110/04/23

Controllo statistico di processo

• Utilizzo per la redazione del Bilancio energetico aziendale

Indici Statistici

Per sintetizzare i dati ed evidenziare una certa caratteristica:

• Indici di tendenza centrale• Indici di dispersione

La media

Non esiste una sola media buona per ogni occasione, ma esistono più medie e verrà scelta la più adatta a mettere in evidenza la situazione cercata.

La media

Gli obiettivi che ci si prefigge nel calcolo di una media sono sostanzialmente due:

1) sostituire a più dati rilevati un solo numero che dia però una efficace rappresentazione del fenomeno dato;

2) esprimere l’ordine di grandezza o tendenza centrale dell’insieme dei dati relativi a un fenomeno. Tale ordine di grandezza può a volte sfuggire perché i dati sono spesso differenti fra loro.

La Media

A questo punto bisogna dare dei criteri pratici per calcolare tale valor medio; i più importanti, quindi quelli più usati, sono i seguenti:

a) si può calcolare il valor medio come funzione matematica dei dati rilevati e in tal caso si parla di media analitica;

b) si possono ordinare i dati rilevati e ottenere la media in relazione alla posizione che occupa fra essi e in tal caso si parla di media di posizione.

La media aritmetica

64

24

4

6585

6,5,8,5:

...,...,, 21

21

M

valoriseguentiiDatin

xxxxxxM n

n

La media aritmetica semplice M di n valori è il rapporto fra la loro somma e il loro numero n:

La media aritmetica ponderata

Quando ciascuna modalità si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze (assolute o relative): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso, cioè la sua frequenza.

La media aritmetica ponderata M di n valori è:

n

nnn

nnnndoven

nxnxnxxxxM

...

...,...,,

21

221121

Calcolo della media ponderata

624

3857865534

M

Voto (modalità)

Allievi (frequenza)

4 3

5 5

6 8

7 5

8 3

Attenzione!Non sempre il calcolo della media aritmetica rappresenta in modo significativo l’insieme dei valori a cui si riferisce. Per esempio, assegnati i valori:

38

24

8

13211312113,2,1,1,3,1,2,1)

68

48

8

101099233210,10,9,9,2,3,3,2)

68

48

8

675567656,7,6,5,6,7,6,5)

Mc

Mb

Ma

È opportuno allora definire altri valori medi che non siano frutto di calcolo matematico, ma che siano individuati in base alla loro posizione nella sequenza dei valori osservati.Tali medie si dicono medie di posizione le più utilizzate sono:

•La moda

•La mediana

La MODAModa di un fenomeno è la modalità con frequenza più elevata.

Mo = 6

Voto (modalità)

Allievi (frequenza)

4 3

5 5

6 8

7 5

8 3

La MEDIANA

Mediana: è il valore divisorio in quanto bipartisce la successione dei dati in due gruppi ugualmente numerosi; è il valore che taglia in due parti uguali la distribuzione dei dati ordinati, cioè il termine preceduto e seguito dallo stesso numero di dati.

Mediana Me di n valori ordinati in modo non decrescente è:

12

e2

di semisomma la usa si e

12

e 2

mediani valoridue abbiamo

2

1ncentraleposizionelaoccupachetermineilèse

nn

nnpariènse

disparin

Esempio: dati i valori ordinati:

1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 Me = 3

i valori sono 7 la mediana è il termine che occupa il 4° posto (7+1)/2=4

Avendo a disposizione la distribuzione di frequenza (Frequenze cumulate) la mediana corrisponde al valore con frequenza del 50%, cioè quel valore che ha il 50% dei casi prima e il 50% dopo. Dalla tabella Me = 6Voti 1^ A

Allievi (frequenza)

Frequenza relativa

Frequenza relativa %

Frequenza cumulata

4 2 0,09 9 95 4 0,18 18 276 8 0,36 36 647 5 0,23 23 868 3 0,14 14 100

Totale 22 1 100

Asimmetria - simmetria

I Quartili

Il concetto di mediana si può facilmente generalizzare ottenendo altri valori divisori fra i quali i più usati sono i quartili. Tali indici di posizione si fondano sempre sul concetto di divisione della distribuzione.

I Quartili dividono la serie ordinata in quattro parti contenendo ciascuna lo stesso numero di dati.

x1 Q1 Q2= Me Q3 Q4 = xn

Punteggio FrequenzaFrequ.

relativa %Frequ.

Cumulata

0 1 4,2% 4,2%

2 2 8,3% 12,5%

4 1 4,2% 16,7%

5 1 4,2% 20,8%

7 1 4,2% 25,0% = Q1

9 1 4,2% 29,2%

10 1 4,2% 33,3%

11 1 4,2% 37,5%

12 2 8,3% 45,8%

13 1 4,2% 50,0% =Q2

14 1 4,2% 54,2%

16 1 4,2% 58,3%

19 1 4,2% 62,5%

21 4 16,7% 79,2% =Q3

22 1 4,2% 83,3%

24 1 4,2% 87,5%

25 1 4,2% 91,7%

26 1 4,2% 95,8%

29 1 4,2% 100,0% =Q4

Primo quartile: si trova esattamente sul valore 7, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 25,0%Secondo quartile: si trova esattamente sul valore 13, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 50,0%. Coincide sempre con la medianaTerzo quartile: si trova all’incirca sul valore 21, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 79,2% (75,0%)Quarto quartile: si trova sempre sull’ultimo valore, in questo caso è 29, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 100%

La variabilitàIl calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili situazioni che proprio simili non sono.

1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA

Allievo 1 3 4 5 9 9 6

Allievo 2 6 6 6 6 6 6

Allievo 3 2 4 7 8 9 6

Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.

Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità diverse fra loro.La variabilità può essere rappresentata graficamente mediante il diagramma di dispersione.

Diagramma di dispersione

23456789

0 1 2 3 4 5

Prove

Allievo 1

Allievo 2

Allievo 3

Indici statistici di variabilità• Campo di variazione o range R• Varianza• Scarto quadratico medio• ….Permettono di valutare le disuguaglianze

dei dati rilevati in relazione al loro scostamento o dispersione da una media.

Campo di variazione o range R di un insieme di valori osservati è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo:

R= x max - x min

Attenzione tale indice presenta due grossi difetti:1) dipende esclusivamente dai valori massimo e minimo registrati, senza considerare i valori intermedi;2) su di esso influisce pesantemente la presenza anche di un solo valore anomalo.

1211313,2,1,1,3,1,2,1)

821010,10,9,9,2,3,3,2)

2576,7,6,5,6,7,6,5)

Rc

Rb

Ra

Altri indici di variabilità, più raffinati, si possono trovare utilizzando un altro criterio,cioè la variabilità rispetto a un centro che può essere la media.

La varianzaLa varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato, 2 (sigma quadrato).

8

5

22

692

652

642

632:allievo 1 Es.

... 222

212

n

MxMxMx n

1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA Varianza

Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8

Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0

Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5

Scarto quadratico medioLo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.

n

MxMxMx n22

22

12 ...

1^ prova 2^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova MEDIA Varianzasqm o

Deviazione standard

Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8 2,83

Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0 0,00

Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5 2,92

NormalizzazioneLa normalizzazione è un’operazione statistica che permette di mettere a confronto distribuzioni diverse.

Avendo due prove il cui punteggio grezzo massimo raggiungibile dagli studenti è diverso, 30 nella prima prova e 45 nella seconda prova, non permette di confrontare i risultati ottenuti. Per superare questo inconveniente ricorro alla normalizzazione. Essa si basa su una proporzione:

(Punti studente) : (p.ti totali) = (P.ti studente normalizzati) : 100

AllieviPunti 1 ̂

provaPunti 1 ̂

provaP.ti 1 ̂p

normalizzatiP.ti 2 ̂p

normalizzati

A1 25 40 83,3 88,9

A2 15 43 50,0 95,6

A3 28 38 93,3 84,4

A4 19 33 63,3 73,3

A5 22 31 73,3 68,9

A6 30 20 100,0 44,4

A7 27 26 90,0 57,8

A8 18 45 60,0 100,0

Per A1 1^p 25 : 30 = x : 100 x = 25/30*100 = 83,3

2^p 40 : 45 = x : 100 x = 40/45*100 = 88,9

Normalizzazione

Control Charts

2810/04/23

Diagrammi di Pareto

What is it?» A Pareto Chart is a Histogram » + a cumulative line

How does it Work?» Similar like a Histogram» First define categories, collect Data and sort them into

the Categories. Count the occurrences for each category.» Now rank the categories starting with highest value.» Draw cumulative points above all the bars and connect

them into a line.

What is its use?» Pareto Charts are used to apply the 80/20 rule of Joseph

Juran which states that 80% of the problems are the result of 20% of the problems. A Pareto Chart can be used to identify that 20% route causes of problem.

What is it?» A Pareto Chart is a Histogram » + a cumulative line

How does it Work?» Similar like a Histogram» First define categories, collect Data and sort them into

the Categories. Count the occurrences for each category.» Now rank the categories starting with highest value.» Draw cumulative points above all the bars and connect

them into a line.

What is its use?» Pareto Charts are used to apply the 80/20 rule of Joseph

Juran which states that 80% of the problems are the result of 20% of the problems. A Pareto Chart can be used to identify that 20% route causes of problem.

Type

X

Pareto ChartsPareto ChartsPareto ChartsPareto Charts

3010/04/23

Istogrammi

What is it?What is it?» A Histogram is a bar graph A Histogram is a bar graph » usually used to present frequency datausually used to present frequency data

How does it Work?How does it Work?» Define Categories for DataDefine Categories for Data» Collect Data, sort them into the categoriesCollect Data, sort them into the categories» Count the Data for each categoryCount the Data for each category» Draw the Diagram. each category finds its place on Draw the Diagram. each category finds its place on

the x-Axis.the x-Axis.» The bars will be as high as the value for the The bars will be as high as the value for the

categorycategory

What is its use?What is its use?» Histograms provide an easy way to evaluate the Histograms provide an easy way to evaluate the

distribution of Data over different categoriesdistribution of Data over different categories

HistogramsHistograms

3210/04/23

Diagrammi temporali

What is it?What is it?» Run Charts are representing changeRun Charts are representing change» in measurement over a sequence or timein measurement over a sequence or time

How does it Work?How does it Work?» Gather DataGather Data» Organize DataOrganize Data

Measurements (y) must be confronted with Measurements (y) must be confronted with time or sequence of the time or sequence of the events.events.

» Chart DataChart Data» Interpreting DataInterpreting Data

What is its use?What is its use?» Determining Cyclic Events and there average Determining Cyclic Events and there average

charactercharacter

Run ChartsRun Charts

3410/04/23

Diagrammi di correlazione

What is it? What is it? » Statistical tool showing a trend in aStatistical tool showing a trend in aseries of values.series of values.

How does it Work?How does it Work?» Gain values seriesGain values series» Draw graph with value pointsDraw graph with value points» Draw trend line: m*x+aDraw trend line: m*x+a

– Calculate m valueCalculate m value– Calculate a valueCalculate a value– Calculate points for trend line.Calculate points for trend line.

What is its use?What is its use?» Demonstrating correlations between values and Demonstrating correlations between values and

showing trends for value changes.showing trends for value changes.

Y

X

Scatter DiagramsScatter Diagrams

3610/04/23

What is it? What is it? Statistical tool, showing whetherStatistical tool, showing whether A process is in control or notA process is in control or not

How does it Work?How does it Work? Define Upper limit, lower limit and medium valueDefine Upper limit, lower limit and medium value Draw Chart.Draw Chart. Gather values and draw them into chartGather values and draw them into chart

What is its use?What is its use? Taking samples of a process and detect possibility of Taking samples of a process and detect possibility of

process being out of controlprocess being out of control

Y

X

Upper limit

Lower limit

Average/Spec

Control ChartsControl Charts

Flow chart

InputInput Within

Spec?

Within

Spec?ProcessProcess

OutputOutput

adjustadjust

YesYes

NxoNxo

What is it?What is it?Way of representing a Procedure Way of representing a Procedure using simple symbols and arrowsusing simple symbols and arrowsA Flowcharts shows the activities in a process and the A Flowcharts shows the activities in a process and the relationships between them. Operations and Decisions can relationships between them. Operations and Decisions can be represented be represented

How does it Work?How does it Work?» Determine what Process or Procedure you want to Determine what Process or Procedure you want to

represent.represent.» Start at a certain point and go then step by step using Start at a certain point and go then step by step using

circles or rectangles for operations or other elements, circles or rectangles for operations or other elements, diamonds for decisions, arrows show the flow and the diamonds for decisions, arrows show the flow and the direction.direction.

» Document the elements with titles. Let it close with an Document the elements with titles. Let it close with an ending point.ending point.

» A Flow chart lets a process or procedure be understood A Flow chart lets a process or procedure be understood easily it also demonstrate the relationships between easily it also demonstrate the relationships between the elements.the elements.

Flow ChartsFlow Charts

4010/04/23

Diagrammi causa/effetto

What is it?What is it?» It’s a diagram that demonstrates It’s a diagram that demonstrates » the relationship between Effects the relationship between Effects » and the categories of their causesand the categories of their causes» The Arrangement of the Diagram lets it look like a The Arrangement of the Diagram lets it look like a

fishbone it is therefor also called fish-bone diagramfishbone it is therefor also called fish-bone diagram

How does it Work?How does it Work?» Determine the Effect or Problem you would like to Determine the Effect or Problem you would like to

examineexamine» Categorize the possible causesCategorize the possible causes» find subcategoriesfind subcategories» Describe the possible causesDescribe the possible causes

effecteffecteffecteffect

Cause bCause bCause bCause bCause aCause aCause aCause a

Cause dCause dCause dCause dCause cCause cCause cCause c

Cause and effect Cause and effect DiagramsDiagrams