Fucion exp y log
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FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS
Definición de función.
• X
Función f(x)
• Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f (x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función.
• Notación funcional :
Se usa una sola letra como f o g oF para denominar una función.Entonces , f (x) que se lee “f de x” o
“ f en x” , designa el valor que f
asinga a x.
Las funciones Reales:• Definición:
Se llama función real a toda función D—IR, siendo D un
subconjunto de IR.
1. Funciones exponenciales.
• Una función exponencial es una función cuya expresión es
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
• Distinguimos dos casos:
xy a
a 1 0 a 1
Propiedades de f(x) = ax, a>0, a diferente de uno:
• 1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).• 2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o
saltos.• 3) El eje de x es la asíntota horizontal.• 4) Si a > 1 (a, base), entonces ax aumenta
conforme aumenta x.• 5) Si 0 < a < 1, entonces ax disminuye conforme
aumenta x.• 6) La función f es una función uno a uno.•
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos,
donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:
• 1) Leyes de los exponentes:•
• 2) ax = ay si y sólo si x = y• Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.• Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el
valor de x en las siguientes ecuaciones:• • 1) 2x = 8• 2) 10x = 100• 3) 4 x - 3 = 8• 4) 5 2 - x = 125
•
• Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:
• • 1) 2x = 64• 2) 27 x + 1 = 9
x y
-4 0,2
-3 0,3
-2 0,44
-1 0,67
0 1
1 1,5
2 2,25
3 3,375
4 5,06
a 1x
3f(x)
2
x y
-4 0,0625
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
a 1 xf (x) 2
x y
-4 0,012
-3 0,037
-2 0,11
-1 0,3
0 1
1 3
2 9
3 27
4 81
a 1 xf (x) 3
x y
-4 39,1
-3 15,625
-2 6,25
-1 2,5
0 1
1 0,4
2 0,16
3 0,064
4 0,0256
0 a 1 x
2f(x)
5
x y
-4 16
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
4 0,0625
0 a 1 x
1f(x)
2
x y
-4 5,06
-3 3,375
-2 2,25
-1 1,5
0 1
1 0,67
2 0,44
3 0,3
4 0,2
0 a 1 x
2f(x)
3
En general si
• Dominio: R• Recorrido• Monotonía Estrictamente creciente• Acotación Acotada inferiormente por 0• Puntos de corte con los ejes Y (0,1)
X ninguno
a 1
(0, )
En general si
• Dominio R• Recorrido• Monotonía Estrictamente decreciente• Acotación Acotada inferiormente por 0• Puntos de corte con los ejes Y (0,1)
X ninguno
0 a 1
(0, )
Función exponencial Función exponencial natural:natural:
Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828…La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).
x ex
-2 0.14-1 0.370 11 2.722 7.393 20.01
x
f(x)
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.
• El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.
• La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de
• f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:
• En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.
• Ejemplos: Simplifica.• •
• Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1
• • Práctica:• 1) Simplifica: (e 3x + 1) /(e 2x – 5)• 2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x
•
Aplicaciones • La función exponencial sirve para describir cualquier
proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo.
• A continuación se ven tres aplicaciones:
Crecimiento de poblaciones.Interés del dinero acumulado.Desintegración radioactiva.
Interés compuesto En el interés compuesto los intereses producidos por un
capital, Co se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses.
• Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en %) el capital final
• obtenido viene dado por la fórmula:
Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si meses, n=4 si trimestres, n=365 si días,...) la fórmula anterior queda:
Crecimiento de poblaciones
• El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones. Si inicialmente partimos de una población Po, que tiene un índice de crecimiento i (considerado en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en
Desintegración radiactiva
• Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:
La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.
2. Funciones logarítmicas. • Definición de logaritmo
• Una función logarítmica es una función cuya expresión es:
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
• Distinguimos dos casos:
a 1 0 a 1
ya axxlogy
ay log x
x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
a 1 2f (x) log x
x y
1/27 -3
1/9 -2
1/3 -1
1 0
3 1
9 2
27 3
a 1 3f (x) log x
x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
16 -4
0 a 1 12
f (x) log x
x y
8/27 3
4/9 2
2/3 1
1 0
3/2 -1
9/4 -2
27/8 -3
0 a 1 23
f (x) log x
En general si
• Dominio• Recorrido R• Monotonía Estrictamente creciente• Acotación No está acotada • Puntos de corte con los ejes Y (1,0)
X ninguno
a 1
(0, )
En general si
• Dominio• Recorrido R• Monotonía Estrictamente decreciente• Acotación No está acotada • Puntos de corte con los ejes Y (1,0)
X ninguno
0 a 1
(0, )
a 1
0 a 1
3. Logaritmo de un número. • El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y
distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:
• Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log10 , es decir:
• Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de loge , es decir:
za amzmlog
mlogmlog10
elog m lnm Lm
Ejemplos.
2porque 100 10
4porque 9 ( 3)
31porque 10
1000
31
porque 82
1porque e e
4porque 81 34
log 100 2
3log 9 4
1log
1000 3
ln e 1
3log 81
12
log 8 3
Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :
Propiedades. • El logaritmo de la unidad es cero:
• El logaritmo de la base es uno:• Ejemplos : log 10 = 1 , ln e = 1• El logaritmo de una potencia de la base es el
exponente:• Ejemplo
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:
01loga
1aloga
xalog xa
a a a alog (x y ... z) log x log y ... log z
Casos especiales:
Propiedades. • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor:
• El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:
• El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante:
ylogxlogyx
log aaa
x·logyxlog ay
a
alog
xlogxlog
b
ba
4. Ecuaciones exponenciales.
• Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia.
• Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales:
- Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base.
- Ecuaciones resolubles por cambio de variable.
Ejemplos.
Se busca una base común para todos los números que aparecen:
Se opera:
Se igualan los exponentes:
Se resuelve:
20482·4 x3
2 3x 112 ·2 22 3x 112 2
2 3x 11
3x 9
x 3
Ejemplos.
Se hace un cambio de variable:
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:
Queda:
Se opera:
Se deshace el cambio:
Se resuelve:
13333 2x1xx
x 2t 3
2 x 2 x 2 x 23 ·3 3·3 3 13
9t 3t t 13
13t 13 t 1
x 21 3
x 2
0 x 23 3
x 2 0
Ejemplos.
Se hace un cambio de variable:
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:
Queda:
Se resuelve:
Se deshace el cambio:
x x9 18 11·3 xt 3
x2 x3 18 11·3
2x x3 18 11·3 2t 18 11t 2t 11t 18 0
1t 2 2t 9
x3 2 3x log 2x3 9 x 2
5. Sistemas de ecuaciones
exponenciales.
• Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial.
• Nos podemos encontrar distintos tipos de sistemas de ecuaciones exponenciales:
- Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base.
- Sistemas en los que una o más ecuaciones son resolubles por cambio de variable.
Ejemplos.
Se reducen las igualdades a potencias de la misma base
Se opera con las potencias:
Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:
1622
322·2
y5
x3
y2x
yx 5
5y3x 4
2 ·2 2
2 :2 2
x 2y 5
3x 5y 4
x 3 y 1
x 2y 5
3x 5y 4
2 2
2 2
Ejemplos.
Se hacen los cambios de variable:
Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo):
Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:
yx 1
yx 1
3·(5·5 ) 2·(6·6 ) 807
15·5 6 339
x 3 y 2
33965·15
8076·25·3y1x
1yx
x 1a 5 yb 63·5a 2·6b 807
15·a b 339
15a 12b 807
15a b 339
b 36 a 25
x 1a 5 x 125 5
2 x 15 5
2 x 1
y36 6
yb 6
y26 6
6. Ecuaciones logarítmicas. • Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita
aparece afectada por un logaritmo.
• Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
01loga
1aloga
xalog xa
zlog...ylogxlog)z·...·y·x(log aaaa
ylogxlogyx
log aaa
x·logyxlog ay
a
Ejemplos. 2 log x – log (x-16) = 2
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
1x 80
2x 20
2log x log x 16 2
2xlog log 100
x 16
2x100
x 16
2x 100x 1600 0 100 10000 4·1600x
2
100 3600x
2
100 602
Ejemplos. log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3)
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x2=2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.
1x 5
2x 2
5x 13log x 1 log
x 3
5x 13x 1
x 3
2x 2x 3 5x 13
7 49 4·10x
2
7 92
7 32
2x 7x 10 0
Ejemplos.
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
1x 3
2
1x
3
2log 2 log 11 x 2·log 5 x
2 222 2x 25 x 10x
10 100 4·3·3x
2·3
10 64
6
10 86
23x 10x 3 0
2)x5log(
)x11log(2log 2
22log 2· 11 x log 5 x
7. Sistemas de ecuaciones
logarítmicas. • Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos,
una de sus ecuaciones es logarítmica.
• Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica.Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en algebraica.
• Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas.Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
y 2
x 20
x y 22
x10
y
x y 22
x 10y
10y y 22
x 10y
x y 22
xlog log 10
y
x y 22
log x log y 1
Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
y 4x 7x 11 y
2 2x y 33
x 11 y
yx 11
log (x y) log (x y) log 33
2 ·2 2
x y 11
log (x y)·(x y) log 33
2 2
(x y)·(x y) 33
x y 11
2 211 y y 33
2 2121 y 22y y 33
22y 88
Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
1y
10
x 100
5 57
100y 10
10 7
5
10010
y
x.y 10
27
3
x10
y
10x
y
2 3log x log y 7
log x·y log 10
2log x 3log y 7
log x log y 1
27
3
xlog log 10
y
x·y 10
Ejemplos.
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
1y
10
x 100
2log x 3log y 7
log x log y 1
log x 1 log y
2 1 log y 3logy 7 2 2log y 3logy 7
5log y 5 log y 1 1y 10
log x 1 log y log x 1 1 2