13.09.2018

1

Füüsika

Mehaanika alused

Mehaanika ja selle jaotus

Mehaanika on teadus, mis käsitleb kehade

paigalseisu ja liikumist neile rakendatud jõudude

mõjul.

Mehaanika peamised osad on:

dünaamika;

staatika;

kinemaatika.

Dünaamika tegeleb liikumist tekitavate põhjuste

väljaselgitamisega.

Staatika tegeleb kehade tasakaalutingimuste

uurimisega.

Kinemaatika käsitleb liikumist sõltumatult seda

tekitavatest põhjustest.

13.09.2018

2

Kinemaatika loojaks peetakse Galileid (1564-1642)

Galileo Galilei Justus Sustermansi maalitud portreel, 1636

Dünaamika põhiseadused sõnastas Newton (1643-1727)

Isaac Newton 46-aastasena Godfrey Knelleri portreel

13.09.2018

3

Newton oli esimene, kes sõnastas dünaamika

põhiseadused terviklikul kujul.

See pani aluse mehaanika kiirele arengule, mis seisnes

peamiselt mehaanika matemaatiliste meetodite

täiustamises ja mehaanika kasutamises üha uuemates

valdkondades.

Newtonist sai autoriteet, nii et ca 200 aasta jooksul ei

näinud teadlased Newtoni mehaanikas puudusi.

A. Einsteini (1879-1955) loodud relatiivsusteooria näitas,

et Newtoni mehaanika ei ole rakendatav ülisuurte

kiirustega liikumisel.

Hiljem leiti, et ka üliväikeste osakeste – aatomite,

molekulide ja elementaarosakeste maailmas see

mehaanika ei kehti. Seal on rakendatav nn

kvantmehaanika.

Albert Einstein (1921)

13.09.2018

4

Relativistlik ja kvantmehaanika ei lükka ümber Newtoni

mehaanika tõdesid. Newtoni mehaanika on nende üks

erijuhtusid. Kui kiirus on väike ja tegemist on suure

kehaga, siis annab relatiivsusteooria või kvantmehaanika

sama tulemuse nagu Newtoni oma.

Et eristada Newtoni mehaanikat uuema aja mehaanikast

ja rõhutada selle suurt tähtsust nii teaduse ajaloos üldse

kui ka tänapäeval, nimetatakse see mehaanika

klassikaliseks.

Klassikalise mehaanika aegruum

Mehaaniliseks liikumiseks nimetatakse keha asendi

muutumist ruumis aja jooksul.

Igasugune liikumine toimub ruumis ja ajas.

Aeg ja ruum on mateeria eksisteerimise põhivormid.

Nende omadustest teame, et ruum on kolmemõõtmeline,

aeg aga ühemõõtmeline ja ühesuunaline.

Keha asukoha määramiseks ruumis on vaja näidata kolm

kaugust mingist kolmest kehast, mis on valitud nn

taustsüsteemiks. Selles seisneb ruumi

kolmemõõtmelisus. Asukoht on alati suhteline.

Veel võib rääkida ruumi homogeensusest ja

isotroopsusest – omadused ei sõltu asukohast ega

liikumissuunast ruumis.

13.09.2018

5

Aeg on samuti suhteline ja homogeenne. Seda

arvestatakse mingi ühe sündmuse toimumishetkest

alates.

Aja ühesuunalisus tuleneb sellest, et kõik nähtused

kulgevad ajas selle kasvu suunas. Ajas tagasiliikumist ei

esine.

Klassikalises mehaanikas eeldatakse, et aeg ei olene

ruumist ega ruum ajast, st aeg ei olene asukohast ja

ruum ei muutu ajas.

Relatiivsusteooriast järeldub, et kiirel liikumisel tekib aja

ja ruumi vahel seos.

Klassikalises mehaanikas ruumi ja aja omadused ei sõltu

kehadest ega nende liikumisest. Kehadevaheline mõju

võib seejuures levida lõpmatult suure kiirusega.

Relatiivsusteooria piirab seda valguse kiirusega.

Tingimisi liikumatuid kehi, mille suhtes on otsustatud

määrata keha asendit ruumis, nimetatakse

taustsüsteemiks.

Üheks lihtsamaks taustsüsteemiks on kolm üksteisega risti

olevat ja ühes kohas lõikuvat varrast.

Keha A asukoht on

määratud, kui on teada

selle kaugused

varrastest või nende

poolt määratud

tasanditest.

13.09.2018

6

Lihtsustame taustsüsteemi nii,

et laseme varraste

läbimõõdud kahaneda nullini,

st asendame need sirgetega.

Saame idealiseeritud

süsteemi, mida nimetatakse

koordinaatsüsteemiks,

konkreetsemalt Cartesiuse

koordinaadistikuks [Descartes

(1596-1650)].

Kaugusi x, y, z nimetatakse

koordinaatideks.

Teljed ja vastavad kaugused

kannavad nimetusi abstsiss,

ordinaat ja aplikaat.René Descartes

Keha liikumisel koordinaadid muutuvad ajas:

𝑥 = 𝑓1 𝑡 = 𝑥 𝑡𝑦 = 𝑓2 𝑡 = 𝑦 𝑡𝑧 = 𝑓3 𝑡 = 𝑧 𝑡

Liikumine on antud, kui on teada need funktsioonid

(valemid), mis võimaldavad määrata keha koordinaate

mis tahes ajahetkel. Selliseid valemeid nimetatakse

liikumisseadusteks. Võrrandisüsteem ütleb, et mis tahes

kõverjooneline liikumine on lahutatav sirgjoonelisteks,

kusjuures viimased on sirgjoonelised liikumise algusest

lõpuni.

13.09.2018

7

Avaldistele lihtsama üleskirjutusviisi saamiseks

kasutatakse koordinaatide asemel kohavektorit Ԧ𝑟.

Võtame kasutusele koordinaattelgede suunalised

ühikvektorid Ԧ𝑖 , Ԧ𝑗, 𝑘. Siis võime kirjutada

Ԧ𝑟 = 𝑥 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧 ∙ 𝑘

Kohavektori pikkus, so punkti A kaugus

koordinaattelgede algusest, on arvutatav valemiga

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Kohavektori abil on liikumisseadused üles kirjutatavad

ühe vektorvalemina

Ԧ𝑟 = Ԧ𝑓 𝑡

Näide: ühtlaselt kiirenev liikumine mööda X telge:

𝑥 = 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2

2;

𝑦 = 0;𝑧 = 0

või Ԧ𝑟 = 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2

2Ԧ𝑖

13.09.2018

8

Ainepunkti kinemaatika

Ainepunkti kiirus

Kõige lihtsamaks mehaaniliseks liikumiseks on ainepunkti

(ehk masspunkti) liikumine.

Ainepunktiks (masspunktiks) nimetatakse keha, mille

mõõtmed ja kuju võib jätta arvestamata tema liikumise

kirjeldamisel.

Kas lihtsustus on õigustatud või mitte, see oleneb

liikumisülesandest.

Näiteks Maad võib liikumisel ümber Päikese vaadelda

ainepunktina, kuid pöörlemisel ümber oma telje mitte.

Liikugu ainepunkt mööda meelevaldset ruumilist trajektoori.

13.09.2018

9

Punkt O olgu koordinaat-

süsteemi alguspunkt.

Ajahetkel t1 läbigu

ainepunkt punkti A1 ja väike ajavahemik Δt

hiljem, hetkel 𝑡2 = 𝑡1 + ∆𝑡punkti A2. Öeldakse, et

ainepunkt on nihkunud

punktist A1 punkti A2.

Vektorit Ԧ𝑠 , mis viib esimesest punktist teise, nimetatakse

nihkevektoriks. Punkti A1 ja A2 asukohta näitavate

kohavektorite abil on see arvutatav nii:

Ԧ𝑠 = Ԧ𝑟 𝑡1 + ∆𝑡 − Ԧ𝑟 𝑡1 = ∆Ԧ𝑟 .Nihkevektor näitab kohavektori muutust ainepunkti

liikumisel ühest kohast teise.

Sirgjoonelisel liikumisel nihkevektori suund ühtib liikumise

suunaga ja suurus näitab läbitud teepikkust.

Kõverjoonelisel liikumisel see nii ei ole. Läbitud teepikkus

on punkte A1 ja A2 ühendava kaare pikkus.

Kui aga vaadeldav ajavahemik ∆𝑡 on küllalt väike, siis võib

kaart pidada kõõluga kokkulangevaks ja nihkevektori

pikkus võrdub küllalt täpselt kaarepikkusega, st

teepikkusega. Seetõttu võib keskmise kiiruse kaarel A1A2

arvutada nii:

Ԧ𝑣𝑘 =∆Ԧ𝑟

∆𝑡.

Vektori Ԧ𝑣𝑘 suund ühtib nihkevektori ∆Ԧ𝑟 suunaga, sest

jagamisel skalaarse suurusega ∆𝑡 vektori suund ei muutu.

13.09.2018

10

Kiiruse punktis A1 ehk hetkkiiruse ajahetkel t1 saame, kui

vähendame ajavahemikku ∆𝑡 piiramatult ∆𝑡 → 0

Ԧ𝑣 = lim∆𝑡→0

∆Ԧ𝑟

∆𝑡=𝑑Ԧ𝑟

𝑑𝑡= ሶԦ𝑟 = Ԧ𝑟′

Matemaatikas nimetatakse sellist piirväärtuse võtmist

tuletise võtmiseks.

Punktiga tähistatakse aja järgi võetavat tuletist, ülakomaga

tähistamine on üldisem.

Kiirus trajektoori mingis punktis on selles punktis võetud

kohavektori esimene tuletis aja järgi.

Kohavektor on avaldatav punkti koordinaatide kaudu

valemiga Ԧ𝑟 = 𝑥 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧 ∙ 𝑘 , kus Ԧ𝑖 , Ԧ𝑗, 𝑘 on konstantsed

vektorid, x, y ja z aga muutuvad ajas.

Seega võime kirjutada

Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦 𝑡 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧 𝑡 ∙ 𝑘

Tuletis tuleb võtta ainult funktsioonidest 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ja 𝑧 𝑡 .

Ԧ𝑣 = ሶԦ𝑟 = ሶ𝑥 ∙ Ԧ𝑖 + ሶ𝑦 ∙ Ԧ𝑗 + ሶ𝑧𝑘 = 𝑣𝑥 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑣𝑦 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑣𝑧 ∙ 𝑘

Seega on koordinaadi tuletise arvväärtus ühtlasi ka

kiirusvektori komponendiks (projektsiooniks vastavale

teljele):

𝑣𝑥 = ሶ𝑥 ; 𝑣𝑦 = ሶ𝑦 ; 𝑣𝑧 = ሶ𝑧

Järeldub, et suvalist kõverjoonelist liikumist võib käsitleda

kui liitliikumist, mis on saadud kolme koordinaattelje sihis

toimuva sirgliikumise liitmise tulemusena, kusjuures

liidetavad liikumised (ja kiirused) on üksteisest

sõltumatud.

13.09.2018

11

𝑥 = 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2

2;

𝑦 = 0;𝑧 = 0

ehk Ԧ𝑟 = 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2

2Ԧ𝑖

Näite

puhul avalduvad kolme liidetava liikumise kiirused nii:

𝑣𝑥 = ሶ𝑥 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡𝑣𝑦 = 0;

𝑣𝑧 = 0ehk Ԧ𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡 ∙ Ԧ𝑖

st kiirus on x-telje sihiline.

Missugune on kiiruse suund üldjuhul, kõverjoonelisel

liikumisel?

Τ∆Ԧ𝑟 ∆𝑡 suund ühtib ∆Ԧ𝑟 ehk nihkevektori suunaga. Piirile

∆𝑡 → 0 üle minnes punkt A2 läheneb punktile A1.

Seejuures nihkevektor (kõõl A1A2) läheneb puutujale, mis

on tõmmatud trajektoorile punktist A1. Järelikult läheneb

samale puutujale ka kiirus. Seega hetkkiirus on alati

trajektoori puutuja suunaline.

13.09.2018

12

Ainepunkti kiirendus

Kiirenduseks nimetatakse kiiruse muutumise kiirust.

Sellest definitsioonist järgneb, et kiirendus arvutud

analoogiliselt kiirusega – tuletise abil. Kiiruse puhul

Ԧ𝑣 = lim∆𝑡→0

∆Ԧ𝑟

∆𝑡=𝑑Ԧ𝑟

𝑑𝑡= ሶԦ𝑟 = Ԧ𝑟′

leidsime tuletise kohavektorist aja järgi ja saime selle

muutumise kiiruse ehk lihtsalt kiiruse.

Võttes tuletise kiirusest, saame kiiruse muutumise kiiruse

Ԧ𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡= ሶԦ𝑣 = Ԧ𝑣′

See ongi kiirendus.

Kuidas arvutuvad kiirenduse komponendid 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧?

Need on sirgjooneliste liikumiste kiirendused, milliste

summana me kõverjoonelist liikumist käsitlesime.

Nagu kiiruse puhulgi, nii arvutatakse needki tuletise abil,

seekord kiiruse komponentidest:

𝑎𝑥 = ሶ𝑣x = ሷ𝑥; 𝑎𝑦 = ሶ𝑣y = ሷ𝑦; 𝑎𝑧 = ሶ𝑣z = ሷ𝑧.

Kõverjoonelisel liikumisel jagatakse kiirendus sageli

komponentideks teisel viisil.

13.09.2018

13

Kõigepealt kirjutame kiirusvektori üles kahe teguri korrutisena

Ԧ𝑣 = 𝑣 ∙ Ԧ𝜏

Esimene tegur võrdugu kiiruse suurusega

(mooduliga), teine on kiiruse suunaline ühikvektor.

Vektor Ԧ𝑣 on asendatud ühikvektorite Ԧ𝜏 = 1summaga.

Korrutisest tuletise võtmise reegleid arvestades saame

avaldada kiirenduse järgnevalt:

Ԧ𝑎 =𝑑 𝑣 ∙ Ԧ𝜏

𝑑𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡∙ Ԧ𝜏 + 𝑣 ∙

𝑑 Ԧ𝜏

𝑑𝑡

Esimene liidetav on Ԧ𝜏 suunaline vektor, st kiiruse või

trajektoori puutuja suunaline vektor.

Seepärast nimetatakse esimest liidetavat kiirenduse

tangentsiaalseks ehk puutujasuunaliseks

komponendiks. Selle suurus võrdub tuletisega Τ𝑑𝑣 𝑑𝑡 -

kiiruse suuruse muutumise kiirusega

𝑎𝜏 =𝑑𝑣

𝑑𝑡.

Tangentsiaalne kiirenduse komponent näitab, kui

kiiresti kiirus muutub suuruse poolest.

13.09.2018

14

Kõverjoonelisel liikumisel on kiirendusel veel teinegi

komponent 𝑣 ∙ Τ𝑑 Ԧ𝜏 𝑑𝑡 . Mida see näitab?

Võtame trajektooril jällegi kaks teineteisele hästi lähedast

punkti A1 ja A2. Kui kaar A1A2 on küllalt väike, siis võib

seda vaadelda osana mingist ringjoonest, st ühel

tasapinnal asuvana.

Valides selle tasandi joonise tasandiks, saame seal ringjoont

näidata. Seda ringjoont nimetatakse trajektoori

kõverusringjooneks piirkonnas A1A2. Selle ringjoone raadiust

r nimetatakse trajektoori kõverusraadiuseks ja pöördväärtust Τ1 𝑟 kõveruseks antud kohas. Ainepunkti liikumisel muutub

nii kõverusringjoone keskpunkti O asukoht kui ka raadius r.

Samuti muutub kiiruse Ԧ𝑣 suurus ja suund. Suuna muutust

kirjeldab ühikvektori tuletis aja järgi Τ𝑑 Ԧ𝜏 𝑑𝑡.

13.09.2018

15

Radiaan (tähis rad) on SI-süsteemi tasanurga mõõtmise ühik.

Raadiusepikkusele kaarele toetuv ringi kesknurk on ühe radiaani

suurune. Üks radiaan on võrdne 180/π kraadiga

või umbes 57,2958 kraadi.

Täisringis on 2π radiaani.

360° = 2π rad ≈ 6,283185 rad

1 rad = 360/(2π)° = 180/π° ≈ 57,29578°

1° = 2π/360 rad = π/180 rad

Ԧ𝜏 vektor on kaarel A1A2 liikudes pöördunud nurga ∆𝜑 võrra.

Vektori muutuse tähistame ∆Ԧ𝜏 . Arvestame, et ∆𝑡 → 0.St ∆𝜑 → 0 ja ∆𝜏 → 0 ning joonisel kujutatud kaks kolmnurka

on võrdhaarsed kolmnurgad kaduvväikese tipunurgaga ∆𝜑 .

Seepärast võime aluse ehk tipunurga vastaskülje ja sama

nurga vastas seisva kaarepikkuse arvutada ühesuguselt:

∆𝜏 = 𝜏 ∙ ∆𝜑 ; A1A2 = ∆𝑠 = 𝑟 ∙ ∆𝜑 .

Seejuures 𝜏 = 1 . Vektorina on ∆Ԧ𝜏 risti trajektooriga.

Tähistades 𝑛 -ga sellesuunalise ühikvektori, võime kirjutada

∆Ԧ𝜏 = ∆𝜏 ∙ 𝑛 = ∆𝜑 ∙ 𝑛 .

13.09.2018

16

Nurga ∆𝜑 saame avaldada kaarepikkuse ∆𝑠 kaudu

∆𝜑 =∆𝑠

𝑟.

Nüüd saame leida tuletise Τ𝑑 Ԧ𝜏 𝑑𝑡 :𝑑𝜏

𝑑𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝜏

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝑠∙𝑛

𝑟∙∆𝑡=

𝑛

𝑟∙ lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡=

𝑛

𝑟∙ 𝑣 ,

kuna viimane piirväärtus annab kiiruse suuruse v.

Saadud tulemus, korrutatuna veel kord kiirusega v ,annabki kiirenduse teise komponendi. Kuna see on risti

trajektooriga, siis nimetatakse komponenti normaalseks.

Ristiolekut trajektooriga näitab ühikvektor 𝑛 .

Normaalkiirenduse suuruse saame arvutada valemiga

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑟.

Normaalkiirendus kirjeldab kiiruse suuna muutumise

kiirust.

Seega võime kiirenduse jaoks kirjutada

Ԧ𝑎 = 𝑎𝜏 ∙ Ԧ𝜏 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑛 =𝑑𝑣

𝑑𝑡∙ Ԧ𝜏 +

𝑣2

𝑟∙ 𝑛 .

Joonisel on näidatud vektorite asetus trajektoori suhtes.

13.09.2018

17