Fórmulas generales

17

Para todo cambio de variable:

a) Seleccionar u;b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la diferencial

de u, es decir, du.

III

FÓRMULA DE LA POTENCIA

Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de x elevadaa cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevado a lapotencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similar a loque ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulas generales. Todas las fórmulas que se verán deaquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x.

Y algo muy importante: para cada fórmula general, de aquí en adelante, debe emplearse un pro-cedimiento llamado cambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplossiguientes. El estudiante que no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenadoa no poder integrar ninguna función.

Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.

Fórmulas generales

18

FÓRMULA DE LA POTENCIA Y SU EXCEPCIÓN:

(6) , para 1

1

nn u

u du cn

1n

(7)du

lnu cu

La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si vale me-nos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas no sevale dividir entre cero porque da infinito.

En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).

Ejemplo 1: Integrar 73 2x dx

Solución: Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio3x - 2. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que udebe ser 3x - 2.

Si u = 3x - 2, entonces calculando la diferencial de u se obtiene quedu = 3dx

La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu dupide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 3.

Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx ; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 3. Haciéndolo:

Fórmulas generales

19

7 7 133

33 2 2x dx x dx

se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo

Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:

7 71

3 2 3 2 33

x dx x dx

u du

En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida enfórmula ya puede escribirse como

7 713 2

3x dx u du

7 1 81

3 7 1 24

u uc c

Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 3x - 2:

87 3 2

3 224

xx dx c

Fórmulas generales

20

Ejemplo 2: Integrar 11 8x dxSolución: Debe escribirse como 1 2

11 8/

x dx

Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polino-

mio 11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que

u debe ser 11x + 8.

Si u = 11x + 8 , entonces calculando la diferencial de u se obtiene que

du = 11dx

La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu dupide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo que

significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 11dx.

Pero nada más se tiene dx, le falta el 11.

Si la integral original se multiplica por 11 se consigue tener 11dx ; pero si se hace esto, para

que siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 11. Haciéndolo:

1 2 1 211

11

111 8 11 8

/ /x dx x dx

se divide y

se multiplica por 11 al mismo tiempo

Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar

afuera de la integral, por lo que la fracción un onceavo se echa para afuera, quedando:

Fórmulas generales

21

1 2 1 21

11 8 11 8 1111

/ /x dx x dx

u du

En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en

fórmula ya puede escribirse como

1 2 1 2111 8

11

/ /x dx u du

11 3 221 1

1 311 1112 2

/u uc c

3 22

33

/uc

Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 11x + 8:

3 22 11 8

11 833

/x

x dx c

Ejemplo 3: Integrar

4 10

dx

x Solución: En este caso, la fórmula a emplear es la (7), para lo cual debe hacerse

Fórmulas generales

22

u = 4x - 10 de dondedu = 4dx

La fórmula (7) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quedu

upide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 4dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (7) debe tenerse en la integral original 4dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 4.

Si la integral original se multiplica por 4 se consigue tener 4dx; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 4. Haciéndolo:

1

4 10 4 10

44

dxdx

x x

Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un cuarto se echa para afuera, quedando:

41

4 10 4 4 10

dxdx

x x

du

u

1 1

4 4

dulnu c

u

Y regresando a la variable original, sustituyendo u por 4x - 10:

14 10

4 10 4

dxln x c

x

Fórmulas generales

23

Ejemplo 4: Integrar 425 6x x dxSolución: La integral se puede escribir como . Si se hace u = 5x2 - 6, entonces su 425 6x x dx

diferencial es du = 10x dx. En la integral original solamente se tiene x dx, por lo que le faltaun 10 multiplicando, pero para que no se altere, se debe dividir entre 10 también.

Por lo visto en los ejemplos anteriores, en estos momentos ya se sabe que el factor “no1

10

sirve”, por lo que se tiene que sacar de la integral. Resulta:

4 42 215 6 5 6 10

10x x dx x x dx

u du

4 141 1

10 10 4 1

uu du c

5 51

10 5 50

u uc c

Y regresando a la variable original, sabiendo que u = 5x2 - 6, se llega a:

5242

5 65 6

50

xx x dx c

Fórmulas generales

24

Ejemplo 5: Integrar

32

4

7 9

x dx

x

Solución: Sea u = 7x 2 - 9 , de dondedu = 14x dx

Si en la integral original estuviera en el numerador en vez de 4x dx , se tendría la14x dx

diferencial de u , o sea du, que es lo que pide la fórmula; pero no es así. Sin embargo, elproblema se arregla muy fácil: la constante 4 que “no sirve” se echa para fuera de la integral.Luego se multiplica y se divide simultáneamente por 14, lo que queda así:

1

3 3

4

2 2

1 1444

147 9 7 9

14 x dx x dx

x x

3

du

u

33

4 2

14 7

duu du

u

3 1 22 2

7 3 1 7 2

u uc c

2

2

14c

u

Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a

3 22 2

4 1

7 9 7 7 9

dxc

x x

Fórmulas generales

25

Otra forma más directa de hacer el cambio de variable es multiplicando por y así:414

144

Sea u = 7x 2 - 9 , de dondedu = 14x dx

3 32 2

144 4

4 4147 9

4

7

1

9

4 1

4 4x dx x dx

x x

32

4 14

14 7 9

xdx

x

3

du

u

33

4 2

14 7

duu du

u

3 1 22 2

7 3 1 7 2

u uc c

2

2

14c

u

Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a

3 22 2

4 1

7 9 7 7 9

dxc

x x

COMPROBACIÓN: La comprobación consiste simplemente en derivar el resultado obtenido:

2 22 2

1 1

7 7 9 7 7 9

d d dc c

dx dx dxx x

Fórmulas generales

26

22

1 10

7 7 9

d

dx x

2217 9

7

dx

dx

2 12 212 7 9 7 9

7

dx x

dx

3212 7 9 14

7x x

32

28

7 7 9

x

x

2 32 2

1 4

7 7 9 7 9

d xc

dx x x

Que es lo que se integró.

Ejemplo 6: Integrar 721 2 8x x x dx Solución: Sea u = x2 - 2x - 8 de donde

du = (2x - 2) dx

Si se multiplica por 2 la integral original se obtiene la diferencial de u .Obviamente, debedividirse también entre 2:

7 72 21 12 1 2 8 2 8 2 2

2 2duu

x x x dx x x x dx

Fórmulas generales

27

7 171 1

2 2 7 1

uu du c

8 81

2 8 16

u uc c

8272

2 81 2 8

16

x xx x x dx c

Ejemplo 7: Integrar 2

5 10

3 12 1

x dx

x x

Solución: Sea u = 3x2 - 12x + 1 de dondedu = (6x - 12)dx

Los ejemplos anteriores deben haber capacitado al alumno para que sea capaz en este ejemplode analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes que se va a hacer:

2 2

5 10 5 2

3 12 1 3 12 1

x dx x dx

x x x x

2

25

3

6

12 16

x dx

x x

2

6 125

6 3 12 1

x dx

x x

1 2

253 12 1 6 12

6

/

x x x dx

Fórmulas generales

28

1 25

6/u du

11

2516 12

uc

1 25162

/uc

252 3 12 1

6x x c

2

2

5 10 5 3 12 1

33 12 1

x dx x xc

x x

Ejemplo 8: Integrar

2

3 12

8 7

x dx

x x

Solución: Sea u = x2 + 8x - 7 , de dondedu = (2x + 8)dx

Nuevamente se deja al estudiante analizar por su propia cuenta el manejo de las constantesque se va a hacer:

2 2

3 12 3 4

8 7 8 7

x dx x dx

x x x x

Fórmulas generales

29

12

2

2 43

8 7

x dx

x x

2

2 83

2 8 7

x dx

x x

du

u

3 3

2 2

dulnu c

u

Y regresando a la variable original se llega a que

22

3 12 38 7

28 7

x dxln x x c

x x

Ejemplo 9: Integrar 2

2 10

x

x

e dx

e Solución: Sea u = e2x + 10 , de donde

du = 2e 2x dx

Entonces

2 2

2 2

2

2

1

10 10

x x

x x

e dx e dx

e e

du

u

1 1

2 2

duln u c

u

Y regresando a la variable original:

2

22

110

210

xx

x

e dxln e c

e

Fórmulas generales

30

EJERCICIO 3.1

Realizar las siguientes integrales por medio de un cambio de variable:

1) 2) 713 12x dx 11

2 19x dx

3) 4)7 15x dx 8 13

dx

x

5) 6) 9

6

15 11

dx

x 2

9 4

dx

x

7) 8) 823 11x x dx 42

3

3 1

x dx

x

9) 10) 328 5 80 22x x x dx 62

1

4 8

x dx

x x

11) 12) 24 1 6 3 11x x x dx

2

10 15

7 21 9

x dx

x x

13) 14)

2

23

4 12

9

x dx

x x

53 3 8x xe e dx

15) 16) 25 23 3 5 10 9x x x dx

2

34 3

4 2

8 12 1

x dx

x x

17) 18) 3

4 2

8 8

2 9

x x dx

x x

2

83 2

7 7

2 3 9

x x dx

x x