Física IV�Relatividade

Prof. Helena Malbouisson Sala 3018A

uerj-fisica-iv-quimica@googlegroups.com

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Relatividade •  A teoria da relatividade Restrita (ou Especial) foi proposta por Albert Einstein em

1905. •  Medida de eventos (acontecimentos):

–  Onde ocorrem no espaço tempo? –  A que distânica ocorrem no espaço tempo?

É a Teoria que estabelece a relação entre os valores medidos em referenciais inerciais em movimento, um em relação ao outro è daí o nome Relatividade. •  Relatividade Restrita: se aplica apenas a referenciais inerciais (referenciais em

que as leis de Newton são válidas). •  Teoria da Relatividade Geral: teoria mais complexa na qual os referenciais podem

sofrer aceleração gravitacional.

Neste curso, trataremos apenas da Relatividade Restrita. Mecânica Clássica è velocidades muito pequenas. Relatividade Especial:

–  todas as velocidades, incluindo as próximas à da luz; –  teoria nova (em 1905); –  Espaço e tempo interligados; –  A relação entre espaço e tempo é diferente para observadores em movimento um em relação ao outro. 2

Os postulados da Relatividade Postulado da Relatividade: As leis da Física

são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial absoluto.

Postulado da Velocidade da Luz: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor, c, em todas as

direções e em todos os referenciais inerciais.

A luz se propaga a uma velocidade c e nada pode exceder esse limite. Na natureza, não há possibilidade de transporte de informação a uma velocidade maior que a da luz è velocidade limite: c = 299792458 m/s

Evento: Em relatividade restrita, um evento é algo que acontece em um determinado instante de tempo e uma determinada posição do espaço. Observadores em diferentes referenciais inerciais podem observar o mesmo evento, porém as coordenadas atibuídas a esse evento são diferentes. A a relatividade especial determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por dois observadores em referenciais inerciais distintos. 3

A relatividade da simultaneidade Dois observadores em movimento relativo não concordam, em geral, quanto à simultaneidade de dois eventos. Se um dos observadores os considera simultâneos, o outro em geral conclui que não são simultâneos.

Isso não quer dizer que um está certo e o outro errado. Ambas observações são válidas. Logo,

A simultaneidade não é um conceito absoluto e sim um conceito relativo, que depende do movimento do observador.

Na nossa vida cotidiana, não somos afetados por isso pois as velocidades envolvidas são muito menores que a da luz.

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A relatividade do tempo O intervalo de tempo entre dois eventos depende da separação entre eles, tanto no espaço quanto no tempo, ou seja, as separações espaciais e temporais são interdependentes.

Em relatividade, nos referimos ao espaço-tempo como uma forma de evidenciar essa interdependência.

Exemplo da interdependência do espaço-tempo:

Considere dois eventos e dois observadores, João e Maria. Para um dos observadores, Maria, os dois eventos ocorrem no mesmo local.

•  Maria se encontra em um trem em movimento, com velocidade v em relação a uma estação de trem.

•  Maria faz o seguinte experimento: 1)  Um pulso de luz é em B è evento 1 2)  O pulso viaja em direção ao espelho e é refletido; 3)  O pulso é detectado no ponto de origem è evento 2; 4)  Maria mede um intervalo de tempo Δt0 entre os dois

eventos, que está relacionado à distância D entre a fonte e o espelho, pela equação:

�t0 =2D

c

No referencial de Maria, os dois eventos ocorrem no mesmo ponto. 5

A relatividade do tempo Os mesmo dois eventos são também medidos por João, que se encontra na estação de trem quando o trem passa. Como o equipamento está se movendo com o trem enquanto a luz está se propagando, João não vê os dois eventos no mesmo ponto do referencial:

Intervalo de tempo, medido por João, entre os dois eventos, é:

Onde Logo, Obtemos então:

Movimento�t =2L

c

(Joao)

L =

vuut 1

2v�t

!2

+D2

L =

vuut 1

2v�t

!2

+

1

2c�t0

!2

�t =�t0p

1� (v2/c2) 6

�t =�t0p

1� (v2/c2)

A relatividade do tempo

Essa equação mostra a relação entre o intervalo Δt medido por João e o intervalo Δt0 medido por Maria. Como v é necessariamente menor que c,

p1� (v2/c2) < 1 ) �t > �t0

è O intervalo entre os dois eventos, do ponto de vista de João, é MAIOR que do ponto de vista de Maria.

Então, o movimento relativo pode mudar a medida de tempo entre dois referenciais. O que se mantém constante é a velocidade da luz.

Formulação

Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto de um referencial inercial, o intervalo de tempo entre os dois eventos, medido nesse referencial, é chamado de intervalo de tempo próprio. Quando esse intervalo de tempo é medido em outro referencial, o resultado é sempre maior que o intervalo de tempo próprio è DILATAÇÃO TEMPORAL 7

A relatividade do tempo No nosso exemplo, Δt0 (medido por Maria) é o tempo próprio e o tempo medido por João sofre uma dilatação temporal. Em geral, na teoria da relatividade, escrevemos: β: parâmetro de velocidade γ: fator de Lorentz O Intervalo de tempo observado por João pode ser então expresso como:

Δt = γΔt0

v

c= � )

v

c

!2

= �2

1p1� v2/c2

=1p

1� �2= �

•  β < 1, sempre; •  γ >= 1, sempre.

Quanto maior v (velocidade entre os referenciais), maior γ. Logo, •  para v < 0,1c è γ próximo de 1 è mecânica

newtoniana é válida; •  Para v > 0,1c è somente a relatividade restrita é

válida.8

Exemplo 1 Uma espaçonave com um astronauta dentro, passa pela Terra com uma velocidade relativa de 0,9990c. Depois de viajar durante 10,0 anos (tempo do astronauta), pára em uma estação espacial, faz meia-volta e se dirige para a Terra com a mesma velocidade relativa. A viagem de volta também leva 10,0 anos. Quanto tempo leva a viagem de acordo com um observador terrestre? (Despreze os efeitos da aceleração).

Dados: ü  Dois referenciais inerciais: um na Terra, o outro na espaçonave; ü  O percurso de ida envolve 2 eventos:

ü  O início da viagem na Terra; ü  O fim da viagem de ida, na estação espacial

ü  O tempo de 10,0 anos medido pelo astronauta para o percurso de ida é o tempo próprio Δt0 , já que os dois eventos ocorrem no mesmo local no referencial do astronauta, que é a espaçonave;

ü  De acordo com a dilatação temporal, o tempo da viagem de ida medido por um observador no referencial da Terra, é maior que o tempo próprio: Δt = γΔt0

Logo, para a viagem de ida, temos que o tempo medido por um observador no referencial terrestre é dado por:

�t =1p

1� v

2/c

2=

10.0 anosp1� (0.9990c/c)2

=

(22.37)(10.0 anos) = 224 anos

Na viagem de volta, temos a mesma situação, logo a viagem de ida e volta, leva 20,0 anos para o astronauta e Δttotal = 2 . 224 = 448 anos para o observador terrestre. Ou seja, enquanto o astronauta envelheceu 20 anos, o observador terrestre envelheceu 448 anos. Sendo assim, ao voltar à Terra, o astronauta terá viajado no futuro. A viagem ao futuro é possível na Relatividade Restrita. J

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A relatividade das distâncias A distância também fica alterada quando é medida em relação a um referencial inercial com velocidade v, grande o suficiente para que a teoria da relatividade restrita seja válida.

L = L0

p1� �2 =

L0

�Contração das distâncias

γ >= 1 è L < L0, sempre. Ou seja, o movimento relativo causa contração das distâncias

O movimento L0 de um corpo, medido no referencial em que o corpo se encontra estacionário, é chamado de comprimento próprio ou comprimento de repouso. O comprimento medido em outro referencial em relação ao qual o corpo está se movendo (na direção da dimensão que está sendo medida) é sempre menor que o comprimento próprio.

Importante: a contração espacial só ocorre na direção do movimento relativo. 10

A relatividade das distâncias Demonstração da contração espacial

Voltemos ao nosso exemplo de João na plataforma de trem e Maria no trem. Eles querem medir o comprimento da plataforma da estação. •  João, que está em repouso em relação à plataforma, mede o comprimento próprio, L0. •  Maria, que está no trem, percorre a plataforma em um intervalo de tempo Δt = L0/v,

onde v é a velocidade do trem. Assim, L0 = vΔt , no referencial de João. O intervalo de tempo em que Maria observa a sua passagem pela plataforma, é o tempo próprio, pois sua passagem pelo início e fim da plataforma ocorrem no mesmo local (dentro do trem). Logo, para Maria:

L = vΔt0 (Maria)

Logo,

L

L0=

v�t0v�t

=1

�) L =

L0

�Contração das distâncias

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Exemplo 2 Maria e João estão cada um a bordo de uma espaçonave e passam um pelo outro com velocidade relativa v. •  O comprimento próprio da espaçonave de João é L0 = 230 m. •  Segundo Maria, a nave leva 3,57 μs para passar (intervalo de tempo entre a passagem do

ponto B e a passagem do ponto C). Em termos de c, velocidade da luz, qual é a velocidade relativa v, entre Maria e a Nave?

Dados: ü  Suponhamos que a velocidade v é da mesma ordem que c è teoria de relatividade. ü  Temos 2 referenciais inerciais: o de Maria e o de João e sua nave. ü  O problema envolve dois eventos: o primeiro é a passagem do ponto B e o segundo é a

passagem do ponto C. ü  A distância e o intervalo de tempo do problema, deve, ser medidos no mesmo referencial.

Escolhemos o referencial de Maria pois temos o dados da medida de tempo Δt entre os dois eventos nesse referencial:

v =L

�tL =

L0

�

v =L

�t=

L0

��t=

p1� (v2/c2)L0

�t12

Exemplo 2

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A transformação de Lorentz Consideremos dois referenciais S e S’: •  S’(x’, y’, z’, t’) se move com

velocidade v em relação a S(x, y, z, t) •  O eixo x coincide com o eixo x’ •  Queremos determinar a relação entre

os dois conjuntos de números (x, y, z, t) e (x’, y’, z’, t’).

As equações que determinam as relações entre as coordenadas espaço-tempo de S e S’ são as equações de transformação de Lorentz. Que podem ser deduzidas a partir dos postulados da relatividade:

(Equações de transformação de Lorentz, válidas para qualquer velocidade fisicamente possível.)

As equações inversas são:

Em termos de diferenças de coordenadas as equações inversas são:

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Consequências das equações de Lorentz

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Simultaneidade

•  Considere dois eventos ocorrendo em dois lugares distintos em S’ (Δx’ ≠ 0);

•  Considere os eventos ocorrendo

simultaneamente em S’ (Δt’ = 0); •  Considere a equação:

(eventos simultâneos em S’)

Dois eventos simultâneos em S’, não são simultâneos no referencial S.

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Consequências das equações de Lorentz

Dilatação Temporal

Suponha que 2 eventos ocorram no mesmo local em S’ (Δx’ = 0), mas em ocasiões diferentes (Δt’ ≠ 0): 0

(para eventos no mesmo local em S’)

DILATAÇÃO TEMPORAL

Contração espacial

•  Considere uma régua em repouso em S’ (Δx’ = L0); •  Medida da régua a partir de S, somente se as duas

extremidades forem medidas simultaneamente em S è Δt = 0;

•  Logo, �x

0 = �(�x� v�t) ) L0 = �(L� v�t) ) L0 = �L

Contração espacial

Exemplo

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Uma espaçonave sai da Terra em direção a um planeta com uma lua. Quando a nave está passando pelo planeta e pela lua em um trajetória retlínea, detecta uma emissão de microondas proveniente da lua e, em seguida, 1,10 s mais tarde, uma explosão no planeta, que está a 4,00 x 108 m de distância da lua, no referencial da nave. (a)  A velocidade da nave em relação ao planeta e sua lua é 0,98c. Determine a distância e o intervalo de

tempo entre a emissão e a explosão no referencial do sistema planeta-lua. Dados:

è  Temos dois referenciais, o da nave e o do sistema planeta-lua;

è  Temos dois eventos: a emissão e a explosão; è  Precisamos transformar os dados do intervalo de tempo e da distância entre os dois eventos do

referencial da nave para o referencial do sistema planeta-lua;

ü  Δx: distância entre o planeta e a lua, no referencial da nave;

ü  Δx = 4,00 x 108; ü  Δt: intervalo de tempo entre

emissão e explosão, no referencial da nave;

ü  Δt = 1,10 s

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Exemplo Usando as equações de Lorentz: Sabemos que v = 0.98c.

�x

0 = �(�x� v�t)

�t

0 = �(�t� v�x/c

2)

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Exemplo (b) Qual o significado do valor negativo de Δt’? O intervalo de tempo entre a emissão e a explosão, no referencial da nave, é definido como: Δt = tem – texpl. = 1,10 s No sistema S’, Δt’ = t’em – t’expl. è  Δt’ < 0 significa que t’expl. > t’em., ou seja, no referencial do sistema planeta-lua, a explosão ocorreu

ANTES da emissão de microondas.

(c) A emissão causou a explosão, a explosão causou a emissão ou os dois eventos não estão relacionados? Para que os eventos estejam relacionados (causalidade), deve haver transmissão de informação entre eles a uma velocidade permitida pela Relatividade.

v

0info

=�x

0

�t

0 =3, 86⇥ 108 m

�1, 04 s

= �3, 70⇥ 108 m/s

No referencial da nave

Ambas as velocidades são maiores que c. Logo, os dois eventos não podems estar relacionados. è Não há relação causal entre os eventos.

No referencial da nave

v

info

=�x

�0 =4, 00⇥ 108 m

1, 10 s

= 3, 64⇥ 108 m/s

A Relatividade das velocidades

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Utilizamos as equações de Lorentz para comparar as velocidades que dois observadores em diferente referenciais inerciais, S e S’, medem para a mesma partícula. Supomos que S’ está se movendo com velocidade v em relação a S. Consideramos que a partícula está se movendo com velocidade constante, •  u’ no referencial S’ •  u no referencial S, paralelamente aos eixos x e x’. A partícula emite um sinal e, um tempo depois, outro sinal. Observadores dos referenciais S e S’ medem a distância e o intervalo de tempo entre os dois eventos. Essas medidas de distância e tempos nos dois referenciais estão relacionadas através das equações de Lorentz:

Se dividirmos essas duas equações

A Relatividade das velocidades

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u u’

Transformação de velocidade relativística

memedidaapar3rde

memedidaapar3rde

A velocidade de uma partícula em movimento depende do referencial

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Uma nova interpretação do momento Imagine uma colisão de partículas, sendo observada por vários observadores, em referenciais inerciais diferentes. De acordo com a mecânica clássica, a lei de conservação de momento é obedecida em todos os referenciais, embora as velocidades das partículas sejam diferentes em referenciais diferentes. O momento total do sistema de partículas após a colisão é o mesmo que antes da colisão. A definição de momento na mecânica clássica é:

p = mv

Mas em relatividade restrita, a velocidade é diferente em diferentes referenciais, ou seja, o momento como definido pela mecânica clássica, não é o mesmo em todos os referenciais inerciais, quando v é próxima de c. Temos duas escolhas: 1.  Abandonar a lei de conservação do momento è impossível! De acordo com um dos postulados da

relatividade, as leis da física são as mesmas em todos os referenciais. 2.  Mudar a definição de momento para uma forma tal que a lei de conservação do momento continue a

ser respeitada. è ok!

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Uma nova interpretação do momento Para encontrar uma expressão relativística para o momento, começamos a nova definição: Onde: Δx: distânica percorrida pela partícula, observada por um observador externo Δt0: intervalo de tempo necessário para percorrer a distância Δx, mas do ponto de vista de um observador que esteja se movendo com a partícula è intervalo de tempo próprio (partícula em repouso nesse referencial). Usando, Δt = γΔt0 (dilatação temporal), temos:

p = m

�x

�t0

p = m

�x

�t0= m

�x

�t

�

v

Equação do momento relativístico válida para todas as velocidades. Quando v << c, γ -> 1 è p = mv, se reduz à equação clássica do momento.

p = �mv ) ~p = �m~v

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Uma nova interpretação da energia Em 1905 Einstein mostrou que, de acordo com a teoria da relatividade restrita, a massa pode ser considerada uma forma de energia. A massa m de um corpo e a energia equivalente E0, estão relacionadas através da equação:

E = mc2

A energia associada à massa de um corpo é chamada de energia de repouso. Energia Total A equação da energia de repouso da relatividade restrita, é válida esteja o corpo em repouso ou movimento. Porém, se o corpo está em movimento, ele possui uma energia adicional, a energia cinética K. Supondo que a energia potencial é nula, a energia total E, é a soma da energia de repouso com a energia cinética:

E = E0 + K = mc2 + K E = γmc2

A lei de conservação de energia continua válida: è A energia total de um sistema isolado não pode mudar.

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Uma nova interpretação da energia Energia Cinética Na mecânica clássica, a energia cinética K é definida como:

K = (1/2)mv2

Válida apenas para velocidades v << c. Para obtermos a equação para a energia cinética válida para todas as velocidades, lembramos que

E = mc2 + K è K = E – mc2

E = γmc2 è K = γmc2 – mc2

K = mc2(γ - 1) [ energia cinética]

� =1

1� v2/c2

Para mostrar que a energia cinética é válida para todas as velocidades, olhamos o gráfico de K versus v/c de um elétron:

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Momento e energia cinética Na mecânica clássica, p = mv e K = mv2/2 Para a expressão relativística equivalente, consideramos: Com algumas manipulações algébricas, eliminamos v das equações acima e chegamos à seguinte relação: Usando que E = mc2 + K, temos: K = E – mc2

) v = p/m e v =p

2K/m ) p

m=

r2K

m) p2 = 2Km

p = �mv e K = mc2(� � 1)

(pc)2 = K2 + 2Kmc2

De acordo com a equação acima, o produto (pc) deve ter as mesmas dimensões que a energia E. Sendo assim, podemos expressar a unidade de momento p como uma unidade de energia dividida por c. Na prática, o momento das partículas elementares é frequentemente expresso em unidades de MeV/c ou GeV/c.

Exemplo (a) Qual a energia total E de um elétron de 2,53 MeV? •  A energia total E é a soma da energia da massa do elétron (energia de repouso) mc2 e

sua energia cinética: E = mc2 + K

1 MeV = 1,602 x 10-13 J è 1 J = 1/(1,602 x 10-13 ) MeV = 0,62 x 1013 MeV è  mc2 = 0,511 MeV (b) Qual o módulo do momento do elétron, p, em unidades de MeV/c?

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Relatividade�Vídeos Sugeridos (em inglês)

•  h6ps://www.youtube.com/watch?v=4yyb_RNJWUM•  h6ps://www.youtube.com/watch?v=TgH9KXEQ0YU•  h6ps://www.youtube.com/watch?v=6ZCKAMpcAo•  h6ps://www.youtube.com/watch?v=MTY1Kje0yLg

Relatividade Geral •  https://www.youtube.com/watch?v=AwhKZ3fd9JA&t=218s •  https://www.youtube.com/watch?v=6XSAVqm0XBI •  Documentário sobre albert Einstein:

https://www.youtube.com/watch?v=NyK5SG9rwWI

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