Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred4.pdfMatrice...

Matrice linearnog operatora Mnozenje matrica

Matrice linearnih operatora i mnozenje matrica

Franka Miriam Bruckler


Matrice linearnog operatora

Neka je A : V →W linearan operator, gdje su V i W konacnihdimenzija. Znamo: Djelovanje linearnog operatora A uvijek jedovoljno zadati na vektorima jedne baze {e1, . . . , en} domene.Pripadni rezultati su Ae1, Ae2, . . . , Aen, sto su vektori u kodomeniW . Stoga se svaki od njih moze (jednoznacno) zapisati kaolinearna kombinacija elemenata neke odabrane baze {f1, . . . , fm}. ukodomeni.

Definicija (Matrica linearnog operatora)

Matrica linearnog operatora A s obzirom na odabrane baze domenei kodomene je matrica A u kojoj se redom u stupcima nalazekoordinate slika vektora odabrane baze domene (dakle, od Ae1,Ae2, . . . , Aen), sve u istoj odabranoj bazi kodomene.


Primjer

Neka σ : R3 → R3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku

ravninu, a ortogonalna baza {−→a ,−→b ,−→c } prostora je odabrana takoda je ta ravnina (y , z)-ravnina. KKoja je matrica tog operatora?

Ako je A operator s n- u m-dimenzionalni prostor, kolikokoordinata ima element domene? Kodomene? Dakle, matricaoperatora A imat ce redaka kolika je dimenzija kodomene i stupacakolika je dimenzija domene. Posebno, ako su domena i kodomenaiste dimenzije, matrica linearnog operatora je kvadratna.

Napomena

Ako su domena i kodomena linearnog operatora jednake,uobicajeno je uzeti istu bazu u domeni i kodomeni, pa cemo to udaljnjem podrazumijevati.Linearni operatori na beskonacnodimenzionalnim prostorima nemogu se opisati matricama.


Primjer



Ako je A operator s n- u m-dimenzionalni prostor, kolikokoordinata ima element domene? Kodomene?

Dakle, matricaoperatora A imat ce redaka kolika je dimenzija kodomene i stupacakolika je dimenzija domene. Posebno, ako su domena i kodomenaiste dimenzije, matrica linearnog operatora je kvadratna.

Napomena



Primjer




Napomena



Primjer




Napomena

Ako su domena i kodomena linearnog operatora jednake,uobicajeno je uzeti istu bazu u domeni i kodomeni, pa cemo to udaljnjem podrazumijevati.

Linearni operatori na beskonacnodimenzionalnim prostorima nemogu se opisati matricama.


Primjer




Napomena



Ovisnost matrice operatora o bazama

Zadatak

Kako izgledaju matrice od I i 0? Ovise li one o odabiru baze?

Definicija

Operatori oblika A : V → V , Av = αv za konstantan skalar αzovu se skalarni operatori.

Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Matricaskalarnog operatora mnozenja s α u svim bazama ima sve elementena dijagonali jednake α, a ostale elemente jednake 0. Takvematrice zovu se skalarne matrice. Za slucaj α = 1 imamo jedinicnioperator i odgovarajuca se matrica zove jedinicna matrica, a zaα = −1 (i V = V 3(O)) imamo operator centralne simetrije.



Zadatak


Definicija


Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze?

Matricaskalarnog operatora mnozenja s α u svim bazama ima sve elementena dijagonali jednake α, a ostale elemente jednake 0. Takvematrice zovu se skalarne matrice. Za slucaj α = 1 imamo jedinicnioperator i odgovarajuca se matrica zove jedinicna matrica, a zaα = −1 (i V = V 3(O)) imamo operator centralne simetrije.



Zadatak


Definicija


Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze? Matricaskalarnog operatora mnozenja s α u svim bazama ima sve elementena dijagonali jednake α, a ostale elemente jednake 0. Takvematrice zovu se skalarne matrice. Za slucaj α = 1 imamo jedinicnioperator i odgovarajuca se matrica zove jedinicna matrica, a zaα = −1 (i V = V 3(O)) imamo operator centralne simetrije.


Zadatak

Linearan operator A : R4 → R4 zadan je kao tzv. pomak ulijevo:(x1, x2, x3, x4) 7→ (x2, x3, x4, 0). Odredite njegove matrice obziromna kanonsku bazu i obzirom na bazu (4, 0, 3, 0), (−2, 1, 0, 0),(0, 0,−1, 1) i (0, 1, 0, 2).

Ako uzmemo kanonsku bazu, imamo redomA(1, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0), A(0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0),A(0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0), A(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1, 0), pa je s obziromna kanonsku bazu matrica naseg operatora

A =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

.


Za navedenu drugu bazu imamo redomA(4, 0, 3, 0) = (0, 3, 0, 0) = v1, A(−2, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0) = v2,A(0, 0,−1, 1) = (0,−1, 1, 0) = v3, A(0, 1, 0, 2) = (1, 0, 2, 0) = v4,no

A′ =

0 1 0 13 0 −1 00 0 1 20 0 0 0

nije trazena matrica. Zasto?

Vektorima v1, v2, v3, v4 odrediti koordinate u bazi {a, b, c , d}.

4 −2 0 0 0 1 0 10 1 0 1 3 0 −1 03 0 −1 0 0 0 1 20 0 1 2 0 0 0 0

1 0 0 0 6 1 −3 −10 1 0 0 12 3

2 −6 −52

0 0 1 0 18 3 −10 −50 0 0 1 −9 −3

2 5 52

.

Kao sto i koordinate pojedinacnih vektora opcenito ovise o odabirubaze vektorskog prostora, tako i brojevi u matrici linearnogoperatora ovise o odabiru baze domene i kodomene.


Za navedenu drugu bazu imamo redomA(4, 0, 3, 0) = (0, 3, 0, 0) = v1, A(−2, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0) = v2,A(0, 0,−1, 1) = (0,−1, 1, 0) = v3, A(0, 1, 0, 2) = (1, 0, 2, 0) = v4,no

A′ =

0 1 0 13 0 −1 00 0 1 20 0 0 0

nije trazena matrica. Zasto?Vektorima v1, v2, v3, v4 odrediti koordinate u bazi {a, b, c , d}.

4 −2 0 0 0 1 0 10 1 0 1 3 0 −1 03 0 −1 0 0 0 1 20 0 1 2 0 0 0 0

1 0 0 0 6 1 −3 −10 1 0 0 12 3

2 −6 −52

0 0 1 0 18 3 −10 −50 0 0 1 −9 −3

2 5 52

.

Kao sto i koordinate pojedinacnih vektora opcenito ovise o odabirubaze vektorskog prostora, tako i brojevi u matrici linearnogoperatora ovise o odabiru baze domene i kodomene.


Zadatak

Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj tocki prostorapridruzuje njenu ortogonalnu projekciju na (x , y)-ravninu, uzpretpostavku da je odabrani koordinatni sustav ortogonalan.

V 2(O)Osnovni operatori simetrije na V 2(O) su jedinicni operator,zrcaljenje s obzirom na os kroz O i rotacija za kut α oko O. Sviostali linearni operatori simetrije na V 2(O) mogu se dobitikomponiranjem tih osnovnih operatora.Jedinicni operator I : V2(O)→ V2(O) u svim bazama ima matricu(

1 00 1

).

Pogledajmo sad zrcaljenje σ s obzirom na os kroz ishodiste. Zaopis zrcaljenja u V 2(O) ako je moguce biramo ortogonalnu bazu.


Ako je os zrcaljenja x-os:

x

1

y

1

~a = σx~a

~b

σx~b = −~b

Dakle, σx(1, 0) = (1, 0), σx(0, 1) = (0,−1).

Slijedi da operatorizrcaljenja V 2(O) s obzirom na x- odnosno y -os, uz odabirortogonalne baze, imaju matrice

Sx =

(1 00 −1

)odnosno,Sy =

(−1 00 1

).


Ako je os zrcaljenja x-os:

x

1

y

1

~a = σx~a

~b

σx~b = −~b

Dakle, σx(1, 0) = (1, 0), σx(0, 1) = (0,−1). Slijedi da operatorizrcaljenja V 2(O) s obzirom na x- odnosno y -os, uz odabirortogonalne baze, imaju matrice

Sx =

(1 00 −1

)odnosno,Sy =

(−1 00 1

).


Naposlijetku, pogledajmo rotacije ρα oko O za kut α. Ukolikoodabrana baza ne bi bila ortonormirana, bilo bi tesko precizno kaolinearnu kombinaciju vektora baze opisati zarotirane slike vektorabaze. Stoga za opis rotacije u V 2(O) ako je moguce biramoortonormiranu bazu.

x

1

y

1

~a

~b ρα~aρα~b

Nije tesko uvjeriti se da je u ovom slucaju ρα~a = cos(α)~a + sin(α)~bi ρα~b = − sin(α)~a + cos(α)~b.


Dakle, operator rotacije V 2(O) oko O za kut α, uz odabirortonormirane baze, ima matricu(

cosα − sinαsinα cosα

).

V 3(O)Osnovni operatori simetrije na V 3(O) su jedinicni operator,centralna simetrija s obzirom na O, zrcaljenje s obzirom na ravninukroz O i rotacija za kut α oko osi koja prolazi kroz O. Svi ostalilinearni operatori simetrije na V 3(O) mogu se dobitikomponiranjem tih osnovnih operatora.Jedinicni operator I : V3(O)→ V3(O) i centralna simetrijaι : V3(O)→ V3(O) u svim bazama imaju matrice 1 0 0

0 1 00 0 1

odnosno

−1 0 00 −1 00 0 −1

.


Operator zrcaljenja V 3(O) s obzirom na (x , y)-ravninu, uzpretpostavku da je z-os okomita na (x , y)-ravninu, ima matricu

Sxy =

1 0 00 1 00 0 −1

.

Operator rotacije V 3(O) oko z-osi za kut α, uz odabir ortogonalnebaze u kojoj vektori koji odreduju x- i y -os imaju istu duljinu, imamatricu

Rz,α =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

0 0 1

Vazno!

Sve matrice (u svim ortonormiranim bazama) svih operatorasimetrije su ortogonalne.


Koja korist od matrice operatora?

Recimo da nas zanima na koju poziciju se zarotira neka tocka

prostora T , odnosno njezin radij-vektor ~r =−→OT , ako se radi o

rotaciji ρy prostora oko y -osi za kut od 45◦, uz pretpostavku da je

odabrana baza ortonormirana {~i , ~j , ~k}.

Vektor −→r ima neke koordinate [x , y , z ] obzirom na odabranu bazu.Kako je ρy linearan operator, znamo

ρy−→r = x ρy (

−→i ) + y ρy (

−→j ) + z ρy (

−→k ).

S druge strane, matrica naseg linearnog operatora je

Ry =

√

2/2 0 −√

2/20 1 0√2/2 0

√2/2

i u njoj su stupci tocno koordinate od ρy (

−→i ), ρy (

−→j ) i ρy (

−→k ) (isto

u bazi {~i , ~j , ~k}).


Koja korist od matrice operatora?

Recimo da nas zanima na koju poziciju se zarotira neka tocka

prostora T , odnosno njezin radij-vektor ~r =−→OT , ako se radi o

rotaciji ρy prostora oko y -osi za kut od 45◦, uz pretpostavku da je

odabrana baza ortonormirana {~i , ~j , ~k}.Vektor −→r ima neke koordinate [x , y , z ] obzirom na odabranu bazu.Kako je ρy linearan operator, znamo

ρy−→r = x ρy (

−→i ) + y ρy (

−→j ) + z ρy (

−→k ).

S druge strane, matrica naseg linearnog operatora je

Ry =

√

2/2 0 −√

2/20 1 0√2/2 0

√2/2

i u njoj su stupci tocno koordinate od ρy (

−→i ), ρy (

−→j ) i ρy (

−→k ) (isto

u bazi {~i , ~j , ~k}).


Dakle,

ρy [x , y , z ] = x [√

2/2, 0,√

2/2] + y [0, 1, 0] + z [−√

2/2, 0,√

2/2] =

= [(x − z)√

2/2, y , (x + z)√

2/2].

Ako bolje pogledamo, vidimo da je prva koordinata odρy−→r = [X ,Y ,Z ] tocno skalarni produkt (u R3) prvog retka

matrice Ry i (x , y , z), druga koordinata od ρy−→r tocno skalarni

produkt (u R3) drugog retka matrice Ry i (x , y , z), a trecakoordinata od ρy

−→r tocno skalarni produkt (u R3) treceg retkamatrice Ry i (x , y , z).

Pisemo√

2/2 0 −√

2/20 1 0√2/2 0

√2/2

· x

yz

=

(x − z)√

2/2y

(x + z)√

2/2

.


Dakle,

ρy [x , y , z ] = x [√

2/2, 0,√

2/2] + y [0, 1, 0] + z [−√

2/2, 0,√

2/2] =

= [(x − z)√

2/2, y , (x + z)√

2/2].

Ako bolje pogledamo, vidimo da je prva koordinata odρy−→r = [X ,Y ,Z ] tocno skalarni produkt (u R3) prvog retka

matrice Ry i (x , y , z), druga koordinata od ρy−→r tocno skalarni

produkt (u R3) drugog retka matrice Ry i (x , y , z), a trecakoordinata od ρy

−→r tocno skalarni produkt (u R3) treceg retkamatrice Ry i (x , y , z).Pisemo

√2/2 0 −

√2/2

0 1 0√2/2 0

√2/2

· x

yz

=

(x − z)√

2/2y

(x + z)√

2/2

.


Mnozenje matrice s matricom-stupcem

Umnozak matrice A linearnog operatora A s matricom-stupcem ukojoj su koordinate vektora v kojeg taj operator preslikava dajekoordinate od A(v). Pritom se koordinate od v odnose na bazudomene od A koja je odabrana pri odabiru matrice A, a koordinateod Av se odnose na bazu kodomene od A koja je odabrana priodabiru matrice A. Dakle:

A · v za A ∈ Mm,n i v ∈ Mn,1

Ovo mnozenje je definirano tako da njegov rezultat daje vektor Av .

Ako je A ∈ Mm,n i v ∈ Mn,1, umnozak A · v definiramo kao matricuu Mm,1 ciji elementi su skalarni produkti (u Rn) redaka od A s v .


Primjer

Koje su, u ortonormiranoj bazi {~i , ~j}, koordinate vektora 2~i − 5~jako se on zarotira za 60◦ oko ishodista?

R =

(1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

),

R ·[

2−5

]=

[1 + 5

√3

2√3

2 − 52

]

Primijetimo da u gornjem smislu svaka matrica predstavlja nekilinearni operator s obzirom na neke baze domene i kodomene. Akoje A matrica-redak, onda je kodomena jednodimenzionalna(linearni funkcional) pa je rezultat mnozenja matrice-retka smatricom-stupcem skalar, preciznije: 1× 1-matrica. Pritom, tomnozenje ima smisla samo ako su broj redaka matrice-stupca imatrice A jednaki. Ima li smisla mnoziti matricu-stupac smatricom-stupcem?


Primjer


R =

(1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

),

R ·[

2−5

]=

[1 + 5

√3

2√3

2 − 52

]

Primijetimo da u gornjem smislu svaka matrica predstavlja nekilinearni operator s obzirom na neke baze domene i kodomene.

Akoje A matrica-redak, onda je kodomena jednodimenzionalna(linearni funkcional) pa je rezultat mnozenja matrice-retka smatricom-stupcem skalar, preciznije: 1× 1-matrica. Pritom, tomnozenje ima smisla samo ako su broj redaka matrice-stupca imatrice A jednaki. Ima li smisla mnoziti matricu-stupac smatricom-stupcem?


Primjer


R =

(1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

),

R ·[

2−5

]=

[1 + 5

√3

2√3

2 − 52

]

Primijetimo da u gornjem smislu svaka matrica predstavlja nekilinearni operator s obzirom na neke baze domene i kodomene. Akoje A matrica-redak, onda je kodomena jednodimenzionalna(linearni funkcional)

pa je rezultat mnozenja matrice-retka smatricom-stupcem skalar, preciznije: 1× 1-matrica. Pritom, tomnozenje ima smisla samo ako su broj redaka matrice-stupca imatrice A jednaki. Ima li smisla mnoziti matricu-stupac smatricom-stupcem?


Primjer


R =

(1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

),

R ·[

2−5

]=

[1 + 5

√3

2√3

2 − 52

]

Primijetimo da u gornjem smislu svaka matrica predstavlja nekilinearni operator s obzirom na neke baze domene i kodomene. Akoje A matrica-redak, onda je kodomena jednodimenzionalna(linearni funkcional) pa je rezultat mnozenja matrice-retka smatricom-stupcem skalar, preciznije: 1× 1-matrica. Pritom, tomnozenje ima smisla samo ako

su broj redaka matrice-stupca imatrice A jednaki. Ima li smisla mnoziti matricu-stupac smatricom-stupcem?


Primjer


R =

(1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

),

R ·[

2−5

]=

[1 + 5

√3

2√3

2 − 52

]

Primijetimo da u gornjem smislu svaka matrica predstavlja nekilinearni operator s obzirom na neke baze domene i kodomene. Akoje A matrica-redak, onda je kodomena jednodimenzionalna(linearni funkcional) pa je rezultat mnozenja matrice-retka smatricom-stupcem skalar, preciznije: 1× 1-matrica. Pritom, tomnozenje ima smisla samo ako su broj redaka matrice-stupca imatrice A jednaki. Ima li smisla mnoziti matricu-stupac smatricom-stupcem?


Napomena

Za linearne je operatore uobicajeno umjesto A(v) pisati Av .

Neka je A ∈ Mm,n proizvoljna matrica. DefiniramoA : Mn,1 → Mm,1 s A(X ) = A ·X . Argumentirajte zasto je A uvijeklinearan operator! Koja je matrica od A obzirom na kanonskubazu?

Zadatak

Kvadrat ima vrhove koji u Kks-u imaju koordinate (0, 0), (1, 0),(1, 1), (0, 1). Matrica M ∈ M2 definira M : V 2(O)→ V 2(O).U kakve cetverokute M moze preslikati nas kvadrat? U kakve ne?Ako je neki drugi kvadrat odreden vrhovima (4, 4), (6, 2), (8, 4),(6, 6), uz koje uvjete na M ce se oba kvadrata preslikati u isti tipcetverokuta?


Zadatak

Tzv. opce pozicije u kristalnoj strukturi prostorne grupe Pbcn(rompski sustav) mogu se zapisati kao koordinate(m, n, p), (m + 1/2, n + 1/2, p + 1/2), (m + 1/2, n, p),(m, n + 1/2, p), (m, n, p + 1/2), (m + 1/2, n + 1/2, p),(m + 1/2, n, p + 1/2), (m, n + 1/2, p + 1/2), gdje su m, n i l cijelibrojevi. Zapisite jednu (ne-jedinicnu) matricu koja (obzirom nakristalografsku bazu) predstavlja linearan operator simetrije za ovukristalnu resetku, tj. takav da se prije i poslije njegovog djelovanjaopce pozicije nalaze na istim mjestima.


Mnozenje matrica opcenito

A · BOvo mnozenje je definirano tako da njegov rezultat daje matricukoja odgovara kompoziciji linearnih operatora A i B.

Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati?

Kakve stogatrebaju biti matrice A i B da bi A · B imalo smisla? Koliko redaka istupaca ima A · B? Podrazumijevamo li da je

”dolazna” baza od B

ista kao”polazna” od A, definiramo: element na poziciji (i , j)

umnoska A · B je skalarni produkt i-tog retka od A i j-tog stupcaod B, oba shvacena kao elementi od Rn (odnosno Cn).Kada matricu-stupac mozemo mnoziti s matricom-retkom i kakotada izgleda rezultat?




Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stogatrebaju biti matrice A i B da bi A · B imalo smisla?

Koliko redaka istupaca ima A · B? Podrazumijevamo li da je







Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stogatrebaju biti matrice A i B da bi A · B imalo smisla? Koliko redaka istupaca ima A · B?

Podrazumijevamo li da je”dolazna” baza od B






Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stogatrebaju biti matrice A i B da bi A · B imalo smisla? Koliko redaka istupaca ima A · B? Podrazumijevamo li da je



umnoska A · B je skalarni produkt i-tog retka od A i j-tog stupcaod B, oba shvacena kao elementi od Rn (odnosno Cn).

Kada matricu-stupac mozemo mnoziti s matricom-retkom i kakotada izgleda rezultat?




Uz koji uvjet se dvije funkcije mogu komponirati? Kakve stogatrebaju biti matrice A i B da bi A · B imalo smisla? Koliko redaka istupaca ima A · B? Podrazumijevamo li da je





Primjer

S obzirom na standardnu ortonormiranu bazu, odredite matriculinearnog operatora koji vektore prostora V 3(O) prvo zarotira okoneke osi za 90◦, a zatim zrcali s obzirom na ravninu okomitu na tuos (takve operatore zovemo rotorefleksijama).

R90◦ =

0 −1 01 0 00 0 1

, Sxy =

1 0 00 1 00 0 −1

.

Buduci da kompoziciji operatora odgovara mnozenje njihovihmatrica, trazena je matrica

SxyR90◦ =

0 −1 01 0 00 0 −1

.


Svojstva mnozenja matrica

Mnozenje matrica je asocijativno (A(BC ) = (AB)C kad god je Aulancana s B i B s C ).

Za jedinicne matrice In ∈ Mn vrijediImA = AIn = A (za A ∈ Mm,n). Vrijedi i distributivnost premazbrajanju: A(B + C ) = AB + AC za A ∈ Mm,n, B,C ∈ Mn,p i(A + B)C = AC + BC za A,B ∈ Mm,n, C ∈ Mn,p, tekvaziasocijativnost: α(AB) = (αA)B ako su A i B ulancane.

Zadatak

Ako je A ∈ Mm,n, za koje p i q ima smisla A0p,q? A 0p,qA? Sto jerezultat tih umnozaka?



Mnozenje matrica je asocijativno (A(BC ) = (AB)C kad god je Aulancana s B i B s C ). Za jedinicne matrice In ∈ Mn vrijediImA = AIn = A (za A ∈ Mm,n).

Vrijedi i distributivnost premazbrajanju: A(B + C ) = AB + AC za A ∈ Mm,n, B,C ∈ Mn,p i(A + B)C = AC + BC za A,B ∈ Mm,n, C ∈ Mn,p, tekvaziasocijativnost: α(AB) = (αA)B ako su A i B ulancane.

Zadatak




Mnozenje matrica je asocijativno (A(BC ) = (AB)C kad god je Aulancana s B i B s C ). Za jedinicne matrice In ∈ Mn vrijediImA = AIn = A (za A ∈ Mm,n). Vrijedi i distributivnost premazbrajanju: A(B + C ) = AB + AC za A ∈ Mm,n, B,C ∈ Mn,p i(A + B)C = AC + BC za A,B ∈ Mm,n, C ∈ Mn,p, tekvaziasocijativnost: α(AB) = (αA)B ako su A i B ulancane.

Zadatak



Zadatak

Mozete li skalarni produkt u Rn opisati kao mnozenje matrica?

Zadatak

Mozete li naci dvije matrice u M2 takve da nisu nulmatrice, ali imje umnozak nulmatrica?

Iz definicije se vidi: Ako AB ima smisla, to ne znaci da BA imasmisla. U kojim slucajevima oba umnoska AB i BA imaju smisla?

Nadite dvije matrice A,B ∈ M2 takve da AB 6= BA i dvije takve daAB = BA!Zbog nekomutativnosti mnozenja matrica, cesto se kao

”mjera

nekomutativnosti” uzima njihov komutator

[A,B] = AB − BA.


Zadatak


Zadatak


Iz definicije se vidi: Ako AB ima smisla, to ne znaci da BA imasmisla. U kojim slucajevima oba umnoska AB i BA imaju smisla?Nadite dvije matrice A,B ∈ M2 takve da AB 6= BA i dvije takve daAB = BA!

Zbog nekomutativnosti mnozenja matrica, cesto se kao”mjera


[A,B] = AB − BA.


Zadatak


Zadatak


Iz definicije se vidi: Ako AB ima smisla, to ne znaci da BA imasmisla. U kojim slucajevima oba umnoska AB i BA imaju smisla?Nadite dvije matrice A,B ∈ M2 takve da AB 6= BA i dvije takve daAB = BA!Zbog nekomutativnosti mnozenja matrica, cesto se kao

”mjera


[A,B] = AB − BA.


Primjer

Paulijeve matrice spina su tri matrice koje se ponekad koriste zaopis spinova elektrona (po jedna za svaki kutni moment):

Sx =~2

(0 11 0

), Sy =

~2

(0 −ii 0

),Sz =

~2

(1 00 −1

).

Za njih je

[Sx , Sy ] = i~Sz , [Sy ,Sz ] = i~Sx , [Sz ,Sx ] = i~Sy

i

S2x + S2

y + S2z =

3

4~2

(1 00 1

).

Posljednja matrica predstavlja kvadrat spinskog kutnog momenta.

Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred4.pdfMatrice...

Documents

Transcript of Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred4.pdfMatrice...