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NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 34
FUNCIÓN
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (A)
le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada (B).
Definición
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento x del dominio le corresponde
sólo un elemento y del codominio.
Esto se expresa: y = f (x) o fx y
Se observa que:
De cada elemento del conjunto de salida A sale a lo mas una flecha.
De cada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.
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GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO En el plano cartesiano se pueden representar los gráficos de las relaciones y funciones
en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas.
El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el eje
horizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos
del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del
producto cartesiano que pertenecen a la relación o función generándose así el grafico de
la relación o función dada.
En este tipo de gráficos pueden representarse distintas variables en función del tiempo:
Cada punto del gráfico nos permite conocer la situación de la variable en un instante
determinado.
Las líneas nos permiten conocer a simple vista la evolución de la variable en el
transcurso del tiempo.
Ejemplos
1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2 1, ) /t t t b) (3 ² 1, ) /t t t
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Solución:
a)
b)
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCION LINEAL
f: R R /y = f(x) a x + b ; a 0
( ) :
( ) :
Dom f x R
Ran f y R
FUNCION CUADRATICA
2 1x t 1
; ( ) es función2
xy t t y f x
23 1
;
x t
y t t
2 13 1 no es función
3
xx y y
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: / ( ) ² ; 0
( ) :
f R R y f x ax bx c a
Dom f x R
i) si a > 0
4 ²
( ) : , ; 4
ac bRan f y k k
a
tiene un valor minimo cuando ; 2
bf y k x h h
a
ii) si a < 0
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4 ²
( ) : , ; 4
ac bRan f y k k
a
tiene un valor Maximo cuando ; 2
bf y k x h h
a
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
f: R R / y = f(x) x
Dom (f): x 0 ; Ran (f) : y 0
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Ejemplo: ( ) ; g x x y x
( ) : / ( )Dom g x R y x R
00 xx
( ) ( ) / 0Ran g y x R x
0 0 0 0x x x y
NOLAN JARA J.
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Ejemplos
1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2 1, ) /t t t b) (3 ² 1, ) /t t t
Solución:
b)
b)
2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o
ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver
la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a
24 horas).Se pide:
a) Estimar T (5) y T (16).
b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).
2 1x t 1
; ( ) es función2
xy t t y f x
23 1
;
x t
y t t
2 13 1 no es función
3
xx y y
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16 ; 0 6
6 20 ; 6 7 ; 16 22
22 ; 7 20
6 142; 20 21 ; 16 22
16 ; 21 24
si t
t si t T
si t
t si t T
si t
( ) ( 1)H t T t
16 ; 1 7
6 26 ; 7 8 ; 16 22
22 ; 8 21
6 148; 21 22 ; 16 22
16 ; 22 25
si t
t si t H
si t
t si t H
si t
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
T
t
Solución:
T(t)=
a) T(5) = 16º C; T(16) = 22º C
b)
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
3 9 12
10
6 15 18 21 24
22
16
28
(7,22) (20,22) . .
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( ) ( ) 1J t T t
15 ; 0 6
6 21 ; 6 7 ; 15 J<21
21 ; 7 20
6 141; 20 21 ; 15<J 21
15 ; 21 24
si t
t si t
si t
t si t
si t
H
t
c)
Las temperaturas son un grado más bajas.
3
4
3
9
9
12…
12
10
6
8
4
6
15 18 21 24
22
16
28
(8,22) (21,22)
(1,16) (25,16)
NOLAN JARA J.
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J
t
3) Sea:
10 x; 1-x
0x3- ; 3x
-4 x; 86²
)(
xx
xf Hallar el rango y graficar la función f.
Solución:
( ) :Ran f y R
4) Un granjero dispone de 300 metros de valla para cercar dos terrenos de pasto
adyacentes (ver figura).
3
4
3
9
9
12…
12
10
6
8
4
6
15 18 21 24
22
16
28
(7,21) (20,21)
(0,15)
)
(24,15)
y
Y
x
f2
f3
f1
(-4, 0)
(-3, 0)
(0, 3)
(10,3)
NOLAN JARA J.
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300 33 4 100 ; 0 100
4
xx y y x
2 2 23 3( ) 2 ( ) (100 ) ( ) (50) ( 50)
2 2A x xy A x x x A x x
a) Expresar el área total A de los 2 terrenos en función de x. ¿Cuál es el dominio de A?
b) Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que dan el área conjunta máxima.
Solución:
a)
b)
A(x) = 3750 - max
350 ² 3750 3750 ²
2x A u ; cuando x = 50 u ; y =
75
2 u.
A V=(50,3750)
X
(100,0)
x
y y
x x
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5) Un pequeño empresario ha determinado que el costo de fabricar 1000
TERMOSTATOS semanalmente es de 9000 dólares y que 1500 TERMOSTATOS le
cuestan 12000 dólares: exprese el costo como función del número de TERMOSTATOS
fabricados, suponiendo que es lineal. Trace la grafica. ¿Cuál es la pendiente de la
grafica y que representa? ¿Cuál es la intersección con el eje Y y que representa?
6) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100
y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = te 900100
100000
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en
llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la
función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.
7) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 100
metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.
Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al
río. ¿Cuál es el dominio de A?
Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima del
terreno.
Más Problemas desarrollados
1) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2 3 , ) /t t t b) (3 2 ², ) /t t t
Solución:
c)
b)
2 3x t 2
; ( ) es función3
xy t t y f x
23 2
;
x t
y t t
2 33 2 no es función
2
xx y y
NOLAN JARA J.
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18 ; 0 4
6 6 ; 4 5 ; 18 24
24 ; 5 21
6 150; 21 22 ; 18 24
18 ; 22 24
si t
t si t T
si t
t si t T
si t
2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o
ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver
la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a
24 horas).Se pide:
a) Estimar T (3) y T (15).
b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
T
t
Solución:
T(t)=
2
4
3
6
9
…
…12
10
4
8
4
6
… 20 22 24
24
2 18
6
32
28 (5,24) (21,24)
NOLAN JARA J.
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( ) ( 1)H t T t
18 ; 1 5
6 12 ; 5 6 ; 18 24
24 ; 6 22
156 6 ; 22 23 ; 18 24
18 ; 23 25
si t
t si t H
si t
t si t H
si t
( ) ( ) 1J t T t
17 ; 0 4
6 7 ; 4 5 ; 17 J<23
23 ; 5 21
6 149; 21 22 ; 17<J 23
17 ; 22 24
si t
t si t
si t
t si t
si t
a) T(3) = 18º C; T(15) = 24º C
b)
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
H
t
c)
Las temperaturas son un grado mas bajas.
2
3
4
3
6
9
9
……1
2
10
4
8
4
6
… 20 22 24
24
2 18
6
32
28 (6,24) (22,24)
(1,18) (25,16)
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1202 120 ; 0 120
2
xx y y x
2 21 1( ) (120 ) ( ) ( 60) 3600
2 2A x x x A x x
J
t
3) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de
120 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.
a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados
paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A?
b. Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el
área máxima del terreno.
Solución:
A(x) = 1800 - max
160 ² 1800 1800 ²
2x A u ; cuando x = 60 u ; y = 30 u.
2
3
4
3
6
9
5
9
……1
2
10
4
6
8
4
6
… 20 22 24
24
2 18
6
32
28 (5,23) (21,23)
(0,17) (24,17)
y y
x
NOLAN JARA J.
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A V=(60,1800)
t
(120,0)
4) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una
función.( justifique su respuesta )
a) (2 1, ) /t t t b) (3 ² 1, ) /t t t
Solución:
5) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o
ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver
la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a
24 horas).Se pide:
2 1x t 1
; ( ) es función2
xy t t y f x
23 1
;
x t
y t t
2 13 1 no es función
3
xx y y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 50
( )T t
16 ; 0 6
6 20 ; 6 7 ; 16 22
22 ; 7 20
6 142; 20 21 ; 16 22
16 ; 21 24
si t
t si t T
si t
t si t T
si t
( ) ( 1)H t T t
16 ; 1 7
6 26 ; 7 8 ; 16 22
22 ; 8 21
6 148; 21 22 ; 16 22
16 ; 22 25
si t
t si t H
si t
t si t H
si t
a) Estimar T (5) y T (16).
b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.
¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.
Solución:
a) T(5) = 16º C; T(16) = 22º C
b)
Los cambios de temperatura ocurren una hora después.
3
4
3
9
9
12…
12
10
6
8
4
6
15 18 21 24
22
16
28
(7,22) (20,22)
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( ) ( ) 1J t T t
15 ; 0 6
6 21 ; 6 7 ; 15 J<21
21 ; 7 20
6 141; 20 21 ; 15<J 21
15 ; 21 24
si t
t si t
si t
t si t
si t
H
c)
Las temperaturas son un grado más bajas.
6) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de
100 metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.
a. Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados
paralelos al río. ¿Cuál es el dominio de A?
b. Dibujar la función A(x) y estimar las dimensiones que proporciona el
área máxima del terreno.
Solución:
3
4
3
9
9
12…
12
10
6
8
4
6
15 18 21 24
22
16
28
(8,22) (21,22)
(1,16) (25,16)
3
4
3
9
9
12…
12
10
6
8
4
6
15 18 21 24
22
16
28
(7,21) (20,21)
(15,0)
(24,15)
NOLAN JARA J.
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1002 100 ; 0 100
2
xx y y x
2 21 1( ) (100 ) ( ) ( 50) 2500
2 2A x x x A x x
a)
A(x) = 1250 - max
150 ² 1250 1250 ²
2x A u ; cuando x = 50 u ; y = 25 u.
v = (50,1250)
X
y y
x
A
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 53
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCION VALOR ABSOLUTO
f: R R / f(x) / x / ; ( y = / x / )
Dom ( f ) : xR ; Ran ( f ) : y 0
FUNCION SIGNO
f: R R / y = f(x) sgn(x)
1 ; 0
sgn( ) 0 ; 0
1 ; 0
si x
x si x
si x
( ) :
( ) : 1,0,1
Dom f x R
Ran f y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 54
FUNCION ESCALON UNITARIO
f: R R / y = f(x) u(x)
1; 0( )
0; 0
si xu x
si x
( ) :
( ) : 0,1
Dom f x R
Ran f y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 55
FUNCION MAXIMO ENTERO
: / ( )
1;
( ) :
( ) :
1 ; 1 0
0; 0 1
1; 1 2
f R R y f x x
x n n x n n
Dom f x R
Ran f y
si x
y si x
si x
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 56
FUNCIÓN POLINOMIAL
f: R R / f(x) ao xn + a n-1 x
n-1 +.....+ an, a 0 0, n Z
+
Dom (f): xR
Observación: (1)
Sea f(x) x2n xR nZ
+
Ran(f): y = x2n
= (xn)2 0 xR y 0
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 57
Observación: (2)
Sea g(x) x2n+1
xR nZ+
Ran(f): y = x2n+1
x= (x2n
x)R yR . (Si x 0 y 0; si x<0y<0)
FUNCIÓN RACIONAL
1
0 1
1
0 1
.....: / ( )
.......
n n
n
m m
m
a x a x af R R f x
b x b x b
; 0;0 00 ab
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 58
1
0 1( ) : / ( ..... ) 0m mDom f x R b x b x bm
Observación:
1 1( ) ;f x y
x x
( ) : / 0
1( ) : 0.... ( ) 0 0... ( )
Dom f x R x
Ran f x Dom f y Ran fx
Gráfico:
x
y
-
+ 0
- 2
- 1/2
- 1
- 1
- 1/2
- 2
0-
-
0+
1/2
2
1
1
PROBLEMAS
1) Para los triángulos rectángulos de igual perímetro, determinar una expresión para el
área que defina una función de una sola variable, así como el máximo subconjunto de
variación de esa variable.
SOLUCION.
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 59
Indicando por A el área y por x y y las longitudes de los catetos de un triángulo
cualquiera de la colección de todos los triángulos rectángulos con perímetro 2p, donde p
es una constante, se tiene que 1
.2
A x y , es decir, el área A como una función
de dos variables,1
( , ) .2
A g x y x y Si se tiene en cuenta que el perímetro de
estos triángulos es 2p, se obtiene la relación:
p2yxyx 22
Despejando 22 yx , elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
resultante y simplificando se obtiene:
0py4px4xy2p4 2
Despejando y, resulta
2 ( )2
x py p
x p
Luego
( , )2
x pA g x y px
x p
2²x y
y
x
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 60
y de aquí se obtiene la expresión buscada:
p2x
pxpx)x(AA
Pasemos a determinar el máximo subconjunto de variación de la variable x. Obviamente
el menor valor que puede tomar la variable x es el cero y el mayor valor que puede
alcanzar es p que corresponde al caso en que y = 0 o la hipotenusa coincide con el otro
cateto, y por lo tanto toma los mismos valores que x, resultando entonces p2x2 , de
donde se tiene que px . Se concluye que 0,x p .
2) Sea: f(x)=
27 ; 2, 6
6
4sgn( ² 1) ²,1 2
1², 1
2
x xx
x x x
x xx
trazar la gráfica de f y determinar el
Rango.
SOLUCION.
1
2
3
27 ; , 2 2,6 6,
6
( ) 4 ²,1 2
1 ², 1 1
x fx
f x x x f
x x f
13 27( ) : , ,7 7,
2 4Ran f y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 61
3) Hallar el Dominio de la función 1 2
( ) ² 1
xf x
x
Solución:
( 2,27 / 4)
(2,13/ 2)
2f
3f
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 62
2
2 2
1 2( )
1
( ) : /1 2 0 1 0 2 1 1
1 3 ( 1 1) 1,3]... ( )
xf x
x
D f x R x x x x
x x x x D f
4) Hallar el rango y graficar la función f(x) = sgn(² 5
)² 4
x x
x
Solución.
Dom(f): 2x R
( 5)0 , 2 0,2 5,
( 2)( 2)
x xx
x x
( 5)
0 0,5( 2)( 2)
x xx
x x
( 5)
0 2,0 2,5( 2)( 2)
x xx
x x
1 , 2 0,2 5,
( ) 0 x= 0,5
1 x <-2,0> <2,5>
x
f x
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 63
5) Hallar el Dominio de la función 1³1-x² 1²
21)(
x
x
xxf
Y graficar la función ( ) x²-1 ³ 1g x x .
Solución:
a)
2
2 2 3
2 2 3
3 2
3 3
3 3
1 2( ) x²-1 ³ 1
1
( ) : /1 2 0 1 0 1 1 0
2 1 1 1 1
1 3 ( 1 1)
1,3] ([1, 2 [ 2, 3 )
1, 2 [ 2, 3 ... ( )
xf x x
x
D f x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
x D f
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 64
b)
3 3
3
3
3
0; [0, 2 [ 2, 3
1; 1,0
2; 1
3; [ 2, 1
( ) 2; 2, 2
5; [ 3, 2]
.
.
.
x
x
x
x
g x x
x
6) Sea 2 2
4 4( ) , ( )
1 1
x xh x y
x x
Hallar el dominio y rango de la función h
Solución.
Rx … Dom(h)
2
4( ) : ( ) / ( )
1
xRan h y R x Dom h
x
0441 22 yxyxxyx
24 16 4
2
yx
y
22 4 yx R
y
24 0 0 4 0y y y y 022 yy
Pero si 0)0(0 yfx
2,2 y
PRACTICA
I) Hallar el dominio de f, si f es la función definida por :
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 65
1) xxx
xxxf
2
16²)(
2) 1- 1
)(xxxx
xxxxf
3)
xxx
xxf
212
1)(
4) 16²)16sgn(3
)2²sgn(12²)(
4
x
xx
xxxxf
5))16sgn(23x
12xx³- 16)(
4
34
xxxf
6) 1³1-x² 1²
21)(
x
x
xxf
7) 32²
2)(
xx
xxf
8) ² ²344)( xxxf
II) Hallar el rango de la función:
1)2²
1)(
xxf
2)4²
²)(
x
xxf
3) xxf 11)(
4) h(x) = 1
42 x
x
5)
0)4()4
,( 2xxx
xxf
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 66
6) 2
4)(
2
xx
xxf
7)4
44)(
2
2
x
xxxf
8)9
2)(
2
x
xxg
9) Hallar todos los valores reales de x , si es que existen tales que :
sgn 02
1²sgn
2
1
x
x
x
x
10) Sea: f(x)=
1²,2
1
21,²)1²sgn(4
6,2;6
27
xxx
xxx
xxx
trazar la gráfica de f y determinar el rango
de f.
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 67
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN SENO:
f: R R/ f(x) = senx ; (y = senx)
Dom ( f ): x R
Ran (f): y -1,1
Sen(-x) = -sen(x) , ( )x x Dom f
Sen(x+2)= senx ,( 2 ) ( )x x Dom f
2 = Período
x
y y
(x,y)=(cost, sent)
(-1,0)=(cos, sen)
x2+y2=1
1
x
t
(0,-1)3 3
(cos , )2 2
sen
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 68
FUNCIÓN COSENO:
f: R R/ f(x) = cos(x) ; ( y = cos(x))
Dom (f): x R
Ran (f): y -1,1
Cos(-x) = Cos(x) , ( )x x Dom f
Cos(x+2) = Cos(x) ,( 2 ) ( )x x Dom f
2 = Período
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 69
FUNCIÓN TANGENTE:
f: R R/ f(x) = tg(x) ; (y = tg(x)=( )
cos( )
sen x
x)
Dom ( f ): x R 2 1
; 2
kk Z
Ran (f): y R
tg(x+)= tg(x ) ,( ) ( )x x Dom f
= Período
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 70
FUNCIÓN COTANGENTE:
f: R R/ f(x) = cotg(x) ; (y = cotg(x)=( )
( )
cos x
sen x)
Dom ( f ): x R ; k k Z
Ran (f): y R
cotg(x+)= cotg(x ) ,( ) ( )x x Dom f
= Período
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 71
FUNCIÓN SECANTE:
f: R R/ f(x) = sec(x) ; (y = sec(x)=1
cos( )x)
Dom ( f ): x R 2 1
; 2
kk Z
Ran (f): , 1 1,y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 72
FUNCIÓN COSECANTE:
f: R R/ f(x) = cosec(x) ; (y = cosec(x)=1
( )sen x)
Dom ( f ): x R ; k k Z
Ran (f): , 1 1,y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 73
Las funciones sinusoidales
La forma más general de una función sinusoidal es:
0( ) ( ( ))f x Asen w x x B
O también:
0( ) cos( ( ))f x A w x x B
En la que aparecen cuatro parámetros: 0, , ,A w x B conocidos con los siguientes
nombres: A es la amplitud.
w es la frecuencia, que se denomina pulsación en el caso en que la variable
independiente sea el tiempo.
0x es el ángulo de fase o desfasamiento.
B es el valor promedio de f (x).
La amplitud A determina el valor máximo que puede adquirir la función. Puesto que
las funciones seno y coseno oscila entre -1 y 1, al multiplicarla por un factor A oscilará
entre –A y A tal como indica la figura
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 74
En la que se han representado simultáneamente las funciones:
f (x) = sen(x) y f (x) = 3sen(x)
El parámetro w está relacionado con el valor P del periodo de la función sinusoidal ,
puesto que se cumple:
2 2P w
w P
La siguiente figura es la representación gráfica simultánea de dos funciones que
difieren en el parámetro w : f (x) = sen(x) y f (x) = sen(4x). Se observa perfectamente
que la diferencia de periodos entre ellas es: la primera tiene un periodo 2 y el de la
segunda es de .2
Finalmente, el desfasaje 0x modifica la posición horizontal de la curva: al aumentar su
valor la sinusoide se desplaza hacia la izquierda. Esta propiedad se puede comprobar en
la siguiente figura donde se representan simultáneamente las funciones
f (x) = sen(x) y f (x) = sen(x + 0.5)
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 75
Obviamente, si el desfasaje fuese negativo la curva quedaría desplazada hacia la
derecha.
Puesto que las funciones seno y coseno tienen la misma forma, estando desplazadas
horizontalmente una con respecto de la otra, tal como indica la siguiente figura, resulta
evidente que sólo difieren entre sí en un defasaje.
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 76
Para obtener la función coseno a partir de la función seno basta con desplazar esta
última 2
hacia la izquierda, por lo que se deduce:
Este hecho permite representar cualquier función sinusoidal sea en forma de un seno o
bien en forma de un coseno.
Ejemplos.
1) Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre
0.025 y 0.04 metros, determinar: la frecuencia de oscilación, una función que describa
el movimiento y la grafica de esta función.
Solución.
Supongamos que el movimiento se describa por la función:
0( ) cos( ( ))f t A w t t B .
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que 0t = 0. en el enunciado del problema
se dice que el periodo es de 1.3 segundos ( P = 1.3 ), entonces la frecuencia es:
2 2
1.3w
P
= 4.83322
Como la función varia de 0.025 a 0.04 metros se tiene que:
A + B = 0.04
-A + B = 0.025
Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que:
A = 0.0075 ; B = 0.0325
Con estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa:
2( ) 0.0075cos( ) 0.0325 0.0075cos(4.8332 ) 0.0325
1.3
tf t t
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[FIEE-UNMSM] Página 77
2) Aproximadamente la temperatura en la ciudad del Cuzco varia de forma sinusoidal
durante el año. Si la máxima temperatura es de 32 º c el primero de agosto y la mínima
es de 27 º c el primero de febrero, determine una función para la temperatura en el
Cuzco durante el año y después graficarla.
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[FIEE-UNMSM] Página 78
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Sean f,g: R R
2, / ( ), ( )f x y R y f x x Dom f
2, / ( ), ( )g x y R y g x x Dom g
1º) f=g Dom(f) = Dom(g) y f(x) = g(x) x Dom( f )
Ejemplo:
51)( xxxf
( ) 1 5g x x x
Solucion:
,51,:)( xfDom
( ) : 5,Dom g x
Dom ( f ) Dom ( g ) fg
2º)
2, / ( ) ( );f g x y R y f g x f x g x x Domf Domg
3º)
2. , / ( ) ( ). ( ),f g x y R y fg x f x g x x Domf Domg
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[FIEE-UNMSM] Página 79
4º)
2 ( ), / ( ) ; ( ) ( ) tal que ( ) 0
( )
f f f xx y R y x x D f D g g x
g g g x
)()( gDomfDomg
fDom
tal que g(x) 0
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si f,g: R R
(fog)(x) = f(g(x))
fog Dom(fog) 0
( ) / ( ) ( ) ( )Dom f o g x R x D f g x D f
O tambien
( )Dom f o g ( ) / ( ) ( )x Dom g g x Dom f
A B C
a
R(g)D(f)
b=g(a)
g f
c = f(b)
= f(g(a))
= (fog)(a)
h = f og
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[FIEE-UNMSM] Página 80
Generalmente: fog gof
FUNCION INVERSA
FUNCION INYECTIVA:
Sea fRR/y=f(x) f es inyectiva si y solo si
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
, ( )
f x f x x x
x x Dom f
O también f es inyectiva si y solo si
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
, ( )
x x f x f x
x x Dom f
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[FIEE-UNMSM] Página 81
Geométricamente
Es decir si toda recta horizontal que corta al grafico de una funcion, lo corta en un solo
punto entonces la funcion es inyectiva
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 82
Como f(x1) = f(x2) y x1 x2 entonces f no es inyectiva.
FUNCION SOBREYECTIVA:
Sea f: A B/y = f(x)
f es sobreyectiva si y solo si Ran ( f ) = B
O también f es f sobreyectiva Si y B xA / f(x) = y
FUNCION BIYECTIVA
Sea f: A B/ y = f(x)
f es biyectiva f es inyectiva y sobreyectiva
Sea f: A B/ y = f(x); x Dom (f)
f = (x,y) AxB / xD( f )
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[FIEE-UNMSM] Página 83
y si f es inyectiva la función inversa de f: f - 1
ó f *
Donde f - 1
= (y,x) BxA / xDom( f )
Tal que: Ran ( f -1
) = Dom( f )
Dom ( f -1
) = Ran( f )
Una forma práctica para hallar f - 1
consiste en que a partir de la ecuación
y = f(x) intercambiar variables obteniéndose la ecuación x = f ( Y )
Luego despejamos Y = f - 1
( x )
Observación: Si f y g son dos funciones inyectivas se tiene que.
(f -1
) -1
= f
f o f -1
= f -1
o f = I (I función identidad)
(f o g)-1
= g-1
o f-1
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f: R R/ f(x) = ax ; ( y = a
x ) ; a>0 a1
Dom(f): x R
Ran(f): y = ax
>0; y > 0
0, Si x
1º) Si 0<a<1;y = ax = , Si x -
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[FIEE-UNMSM] Página 84
, Si x
2º) Si a>1; y = ax = 0, Si x -
FUNCIÓN LOGARITMO
f: R R/ f(x) = loga x ; ( y = loga x ) ; a>0; a1
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[FIEE-UNMSM] Página 85
Dom(f): x>0
Ran(f): yR
1º) Si 0 < a < 1
2º) Si a >1
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[FIEE-UNMSM] Página 86
FUNCION: PAR – IMPAR Y PERIÓDICA:
Sea f:R R / y=f(x)
1º) f es par f(-x) = f(x), x, -x Dom(f)
El gráfico de f es simétrico al eje y
2º) f es impar f(-x) = -f(x), -x, x Dom(f)
El grafico de f es simétrico con respecto al origen.
3º) f es periódica Sii: f(x+p) = f(x) x, x+p Dom(f)
P: Período; P>0
Ejercicios:
1. Sea 2( ) ( 1)f x ln x x Hallar f -1
Si
Solución.
Dom ( f ): x R
f -1
si y solo si f es inyectiva
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[FIEE-UNMSM] Página 87
f es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R
En efecto:
Si )()( 21 xfxf 2 2
1 1 2 2( 1) ( 1)ln x x ln x x
11 2
22
2
11 xxxx2 2 2 2
1 2 2 1( ) ( 1 1)x x x x
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1 1 22 1 1 2 ( 1)( 1)x x x x x x x x
02 2
221
2
1 xxxx 2
1 2( ) 0x x 1 2 1 20x x x x
f es inyectiva f -1
A partir de: 2( 1)y ln x x ; intercambiamos variables
2( 1)x ln Y Y ; 1( )Y f x
2 2 2 21 ( ) ( 1)x xe Y Y e Y Y
2 2 22 1x xe e Y Y Y 1; ( )2
x xe eY Y f x
)(2
)(1 xSenhee
xfxx
2.
Sea 1
2
2; 2...( )
; 4...
x x x ff x
x x x f
Hallar f -1
si
Solución.
f -1
i) f es inyectiva
ii) Ran( f 1 ) Ran( f 2 ) =
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[FIEE-UNMSM] Página 88
i) f es inyectiva si y solo si f 1 y f 2 inyectiva
f1 es inyectiva si y solo si
f1 (x1) = f1(x2) x1 = x2 x > 2 …. D( f 1 )
en efecto
1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 2
................
si f x f x x x x x
1 2 1 x x f es inyectiva ( ejercicio )
f 2 es inyectiva si y solo si
f 2 (x1) = f 2 (x2) x1 = x2 x < - 4 …. D(f2 )
en efecto
si f2 (x1) = f2 (x2)
………….
1 2 2 x x f es inyectiva ( ejercicio )
ii)
Ran (f1): ,2)(1 xxxfy 1
1 12, ( ) ( )x D f R f
1
1 14, ( ) ( )y R f D f
Ran (f2): 4,;)(2 xxxxfy 1
2 2( ) ( )D f R f
1
2 2, 6 ( ) ( )y R f D f
Como R ( f 1) R ( f 2 ) = 4, -,-6 = f -1
existe
f = f1 f2 f -1
= f1-1
f2-1
a) ¿ f1-1
?
A partir de 2)(1 xxxfy intercambiamos variables
x Y Y, Y = f 1-1
(x)
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 89
2 22 2 2x Y Y Y x xY Y
2 2(2 1) 2 0Y x Y x 2 1 4 9
2
x xY
1
1
2 1 4 9( ) ; 4,
2
x xf x x
b) ¿ f2-1
?
xxy Intercambiando variables
x Y Y
2 22 1 (2 1) 4
2
x x xY
1
2
2 1 1 4; 6
2
x xY f x
2 1 4 9
; 42
x xx
)(1 xf =
6;2
4112
x
xx
3. Sean: 2
1
2
2
2 ; si 3 2.....( )
1 4; si 4.....
x x ff x
x x f
2
1
( ) 4 3; si , 4 0, 2
, .
g x x x
tal que f h g hallar la funcion h
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 90
Solución:
2 2
2
2
4; 4 0 , 2 2, 4
4 ²; 4 0 2, 2
x Si x sii xx
x Si x sii x
2
1
2
2
4 3; , 4( )
4 3; 0,2
x si x gg x
x si x g
Como f = h-1
o g , si g -1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( )
fog h og og h o gog h oI h
fog h h
fog gof
1......(*)h gof
f -1
f1 y f2 son inyectivas y Ran( f1 ) Ran( f2 ) =
1º)
i) f1 es inyectiva f1 (x1) = f2 (x2) 1 2 3,2x x x
2
2
2
1 )(2)(2 xx 2
2
2
1 xx 21 xx
inyectivaesfxx 121
ii) De igual manera f2 es inyectiva
2º) R(f1): y -2,-1
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 91
R(f2): y <-, 1- 23
R(f1) R(f2) =
De (1º) y (2º): f -1
, f -1
= f1-1
f2-1
¿ f1-1
? 2 22 2y x x Y 1( ) 2Y f x x ; 2, 1x
3,2Y
¿ f2-1
?
41 2 xy 21 4x Y
1 2
2 ( ) 2 5Y f x x x
,1 2 3x
, 4Y
Ahora 1
11
2 1
2
2 ; 2, 1 ( )
4 ( 1) ; ,1 2 3
x si x ff x
x si x f
......(*)1 gofh
)()( 1
2
1
121
ffoggh
1 1 1 1
1 1 1 2 2 1 2 2h g of g of g of g of
1 1 1
1 1 1 1 1( ) : ( ) ( ) ( )D g of x D f f x D g
4212 xx
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 92
12 x
1 1 1
1 2 2 2 1( ) : ( ) ( ) ( )D g of x D f f x D g
4,)1(4321 2 xx
4)1(4321 2 xx
4)1(4321 2 xx
21 2 3 4 ( 1) 16x x
21 2 3 ( 1) 12x x
1 2 3x ( 1 2 3 1 2 3x x )
1 2 3x 321321( xx )
,1 2 3x
1
1 2( ) :D g of ,1 2 3x
1 1 2
1 2 2( ) ( ( )) 4 3 1 3 2g of f x x x
1
1 2( )( ) 2, ,1 2 3g f x x x
1 1 1
2 1 1 1 2( ) ( )D g of x Df f x Dg
2 1 2 0,2x x
2212 xx
1
2 12, 1 ..... ( )x D g of
1 1 2
2 1 1( ( )) 4 ( ( )) 3g f x f x 32 x
12;32))(( 1
12 xxxfg
)( 1
22
ofgD 1 1
2 2 2x Df f Dg
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 93
2, ,1 2 3x x
h =g o f -1
=
2 3; 2, 1x x
Mas Ejemplos.
1) Sea 1log)( 2 xxxf a ¿f es impar?
Dom ( f ): xR
f(-x) = -f(x) -x, x Dom(f)
xxxf a 1log)( 2 Racionalizando
f ( -x )
1
1log
2xxa 2log 1a x x )(xf
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 94
2 ) Sea:
33)(
xCos
xSenxf
Dom(f): xR
Ran(f): 00 33
x
Cosx
Seny
33
xCos
xSeny
>0
aax
Cosx
Seny ;33
; a>0
2
2
;33
aax
Cosx
Seny
332
33
22x
Cosx
Senx
Cosx
Seny
332
33
22x
Cosx
Senx
Cosx
Seny
332
33
22 xCos
xSen
xCos
xSeny
.......(*)3
21
xSeny
23
211
3
20
xSen
xSen
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 95
23
211
xSen
2,1 y (Ran(f))
de (*): 3
21
33)(
xSen
xCos
xSenxf
f(x+P) = f(x)
xSenPxSen3
21)(
3
21
3
2
3
2
3
2 xSenP
xSen
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 xSen
PSen
xCosPCos
xSen
1 0
KPP
Cos 3
21
3
2
2
3K
P
KPP
Sen 3
20
3
2 K Z
+
2
3min
P
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 96
3) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100
y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = te 900100
100000
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuánto tarda la población en
llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la
función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.
SOLUCION.
y:Población ; t:tiempo
100000 1000( ) = ; 0 ( )
100 900 1 9
(0) 100 ; 1000 ( ) 100,1000 ( )
t ty p t t Dom p
e e
p si t y y p t Ran f
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 97
La función P es inyectiva existe la función inversa de P
1000 1000 9( ) 1 9
1 9 1000
9ln
1000
900 ln 81 4ln(3) 4.394449154
t t
t
yy p t e e
e y y
yt
y
cuando y t t años
Por ejemplo sea la expresión:
2 ; 2 , 2 1 , ( )
2 2 ; 2 1,2 2 ,
x n x n n nf x
n x x n n n
a) Verifique que f es una función de R en R .
Solución. Si:
(2 1) 2 12 1 ( )
2 2 (2 1) 1
: ; ( ) :
n nx n f x
n n
n f R R D f x R
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 98
b) Encuentre el mayor conjunto
( ) donde la expresion g(x)= define una funcion.
f xA R
x
Solución:
21 ; [2 ,2 1]; 0
( )( )
2 21; [2 1;2 2
nx n n x
f x xg x
nxx n n
x
1; 0,1
( 0)21; [1,2
21 ; [2,3
( ) ( 1)4
1; [3,4
...
x
nx
x
xx
g x n
xx
0A R .
c) Grafique g: AR
.
.
.
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 99
Solución:
d) Pruebe que para todo n la función F: 1
2 1,2 2 0,2 1
n nn
Definida por F(x)=g(x), es biyectiva. Encuentre la inversa de F.
Solución:
2 2( ) ( ) 1; [2 1,2 2
nF x g x x n n
x
F es biyectiva si y solo si
1º) F es inyectiva (si es inyectiva,demuéstrelo)
2º) F es sobreyectiva
1
1 0 2 3 4
x
y
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 100
1 1 12 1 2 2.... ( )
2 2 2 1
2 2 2 21
2 1
2 2 10 1 ;
2 1
1( ) 0, : ( )
2 1
es sobreyectiva de (1º) y (2º): F es biyectiva
1 1como; ( ) : 0,1] 0, ] 0, ] ...
3 5
1: 0,1] 0, ] 0
3
n x n D Fn x n
n n
x n
nn
x n
y F x R Fn
F
R F y
Como
1
1, ] ...5
no existe.F
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 101
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Sabemos que la ecuación de la hipérbola equilátera con eje focal en el eje x y centro en
el origen de coordenadas es
x2-y
2 = 1 ......... (Hipérbola) (*)
Definamos a:
cosh( );2
t te ex t t R
; x1
( ); ; x R2
t te ey senh t t R
En (*)
2 2
2 2 1² ² ( ) ( ) (4) 1
2 2 4
t t t ye e e ex y Cosh t Senh t
2 2( ) ( ) 1Cosh t Senh t
12 1 t R
2
t tt
t
e ee t R x
e
; t R2
t te ey R
cosh2
t te et
…función coseno hiperbólico de t
2
t te esenht
… función seno hiperbólico de t
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[FIEE-UNMSM] Página 102
FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO:
: / ( ) cosh( ); cosh( )2
x xe ef R R y f x x x
Dom(f): xR
Ran(f): y 1
FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO:
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[FIEE-UNMSM] Página 103
: / ( ) ( ); ( )2
x xe ef R R f x senh x senh x
Dom( f ): xR
Ran( f ): y R
2. Sea 2( ) ( 1)f x ln x x Hallar f - 1
Si
Solución.
Dom ( f ): x R
Ran( f ): y R
f - 1
si y solo si f es inyectiva
f es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 xDom(f) = R
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[FIEE-UNMSM] Página 104
En efecto:
Si )()( 21 xfxf 2 2
1 1 2 2( 1) ( 1)ln x x ln x x
11 2
22
2
11 xxxx2 2 2 2
1 2 2 1( ) ( 1 1)x x x x
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1 1 22 1 1 2 ( 1)( 1)x x x x x x x x
02 2
221
2
1 xxxx 2
1 2( ) 0x x 1 2 1 20x x x x
f es inyectiva f -1
A partir de: 2( 1)y ln x x ; intercambiamos variables
2( 1)x ln Y Y ; Y = f - 1
(x)
2 2 2 21 ( ) ( 1)x xe Y Y e Y Y
2 2 22 1x xe e Y Y Y 1; ( )
2
x xe eY Y f x
1 1( ) ( ) ; si ( ) ( )2
x xe ef x Senh x f x g x
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[FIEE-UNMSM] Página 105
Función Tangente Hiperbólica
2
2
h( ) 1: / ( ) h( ); ( )
cos ( ) 1
x
x
sen x ef R R y f x tg x tgh x
h x e
Dom( f ): x R
Ran( f ): y 1,1
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[FIEE-UNMSM] Página 106
Función Cotangente Hiperbólica
2
2
cosh( ) 1: / ( ) h( ); ( )
( ) 1
x
x
x ef R R y f x cotg x cotgh x
senh x e
Dom( f ): x R- 0
Ran( f ): y , 1 1,
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[FIEE-UNMSM] Página 107
Función Secante Hiperbólica
2
1 2: / ( ) h( ); ( )
cos ( ) 1
x
x
ef R R y f x sec x sech x
h x e
Dom( f ): x R
Ran( f ): y 0,1
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[FIEE-UNMSM] Página 108
Función Cosecante Hiperbólica
2
1 2: / ( ) h( ); ( )
( ) 1
x
x
ef R R y f x cosec x cosech x
senh x e
Dom( f ): x R- 0
Ran( f ): y R- 0
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[FIEE-UNMSM] Página 109
PRACTICA DE FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
I) Hallar el dominio de f, si f es la función definida por:
1)2²
1)(
x
xxf
2)4²
1)(
x
xxf
3) ( ) 1f x x x
5) h(x) = 1
44 x
x
6) xxx
xxxf
2
16²)(
7)
xxx
xxf
212
1)(
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 110
8) )(xf 32²
2
xx
x
9) ² ²344)( xxxf
III Hallar el dominio y rango de f, si f es la función definida por:
1) f (x) = x
x
1
1 (graficar)
2) f(x)= ²2 xx (graficar)
3.-2
2( )
9
xf x
x
4.- 2
4)(
2
xx
xxf
5.- xxf 11)(
6.- ( )x x
f xx x
7.- 1 3
( ) ; 2, 41 3
xf x x
x
8.- 2f(x)=x 4 ; 0,62 3
x xx x
Hallar el Dominio Rango y Graficar la función f, si:
1) f(x) =
1 xsi ,x
1x0 si ,
0 x²,
x
six
2) f(x) =
1 xsi , x²1
1x0 si ,x
0 xsi , x
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 111
3) f(x) =
2 xsi , x²-5
2x1 si , 1-x
1 xsi ,1 x
2
2
2
4x4. f(x)=
x 1
5. f= , 1 02
x 16 ; si -6 x - 4
6. ( ) x+4 3 ; si 0<x 6
4x-25 ; si x > 7
x-6
17. f(x)= x-1
1
8.
xx x x
x
f x
x
2
2x-1f(x)=
1
9. f(x)= x
10. f(x)=x 42 3
x
x
x xx
11.- 2²
1)(
xxf
12.- 4²
²)(
x
xxf
13.-
0)4()4
,( 2xxx
xxf
14.- 4
44)(
2
2
x
xxxf
15.- f ( x ) = ( x ) – 2 (x ² - 9) + ( 1- x ³ ), :función escalón unitario
16.- f ( x ) = u( 42 x )-3u(x ³-1) + 2u(5x-x²) ,u: función escalón unitario
17.- f(x)= xx
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 112
18.- f(x)= 13
52)
1-x
2xsgn( ²9
x
xx
19.- f(x) =
1²,2
1
21,²)1²sgn(4
6,2;6
27
xxx
xxx
xxx
20.- 7 15
( ) 2 ; 1,01
xf x x x
x
21.- 1
( )f x xx
II) Hallar todos los valores reales de x, si es que existen, tales que:
1.- sgn sgnx
x
x
x
2 4
5
8
90
2.- sgn 02
1²sgn
2
14 2
x
x
x
x
III) En las siguientes funciones: Hallar su Dominio, Rango, si es periódica hallar su
periodo mínimo y luego hacer su gráfico:
xb
xxa
2
32
32
sen=y .d Cos2x=y .
cossen=y -c. Sen4x5=y .
e.- f x x x( ) 2 2 3 3 f.- f(x)= xxsen3
2cos
3
2
g.- f(x)=[/2x/]-2[/x/] h.- f(x)=x-[/x/]
i.- f(x)=sen( )4
x
k.- f(x) = cos( )3
2x
¿ Es periódica la función y senx sen x 2 ?. Explicarlo.
IV) Sean las funciones:
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[FIEE-UNMSM] Página 113
1.-
2
1 sgn(3 ) ; x 0,6f(x)=
; x 6,10
x x
x
g(x) =
; x
x ; x
x
x
2 8 3
2 3 8
,
,
Hallar: f g ; f.g ;f
g;
f
g; fggf ; si .
2.- g = { (3,6);(5,9);(7,5);(8,4) } ; h = { (3,9);(5,2);(8,7) }
Hallar f tal que: f g = h
3.- 22
22 1)(;
1)(
xaxaxg
xxxf
Hallar h tal que: f h = g
4.-
2
2 ;x -1,1
3( )
x 1 1 ; x 1,2
x
xf x
g x
x
x
( )
,
; x - 2,-1
; x
2
1
1 0 3
Hallar: f g ; f.g ;f
g;
f
g; fggf ; si .
5.- 2
6 1 ; x -1,8
3( )
16 ; x -5,-3
6
x
xf x
x
x
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 114
1
; x -1,1 2( )
1 ; x 1
xg x
x
Hallar: f g ; f.g ;f
g;
f
g; fggf ; si .
6.- f (x ) = /x-3/ + /x+1/ y g (x) =
1 x;x -2
1 x; 13x
Hallar f + g, f-g, f/g, fog si .
7.- f(x) =
0 x; cos4
-1x3- ; 21
x
x y g(x)=
x0 ;
0 x; ²
senx
x
Hallar: f g ; f.g ;f
g;
f
g; fggf ; si .
8.- f ( x ) =
2...,2
2...,6²
xsix
xsixx g(x)=2x-4 ; si x>2
Hallar: f g ; f.g ;f
g;
f
g; fggf ; si .
8.- 31/x-3x,gy 01/², xxxxxf . Hallar fog-1
si
9.- 4²)( xxf y g = {(-1,-2 2 );(2,-1);(4, 5 );(3,4);(7, 5 )}. Hallar fog
10.- Si f (x) = x4 +2x² + 2 , hallar dos funciones g , para los cuales:
(fog)(x)= x4
- 4x²+5
11.- hallar f(x); si: g(x)=cosx1
senxf(g(x))y
sec
1
x
12.- f (x) = x-2g(x) ; 3
1
x
Hallar: f g ; f.g ;f
g;
f
g; fggf ; si .
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 115
V) Mostrar que el grafico de la función f(x)= 1a , 1²log xxa , es simétrica con
respecto al origen de coordenadas.
VI) Sea f(x)= )1-x²
xsgn( ²4 x probar que f es una función impar en su dominio
VII) Hallar: f(1/x) ; f(f(x)) , si: 1) f(x) = 1x
x ; 2) f(x) =
1x
x
Hallar: FoG ; GoF si existen , indicando su dominio
1) F(x) =2
3x , G(x) = 1x ; 2) F(x) =
9²
6
x
x , G(x) = x3
3) F(x) = 1² x , G(x) = 3
2
x ; 4) F(x) = lnx , G(x) = x²-9
VIII) Probar que las siguientes funciones son inyectivas y hallar su inversa:
1) f(x)=12
1
x
x ; 2) f(x)= 1x : 3) f(x) =
x
x
1 ; 4) f(x) =
2
xx ee
IX) Hallar la composición de f con la inversa de f para las funciones del problema VIII
X) Hallar la composición de la inversa de f con f para las funciones del problema VIII
XI) Si f(x) = 2x +lnx , encuentre f -1
(2)
XII) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de
100 y que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = te 900100
100000
Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población en
llegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use la
función inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.
XIII) Si: 31/x-3x,gy 01/², xxxxxf . Hallar fog-1
si
XIV) Hallar f -1
si existe:
1.-
10 x; 1-x
0x3- ; 3x
-4 x; 86²
)(
xx
xf
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[FIEE-UNMSM] Página 116
2.- f(x)=- -7x; 76² xx
3.- f(x)=- -9x; 98² xx
4.-
10 x; 1-x
0x3- ; 3x
-4 x; 86²
)(
xx
xf
5.- f(x) =
1²,2
1
21,²)1²sgn(4
6,2;6
27
xxx
xxx
xxx
6.- f(x) = x - 4 - x; x .
7.- f(x)= 4 +5 x x
NOLAN JARA J.
[FIEE-UNMSM] Página 117