalmenteveremoscomoresolverproblemasconccnohomogeneas. Por ultimoretomaremosel casomasgeneral,estudiando que se puede hacer cuando aparecen los terminos de ujo lateral y/o convectivos.A partir de ahora vamos a suponer, sin perdida de generalidad, que la longitud de la varillaesL = 1 (si no fuera as, basta hacer un cambio de variable a = x/L).46 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICAS10.7 Condiciones de contorno homogeneas: ecuaci on homoge-neaynohomogenea10.7.1 Ecuacionhomogenea,ccdeprimeraespeciehomogeneasEl problema que se plantea es:edp2: ut = 2uxx,cc:_u(0, t) = 0,u(1, t) = 0,(10.7.1)ci: u(x, 0) = (x).El problemaseresuelvesiguiendosistematicamentelas distintas etapas queseindicanacontinuaci on: (1)enprimerlugarbuscaremossolucionesdelaedp2; (2)despues, entrelashalladas anteriormentebuscaremos soluciones delaedp2queademas veriquenlas ccydaremoslaformamasgeneral deunasoluci ondeesetipo; (3)nalmentebuscaremoslasolucion particular que verica tambien la ci.PASO1. Solucionesdelaedp2Vamosabuscarsolucionesdelaedp2utilizandoel metododeseparaci ondevariables,que consiste en buscar las soluciones en forma factorizadau(x, t) = X(x)T(t). (10.7.2)Llevando esta expresion a la edp2 obtenemos:X(x) T(t) = 2X

(x)T(t), (10.7.3)donde el punto representa derivada respecto det y las primas derivadas respecto dex. Divi-diendo toda la ecuaci on entre2X(x)T(t) nos quedaT(t)2T(t)=X

(x)X(x). (10.7.4)Ahoraobservamosqueelladoizquierdodelaigualdaddepende unicamentedet,mientrasqueel ladoderechodependes olodex. Portanto, paraqueambosladoseanigualesparacualquier valor de x y de t la unica posibilidad es que de hecho ninguna de las dos expresionesdependa de las variables respectivas, es decir, que sean iguales a una constante (la misma enlos dos casos):T(t)2T(t)=X

(x)X(x)= . (10.7.5)Laconstantequeacabamosdeintroducirsedenominaconstantedeseparaci on. Lasan-teriores expresiones nos llevan a un conjunto de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, unapara la parte temporal y otra para la parte espacial de la funci on:_T(t) 2T(t) = 0,X

(x) X(x) = 0.(10.7.6)10.7. CONDICIONESDECONTORNOHOMOGENEAS 47El problema de resolver la edp2 ha quedado por tanto reducido a otro que ya sabemos resolver:dos ecuaciones diferenciales ordinarias. La ecuacion temporal puede resolverse de inmediato,siendo la soluci on de la formaT(t) = T0e2t, (10.7.7)seacual seael valorde R. Porotrapartelaformafuncional delasoluci onparalaecuacion espacial depende del signo de: Si > 0, = 2(> 0) y la soluci on es una combinaci on lineal de exponenciales reales. Si = 0 la soluci on es un polinomio de primer grado enx.Si < 0, = 2(con> 0)ylasoluci onesunacombinaci onlinealdeexponencialesimaginarias, o bien de senos y cosenos: = 2 X(x) = Aex+Bex. = 0 X(x) = Ax +B. = 2 X(x) = Asin(x) +Bcos(x).(10.7.8)En todos los casosA yBson constantes reales arbitrarias.PASO2. Solucionesdelaedp2ylasccSi imponemos las condiciones de contorno a las soluciones factorizadas en variables separadasque acabamos de hallar tendremos:u(0, t) = 0 = X(0)T(t) y esto t X(0) = 0, (10.7.9)u(1, t) = 0 = X(1)T(t) y esto t X(1) = 0. (10.7.10)Por tanto observamos que las cc se traspasan directamente a la parte espacial de la solucionen variables separadas. As pues, para encontrar las soluciones de la edp2 y las cc debemosresolver la ecuacion diferencial ordinaria para la parte espacial con las cc especicadas.___X

(x) X(x) = 0,X(0) = 0,X(1) = 0.(10.7.11)Aestetipodeecuaciones diferenciales seledenominaproblemadeSturm-Liouville(SL)asociadoalaedp2conccdadas. VamosaresolveresteproblemadeSL. Enprimerlugarobservemos que X(x) = 0 siempre es solucion del problema. Sin embargo esto implicara queu(x, t) = 0, lo cual en general no es compatible con la C.I. Por tanto esta soluci onX(x) = 0lallamaremossoluciontrivial ynolaaceptaremoscomosoluci onv alidadel problemadeSL. Veamos entonces cuales son las soluciones no triviales del problema de SL planteado en(10.7.11): Consideremos en primer lugar el caso = 2:X(x) = Aex+Bex X(0) = A+B, X(1) = Ae+Be. (10.7.12)Seg un las cc (10.7.11):A+B = 0 B = A Ae+Be= A_ee_ = 0. (10.7.13)Paraquesecumplaestasegundaecuaciontenemosdosposibilidades, yaqueparaqueelproducto de dos factores sea nulo es suciente que lo sea uno de ellos. La primera opci on es48 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICASA = 0,pero entonces tambienB= 0 y la soluci on que se obtiene es la trivial. La segundaopci on es que el parentesis sea nulo, pero eso es imposible ya que el parentesis solo se anulapara = 0 que no esta permitido. En resumen, para el caso > 0 no existen soluciones notriviales al problema de SL. Analicemos ahora el caso = 0:X(x) = Ax +B X(0) = B, X(1) = A+B. (10.7.14)Seg un las ccB = 0 A+B = 0 A = 0, (10.7.15)que es la solucion trivial. Veamos nalmente el caso = 2:X(x) = Asin(x) +Bcos(x) X(0) = B X(1) = Asin +Bcos . (10.7.16)Usando las ccB = 0 Asin = 0. (10.7.17)Igual que antes, para la segunda ecuaci on tenemos dos posibilidades: o bienA = 0, que nosproduce la soluci on trivial,o bien sin = 0. Ahora bien,al contrario que en el caso de lasexponencialesrealesesta ultimaecuacionstienesolucionesdistintasde = 0(queexistepero no esta permitida), y en concreto tiene un conjunto innito numerable de soluciones, asaber,n = n, n = 1, 2, 3, . . . (10.7.18)A cada uno de estos valores le corresponde una constante de separacion n = 2n = n22yunas funciones espacialesXn(x) = An sin(nx). Podemos observar que los valores negativosden dan lugar a la misma constante de separaci on que el correspondiente valor positivo y auna funci on espacial que es proporcional a la correspondiente al valor positivo. Esto quieredecir que de hecho los valores negativos den producen las mismas soluciones al problema deSL que los valores positivos, y en consecuencia habitualmente se obvian.En resumen, hemos encontrado que las soluciones no triviales del problema de SL son dela formaXn(x) = sin(nx) (10.7.19)y ademas la constante de separacion no puede tomar cualquier valor, sino u nicamenten = n22, (10.7.20)ytodoelloparavaloresden=1, 2, 3, . . .Observesetambienquehemoseliminadolacon-stante multiplicativa de Xn(x), y lo mismo haremos con la constante que aparece en la partetemporal de la soluci on.Dado que no puede tomar cualquier valor, la soluci on para la parte temporal tambienllevar a asociado un ndicen:Tn(t) = en222t(10.7.21)yportanto, hemosencontradounconjuntodefuncionesun(x, t)quesonsolucionesdelaedp2 y verican las cc, a saberun(x, t) = en222tsin(nx), n = 1, 2, 3, . . . (10.7.22)10.7. CONDICIONESDECONTORNOHOMOGENEAS 49Estasfuncionessedenominansolucionesfundamentalesdelaedp2. Ahorabien, laedp2es una ecuacion lineal homogenea,y esto implica que cualquier combinaci on lineal de solu-ciones es tambien solucion de la ecuaci on. En realidad nosotros vamos a ir algo m as lejos yconsideraremos la posibilidad de que,dado que tenemos un conjunto innito numerable desoluciones fundamentales, podamos construir una soluci on a la edp2 formada como una seriede soluciones fundamentales:u(x, t) =

n=1Anun(x, t) =

n=1Anen222tsin(nx). (10.7.23)Inmediatamente se plantean dos problemas:si la serie que acabamos de escribir es convergenteo no, y caso de serlo, si su suma realmente sera soluci on de la edp2. En el caso que estamosconsiderandopodemosdarnoscuentaquelaseriequeapareceesenrealidadunaseriedeFourier(desplazadayescalada)desenos, yportantoloscriteriosdeconvergenciasonyaconocidos y sabemos que si la serie converge, entonces de hecho es solucion de la edp2. Endenitiva, la soluci on m as general de la edp2 vericando las cc viene dada por la serie anterior(cuando esta sea convergente).PASO3. Soluciondelaedp2,lasccylaciParaterminardeencontrarlasoluci onanuestroproblemaoriginal nosfaltaquelaserieanteriorsatisfagalacondici oninicial del problema. PortantosimplementelaimponemosyestonosvaaresultarenquelasconstantesAnqueaparecenen(10.7.23)vanaquedardeterminadas en funci on de esta ci:u(x, 0) =

n=1An sin(nx) = (x). (10.7.24)Estonosestadiciendoquelasconstantes Anhandeserloscoecientesdel desarrolloenserie de senos de(x). Si queremos una expresi on cerrada para estos coecientes, hemos deutilizar las propiedades de ortogonalidad de los senos, a saber_10dx sin(nx) sin(mx) =12nm. (10.7.25)Utilizando esta relaci on podemos despejar las constantes:An = 2_10(x) sin(nx)dx. (10.7.26)Endenitiva, lasoluci onal problemadeedp2homogeneaconcchomogeneasdeprimeraespecie (10.7.1) es la siguiente:u(x, t) =

n=1Anen222tsin(nx) con An = 2_10(x) sin(nx)dx. (10.7.27)A nadiremos tres comentarios:1. Podemos visualizar el proceso de resolucion del problema de la siguiente manera: dadala condici on inicial, la desarrollamos como una suma (en general innita) de funcionessimples. Acontinuaci oncadaunodelosterminosesmultiplicadoporunfactordeatenuaci onquecorrespondealarespuestadel sistemaacadaunadelasfuncionessimples. Y nalmente sumamos todas esas respuestas para encontrar la solucion.50 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICAS2. Aunquelasoluci onsehaescritocomounaserie, enrealidadlasoluci onnal podraser una combinaci on lineal nita en el caso de que el n umero de terminos que aparezcaen el desarrollo de la condici on inicial sea solo un n umero nito. Esto ocurrir a si(x)yaestaescritacomounacombinacionlinealdesenos. Adem as,enestecasonoseriaestrictamente necesario hacer las integraciones para hallar los valores de las constantesAn ya que estas pueden obtenerse directamente por inspeccion.Por ejemplo, si(x) = sin(x) +12 sin(3x), vemos queA1 = 1, A3 = 1/2 y las demasAn = 0. La solucion sera: u(x, t) = exp[22t] sin(x) +12 exp[922t] sin(3x).3. Finalmenteobservemosquelosterminosdelaserieconvaloresdenmayoresdecaenmasrapidoconeltiempoqueloscorrespondientesavaloresmenoresden, debidoalfactorexponencial. Portantoparatiemposgrandeslasoluci onesaproximadamenteigual al primerterminononulodelaserie, ydehechoparat lasoluci onserau(x, t) = 0.10.7.2 Ecuaci onhomogenea, condiciones decontornodeterceraespeciehomogeneasedp2: ut = 2uxx,cc:___1ux(0, t) +1u(0, t) = 0,2ux(1, t) +2u(1, t) = 0,(10.7.28)ci: u(x, 0) = (x).Elmetodopararesolverelproblemacuandolasccsondeterceraespecieesenrealidadelmismo que el que se llevo a cabo para cc de primera especie, es decir, separacion de variables,resoluciondel problemadeSL(soluciones fundamentales), soluci ongeneral comoserieysoluci on particular imponiendo la ci. La unica diferencia radica en que ahora el problema deSL es diferente y por tanto los posibles valores de la constante de separaci on y las solucionesno triviales ser an en principio diferentes de los que se obtenan con cc de primera especie. Enconcreto, es posible que el valor = 0 origine una soluci on de SL distinta de la trivial y portanto sea un valor aceptable. Se puede demostrar que siempre sucede lo siguiente:S olounconjuntonumerabledeconstantesdeseparaci ondanlugarasolucionesnotriviales. Sean estasn, conn = 1, 2, . . .Para cada una de las n existe unicamente una funci on Xn(x) soluci on del problema deSL (salvo por una constante multiplicativa que se ignora habitualmente). Los n umerosn y las funciones Xn(x) se denominan respectivamente autovalores (o valores propios)y autofunciones (o funciones propias) del problema de SL.Las funciones propias forman una familia de funciones ortogonales:_10dxXn(x)Xm(x) = Nnnm. (10.7.29)Las series en funciones propias del problema de SL tienen las mismas propiedades quelas series de Fourier (por ejemplo, si la serie es convergente entonces es la solucion dela misma edp2 que verica las soluciones fundamentales).10.7. CONDICIONESDECONTORNOHOMOGENEAS 51ElproblemadeSLhayqueresolverloencadacasoconcretoquesepresente, seg unlasccimpuestas. Enel casomasgeneral posibledeccdeterceraespecie, esdecir, todaslasconstantes y en (10.7.28) diferentes de cero, se demuestra que las constantes de separacionsolo pueden ser negativasn = 2n y los valores den son las soluciones (distintas de cero)de una ecuaci on trascendente, que ha de resolverse numericamente:tan =(1221)122+12. (10.7.30)En la gura siguiente se muestran los resultados de representar por un lado la funci on tan y por otro el segundo miembro de (10.7.30) para dos valores diferentes de las constantes (uncaso corresponde a1 = 0, que es el trozo de recta; la otra curva se obtiene si1 = 0).-4-224Las funciones propias son de la formaXn(x) = sin(nx) 11n cos(nx). (10.7.31)No tiene sentido aprenderse estas expresiones; en cada caso concreto lo que hay que hacer esresolver el problema de SL asociado a las cc que aparezcan en el problema. Una vez hechoesto la solucion del problema ser a de la formau(x, t) =

n=1Ane2n2tXn(x) (10.7.32)y losAn se obtendr an imponiendo la condici on inicialu(x, 0) =

n=1AnXn(x) = (x), (10.7.33)quenosdicequelasconstantesAnsonloscoecientesdeldesarrollode(x)enfuncionespropias del problema de SL correspondiente. De manera explcitaAn =1Nn_10dx(x)Xn(x), (10.7.34)siendoNn las constantes de normalizacion de las funciones propias.52 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICAS10.7.3 Ecuaci ondiferencial nohomogenea, condiciones de contornoho-mogeneasEste es el problema que hay que resolver:edp2: ut = 2uxx +f(x, t),cc:___1ux(0, t) +1u(0, t) = 0,2ux(1, t) +2u(1, t) = 0,(10.7.35)ci: u(x, 0) = (x).Para entender como se resuelven las edp2 lineales de tipo parab olico no homogeneas recorde-mos comoseresolvanlas ecuaciones diferenciales ordinarias lineales nohomogeneas: lasolucion general de la ecuaci on no homogenea se escriba como suma de la solucion general dela ecuacion homogenea asociada mas una soluci on particular de la ecuaci on no homogenea.Si la ecuaci on es de ordenn, en la soluci on general de la homogenea aparecenn constantesarbitrarias. El c alculo de la soluci on particular de la no homogenea poda hacerse de diversosmodos. Aqu nos interesa recordar el metodo de variaci on de las constantes, que b asicamenteconsiste en sustituir en la soluci on de la ecuacion homogenea las constantes arbitrarias porfunciones. La expresi on obtenida se lleva entonces a la ecuacion diferencial no homogenea y seopera, dando como resultado unas ecuaciones diferenciales para las constantes. Resolviendoestas ecuaciones diferenciales se obtiene la solucion particular de la ecuaci on no homogenea;es mas, si en esta integracion se incorporan las constantes de integraci on necesarias, entoncesse obtiene directamente la solucion general de la ecuaci on diferencial no homogenea.En nuestro caso ( edp2 no homogenea ) seguiremos un procedimiento an alogo. En primerlugar consideramos el mismo problema pero con la ecuacion homogenea:edp2: ut = 2uxx,cc:_1ux(0, t) +1u(0, t) = 0,2ux(1, t) +2u(1, t) = 0,(10.7.36)yencontramossusoluciongeneral, queyasabemosqueseobtienemedianteel procesodeseparaciondevariables, resoluci ondelproblemadeSturm-Liouvilleasociadoalaecuaci onespacial conlasccdadas, resultandounosautovaloresnyunasfuncionespropiasXn(x)quedanlugaralassolucionesfundamentalesun(x, t)=exp[n2t]Xn(x), ynalmentelasoluci onm asgeneral delaedp2quecumplelasccseescribecomounaserieenfuncionespropias:uhom(x, t) =

n=1Anen2tXn(x), (10.7.37)siendoAnconstantes. Paraaplicarelmetododevariaci ondeconstantesalaresolucionde la ecuacion no homogenea, sustituimos las constantesAn por funcionesAn(t) escribiendoentonces la solucion de la ecuacion no homogenea comou(x, t) =

n=1An(t)en2tXn(x). (10.7.38)10.7. CONDICIONESDECONTORNOHOMOGENEAS 53De hecho podemos englobar la funci on temporal desconocida y el factor exponencial temporalen una s ola funci on det:u(x, t) =

n=1gn(t) Xn(x). (10.7.39)Ahoradebemosllevarestaexpresionalaedp2nohomogenea(10.7.36), loqueoriginaunconjunto de ecuaciones diferenciales para las funciones inc ognita gn(t) que deberemos resolver.RecordemosqueXn(x)sonfuncionesconocidas: lassoluciones(notriviales)del problemade Strum-Liouville asociado a la parte espacial de la ecuaci on homogenea. Antes de proce-der conviene comentar que este procedimiento que estamos siguiendo no suele denominarsevariaci on de constantes, sino metododedesarrolloenfuncionespropias (por motivosevidentes) o tambien metodo de Fourier.Al sustituir la expresi on anterior en la ecuaci on no homogeneaut =2uxx + f(x, t) nosdamos cuenta de que tantoutcomouxxaparecen en forma de serie, y por tanto para poderhaceralg unprogresonecesitamostambienqueel terminonohomogeneof(x, t)aparezcacomo una serie. Por tanto evaluamos el desarrollo def(x, t) en serie de funciones propiasXn(x) resultandof(x, t) =

n=1fn(t) Xn(x). (10.7.40)Es esencial darse cuenta de que a diferencia de gn(t) que de momento son funciones inc ognita,las funcionesfn(t) se pueden calcular, ya quef(x, t) es una funci on dada desde el principio.Explcitamente tenemosfn(t) =1Nn_10dxf(x, t)Xn(x), (10.7.41)siendo Nn las constantes de normalizacion de las funciones propias. Finalmente, sustituyendoen la ecuacion no homogenea tenemos:ut =

n=1 gn(t) Xn(x), (10.7.42)uxx =

n=1gn(t) X

n(x) =

n=1gn(t) nXn(x), (10.7.43)donde hemos utilizado la ecuaci on diferencial asociada a la parte espacial, yf(x, t) =

n=1fn(t) Xn(x). (10.7.44)Por tanto

n=1 gn(t) Xn(x) = 2

n=1gn(t) nXn(x) +

n=1fn(t) Xn(x), (10.7.45)o lo que es lo mismo

n=1_ gn(t) n2gn(t) fn(t)Xn(x) = 0. (10.7.46)54 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICASDado que los desarrollos en funciones propias de problemas de SL tienen propiedades similaresa las de las series de Fourier, para que la serie anterior sume cero es necesario que todos susterminos sean nulos, es decir, debemos tener gn(t) n2gn(t) = fn(t), n = 1, 2, . . . (10.7.47)Lo que obtenemos es un conjunto (en principio innito numerable) de ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden lineales y no homogeneas, que debemos resolver. Su solucion encualquier caso siempre puede escribirse como suma de la solucion general de la correspondienteecuacion homogenea (que ya sabemos es de la forma An exp[n2t]) mas una particular de lano homogenea (llamemoslawn(t)). Esta soluci on particular puede obtenerse por cualquieradelosmetodosconocidos(variaci ondeconstantes, coecientesindeterminados, etc.). Endenitiva una vez resueltas estas ecuaciones diferenciales ordinarias tendremosgn(t) = Anen2t+wn(t) (10.7.48)y la solucion m as general de la edp2 no homogenea que cumple las cc sera por tantou(x, t) =

n=1_Anen2t+wn(t)_Xn(x). (10.7.49)Para terminar de resolver nuestro problema nos falta encontrar las constantesAn que hacenque se verique la condici on inicial. Imponiendola tenemos:u(x, 0) =

n=1[An +wn(0)] Xn(x) = (x), (10.7.50)dedondeobtenemosqueAn + wn(0)sonloscoecientesdeldesarrollode(x)enseriedefunciones propiasXn(x). Explcitamente tendremos que las constantesAn seranAn = wn(0) +1Nn_10dx(x)Xn(x). (10.7.51)En la soluci on nal del problema para la funci onu(x, t) aparecen diversos terminosuno que involucra las funcioneswn(t),

n=1wn(t)Xn(x), (10.7.52)quedependedelasfuentesexternasf(x, t)(atravesdewn)ydelascc(atravesdeXn), pero no de la ci.otro, el resto, que depende de la ci (a traves de ella se determinan las constantesAn),y que se anula para tiempos grandes

n=1Anen2tXn(x). (10.7.53)Este ultimo termino se denomina transitorio y el primero (independiente de la ci) se deno-mina estacionario. El hecho de que el termino transitorio desaparezca para tiempos grandesyqueel estacionarioseaindependientedelascondicionesinicialeshacequelasolucionalproblema para tiempos grandes sea de hecho independiente de las condiciones iniciales: unavezalcanzadoel regimenestacionarionoimportadedondesehayapartido, lasoluci onessiempre la misma.10.8. CONDICIONESDECONTORNONOHOMOGENEAS 5510.8 CondicionesdecontornonohomogeneasEmpecemos con un caso sencillo de condiciones de contorno no homogeneas:ut = 2uxx,u(0, t) = k1, u(1, t) = k2, (10.8.1)u(x, 0) = (x).Supongamosqueparatiemposgrandesel sistemaalcanzaunestadoestacionarioindepen-diente del tiempo. Entonces para estos tiempos grandesut= 0 y la ecuacion diferencial esuestxx= 0, cuya soluci on es uest= Ax+B. Imponiendo las condiciones de contorno se obtienendirectamenteloscoecientes AyB, resultandouest=k1(1 x) + k2x. Paraobtenerlasolucion para cualquier valor de t escribimos esta solucion como suma de la solucion anteriormas una nueva funci on inc ognita(x, t):u(x, t) = k1(1 x) +k2x +(x, t). (10.8.2)Sustituyendo en la ecuaci on diferencial tenemos :ut = t, ux = k1 +k2 +x, uxx = xx(10.8.3)y por tanto la edp2 quedat = 2xx. (10.8.4)En cuanto a las condiciones de contorno tenemosu(0, t) = k1 +(0, t) = k1, u(1, t) = k2 +(1, t) = k2, (10.8.5)y por tanto(0, t) = 0 (1, t) = 0. (10.8.6)Finalmente la condici on inicial quedar au(x, 0) = k1(1 x) +k2x +(x, 0) = (x), (10.8.7)y por tanto(x, 0) = (x) k1(1 x) k2x =(x). (10.8.8)Resumiendo, en terminos de la nueva inc ognita(x, t) el problema queda planteado comot = 2xx,(0, t) = 0, (1, t) = 0,(x, 0) =(x), (10.8.9)que es un problema con condiciones de contorno homogeneas, que ya sabemos resolver.Fijemonosenquelapropiedadfundamental quehapermitidoreformularel problemaoriginalconccnohomogeneasenterminosdeunoconcchomogeneashasidoelhechodeque uestvericaba las cc no homogeneas originales. Esto nos permite entender que en el casomas general, que estudiaremos a continuaci on, el procedimiento a seguir es separar la funci oninc ognitau(x, t)comosumadeunafunci onqueveriquelasccnohomogeneasmas56 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICASuna nueva funci on inc ognita;de esta manera, en terminos de la nueva funci on inc ognita, elproblema aparecer a como uno con cc homogeneas, que por tanto ya sabremos resolver.Consideremos pues el caso mas general de problema con cc no homogeneas:ut = 2uxx +f(x, t),_1ux(0, t) +1u(0, t) = g1(t),2ux(1, t) +2u(1, t) = g2(t),(10.8.10)u(x, 0) = (x). (10.8.11)Para resolverlo procedemos como se ha indicado, escribiendou(x, t) = S(x, t) +(x, t), (10.8.12)siendoS(x, t)unafunci oncualquieraqueveriquelascondicionesdecontorno, esdecir,una funci on tal que_1Sx(0, t) +1S(0, t) = g1(t),2Sx(1, t) +2S(1, t) = g2(t).(10.8.13)NoimportaenexcesocomoseobtengalafuncionS(x, t) ni si vaarepresentar onolasoluciondel problemaparatiemposgrandes(comosupusimosanteriormenteparauest); lo unico importante es que verique las condiciones de contorno. Despues comentaremosun poco c omo podemos encontrar una funci onS(x, t) para el problema que se nos plantee.En terminos pues de la nueva funci on inc ognita(x, t) veamos como queda planteado elproblema: Haciendo la sustituci on, la edp2 quedar aSt +t = 2(Sxx +xx) +f(x, t),o bient = 2xx +f(x, t) +2SxxSt = 2xx +f(x, t). (10.8.14) En cuanto a las cc tendremosg1(t) = 1ux(0, t) +1u(0, t) = 1Sx(0, t) +1x(0, t) +1S(0, t) +1(0, t)= g1(t) +1x(0, t) +1(0, t),y en consecuencia1x(0, t) +1(0, t) = 0. (10.8.15)Operando exactamente igual con la otra cc, resulta2x(1, t) +2(1, t) = 0. (10.8.16)Como vemos las dos cc son homogeneas. Finalmente la condici on inicial resultar a(x, 0) = (x) S(x, 0) =(x). (10.8.17)10.8. CONDICIONESDECONTORNONOHOMOGENEAS 57En resumen, el problema ahora se plantea comot = 2xx +f(x, t),_1x(0, t) +1(0, t) = 0,2x(1, t) +2(1, t) = 0,(10.8.18)(x, 0) =(x). (10.8.19)Se trata por tanto de una edp2 no homogenea, con el termino no homogeneo modicado, concc homogeneas y una ci modicada; en cualquier caso un problema que ya sabemos resolver(en general mediante desarrollo en funciones propias). En la soluci on nal del problema parala funci onu(x, t) aparecen los siguientes terminos: S(x, t), que depende unicamente de las cc pero no de las fuentes externas ni de la ci;un termino que involucra las funciones wn(t), que depende de las fuentes externas y lascc, pero no de la ci;un termino que depende de la ci y que se anula para tiempos grandes.El ultimo termino se denominatransitorio y la suma de los dos primeros (independientesde la ci) se denomina estacionario.Paraterminar estaseccionhagamosunoscomentariossobrelaelecciondelafunci onS(x, t). Una primera posibilidad es hallar la funci onS(x, t) que verique las cc por inspec-cion(aojo, locual esperfectamenteadmisible). Si queremosunmetodomassistematicopodemosguiarnosporloobtenidoenelejemplosencilloquevimosinicialmente,eintentaruna expresi on de la formaS(x, t) = a(t)(1 x) +b(t)x, (10.8.20)determinando a(t) y b(t) al imponer las cc. Este metodo es aplicable en muchos casos, pero aveces no resulta adecuado, es decir a veces es imposible encontar funciones a(t), b(t) tales quese veriquen las cc dadas. En este caso se puede recurrir a escribir una expresi on de gradomayor enx, por ejemplo,S(x, t) = a0(t) +a1(t)x +a2(t)x2+ (10.8.21)y calcular los coecientes imponiendo las cc.Encualquiercaso,resultaevidentequeexisteninnitasfuncionesS(x, t)quevanave-ricarlascc. Cual detodasellasesmasconveniente? Comoconsejoserecomiendausaraquella eleccion que produce un problema modicado m as sencillo, es decir, la que hace que(x) of(x, t) tomen formas lo mas sencillas posible. De todas formas es importante se nalarque sea cual fuere la eleccion que se haga, el resultado nal para u(x, t) es siempre el mismo,aunqueesposiblequeaparezcaescritoformalmentedemaneradistinta(porejemplo,parauna determinada elecci on deSpuede aparecer explcitamente una funci on digamos comox2mientrasqueparaotraelecciondeSloqueapareceessudesarrolloenseriedefuncionespropias).58 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICAS10.9 Ecuacionesconterminosdeujolateraly/oconvecci on10.9.1 Ecuaci onconujolateralPasamos a estudiar los casos en que aparecen terminos adicionales en la ecuacion en derivadasparciales, comenzando por el caso de la ecuacion con un termino proporcional au(x, t):ut = 2uxxu +f(x, t). (10.9.1)Supongamos quef(x, t) = 0 y que2 0, u(x, 0) = (x). (10.10.1)Ahora no hay condiciones de contorno. En consecuencia, al aplicar el metodo de separacion devariables se llega a (10.7.6), pero no se obtienen restricciones sobre la constante de separacion, salvo que ha de ser negativa, = 2, pudiendo ser ahora R. Las soluciones sonX(x) = C1() eix+C2() eix, (10.10.2)T(t) = D() ec22t. (10.10.3)Usando solo el primero de los terminos deX(x), podemos escribir las soluciones fundamen-tales del problema as:u(x, t) = K() ec22teix. (10.10.4)Podemos superponer ahora todas estas soluciones para generar la soluci on m as general imag-inable:u(x, t) =_RK() ec22teixd. (10.10.5)Paradetrerminarperfectamentelasoluci onalproblemadeCauchyquesehaplanteadoalcomienzo de esta seccion hay que determinar la funci onK(). Esto se logra imponiendo lacondici on inicialu(x, 0) = (x) =_RK() eixd. (10.10.6)Esta ecuacion nos indica que (x) es (salvo factores constantes) la transformada de Fourierde la funci onK(). Usando la f ormula de inversi on de la transformaci on de Fourier resultaque la funci onK() viene dada por la integralK() =12_R() ei d. (10.10.7)Substituyendoestaexpresi onenlaformadelasoluci onhalladaen(10.10.5)llegamosalosiguienteu(x, t) =12_R() d_Rec22tei(x)d. (10.10.8)La integral en la variable puede realizarse f acilmente y resulta12_Rec22tei(x)d =12c texp[(x )2/4c2t] = G(x, , t). (10.10.9)60 CAPITULO10. INTRODUCCIONALASEDP2. EDP2PARABOLICASEstafunci onsedenominafunciondeGreenparael problemadeCauchyqueestamosestudiando. La soluci on al problema se puede expresar usando esta funci on de Green:u(x, t) =_RG(x, , t) ()d. (10.10.10)Estaformadelasoluci onsellamaintegral dePoisson. Estrictamentehablandoesv alidaparat > 0. Para analizar lo que sucede ent = 0 debemos tener en cuenta que al considerarel lmitelimt0G(x, , t) = (x ), (10.10.11)resultaladistribuci ondeltadeDirac, demaneraqueenelsentidodelasdistribucionessetieneu(x, 0) =_R(x ) ()d = (x), (10.10.12)y se cumple la condici on inicial del problema. El problema est a resuelto: viene dado por laf ormula de Poisson siendo el n ucleo integral la funci on de Green de la ecuaci on (10.10.9).Reexionando un poco, parece adecuado usar la transformaci on de Fourier en la variablex, pues es la unica de las dos (x, t) cuyo dominio es toda la recta real.10.10.2 Resoluci onusandolatransformaci ondeLaplaceEl mismo problema anterior puede resolverse usando la transformaci on de Laplace. L ogica-mente, y a diferencia de lo hecho con anterioridad, esta transformaci on habra de aplicarse a lavariable temporal, que toma valores s olo en la semirectat 0. Aplicando la transformaci onde Laplace tenemos:Lu(x, t) = U(x, s), Luxx(x, t) = Uxx(x, s), Lut(x, t) = sU(x, s) u(x, 0), (10.10.13)con lo cual la ecuaci on del calor se transforma enc2Uxx(x, s) sU(x, s) +(x) = 0. (10.10.14)Apesardelapresenciadelasdosvariables, estaecuacionpuedeversecomounaecuacionordinaria lineal y de segundo orden. Aplicando el metodo de variaci on de las constantesU(x, s) =es x/c2cs_x()es /cd +es x/c2cs_x()es /cd=12cs_()es |x|/cd. (10.10.15)Para concluir hay que realizar la transformaci on de Laplace inversau(x, t) = L1U(x, s) =_d() L1_12cses |x|/c_, (10.10.16)lo cual no es muy complicado,obteniendose,como no poda ser de otro modo,el resultadoya calculado con anterioridad en (10.10.8)(10.10.9):u(x, t) =_d()12c texp[(x )2/4c2t]. (10.10.17)Interesa resaltar que los dos metodos de transformaci on de Fourier y Laplace que acabamosde ilustrar pueden aplicarse a otros muchos problemas, incluso a ecuaciones de otros ordenes.El mayor inconveniente que presentan suele ser de tipo pr actico: la dicultad para calcularlas transformaciones inversas que aparecen.10.11. BIBLIOGRAFIA 6110.11 Bibliografa1. A. Castro,Cursob asicodeecuacionesdiferencialesenderivadasparciales,Addsison-Wesley Iberoamericana.2. S.J. Farlow, Partial Dierential Equations for Scientists and Engineers, Wiley.3. Tyn Myint-U, Partial Dierential Equations of Mathematical Physics, Elsevier.