數學【 　　　　　專刊 】

10月號月號2010/10

獨家發行

MATHEMATICS

一、前言

角錐體積＝同底等高角柱體積的三分之一

在國小時，數學課程的立體單元即已帶領學生認識生活中的簡易多面體，並進一步經驗其點、

線、面的構成元素與展開圖的變換，最後才從長、寬、高發展到體積、表面積與對角線的計算。其

中，關於角錐的體積計算，由於公式裡的「13」不便解讀，所以中學數學課綱一直要等到高三下，

才由定積分單元來驗明正身。然而，在國中數學參考書裡，老早就將角錐的體積公式補充告知。久

之，學生只求會用，不必理會Why？好不容易，挨到高三下學期數甲的微積分單元，終於有機會見

其廬山真面目時，只見眾多考完學測，以「準新鮮人」自居的高中生，當再次面對此一太陽底下的

「非新鮮式」時，早已無動於衷，甚至冷漠以對，實在可惜。

本教學設計的目的，即在透過立體 DIY的實物模型操作，將錐體體積公式裡的「13」，讓學生看

得到也摸得到。其數學定位雖有以偏蓋全之嫌，但用作教學輔助，仍能喚起許多數學思維與教育迴

響，讓課堂上的師生在教學相長之餘，眼睛能為之一亮。

有 （ ）的角錐體積操作

台北市立麗山高級中學彭良禎老師

有 （ ）的有 （ ）的有 （ ）的有 （ ）的有 （ ）的Fu有 （ ）的有 （ ）的feeling

2

CHWA

二、 教學單元中學數學教師可搭配以下教學單元，安插並改良本 DIY操作之教學設計。

（一）高中： 學生剛學完《數學甲 II‧多項式函數的微積分》之「積分的應用∼以多項式函數的

定積分求錐體的體積」之後。先讓學生體察錐體體積公式裡的「13」，實來自下列

二次級數和公式 裡的「26」，再接續本文的 DIY操作。

（二）國中： 數學能力指標 8-s-36能計算複合立體圖形的體積及表面積問題。

在學生認識「柱體的體積公式」之後，將本教案用作加深加廣的延伸教材：

「角錐體積公式的啟蒙與臆測」。

三、教學使用

（一）教師課前： 先將 A、B兩圖印製在卡紙上（一式三份），每個學生一張。

學生製作： 剪下 6片展開圖，再依線條摺痕，然後在紫色梯形處貼上雙面膠，以黏製成

6個三角錐。

（二）學生挑戰： 將 6個分散的三角錐拼組成一個正方體。

教師提示： 若有需要，以下提示皆有助於學生完成闖關：坽 拼出正方形。

夌 拼出四角錐。

奅 拼出三角柱（三明治）。

(A) (B)

Σ i 2 n (n＋ 1)(2 n＋ 1)6

n＝

i＝1

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（三）教師導引： 待大家都過關之後，導引學生分享拼組正方體的策略。常見策略：

（四）教師解說： 待學生分享拼組正方體的心得與方法之後，教師再導引欣賞 puzzle行家的操作手法，讓學生面對數學問題，能學習運用多元的數學解題策略，同時提升

層次，欣賞畫龍點睛之妙。

差異性：先將零件三個 A與三個 B分列左右（圖一）。

【備註】 對多數學生而言，零件 A與零件 B是一樣的，就如同幼小學童分不清左右

腳鞋子的差異。

技巧性： 以兩根手指頭頂住零件 A最長邊的兩端（圖二），然後以順時針或逆時針方

向，讓零件 B、A、B、A、B依序入座即成。

結構性： 正方體的「點投影圖」是一個正六邊形（如圖三），此一 DIY之操作設計即對

應其「正六邊形等分成六個正三角形」的分割結構，而兩根手指頭頂住的最

長邊即為正方體的對角線位置。

趣味性： 本 DIY操作的生命力即在於從三角錐零件拼組成正方體的過程體現與策略賞

析，掌握此一設計精神的學生即可充當種籽教師，傳播數學之樂。而當進入

紙筆計算，得出零件上直角三角形的邊長比為 ： ： 時，數學之美

即不言而喻。

【備註】 由於不善於操作型的學習思維，故常見學生在好不容易組合過關之後，即

用膠帶將六個零件「封起來」變成一個正方體，不願再次體驗，如此就可惜

了。

坽 試誤法。

夌 找正方形（正方體的構成元素）。

奅 找「直角」（立體角）。

(圖一 ) (圖二 )

(A)

(A)

(A)

(B)

(B)

(B)

A

A

A

B

B

B

(圖三 )

√1 √2 √3

4

CHWA

（五）角錐體積公式：教師導引學生利用此一 DIY設計，解說錐體體積公式裡的「13」。

四角錐： 先將一個零件 A與一個零件 B拼成一組四角錐，進而將三組四角錐拼成一個

正方體，所以四角錐的體積是同底等高角柱（正方體）體積的「13」。

三角錐： 先將兩個零件 A與一個零件 B或兩個零件 B與一個零件 A組成一個三角柱

（三明治），而零件 A與零件 B的體積相等（彼此互為面對稱的鏡射結構），所

以三角錐的體積是同底等高角柱（三角柱）體積的「13」。

金字塔： 先將四個零件 A與四個零件 B組成一個大的金字塔，而六個此款金字塔又可

組成一個大正方體，所以金字塔（四角錐）的體積是同底等高角柱（大正方體

的一半）體積的「13」。

三明治

圓錐帽

黑松沙士

魔術方塊

造型雕塑

足球

生活中常見的立體圖形

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四、數學史教學

關於錐體體積公式的證明，由於涉及趨近於 0與趨近於 ∞ 的探討，故中學數學課綱不得

不將之安排在微積分的教學脈絡裡。在此則引入數學史的教學，分享一古人直觀且精妙的操作

智慧。

魏晉時期（約西元 263年），中土算學家劉徽在《九章算術》的註解中，曾充分利用分割長

方體的觀點來推導角錐與角柱的體積關係。以下說明以正方體為圖例：

（一） 先將一個正方體從一面的對角線垂直切成 2個如三明治造型的「塹（ㄑㄧㄢˋ）堵」（即

三角柱，如圖四偢），而每個塹堵可再切成 1個「陽馬」（即四角錐，如圖四倕）與 1個

「虌臑（ㄖㄨˊ）」（即三角錐，如圖四偅）。

（二） 再將一個陽馬（如圖五偢）從各邊中點細分成 1個小正方體、2個小陽馬與 2個小塹堵

（如圖五倕），而兩個小塹堵又可還原組合成 1個小正方體，故陽馬可切割、重組成 2個

小正方體與 2個小陽馬。

＝ ＋

(圖四 )塹堵＝陽馬＋虌臑。

偢 倕 偅

偢 倕 偅

＝ ＝ ＋

(圖五 )陽馬＝小正方體×2＋小陽馬×2。

6

CHWA

（三） 最後將一個虌臑（如圖六偢）從各邊中點細分成 2個小塹堵與 2個小虌臑（如圖六倕），待

兩個小塹堵合體成 1個小正方體之後，變成 1個小正方體與 2個小虌臑（如圖六偅）。

如此再不斷地細分下去，則陽馬所切成的小正方體數，永遠是虌臑切成小正方體數的兩

倍，故可感受出陽馬與虌臑的體積比為 2：1。按照劉徽的說法：「半之彌少，其餘彌細」，再

加上「至細曰微，微則無形」的直覺，便推論「陽馬居二，虌臑居一」的關係，進而得證虌臑的

體積是整個正方體體積的「16」，是整個塹堵體積的「

13」。劉徽探討三角錐體積方法的巧妙之

處，在於不直接處理三角錐與三角柱的比例，而是技巧性地比較三角錐與四角錐的關係，且其

論證方法很直觀、也很簡明。

＝ ＝ ＋

偢 倕 偅

(圖六 )虌臑＝小正方體×1＋小虌臑×2。

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五、大考插曲

關於角錐的體積計算，大學指考曾經考過一次，雖不知最後的成效如何？但筆者以為頗具

故事性。在民國 91年的數甲指考單選題中，有一題關於多面體內接結構的考題，由於該題的

答對率為 55%、鑑別度為 57%，被大考中心判定為「非常理想」的模範試題。或因此故，大考

中心意猶未盡地於隔年再考一次，但怕坊間補習班已有備而來，恐造成考試結果失真，故將此

題改為數乙指考的填充題，最後還不顧數乙會有「超出範圍」的爭議，考了正四面體的體積計

算。茲將相關試題羅列如下：

( 91數甲單選 1 ) 檢測概念性知識

一正立方體的八個頂點中有四個頂點，各頂點彼此之間的距離都是 1，則此正立方體的體積為

坽 夌 奅 妵 【 答：夌 】

( 92數乙填充 G )

右圖為一單位正立方體 ABCDEFGH（即稜長 1），則四面體 ACFH的

表面積為 。 【 答： 】

( 92數乙填充 H )

右圖四面體 ACFH的體積為 。（以最簡分數表示） 【 答： 】

【試題評析】

坽 筆者以為學生面對 91數甲單選 1的最大落差在於該題沒有圖形導引，且多數學生並不知道

正立方體的頂點可連接出一個正四面體，甚至根本不認識正四面體，既無法入題，當然不

會算。

夌 92數乙填充 G 則非常貼心，不但畫圖，還明白指出正四面體就在 ACFH的位置，只可惜

原題所附的投影圖讓連線之後的△ ACF 近乎一線，以致正四面體 ACFH 的立體感很弱，此

外，本題的填答格式（ ）與學生在校訓練有素的簡約表示（ ）有很大的落差，而且知

道正三角形面積公式為 的一類組學生會有多少呢？

奅 至於壓軸且超出範圍的 92數乙填充 H，則一反常態，乾願冒市場反彈聲浪之險，也要考一

類組學生計算正四面體的體積。而看似好心提供的角錐體積公式，原是替大考中心投保的

「意外險」，卻不知會「誤導」多少沒經驗的一類組學生，當場花上十來分鐘去逐一剖析正四

面體的底面積與高呢？因為這一題的秒殺解法是以正方體體積扣除四個直角三角錐的體積

（其長、寬、高用看的就知道）。而此種巧解，考試當下能反應過來的二、三類組學生又有

多少呢？

√224√2 21

A BC

D

GH

EF

12

※錐體體積等於底面積乘以高除以 3。

13

12 √32

4√3 a2

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六、後記

筆者國中時，於數學參考書上首次邂逅角錐的體積公式，當時數學老師雖沒解說原因。不

過，理化老師的生動描述卻是印象深刻：

阿基米得將其槓桿原理發揮到極致：

坽木製三個圓錐與一個圓柱，然後放在天秤的兩邊⋯。

夌木製一個圓錐、一個圓球與一個圓柱，然後放在天秤的兩邊⋯。

相較於「被告知」的學習模式，上述翹翹板的平衡操作不僅讓筆者感覺身歷其境，對於球體

體積公式的一體適用，更覺其呈現手法之高妙。本 DIY之高中教學設計原是一場誤打誤撞的意

外成果，因震撼 power強烈，其後便進一步開發成國中數學營隊的創意課程設計（詳見參考資

料五），讓錐體體積不再只是一個數學公式，而是一個看得到、摸得到，可以非常有 Fu（feeling）的數學經驗。要營造出「一堂有感覺的數學課」實非易事，心動不如行動，趕緊印製展開圖 DIY

（Do It by Yourself.）瞧瞧吧！

七、參考資料

灱 教育部「98課綱」：《國民中小學九年一貫課程綱要‧數學領域》與《普通高級中學「數學」課程

綱要》。

牞 教育部高中數學學科中心（2008），《優良試題推廣研習手冊》，頁 27∼ 28。

犴 李繼閔（1992），〈多面體的體積理論〉，收錄於《《九章算術》及其劉徽注研究》(台北：九章出

版社 )，頁 301~330。

犵 彭良禎，〈童玩 DIY之「1＋ 1≠ 2」〉，遠哲科學教育基金會《發現月刊》第 68期（2001/04）。

玎 彭良禎，〈「藝數方塊」趣味數學教學設計分享〉，遠哲科學教育基金會《發現月刊》電子報第

148期（2008/12）。http://www.ytlee.org.tw/

甪 彭良禎，〈錐體體積公式「DIY」〉，教育部數學學科中心「MTS2009全國高中數學教學研討會」

（2009/12）。