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EQUAZIONI non LINEARI

Francesca PelosiDipartimento di Matematica, Universita di Roma “Tor Vergata”

CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE

http://www.mat.uniroma2.it/∼pelosi/

EQUAZIONI non LINEARI – p.1/44

EQUAZIONI NON LINEARIData una funzione f : R → R consideriamo il problema dideterminare i valori x tali che

f(x) = 0

Tali valori sono solitamente chiamati zeri o radici dellafunzione f .

Esempi:− Equazioni algebriche: Pn(x) =

∑ni=0 aix

i = 0

− x + 4 sin(x) = 0, ex + x2 = 0,√

x − log(x) = 3


EQUAZIONI NON LINEARI

In generale non sono disponibili formule esplicite per ladeterminazione delle radici di una funzione (per esempioequazioni algebriche n > 4)

⇒ metodi iterativi

Tecniche che consentono di approssimare le soluzionicon un prestabilito grado di precisione

A partire da una approssimazione iniziale x0 sicostruisce una successione x1, x2, . . . che, sottoopportune ipotesi, risulta convergere alla radicecercata


Procedimenti iterativiSia P un problema ed α una soluzione del problema P .Supponiamo di utilizzare un procedimento iterativo per ladeterminazione di α che genera una successione{xi}i=0,1,... convergente ad α.È importante tener presente tre questioni fondamentali:1. Scelta del valore di innesco e convergenza

Supponiamo di considerare procedimenti iterativiricorrenti ad un passo xi+1 = φ(xi) è necessario perpoter innescare il procedimento un punto di innesco x0

DEF: Un metodo converge localmente ad α se la convergenza

della successione {xi} dipende in modo critico dalla vicinanza dix0 ad α. Il procedimento e globalmente convergente quando laconvergenza non dipende da quanto x0 e vicino ad α.

Per i metodi a convergenza locale la scelta del punto diinnesco è cruciale.


Procedimenti iterativi2. Velocità di convergenza:

DEF: data una successione {xi} convergente ad un limite α, siponga ei := xi − α. Se esistono due numeri reali p e C tali che sia

limi→∞

|ei+1||ei|p

= C

si dice che la successione ha ordine di convergenza p efattore di convergenza C .

Per p = 1 la convergenza si dice lineare

Per p = 2 la convergenza si dice quadratica.

Nel caso p = 1 si deve necessariamente avere C < 1.

Un metodo iterativo è convergente di ordine p se tale è lasuccessione da esso generata.


Procedimenti iterativi3. Criteri di arresto

Chiaramente non è possibile generare infinite iterate dellasuccessione. Il procedimento dovrebbe arrestarsi quando

|ei| = |xi − α| < toll

Non disponendo della soluzione è necessario procurarsiuna stima di ei. Una possibile strategia è quella diapprossimare ei con |xi+1 − xi|. Si ottiene il criterio diarresto assoluto

|xi+1 − xi| < tollA

Il criterio di arresto assoluto può fallire:se tollA = 10−6 e |α| ' |xi| ' 10−12 tolleranza troppo grande

se tollA = 10−6 e |α| ' |xi| ' 1012 tolleranza troppo piccola


Procedimenti iterativi3. ... criteri di arresto

conviene usare un criterio di arresto relativo dato da

|xi+1 − xi||xi+1|

< tollR

OSS: la tolleranza utilizzata nel criterio di arrestorelativo NON deve essere minore della precisione dimacchina, ma

tollR > εm

(due numeri macchina non possono avere distanzarelativa minore di εm)


Procedimenti iterativi3. ... criteri di arresto

Per equazioni non lineari si può anche utilizzare ilcontrollo del residuo:

|f(xi+1)| ≤ toll

se |f ′(α)| << 1: è inaffidabile( |ei| potrebbe essere molto grande)se |f ′(α)| >> 1: troppo restrittivose |f ′(α)| ' 1: produce un indicazione soddisfacente

Quando non si ha la certezza della bontà dei tests(su xi e su f ), conviene includerli entrambi,In pratica se il criterio di arresto funziona, non si ha lasoluzione α, ma solo una sua approssimazione


Metodo di bisezioneIl metodo di bisezione è il metodo iterativo più sempliceper approssimare gli zeri reali di una funzione.

Ipotesi:1) f(x) continua nell’intervallo [a, b]

2) f(a)f(b) < 0

per il teorema degli zeri ammette almeno una soluzione α

di f(x) = 0, in (a, b).

Si procede suddividendo ad ogni passo l’intervallo [a, b] ametà e determinando in quale dei due sottointervalli sitrova la soluzione, dimezzando così l’ampiezzadell’intervallo che contiene α.


Metodo di bisezioneALGORITMO

1. Si pone a0 := a e b0 := b

2. Per i = 0, 1, . . . , nmax si calcolano

xi :=ai + bi

2, e f(xi)

1. Se f(xi) · f(ai) < 0 ⇒ ai+1 := ai, bi+1 := xi

2. Altrimenti se f(xi) · f(bi) < 0 ⇒ ai+1 := xi, bi+1 := bi

3. altrimenti se f(xi) = 0 ⇒ xi := α

3. Il procedimento viene arrestato se per un indice i risulta

|f(xi)| ≤ toll e/o

|ai − bi| ≤ toll


Metodo di bisezione

a=a0

α

b=b0


Metodo di bisezione

a=a0 b=b

0=b

1

αx

0=a

1


Metodo di bisezione

a=a0 b=b

0=b

1

x0=a

1=a

2x

1=b

2

α


Metodo di bisezionePer costruzione ad ogni passo l’ampiezza dell’intervallo èdimezzata, dopo n passi arriviamo all’intervallo [an, bn] diampiezza:

bn − an =bn−1 − an−1

2=

bn−2 − an−2

22= · · · =

b0 − a0

2n

Se come stima di α prendiamo xn = an+bn

2 abbiamo

|en| = |xn − α| ≤ b0 − a0

2n+1

Se poniamo b0−a02n+1 ≤ ε otteniamo n da

2n+1 ≥ b0 − a0

ε⇒ n ≥ log2

(

b0 − a0

ε

)

− 1


Metodo di bisezioneIl metodo di bisezione converge globalmente allasoluzione con la sola ipotesi che f sia continuanell’intervallo [a, b].

La convergenza è però lenta e questo costituisce il limitedel metodo: ad ogni passo si riduce l’errore di 1/2, perridurlo di 1/10 (1 cifra decimale) occorrono circa 3.3 passi.

Una spiegazione può essere ricercata nel fatto che non sitiene conto dei valori della funzione ma soltanto dei segni.

Geometricamente il metodo costruisce ad ogni passol’approssimazione della radice calcolando l’intersezionecon le ascisse della retta passante per i punti

(a, segn f(a)) , (b, segn f(b))


Metodo della regula falsiUn modo naturale per migliorare il metodo di bisezione èquello di considerare anche i valori che la funzioneassume negli estremi dell’intervallo

Si prende come nuova approssimazione della soluzionel’intersezione delle ascisse con la retta passante per

(a, f(a)) , (b, f(b))

{

y − f(a) = (f(b)−f(a))b−a (x − a),

y = 0,

da cui si ottiene

x = a − f(a)(b − a)

f(b) − f(a)


Metodo della regula falsiIl metodo risultante è noto come metodo della regula falsio della falsa posizione1. Dato [a0, b0] tale che f(a0)f(b0) < 0

2. Finche non sia verificato un criterio di arresto, poni

1. xi := ai − f(ai)(bi − ai)

f(bi) − f(ai)2. Se f(xi) · f(ai) < 0 ⇒ ai+1 := ai, bi+1 := xi

3. Altrimenti ⇒ ai+1 := xi, bi+1 := bi

4. i = i + 1Il metodo genera una successione di intervalli in cui ècontenuta la radice: la scelta dell’intervallo in base alsegno della funzione, comporta una convergenza globale

è più veloce rispetto al metodi di bisezione, anche se ingenerale [ai, bi]i→∞ 6→ 0 pertanto il criterio di arrestobasato sull’ampiezza dell’intervallo non è applicabile.


Altre idee . . .Data f(x), x0 f(x0): si approssima la funzione con unaretta per (x0, f(x0))

y = f(x0) + m(x − x0)

Si ottiene una versione linearizzata del problema f(x) = 0,{

y = 0,

y = f(x0) + m(x − x0),da cui x1 = x0 −

f(x0)

m

In generalexi+1 = xi − f(xi)

mi

A seconda della scelta di mi si ottengono:metodo delle corde (mi = m = costante),metodo delle secanti e metodo di Newton


Metodo delle secantimi: coefficiente angolare della retta per (xi, f(xi)) e

(xi−1, f(xi−1))

mi =f(xi) − f(xi−1)

(xi − xi−1)

xi+1 = xi − f(xi)(xi − xi−1)

f(xi) − f(xi−1)

Può essere visto come una variante della regula falsi incui sono richieste due approssimazioni iniziali senzaalcun’altra condizione e senza la necessità di controllare ilsegno di f(x)

La convergenza del metodo è garantita se leapprossimazioni iniziali sono “abbastanza vicine” allaradice α: convergenza locale


Metodo di Newtonmi: derivata prima di f in xi

mi = f ′(xi)

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi)

Geometricamente si prende come nuovaapprossimazione l’intersezione delle ascisse con la rettatangente a f in (xi, f(xi))

Alla i−esima iterazione questo metodo richiede duevalutazioni funzionali

f(xi), f ′(xi)

L’aumento del costo computazionale è compensato dalfatto che la convergenza (locale) è di ordine superiore alprimo. In generale è quadratica


Metodo di Newton

x0

α


Metodo di Newton

x0

x1

α


Metodo di Newton

x0

x1

α

x2


Metodo di Newton

x0

x1

α

x3

x2


Metodi di iterazione funzionaleLa ricerca degli zeri di una funzione f è ricondotta allostudio dei punti fissi di un’opportuna funzione g:

f(α) = 0 ⇔ g(α) = α

La successione delle approssimazioni sarà definitaassegnto x0 come:

xi+1 = g(xi), i = 0, 1 . . .

La funzione di iterazione g non è unica e può esserecostruita nei modi più diversi, ma non tutti daranno luogoa strumenti efficienti.

Bisogna studiare sotto quali condizioni la successionedelle iterate appartenga sempre al dominio di f e siaconvergente ad α.


Metodi di iterazione funzionaleEX: Corde

f(x) = 0 ⇔ −f(x)

m= 0 ⇔ x − f(x)

m= x

⇒ g(x) = x − f(x)

m

EX: Newton

f(x) = 0 ⇔ − f(x)

f ′(x)= 0 ⇔ x − f(x)

f ′(x)= x

⇒ g(x) = x − f(x)

f ′(x)


Metodo di iterazione funzionale

α

x0

g(x)



α

x0

x1

g(x)



α

x0

x1

x2

g(x)



α

x0

x1

x2

g(x)

x3



x0

α



x0

α

x1



x0

x2

α

x1



x0

x1 x

3x

2

α



x0

x1 x

3x

4x

2

α


ConvergenzaRisultato importante teoricamente, ma nella pratica èdifficile stabilire a priori l’intervallo in cui sono soddisfattele ipotesi.

TEO (Ostrowski): Sia α un punto fisso di g ∈ C1[α − ρ, α + ρ]. Se

|g′(x)| < 1, ∀x ∈ [α − ρ, α + ρ]

allora ∀x0 ∈ [α − ρ, α + ρ] la successione delle iterate generata dag e tale che

1. xi → α unico punto fisso di g

2. xi ∈ [α − ρ, α + ρ]

DIM: Per ipotesi g è una contrazione per cui il punto fisso èunico (si dimostra per assurdo).


ConvergenzaPer dimostrare che la successione converge si considera

xi+1 − α = g(xi) − g(α) (Teo della media)= g′(ηi)(xi − α)

dove ηi ∈ (α, xi). Per 2. |g′(ηi)| < M < 1 per cui

|xi+1 − α| < M |xi − α| < · · · < M i+1|x0 − α|

⇒ limi→∞

|xi+1 − α| = 0

Inoltre dalla continuità di g′ si ha

limi→∞

|xi+1 − α||xi − α| = lim

i→∞g′(ηi) = g′(α)

�


ConvergenzaLa convergenza può esserci in insiemi molto più grandi diquelli in cui |g′(x)| < 1: condizione sufficiente,

convergenza locale

x0

x1 x

3x

4x

2

α

α

x0

x1

x2

g(x)

x3

−1 < g′(α) < 0: 0 < g′(α) < 1:convergenza alternata convergenza monotona

xi+1 − α = g′(ηi)(xi − α), con ηi ∈ (α, xi)


ConvergenzaSe |g′(α)| > 1 allora |α − xi+1| > |α − xi|:

locale divergenza

x1

x3

x4

x2

x0

x1

x0

α

g′(α) < −1 g′(α) > 1


Ordine di convergenzaPer i metodi di iterazione funzionale è possibile anchedare una relazione tra ordine del metodo e molteplicità diα rispetto a g′

TEO: Sia α ∈ I (opportuno intervallo) punto fisso di g ∈ Cp[I] con p ≥ 2.Se per un punto x0 ∈ I la successione {xi} e convergente e se

g′(α) = g′′(α) = · · · = g(p−1)(α) = 0 e g(p)(α) 6= 0

allora il metodo ha ordine di convergenza p e risulta

limi→∞

|xi+1 − α||xi − α|p =

g(p)(α)

p!


Ordine di convergenzaDIM: Dallo sviluppo di Taylor si ha in generale

(tenuto conto che xi+1 = g(xi)):

xi+1 − α = g(xi) − g(α)

= g′(α)(xi − α) + g′′(α)(xi − α)2

2!+ · · ·

· · · + g(p−1)(α)(xi − α)p−1

(p − 1)!+ g(p)(ξ)

(xi − α)p

p!

dove ξ ∈ (xi, α). Quindi se valgono le hp del teorema si hala tesi. �

A parità di ordine di convergenza p, quanto più piccola

risulterà la quantità g(p)(α)p! tanto più veloce sarà la

convergenza delle iterate ad α.


Convergenza metodo di NewtonIl metodo di Newton può essere visto come un metodo diiterazione funzionale con la funzione g data da

g(x) = x − f(x)

f ′(x)

Osservando che se f ∈ C2 e f ′(α) 6= 0 (ovvero α radicesemplice)

g′(x) =f ′′(x)f(x)

(f ′(x))2⇒ g′(α) = 0

quindi il metodo è localmente sempre convergente e laconvergenza è almeno quadratica. Per radici doppie(f ′(α) = 0), o multiple in generale, la convergenza siriduce a lineare.


Convergenza metodo di NewtonRisultati di convergenza globale

TEO:Sia f ∈ C2[α, α + ρ] tale che

(i) f(x)f ′′(x) > 0 in (α, α + ρ]

(ii) f ′(x) 6= 0 in (α, α + ρ]

allora ∀x0 ∈ (α, α + ρ] la successione originata dal metodo diNewton DECRESCE monotonicamente ad α. Per gli intorni sinistri[α − ρ, α] si ottiene una successione che converge in modomonotono CRESCENTE ad α.


ESERCIZI


Esecizio 1.Posto f(x) = x8 − 2:

1) analizzare la convergenza di Newton per approssimare la radice positiva di f ;

1) f(x) = 0 ⇔ x8 − 2 = 0, per x = ± 8√

2, si studia la convergenza ad α = 8√

2. Costruiamo

la g del metodo di iterazione funzionale associata ad f , consideriamo le derivate f ′(x) = 8x7,

f ′′(x) = 56x6:

g(x) = x − f(x)

f ′(x)= x − x8 − 2

8x7=

7x8 + 2

8x7

g′(x) =f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2=

56x6(x8 − 2)

64x14=

7

8

x8 − 2

x8

g′(α) = g′(8√

2) = 0 ⇒ convergenza locale

Vediamo se possiamo applicare il teorema di convergenza del metodo di Newton:

a) per (α, α + ρ] : si ha f(x) > 0, f ′′(x) > 0 ∀x > α per cui f(x)f ′′(x) > 0, e inoltre

f ′(x) 6= 0 ∀x > α ⇒ convergenza per x > α (monotona decrescente)

b) per [α − ρ, α) : si ha f(x) < 0, f ′′(x) > 0 ⇒ l’ipotesi (i) del teorema non e soddisfatta.


Esecizio 1 (segue ...)Studiamo |g′(x)| < 1 ⇔

78

x8−2x8

< 1,

78

x8−2x8

> −1⇔

∀x,

x < − 8

√

1415

, x > 8

√

1415

Qunidi per x > 8

√

1415

si ha la convergenza (Per il Teorema di Ostrowski la condizione

|g′(x)| < 1 deve essere verificata in un intorno di α, ma poiche per x > α si ha 0 < g′(x) < 1

la convergenza e monotona, posso estendere l’intorno a tutto (α, +∞))

0.5 1 1.5 2

0

50

100

150

200

250

Newton

x0=2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Iterate

x0=2


Esecizio 1 (segue ...)2) indicare quante iterazioni del metodo di bisezione sono necessarie per approssimare la radice positiva

di f con una precisione ε < 10−2, considerando [a, b] =[

12, 32

]

.

2) Si vuol trovare k per cui |ek| = |xk − α| < 10−2

|ek| ≤ |bk − ak|2

=b − a

2k+1< 10−2

⇒(

3

2− 1

2

)

· 1

2k+1< 10−2 ⇒ 2k+1 > 100

⇒ k > log2(100) − 1 ' 5.64

⇒ almeno 6 iterazioni


Esecizio 2.L’equazione f(x) = x3 − 3x2 + 2x = 0 puo immediatamente essere trasformata nel seguente

problema di punto fisso g(x) = x con g(x) = x3 − 3x2 + 3x. Analizzare la convergenza e l’ordine del

metodo delle iterate in un introrno delle 3 soluzioni.

f(x) = 0 ⇔ x3 − 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(x − 1)(x − 2) = 0, per α = 0, β = 1, γ = 2.

g′(x) = 3x2 − 6x + 3, la convergenza e garantita in un intorno della soluzione se |g′(x)| < 1 :

g′(α) = g′(0) = 3 ⇒ divergenza locale

g′(β) = g′(1) = 0 ⇒ convergenza locale (almeno di ordine p = 2)

g′(γ) = g′(2) = 3 ⇒ divergenza locale

Analizziamo solo la convergenza per β = 1 e studiamo dove vale |g′(x)| < 1 ⇔

|g′(x)| = |3(x − 1)2| = 3(x − 1)2 < 1 ⇒ convergenza locale

per x ∈(

1 − 1√3

, 1 +1√3

)

.

Inoltre

g′′(x) = 6x − 6 ⇒ g′′(1) = 0 ⇒ convergenza almeno di ordine p = 3

g′′′(x) = 6 6= 0 ⇒ convergenza esattamente di ordine p = 3.


Esecizio 3.Studiare la convergenza del metodo di Newton applicato a f(x) = 2

3√

3x3 + x2 − 1.

a) Si fa uno studio della funzione per capire dove sono gli zeri:

f ′(x) =2√3

x2 + 2x = 2x

(

x√3

+ 1

)

= 0, per x = 0, x = −√

3,

con f(0) = −1, f(−√

3) = 0, ⇒ α = −√

3 radice doppia

f ′(x) > 0 (f crescente) per x > 0 e x < −√

3.

Si osserva che poiche per x > 0 la funzione e crescente con f(0) = −1 < 0 e

f(1) = 2√3

> 0 ⇒ c’e un ’altra radice β ∈ (0, 1), tale radice e semplice in quanto

f ′(x) 6= 0, per x > 0. Studiamo la derivata seconda:

f ′′(x) =4√3

x + 2 = 0 ⇔ x = −√

3

2

f ′′(x) > 0 (f convessa) per x > −√

32

.

b) Convergenza a β ∈ (0, 1): Per x > β si ha f(x) > 0 e f ′′(x) > 0 con f ′(x) 6= 0 quindi per il

teorema del metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente. Da un esame grafico si

vede che la convergenza si puo estendere ∀x0 > 0 (eventualmente dopo la prima iterazione).

L’ordine e almeno 2 in quando la radice e semplice.


Esecizio 3 (segue ...)Convergenza a β ∈ (0, 1)

−2 −1 0 1 2 3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x0=0.2

−2 −1 0 1 2 3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x0=3

Convergenza ad α = −√

3: f(x) < 0 e f ′′(x) < 0 per x < −√

32

con f ′(x) 6= 0 per x 6= α

quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente in (−∞,−√

3)

e monotona decrescente in (−√

3,−√

32

). Da un esame grafico si vede che c’e convergenza

∀x0 < 0, eventualmente dopo la prima iterazione. Ordine p = 1 per radice doppia.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−5

0

5

10

15

x0=−4


Esecizio 4.Assegnata l’equazione f(x) = 5

2x3 − 15

2x2 + 6x − 1 = 0 analizzare la convergenza del metodo di

Newton dopo un breve studio analitico dell’andamento della funzione.

Si ha:

f ′(x) =15

2x2 − 15x + 6 = 0, per x1 = 1 − 1√

5' 0.5, x2 = 1 +

1√5' 1.5

f ′(x) > 0 per x ∈ (−∞, 1 − 1√5) ∪ (1 +

1√5

, +∞)

con f(x1) =1√5' 7

16, f(x2) = − 1√

5' − 7

16,

inoltre limx→−∞

f(x) = −∞, limx→+∞

f(x) = +∞- f ′(x) > 0 (f crescente) per x < x1 e poiche f(x1) > 0 e f(0) = −1 < 0 ⇒ c’e una radice

semplice α ∈ (0, x1).

- f ′(x) > 0 (f crescente) per x > x2 e poiche f(x2) < 0 e f(x) tende a +∞ per x che tende a

+∞⇒ c’e una radice semplice β ∈ (x2, +∞).

- Inoltre poiche f(x1)f(x2) < 0 c’e una terza radice γ ∈ (x1, x2) = (1 − 1√5, 1 + 1√

5).

Studiamo la derivata seconda:

f ′′(x) = 15x − 15 = 0 ⇔ x = 1, con f(1) = 0 ⇒ γ = 1

f ′′(x) > 0 ⇔ x > 1


Esecizio 4 (segue ...)a) Convergenza ad α in (−∞, 1 − 1√

5): per x < α si ha f(x) < 0 e f ′′(x) < 0 con f ′(x) 6= 0

quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente per

x0 ∈ (−∞, α). L’ordine e almeno 2 in quando la radice e semplice. Per x > α si ha f(x) > 0

e f ′′(x) < 0, le ipotesi del teorema non sono soddisfatte.

b) Convergenza a β in (1 + 1√5, +∞): per x > β si ha f(x) > 0 e f ′′(x) > 0 con f ′(x) 6= 0

quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente per

x0 ∈ (β, +∞). L’ordine e almeno 2 in quando la radice e semplice. Nel’intorno sinistro di β le

ipotesi del teorema non sono soddisfatte.

c) Convergenza a γ = 1 in (1 − 1√5, 1 + 1√

5). Le condizioni del teorema sul metodo di Newton non

sono soddisfatte: per x > 1 si ha f(x) < 0 e f ′′(x) > 0 mentre per x < 1 si ha f(x) > 0 e

f ′′(x) < 0. Quindi il teorema non puo essere applicato.

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α γ β


Esecizio 5.Assegnata l’equazione f(x) = (ex − 1)2 = 0

i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne le radici e in caso di

convergenza determinare l’ordine.

ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1 = g(xi) con g(x) = x − ex−1ex

e convergente e in caso

affermativo determinarne l’ordine.

Si ha:f(x) = (ex − 1)2 = 0, per x = 0 ⇒ α = 0, f(x) > 0 ∀x 6= 0

f ′(x) = 2ex(ex − 1) = 0 per x = 0 ⇒ α radice doppia

f ′(x) > 0 per x > 0

f ′′(x) = 2ex(2ex − 1) = 0 per ex =1

2⇒ x = ln

1

2< 0

f ′′(x) > 0 per x > ln1

2- in (0, +∞) : si ha f(x)f ′′(x) > 0 e f ′(x) 6= 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha

convergenza monotona decrescente ∀x0 ∈ (0, +∞)

- in (ln( 12), 0) : si ha f(x)f ′′(x) > 0 e f ′(x) 6= 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha

convergenza monotona crescente ∀x0 ∈ (ln(1/2), 0) (o in ogni intervallo chiuso della forma [α− ρ, α)

contenuto in (ln(1/2), 0))

⇒ convergenza monotona ∀x0 > ln(1/2), del primo ordine in quanto la radice e doppia.


Esecizio 5.Assegnata l’equazione f(x) = (ex − 1)2 = 0



ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1 = g(xi) con g(x) = x − ex−1ex

e convergente e in caso

affermativo determinarne l’ordine.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x0=1

y=f(x)


Esecizio 5 (segue ...)ii) Sia il metodo delle iterate con:

g(x) = x − ex − 1

exe g(x) = x per α = 0,

g′(x) = 1 − ex ex − ex(ex − 1)

ex ex= 1 − 1

ex

g′(0) = 0 ⇒ convergenza locale (almeno) del secondo ordine

g′′(x) =1

ex6= 0 ∀x ⇒ (esattamente) del secondo ordine

Analizzando la condizione |g′(x)| < 1 si trova che vale per x > ln(1/2) e quindi si ha convergenza in

ogni intorno di α contenuto in (ln(1/2), +∞)

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y=g(x)

x0=1

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y=g(x)

x0=0.8

Si nota graficamente convergenza anche per x0 < ln(1/2).


Esecizio 6.Assegnata l’equazione f(x) = e1−x − 1 = 0



ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1 = g(xi) con g(x) = x + e1−x − 1 e convergente e in

caso affermativo determinarne l’ordine.

i) Si ha:f(x) = e1−x − 1 = 0, per x = 1 ⇒ α = 1, f(x) > 0 per x < 1

f ′(x) = −e1−x < 0, ∀x ⇒ α radice semplice

f ′′(x) = e1−x > 0 ∀x

- in (1, +∞) : si ha f(x) < 0, f ′′(x) > 0 quindi il teorema del metodo di Newton non e applicaile

- in (−∞, 1) : si ha f(x)f ′′(x) > 0 e f ′(x) 6= 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha

convergenza monotona crescente ∀x0 ∈ (−∞, 1) o in ogni intervallo chiuso della forma [1 − ρ, 1) ivi

contenuto (secondo ordine per radici semplici).


Esecizio 6.Assegnata l’equazione f(x) = e1−x − 1 = 0



ii) Stabilire se il metodo iterativo xi+1 = g(xi) con g(x) = x + e1−x − 1 e convergente e in

caso affermativo determinarne l’ordine.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

y=f(x)


Esecizio 6 (segue ...)ii) Sia il metodo delle iterate con:

g(x) = x + e1−x − 1 e g(x) = x per α = 1,

g′(x) = 1 − e1−x = 0 per x = 1 = α ⇒ convergenza locale (almeno) del secondo ordine

g′′(x) = e1−x 6= 0 ∀x ⇒ (esattamente) del secondo ordine

|g′(x)| < 1 per x > 1 − ln(2) ' 0.3

quindi si ha convergenza in ogni intorno di α contenuto in (1 − ln(2), +∞)

0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y=g(x)

x0=2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y=g(x)

x0=0

Si nota graficamente convergenza ∀x0 ∈ R.


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