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Coloracao de VerticesAlgoritmos de Coloracao

FT 024 - Teoria dos Grafos e Aplicacoes:Coloracao

Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani PolettiAula 08

DMBC/FT/UNICAMP

28 de abril de 2010

Elaine Catapani Disciplina FT 024


Nocoes preliminaresAplicacoes

Definicao

Sejam G(V , E) um grafo e C = {ci , 1 i n} um conjunto decores.Uma coloracao de vertices de G e uma atribuicao de cores deC para os vertices, de maneira que aos nos adjacentes saoatribudas cores diferentes.

Uma k-coloracao e uma coloracao que consiste de k coresdiferentes.




Definicao

Dado um grafo G, o numero n para o qual existe uman-coloracao desse grafo e denominado ndice cromatico de G ee denotado por (G).Logo se (G) = k , G e k-cromatico.




Consideracoes

Se o grafo G possui um loop, tal vertice e adjacente a si proprioe, consequentemente, nao existe uma possvel coloracao paraG.

Tampouco sao relevantes arestas multiplas e vertices isolados,portanto, neste contexto, o estudo de coloracao restringe-se agrafos simples.




Definicao

(G) = 1 se e somente se G e um grafo nulo.

(G) = 2 se e somente se G e um grafo bipartido.




Questoes em aberto

Nao se sabe quais sao os grafos 3-cromaticos, embora sejafacil dar exemplos:




Observacoes

Pouco se sabe sobre o numero cromatico de um grafoarbitrario.

O que se pode afirmar e que se um grafo tem n vertices,entao seu numero cromatico e n.

Teorema. Todo grafo planar simples e 6-colorvel.

Teorema das 5 cores. Todo grafo planar simples e5-colorvel.

Teorema das 4 cores. (1852-1976) O numero cromaticode um grafo planar nao e maior que 4.




Aplicacoes

Sao varias as aplicacoes de coloracao:

Mapas

Problema de grade de horarios ou qualquer outra forma deescalonamento de tarefas

Associacao de cores para diferenciar componentes deuma molecula - armazenamentos de produtosincompatveis.

Alocacao de frequencias em sistemas de comunicacaotais como telefones celulares




Problema 1.

Uma companhia manufatura produtos qumicos que podem explodirse colocados em contato um com os outros. Desta forma acompanhia deseja construir armazens para armazenar os produtosqumicos de forma que produtos incompatveis fiquem em armazensdiferentes. Qual e o menor numero de armazens que devem serconstrudos? Como resolver este problema com a ajuda da teoriados Grafos?

Problema 2.

Emissoras de televisao vao ser instaladas em estacoes baseadas emalgumas cidades de determinada regiao. As regulamentacoes dosetor de telecomunicacoes indicam que uma mesma emissora naopode ser instalada em duas cidades com distancia inferior a 150Km.Considerando uma tabela das distancias entre as cidades. Qual omenor numero de emissoras para contemplar essas cidades?



Algoritmos de ColoracaoProcedimentos do Algoritmo de Coloracao Sequencial SimplesAlgoritmo de Coloracao Sequencial SimplesExemploHeursticas em Coloracao de Grafos

Algoritmos de Coloracao

Nao existe um bom algoritmo para coloracao de vertices de umgrafo usando um numero mnimo de cores, consequentementenao existe um bom algoritmo para a determinacao de ndicecromatico de um grafo. Existem algoritmos que dao umaaproximacao de coloracao mnima.




Inicia-se com uma ordenacao (aleatoria) {v1, v2, , vn}dos vertices do grafo G e com um conjunto de coresC = {1, , n};

Em seguida e atribuda a cor 1 para o vertice v1;

Depois considera-se o vertice v2. Se v2 nao e adjacente av1 atribui-se a cor 1 para v2, caso contrario, atribui-se a cor2;

Toma-se v3 e atribui-se a cor 1 se v3 nao e adjacente a v1,se v3 for adjacente a v1 atribui-se a ele a cor 2 caso naoseja adjacente a v2, se v3 for adjacente a v1 e v2 atribui-sea cor 3 a v3;...




Entrada: Grafo G com lista de vertices {v1, v2, , vn}Sada: Coloracao dos vertices C = {1, 2, , n}Para i de 1 a n, faca

C(vi) a primeira cor em C ainda nao usada em vericesadjacentes a viFim Para




Exemplo

Considere o grafo G representado pela figura abaixo e apliqueo algoritmo de coloracao sequencial simples




Exemplo

Lista de vertices {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}

Lista de cores {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Para i = 1, , 7




Exemplo

C(v1) {1}

C(v2) {2} pois v2 e adjacente a v1

C(v3) {1} pois v3 e adjacente a v2 e nao e adjacente a v1

C(v4) {2} pois v4 e adjacente a v3 e nao e adjacente a v2

C(v5) {3} pois v5 e adjacente a v1 e v4

C(v6) {2} pois v6 e adjacente a v1 e v5 e nao e adjacente av2 ou v4

C(v7) {3} pois v7 e adjacente a v1 e v6 e nao e adjacente a v5




Exemplo




Considerando que vertices de alto grau sao mais difceis de secolorir apos outro vertice de grau menor, utiliza-se algortitmosbaseados em Heursticas.

Entrada: Grafo G com lista de vertices em ordem decrescentede grauSada: Coloracao dos vertices apropriada f : V {1, 2, , n}while there are uncolored vertices of GAmong the uncolored vertices with maximum degree choosevertex v with maximum colored degreeAssign smallest color k to vertex v : f (v) kEnd while


Colorao de VrticesNoes preliminaresAplicaes

Algoritmos de ColoraoAlgoritmos de ColoraoProcedimentos do Algoritmo de Colorao Sequencial SimplesAlgoritmo de Colorao Sequencial SimplesExemploHeursticas em Colorao de Grafos

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