III. DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA

95

1. Struktura digitalnog sustava upravljanja ! Vremenski kontinuirani signali U postupku obrade kontinuiranih signala koriste se sve trenutne vrijednosti signala. Uobiajena podjela kontinuiranih signala je na:

vremenski kontinuirani signal analogni signal

vrijeme 6 kontinuirano

amplituda 6 kontinuirana ili diskretna vrijeme 6 kontinuirano

amplituda 6 kontinuirana ! Vremenski diskretni signali Nastaju diskretizacijom kontinuiranih signala. Diskretizacija je proces uzimanja vrijednosti kontinuiranog signala, a moe biti:

S vremenska diskretizacija (engl. time discretisation sampling, njem. Abtastung): uzimanje uzoraka signala u diskretnim vremenima. Naziva se jo i uzorkovanje (otipkavanje, sempliranje, diskretizacija, odabiranje),

S amplitudna diskretizacija (engl. Quantisation, njem. Quantisierung) ili kvantizacija.

96

Ovisno o tipu diskretizacije razlikuju se: a) relejni sustavi: diskretizacija po amplitudi, tj. kvantizacija

S kontinuirani signal se nadomjeta zaokruenim vrijednostima koje dostie u proizvoljnim vremenima,

S kvantizacija se moe obavljati relejnim

elementom; u prostijim izvedbama imaju 2 do 3 razine,

S primjer: iani otpornik, A/D pretvornik.

b) impulsni sustavi: vremenska diskretizacija, tj. uzorkovanje

S kontinuirani signal se nadomjeta nizom diskretnih vrijednosti (uzoraka) u trenucima uzorkovanja,

S od posebnog je interesa uzorkovanje

signala u ekvidistantnim vremenima, dakle s konstantnim vremenom uzorkovanja. U tom se sluaju proces uzorkovanja moe prikladno tretirati kao impulsna modulacija.

c) digitalni sustavi: diskretizacija i po vremenu i po amplitudi (kvantizacija i uzorkovanje)

S kontinuirani signal se zamjenjuje nizom diskretnih vrijednosti u trenucima uzorkovanja iji iznos moe poprimiti samo odreene vrijednosti,

S kvantizacija i uzorkovanje postie se

amplitudno/kodnim modulatorom kao to je A/D pretvornik,

S proces kvantizacije ini sustav nelinearnim, meutim utjecaj kvantizacije na vladanje

sustava se moe zanemariti pa se digitalni sustavi mogu promatrati kao impulsni sustavi.

97

Znaaj digitalnih sustava u: S obradi i prijenosu signala, S sustavima upravljanja - mikroprocesorsko upravljanje, S telekomunikacijama i uope komunikacijama.

Prednosti digitalnih sustava:

S otpornost na smetnje, pouzdanost i raspoloivost, S tonost, S primjenjivost sloenih algoritama upravljanja.

Primjeri tehnikih sustava u kojima se javlja diskretizacija po vremenu:

S mjerenja koja se mogu obaviti samo u odreenim vremenima (radar za praenje), S signali u postavnim i izvrnim elementima (npr. mreom voeni usmjerivai, korani

motori), S serijsko mjerenje i obrada vie veliina pomou jednog ureaja (npr. procesno

raunalo). Pretvorba kontinuiranog signala u digitalni signal a) pomou A/D pretvornika

Sve promjene kontinuiranog signala x manje od x ne izazivaju promjene digitalnog signala q(x).

Openito se moe postii da:

x 6 xmin te se u tom sluaju moe zanemariti efekt kvantizacije, odnosno efekt nelinearnosti. Dakle, moe se primijeniti teorija linearnih diskretnih sustava. b) mjerni pretvornik s digitalnim izlaznim signalom (npr. davai impulsa - enkoderi,

inkrementalni i apsolutni)

98

Vrste impulsne modulacije Pretvorba kontinuiranog signala u vremenski diskretni signal naziva se impulsna modulacija. Ovisno o veliini ulaznog (moduliranog) signala, impulsnom se modulacijom mijenja jedan od parametara izlaznog signala:

$ amplituda impulsa; amplitudno-impulsna modulacija, AIM, $ irina impulsa; irinsko-impulsna modulacija, IM (PWM), $ pauza meu impulsima; vremensko impulsna modulacija, VIM

S ulazni kontinuirani signal AIM S visina impulsa proporcionalna je

amplitudi moduliranog signala S irina impulsa je konstantna i iznosi

IM (PWM) S odnos T/T - Apopunjenost impulsa@

(engl. duty cycle) proporcionalan je amplitudi moduliranog signala (visina impulsa je konstantna)

S posebna primjena pri upravljanju elektronikim energetskim pretvaraima

VIM Mogua su dva sluaja: S mijenja se fazni pomak (Tn) - FaIM, S mijenja se frekvencija impulsa -

FrIM Pri tome su irina i amplituda impulsa konstantni

99

Struktura digitalnog sustava upravljanja $ Naelna shema upravljanja

$ Digitalno raunalo obavlja program u koji je implementiran zakon upravljanja objektom, algoritam. Izvrenje programa treba se obaviti u dovoljno kratkom vremenu koje je manje od vremena uzorkovanja T koje iznosi:

2 ,s

T = s - kruna frekvencija uzorkovanja

$ Rad raunala odvija se u stvarnom vremenu

100

$ Procesno raunalo upravlja objektima po principu raspodijeljenog vremena (engl. time sharing), a raspodjela vremena se obavlja preko multipleksera i demultipleksera. Ovisno o brzini moguih promjena varijabli upravljanog objekta odabire se i iznos vremena uzorkovanja T. Naelno se procesi mogu podijeliti na:

S spore procese (regulacija temperature, razine, mjeanja); T je nekoliko stotina ms ili s,

S brze procese (npr. elektromagnetski procesi u elektrinim strojevima - regulacija elektromotornih pogona, upravljnje elektronikim energetskim pretvaraima); T je reda veliine ms ili manje,

S srednjedinamike prosece (npr. regulacija tlaka).

$ Ostale mogue zadae digitalnog raunala:

- obrada mjernih rezultata - estimacija nemjerljivih veliina - identifikacija parametara - adaptacija parametara regulatora - prikaz procesnih stanja

$ Svaki od kanala (regulacijskih krugova) mogu se promatrati zasebno (uz pretpostavku da su meusobno neovisni).

Blokovska (funkcionalna) shema jednog digitalnog podsustava

Brojana vrijednost

e(kT) = xR(kT) - ym(kT) stoji na raspolaganju procesorskoj jedinici za izraunavanje iznosa upravljake veliine u(kT) u intervalu vremena T. Numerika vrijednost (izvrne, postavne) veliine u(kT) pretvara se preko A/D pretvornika u kontinuirani stepeniasti signal u(t) . Uz dovoljnu rezoluciju D/A pretvornika Astepenice@ u signalu u(t) nee se osjetiti u reguliranoj veliini y(t) ako objekt upravljanja ima niskofrekvencijska svojstva, to je najei sluaj.

101

Kako tretirati diskretni sustav? Iz funkcionalne sheme digitalnog sustava upravljanja uoavaju se dva dijela:

S kontinuirani (sastoji se od: D/A, objekta upravljanja, mjernog lana i A/D), S digitalni, tj. diskretni (s procesorskom jedinicom u glavnoj ulozi).

U procesu izraunavanja upravljake veliine (postavne veliine) u(kT) potrebno je prethodno odrediti e(kT), a za odreivanje e(kT) potrebno je referentnu vrijednost xR(t) prirediti u oblik prikladan za obradu u raunalu kroz sljedee korake:

S uzeti uzorak od xR(t) i obaviti pretvorbu A/D pretvornikom, S memorirati taj uzorak sve dok je potreban u procesu izraunavanja u(kT), tj. do

sljedeeg uzorkovanja. Za ove operacije troi se vrijeme T1 koje se moe interpretirati kao mrtvo vrijeme (transportno kanjenje). Jednako tako, potrebno je signal povratne veze prirediti u obliku prikladnom za obradu u raunalu (uzeti uzorak od ym(t), obaviti A/D pretvorbu i memorirati do sljedeeg trenutka uzorkovanja). Za to se troi vrijeme T2, koje se takoer moe interpretirati kao transportno kanjenje. Na temelju ove analize funkcionalna blokovska shema digitalnog sustava ima sljedei oblik:

Tc je transportno kanjenje (mrtvo vrijeme) neophodno za obavljanje programa. Moe se pretpostaviti da S1 i S2 djeluju T1 i T2 sekundi prije aktiviranja multipleksera i spajanja raunala u odabrani regulacijski krug, odnosno prije aktiviranja sklopke S3, pa se prethodna funkcionalna blokovska shema moe dalje pojednostavniti uz pretpostavku ekvidistantne diskretizacije po vremenu (T = konst.) i uz pretpostavku idealnih sklopki (idealni impulsni element). Signal pogreke e(kT) ostat e nepromijenjen ako se sklopke S1 i S2 nadomjeste zajednikom sklopkom smjetenom iza sumacijskog elementa. Jednako tako, sa stajalita vladanja sustava, nisu potrebni ni memorijski lanovi u grani referentne vrijednosti i grani povratne veze. Takoer se moe izostaviti i memorijski lan ispred bloka Ra. programa. Uz navedene napomene funkcionalna shema digitalnog sustava upravljanja poprima oblik:

102

Prethodno je pretpostavljeno da su mrtva vremena T1 i T2 vremena potrebna za pripremu uzoraka u referentnoj grani i grani povratne veze koja proteknu prije spajanja raunala na regulacijski krug (preko multipleksera). Meutim, u stvarnosti procesor radi drukije, on inicira pretvorbu u trenutku uzorkovanja (ili oita njen rezultat ako je pretvorba obavljena do tog trenutka), a potom obavlja algoritam upravljanja. Ukupno transportno kanjenje sustava je: Td = Tc + T2 S obzirom da je T1,,T2

103

2. Proces uzorkovanja i memoriranja Ovo je osnovno svojstvo upravljanja raunalom koje je neophodno dobro razumijeti.

Vremenski kontinuirani signal nadomjeta se nizom brojeva (impulsa).

* *( ) ( ) ( )

( ) ( )

T

k

f t f t t

f kt t kT

=

= ==

f*(t) predstavlja izluene vrijednosti funkcije f(t) u trenucima t = kT. Signal f*(t) sadri informaciju a ne sadri energiju. Ekstrapolator formira (restaurira, rekonstruira) originalni signal f(t), a na temelju signala f*(t),

te se dobije _

( )f t . Ovaj signal sadri informaciju i energiju. Na slici je pretpostavljen ekstrapolator nultog reda (ZOH).

* ( ) Kronecerov delta slijed

1 0( ) diskretni impuls jedinine amplitude

0 0

Tk

t kT

za kk

za k

==

==

104

Impulsni element moe se promatrati kao modulator:

f(t) - modulirani signal T* - nositelj modulacije

Rekonstrukcija signala

elimo da fh(t) im bolje odgovara signalu f(t). Za dovoljno malu pogreku uslijed kvantizacije (velika rezolucija A/D pretvornika) vrijedi:

*( ) ( ) ( )t kT h t kTf t f kT f t= ==

Ako je uz to T dovoljno malo, onda je: ( ) ( )hf t f t

Signal fh(t) moe se izraziti kao zbroj pravokutnih signala visine f(kT) i irine T:

[ ]{ }[ ]

1

1

1

1 1

1

hk=-

-kTs -(k+ )Tsh

k=-

-Ts-kTs *

h hok=-

f (t)= f(kT) S(t - kT)- S t - (k + )T

S(t)s

F (t)= f(kT) e - es s

- eF (t)= f(kT) e = G (s)F (s)s

L

=

- dvostrana Laplaceova transformacija

105

Ovdje je:

01( )

Ts

heG ss

= Model lana za memoriranje signala izmeu dva uzastopna trenutka uzorkovanja (ZOH - ekstrapolator nultog reda) * -kTs

kF (s)= f(kT) e

= - dvostrana Laplaceova transformacija slijeda impulsa f*(t)

Dodatak: Oznaavanje idealnog impulsnog elementa

Utjecaj realnog impulsnog elementa na proces uzorkovanja

* *

* *

( ) ( )

0 ( ) - idealni sluajT

f f t p tp t

=

T - vrijeme potrebno za iniciranje uzorkovanja i pretvaranje uzorka u digitalni oblik

106

Pretpostavka: f(t) se smatra konstantnim u kT < t # kT+ (k=0, "1, "2, ...)

[ ]**

*

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

k

k

k

f t f kT S t kT S t kT

S t kT S t kTf t f kT

f t f kT t kT

=

=

=

= =

- konstanta proporcionalnosti za realni impulsni element 1 - konstanta proporcionalnosti za idealni impulsni element

[ ]{ }

* *

( ) ( ) ( ) ( 1)

1( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

hk

TskTs s

hek

she ho ho

f t f kT S t kT S t k T

eF s f kT e es

F s G s F s e G s F ss

=

=

= + =

= +

Obino se moe promatrati malom (nedominantnom) vremenskom konstantom sustava, i u praksi se zanemaruje, tj. impulsni element (A/D pretvornik) pretpostavlja se idealnim impulsnim elementom (vidi narednu sliku).

107

3. Laplaceova transformacija i frekvencijski spektar slijeda impulsa uzoraka f*(t) Cilj je odrediti frekvencijski spektar uzorkovanog signala f*(t). Pretpostavka je da se pri uzorkovanju koristi idealni impulsni element.

*

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

uz uvjet kauzalnosti ( ) 0 za 0

k kf t f t t kT f t t kT

f t t

= =

=

; mogua rekonstrukcija signala

- spektar uzorkovanog

signala uz 2s

g < ;

nije mogua rekonstrukcija signala

Pored osnovnog spektra *01( ) ( )F j F jT

= spektar F*(jT) sadri i vie harmonike (komplementarne komponente 1 ( )sF j jvT

+ . Idealni impulsni element u procesu uzorkovanja moe se tretirati kao generator harmonika. Prema tome, harmonici slijeda uzoraka u podruju frekvencija |Tg| # Ts / 2 uvaju u cijelosti informaciju sadranu u kontinuiranom signalu f(t) ako je

2s

g > . Problem preklapanja

spektara (engl. aliasing; frequency folding) nastaje u sluaju ako je 2

sg

< jer se tada gubi informacija signala f(t) i ne moe se rekonstruirati izvorni signal.

111

Proputanjem slijeda uzoraka kroz idealni niskopropusni filtar (hipotetski) dobije se izvorni

signal zakanjen za Td = 2 n0 / Ts samo ako je 2s

g < .

- amplitudna karakteristika idealnog niskopropusnog filtra

Nakon filtriranja:

Na temelju prethodnih izlaganja moe se zakljuiti da postoji ogranienje glede minimalne frekvencija uzorkovanja pri kojoj je mogue rekonstruirati signal iz slijeda uzoraka. Izbor minimalne frekvencije uzorkovanja zasniva se na impulsnom teoremu (Shannonov teorem, Nyquist-Shannonov teorem, teorem Koteljnikova):

Ako je Tg granina frekvencija signala f(t) i ako vrijedi: 2 2s gT =

Tada se sadraj informacija signala f(t) pri uzorkovanju u cijelosti sauva. Shannonov teorem nema posebne praktine vanosti u regulacijskoj tehnici. Zato se koriste praktine metode odreivanja vremena uzorkovanja u regulacijskoj tehnici.

112

Radi izbjegavanja pojave preklapanja spektara nastale zbog irokih frekvencijskih spektara signala u sustavima upravljanja nuno je filtrirati analogni signal prije uzorkovanja. U tu se svrhu koriste analogni prefiltri:

2

2 2( ) 2n

fn n

G ss s

= + +

Primjer realizacije filtra pomou operacijskog pojaala i RC mree:

113

4. Elementi za formiranje (rekonstrukciju) signala Cilj: Treba odrediti sklop koji e od impulsnog slijeda (npr. slijeda digitalnih vrijednosti upravljake veliine u(kT) ) tvoriti kontinuirani signal u(t). Dakle, treba odrediti sklop koji povezuje diskretni i kontinuirani dio sustava. Upravljaki signal kojeg generira raunalo po odreenom algoritmu (programu) nije mogue dovesti neposredno na objekt jer ne sadri energiju. Potrebno je takav signal dovesti na sklop za formiranje kontinuiranog signala. Dvije su zadae tog sklopa (elementa): - filtriranje viih harmonika u spektru diskretnog signala, - pretvorba slijeda digitalnih vrijednosti u kontinuirani signal.

Najbolje bi bilo da element za formiranje ima karakteristiku idealnog niskopropusnog filtra (NPF) i da generira u(t) koji u cijelosti rekonstruira ulazni signal na temelju u(0), u(T),...,u(kT),... Poto to nije mogue, u praksi se koriste rjeenja koja aproksimiraju funkciju idealnog NPF, odnosno generiraju aproksimativnu upravljaku (postavnu) veliinu ( )u t . Element za formiranje treba u stvarnom vremenu odrediti signal ( )u t za interval kT # t < (k+1)T za bilo koji k $0 na osnovi do tada poznatih numerikih vrijednosti u(kT), u[(k-1)T], u[(k-2)T],..., u(T), u(0) u trenucima kT, (k-1)T, ... , T, 0. Za procjenu promjene signala ( )u t u intervalu kT # t < (k+1)T vano je znati (procijeniti) brzinu promjene tog signala na poetku promatranog intervala t = kT. Za procjenu signala ( )u t u intervalu kT # t < (k+1)T posluimo se razvojem funkcije ( )u t u Taylorov red u navedenom intervalu (u okoliu t = kT):

(2) ( )_(1) 2( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ...

2! !u kT u kTu t u kT u kT t kT t kT t kT

= + + + + + gdje je:

114

(1)

2(2)

( )

( )( )

( )( )

.

.

( )( )

t kT

t kT

t kT

du tu kTdt

d u tu kTdt

d u tu kTdt

=

=

=

=

=

=

Meutim signal u(t) nije poznat; poznate su njegove vrijednosti na poetku intervala t = kT i u trenucima uzorkovanja koji prethode t = kT. Ako je T dovoljno malo, derivacije se mogu aproksimirati:

(1)

(1) (1)(2)

(2)2

( ) [( 1) ]( )

( ) [( 1) ] [( 1) ] [( 2) ]( ) [( 1) ]( )

( ) 2 [( 1) ] [( 2) ]( )

.

.

u kT u k Tu kTT

u kT u k T u k T u k Tu kT u k T T Tu kT

T Tu kT u k T u k Tu kT

T

= = =

+ =

Ovo se svodi na operacije : - memoriranja - transportnog kanjenja U regulacijskoj praksi koriste se elementi za formiranje (ekstrapolaciju): - nultog reda, - prvog reda.

115

4.1. Ekstrapolator nultog reda (ZOH) ZOH ( Zero Order Hold) koristi samo nultu komponentu Taylorovog reda:

_

( ) ( )u t u kT= za kT # t < (k+1)T, k = 0, 1, 2,...

ZOH pretvara slijed brojanih (digitalnih) vrijednosti uzoraka u(kT) u analogni signal ( )u t . Odziv ZOH na jedinini impuls (impulsni odziv, teinska funkcija) u t = 0 je:

0 0

0

1 1( ) ( ) ( )

1( )

Tsh h

Ts

h

g S t S t T G s es s

eG ss

= = =

Frekvencijska karakteristika ZOH:

2 22

0

20

0

0

1( )2

2

sin2( ) sgn sin

22

sinsin 22( )

2

2

T Tj jTj T j

h

Tj

h

sh

s

s

hs

s j

e e eG j TeTj j

TTG j T eT

T

G j T T

T Q Q

= = =

=

= =

= + = +

116

Za sgn[sin TT/2] > 0 Q = - 2 k B k = 0, 1, 2, ... Za sgn[sin TT/2] < 0 Q = (2k+1) B k = 0, 1, 2, ...

Iz prethodne slike se vidi slabljenje amplitude viih harmonika unutar osnovnog spektra slijeda uzoraka (0 # T # Ts/2). Ostale harmonike (dalje od Ts/2) proputa priguene. Prednosti ZOH:

- jednostavna izvedba, - moe se koristiti i za neperiodiko uzorkovanje, - iroka primjena.

117

Nedostaci ZOH: - rekonstrukcija je korektna samo za signale koji se ne mijenjaju tijekom intervala

uzorkovanja - velika pogreka rekonstrukcije:

max [( 1) ] ( ) max ( )ZOH k tf k T f kT T f t = + - fazna karakteristika ima iznos -B na T=Ts to utie na stabilnost sustava.

Ako bismo eljeli idealnu rekonstrukciju morali bismo primijeniti dodatno ZOH rekonstrukcijski filtar HR(s).

2

sin2

2

1( )

Tj

r T

T

eH jT

= - nekauzalni filtar

ZOH na zadovoljavajui nain obavlja zahtijevanu funkciju u sustavima automatskog upravljanja. Nefiltrirani vii harmonici na izlazu iz ZOH ne stvaraju ozbiljne probleme jer kontinuirani dio sustava (objekt upravljanja) ima svojstva niskopropusnog filtra.

118

4.2 Ekstrapolator prvog reda (FOH) FOH (First Order Hold) ekstrapolira podatak izmeu dva trenutka uzorkovanja pomou polinoma prvog reda (pravca).

_ ( ) [( 1) ]( ) ( ) ( )u kT u k Tu t u kT t kT

T = + za kT # t < (k+1)T.

Impulsni odziv ekstrapolatora 1. reda pobuen jedininim impulsom za k = 0 je:

_

0(0) ( )( ) (0) u u Tu t u t

T = +

Za 0 # t < T vrijedi u(-T) = 0 i u(0) = 1 (jedinini impuls), pa je prema tome odziv ekstrapolatora 1. reda u 0 # t < T:

10

_

0( ) ( ) 1htg t u tT

= = + Odziv u intervalu T # t < 2T moe se dobiti stavljanjem k = 1 u prvu jednadbu:

_

1( ) (0)( ) ( ) ( )u T uu t u T t T

T= +

Ovdje je u(T) = 0, u(0) = 1 pa slijedi:

11

_

1

_

1

1( ) ( ) 1

( ) ( ) 1h

tu t t TT T

tg t u tT

= =

= =

119

( ) ( )( )

1

1

1

1

_

2* 2 2 2

222 2

2

2

2( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 ( 2 )

( ) 1 1 1 1 1 1( ) 2( )

1 1( ) 1 2 1

1( ) 1

h

Ts Tsh

Ts Ts Tsh

Tsh

t t T t Tg t S t S t T S t TT T T

u sG s e eu s s Ts s Ts s Ts

Ts TsG s e e eTs Ts

TsG s eTs

= + + + + = = + + + +

+ += + = +=

Sa slike se vidi da ekstrapolacija pomou FOH nije bitno bolja u odnosu na ZOH (ak je u nekim dijelovima loija). Frekvencijska karakteristika FOH je:

( (

1

1

1

2

2

2

1 1( )

sin2 2( ) 1

2 2( )

j T

h

sh

s s

s

hs s

s j

j T eG jT

G j

arctg

=

+ = = +

=

120

- efikasnije filtrira od ZOH - unosi vee fazno zaostajanje - loije za stabilnost - procjena pogreke rekonstrukcije

2 max "( )FOH tT f t =

4.3. Frakcionalni (razlomljeni) ekstrapolator Modifikacijom ZOH i FOH pomou koeficijenta f dobije se frakcionalni ekstrapolator.

Mijenjanjem koeficijenta f mijenja se nagib, a time se moe utjecati na smanjenje pogreke.

121

( ) ( )

( ) ( )0

1

2

2

22

2

1( ) 1 1

1 0 ( )

1 1 1 ( ) 1

f

sTsT sT

h

sT

h

sTsT

h

e fG s fe es Ts

eZa f G ss

eZa f G s e

s Ts

= + = == = +

122

5. Opis linearnih diskretnih sustava pomou jednadbi diferencija

Trai se odnos izmeu ulaznih i izlaznih slijedova impulsa - Za kontinuirane sustave 6 diferencijalne jednadbe - Za diskretne sustave 6 jednadbe diferencija Potrebno je diferencijalne jednadbe prevesti u jednadbe diferencija. Aproksimacija diferencijalnog kvocijenta moe biti: a) unazadni kvocijent diferencija (engl. backward diference) - Eulerova 2. varijanta b) unaprijedni kvocijent diferencija (engl. forward diference) - Eulerova 1. varijanta a) unazadni kvocijent diferencija

2( 1)

2 2

( ) [( 1) ]

( ) 2 [( 1) ] [( 2) ]

.

.

t kT

t kT t k T

t kT

df f kT f k Tdt T

df dfdt dtd f f kT f k T f k T

Tdt T

=

= =

=

+ =

123

b) unaprijedni kvocijent diferencija

2( 1)

2 2

[( 1) ] ( )

[( 2) ] 2 [( 1) ] ( )

t kT

t k T t kT

t kT

df f k T f kTdt T

df dfdt dtd f f k T f k T f kT

dt T T

=

= + =

=

+

+ + + =

Primjer:

- unazadna diferencija - odgovarajua jednadba diferencija (vrijedi za dovoljno mali T)

Ovo je jednadba za rekurzivno izraunavanje izlaznog slijeda y(kT) na temelju ulaznog slijeda u(kT).

1

( ) ( ) [( 1) ]

1( ) (0 ) ( ) ( )

(0 ) 01

1 11

sT

sT

sT

df t f kT f k Tdt T

sF s f F s F s eT

fesT

zz e s zTz Ts

= =

== = =

1

( ) [( 1) ] ( )

1( ) (0 ) ( ) ( )

(0 ) 01

1 1

sT

sT

sT

df t f k T f kTdt T

sF s f F s e F sT

fes

Tzz e s z TsT

+

= ==

= = = +

{ }1

1

1

1

( ) ( ) ( )

( ) [( 1) ] ( ) ( )

1( ) [( 1) ] ( )1

dy tT y t u tdt

T y kT y k T y kT u kTT

Ty kT y k T u kTT TT

+ =

+ = = + +

124

Opi oblik jednadbe diferencija koja opisuje linearni vremenski invarijantni jednoulazni sustav n-tog reda s ulaznim slijedom u(k) i izlaznim slijedom y(k):

1 2

0 1

0 1

( ) ( 1) ( 2) ... ( )( ) ( 1) ... ( )

( ) ( ) ( )

n

mm n

y k y k y k y k nu k u k u k m

y k u k y k

= =

+ + + + == + + +

=

Ovaj oblik je prikladan za rjeavanje pomou raunala. u(k-

125

Uvoenjem kompleksne varijable:

1 lnsTz e s zT

= = dobije se:

[ ]* * *

1 ln

* 1

*

0

1( ) ( ) ( ) ln

( ) ( )

( ) ( ) ( )

s zT

k

k

F z Z f t F s F zT

f t Z F z

F z Z f t f kT z

=

=

= = = =

= =

Radi se o specijalnom obliku Laurentovog reda gdje ne nastaju pozitivne potencije kompleksne varijable z. Takoer, radi se o jednostranoj z-transformaciji koja je uobiajena za determinirane signale, dok se za sluajne signale treba koristiti dvostrana z-transformacija. Primjer:

*

0

*

0

1

( ) ( )

1( ) 11

1uz ( )1 1

Tk

kTs TsTs

k

Ts

t t kT

s e za ee

zz e zz z

=

=

=

= =

Primjer: f(t)=sin Tt - za studente Napomene: - Laplaceova i njena inverzna funkcija jednoznane su. - F(z) sadri informaciju samo o brojanim vrijednostima signal f(t) u trenucima

uzorkovanja (f(t) nije definirana na osnovi F(z)).

126

6.2. Preslikavanje iz s u z ravninu Kontinuirani signal moe se prikazati: - u vremenskom podruju kao f(t), - u podruju kompleksne varijable kao F(s) (preko polova i nula u s ravnini) Iz poloaja polova i nula moe se zakljuivati o nekim znaajkama signala u vremenskom podruju (oscilatornost, dinaminost, aperiodinost,...). Polovi predstavljaju interne veze u sustavu (dakle njegovo autonomno vladanje), a nule odraavaju vladanje sustava kada su interne varijable vezane na ulaze i izlaze (kako je sustav vezan na svoju okolinu). Slino tome, iz poloaja polova i nula u z-ravnini moe se zakljuivati na vladanje slijeda uzoraka f*(t). Preslikavanje podruja stabilnosti U daljnjim razmatranjima pretpostavlja se da je zadovoljen Shanonov teorem (odnosno nema preklapanja spektra). Razmotrimo u koje podruje u z ravnini e se preslikati primarni frekvencijski pojas iz s ravnine.

Pretpostavlja se da su svi polovi unutar omeenog podruja.

( (( (

1 2 1 ; 0 02

2 3 ; ; 02

3 4 0 preslikava se u nulu4 5 preslikava se u segment 0 do -1

5 1

j T j T s

sT T j s

T j T

z e e

z e e e

z e e

= = = =

= = = < = = ( ( 1 ; 0 0

2j T j T sz e e = = = =

Svi komplementarni pojasevi s-ravnine periodino se preslikavaju u istu krivulju u z-ravnini.

127

Preslikavanje podruja dozvoljenog vremena smirivanja (ustaljenja)

F - odreuje vrijeme ustaljenja 1

st Vrijeme ustaljenja bit e manje od ts ako svi polovi lee unutar omeenog podruja. Preslikavanje podruja zahtijevanog iznosa priguenja

2

2

2

1

cos

1 ; . ; 01

nn

n n n

j TTsT

Ts j konst

z e e e

=

= + = = =

128

rafirano podruje je podruje dozvoljenog vremena ustaljenja i iznosa priguenja Podruje dozvoljenog iznosa priguenja omeeno je spiralom iz toke 1 u toku 2. Kada se Tn mijenja

od 0 do 21

T modul vektora se mijenja od 1 do

21e

,a argument od 0 do B.

6.3. Inverzna z transformacija Inverznom (obrnutom) z transformacijom dobije se original f*(t) ili slijed uzoraka f(kT), k = 0, 1, 2, ... na osnovi F(z). Razmotrit emo tri postupka inverzne z-transformacije. a) Razvoj F(z) u red potencija z-1 (Laurentov red - Power Series Method)

0 01 2

( ) ( ) ( )

( ) (0) ( ) (2 ) ...

kTs k

k kF z f kT e f kT z

F z f f T z f T z

= =

= == + + + - definicijska jednadba

f(0), f(T), f(2T),... su vrijednosti signala u trenucima uzorkovanja, a to su ujedno i koeficijenti u razvoju funkcije. Da bi se dobile ove vrijednosti potrebno je razviti F(z) po z-1. Za sluaj realne racionalne funkcije to se postie dijeljenjem polinoma u brojniku i polinoma u nazivniku. Primjer:

2

3 2

2 3 2 1 2 3 4

1 2 3 4

1( )5 1

( 1) : ( 5 1) 3 7 ...( ) 0 3 7 ...( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 3 ( 3 ) 7 ( 4 )

zF zz z z

z z z z z z z zF z z z z zf kT t t T t T t T t T

+= + + ++ + + + = + += + + += + +

Nedostatak:

Da bi se odredila vrijednost funkcije f(t) u nekom trenutku uzorkovanja f(kT), potrebno je odrediti sve vrijednosti f(t) u prethodnim trenucima uzorkovanja.

b) Rastavljanjem F(z) u zbroj parcijalnih razlomaka Kod ove metode primjenjuju se tablica za inverznu z transformaciju. Pri tom je potrebno F(z) rastaviti na parcijalne razlomke koji se pomou tablica prebacuju u vremensko podruje.

129

z se nalazi svugdje u brojniku

- razlaganje u parcijalne razlomke realne racionalne funkcije

1 2

1 2

( ) ...z z zF z A A Az z z z z z

= + + + gdje su: A1,A2,...,A< - rezidui funkcije F(z) na polovima z1,z2,...,z< - polovi funkcije F(z) Za sluaj da F(z) ima konjugirano kompleksne polove parcijalni razlomci imaju sloeniji oblik. Primjer:

2 2

2

231 2 4

2

10.22

20.12

3

4

( 1)( ) ; ( ) ?( 0.8)( 1)( 0.8)

( ) ( 1)( 0.8)( 1)( 0.8) 1 0.8 (0.5 0.74) (0.5 0.74)

18.75

15.3 0.8

1.2 0.5 0.741.2

( )

j

z z zF z f kTz z z z

AA A AF z z z zz z z z z z z z j z j

AA eA j j eA jF z

+ += = ++ += = + + + + +

== == + ==

0.22 0.12 0.12

0.22 0.12

/

( ) 18.75 15.3 ( 1.2 ) ( 1.2 )1

( ) 18.75 ( ) 15.3 2.4cos 2sin

j j

t tT T

zz

z z z zF z j jz z e z e z e

t ty t S t e eT T

+

= + + + = +

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

22

3 3

1

1

1

atat

atat

at

at atat

at

zZ ez e s a

Te zZ tes az e

T e z z eZ t e

s az e

= + = +

+ = +

130

Primjeri za studente:

1. ( )2

2 2( )

( 1) 1zF z

z z z= +

2. ( 0.1)( )

( 0.2)( 0.3)( 0.4)z zF z K

z z z+=

c) Primjenom teorema o reziduima - Cauchijev teorem

00 1 2 1

1 1 2 3 1

( ) ( )

( ) ( ) (2 ) ... ( ) ... /

( ) ( ) ( ) (2 ) ... ( ) ...

k

kk k

k k k k

F z f kT z

f o z f T z f T z f kT z z

F z z f o z f T z f T z f kT z

=

= == + + + + +

= + + + + +

ovo je Laurentov red

(razvoj funkcije F(z)zk-1 oko z=0)

Iz Cauchijevog teorema (formule) za koeficijente ovo Laurentovog reda slijedi za pozitivne vrijednosti kompleksni krivuljni integral:

11( ) ( )

2kf kT F z z dz

j

= v k=1, 2, ...s

Krivulja ' obuhvaa sve polove funkcije F(z) u z ravnini (integracija u smjeru obrnutom od kazaljke na satu). Postupak je sljedei: { }( ) Res ( ) k

z zf kT F z z

==

z< - polovi od F(z)zk-1, tj polovi od F(z). Za jednostruki pol z = z1 reziduum se rauna na sljedei nain: { }

11

1 11Res ( ) lim( ) ( )

k k

z zz zF z z z z F z z = =

Ako je F(z) razlomljena funkcija ( )1 ( )( )

B zkA zF z z

= i ako je z1 jednostruka nula od A(z), tada vrijedi za

1

( )'( ) 0dA zdz z zA z == :

1

( ) ( )Res( ) '( )

z z

B z B zA z A z=

=

131

Za q-struki pol u z = z1 dobije se:

{ }11

11 1

11

1Res ( ) lim ( ) ( )( 1)!

qk q k

qz zz z

dF z z z z F z zq dz

= =

Primjer:

2 2

2

( 1)( ) ; ( ) ?( 1)( 0.8)( 0.8)

z z zF z f kTz z z z

+ += = + - studenti sami Primjer:

8( )( 1)( 2)

zF zz z

=

2 22

21 1

1

2

8 8( ) Re ( 3 2) 2 33 2 2 3

12

8 1 8 2( ) 8( 1 2 ), 0, 1, 21 1

k k

i z zz z

k kk

z z df kT s z z zz z z dz

zz

f kT k

= = ==

= = + = + ==

= + = + =

6.4. Svojstva z transformacije Poznavajui svojstva z transformacije moe se u praksi olakati njeno koritenje. 1. Linearnost

1 2 1 2

[ ( )] ( )a konstanta

[ ( ) ( )] ( ) ( )

Z af t aF z

Z f t f t F z F z

=

+ = +

132

2. Teorem o pomaku u vremenskom podruju Ako je F(z) = Z [f(t)] onda je

1

0

[ ( )] ( )

[ ( )] ( ) ( )

n

nn i

i

Z f t nT z F z

Z f t nT z F z f iT z

=

= + =

n - proizvoljna cjelobrojna konstanta 3. Teorem o promjeni mjerila u z podruju

( ( )1 ln[ ( )] ( ) Tat ats zZ e f t F s a F z e== = - manifestira se kao promjena skale (mjerila) u z-podruju 4. Teorem o poetnoj vrijednosti

0

1 2

0

(0) lim ( ) lim ( )

( ) ( ) (0) ( ) (2 ) ...

k z

k

k

f f kT F z

F z f kT z f f T z f T z

=

= =

= = + + +

5. Teorem o konanoj vrijednosti

1

1 1lim ( ) lim(1 ) ( ) lim( 1) ( )k z z

f kT z F z z F z = = Dokaz teorema o konanoj vrijednosti: Polazi se od sljedea dva konana niza

1 2

0

1 2 3

0

( ) (0) ( ) (2 ) ... ( )

[( 1) ] (0) ( ) (2 ) ... [( 1) ]

nk n

kn

k n

k

f kT z f f T z f T z f nT z

f k T z f z f T z f T z f n T z

=

=

= + + + +

= + + + +

Usporedbom oba niza:

11

0 0[( 1) ] ( )

n nk k

k kf k T z z f kT z

= =

=

Odredimo granini vrijednost razlike nizova za z61:

133

1 11

1 0 0 0 0lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n nk k

z k k k kf kT z z f kT z f kT f kT f nT

= = = =

= = Sada potrimo vrijednost od f(nT) kada n64:

11

1 1 0 0

11 1

1 10 0

1

1

lim ( ) lim lim ( ) ( )

limlim ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim(1 ) ( )

n nk k

n n z k k

n nk k

z n zk k

z

f nT f kT z z f kT z

f kT z z f kT z F z z F z

z F z

= =

= =

= = = = =

=

6. Teorem o parcijalnoj derivaciji Neka je F(z,a) z transformacija funkcije f(t,a) gdje je a nezavisna varijabla ili konstanta. Tada vrijedi:

[ ]( , ) ( , )f t a F z aZa a

= Primjena ovog teorema je u definiranju funkcije osjetljivosti digitalnih sustava. 7. Konvolucijska suma Neka su f1(t) i f2(t) kauzalne funkcije. Tada vrijedi:

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )n

mF z F z Z f mT f nT mT

=

= Dodatak (operator pomaka)

1

( ) ( 1)( ) ( 1)

qf k f kq f k f k

= +=

- unaprijedni operator pomaka (jedinino prethoenje)

- unazadni operator pomaka (jedinino kanjenje)

Formalno je qz, meutim q je operator, a z je kompleksna varijabla. Slino je i u kontinuiranim sustavima:

d pdt

p s

=

=

- to je takoer operator (diferencijalni)

- p je operator, a s je kompleksna varijabla

Zakljuna napomena: Red polinoma nazivnika u prijenosnoj funkciji G(s) mora biti vei od

reda polinoma u brojniku.

134

7. Uvod u analizu stabilnosti Stabilnost sustava je osnovni i najvaniji pokazatelj vladanja sustava. Nuan uvjet za tehniku primjenjivost sustava upravljanja jest njegova stabilnost. Dovoljan uvjet sa stajalita primjene sustava upravljanja odreeni su vladanjem sustava u dinamikim i stacionarnim stanjima i to preko pokazatelja kakvoe. Prije poetka analize stabilnosti linearnih diskretnih sustava neophodno je odrediti ekvivalentnu diskretnu prijenosnu funkciju analiziranog sustava.

Zbog slinosti blokovskog prikaza sustava sa zatvorenom povratnom vezom u diskretnom podruju sa sustavom u kontinuiranom podruju logino je da se povuku odreene analogije u analizi stabilnosti kontinuiranih sustava i diskretnih sustava.

135

- Stabilnost sustava s obzirom na poloaj polova:

Sustav je stabilan ako se svi polovi prijenosne funkcije zatvorenog sustava nalaze unutar jedininog kruga u z ravnini. U tom sluaju govorimo o asimptotski stabilnom sustavu. Openito, razlikuju se dva tipa stabilnosti: unutarnja (interna) stabilnost vanjska (eksterna) stabilnost Unutarnja stabilnost odnosi se na vladanje internih varijabli (varijabli stanja) sustava uz djelovanje samo poetnih uvjeta (poetna stanja varijabli stanja); vanjske pobude ne postoje. Vanjska stabilnost odnosi se na vladanje sustava pri djelovanju vanjskih pobuda (vodee veliine i smetnje).

Ako na sustav djeluje vanjska pobuda ogranienog iznosa i ako je pri tome odziv sustava takoer ogranien, onda je sustav stabilan u smislu vanjske stabilnosti i kaemo da je BIBO stabilan (engl. Bounded Input Bounded Output). Stabilan autonomni sustav je BIBO stabilan! U tehnikim sustavima obino se operira s pobudama ogranienog iznosa pa je, dakle, obino dovoljno ispitati unutarnju stabilnost, tj. analizirati sustav kao autonomni sustav.

136

8. Kriteriji stabilnosti

KONTINUIRANI SUSTAVI DISKRETNI SUSTAVI

a) algebarski (analitiki) kriteriji

C Routh-Hurwitzov kriterij (u s-ravnini)

C Kriterij Schur-Cohna (nepraktian) C Kriterij Jurya (u z-ravnini)

[

Daju uvid u apsolutnu nestabilnost

b) grafiki (grafoanalitiki) kriteriji

C Nyquistov kriterij C Kriterij Mihajlova (u G0(jT)

ravnini)

C Nyquistov kriterij (u G0(z) ravnini - nepraktian)

C Krivulja mjesta korijena (root

locus)- KMK (u s-ravnini) C Krivulja mjesta korijena (root

locus) - KMK (u z-ravnini) C Bodeov dijagram (u jT ravnini) C Bodeov dijagram (u jw ravnini)

[

Daju uvid u relativnu nestabilnost (stupanj oscilatornosti, amplitudno osiguranje, fazno osiguranje)

8.1. Kriterij stabilnosti prema Juryu Temelji se na kriteriju Schur-Cohna. Polazite pri analizi stabilnosti prema Juryu (odnosno Schur-Cohnu) je karakteristina jednadba:

20 0 1 2( ) 1 ( ) ... 0

nnf z G z a a z a z a z= + = + + + + =

137

Za analizu stabilnosti oblikuje se sljedea tablica: Red z0 z1 z2 . . . zn-k . . . zn-2 zn-1 zn

1 a0 a1 a2 . . . an-k . . . an-2 an-1 an 2 an an-1 an-2 . . . ak . . . a2 a1 a0 3 b0 b1 b2 . . . bn-k . . . bn-2 bn-1 4 bn-1 bn-2 bn-3 . . . bk-1 . . . b1 b0 5 c0 c1 c2 . . . cn-k . . . cn-2 6 cn-2 cn-3 cn-4 . . . cn-2 . . . c0 . . .

2n-5 p0 p1 p2 p3 2n-4 p3 p2 p1 p0 2n-3 q0 q1 q2

Koeficijenti u redovima (2k+2) i (2k+1) poredani su obrnutim redoslijedom k = 0, 1, 2,...

0 0 1

1

0 2 0 30

2 3 0

0 2 0 11 2

3 1 3 2

;

; ...

;

n k n kk k

n k n k

n kk

n k

a a b bb c

a a b b

c c p pd q

c c p p

p p p pq q

p p p p

= =

= =

= =

Nuni i dovoljni uvjeti da korijeni karakteristine jednadbe budu po iznosu manji od 1. a) f(1) > 0 (-1)nf(-1) > 0 b) |a0| < |an| Ako neki od navedenih uvjeta nije ispunjen, |b0| > |bn-1| sustav je nestabilan. |c0| > |cn-2| |d0| > |dn-3| . . |q0| > |q2|

138

Primjer

2 3 4

0( ) 1 ( ) 1 2 3 2 0f z G z z z z z= + = + + = n = 4; a0 = 1

a1 = -1 a2 = 2 a3 = -3 a0 = 2

a) f(1) = 1 - 1 + 2 - 3 = 1 > 0 (-1)4f(-1) = 1 + 1 + 2 + 3 + 2 = 9 > 0 ispunjen uvjet a) Shema koeficijenata

Red z0 z1 z2 z3 z4

1 1 -1 2 -3 2

2 2 -3 2 -1 1

3 -3 5 -2 -1

4 -1 -2 5 -3

5 8 -17 11

0 1

2 3

0 1

2

0 4

0 3

0 2

1 2 1 31 4 3 ; 1 6 5

2 1 2 1

1 2 1 12 4 2 ; 3 2 1

2 2 2 3

3 1 3 29 1 8 ; 15 2 17

1 3 1 5

3 56 5 11

1 2

1 2

3 1

8 11

b b

b b

c c

c

a a

b b

c c

= = = = = + == = = = = + =

= = = = = = = = + =

< >> >

Sustav je nestabilan jer nije zadovoljen zadnji uvjet ( 8 > 11 ).

139

Primjer

2

0 0 1( ) 1 ( )f z G z a a z z= + = + +

Red z0 z1 z2

1 a0 a1 1 a) f(1) = a0 + a1 + 1 > 0 6 a0 > - a1 -1 (-1)2f(-1) = a0 - a1 + 1 > 0 6 a0 > a1 -1 b) | a0 | < | a2 | 6 | a0 | < 1 8.2. Analiza stabilnosti diskretnog sustava primjenom kriterija Routh - Hurwitz Zamisao:

Primijeniti frekvencijske metode analize i sinteze kontinuiranih sustava i u analizi i sintezi diskretnih sustava (Routh-Hurwitz, Nyquist, Bode)

Polazite je karakteristini polinom:

0 01 ( ) 1 ( )sTG z G e+ = +

Ovaj polinom ima oblik transcedentne funkcije pa se ne mogu primijeniti metode analize i sinteze iz kontinuiranih sustava. Iz tog razloga se uvodi bilinearna transformacija.

1

1

1 1 1 1 1 1

w z zz ww z z

+ = = = + + Bilinearna transformacija preslikava jedinini krug s centrom u ishoditu z ravnine u lijevu poluravninu kompleksne w ravnine.

140

Svi frekvencijski pojasi iz s ravnine preslikavaju se u jedinini krug u z ravnini. Bilinearnom transformacijom, jedinini krug iz z ravnine preslikava se u lijevu poluravninu. Vrijedi: < - relativna pseudofrekvencija (fiktivna frekvencija) < je bezdimenzionalna veliina. Vrijedi:

2 2s s - promjena frekvencijskog mjerila

11 2 2

12 2

1 1 1 1

2

2

j Tz e

T Tj jj T

T Tj T j j

z e e ew wz e e e

Tw jtg j

Ttg

=

= = =+ + +

= =

=

141

Primjer:

3 20

3 2

1

3 21

1 ( ) ( ) 1,8 1,04 0,192 01 11 1 1 1( ) 1,8 1,04 0,192 01 1 1 1

( ) 4,032 3,184 0,736 0,048 0

G z f z z z zwzww w w wf z fw w w w

f w w w w

+ = = + =+= + + + + = = + =

= + + + = Primjena Hurwitzovog kriterija: a) svi koeficijenti su istog predznaka, b) svi koeficijenti su razliiti od nule, c) za sve determinante i subdeterminante mora vrijediti:

2 0

3 1

2 0

00 0

0n

a aa a

a a = >

Kriteriji a) i b) su ispunjeni. Ispitujemo kriterij c).

Sustav je stabilan!

Primjenom w transformacije mogu se u analizi i sintezi diskretnim sustava koristiti i druge metode kontinuiranih sustava (Nyquist, Bode, KMK,....).

1 2

2 02

3 1

3

3,184 03,184 0,048

2,15 04,032 0,736

3,184 0,048 04,032 0,736 0 0,103 0

0 3,184 0,048

aa aa a

= = > = = = >

= = >

IV. DIGITALNI REGULATORI

142

2. PRIMJENE DIGITALNIH REGULATORA

2.1. Uvodna razmatranja

Openito se regulatori (i algoritmi upravljanja) mogu svrstati u dvije skupine:

a) parametarski optimirani regulatori; b) strukturno optimirani regulatori.

Sukladno tome, razlikuju se parametarski optimirani sustavi upravljanja i strukturno optimirani sustavi upravljanja. U primjenama parametarski optimiranih regulatora, struktura regulatora unaprijed je poznata; potrebno je odrediti optimalne parametre regulatora s obzirom na upravljani proces, upotrebljavajui pri tome kriterije optimiranja ili pravila za odreivanje parametara regulatora.

U primjenama strukturno optimiranih regulatora, potrebno je odrediti optimalnu strukturu i optimalne parametre regulatora na temelju strukture i parametara procesa.

Obje se skupine regulatora mogu podijeliti u podskupine (Sl. 2.1.).

Projektiranje linearnih regulatora

Parametarski optimiraniregulatori

Strukturno optimiraniregulatori

Opci linearniregulator

Kompenzacijskiregulator

Regulatorstanja

Nultired

Prvired

Drugired

Trecired

Regulatorstanja

Modalniregulator

stanja

Linearniregulator

Pravilapodeavanja

Rasporedpolova

Kriterijkakvoce

Kriterijkakvoce

Rasporedpolova

Konacnovrijeme

postavljanja

Zadano vladanjezatvorenog

sustava

Kriterijkakvoce

Zadavanjepolova

"Minimumvariance"regulator

Kompenza-cijski

regulator

"Deadbeat"regulator

P-I- PD-,

PI-PID-

Opcilinearni

regulatorRegulator

Glavneskupine

Podskupine

Naceloprojektiranja

Regulator

Vanjskasmetnja:deterministickiastohasticka

--

xx

xx

x-

x-

-x

xx

Sl. 2.1. Klasifikacija regulatora.

Meu kriterijima kakvoe vano mjesto imaju integralni kriteriji kakvoe. Integralni kriteriji kakvoe za vremenski diskretne signale koji se koriste pri projektiranju regulatora,

143

odnosno pri sintezi sustava upravljanja su kako slijedi (u narednim se razmatranjim regulacijkso odstupanje e(kT) oznaava kao e(k)):

I e kk

10

==

b g - linearna povrina regulacijskog odstupanja, I e k

k2

0

==

b g - linearna povrina apsolutne vrijednosti regulacijskog odstupanja, I e k

k3

2

0

==

b g - kvadratina povrina regulacijskog odstupanja, I e k k

k4

0

==

b g - vremenski oteana linearna povrina regulacijskog odstupanja, I e k k

k5

2

0

==

b g - vremenski oteana kvadratina povrina regulacijskog odstupanja, I e k e k

k6

2 2

0

= +=

b g b g - poopena kvadratina povrina regulacijskog odstupanja (uzima se u obzir kvadrat derivacije regulacijskog odstupanja),

I e k ru kk

72 2

0

= +=

b g b g - poopena kvadratina povrina regulacijskog odstupanja (uzima se u obzir kvadrat upravljake veliine).

Pri projektiranju regulatora stanja koristi se kriterij:

I x k Qx k ru kTk

82

0

= +=

b g b g b g .

Zahtjevi na vladanje sustava u stacionarnom stanju specificiraju se neovisno o izboru kriterija kakvoe. Da bi se postiglo da regulacijsko odstupanje u stacionarnom stanju bude nula (e=0), to jest da bude

lim limk z

e k z e z = =b g b g b g1 1 0, (2-1) openito je potrebno odabrati regulator s integralnim djelovanjem viestrukosti n (n = 1, 2, 3):

G zQ z

P z zR nb g b gb gb g= 1 . (2-2)

2.2. Parametarski optimirani regulatori

Kao to je u uvodnim razmatranjima reeno, parametarski optimirani regulatori su regulatori kojima je struktura unaprijed definirana i ne prilagoava se strukturi upravljanoga procesa. eljeno vladanje sustava upravljanja postie se odreivanjem odgovarajuih vrijednosti parametara regulatora.

144

Za razliku od strukturno optimiranih regulatora, koji mogu imati sloenu strukturu s velikim brojem parametara (i vie od deset parametara), parametarski optimirani regulatori openito imaju jednostavnu strukturu s malim brojem parametara (obino ne vie od tri parametra). Prema tome, parametarski optimirani regulatori manje su fleksibilni od strukturno optimiranih regulatora. Zbog toga se ovim regulatorima, openito, ne moe postii kvaliteta upravljanja kakva se moe postii strukturno optimiranim regulatorima. Unato tome, parametarski optimirani regulatori ee se primjenjuju od strukturno optimiranih regulatora jer u velikom broju sluajeva daju zadovoljavajuu kvalitetu upravljanja, a odreivanje optimalnih vrijednosti njihovih parametara znatno je jednostavnije. Naravno, jednostavnije je optimirati regulator s dva-tri parametra nego regulator s deset-dvadest parametara. Najpoznatiji parametarski oprimirani regulator je PID regulator.

U dananje se vrijeme uglavnom primjenjuju digitalni regulatori koji se dobivaju diskretizacijom odgovarajuih kontinuiranih (analognih) regulatora. Pri tome se nastoji da vladanje digitalnog regulatora to bolje opisuje vladanje analognog regulatora, tj. da digitalni regulator emulira analogni regulator. Na taj se nai iskustva steena s analognim regultorom mogu iskoristiti pri radu s digitalnim regulatorom. Emulacija analognog regulatora digitalnim bit e zadovoljavajua ako je vrijeme uzorkovanja dovoljno malog iznosa.

Digitalni PID regulator koji emulira izvorni analogni PID opisan je u toki 2.2.1, a digitalni algoritmi nieg reda koji se primjenjuju kada je vrijeme uzorkovanja tako veliko da nije mogue primijeniti digitalne regulatore dobivene diskretizacijom analognih opisani su u toki 2.2.2. U toki 2.2.3 opisani su postupci izbora vremena uzorkovanja.

2.2.1. Digitalna izvedba PID regulatora

PID regulatori su najee primjenjivani regulatori za upravljanje industrijskim procesima. Izvorno su se izvodili u analognoj tehnici, bilo kao mehaniki, hidrauliki, pneumatski ili elektriki. Najee je primjenjivana elektrika izvedba primjenom sklopova analogne elektronke, npr. primjenom operacijskih pojaala i pasivnih elektronikih komponenata. PID regulatori izvedeni u analognoj tehinici rade s kontinuiranim veliinama, pa se nazivaju i kontinuiranim PID regulatorima.

U dananje se vrijeme uglavnom primjenjuju digitalne izvedbe PID regulatora. Na tritu se najee pojavljuju digitalni PID regulatori izvedeni u samostalnim mikroprocesorskim ureajima (engl. loop controllers) i PID regulatori izvedeni kao standardni programski moduli u programirljivim logikim kontrolerima i procesnim raunalima.

Digitalni PID regulatori dobivaju se diskretizacijom analognog PID regulatora. Ovisno o primjenjenom postupku diskretizacije razlikuje se vie vrsta digitalnih PID regulatora, ali se uvijek nastoji da digitalni regulator emulira analogni regulator. Takav se digitalni PID regulator ponekad naziva kvazikontinuiranim PID regulatorom. Digitalni PID regulator dobro e emulirati analogni PID regulator, ako je vrijeme uzorkovanja malo. U ovoj se toki pretpostavlja da je vrijeme uzorkovanja malo pa se opisuju praktini aspekti izvedbe uz pretpostavku da se radi o analognom PID regulatoru, a tek se na kraju daju postupci diskretizacije.

145

Primjer za ilustraciju raznih aspekata izvedbe PID regulatora: Osnovna konfiguracija regulacijskog kruga s PID regulatorom prikazana je na slici 2.2.

Utjecaji raznih modifikacija osnovnog algoritma PID regulatora i dodatnih funkcija ispitani su simulacijskim eksperimentima ovog regulacijskog kruga.

ProcesPIDRegulatory(t)

z(t)

-+

xR(t) u(t)+

e(t)

(t)

+

+ +

xR(t) - referentna velicina e(t) - regulacijsko odstupanjeu(t) - upravljacka velicina z(t) - poremecajna velicina

(t) - mjerni umy(t) - izlazna (regulirana) velicina Sl. 2.2. Regulacijski krug s PID regulatorom.

Za opis procesa odabrana je prijenosna funkcija (veliki broj industrijskih procesa moe se opisati ovakvom prijenosnom funkcijom):

G s K eT ss

sT s

s

t

( ) = +

1 (2-3)

gdje je:

Ks pojaanje procesa, Ts vremenska konstanta procesa, Tt transportno kanjenje (mrtvo vrijeme).

Koritene su vrijednosti parametara prijenosne funkcije procesa: Ks = 1; Ts = 1s; Tt = 0.2 s. Analogni (kontinuirani) PID regulator:

Idealni (knjiki) PID regulator:

u t K e tT

e d Tde t

dtR I

t

Db g b g b g b g= + +LNMOQP

B B Bz10

P' I' D', (2-4)

gdje je:

KR - proporcionalno pojaanje regulatora, TI - integralna vremenska konstanta, TD - derivacijska vremenska konstanta.

Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (2-4) dobije se prijenosna funkcija idealnog PID regulatora:

146

G s KT s

T s K T s T T sT sRI R I

D RI D I

Ib g = + +LNM

OQP =

+ +1 1 12

. (2-5)

Blokovski prikaz idealnog PID regulatora dan je na slici 2.3. Ovaj se oblik PID regulatora naziva i standardnim ili neinteraktivnim, a ponekad i paralelnim oblikom.

P'

I'

D'

U(s)E(s)+

++

KR

Sl. 2.3. Idealni PID regulator.

isti paralelni oblik PID regulatora:

Izraz (2-4) moe se napisati u sljedeem obliku:

u t K e t K e d Kde t

dtu t u t u tP I

t

D P I Db g b g b g b g= + + = + +B B Bz 0

( ) ( ) ( )

P I D, (2-6)

gdje je:

K KP R= - koeficijent proporcionalnog djelovanja, K K

TIR

I

= - koeficijent integralnog djelovanja,

K K TD R D= - koeficijent derivacijskog djelovanja. Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (2-6) dobije se prijenosna funkcija PID regulatora izvedenog u istom paralelnom obliku:

G s K Ks

K sK K s K s

sRP PI

DI p Db g = + + = + +

2

. (2-7)

Blokovska shema istog paralelnog PID regulatora prikazana je na slici 2.4.

147

P

I

D

U(s)E(s)+

++

UP(s)

UI(s)

UD(s)

Sl. 2.4. ista paralelna izvedba PID regulatora.

Opisane dvije izvedbe PID regulatora funkcijski su potpuno identine. Meutim, razliito je znaenje njihovih parametara. ista paralelna izvedba je openitija, pa prema tome i fleksibilnija, ali njeni parametri nemaju fizikalno znaenje.

Serijski (ineraktivni) oblik PID regulatora:

Veina komercijalnih PID regulatora izvedena je u tzv. serijskom odnosno interaktivnom obliku:

G s KT s

T s K T T s T T sT sRS RS IS

DS RSIS DS IS DS

ISb g = + + = + + +( )( ) ( )1 1 1 1

2

. (2-8)

Blokovska shema interaktivnog PID regulatora prikazana je na slici 2.5.

I

P

D

E(s) U(s)+

+ +

+

Sl. 2.5. Serijska (interaktivna) izvedba PID regulatora.

Interaktivni PID regulator moe se uvijek pretvoriti u ekvivalentni neinteraktivni PID regulator, dok obrano ne vrijedi. Interaktivnom PID regulatoru (2-8) ekvivalentni neinteraktivni PID regulator (2-5) imao bi parametre:

K K T TT

T T T T T TT TR RS

IS DS

ISI IS DS D

IS DS

IS DS

= + = + = +; ; . (2-9)

Neinteraktivni regulator (2-5) moe se pretvoriti u ekvivalentni interaktivni regulator (2-8) samo ako je ispunjen uvjet T TI D 4 . Parametri ekvivalentnog interaktivnog regulatora izraunaju se prema sljedeim izrazima:

148

K K T TRS R D I= + 2 1 1 4( / ), (2-10)

T T T TIS I D I= + 2 1 1 4( / ), (2-11)

T T T TDS I D I= 2 1 1 4( / ). (2-12) Prijenosna funkcija (2-8) moe se napisati u sljedeem obliku:

G s K T TT

KT s

K T sRS RS IS DSIS

RS

ISRS DSb g = + + +1 , (2-13)

odakle se primjenom inverzne Laplaceove transformacije dobije jednadba serijskog regulatora u vremenskom podruju:

u t K T TT

e t KT

e d K Tde t

dtRSIS DS

IS

RS

IS

t

RS DSb g b g b g b g= + + +B B B

z 0

P I D. (2-14)

Prema tome, najopenitija struktura PID regulatora je ista paralelna struktura pa se u nastavku ona obrauje. Pri podeavanju PID regulatora u praksi se mora voditi rauna u kojem je obliku PID regulator izveden, jer znaenja parametara ovise o strukturi.

Prijenosne funkcije (2-5), (2-7) i (2-8) su nekauzalne (red polinoma u brojniku vei od reda polinoma u nazivniku) pa izvedba PID regulatora s tim prijenosnim funkcijama nije mogua. Umjesto idealnog derivatora (uD(t)=KRTDde(t)/dt; UD(s)=KRTDs) mora se primijeniti realni derivator:

T dudt

u K T dedt

D DD R D + = , (2-15)

gdje je skalar tipine vrijednosti 5 do 20. Prijenosna funkcija realnog derivatora (2-15) glasi:

D s K T sT sR D

D( ) =

+1 . (2-16)

Prema tome, realni je derivator dobiven filtriranjem idealnog derivatora filtrom prvoga reda vremenske konstante TD/.

Modifikacije osnovnog PID algoritma:

U nastavku se obrauju modifikacije osnovnog algoritma PID regulatora, koje treba izvesti u svakom profesionalnom PID regulatoru namijenjenom irokoj industrijskoj primjeni.

149

Struktura PID regulatora s dva stupnja slobode podeavanja parametara:

PID regulator izveden prema osnovnoj strukturi esto ne moe dati istodobno dobro vladanje regulacijskog sustava s obzirom na referentnu veliinu i s obzirom na poremeajnu veliinu. Zbog toga je u nekim sluajevima potrebno izmjeniti njegovu strukturu tako da se omogui zasebno podeavanje parametara s obzirom na poremeajnu veliinu i s obzirom na referentnu veliinu. Struktura PID regulatora koja to omoguuje prikazana je na slici 2.6. Za razliku od osnovne strukture, koja ima samo jedan stupanj slobode podeavanja parametara, ova struktura ima dva stupnja slobode podeavanja parametara.

KR

U(s)

XR(s)

+

++

KRTIs

KRTDs1+sTD/

b

1

c

Y(s)

+

+

+

-

-

-1

1+Tfrs

XR1(s)

EP(s)

ED(s)

E(s)

Sl.2.6. Struktura PID regulatora s dva stupnja slobode podeavanja parametara.

Prijenosna funkcija PID regulatora strukture prikazane na slici 2.6 glasi:

U s K bX s Y s KT s

E s K T sT scX s Y s

K E s KT s

E s K T sT sE s

R RR

I

R D

DR

R PR

I

R D

DD

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

= + ++

=

= + ++

1

1

. (2-17)

gdje su b i c koeficijenti koji poprimaju vrijednosti u intervalu [0, 1]. Podeavanje parametara dvostupanjske strukture PID regulatora odvija se u dva koraka:

1. Parametri regulatora (KR, TI, TD) podese se za dobru kompenzaciju poremeaja; 2. Podeavaju se koeficijenti b (0 b 1) i c (0 c 1) dok se ne postigne eljeno

vladanje s obzirom na referentnu veliinu.

Ako se koeficijenti b i c postave na jedinini iznos, dvostupanjski regulator postaje identian osnovnom regulatoru, a ako se postave na nulti iznos, P-lan i D-lan regultora djeluju samo na mjerni signal (signal povratne veze).

Na slici 2.7 prikazani su odzivi regulacijskog sustava na skokovitu promjenu referentne veliine i poremeajne veliine, s dvostupanjskim PID regulatorom uz razliite vrijednosti koeficijenata b i c. Uoljivo je da iznosi koeficijenata b i c utjeu na promjenu odziva na referenu veliinu, dok kompenzacija poremeaja ostaje nepromijenjena.

150

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

t[s]

yb=1;c=1b=1;c=0b=0.5;c=0b=0;c=0

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

t[s]

u

b=1;c=1b=1;c=0b=0.5;c=0b=0;c=0

1234

1234

12

3

1

2

3

4

4

Sl. 2.7. Odzivi regulacijskog sustava s dvostupanjskim PID regulatorom.

Dodatna se fleksibilnost strukture PID regulatora moe postii, ako se u referentnu granu ugradi filter (crtkano prikazan na slici 2.6.). Karakterisitni odzivi sustava prikazani su na slici 2.8.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t[s]

y

Tfr=0;b=0;c=0Tfr=0.4s;b=1;c=1Tfr=0.4s;b=1;c=0Tfr=0.4s;b=0;c=0

1234

1

2

3

4

Sl. 2.8. Odzivi regulacijskog sustava s filtrom referentne veliine.

Brzinski PID algoritam:

Naprijed opisani algoritmi PID regulatora nazivaju se pozicijskim algoritmima jer kao izlaz daju iznos upravljakog signala. Meutim, u nekim je sluajevima sustav upravljanja izveden tako da upravljaki signal pogoni izvrni organ koji ima integralno djelovanje (npr. regulacijski ventil s elektromotornim prigonom). U tom sluaju regulator treba na izlazu dati

151

promjenu, odnosno brzinu, upravljakog signala, zbog ega se takvi regulatori nazivaju brzinskim ili inkrementalnim PID regulatorima. Blokovski prikaz brzinskog PID regulatora dan je na slici 2.9. Prijenosne funkcije P- i D-lana brzinskog PID regulatora su nekauzalne, pa se u izvedbama moraju modificirati analogno modifikaciji D-lana pozicijskog regulatora (vidi izraz (2-15)). U digitalnim izvedbama (vidi stranicu 59.) problem kauzalnosti nestaje, ako se primjeni odgovarajui postupak diskretizacije kontinuiranog brzinskog regulatora.

KRs

sU(s)

XR(s)

+

++

KRTI

KRTDs21+sTD/

b

1

c

Y(s)

+

+

+

-

-

-

1Tios

Vanjsi integrator(npr. motor)

U(s)

Brzinski PID regulator Sl. 2.9. Brzinski PID regulator.

Oblici izlaznog signala regulatora:

Oblik izlaznog signala regulatora odreen je tipom koritenog izvrnog organa. Velika veina izvrnih organa moe se svrstati u jednu od sljedee tri grupe:

1. Proporcionalni s kontinuiranim analognim upravljakim signalom

Analogni izlaz(4-20mA)

o Npr. pneumatski regulacijski ventili o Najee se koristi analogni strujni signal 4-20 mA.

2. Proporcionalni s impulsno-irinski moduliranim upravljakim signalom s dva stanja

Binarni izlaz(PWM)

1

Tcycle

Timpuls

o Ovi izvrni organi prihvaaju samo dvije vrijednosti izlaznog signala regulatora

(on/off): ukljuen/iskljuen, otvoren/zatvoren, naprijed/natrag, ubrzaj/uspori.

o Primjeri: elektronike energetske sklopke, dvopoloajni ventili.

152

o Kod ovih izvrnih organa regulator daje impulsni signal kojemu je trajanje proporcionalno iznosu upravljakog signala. Unaprijed se definira tzv. vrijeme ciklusa Tcycle, koje odgovara maksimalnoj vrijednosti upravljakog signala umax. Za upravljaki signal iznosa u(t) trajanje impulsa je:

minimpuls cycle

max min

u( t ) uT Tu u

= . (2-18)

U ostatku vremena Tcycle- Timpuls nema impulsa na izvrnom organu. 3. Izvrni organi s integralnim djelovanjem i impulsnim upravljkim signalom s tri stanja

1

-1Ternarni izlaz

o Ovi izvrni organi prihvaaju tri vrijednosti izlaznog signala regulatora:

naprijed-stoj-natrag.

o Tipian primjer je regulacijski ventil s elektromotornim prigonom, kod kojega se pogonski motor moe gibati naprijed (ventil se otvara), natrag (ventil se zatvara) te moe stajati (otvor ventila se ne mijenja). Dakle, izlazni signal regulatora moe poprimati tri stanja. Ta se tri stanja izvode pomou dva digitalna (binarna) izlaza iz regulatora. Dok vodi prvi digitalni signal motor se giba naprijed i ventil se otvara, a dok vodi drugi digitalni signal motor se giba natrag i ventil se zatvara. Kada ne vodi niti jedan signal motor stoji. Mora se sprijeiti da oba digitalna signala istodobno vode.

o Za upravljanje ovim ventilima primjenjuje se brzinski PID regulator.

Dodatne funkcije koje mogu poboljati vladanje sustava:

Smanjenje utjecaja mjernog uma na vladnje sustava:

Uobiajna pojava u sustavima upravljanja jest mjerni um, koji moe znaajno naruiti vladanje sustava. Naime, mjerni um moe dovesti do velike aktivnosti upravljakog signala, ak i u stacionarnom stanju, to moe dovesti do skraenja ivotne dobi izvrnog organa.

Najea mjera za smanjenje utjecaja mjernog uma na vladanje sustava upravljanja jest filtriranje mjernog signala. Obino se koristi filter prvog reda:

GT sfpv fpv

= +1

1. (2-19)

Doprinos filtra smanjenju negativnog utjecaja uma prikazan je na slici 2.10. Moe se uoiti znatno manja varijanca upravljakog signala u(t), uz odreeno naruavanje dinamikog vladanja sustava.

153

0 2 4 6 8 10 12 -0.5

0

0.5

1

1.5

t[s]

y

0 2 4 6 8 10 12 -1

0

1

2

3

t[s]

u

Tfpv=0sTfpv=0.2s

Tfpv=0sTfpv=0.2s

Sl. 2.10. Smanjenje utjecaja mjernog uma filtriranjem mjernog signala.

Smanjenje utjecaja mjernog uma moe se postii i uvoenjem zone neosjetljivosti (engl. dead zone), sa irinom prilagoenom razini mjenog uma. Zona neosjetljivosti uvodi se u signal regulacijskog odstupanja e(t). Pri tome je vano da se zona neosjetljivosti izvede na ispravan nain, kako je prikazano na slici 2.11.

e(t) e(t)

e'(t) e'(t)

+DZ

-DZ+DZ

-DZ

Neispravna izvedba zoneneosjetljivosti

Ispravna izvedba zoneneosjetljivosti

Sl. 2.11. Izvedba zone neosjetljivosti. Matematiki se ispravna zona neosjetljivosti moe opisati sljedeim izrazom:

e te t za e t

za e te t za e t

' ( )( ) ( )

( )( ) ( )

=+ <

+ > +

RS|T|

DZ DZDZ DZ

DZ DZ0 . (2-20)

Uoljivo je da se uvoenjem ispravne zone neosjetljivosti, umjesto neispravne, modificira iznos regulacijskog odstupanja i izvan zone neosjetljivosti. Meutim, ovo je prihvatljiv kompromis kojm se izbjegavaju skokovite promjene na rubovima zone neosjetljivosti, koje se pojavljuju kod neispravne zone neosjetljivosti.

Izlaz iz zone neosjetljivosti uvodi se u PID regulator. Kad je regulacijsko odstupanje unutar zone osjetljivosti regulator je neaktivan pa se upravljaki signal ne mijenja. Djelovanje

154

zone neosjetljivosti prikazano je na slici 2.12. Uoava se da je u stacionarnom stanju upravljaki signal konstantan. Vidi se da uz neispravno izvedenu zonu neosjetljivosti u trenucima kada upravljaki signal prelazi iz zone neosjetljivosti u aktivnu zonu i obratno dolazi do impulsnih promjena upravljakog signala (Sl. 2.12b).

0 2 4 6 8 10 12 -0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

y

0 2 4 6 8 10 12 -1

0

1

2

3

t [s]

u

a)

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

y

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

t [s]

u

b)

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

y

t [s]

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

u

t [s]

c)

Sl. 2.12. Ilustracija djelovanja zone neosjetljivosti: a) bez zone; b) neispravno izvedena zona (DZ=0.075); c) ispravno izvedena zona (DZ=0.075).

Na slici 2.13 prikazano je istovremeno djelovanje filtra u povratnoj vezi i zone neosjetljivosti. Moe su uoiti da je vladanje sustava bolje nego u sluaju pojedinanog djelovanja filtra ili zone neosjetljivosti. Primjenjena je tri puta ua zona neosjetljivosti nego u prethodnom eksperimentu.

0 2 4 6 8 10 12 -0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 -1

0

1

2

3

Tfpv=0s, DZ=0 Tfpv=0.2s, DZ=0 Tfpv=0.2s, DZ=0.025

Tfpv=0s, DZ=0 Tfpv=0.2s, DZ=0 Tfpv=0.2s, DZ=0.025

1

1

2

2

3

3

123

123

Sl. 2.13. Djelovanje filtra u povratnoj vezi i zone neosjetljivosti.

155

Smanjenje utjecaja impulsnih smetnji:

Impulsne smetnje u mjernom signalu mogu znaajno naruiti vladanje sustava upravljanja. Najei izvori impulsnih smetnji su statiki energetski pretvarai koji se standardno primjenjuju u industriji, a esto i kao elementi regulacijskih krugova (izvrni organi). Impulsni um nastaje zbog uklapanja i isklapanja sklopki u statikim pretvaraima.

Filtriranje signala povratne veze moe u odreenoj mjeri smanjiti razinu impulsnih smetnji, ali obino nedovoljno (Sl. 2.14.).

0 2 4 6 8 10 12-2

0

2

4

u

t [s]

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

2

y

0 2 4 6 8 10 12-5

0

5

u

Tfpv=0.2 s

Tfpv=0 s

Sl. 2.14. Filtriranje mjernog signala na kojega djeluju impulsne smetnje.

Znatno uinkovitije otklanjanje impulsnih smetnji postie se primjenom funkcije medijan. Da bi se funkcija medijan mogla primjeniti potrebno je poveati frekvenciju uzorkovanja mjernog signala, tako da se u svakom periodu uzorkovanja regulatora ima na raspolaganju vie mjernih uzoraka (npr. L uzoraka). Mjerni se uzorci poredaju po iznosu od namanjeg do najveeg, a zatim se na tako poredane uzorke primjeni fukcija medijan, tj. koristi se m-ti uzorak kao vrijednost mjernog signala za povratnu vezu, gdje je m definiran kao:

my y za L paran

y za L neparan

L L

L

= +RS|T|

+

+

12 2 2 1

2 1

( )/ /

/

. (2-21)

Rezultati dobiveni primjenom funkcije medijan prikazani su na slici 2.15. Vidi se da su u ovom sluaju uz L=5 impulsne smetnje potpuno otklonjene.

156

0 2 4 6 8 10 12-2

0

2y

0 2 4 6 8 10 12-5

0

5

u

L=0

0 2 4 6 8 10 120

2

4

u

L=3

0 2 4 6 8 10 12-5

0

5

u

t [s]

L=5

Sl. 2.15. Otklanjanje impulsnih smetnji primjenom funkcije MEDIJAN.

Problem kod primjene funkcije medijan jest potreba uzorkovanja mjernog signala u kraem periodu uzorkovanja od osnovnog perioda uzorkovanja sustava upravljanja. Zbog toga ovaj postupak otklanjanja impulsnih smetnji nije openito primjenljiv, iako je uinkovit. Smanjenje utjecaja impulsnih smetnji, bez poveanja frekvencije uzorkovanja mjernog signala, mogue je postii ugradnjom sklopa za ogranienje brzine promjene signala (engl. rate limiter) u povratnu vezu. Sklop za ogranienje brzine promjene signala (openito signala x) moe se matematiki opisati sljedeim izrazom:

dxdt

dxdt

za dxdt

dxdt

dxdt

za dxdt

dxdt

dxdt

dxdt

za dxdt

dxdt

=

FHGIKJ >

FHGIKJ

FHGIKJ

FHGIKJ

FHGIKJ > < 2 .

Dokaz:

1 1 01 1 1

1 1

DD

dD

D

T TTTa

TTT

< > < < + < DTT >2

.

168

Ako je TD malog iznosa tada unaprijedni kvocijent diferencija i Tustinov postupak diskretizacije realnog derivacijskog lana mogu dati negativan iznos koeficijenta ad, to ima za posljedicu oscilacije izlaza derivacijskog lana uD(k).

Unazadni kvocijent diferencija daje stabilnu aproksimaciju derivacijskog lana za sve iznose TD, pa se taj postupak diskretizacije najee primjenjuje.

Sva tri postupka diskretizacije daju stabilnu aproksimaciju integralnog lana. Zbog jednostavnosti najee se primjenjuje unazadni kvocijent diferencija, a ponekad se primjenjuje i Tustinov postupak jer daje bolju aproksimacju od unazadnog kvocijenta diferencija.

Implementacijom rekurzivnih jednadba (2-27), (2-35) i (2-44) u mikroprocesorskom ureaju dobije se digitalni PID regulator koji emulira analogni PID regulator. Kao to je naprijed reeno, emulacija e biti zadovoljavajua samo ako je vrijeme uzorkovanja dovoljno malog iznosa. Dobiveni digitalni PID regulator ima istu strukturu kao i izvorni analogni regulator i za njega vrijede sva pravila koja vrijede i za analogni. Primjerice, mogu se primjeniti isti postupci odreivanja parametara.

Za vea vremena uzorkovanja primjenjuju se drugaije strukture parametarskih regulatora s posebnim postupcima odreivanja parametara (opisano u toki 2.2.2.).

Osim PID regulatora, u praksi se esto koriste i jednostavniji regulatori koji su izvedeni iz PID regulatora: P, PI, i PD regulatori. Paralelna struktura opisanog digitalnog PID regulatora omoguuje izravnu pretvorbu PID regulatora u jednostavnije regulatore, iskljuivanjem odgovarjuaeg dijela PID regulatora.

Digitalna izvedba brzinskog PID regulatora:

Brzinski PID regulator (Sl. 2.9.) diskretizira se kao i pozicijski PID regulator, ali se rekurzivne jednadbe P-, I- i D-lana modificiraju tako da daju inkrement upravljakog signala u k-tom koraku, umjesto njegovog apsolutnog iznosa. Zbog toga se u digitalnoj izvedbi brzinski PID regulator esto naziva inkrementalnim PID regulatorom. Prema tome, rekurzivna jednadba inkrementalnog regulatora glasi:

u k u k u k u k u k u kP I D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + +1 . (2-45) Na osnovi rekurzivnih jednadbi (2-27), (2-35) i (2-44) dobiju se jednadbe za inkremente P-, I- i D-lana u izrazu (2-45):

u k K e k e kP R P P( ) ( ) ( )= 1 , u k b e k b e kI i i( ) ( ) ( )= + 1 2 1 ,

[ ]( ) ( 1) ( ) 2 ( 1) ( 2)D d D du k a u k b e k e k e k = + + .

Implementacija digitalnog PID regulatora jednom rekurzivnom jednadbom: Implementacijom rekurzivnih jednadba (2-27), (2-35) i (2-44) dobiven je PID regulator paralelne strukture, tj. zasebno su implementirani P, I i D lanovi regulatora.

169

Meutim, u primjenama u kojima nije neophodno imati paralelnu strukturu, prikladno je PID regulator implementirati pomou jedne rekurzivne jednadbe.

Izlaz digitalnog PID regulatora moe se prikazati kao zbroj izlaza P, I i D lanova:

u k u k u k u kP I D( ) ( ) ( ) ( )= + + . (2-46) Rekurzivni oblik digitalnog PID algoritma dobije se oduzimanjem vrijednosti izlaza regulatora u (k-1)-vom koraku od vrijednosti njegova izlaza u k-tom koraku:

u k u k u k u k u k u k u k u kP P I I D D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 1 1 1 1 . (2-47)

Na osnovi rekurzivnih jednadbi (2-27), (2-35) i (2-44) izraz (2-47) poprima oblik:

[ ][ ]

1 2( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

( 1) ( 2) ( ) 2 ( 1) ( 2)R P P i i

d D d D d D D D

u k u k K e k e k b e k b e k

a u k a u k b e k e k e k

= + + ++ + + . (2-48)

Za iznose koeficijenata b=1 i c=1 (osnovna struktura regulatora, tj. eP=eD=e) i uz diskretizaciju idealnog derivacijskog lana unazadnim kvocijentom diferencija (ad = 0) dobije se rekurzivna jednadba PID regulatora:

u k u k q e k q e k q e kb g b g b g b g b g= + + + 1 1 20 1 2 . (2-49) gdje je (prema tablici 2.1.):

za diskretizaciju I-lana unaprijednim kvocijentom diferencija

0 1 221 ; 1 ;D D DR R R

I

T T T Tq K q K q KT T T T

= + = + = ,

za diskretizaciju I-lana unazadnim kvocijentom diferencija:

0 1 21 ; 1 2 ;D D DR R RI

T T T Tq K q K q KT T T T

= + + = + = ,

za diskretizaciju I-lana Tustinovim postupkom:

0 1 22 4 21 ; 1 ;

2 2D D D

R R RI I

T T T T Tq K q K q KT T T T T

= + + = + = .

Primjenom z-transformacije na rekurzivnu jednadbu (2-49) dobije se prijenosna funkcija digitalnog PID regulatora:

U zE z

q q z q zz

b gb g =

+ +

0 1

12

2

11. (2-50)

Iz rekurzivne jednadbe PID regulatora (2-48) lako se dobiju rekurzivne jednadbe P, PI i PD regulatora. Primjerice, rekurzivna jednadba PI regulatora glasi:

170

u k u k q e k q e kb g b g b g b g= + + 1 10 1 , (2-51) gdje je (prema tablici 2.1.):

za diskretizaciju I-lana unaprijednim kvocijentom diferencija

0 1; 1R RI

Tq K q KT

= = ,

za diskretizaciju I-lana unazadnim kvocijentom diferencija:

0 11 ;R RI

Tq K q KT

= + = ,

za diskretizaciju I-lana Tustinovim postupkom:

0 11 ; 12 2R RI I

T Tq K q KT T

= + = .

Postupci podeavanja parametara digitalnog PID regulatora

Podeavanje parametara digitalnog PID regulatora, dobivenog diskretizacijom analognog PID regulatora uz malo vrijeme uzorkovanja, moe se provoditi istim postupcima kojima se podeavaju parametri izvornog analognog regulatora. U nastavku se opisuju dva vrlo praktina postupka podeavanja parametara: Takahashijev postupak i tzv. relejni postupak.

Takahashijev postupak podeavanja parametara PID regulatora:

Takahashijev postupak podeavanja parametara temelji se na Ziegler-Nicholsovom postupku, koji je najee koriteni postupak podeavanja parametara analognog PID regulatora u industrijskim primjenama. I za Takahashijev postupak, kao i za Ziegler-Nicholsov postupak, postoje dvije varijante:

na temelju odziva zatvorenog regulacijskog kruga na rubu stabilnosti (VARIJANTA I); na temelju prijelazne funkcije procesa hs(t) (VARIJANTA II).

Eksperimenti se provode na isti nain kao i kod Ziegler-Nicholsova postupka, a razlikuju se samo izrazi za izraunavanje vrijednosti parametara regulatora. U Takahashijevim se izrazima u obzir uzima kanjenje zbog A/D i D/A pretvorbi, koji se matematiki mogu opisati idealnim impulsnim elementom i ekstrapolatorom nultog reda (engl. zero-order-hold, ZOH) (Sl. 2.26.). Ovo kanjenje iznosi priblino polovicu vremena uzorkovanja.

T

G0h(s)

1 es

Ts U s( )

1 1

12

12

22 2

2 2

Tes

e e eTs

e

Ts Ts

Tse

Ts TsTs Ts

Ts Ts

=

+ +

.

171

Sl. 2.26. Aproksimacija ekstrapolatora nultog reda. Dakle, uz mrtvo vrijeme procesa Tt u digitalnom sustavu upravljanja pojavljuje se i dodatno mtrvo vrijeme T/2 pa ukupno mrtvo vrijeme iznosi Ttu=Tt+T/2. Izrazi za izraunavanje parametara P, PI i PID regulatora za obje varijante Takahashijevog postupka dani su u tablici 2.2. Izrazi su izvedeni uz pretpostavku da se proces moe opisati prijenosnom funkcijom (2-3). Veliki broj industrijskih procesa moe se opisati prijenosnom funkcijom toga oblika. Nadalje, pretpostavljeno je da se koristi digitalni PID regulator dobiven diskretizacijom analognog PID regulatora primjenom postupka unazadne diferencje i za I-lan i za D-lan uz b=0 i c=0. Na temelju izraza (2-48) jednadba diferencija koritenog PID regulatora glasi:

[ ] [ ]( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) ( )DR RI

T Tu k u k K y k y k x k y k y k y k y kT T

= + + + .(2-52)

Za T=0 izrazi u tablici 2.2 postaju jednaki Ziegler-Nicholsovim. PID regulator podeen primjenom jednog od Takahashijevih postupaka dobro kompenzira smetnju, ali je odziv na promjene referentne veliine oscilatoran (koeficijent priguenja 0.2). Zbog toga treba koristiti regulator s dva stupnja slobode podeavanja parametara, koji omoguuje naknadnu promjenu kvalitete odziva po referentnoj veliini (ili filtriranje ili prebacivanje derivacijskog i proporcionalnog lana u povratnu vezu ili oboje).

Openito, postupak podeavanja parametara regulatora dovoenjem sustava na rub stabilnosti i mjerenjem perioda oscilacija daje pouzdanije rezultate od postupka temeljenog na mjerenju prijelazne funkcije procesa.

172

[ ] [ ]( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) ( )DR RI

T Tu k u k K y k y k x k y k y k y k y kT T

= + + +

VARIJANTA I VARIJANTA II

KR TI TD KR TI TD

P 0 5, KRkr - -

10 5Kt

t TSa

z

+ , - - PI

0 45 0 5

0 45 0 27

, ,

, ,

K K TT

K K TT

Rkr RI

Rkr Rkrkr

=

K TK

T T

Rkr

Rkr

kr

0 540 83 0 5

,, ,

=

-

1 0 90 5

0 5

1 0 90 5

0 1350 5 2

Kt

t TK T

T

Kt

t Tt T

t T

S

a

zR

I

S

a

z

a

,,

,

,,

,,

+ LNM

OQP =

+ +LNMM

OQPPzb g

K Kt T

tt T T

R Sz

a

z

+ =+

0 50 27

3 33 0 5 0 5

2,,

, , ,

b g

b g-

PID

0 6 0 5

0 6 0 6

, ,

, ,

K K TT

K K TT

Rkr RI

Rkr Rkrkr

=

K TK

T T

Rkr

Rkr

kr

1 20 5 0 5

,, ,

=

1 340

0 1251

KK T

TTT

RRkr kr

kr

kr

=

,

1 1 2 0 5

1 2 1 0 250 5 2

Kt

t TK T

T

Kt

t TT t T

t T

S

a

zR

I

S

a

z

z

z

, ,

, ,,

+ LNM

OQP =

+ +

+LNMM

OQPPb g

K K

t Tt

t Tt T

T

R Sz

a

z

z

+ =

++

0 50 6

20 5

0 5

2

2

,,

,,

b g

b g 0 5, t Tz +b g

TKr

t

I(t)

Ks

0,63 KsW

tz ta t

hs(t)